Embed Size (px)
Citation preview
Matematika I 2011
Said Avdic 1
ELEMENTI OPCE ALGEBRE
Iskazni racun
Iskaz (p,q,r...) je smisljena tvrdnja koja ima osobinu da je istinita (T ili 1) ili neistinita (� ili 0).
Negacija je unarna operacija i rezultat ima vrjednost 1 samo ako promjenjiva ima vrijednost 0.
Konjukcija iskaza ima vrijednost 1 samo ako obje promjenjive imaju vrijednost 1.
Disjunkcija (inkluzivna) iskaza i ma vrijednost 1 ako bar jedna od promjenjivih ima vrijednost 1, dok
exluzivna disjunkcija ima vrijednost 1 samo ako jedna promjenjiva ima vrijednost 1 (ne obje).
Implikacija iskaza ima vrijednost 0 samo ako je prvi iskaz 1 a drugi 0.
Ekvivalencija iskaza ima vrijednost 1 samo ako obje promjenjive imaju istu vrijednost.
� � �� � � � � � � � � � � � � 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1
Iskazna formula je niz iskaza povezanih iskaznim operacijama.
Tautologija je iskazna formula koja je tacnja bez obzira na istinitosnu vrijednost iskaza u njoj.
Skupovi, relacije i preslikavanja
Skup (A,B,C...) je osnovni matematicki pojam koji se ne definise.
Ako svaki element skupa A istovremeno pripada i skupu B onda je skup A podskup skupa B., relacija
medju njima se naziva inkluzija. �� �� � � � � �� � � � �
Dva skupa su jednaka ako vazi da je � � � i � � � i pisemo � � �.
Kod jednakosti skupova nije bitan poredak i ponavaljanje elemenata. � � �1,5,4�, � � �4,4,4,5,1,5� � � � �
Unija skupova A i B je skup kojem pripadaju svi elemnti skupova A i B. � � � � � | � � � � ��
Presjek skupova A i B je skup kojem pripadaju zajednicki elementi A i B. � � � � � | � � � � ��
Razlika skupova A i B je skup elemenata koji pripdaju A i ne pripadaju B. � � � � � | � � � � ��
Ako je � � �, tada � � � nazivamo komplement skupa A u odnosu na skup B i oznavamo ga: �� � !��� " � � �| � ��
Sad mozemo definisati simetricnu razliku skupova: � # � " �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��
Uredjeni par elemenata $ i % je skup &�$�, �$, %�' i kratko se oznacava sa �$, %�, dok se skup �$, %, (�
naziva uredjena trojka �$, %, (� � )�$, %�, (* � &��$, %��, ��$, %�, (�'.
Osobine binarnih relacija: �+� ,-./- +01234 )�$ � 56*: $8$ �++� 3+9-4,+(1234 )�$, %, ( � 56*: $8% � %8$ �+++� $14+3+9-4,+(1234 )�$, % � 56*: �$8% � %8$� � $ � % �+0� 4,$1:+4+01234 )�$, %, ( � 56*: �$8% � %8(� � $8(
S tim da je 56 polje relacije 8.
Matematika I 2011
Said Avdic 2
Binarna relacija definisana u skupu A naziva se relacija ekvivalencije i oznacava se sa ; (tilda) ako je
reflexivna, simetricna i tranzitivna.
Ekvivalencijom zapravo vrsimo podjelu skupa A. Posmatrajmo skup A indexiran proizvojnim
elementom , � � � < = � �> � �|>~ �, svakako da element pripada skupu � � i skup � �
predstavlja klasu ekvivalencije elemanata .
Ako su � � i �>� dvije klase ekvivalencije u skupu A, tada je � � � �>� ili � � � �>� � @.
Ako klase � � i �>� imaju neprazan skup onda postoji : � � � � : � �>� , a po definicije je da � � � i > � �>� � ~: � >~: � ~> � � �>�. Tim je dokazano da je � � � �>�, a
zbog simetrije problema vrijedi da je �>� � � � odnosno � � � �>�.
Neka je u skupu A definisana relacija poretka A. Element $ � � naziva se majoranta (gornje
ogranicenje) skupa �B � � ako je �� � ��: A $. Ako pri tome element $ pripada skupu �B, tada je on i maximalni element skupa �B.
Supremum (gornja medja) skupa �B � � je minimum skupa majoranata skupa �B, i oznacava se sa 3D��B.
Neka je u skupu A definisana relacija poretka A. Element % � � naziva se minoranta (donje
ogranicenje) skupa �B � � ako je �� � ��: % A . Ako pri tome element % pripada skupu �B, tada je on i minimalni element skupa �B.
Infimum (donja medja) skupa �B � � je maximum skupa minoranata skupa �B, i oznacava se sa +1.�B.
Funckija (preslikavanje) skupa E F G je svaki postupak kojim se svakom elementu � E pridruzuje
jedan i samo jedan element > � G. Pri cemu je je skup E domen a skup G kodomen preslikavanja.
Preslikavanje je surjekcija ako svaki element > � G predstavlja sliku bar jednog � E.
Injekcija je preslikavanje kod koga se svaki element � E preslikava u tacno jedan element > � G.
Preslikavanje je bijekcija ukoliko je istovremeno i surjekcija i injekcija.
Kompozicija presikavanja .: E F G i preslikavanja H: G F I je preslikavanje J � . K H: E F I i defise
se pomocu: �� � E�: J� � � H�.� �� odnosno �. K H�� � " H�.� ��.
Ako je funkcija .: E F G bijektivno preslikavanje, onda ce inverzno preslikavanje biti .LB: G F E, s
tim da je zadovoljen uslov �� � E�: .LB).� �* � odnosno . K .LB � 1.
Matematika I 2011
Said Avdic 3
REALNI I KOMPLEXNI BROJEVI
Aksiomi skupa realnih brojeva
U skupu realnih brojeva �M� definisana je i zatvorena operacija sabiranja, � , >� � M � N > � M. �+� �� , > � M�: N > � > N �++� �� , >, : � M�: � N >� N : � N �> N :� �+++� �O0 � M�: N 0 � �+0� �� � M��O P � Q � M�: N �Q � � 0
U skupu realnih brojeva �M� definisana je i zatvorena operacija mnozenja � , >� � M � · > � M. �+� �� , > � M�: > � > �++� �� , >, : � M�: � >�: � �>:� �+++� �� � M � �0���O1 � M�: · 1 � �+0� �� � M � �0���O LB � M�: · LB � 1
Mnozenje je distributivno sabiranju �� , >, : � M�: �> N :� � > N :
Da bi skup realnih brojeva bio u potpunosti uredjenj potrebno je da jos uvedeom relaciju S. �� , > � M�: S > ili > S . Relacija ima sljedeca svojstva: �+� �� � M�: S �++� �� , > � M�: � S > � > S � � � > �+++� �� , >, : � M�: � S > � > S :� � S : �+0� ��$, , > � M�: S > � N $ S > N $ �0��� , > � M�: �0 S � 0 S >� � 0 S >
Svaki pokskup skupa realnih brojeva ogranicen je sa gornje strane, ima supremum i on pripada M.
Osnovni stavovi u skupu realnih brojeva i njihov dokaz $ N � % �? $ N � % � �Q$� N $ N � % N �Q$� � �Q$ N $� N � % N �Q$� � � % N �Q$� � % Q $
$ · � % �? �$ U 0� $ · � % � $LB · $ · � % · $LB � �$LB · $� � % · $LB � � % · $LB � %$
$ · 0 � 0 0 � 0 N 0 � $�0 N 0� � $ · 0 � $ · 0 N $ · 0 � $ · 0 � $ · 0 N 0 � 0 � $ · 0 � 0
$, % � M, $ · % � 0 � $ � 0 � % � 0 $ U 0, $ · % � 0 � $LB · �$ · %� � $LB · 0 � �$LB · $� · % � $LB · 0 � % � 0
$ S % � Q% S Q$ $ S % � $ N �Q$� S % N �Q$� � 0 S % N �Q$� � 0 N �Q%� S �Q%� N )% N �Q$�* � Q% S �Q% N %� N �Q$� � Q% S Q$
Prosireni skup realnih brojeva je MV � M � �Q∞, N∞�.
Matematika I 2011
Said Avdic 4
Aksiomi skupa prirodnih brojeva
Skup prirodnih brojeva X je podskupa skuap realnih brojeva, sa osobinama: �+� 1 je prirodan broj �++� svaki prirodan broj ima svog sljedbenika 1P � 1 N 1 koji je takodje prirodan broj �+++� 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja �+0� ako je 1P � 9P onda je 1 � 9, sto znaci da je svaki broj (izuzev 1) sljedbenik samo jednog broja �0� ako je Y podskup skupa X i vaze svojstva �+� i �++� onda je Y � X
Komplexni brojevi
Ljudima je bilo premalo �Q∞, … , Q2, Q1,0,1,2, … N ∞� brojeva pa su odlucili uvesti i komplexne �.
Skup komlexnih brojeva se oznacava sa \ i predstavlja skup svih uredjenih parova � , >� realnih
brojeva u kome su definisane operacije sabiranja i mnozenja na sljedeci nacin: � B, >B� N � ], >]� � � B N >B, ] N >]� � B, >B� · � ], >]� � � B ] Q >B>], B>] N ]>B�
Kopmlexan broj � , >� se oznacava : � � , >�.
Osobine operacija komplexnih brojeva ��:B, :], :^ � \�: :B N :] � :] N :B �:B N :]� N :^ � :B N �:] N :^� :B · :] � :] · :B �:B · :]� · :^ � :B · �:] · :^� :B · �:] N :]� � :B · :]N:B · :^
Za svaki komplexan broj : � � , >� vazi � , >� N �0,0� � � , >� � , >� · �1,0� � � , >�
Svaki komplexan broj ima samo jedan suprotan broj : N �Q:� � 0 takav da je – : � �Q , Q>�.
Svaki komplexan broj ima samo jedan reciprocan broj : · B̀ � 1 takav da je B̀ � � aabcdb , Ldabcdb�.
Komplexan broj �0,1� se naziva imafinarna jedinica i oznacava sa +. +] � �0,1� · �0,1� � �Q1,0� � Q1
Gausov oblik komplexnog broja je : � N >+, � e-�:�, > � f9�:�.
Konjugovano komplexan broj broju : je broj :� � Q >+.
Modul komplexnog broja se racuna: |:| � g�e-�:��] N �f9�:��]
Modul broja predstavlaj rastojanje broja od 0 � �0,0�.
Argument komplexnog broja je ugao � $,(4H ad.
Pa pomocu definisanih pojmova svaki komplexni broj mozemo zapisati u sljedecem obliku: : � |:|�(23h N +3+1h� i taj oblik se naziva trigonometrijski oblik komplexnog broja.
:B:] � |:B||:]|<cos�hB N h]� N +3+1�hB N h]�= l :m � l|:m| n(23 o hmp
mqB N +3+1 o hmp
mqB rpmqB
pmqB
√:t � g|:|t u(23 h N 2vw1 N +3+1 h N 2vw1 x �v � 0, y1, y2 … �
Matematika I 2011
Said Avdic 5
ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE
Matrice i determinante
Neka 9, 1 � X. Skup brojeva $z{�+ � 1,2, … , 9; } � 1,2, … , 1� cemo zapisati u obliku pravougaone
seme i dobit cemo matricu.
� � ~ $BB � $Bp� � �$�B � $�p�
Ova matrica ima 9 vrsta i 1 kolona, i kazemo da je matrica formata 9 � 1. U slucaju kada je 9 � 1
onda tu matricu zovemo kvadratna matrica.
Zbir elemenata kvadratne matrice koji cine glavnu dijagonalu nazivamo trag matrice.
Determinanta podrazumijeva broj
�-4� � o�Q1�mcB$Bm�Bmp
mqB
gdje je determinanta �Bm determinanta kvadratne matrice reda 1 Q 1. Ovakva definicija se postavlja
iskljucivo iz razloga sto je moguce samo rijesiti determinantu drugog i treceg reda, a za 1 � 3 se na
osonovu navedene formule pojednostavljuje determinanta dok ne dobijemo determinantu drugog ili
treceg reda.
Determinanta prvog reda ima samo jedan clan i podrazumijeva se da je to njena vrijednost.
Medjutim ovo ne znaci da se mora svaka determinanta rjesavati preko prve vrste (tj. �Bm), nego
moze preko bilo koje vrste ili bilo koje kolone (tj. �zm).
Za rjesavanje determinante koriste se dva principa: �+� Laplaceov razvoj determinante �1 S +, } S 1�
�-4� � o�Q1�zcm$zm�zmp
mqB �-4� � o�Q1�mc{$m{�m{p
mqB
Razlika medju ovim formulama je to sto se prva odnosi na razvoj po vrstama a druga po kolonama.
�++� Sararusovo pravilo (primjenjuje se iskljucivo za determinante treceg reda tj. 3 � 3)
�$BB $B] $B^$]B $]] $]^$^B $^] $^^� $BB $B]$]B $]]$^B $^] �
� �$BB$]]$^^ N $B]$]^$^B N $B^$]B$^]� Q �$B]$]B$^^ N $BB$]^$^] N $B^$]]$^B�
Neka je � � �$z{� kvadratna matrica reda 1, tada �-4� ima sljedece osobine:
1. �-4� � �-4��
2. Ako je +-ta kolona linearna kombinacija kolona � i � tj. Obilka hB� N h]� tada je �-4� � hB�-4�� N h]�-4�� gdje su �� i �� matrice dobijene iz matrice � zamjenom +-te kolone
kolonom � odnosno �. 3. Ako u matrici ma koje dvije kolone promijene mjesta, njena matrica ce promijeniti znak.
4. Ako u matrici postoje dvije iste kolone, onda je njena determinanta jedanka 0.
5. Ako je jedna kolona linearna kombinacija ostalih kolona onda je njena determinanta 0.
6. Determinanta se ne mijenja ako ma kojoj koloni dodamo lineranu kombinaiju ostalih kolona.
7. Ako determinanta ima kolonu sastavljenu od 0, onda je njenda determinanta 0.
8. Determinantu mnozimo brojem tako sto joj bilo koju kolonu pomnozimo tim brojem.
NAPOMENA: Sve sto vazi za kolone vazi i za vrste ;-)
Matematika I 2011
Said Avdic 6
Posmatrajmo matricu � � �$z{� formata 9 � 1. Ako iz matrice � izdvojim , vrsta (numerisanih sa +B, +], … , +�) i 3 kolona (numerisanih sa vB, v], … , v�) onda ce elementi koji se nalaze u presjecima
izdvojenih vrsta i kolona sacinjavati matricu formata , � 3. Takva matrica se naziva submatrica. Ako
je , � 3 onda je submatirca kvadratna i detereminanta te matrice se naziva minor reda 3 matrice �.
Minor reda 3 ce biti bazisni ako je razlicit od 0 i ako svaki drugi minor reda , tako da je , � 3 postoji i
jedank je 0. Svaka matrica moze iamti vise razlicith bazisnih minora koji su istog reda.
Red bazisnog minora matrice se zove rang matrice i karakteristicne oznake su eH� i ,$1H���.
Ako su svi elementi matrice nule onda j rang po definicji takodje 0. Rang matrice je jednak
maximalnom broju njenih linearno nezavisnih kolona.
Pri odredjivanju ranga matrice koriste se sljedece transformacija: �+� mnozenje kolona (vrsta) jednim brojem razlicitm od nule �++� dodavanje jednoj koloni (vrsti) neke druge kolone (vrste) �+++� zamjena mjesta dviju kolona (vrsta)
Pri transformisanju matrice � dobijamo matricu � (koja je takodje istog formata) i za takve matrice
kazemo da se ekvivalentne �� � ��jer se ponovno iz matrice � konacnim brojem transforamcija
moze dobiti matrica �. Dvije ekvivalentne matrice imaju isti rang. Obrnuto ne vazi!
Kvadratna matrica je dijagonalna ako su joj svi clanovi koji nisu na glavnoj dijagonali jednaki 0.
Dijagonalna matrica je skalarna ako su joj elementi na dijagonali jednaki.
Skalarna matrica je jedinicna ako su joj na dijagoanli samo 1.
Nula matrica ima sve elemente 0.
Pod transponovanom matricom, matrice � � �$z{� reda 9 � 1 podrazumijevaomo matricu � � �%z{�
reda 1 � 9 za koju je %z{ � ${z. Transponovanu matricu oznacavamo sa �� � �$z{�.
Ako posmatramo matricu �, njena determinanta je �-4�, a od njenih kofaktora �z{ formiramo
matricu Y, transponovanjem matrice Y dobijamo Y� � $�}�. Inverzna matrica je: �LB � 1�-4� · $�}�
Potreban uslov da bi postoja inverzna matrica je da je ona regularna tj. �-4� U 0.
Matrica je regularna ako je njena determinanta razlicita od 0.
Zbir matrica � � �$z{� i � � �%z{� je matrica � �(z{� sa takvom osobinom da je (z{ � $z{ N %z{.
Moguce je samo sabirati matrice istog formata.
Osnovne osobine mnozenja su: �+� komutativnost � N � � � N � �++� asocijativnost �� N �� N � � N �� N � �+++� distribitivnost mnozenja brojem zbira matrica h�� N �� � h� N h� �+0� distributvnost u odnosu na sabiranje brojeva�h N ��� � h� N ��
Matrica se mnozi nekim brojem tako sto se svaki njen element pomnozi tim brojem.
Proizvod matrica � i � definise se samo ako matrica � ima onliko kolona koliko matrica � vrsta.
Neka ja matrica � reda 9 � 1 i matirca � reda 1 � �. Proizvod je matrica reda 9 � � :
(z{ � $zB%B{ N $z]%]{ N � N $Bp%p{ � o $zm%m{p
mqB
Matematika I 2011
Said Avdic 7
Ukratko, prvu vrstu matrice � pomozimo sa prvom kolonom matrice � i dobti cemo clan (BB, zatim
prvu vrstu matrice � mnozimo sa drugom kolonom matrice � i dobit cemo clan (B]. Postupak se
ponavalja onoliko puta koliko matrica � ima kolona. Nakon toga prelazimo na drugu vrstu matrice � i
ponovimo isti postupak kao i sa prvom vrstom, i sve tako dok ne zavrsimo sa posljednjom vrstom
matrice �. Ovavko mnozenje se jos naziva kanonicni proizvod. (Pravi smor nema sta xD)
Ono sto se odmah moze zakljuciti je da nije isto � · � i � · �, tj. ne vazi zakon komutacije.
Medjutim to nije obavezno, u nekim slucajevima se moze desiti da je �� � ��.
Zakon distribucije takodje se ne poklapa sa onim koji vazi za sabiranje. Imamo lijevi i desni distibutivni
zakon. ��� N �� � �� N �� , �� N ��5 � �5 N �5 h��5� � �h��5 � ��h5�
Kao sto smo vec rekli matrica je regluarna ako je njena determinanta razlicita od 0, a ako je
determinanta 0 onda takvu matricu nazivamo singularna.
Ako matrica ima inverznu matricu onda je ona jedinstvena i vrijedi �LB� � f, gdje je matrica f istog
reda kao i matrica �.
Pretpostavimo da matrica � ima determinantu razlicitu od 0 i da postoje dvije njoj inverzne matrice Ei G, pa cemo imati �E � f i G� � f. Ako pomnozimo relacije sa �LB, i to prvu s lijeve a drugu s
desne strane dobit cemo �LB�E � �LBf; G��LB � f�LB fE � �LB; Gf � �LB E � �LB; G � �LB
Ako su � i � regularne matrice istog reda, onda vaze sljedece osobine:
����LB � �LB�LB ������LB�LB� � ����LB��LB � �f�LB � f � ����LB � �LB�LB
��LB�LB � � ��LB � f � � � ��LB�LB
����LB � ��LB�� ������LB � ��LB��� � f� � f � ����LB � ��LB��
det��LB� � ��-4��LB ��LB � f � �-4���LB� � �-4f � 1 odnosno det��LB� �-4� � 1 � det��LB� � ��-4��LB
Matematika I 2011
Said Avdic 8
Sistemi jednacina
Ovdje cemo razmatrati sisteme od 9 linearnih jednacina sa sa 1 nepoznatih, gdje su 9 i 1 proizvoljni
prirodni brojevi. $BB B N $B] ] N � N $Bp p � %B $]B B N $]] ] N � N $]p p � %] � $�B B N $�] ] N � N $�p p � %� $z{�f � 1,2, … , 9; } � 1,2, … , 1�-kofeicijienti sistema, %z�+ � 1,2, … , 9�- slobodni clanovi, a
nepoznate su B, ], … , p.
Sistem je homogen ako je svaki slbodni clan jednak 0. U protivnom je nehomogen.
Za dva sistema, koji ne moraju imati isti broj jednacina, kazemo da su ekvivalentni ako je svako
rjesenje jednog ujedno i rjesenje drugog sisteam i obrnuto.
Ako sistem nema rjesenja kazemo da je nemoguc, ako ima jedno rjesenje onda je saglasan i ako ima
beskonacno puno rjesenja onda je neodredjen. Ukoliko je sistem homogen, postoji uvijek trivijalno
rjesnje tako da je svaka nepoznata 0.
Pri rjesavanju ovakih jednacina koriste se elementarne transforamcijelinearnih jednacina: �+� zamjena mjesta dviju jednacina �++� mnozenje jednacine ma kojim brojem razlicitm od 0 �+++� dodavanje jedne jednacine drugoj, s tim da se prethodno moze pomoziti nekim brojem.
Gaussova metoda eliminacije(primjer): B N 2 ] Q ^ N � � Q1 2 B N 5 ] Q ^ N 2 � � Q2 3 B N ] Q 2 ^ N � � 5 B Q ] Q 3 ^ Q 5 � � 6
S obzirom da su koeficijenti uz prvu nepoznatu u drugoj, trecoj i cetvroj jednacnin redom 2,3,1, onda
cemo prvu jednacinu pomnoziti sa -2 pa je dodati drugoj, zatim prvu pomnoziti sa -3 pa dodati trecoj,
te pomoziti sa -1 pa dodati cetvrtoj. B N 2 ] Q ^ N � � Q1 ] N ^ � 0 Q7 ] N ^ Q 2 � � 8 Q3 ] N 4 ^ Q 6 � � 7
Kao sto se moze vidjeti da u drugoj, trecoj i cetvrtoj jednacini nema nepoznate B, pa smo sitem od 4
jednacine sa 4 nepoznate prebacili u sistem od 3 jednacine sa 3 nepozante, sto je i osnovni princip
Gaussove eliminacije. Sada mnozimo drugu jednacinu sistema sa 7 i sa 3, pa redom dodajemo trecoj i
cetvrtoj. B N 2 ] Q ^ N � � Q1 ] N ^ � 0 8 ^ Q 2 � � 8 7 ^ Q 6 � � 7
Sada su nam ostale treca i cetvrta jednacina sa po dvije nepoznate, pa cemo trecu pomnoziti sa Q �� i
dodati posljednjoj jednacini. B N 2 ] Q ^ N � � Q1 ] N ^ � 0 8 ^ Q 2 � � 8 Q 174 � � 0
Odakle se lako racunaju nepoznate, � � 0, zatim se vracamo na prethodne jednacine odakle cemo
izracunati ^ � 1, ] � Q1, B � 2 pa rjesenja sistema � B, ], ^, �� � �2, Q1,1,0�.
Matematika I 2011
Said Avdic 9
Sistem linearnih jednacina je saglasan ako i samo ako je rang sistema jednacina jedank ranug
prosirene matrice istog sistema.
B � $BB$]B�$�B� N � N p � $Bp$]p�$�p
� � � %B%]�%��
Tj. sistem je saglasan ako je ,$1H� � ,$1H�P gdje su:
� � ~ $BB � $Bp� � �$�B � $�p� �P � ~ $BB � $Bp� � �$�B � $�p %B�%��
Kvadratni sistem (Cramerov stav):
Sistem od 1 linearnih jednacina sa 1 nepoznatih ima jedinstveno rjesnje ako je determinanta matrice
sistema razlicita od nule, a rjesenja su: z � ¡ gdje je 5 determinanta sistema a 5z determinta koja
se dobije kada se +-ta kolona zamijeni sa kolonom slobodnih koeficijenata. Ako je sistem homogen
onda je na osnovu Cramerovog stava rjesenje tog sistema trivijalno, tj. svaka nepoznat aje 0.
Kronecker -Capellijev stav podrazumijeva odredjivanje ranga matrice sistema i ranga prosirene
matrice sistema. Ukoliko su rangovi jednaki onda je sistem saglasan, ali ono sto je vazno je da je taj
novi sistem ekvivalentan pocetnom, ali novodobijeni je mnogo jednostavniji za rijesiti.
Primjenom ovog stava na homogen sistem jednacina dobijamo da je svaki takav sistem saglasan.
Ako imamo matricu � i njenu determinatu �-4�, tada je vrijednost det �� Q ¢f� karakteristicni
polinom matrice �. Dobijeni polinom izjednacen sa 0 predstavlja karakteristicnu jednacinu matrice �.
Rjesenja te jednacine predstavljaju vlastite vrijednosti matrice, a skup rjesenja je spektar matrice i
oznacava se sa £���.
Svaka kvadratna matrica � je korijen svakog karakteristicnog polinom, tj. ako je ¤�¢� � |� Q ¢f| tada
je ¤��� � 0.
Matematika I 2011
Said Avdic 10
VEKTORSKA ALGEBRA
Vektorski prostor ili linearni vektorski prostor nad poljem ¥ je aditivna Abelova grupa ¦ � � , >, … �,
u kojoj je definisano mnozenje elementima iz ¥, tj. za svaki par � ¦ i ¢ � ¥ definisano je ¢ i ¢ � ¦. Elemente vektorskog prostora zovemo vektorima. Polje ¥ nad kojim je ¦ vektorski prostor
zovemo polje skalara, a njegove elemente skalari.
Za vektor vektorskog prostora ¦ kazemo da je linearna kombinacija vektora -B, -], … , -p ako
postoje takvi skalari ¢B, ¢], … , ¢p polja ¥, da je � ¢B-B N ¢]-] N � N ¢p-p
Za vektore -B, -], … , -p kazemo da su linearno nezavisni ako iz ¢B-B N ¢]-] N � N ¢p-p � 0 slijedi
da je ¢B � ¢] � … � ¢p � 0. U suprotnom, tj. ako postoji bar jedan skalar ¢m razlicit od 0 onda su
vektori linearno zavisni.
Za prebrojiv skup vektora -B, -], … , -p kazemo da je linearno nezavisan ako bilo koji njegov konacni
podskup, predstavlja linearno nezavisni sistem vektora.
Linearni vektorski prostor ¦ naziva se konacno dimenzionalan, ako je u njemu moguce naci konacan
maximalan linearno nezavisan sistem vektora. Svaki takas sistem vektora naziva se baza prostora ¦.
Skup tacaka izmdju dviju tacaka � i � predstavlja duz ��§§§§, rastojanje izmedju te dvije tacke
predstavlja duzinu te duzi i obiljezava se sa ���, ��. Duz kod koje je jedna tacka pocetna a druga
krajnja se naziva vektor ili orijentisana duz. Vektor �̈ � ��©©©©©©©©©©©©©©©̈ ima pocetnu tacku � a krajnju �.
Elementi koji karakterisu vektor su: �+� intenzitet |�̈| je rastojanje pocetne i krajnje tacke �++� pravac vekotra je prava-nosac kojoj pripada orijentisani odsjecak �+++� Smjer vektora kao orijentacija odsjecka od njegove pocetne ka njegovoj krajnjoj tacki. �+0� pocetna tacka vektora
Vektori sa paralelnim nosacima su kolinearni vektori.
Vektori koji su paralelni jednoj te istoj ravni zovu se komplanarni vektori.
Vektor ciji je intenzitet jednak 1 naziva se jedinicni vektor ili ort.
Dva vektora su jednaki ako su kolinearni, imaju isti intenzitet i isti smjer.
Vektori su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.
Neka su vektori -B©©©̈ i -]©©©̈ linearno zavisni, tj. ¢B -B©©©̈ N ¢] -]©©©̈ � 0, ¢B U 0 � -B©©©̈ � ªQ «b«¬ -]©©©̈ � h-]©©©̈ , pri
cemu je h skalar, pa su ova dva vektora kolinearni. Isto vazi i za vise vektora ;-)
Neka su vektori ̈ i >̈ ma koja dva vektora iz ¦B, ¦] ili ¦̂ za koju pretpostavljamo da su dovoedeni u
zajednicki pocetak. Skalarani proizvod ova dva vektora je realan broj koji se oznacava sa ·©©©©̈ >̈. Prije
definicije skalarnog proizvoda potrebno je i odrediti ugao ® izmedju ova dva vekotra. ̈ · >̈ � | ̈||>̈|(23®
Dva vektora su ortoganalni (okomiti) ako i samo ako je njihov skalarni proizvod jednak 0.
Ako je neki vektor nula vektor onda je ortogonalan na bilo koji drugi vektor, a ako oba nisu nula
vektori a skalrani vektor im je 0 zakljucujemo da je (23® � 0 odnosno ® � 90°, sto znaci da su
okomiti.
Skalarni proizvod dvaju vektora ̈ i >̈ cije su koordinate B, ], ^ i >B, >], >^ u ortonormiranoj bazi je
jednak zbiru proizvoda njihovih odgovajacih koordinata: ̈ � B±̈ N ]²̈ N ^v©̈ ; >̈ � >B±̈ N >]²̈ N >^v©̈ � ̈ · >̈ � B>B N ]>] N ^>^
Matematika I 2011
Said Avdic 11
Osobine skalarnog proizvoda su: �+� ̈ · >̈ � >̈ · ̈ �++� ̈] � ̈ · ̈ � | ̈|] �+++� Ako je | ̈| � 1 tada je �¢ , ³ � � ¢µ �+0� �¢ ̈, >̈� � ¢� ̈, >̈� �0� � ̈ N >̈, :̈� � � ̈, >̈� N �>̈, :̈�
� ̈, ̈� � ̈] � | ̈|] � B] N ]] N ]̂ � | ̈| � µ B] N ]] N ]̂
(23® � B>B N ]>] N ^>^g B] N ]] N ]̂g>B] N >]] N >]̂
Vektorski proizvod obiljezavamo sa ̈ � >̈ ili < ̈, >̈= i to je vektor ciji je intenzitet | ̈||>̈|3+1®, taj vektor
je orogonalan vektorima ̈ i >̈ , a ima takav smijer da vektori ©©̈ , >̈ i < ̈, >̈= cine trojku vektora iste
orijentacije kao bazis ±̈, ²̈, v©̈ .
Osobine vektorskog proizvoda dva vektora: �+� intezitet mu je jedan povrsini paralelograma konstruisanog nad vektorima ̈ i >̈ �++� vektorski proizvod je nula vektor ako su vektori kolinearni li je jedan od njih nula vektor �+++� ̈ � >̈ � Q�>̈ � ̈� �+0� ±̈ � ±̈ � ²̈ � ²̈ � v©̈ � v©̈ � 0, ±̈ � ²̈ � v©̈ , ²̈ � v©̈ � ±̈, )v©̈ � ±̈* � ²̈, ²̈ � ±̈ � Qv©̈ , v©̈ � ²̈ � Q±̈, ±©̈ � v©̈ � Q²̈ �0� �¢ ̈� � �³>̈� � ¢³� ̈ � >̈� �0+� � ̈ N >̈� � :̈ � ̈ � :̈ N >̈ � :̈
Ako su B, ], ^ i >B, >], >^ koordinate vektora ̈ i >̈ u ortonormiranoj bazi ±̈, ²̈, v©̈ , tada je: ̈ � >̈ � ) B±̈ N ]²̈ N ^v©̈ * � )>B±̈ N >]²̈ N >^v©̈ * � B>B�±̈ � ±̈� N B>]�±̈ � ²̈� N B>^) ±©̈ � v©̈ * N ]>B�²̈ � ±̈� N ]>]�²̈ � ²̈� N ]>^)²̈ � v©̈ *N ^>B)v©̈ � ±̈* N ^>])v©̈ � ²̈* N ^>^)v©̈ � v©̈ * � B>]v©̈ Q B>^²̈ Q ]>Bv©̈ N ]>^±̈ N ^>B²̈ Q ^>]±̈ � � ]>^ Q ^>]�±̈ Q � B>^ Q ^>B�²̈ N � B>] Q ]>B�v©̈
� ¶ ±̈ ²̈ v©̈ B ] ^>B >] >^¶
Mjesoviti proizvod vekotra se oznacava · ̈, >̈, :̈¸ i jednak je � ̈ � >̈� · :̈.
Apsolutna vrijednost mjesovitog proizvoda tri vektora predstavlja zapreminu paralelopipeda
konstruisanog nad tim vektorima.
Tri vektora su komplanarni ako i samo ako je njihov mjesoviti proizvod jedank 0.
· ̈, >̈, :̈¸ � � B ] ^>B >] >^:B :] :^�
Matematika I 2011
Said Avdic 12
ANALITICKA GEOMETRIJA
Rastojanje izmedju dvije tacke � i � jednako je intenzitetu vektora ��©©©©©̈ . ��©©©©©̈ � 0�©©©©©̈ Q 0�©©©©©̈ � ) ]±̈ N >]²̈ N :]v©̈ * Q ) B±̈ N >B²̈ N :Bv©̈ * � � ] Q B�±̈ N �>] Q >B�²̈ N �:] Q :B�v©̈ � � ¹��©©©©©̈ ¹ � g� ] Q B�] N �>] Q >B�] N �:] Q :B�]
Vektorski proizvod dva vektora je jedan povrsini paralelograma konstruisanog nad tim vektorima, a
polovina tog paralelograma je zapravo povrsina trougla cije su dvije stranice upravo ti vektori a treca
se dobije kada se spoji kraj jednog s krajem drugog.
�#º!� � ¹��©©©©©̈ � � ©©©©©̈ ¹2
Jednacina ma koje ravni » u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu je jednacina oblika: � N �> N : N 5 � 0 �, �, , 5 su konstante, da bi ravan postojala potrebno je samo da jedna od �, �, konstanti bude
razlicita od 0.
Neka tacka Y¼� ¼, >¼, :¼� ma koja tacka ravni » i 1©̈ vektor razlicit od nula vektora i okomit je na
ravan. Ako uzmemo neku tacku Y � » onda ce vektor 1©̈ biti normalan na vektor Y¼Y©©©©©©©©©̈ .
I to tako da je 1©̈ ��, �, � i Y¼Y©©©©©©©©©̈ � � Q ¼, > Q >¼, : Q :¼�, pa je njihov proizvod: �� Q ¼� N %�> Q >¼� N �: Q :¼� � 0 � N �> N : N �Q� ¼ Q �>¼ Q :¼� � 0 � N �> N : N 5 � 0
Ako je neki koeficijent jednak 0 onda je ravan paralelna toj osi.
Ako je slobodan koeficijent jednak 0 onda ravan prolazio kroz koordinatni pocetak.
Ako bi posmatrali jednacine tri ravni kao sistem jednacina onda ce rjesenja tog sistema predstavljati
koordinate tacaka presjeka sve tri ravni, a ukoliko je determinanta tog sistema razlicita od 0 onda ce
presjek biti samo jedna tacka.
Ako jednacine cetiri ravni posmatramo kao sistem i ako je rang prosirene matrice sistema jednak 4,
pri tome ce rang matrice sistema obavezno biti manji od 4 jer ima 3 nepoznate, pa je zakljucak da
nece postojati tacka u kojoj ce se presjeci sve cetiri ravni.
Potreban i dovoljan uslov da dvije ravni budu normalne jeste da su i njihovi karakteristicni vektori
normalni(okomiti, ortogonalni).
Date su dvije ravni i njihove jednacine: »: �B N �B> N B: N 5B � 0 ³: �] N �]> N B: N 5] � 0
Ove divije prave ce da se sijeku ili ce biti paralelne.
Ugao medju njima se ugao medju njihovim karakteristicnim vektorima:
(23® � �1B©©©©̈ , 1]©©©©̈ �|1B©©©©̈ ||1]©©©©̈ | � �B�] N �B�] N B ]µ�B] N �B] N B]µ�]] N �]] N ]]
Da bi ravni bile paralelne potrebno i dovoljno je da su njihovi vektori kolinearni, odnosno da je: �B�] � �B�] � B ]
Da bi prave bili normalne potrebno je da �B�] N �B�] N B ] � 0.
Matematika I 2011
Said Avdic 13
Skup tacaka koje predstavljaju presjek dvije ravni zovemo prava.
Kanonski oblik prave: Q B9 � > Q >B1 � : Q :B�
gdje su: YB� B, >B, :B� tacka kroz koji prolazi prava, �B©©©©̈ � �9, 1, �� vektor koji je paralelan pravoj i
tacka Y� , >, :� bilo koja tacka na pravoj.
Da bi presli u parametarski oblik jednacine prave potrebno je kanonski oblik izjednaciti sa
parametrom 4 , te izraziti , >, :. � 94 N B ; > � 14 N >B; : � �4 N :B
Jednacina prave kroz dvije tacke: Q B ] Q B � > Q >B>] Q >B � : Q :B:B Q :]
Odavde se vidi da je: 9 � ] Q B; 1 � >] Q >B; � � :B Q :].
U slucaju da je neki od koeficijenata vektora prave jednak nuli, to znaci da je ta prava okomita na osu
na koju se odnosi taj koeficijent.
Posmatrajmo dvije prave: Q B9B � > Q >B1B � : Q :B�B
Q ]9] � > Q >]1] � : Q :]�]
Ukoliko se sijeku, onda su vektori
�B©©©©̈ � �9B, 1B, �B�, �]©©©©̈ � �9], 1], �]� i YBY]©©©©©©©©©©©̈ � � ] Q B, >] Q >B, :B Q :]� komplanarni:
� ] Q B >] Q >B :B Q :]9B 1B �]9] 1] �] � � 0
Ugao pod kojim se prave sijeku je:
(23® � ��B©©©©̈ , �]©©©©̈ �|�B©©©©̈ ||�]©©©©̈ | � 9B9] N 1B1] N �B�]g9B] N 1B] N �B]g9]] N 1]] N �]]
Da bi prave bile okomite, potrebno i dovoljno je da je 9B9] N 1B1] N �B�] � 0.
Ukoliko nisu ispunjeni uslovi da se prave sijeku onda se one mimoilaze (kako dubokouman zakljucak).
Ako bi racunali najkrace rastojanje pravih koje se mimoilaze, onda trebamo obiljeziti dvije fixne tacke
na odgovarajucim pravim i to �B� B, >B, :B� i �]� ], >], :]� , a sa �B©©©©̈ i �]©©©©̈ njihove karakteristicne
vektore. Tada je najkrace rastojanje � izmedju pravih jednako kolicniku zapremine paralelopipeda
konstruisanog nad vektorima �B©©©©̈ , �]©©©©̈ i �B�]©©©©©©©©©©̈ povrsine njegove osnove -.-
� � ¹)�B�]©©©©©©©©©©̈ � �B©©©©̈ * � �]©©©©̈ ¹|�B©©©©̈ � �]©©©©̈ |
Ako imamo pravu i neku tacku �]� ], >], :]� koja ne pripada toj pravoj i zelimo izracunati najkrace
rastojanje te tacke od prave onda prvo odredimo jednu fixnu tacku �B� B, >B, :B� koja pripada pravoj
i dovedimo pocetak karakteristicnog vektora prave �̈ � �9, 1, �� u tu tacku. Tada he rastojanje tacke
Matematika I 2011
Said Avdic 14
�] od prave jednako kolicniku povrsine paralelograma konstruisanog nad vektorima �̈ i �B�]©©©©©©©©©©̈
intenziteta �̈ -.-
� � ¹�̈ � �B�]©©©©©©©©©©̈ ¹|�B©©©©̈ |
Ugao izmedju prave i ravni se racuna: cos�90° Q ®� � 3+1® � �1, ��|1||�| � 9� N 1� N � g9] N 1] N �]√�] N �] N ]
Prava ce biti paralelna ravni ako je: �9 N �1 N � � 0
Prava je normalna na ravan ako je: � N �> N : N 5 � 0
Matematika I 2011
Said Avdic 15
REALNA FUNKCIJA REALNE PROMJENLJIVE
Realna funckija predstavlja osnovni pojam u matematickoj analizi.
Neka je dat skup 5 � M. Ako je svakom � 5 po nekom pravilu pridruzen > � M, tada kazemo da je
na skupu 5 definirana relana funkcija realne promjenjive . Pravilo po kojem sevrsi pridruzivane se
oznacava sa .. > � .� �, � 5
Argument funkcije je (ili nezavisno promjenljiva), a skup 5 je domen funkcije. Pored domena
funkcije za njeno pravilno definisanje potreban je i kodomen. Broj >¼, pridruzen vrijednosti ¼
argumenta , zove se vrijednost funkcije u tacki � ¼ i oznacava se .� ¼�. Skup svih vrijednosti
funkcije oznacava se sa e½ i zove se kodomen funkcije ..
Funkcija se moze zadati na tri nacina: analiticki, tabelarno i graficki.
Analitickim izrazom se odredjuje pravila po kojem se elementima skupa 5½ pridruzuju elementi
kodomena e½. Ako je funkcija .� � explicitno data u zavisnosti od argumenta , onda se to zove
explictni nacin:
.� � � ¾3 ] N 27 ¿
Pored explicitnog postoji i parametarski nacin zadavanje funkcije. Naime, nekad se promjenljiva i
promjenljiva > mogu zadati u funckiji nekog realnog parametra 4. Neka je:
� À�4� ; > � Á�4�, 4 � � � M
gdje su À i Á realne funkcije a istom podskupu � � M. Ako je ¤: � F � bijekcija, tj. ako postoji
funkcija: 4 � ¤LB� �
Tada je sistemom � � À�4� ; > � Á�4�, 4 � � � M� parametarski definirana funckija:
> � Á�¤LB� ��
Tabelarno se funkcija zadaje u prilikama kada je moguce vrijednosti nezavisno promjenljive i
zavisno promjenljive > (tj. funkcije) ispisati u jednon tabeli tako da se moze uociti zavisnost > � .� �. Linearna funckija > � $ N % ,uz napomenu da se radi o linearnoj funckciji, se moze predstaviti sa
samo dva para vrijednosti � z, >z�. ¼ B > $ ¼ N % $ B N %
Grafik funkcije > � .� � je skup:
½ � &� , $� � M]¹ � 5½ � > � .� �'
Svaki podskupu u M] � M � M, ne moze biti grafik funkcije. Da bi neki podskup � Ã M], bio grafik
jedne funkcije, potrebo i dovoljno je da svaka prava paralelno sa >-osom sijece skup � najvise u
jednoj tacki.
Matematika I 2011
Said Avdic 16
Svakom � E se pridruzuje jedan i samo jedan element > � G. Drugim rijecima, svaka funkcija je
bijekcija jednoznacno preslikavanje tj.
.� B� U .� ]� � B U ]
Funkcija transformacija grafika funkcije > � � � > � .� � > � .� � N h > � .� N h�
pomak duz Å> ose za h
pomak duz apcisne ose za h
- udesno za h Æ 0, ulijevo za h � 0 > � .�Q � simetrija u odnosu na osu ordinatu (vertikalnu) > � Q.� � simetrija u odnosu na apcisnu osu (horizontalnu) > � h.� � homotetija tacaka .� � na ordinati > � .�h � homotetija tacaka .� � na apcisi
Funkcija .: 5½ F M, definirana na simetricnom skupu 5½ � M, je parna na skupu 5½, ako vrijedi:
)� � 5½*.� � � .�Q �
a neparna je ako vrijedi: )� � 5½*.�Q � � Q.� �
Primjer parne funckije je .� � � ] ili bilo koji drugi parni stepen.
Primjer neparne funckije je .� � � 3+1 .
Matematika I 2011
Said Avdic 17
Medjutim, vecina funkcija nemaju niti jedno od ovih svojstava, tj. nisu niti neparne niti parne. Ali se
zato svaka funckija koja je definirana na E � M, moze napisati u obliku sume jedne parne i jedne
neparne funkcije:
.� � � J� � N 3� �
J� � � 12 ).� � N .�Q �*, 3 � 12 �.� � Q .�Q ��
Jedina funkcija koja je u isto vrijeme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. .� � �0 za svako ).
Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dvije funkcije nije
jednaka nuli.
Zbir dvije parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog mnozenja parne funkcije konstantom je
takodje parna funkcija.
Zbir dvije neparne funkcije je takodje neparna funkcija, i rezultat svakog mnozenja neparne funkcije
konstantom je neparna funkcija.
Proizvod dvije parne funkcije je parna funkcija.
Proizvod dvije neparne funkcije je parna funkcija.
Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
Količnik dvije parne funkcije je parna funkcija.
Količnik dvije neparne funkcije je parna funkcija.
Količnik dvije funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
Kompozicija dvije parne funkcije je parna, a kompozicija dvije neparne funkcije je neparna funkcija.
Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne vazi obratno).
Funkcija: .: E F M je ogranicena sa gornje strane na skupu E � 5½ ako postoji Y � M, tako da je za
svako � E, .� � S Y. Ili kako mi, tj. matematicari, volimo reci:
�OY � M��� � E��.� � S Y�
Funkcija: .: E F M je ogranicena sa donje strane na skupu E � 5½ ako postoji 9 � M, tako da je za
svako � E, .� � Ç 9.
�O9 � M��� � E��.� � Ç 9�
Za funkciju .: 5½ F M, kazemo da je periodicna, ako postoji broj È (perioda) taka da vrijedi:
)� � 5½*) N È � 5½*�.� N È� � .� ��
Ako je funkcija periodicna, onda vazi i .� N v� � .� ��v � �.
Najmanji pozitivno broj Ê za koji je funkcija periodicna naziva se osnovna perioda.
Matematika I 2011
Said Avdic 18
A sada malo monotonije xD
Realna funkcija .: 5 F M na intervalu � � 5 naziva se:
�+� rastuca �� B, ] � ��� B Æ ] � .� B� S .� ]��
�++� strogo rastuca �� B, ] � ��� B Æ ] � .� B� Æ .� ]��
�+++� opadajuca �� B, ] � ��� B Æ ] � .� B� Ç .� ]��
�+0� strogo opadajuca �� B, ] � ��� B Æ ] � .� B� � .� ]��
Za svaku od ovih funkcija cemo reci da je monotona na razmaku definisanosti ako je � � 5½, pise se . � ˺. Dakle, osobina monotonosti je globalno svojstvo.
5 � M je konveksasn skup ako �� , > � 5���¢ � <0,1=�: ¢ N �1 N ¢�> � 5
Ako .: 5 F M i 5 konveksan skup, kazemo da je funkcija konveksna ako je:
�� , > � 5���¢ � <0,1=�: .�¢ N �1 Q ¢�> S .� � N �1 Q ¢�.�>�
A konkavna je ako je:
�� , > � 5���¢ � <0,1=�: .�¢ N �1 Q ¢�> Ç .� � N �1 Q ¢�.�>�
Neka je funkcija . realna funkcija i $ � M � �Q∞, N∞� tacka nagomilavanja skupa 5, na kojem je
funkcija definirana. Tacka % � M � �Q∞, N∞� je granicna vrijednost funckije . (limaFÏ .� � � %) u
tacki $ ako za svako Ð okolinu ¦�%, Ð� tacke % postoji Ñ okolina Ò�$, Ñ� tacke $, tako da vrijedi:
)�$ � 5 � �Ò�$, Ñ� � �a��* � .� � � ¦�%, Ð� ¦�%, Ð� � �% Q Ð, % N Ð�; Pitanje jedinstva granicne vrijednosti je gotovo ocigledno. xD
U skupu realnih brojeva se dvije razlicite tacke mogu separisati disjunktnim okolinama. Naime ako
je %, ( � M i % Æ (, uzmemo li м=B] �( Q %�, imat cemo dvije Ð- okoline ¦�%, м�, ¦�(, м� tacaka %, ( � M. Osim toga, one su disjunktne tj. ¦�%, м� � ¦�(, м� � @. Ako pretpostavimo da je limaFÏ .� � � % i limaFÏ .� � � ( tada iz definicje granicne vrijednsoti slijedi:
�OѼ � 0��� � 5 � �Ò�$, Ѽ� � �$�� � .� � � ¦�%, м� � .� � � ¦�(, м�
S druge strane to nije moguce jer je ¦�%, м� � ¦�(, м� � @, pa mora biti % � (.
Kao sto rekoh, gotovo ocigledno. �
Negacija definicje:
�OÐ � 0���Ñ � 0�)O � 5½*�0 Æ Q $ Æ Ñ � .� Q %� Ç Ð�
Matematika I 2011
Said Avdic 19
limaFÏ .� � � N∞ ÔÕ½Ö× ��Y � 0��OÑ � 0��� � 5½��0 Æ | Q $| Æ Ñ � .� � � Y�
limaFÏ .� � � Q∞ ÔÕ½Ö× ��Y Æ 0��OÑ � 0��� � 5½��0 Æ | Q $| Æ Ñ � .� � S Y�
limaFcØ .� � � % ÔÕ½Ö× ��Ð � 0��OY � 0��� � 5½�� Ç Y � |.� � Q %| Æ Ð�
limaFLØ .� � � % ÔÕ½Ö× ��Ð � 0��OY Æ 0��� � 5½�� S Y � |.� � Q %| Æ Ð�
limaFcØ .� � � N∞ ÔÕ½Ö× ��Y � 0��OÙ � 0��� � 5½�� � Ù � .� � � Y�
limaFLØ .� � � Q∞ ÔÕ½Ö× ��Y Æ 0��OÙ � 0��� � 5½�� � Ù � .� � Æ Y�
Funkcija .� � � 3+1 Ba nema granicnu vrijednost u tacki $ � 0.
Desna granicna vrijednost funkcije . u tacki $ (ako postoji) se oznacava sa limaFÏc¼ .� �. U slucaju
da je $ � 0 se pise limaFc¼ .� �.
Analogno se definira i lijeva granicna vrijednost limaFÏL¼ .� �.
Veza sa granicnom vrijednsoti funkcije je:
limaFÏ .� � � % � limaFÏc¼ .� � � limaFÏL¼ .� � � %
Ako je limaFÏ .� � � %, limaFÏ H� � � ( i % Æ ( �( Æ %�, tada postoji okolina Ò�$� tacke $, takva
da je .� � Æ H� �, � Ò�$� � �$� �.� � � H� �, � Ò�$� � �$��.
Posljedica: ako je limaFÏ .� � � % i % � 0 �% Æ 0�, tada postoji okolina Ò�$� tacke $ u kojoj vrijedi .� � � 0 �.� � Æ 0�.
Teorama o operacijama nad limesima:
Neka je limaFÏ .� � � %, limaFÏ H� � � ( i %, ( � M:
�+� limaFÏ<.� � y H� �= � % y (
�++� limaFÏ<.� �H� �= � %(
�+++� limaFÏ Ú.� �H� �Û � %( , ( U 0
�+0� limaFÏ|.� �| � |%|
Matematika I 2011
Said Avdic 20
Teorema o dvije funkcije:
Ako postoji okolina Ò�$� tacke $, takva da za svako � Ò�$� vazi .� � S H� � � � Ò�$� �.� � Ç H� �� i postoje granicne vrijednosti funkcija H i . u tacki $, tada je:
limaFÏ .� � S limaFÏ H� � �limaFÏ .� � Ç limaFÏ H� ��
Teorema o tri funkcije:
Neka su ., H i J: 5 F M date funkcije, i neka je $ tacka nagomilavanja skupa 5. Ako postoji okolina Ò�$� tacke $, takva da za svako � Ò�$� vazi .� � S H� � S J� � i postoje granicne vrijednosti
funkcije . i J u tacki $, tada, ako je
limaFÏ .� � � limaFÏ J� � � %, % � M � �Q∞, N∞� � limaFÏ H� � � %
Oscilacija funkcije .: 5 F M, na skupu E � 5 definira se pomocu:
È�., E� � supa¬,ab�Þ|.� B� Q .� ]�|
Funkcije .: 5 F M ima konacnu granicnu vrijednost u tacki $ � M � �Q∞, N∞� ako i samo ako za
svako Ð postoji okolina Ò�$� tacke $, tako da vrijedi:
È�., 5 � Ò�$� � �$�� Æ Ð
Za funkciju .: 5 F M kazemo da je nepredkinda u tacki $ � 5 ako:
��Ð � 0��OÑ � 0��� � 5��| Q $| Æ Ñ � |.� � Q .�$�| Æ Ð
odnosno ako je: limaFÏ .� � � .�$�. Funkcija je neprekidna na skupu 5 ako je neprekidna usvakoj tacki tog skupa, pise se . � ß .
Ako je funkcija neprekidna u tacki � $, tada je �., $� � 0.
Funkcija ima prekid prve vrste ako postoje konacne granicne vrijednosti:
limaFÏc¼ .� � limaFÏL¼ .� �
pri cemu je barem jedna od relacija:
limaFÏc¼ .� � U �$� limaFÏL¼ .� � U .�$�
Prekid druge vrste je svaki prekid funkcije koji nije prekid prve vrste.
Ako je u tacki $ prekid prve vrste nastao iz razlogarazloga postojanja:
limaFÏc¼ .� � limaFÏL¼ .� �
i ako su jos jednaki, onda se takav prekid naziva otklonjiv.
Matematika I 2011
Said Avdic 21
DIFERENCIJABILNOST
Derivacija ili izvod funkcije . u tacki � �$, %� naziva se granicna vrijednost:
limàF¼ .� N J� Q .� �J
ukoliko ona postoji, beskonacna ili konacna.
Oznake koje se koriste za derivaciju funkcije > � .� � po promjenljivoj su : Ô½Ôa , >á, .á� � …
Funkcija je difercijabilna u tacki � �$, %� ako ima konacnu derivaciju u toj tacki.
Funkcija > � .� � je diferencijabilna u tacki � �$, %� ako i samo ako vrijedi:
∆. � ãJ N 2�J�
gdje je ã realan broj, J � ∆ , a 2�J� beskonacno mala visega reda u odnosu na J, kada J F 0.
Ako je funkcija . difercijabilna u tacki � �$, %� tada je ona i neprekidna u toj tacki.
limàF¼).� N J� Q .� �* � limàF¼)J.á� � N 2�J�* � 0
Drugim rijecima kada E � N J F E¼ � onda je
limÞFÞä .�E� � .�E¼�
tj. funkcija je neprekidna u tacki E¼ � .
Ako je funkcija difercijabilna u nekoj tacki onda je i neprekidna, medjutim to ne vazi obrnuto, moze se
desiti da je funkcija neprekidna u nekoj tacki a da nije difercijabilna.
Npr. .� � � √ ]¿ je neprekidna na M, ali nije diferncijabilna u tacki � 0.
Za zadanu funkciju .: <$, %= F M, kazem oda ima lijevi izod u tacki � �$, %= ako postoji:
limMåæàF¼ .� N J� Q .� �J
i u tom slucaju jednostran uderivaciju oznacavamo sa .çá� �.
A nologono se difinira i desna derivacija u tacki � �$, %=:
.çá� � � limMèæàF¼ .� N J� Q .� �J
Derivacija funkcije . u tacki postoji samo ako postoje prethodne dvije derivacije i one su jednake.
Neka su ., H: �$, %� F M, tada vrijedi
�+� �. y H�á� � � .á� � N Há� �
�++� �.H�á� � � .á� �H� � N .� �Há� �
Matematika I 2011
Said Avdic 22
�+++� u.Hxá � � � .á� �H� � Q .� �Há� �H]� �
Dokaz:
Neka je J U 0 , dovoljno mali broj:
�+� Neka je ¤� � � .� � y H� �, tada je:
limàF¼ ¤� N J� Q ¤� �J � limàF¼ é.� N J� Q .� �J y H� N J� Q H� �J ê
� limàF¼ .� N J� Q .� �J y limàF¼ H� N J� Q H� �J � .á� � N Há� �
�++� Neka je ¤ � .H, tada je:
limàF¼ ¤� N J� Q ¤� �J � limàF¼ .� N J�H� N J� Q .� �H� �J
� limàF¼ .� N J�H� N J� Q .� �H� N J� N .� �H� N J� Q .� �H� �J
� limàF¼ H� N J� .� N J� Q .� �J N limàF¼ .� � H� N J� Q H� �J � .á� �H� � N .� �Há� �
Kako su funkcije diferncijabilne pa i neprekidne, mozemo dobiti da je limàF¼ H� N J� � H� �
�+++� Neka je ¤� � � ½�a�ë�a� i ako je H� � U 0 i H� N J� U 0, tada je:
limàF¼ 1J é.� N J� Q .� �H� N J� Q H� � Q .� �H� �ê � limàF¼ é.� N J�H� � Q .� �H� � N .� �H� � Q .� �H� N J�JH� N J�H� � ê
� limàF¼ é.� N J� Q .� �J H� � Q .� � H� N J� Q H� �J ê 1H� N J�H� �
zbog neprekidnosti funkcije H, imamo da je H� N J�H� � F H]� �, kada J F 0. Pa je:
¤á� � � .áH Q .HìH]
Neka su zadate funkcije . i H takve da je definirana slozena funkcija �H K .� � H).� �*. Neka
funkcija . ima konacnu derivaciju u tacki , a funkcija H ima prvu derivaciju u tacki .� �. Tada
funkcija H K . ima derivaciju u tacki i tada je:
�H K .�á� � � H).� �*á � Há�.�.á� �
Matematika I 2011
Said Avdic 23
Neka funkcija > � >� � ima derivaciju u tacki . Neka postoji inverzna funkcija � �>� i neka je ona
neprekidna u tacki >. Ako je >á� � U 0 tada je funkcija �>� difercijabilna i vrijedi:
>á · á � 1
Kada imamo parametarski zadate funkcije:
� �4�; > � >�4�
izvod se racuna:
>á � >í í
Neka se materijalna tacka krece po pravoj tako da funkcija 3 � 3�4� izrazava predjeni put, od neke
pocetne tacke �0,0�, u funkciji vremena 4. Prema tome u trenutku 4 materijalna tacka ce se naci u
tacki Y�4, 0� a u trenutku 4 N ∆4 u tacki Ù�4 N ∆4, 0�. Predjeni put do trenutka 4 je 3�4�, a do 4 N ∆4 je 3�4 N ∆4�. Nas zanima kako odrediti brzinu te tacke kad je ona u tacki Y�4, 0�.
Oznacimo sa 0�� srednju brzinu tacke na putu YÙ, tada je:
0�� � 3�4 N ∆4� Q 3�4�∆4
Prirodna definicja brzine tacke u momentu Y je granicna vrijdnost kada Ù tezi prema Y, a to ce se
dogoditi kada ∆4 F 0. Pa je:
0�4� � lim∆îF¼ 3�4 N ∆4� Q 3�4�∆4 � 3á�4�
tj. prvi izvod funkcije 3�4� po argumentu 4.
Neka su funkcije . i H diferencijabilne na skupu �$, %�. Tada vrijedi:
�+� ��. y H� � �. y �H
�++� ��.H� � ��.�H N .��H�
�+++� � u.Hx � ��.�H Q .��H�H] ; H U 0
Derivacija 1-toga reda funkcije . u tacki ¼ � ¦� ¼� � 5½�pLB� je:
.�p�� ¼� � limàF¼ .�pLB�� ¼ N J� Q .�pLB�� ¼�J � �.�pLB�� ¼��ì
gdje je 1 � X. I po definiciji je .�¼�� ¼� " .� ¼�.
Matematika I 2011
Said Avdic 24
Tablica izvoda:
Funkcija .� �
Derivacija .ì� � Vrijedi za 1. � (2134. 0 � M 2. 1 � M
3.
ï
h ïLB
h � �� � ð, � � 2v Q 1; U 0
h � �� � 1, � � 2v Q 1; � M
4. $a $a/1$ $ � Mc � �1�; � M 5. logÏ 1 /1$ $ � Mc � �1�; � Mc 6. (23 Q3+1 � M 7. 3+1 � (23 ªw2 Q (23 � M
8. 4H � (23 ªw2 Q (2
1(23] U w2 N vw; v � É
9. (4H � 14H Q13+1] U vw; v � É
10. $,((23 Q1√1 Q ] | | Æ 1
11. $,(3+1 1√1 Q ] | | Æ 1
12. $4(4H 11 N ] � M
13. $,((4H Q11 N ] � M
Neka su funkcije . i À diferncijabilne na skupu ò � �$, %� na kome je .� � � 0.
Ä� � � <.� �=ó�a�
/1Ä� � � À� �/1<.� �=
Äì� �Ä� � � Àá� �/1.� � N .á� �.� � À� �
Äá� � � Ä� � ÚÀá� �/1.� � N .á� �.� � À� �Û
Äá� � � <.� �=ó�a� ÚÀá� �/1.� � N .á� �.� � À� �Û
To bi bio logaritamski izvod funkcije ;-)
Matematika I 2011
Said Avdic 25
(Fermat) Neka je funkcija . definisana na 5½ � �$, %� i ima lokalni extremum .�(� utacki ( � �$, %�.
Tada, ako funkcija ima derivaciju u tacki ( onda je .á�(� � 0.
Pretpostavimo da je .�(� � maxa�õ�ö� .� �
tj. da funkcija . ima lokalni maximum u tacki (. Tada za J � 0
.�( N J� Q .�(�J Æ 0
pa slijedi da je .Ôá�(� � limMèæàF¼ .�( N J� Q .�(�J S 0
S druge strane za J Æ 0 tj. .�( N J� Q .�(�J � 0
slijedi da je .çá�(� � limMåæàF¼ .�( N J� Q .�(�J Ç 0
A buducu da po pretpostavci postoji izvod funkcije . u tacki ( slijedi da je .á�(� � 0.
Za slucaj lokalnog minimuma dokazuje se analogno.
Tacku $ � 5½ zovemo stacionarnom tackom funkcije ., ako je .á�(� � 0.
(Rolle) Neka je funkcija . definirana na 5½ � <$, %= i neka ispunjava sljedece uslove:
�+�. � ß<Ï,÷= �++� postoji izbod .á� � u svakoj tacki � <$, %= �+++� .�$� � .�%�
Tada funkcija . ima stacionarnu tacku koja pripada �$, %�.
Ako je funkcija .� � � (2134. na <$, %= onda je .� � � .�$�, pa je .á� � � 0 za svako � �$, %�.
Dakle sve tacke su stacionarne. Pa cemo pretpostaviti da funkcija nije konstantna, tj. da postoji � �$, %� tako da je .� � � .�$� � .�%�. Prema Weierstrassovom teoremu neprekidna funkcija na
segmentu <$, %= doseze svoju najvecu vrijednost. Dakle postoji tacka ( � <$, %= tako da je .�(� � 9$ .� � , a prema Fermatovom teoremu ta je tacka stacionarna. Slicno se dokazuje
egzistencija stacionarne tacke ako je .� � Æ .�$� � .�%�.
(Lagrange) Ako je funkcija definirana na 5½ � <$, %= i ispunjava sljedece uslove �+�. � ß<Ï,÷= �++� postoji izbod .á� � u svakoj tacki � <$, %=
Tada postoji ( � �$, %�, tako da vrijedi:
.�%� Q .�$�% Q $ � .á�(�
Matematika I 2011
Said Avdic 26
Funkcija À� � � .� � N ¢ , za svaku vrijednost realnog parametra ¢, je neprekidna na <$, %= i ima
derivaciju u svakoj tacki intervala �$, %�. Osim toga mozemo odrediti parametar ¢ tako da vrijedi:
À�$� � À�%�
odavde slijedi da je ¢ � Q .�%� Q .�$�% Q $
vazi i obratno, tj. ako je: ¢ � Q .�%� Q .�$�% Q $
onda je: À�$� � À�%�
pa funkcija zadovoljava sve uslove Rolleovog teorema. Prema tome, postoji stacionarna tacka ( � �$, %� funkcije À� �. Buduci da je Àá�ö� � .á� � N ¢ � 0, to je .á� � � Q¢, odnosno:
.�%� Q .�$�% Q $ � .á�(�
(Cauchy) Ako je ., H � ß<Ï,÷= i ., H � 5B, pri cemu . nema stacionarnih tacaka na �$, %� onda postoji
tacka ( � �$, %� tako da vrijedi:
H�%� Q H�$�.�%� Q .�$� � Há�(�.á�(�
Razmotrimo funkciju : À� � � ¢.� � N H� �
za koju ocito vrijedi À � ß<Ï,÷= i À � 5B. Osim toga, moze se izabrati realni parametar ¢ tako da je À�$� � À�%�. Pa je: ¢ � Q .�%� Q .�$�% Q $
Sada funkcija À � ¢. N H ispunjava sve uslova Rolleovog teorema, pa À ima stacionarnu tacku u �$, %�, tj. postoji ( � �$, %� tako da je Àá�(� � 0. Sa druge strane je:
Àá�(� � Há�(� Q H�%� Q H�$�.�%� Q .�$� .á�(�
Odakle slijedi:
H�%� Q H�$�.�%� Q .�$� � Há�(�.á�(�
pa je teorem dokazan.
(Prvo L'Hospitalovo pravilo) Neka funkcije . i H zadovoljavaju uslove Cauchyevog teorema na 5½ � 5ë � <$, %= i neka je ¼ � �$, %�. Ako je .� ¼� � H� ¼� � 0 i postoji limaFaä ½á�a�ëá�a�, konacan ili
beskonacan. Tada postoji i limaFaä.� �H� � � limaFaä
.ì� �Hì� �
Matematika I 2011
Said Avdic 27
(Drugo L'Hospitalovo pravilo) Neka funkcije . i H diferencijabilne u intervalu �$, %�, na kome je Há U 0 i neka je: limaFÏc¼ .� � � limaFÏc¼ H� � � ∞
Tada, ako postoji limaFÏc¼ .ì� �Hì� �
onda postoji i: limaFÏc¼ .� �H� � � limaFÏc¼ .ì� �Hì� �
Neodredjeni oblici su:
00 ; ∞∞ ; ∞ Q ∞ ; ∞¼ ; 1Ø ; 0¼ ; 0 · ∞
Neka je dat polinom �� � 1- tog stepena:
�� � � $¼ N $B N $] ] N � N $p p
Maclaurinova formula za polinom (specijalan slucaj Taylorove formule):
�� � � ��0� N �á�0�1! N �áá�0�2! ] N �ááá�0�3! ^ N � N ��p��0�1! p
Taylorova formula:
�� � � �� ¼� N �á� ¼�1! � Q ¼� N �áá� ¼�2! � Q ¼�]
N �ááá� ¼�3! � Q ¼� ^ N � N ��p�� ¼�1! � Q ¼�p
Ako proizvoljna funkcija ima sve derivacije na odredjenom segmentu <$, %=: .á� �, .áá� �, … , .�pLB�� �
te 1-ti izvod u samoj tacki ¼.
Tada se za funkciju moze formirati polinom:
�� � � .� ¼� N �.á� ¼�1! � Q ¼� N .áá� ¼�2! � Q ¼�]
N .ááá� ¼�3! � Q ¼� ^ N � N .�p�� ¼�1! � Q ¼�p
Ukoliko funkcija nije 1-tog stepena onda se ne moze napisati �� � � .� �
Matematika I 2011
Said Avdic 28
Lema 1. Ako funkcija ,� � imas sve derivacije u tacki ¼ do 1-tog reda, koje zadovoljava uslov:
,� ¼� � ,ì� ¼� � ,ìì� ¼� � � � ,�p�� ¼� � 0
tada vrijedi:
,� � � 2�� Q ¼�p�, F ¼
Taylerova formula za funkciju sa ostatkom:
�� � � .� ¼� N �.á� ¼�1! � Q ¼� N .áá� ¼�2! � Q ¼�]
N .ááá� ¼�3! � Q ¼� ^ N � N .�p�� ¼�1! � Q ¼�p N 2�� Q ¼�p�
Maclaurinova formula za funkciju:
.� � Q .� ¼� � .á�aä�� Q ¼� N 2� Q ¼�
Ako je difercijablina funkcija .� � rastuca (opadajuca) na intervalu �$, %�, tada je .á� � Ç 0 �.á� � S 0� za � �$, %�.
Neka je funkcija .� � rastuca na intervalu �$, %�. Za bilo koje � �$, %� i N J � �$, %� (bilo da je J � 0 ili J Æ 0) vrijedi: .� N J� Q .� �J Ç 0
Ako je J � 0, onda je .� N J� Q .� � Ç 0, a ako je J Æ 0 onda je .� N J� Q .� � S 0, medjutim,
kako je i J Æ 0, onda je: .� N J� Q .� �J
nenegativano. Ako predjemo na limes:
limàF¼ .� N J� Q .� �J Ç 0
pa je .á� � Ç 0.
Simetricn ose dokazuje i drugi dio, mada mozemo uzeti funkciju – .� � i ona ce opadati gdjegod
funkcija .� � raste.
Prvo pravilo. Pretpostavimo da je Ò�$� okolina tacke $ i . � ßõ�Ï� . Ako je . diferencijabilna na
skupu Ò�$� � �$� tada je u tacki $ lokalni extremum funkcije .� � ako funkcija .ì� � mijenja znak u
tacki $. Pri tome:
�+� ako je .á� � Æ 0, � Ò � �Q∞, $� i .á� � � 0, � Ò � �$, ∞� , tada je tacka lokalni minimum
�++� ako je .á� � Æ 0, � Ò � �Q∞, $� i .á� � Æ 0, � Ò � �$, ∞� , tada je tacka lokalni maximum
Drugo pravilo. Neka je .áá� � definirana u stacionarnoj tacki ( funkcije .� �. Tada, ako je
.áá� � � 0 �.áá� � Æ 0 �, funkcija .� � u stacionarnoj tacki ( ima lokalni minimum (maximum).
Matematika I 2011
Said Avdic 29
Za funkciju .: 5½ F M kazemo da je konveksna na �$, %� � 5, ak oza proizvoljne , > � �$, %� i h, � � Mc, h N � � 1 vrijedi : .�h N �>� S h.� � N �.�>�
Funkcije je konkavna ako je: .�h N �>� Ç h.� � N �.�>�
Neka je funkcija . � 5�Ï,÷��B� . Da bi . bila konveksna na �$, %� potrebno i dovoljno je da funkcija .ì raste na tom intervalu.
Neka funkcija .: 5½ F M ima drugi izvod u svakoj tacku �$, %� � 5. Da bi bila konveksna (konkavna)
na tom intervalu potrebno je i dovoljno da bude .áá Ç 0 �.ìì S 0� za svako � �$, %�.
Neka je funkcija .� � definirana u nekoj okolini Ò� ¼� tacke ¼ i diferencijabilna na Ò� ¼� � � ¼�.
Tacka �� ¼, .� ¼�� naziva se prevojna tacka krive ½, ako funkcija .� � na skupovima �Q∞, ¼� �Ò� ¼� i Ò� ¼� � � ¼, N∞� ima razlicit tip konveksnosti.
Neka je . � 5õ�aä��B� i ima konacnu derivaciju u svima tackama okoline Ò� ¼� tacke ¼, osim mozda u
samoj tacki ¼. Ako drugi izvod mijenja znak pri prolasku kroz tu tacku tada je ) , .� ¼�* prevojna
tacke krive > � .� �.
Matematika I 2011
Said Avdic 30
<3 INTEGRALI <3
Za neku funkciju Ä� � kazemo da je na nekom razmaku ò primitivna funkcija funkcije .� � ili integral
od .� �, ako je u svim tackama toga razmaka .� � derivacija funkcije � �, odnosno .� �� je
diferencijal funkcije Ä� �, tj. za svako � ò, vrijedi Äá� � � .� � ili �Ä� � � .� �� .
Ako je funkcija � � primitivna funkcija funkcije .� � onda je i funkcija � � N takodje primitivna
funkcija funkcije .� � , gdje je proizvoljna konstanta.
<Ä� � N =á � Äá� � � .� �
ù .� �� � Ä� � N
Dakle ako odredimo jednu primitivnu funkciju (ako ona postoji) onda cemo znati sve ostale, kojih ima
beskonacno mnogo.
Zbog toga sto je proizvoljna konstanta mozemo definisati zbir i proizvod:
�� � N � N �� � N � � �� � N � � N �
h�� � N � � �h� � N �
Neka je � � primitivna funkcija funkcije .� �. Tada vrijedi:
�+� �� uù .� �� x � .� �
Buduci da je Äá� � � .� � to je:
� uù .� �� x � �Ä� � � Äá� �� � .� ��
�++� ù �Ä� � � Ä� � N
ù �Ä� � � ù Äá� �� � ù .� �� � Ä� � N
�+++� ù<¢.� �=� � ¢ ù .� �� , ¢ � M
Direktna posljedica: h�� � N � � �h� � N �
�+0� ù<.� � N H� �=� � ù .� �� N ù H� ��
Direktna posljedica:
�� � N � N �� � N � � �� � N � � N �
Matematika I 2011
Said Avdic 31
Neka je funkcija À�4�, 4 � ò, primitivna funkcija funkcije .�4� i neka je 4 � ¤� � diferencijabilna u
svim tackama � Ä, gdje su ò + Ä razmaci u M. Tada postoji primitivna funkcija funkcije .)¤� �*¤á� � i pri tome vrijedi:
ù .)¤� �*¤á� �� � À )¤� �* N
Derivacija lijeve i desne strane je ista funkcija. Zaista, derivacija lijeve strane je:
�� uù .)¤� �*¤á� �� x � .)¤� �*¤á� �
Sa druge strane je )À)¤� �* N *á � Àúá )¤� �*¤á� � � .)¤� �*¤á� �, sto smo i tvrdili.
Pretpostavimo da su funkcije D� � i 0� � diferencijabilne na istome razmaku ò � M, te da postoji
primitvna funkcija funkcije D� �0á� �.
Iz elementarne funkcije )D� �0� �*á � Dá� �0� � N D� �0á� � direktno slijed egzistencija
primitivne funkcije û D0ì� i formula:
ù D� � 0á� �� � D� �0� � Q ù Dá� �0� ��
odnosno:
ù D� � �0� � � D� �0� � Q ù �D� �0� �
ili jos jednostavnije:
ù D�0 � D0 Q ù 0�D
Pomocu ove formule, mi zapravo ne zavrsavamo integraciju funkcije D� �0á� � vec samo
prebacujemo na integraciju funkcije Dá� �0� � pa se zato ova formula i naziva formula za parcijalnu
integraciju funkcije.
Eulerove smjene sluze za svodjenje iracionalnih integracija an racionalne:
�+� g$ ] N % N ( � 4 N √$, $ � 0
�++� g$ ] N % N ( � 4� Q h� h je realan korijen polinoma $ ] N % N (
�+++� g$ ] N % N ( � 4 N √(, ( � 0
Podjela segmenta <$, %=, u oznaci � ili �|<$, %=, je svaki konacan skup iz <$, %= koji sadrzi skup �$, %�.Tacke skupa � su podione tacke segmenta <$, %=.
Ako skup � sadrzi �1 Q 1� tacak onda pisemo:
� � �$ � ¼ Æ B Æ ] Æ � Æ p � %�
Matematika I 2011
Said Avdic 32
Ako su sve podione tacke skupa �] ujedno i podione tacke skupa �B ��] à �B� onda kazemo da �B
finija ili sitnija podjela segmenta.
Dijametar podjele je:
���� � maxBüzüp� z Q zLB� � maxBüzüp ∆ z
Neka je .: <$, %= F M i ��, � podjela sa odabranim tackama segmenta <$, %=. Sumu:
£�.; �, Ξ� � o .�þz�� z Q zLB� ��
�qB o .�þz�Δ z�
�qB
gdje je:
� � �$ � ¼ Æ B Æ ] Æ � Æ p � %� ; Ξ � �þB, þ], … , þp�
nazivamo integralnom sumom funkcije . za datu podjelu ��, �.
Za funkciju .: <$, %= F M kazemo da je Riemann integrabilna na segmentu <$, %= ako postoji realan
broj � takav da: ��Ð � 0��OÑ � 0��|£�.; �, Ξ� Q L| Æ Ð�
za svaku podjelu � � �$ � ¼ Æ B Æ ] Æ � Æ p � %� i svaki skup odabranih tacaka Ξ � �þB, þ], … , þp� za koje je ���� Æ Ñ. Broj � se naziva Riemannov integral funkcije . na segmentu <$, %= i oznacava se ù .� �� ÷Ï
a cita se: odredjeni integral funkcije . u granicama od $ do %.
Pretpostavimo da je . definirana na <$, %= i da je ogranicena a da je � � �$ � ¼ Æ B Æ ] Æ � Æ p � %� podjela toga segmenta. Uvedimo oznake:
9z � infa�<a¡å¬,a¡= .� �, 9 � infa�<Ï,÷= .� � , Yz � supa�<a¡å¬,a¡= .� �, Yz � supa�<Ï,÷= .� �
Donja i gornja Darbouxovam suma je:
3� � 3�., �� � o 9z∆ z , pzqB �� � ��., �� � o Yz∆ z p
zqB
i vazi da je:
3� � 3�., �� S £�.; �, Ξ� S ��., �� � ��
Lema 1. Za bilo koju podjelu � segmenta <$, %=, vrijedi:
9�% Q $� S 3� S �� S Y�% Q $�
gdje smo 9 i Y definisali par redova prije xD
Matematika I 2011
Said Avdic 33
Iz ociglednih nejednakosti:
9 S 9z S Yz S Y
mnozenjem pozitivnim brojem ∆ z � z Q zLB �+ � 1,2, … , 1� i sumiranjem po + � 1,2, … , 1
dobijamo:
o 9� z Q zLB� S o 9z� z Q zLB� S o Yz� z Q zLB� S o Y� z Q zLB�p
zqB
p
zqB
p
zqB
p
zqB
odnosno:
9�% Q $� S 3� S �� S Y�% Q $�
Lema 2. Ako je �ì finija podjela od �, tj. ako je � à �ì, tada vrijedi:
3� S 3�ì S ��ì S ��
Pretostavimo da je podjela �ì dobijena iz podjela �ì dodavanjem samo jedne podione tacke (sto je
dovoljan uslov da bude finija podjela) podjeli �. Neka je:
� � �$ � ¼ Æ B Æ ] Æ � Æ p � %� i �á � � � �(�, ( � � z, zLB�
sad imamo:
�� � o Ym∆ m � o Ym∆ m N Yz�mz
p
mqB z , zLB�
��á � o Ym∆ m N Yzá� z Q (� N Yzá�( Q zLB�mz
gdje je:
Yzá � supa��ö,a¡=�.� �� ; Yzá � sup
a��a¡å¬,ö=�.� ��
Supremum na podskupu je anji od supremuma na citavom skupu pa imamo da je:
Yzá S Yz S Yzá pa slijedi:
Yzá� z Q (� N Yzá�( Q zLB� S Yz� z Q (� N Yz�( Q zLB� � Yz� z , zLB�
odakle je ocito da je ��ì S ��.
Na slican nacin se doakzuje i 3� S 3�ì.
Neka su � i �ì dvije proizvoljne podjele segmenta <$, %=. Tada je 3� S ��ì
Neka je �áá � �á � �. Jasno je da je podjela �áá finija od obje date podjele, tj. �, �ì à �ìì. Na osnovu leme 2. imat cemo:
3� S 3�ìì S ��ìì S ��ì sto je i trebalo dokazati.
Matematika I 2011
Said Avdic 34
Donnji Darbuoxov integral funkcije . na segmentu <$, %= je broj:
3 � sup�|<Ï,÷=&3�'
dok je gornji:
� � inf�|<Ï,÷=&��'
Neka je . ogranicena funkcija na segmentu <$, %= ako i samo za svako Ð � 0, postoji Ñ � 0 takav da
za svaku podjelu � segmenta <$, %= dijametra ���� Æ Ñ, vrijedi �� Q 3� Æ Ð.
Funkcija . je integrabilna na <$, %= ako i samo ako za svako Ð � 0 postoji podjela segmenta <$, %=, tako da vrijedi �� Q 3� Æ Ð.
Funkcija . je integrabilna ako i samo ako je � � 3, a u slucaju integrabilnosti na <$, %=,
� � 3 � ù .� �� ÷Ï
Neka je . integrabilna na segmentu <$, %=. Tada je po definicji:
ù .� �� ÷Ï � Q ù .� �� Ï
÷
ù .� �� ÏÏ � 0
Sto znaci da vrijednost integrala mijenja predznak ako zamijenimo granice, a vrijednsot integrala je 0
ako su granice jednake.
Ako je $ Æ ( Æ % onda vrijedi:
ù .� �� ÷Ï � ù .� �� ö
Ï N ù .� �� ÷ö
Jos neke osobine odredjenih integrala:
ù �.� � y H� ��� ÷Ï � ù .� �� ÷
Ï y ù H� �� ÷Ï
ù )¢.� �*� ÷Ï � ¢ ù .� �� ÷
Ï
Ako je .� � S H� � onda, za svako � <$, %= vrijedi:
ù .� �� ÷Ï S ù H� �� ÷
Ï
Matematika I 2011
Said Avdic 35
Ako je . integrabilna funkcija na segmentu <$, %=, tada su integrabilne i funkcije .c i |.| i vrijedi:
�ù .� �� ÷
Ï� S ù |.� �|�
÷
Ï
Ako je funkcija neprekidna na segmetnu <$, %= tj. . � ß<Ï,÷= onda je ona i integrabilna na tom
segmentu . � �<Ï,÷=.
Svaka montona funkcija na <$, %= je integrabilna na tom istom segmentu.
Neka je funkcija . integrabilna na intervalu <$, %=. Tada je funkcija
Ä� � � ù .�4��4a
Ï
neprekidna na <$, %=.
Ovako definisana funkcija � � ima bolja svojstva od podintegralne funkcije . i ona je neprekidna na
cijelom segmentu <$, %=.
Ako je . neprekidna funkcija na <$, %=, tada je:
Ä� � � ù .�4��4a
Ï
Diferencijabilna funkcija i za svako � <$, %= vrijedi Äá� � � .� �.
Newton-Leinizova formula.
Ako je:
Ä� � � ù .�4��4a
Ï
Primitivna funkicija funkcije .� � i ako je funkcija À� � takodje primitvna funkcija funkcije .� � onda
je À� � Q Ä� � � i znamo da je:
À� � � ù .� ��
pa imamo:
ù .� �� � ù .�4��4a
ÏN
odnosno:
À� � Q ù .�4��4a
�
Ako u posljednjoj relaciji stavimo � $ i � % dobit cemo sljedece relacije:
À�$� � , À�%� Q ù .�4��4 N ÷
Ï
prema tom slijedi:
ù .�4��4 � À�%� Q À�$�÷
Ï
odnosno:
ù .�4��4 � À� �÷
Ï|÷Ï
Matematika I 2011
Said Avdic 36
Neka je za > � .� �, � <$, %= prva derivacija .á� � neprekidna na <$, %= i Γ � �� , .� ��, �$,%. Tada se otvorena kriva moze rektificirati i duzinu �.;$,% krive Γ izrazavamo formulom:
��.; $, %� � ù g$ N �.á� ��]� ÷
Ï
Ravna figura 5 je mjerljiva ako i samo ako za svako Ð � 0 postoje opisan i upisan mnogougao figure 5, tak oda je razlika �Õ Q �z njihovih povrsina manje od Ð.
�Õ je skup povrsina opisanih mnogouglova figure 5. �z je skup povrsina upisanih mnogouglova figure 5.
Zapreminu rotacionog tijela Ê<Ï,÷=,�a definiramo kao zajednicku vrijednsot limesa Darbouxovih suma 0��� i ¦���, kada dijametar podjele tezi nuli. Tj.
¦�Ê� � limÔ���F¼ 0��� � limÔ���F¼ ¦��� � w ù .]� �� ÷Ï
To bi bilo to :-D
Izvinjavam se na eventualnim greskama �
Nadam se da ce vam scripta pomoci tokom spremanja ispita :-P
Sretno na ispitu ☺
