2010_CDM_Lezione_6_Fatica_multiassiale_counting (1)

Costruzione di MacchineCostruzione di Macchine

Prof. Nicola Prof. Nicola BonoraBonoraAA AA –– 2009/20102009/2010

Lezione 6 Lezione 6 –– Conteggio dei cicli e fatica Conteggio dei cicli e fatica multiassialemultiassiale

F ti il t i d i i liFatica: il conteggio dei cicli

Nella realtà operativa la forma dello spettro di sollecitazione Nella realtà operativa la forma dello spettro di sollecitazione non è quasi mai periodico né assimilabile ad una sinusoidenon è quasi mai periodico né assimilabile ad una sinusoide

Questo pone la questione di come si debbano conteggiare i Questo pone la questione di come si debbano conteggiare i cicli che effettivamente affaticano il materialecicli che effettivamente affaticano il materialecicli che effettivamente affaticano il materialecicli che effettivamente affaticano il materiale


Diverse possibilità:Diverse possibilità:

Peaks countPeaks countPeakPeak--betweenbetween--meanmean--crossing countcrossing countL l i tL l i tLevel crossing countLevel crossing countFatigue meter countFatigue meter countRange countRange countRange countRange countRangeRange--mean countmean count


1)1) Characterize load curve in terms of maxima and minima onlyCharacterize load curve in terms of maxima and minima only

2) Introduce ‘classes’ (stress intervals) such that maxima/minima belonging to 2) Introduce ‘classes’ (stress intervals) such that maxima/minima belonging to the same class are counted similarlythe same class are counted similarly

Si l b h t i d iSi l b h t i d iSignal may now be characterized in Signal may now be characterized in terms ofterms of• peak counting: Histogram of • peak counting: Histogram of maxima/minimamaxima/minimamaxima/minimamaxima/minima

• range counting: Histogram of • range counting: Histogram of ranges (differences betweenranges (differences betweenranges (differences between ranges (differences between adjacent maxima/minima)adjacent maxima/minima)

• level crossing counting: Histogram• level crossing counting: Histogram level crossing counting: Histogram level crossing counting: Histogram of level crossingsof level crossings

•• rainflowrainflow counting: Conversion ofcounting: Conversion of rainflowrainflow counting: Conversion of counting: Conversion of irregular time series into a sequence irregular time series into a sequence of ‘cyclesof ‘cycles’’



PeakPeak--countcount

All i b th d ll th i i b l th t dAll i b th d ll th i i b l th t dAll maximums above the mean and all the minimum below the mean are countedAll maximums above the mean and all the minimum below the mean are counted

F ti il t i d i i liF ti il t i d i i liFatica: il conteggio dei cicliFatica: il conteggio dei cicli

PeakPeak--betweenbetween--mean countmean count

Only the largest peak between successive crossings of the mean is counted Only the largest peak between successive crossings of the mean is counted


Level crossing countingLevel crossing counting

Al positive slope level crossings above the mean and negative slope level Al positive slope level crossings above the mean and negative slope level p p g g pp p g g pcrossing below the mean are countedcrossing below the mean are counted


Rain flow methodRain flow method

The The rainflowrainflow--counting algorithm (also known as the "raincounting algorithm (also known as the "rain--flow counting flow counting method") is used in the analysis of fatigue data in order method") is used in the analysis of fatigue data in order to reduce a to reduce a spectrum of varying stress into a set of simple stress reversalsspectrum of varying stress into a set of simple stress reversals..

Its importance is that it allows the application of Miner's rule in order to Its importance is that it allows the application of Miner's rule in order to assess the fatigue life of a structure subject to complex loading.assess the fatigue life of a structure subject to complex loading.

The algorithm was developed by Tatsuo Endo and M. The algorithm was developed by Tatsuo Endo and M. MatsuiskiMatsuiski in 1968.in 1968.

Though there are a number of cycleThough there are a number of cycle--counting algorithms for such counting algorithms for such g yg y g gg gapplications, the applications, the rainflowrainflow method is the most popular as of 2008.method is the most popular as of 2008.



The algorithmThe algorithm1.1. Reduce the time history to a sequence of (tensile) Reduce the time history to a sequence of (tensile)

peaks and (compressive) troughs. peaks and (compressive) troughs.

2.2. Imagine that the time history is a template for a rigid Imagine that the time history is a template for a rigid sheet (sheet (pagodapagoda roof). roof).

3.3. Turn the sheet clockwise 90Turn the sheet clockwise 90°° (earliest time to the (earliest time to the ((top). top).

4.4. Each Each tensile peaktensile peak is imagined as a source of water is imagined as a source of water that "drips" down the pagoda. that "drips" down the pagoda.

5.5. Count the number of halfCount the number of half--cycles by looking for cycles by looking for terminations in the flow occurring when either: terminations in the flow occurring when either:

11 It reaches the end of the time history; It reaches the end of the time history; 1.1. It reaches the end of the time history; It reaches the end of the time history;

2.2. It merges with a flow that started at an earlier It merges with a flow that started at an earlier tensile peaktensile peak; or ; or

3.3. It flows opposite a It flows opposite a tensile peaktensile peak of greater of greater magnitude. magnitude.



The algorithmThe algorithm6.6. Repeat step 5 for Repeat step 5 for compressive troughscompressive troughs. .

77 Assign a magnitude to each halfAssign a magnitude to each half--cycle equal to the cycle equal to the 7.7. Assign a magnitude to each halfAssign a magnitude to each half--cycle equal to the cycle equal to the stress difference between its start and termination. stress difference between its start and termination.

8.8. Pair up halfPair up half--cycles of identical magnitude (but cycles of identical magnitude (but opposite sense) to count the number of complete opposite sense) to count the number of complete pp ) ppp ) pcycles. Typically, there are some residual halfcycles. Typically, there are some residual half--cycles. cycles.



EXAMPLEEXAMPLEThe stress history in Figure A is reduced to peaks The stress history in Figure A is reduced to peaks and troughs in Figure B.and troughs in Figure B.

HalfHalf--cycle (A) starts at tensile peak (1) and cycle (A) starts at tensile peak (1) and terminates opposite a greater tensile stress, peak terminates opposite a greater tensile stress, peak (2). Its amplitude is 16 MPa. (2). Its amplitude is 16 MPa.

HalfHalf--cycle (B) starts at tensile peak (4) and cycle (B) starts at tensile peak (4) and terminates where it is interrupted by a flow from terminates where it is interrupted by a flow from an earlier peak (3) Its amplitude is 17 MPaan earlier peak (3) Its amplitude is 17 MPaan earlier peak, (3), Its amplitude is 17 MPa.an earlier peak, (3), Its amplitude is 17 MPa.

HalfHalf--cycle (C) starts at tensile peak (5) and cycle (C) starts at tensile peak (5) and terminates at the end of the time history. terminates at the end of the time history.



EXAMPLEEXAMPLE

Similar halfSimilar half--cycles are calculated for cycles are calculated for compressive stresses (Figure 4) and the halfcompressive stresses (Figure 4) and the halfcompressive stresses (Figure 4) and the halfcompressive stresses (Figure 4) and the half--cycles are then matched.cycles are then matched.


Per prevedere la vita a fatica di un componente quando la sollecitazionevaria nel tempo in maniera casuale non si possono applicare direttamente le leggi di cumulo del danno.

Ma è necessario “tradurre” l’andamento reale della sollecitazione in una a è ecessa o adu e a da e o ea e de a so ec a o e u asequenza di pacchetti di cicli a determinati valori di carico in modo da ottenere una successione di coppie ni , σi a cui applicare il criterio di Miner.

Avremo, quindi, la seguente espressione per il danno di fatica:


Applicazione del metodo rainflow:Si immagina che dall’inizio di ogni spiovente

i i d i fl i d’nascano in successione dei flussi d’acqua.

Questi flussi scorrono sugli spioventi e siinterrompono quando:interrompono quando:• incontrano un altro flusso proveniente da unospiovente superiore,• arrivano alla quota di uno spiovente che inizia• arrivano alla quota di uno spiovente che iniziada un minimo inferiore (o da un massimosuperiore) a quello da cui hanno origine.

Dal diagramma di carico si estrae una parte chesia rappresentativa dell’intera storia di carico e sifa i modo che i tempi abbiano origine in corrispondenzap g pdel minimo assoluto del diagramma.Tra l’inizio e la fine di ogni flusso si conteggiamezzo ciclo. Alla fine dell’analisi si devonoottenere un numero intero di cicli





F ti lti i lF ti lti i lFatica multiassialeFatica multiassiale

Ci sono molte applicazioni pratiche in Ci sono molte applicazioni pratiche in Ci sono molte applicazioni pratiche in Ci sono molte applicazioni pratiche in cui lo stato di sforzo variabile nel cui lo stato di sforzo variabile nel tempo è multiassialetempo è multiassiale

FusolieraFusolieraSerbatoi e tubazioni in pressioneSerbatoi e tubazioni in pressioneAlb i di t i iAlb i di t i iAlberi di trasmissioneAlberi di trasmissioneEtc.Etc.

A causa della natura dei carichi A causa della natura dei carichi esterni applicati e della loro esterni applicati e della loro este app cat e de a o oeste app cat e de a o ofluttuazioni, gli stati di sforzo che si fluttuazioni, gli stati di sforzo che si generano possono fluttuare in fase o generano possono fluttuare in fase o fuori fasefuori fasefuori fasefuori fase


PROPORTIONAL LOADINGPROPORTIONAL LOADINGPROPORTIONAL LOADINGPROPORTIONAL LOADING

Per un campione sottoposto a fatica Per un campione sottoposto a fatica multiassialemultiassiale si dice che è in si dice che è in multiassialemultiassiale si dice che è in si dice che è in condizioni di condizioni di carico proporzionale carico proporzionale quando durante le variazioni dei quando durante le variazioni dei

i hi t t li ti l i hi t t li ti l 2 3

1 1 2 carichi esternamente applicati, le carichi esternamente applicati, le corrispondenti differenti componenti corrispondenti differenti componenti di sforzo variano in proporzione di sforzo variano in proporzione

1 1 21 1

costante tra lorocostante tra loro

Le costanti Le costanti possono variare da possono variare da e cos ae cos a posso o a a e daposso o a a e dapunto a punto ma rimangono punto a punto ma rimangono costanti nel punto durante la storia costanti nel punto durante la storia dei carichidei carichidei carichidei carichi


Sforzo equivalente Sforzo equivalente Sforzo equivalente Sforzo equivalente

Ipotesi generale: è possibile supporre Ipotesi generale: è possibile supporre che l’effetto di uno stato di sforzo che l’effetto di uno stato di sforzo che l effetto di uno stato di sforzo che l effetto di uno stato di sforzo complesso in cui le componenti sono complesso in cui le componenti sono perfettamente in fase o fuori fase di perfettamente in fase o fuori fase di 180180°° i d i ibil tt i d i ibil tt 180180°° sia descrivibile attraverso un sia descrivibile attraverso un criterio di equivalenza.criterio di equivalenza.

Von MisesVon Mises

1/22 2 21 2 2 3 3 1

12eq

Tresca Tresca 1 3

2MAX MAX

2


Sforzo equivalente Sforzo equivalente Sforzo equivalente Sforzo equivalente

Per uno sforzo fluttuante possiamo Per uno sforzo fluttuante possiamo definire l’ampiezza definire l’ampiezza definire l ampiezza definire l ampiezza

1/22 2 21 , 1 2 2 3 3 12a eq a a a a a a

E sfruttare la retta di BasquinE sfruttare la retta di Basquin

, 2b

a eq f fN


Effetto della media Effetto della media Effetto della media Effetto della media

Si ipotizza che la tensione media nel Si ipotizza che la tensione media nel regime multiassiale sia associata alla regime multiassiale sia associata alla regime multiassiale sia associata alla regime multiassiale sia associata alla parte idrostatica del tensore dello parte idrostatica del tensore dello sforzosforzo

1 2 3m m m m

O alternativamente alla media di von O alternativamente alla media di von MisesMises

1/22 2 2

, 1 2 2 3 3 112m eq m m m m m m


Effetto della media Effetto della media

Si utilizza poi il diagramma di Si utilizza poi il diagramma di GoodmanGoodman come nel caso come nel caso Si utilizza poi il diagramma di Si utilizza poi il diagramma di GoodmanGoodman come nel caso come nel caso uniassialeuniassiale

,, , 0 1

im

m eqa eq a eq

UTS

LIMITI:LIMITI:La definizione dello sforzo equivalente non riconosce il differente La definizione dello sforzo equivalente non riconosce il differente effetto della tensione media in trazione ed in compressioneeffetto della tensione media in trazione ed in compressioneeffetto della tensione media in trazione ed in compressioneeffetto della tensione media in trazione ed in compressione

L’orientamento della cricca di fatica rispetto alla direzione della L’orientamento della cricca di fatica rispetto alla direzione della sollecitazione agente non può essere determinata con questo sollecitazione agente non può essere determinata con questo sollecitazione agente non può essere determinata con questo sollecitazione agente non può essere determinata con questo approccio approccio

L f l h l d i t i tt l t li ll L f l h l d i t i tt l t li ll Lo sforzo normale ha un ruolo dominante rispetto al taglio sulla Lo sforzo normale ha un ruolo dominante rispetto al taglio sulla duratadurata


Effetto della media Effetto della media

Esempio:Esempio:Esempio:Esempio:

Nel caso di pura sollecitazione Nel caso di pura sollecitazione uniassialeuniassiale, lo sforzo equivalente , lo sforzo equivalente ììsi riduce a si riduce a 1 così come l’ampiezza e la media (1 così come l’ampiezza e la media (a, a, mm))

Caso di torsione:Caso di torsione: 3 , ,

,

3

0a eq xy a

m eq

La tensione equivalente media è nulla anche nel caso in cui il La tensione equivalente media è nulla anche nel caso in cui il taglio medio non sia nullo!taglio medio non sia nullo!

Sperimentalmente si osserva che: la sovrapposizione di una Sperimentalmente si osserva che: la sovrapposizione di una torsione media statica non ha effetto sul limite di fatica a torsione media statica non ha effetto sul limite di fatica a t i i li t l i i di t i t i i li t l i i di t i torsione ciclica mentre la sovrapposizione di una tensione torsione ciclica mentre la sovrapposizione di una tensione normale statica ha un effetto drammatico sia sulla resistenza a normale statica ha un effetto drammatico sia sulla resistenza a fatica ciclica in trazione o flessione fatica ciclica in trazione o flessione


Modelli alternativiModelli alternativi








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