2013.05.15_poliedros_matematica2.ppt

8/17/2019 2013.05.15_poliedros_matematica2.ppt

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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros

1.CONE!ÕES COMA MATEM"T#CA

CONE!ÕES COMA MATEM"T#CA ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros


Capítulo

23Poliedros

CONE!ÕES COMA MATEM"T#CA


2/114




Super$í%ie poli&dri%a $e%'ada

É uma superfície poliédrica fechada.

N(o é uma superfície poliédrica

fechada.

23.1

Uma super$í%ie poli&dri%a $e%'ada é composta de um

número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais

planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies

coincida com apenas um lado de alguma das outras

superfícies.


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Poliedro

a) *) %)

23.2

É chamado de poliedro o sólido geométrico formado

pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com

todos os pontos do espaço delimitados por ela.

E+e,plos


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Ele,e-tos de u, poliedro

23.3

face

aresta

értice


5/114




No,e-%latura de u, poliedro

Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu

número de faces.

!"rias# !face#

23.

Poli edro


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No,e-%latura de u, poliedroE+e,plos

a) 'e+aedro

/ $a%es

$ értices

%& arestas

*) tetrade%aedro

1 $a%es

%' értices

&$ arestas

%) dode%aedro12 $a%es& értices

arestas

23.


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1.CONE!ÕES COMA MATEM"T#CACONE!ÕES COMA MATEM"T#CA ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros

No,es de poliedros estudados%o, ,aior $re0u-%ia

23.

N,erode $a%es

* + '

No,e dopoliedro

tetraedro pentaedro he-aedro heptaedro

N,erode $a%es

No,e dopoliedro

$ %& &

octaedro dodecaedro icosaedro


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e cada plano que contém uma face de um poliedro

posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço,

então o poliedro é %o-e+o/ caso contr"rio, é -(o

%o-e+o (ou %4-%ao).

Poliedro %o-e+o e poliedro -(o %o-e+o

O*sera5(o6

Um plano α diide o espaço em dois se,iespa5os de mesma

origem α.

23.


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Poliedros %o-e+os Poliedros -(o %o-e+os

Poliedro %o-e+o e poliedro -(o %o-e+oE+e,plos

23.


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7ela5(o de Euler

V 0 F 1 & 2 A

número deértices número defaces número dearestas

23./


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Poliedro V F A V + F V + F 8 2

7ela5(o de Euler34sere que a relação de 5uler é "lida para os

poliedros a4ai-o.

23./

$ ' %& %* %&

' ' % %& %

' + 6 %% 6


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7ela5(o de Euler7odo poliedro cone-o satisfa8 a relação de 5uler, mas nem

sempre um poliedro que satisfa8 essa relação é cone-o.

V 2 &*

F 2 %*

A 2 '

&* 0 %* 1 & 2 '

-(o cone-o

23./

34sere9


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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros 1.CONE!ÕES COMA MATEM"T#CA


E+er%í%io resolido

71. 34ter o número de arestas de um poliedro cone-o que

tem ' faces e $ értices.

7esolu5(o

:omo a relação de 5uler é "lida para todos os poliedros

cone-os, temos9V 0 F 1 & 2 A ⇒ A 2 $ 0 ' 1 & ⇒ A 2 %&

;ortanto, esse poliedro cone-o tem %& arestas.

23.9


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E+er%í%io resolido

72. úmero de faces do poliedro9 * 0 + 2 6.

?s * faces triangulares t@m %& lados (* ⋅ ) e as + facesquadradas t@m & lados (+ ⋅ *). 5ntão, o número de arestas é

dado por9 (%& 0 &) 9 & 2 %', pois a ligação de duas faces

consecutias se d" sempre por uma única aresta. ?ssim, o

poliedro tem %' arestas e 6 faces. Aogo9

V 0 6 1 & 2 %' ⇒ V 2 6

;ortanto, esse poliedro tem 6 értices.

23.:


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E+er%í%io resolido

73. Um poliedro euleriano (que atende B relação de 5uler) de

értices tem + értices nos quais concorrem * arestas e& értices nos quais concorrem + arestas.


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E+er%í%io resolido

73.

7esolu5(o:omo cada aresta foi contada duas e8es (uma e8 em cada

értice), temos9

A 2 2 %+

;ela relação de 5uler, o4temos9

V 0 F 2 A 0 & ⇒ 0 F 2 %+ 0 & ⇒ F 2 %

Aogo, o poliedro tem %+ arestas e % faces.

23.;

& 0 %&


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Poliedros de Plat(oUm poliedro é chamado de poliedro de Plat(o se,

e somente se9é cone-o e, portanto, satisfa8 a relação de 5uler/

todas as faces t@m o mesmo número inteiro n de arestas/

em todos os értices concorre o mesmo número inteiro m

de arestas.

23.1<


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Poliedros de Plat(oE+e,plo

a) 5sse poliedro é de ;latão, pois9todas as faces t@m * arestas/

em todos os értices concorrem

arestas/

ele é cone-o, portanto a relaçãode 5uler é "lida ($ 0 ' 1 & 2 %&).

23.1<


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*) 5sse poliedro não é de ;latão, pois,em4ora seCa cone-o e em todos os

értices concorra o mesmo número

de arestas, nem todas as faces t@m

o mesmo número de arestas. D"faces quadrangulares, pentagonais

e uma triangular.

23.1<

Poliedros de Plat(oE+e,plo


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Classe Cara%terísti%a E+e,plo

As %i-%o %lasses de poliedros de Plat(o

23.11

7etraedro

* faces triangulares, e em

cada értice concorrem

arestas

De-aedro

3ctaedro

' faces quadrangulares,

e em cada értice

concorrem arestas

$ faces triangulares, e em


* arestas


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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros 1.CONE!ÕES COMA MATEM"T#CACONE!ÕES COMA MATEM"T#CA ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros

Classe Cara%terísti%a E+e,plo

As %i-%o %lasses de poliedros de Plat(o

23.11

Eodecaedro

%& faces pentagonais, e em


arestas

Fcosaedro

& faces triangulares, e em

cada értice concorrem +

arestas


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Poliedros re=ulares3s poliedros re=ulares t@m todas as faces poligonais

regulares e congruentes entre si.O*sera5>es6

Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que a

compGe é regular/

Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma

medida e todos os Hngulos internos congruentes.

23.12

pent"gonoregular


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Poliedros re=ularesIeCa a seguir os cinco poliedros regulares.

23.12

tetraedro

regular

he-aedro

regular (cu4o)

octaedro

regular

dodecaedroregular

icosaedroregular


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Pla-i$i%a5(o da super$í%ie de u, poliedro? superfície de um poliedro, que é formada por superfícies

poligonais planas, pode ser proCetada so4re um plano, de talmodo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos

um lado em comum com outra face.

34temos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada

de ,olde do poliedro, pla-i$i%a5(o da super$í%ie do

poliedro ou, simplesmente, pla-i$i%a5(o do poliedro.

?s faces de um poliedro podem ser arranCadas de "rios

modos, desde que cada face esteCa ligada a outra por pelomenos um de seus lados.

23.13


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Pla-i$i%a5(o da super$í%ie de u, poliedroE+e,plo

23.13


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E+er%í%io resolido

7. ;ara o caso do cu4o, h" %% diferentes planificaçGes.

Euas delas estão representadas a4ai-o/ desenhar as

outras 6 planificaçGes.

23.1


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E+er%í%io resolido

7.

7esolu5(o

? resolução fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada.

5stas são as outras possi4ilidades9

23.1


28/114


E+er%í%io resolido

7. Eesenhar duas planificaçGes diferentes da superfície do

tetraedro regular.

7esolu5(o

23.1

ou


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30/114


E+er%í%io resolido

79.


31/114


:hamaKse pris,a o poliedro formado por todos os

segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas

e-tremidades é um ponto da região P e a outrae-tremidade é um ponto no plano β.

Pris,asIamos considerar dois

planos paralelos, α e β, umaregião poligonal P contida

em α e uma reta r que

intercepta os planos α e β.

23.1:


32/114


Pris,asE+e,plos

a) *)

%)

23.1:


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Ele,e-tos de u, pris,a

23.1;

*ases9 são as regiGes poligonaisP e P', congruentes e situadas

em planos paralelos (α e β,

respectiamente)/

$a%es laterais9 as regiGes poligonais AA’BB’, BB’CC’ etc./

arestas das *ases9 os segmentos AB, BC, ..., A’B’, B’C’ etc./

arestas laterais9 os segmentos AA’, BB’, CC’ etc./

altura do pris,a9 a distHncia h entre os planos das4ases (α e β).

:onsiderando o prisma ao lado, temos9


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Classi$i%a5(o dos pris,as1o %rit&rio

:onsideramos a inclinação da reta r em relação aos planosα e β que cont@m as 4ases9

23.2<

faces lateraissão retHngulos

prisma reto

faces lateraissão paralelogramos

prisma o4líquo

se a reta r -(o é

perpendicular aos planos

α e β pris,a o*lí0uo

se a reta r é

perpendicular aos planos

α e β pris,a reto


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2o %rit&rio

:onsideramos o polígono que determina as 4ases9

23.2<

Classi$i%a5(o dos pris,as

se esse polígono é um

triHngulo

pris,a tria-=ular se é um pent"gonopris,a pe-ta=o-al,

e assim por diante.

se é um quadril"teropris,a 0uadra-=ular


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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros 1.

CONE!ÕES COMA MATEM"T#CACONE!ÕES COMA MATEM"T#CA


Um prisma é re=ular se, e somente se, é reto e suas

4ases são superfícies poligonais regulares.

Pris,a re=ular

23.21

5ste prisma -(o é regular,

pois as suas 4ases não sãopolígonos regulares.

5ste prisma é regular,

pois ele é reto e as suas4ases são quadradas.

E+e,plos


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CONE!ÕES COMA MATEM"T#CACONE!ÕES COMA MATEM"T#CA


Paralelepípedo5ntre os prismas quadrangulares, aqueles que t@m 4ases em

forma de paralelogramos são chamados de paralelepípedos.5sses prismas podem ser retos ou o4líquos.

23.22

E+e,plos

;aralelepípedoo4líquo

;aralelepípedoretoKretHngulo ou4loco retangular

cu4o


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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros 1.CONE!ÕES COMA MATEM"T#CACONE!ÕES COMA MATEM"T#CAANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros

?ia=o-al de u, paralelepípedo é todo segmento

cuCas e-tremidades são értices desse paralelepípedo

que não pertencem a uma mesma face.

Medida da dia=o-al de u,paralelepípedo reto@ret-=ulo

23.23

d 2


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ANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros 1.CONE!ÕES COMA MATEM"T#CACONE!ÕES COMA MATEM"T#CAANOTAÇÕES EM AULACapítulo 23 – Poliedros 23.23

d 2

Medida da dia=o-al de u,paralelepípedo reto@ret-=ulo

E í i l id


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a4emos que9 d 2

u4stituindo a, b e c , respectiamente, por , * e +, temos9

d 2 2 2

d 2

Aogo, a diagonal mede cm.

E+er%í%io resolido

7:. :alcule a medida da diagonal

do paralelepípedo ao lado.

7esolu5(o

23.2

E í i l id


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E+er%í%io resolido

7;. :alcule a medida da aresta de um cu4o cuCa diagonal

e-cede em cm a diagonal da 4ase.

7esolu5(o

endo d a medida da diagonal do cu4o e

f a medida da diagonal da 4ase, temos, pelos

dados do pro4lema9

d 2 f 0 ⇒ d 1 f 2

7am4ém temos9

23.2

E í i l id


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;ortanto9 2 cm

E+er%í%io resolido

7;.

7esolu5(o

;or se tratar de um cu4o, sa4emos que9 d 2

?ssim9 d 1 f 2

23.2


43/114


7eprese-ta5>es pla-as de pris,as34sere, a seguir, a planificação da superfície de um prisma.

;or meio dela, identificamos muitas características desse

prisma. IeCa9

tem faces, C" que a planificação de sua superfície apresenta regiGes poligonais/

23.2/


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7eprese-ta5>es pla-as de pris,as tem 4ases pentagonais, pois faces pentagonais não podem

ser faces laterais de um prisma, que deem sernecessariamente quadril"teros/

tem + faces laterais (ou faces retangulares), C" que as

pentagonais são 4ases/

tem % értices, uma e8 que cada 4ase contém metade dos

értices do prisma/

é um prisma reto, pois suas faces laterais são retangulares/

tem altura igual ao comprimento de uma aresta lateral, C"que é reto.

23.2/


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Atotal 2 Alateral 0 & ⋅ A4ase

"rea da super$í%ie de u, pris,a"rea da *ase ( A4ase)9 "rea da face que é 4ase/

"rea lateral ( Alateral)9 soma das "reas das faces laterais/"rea total ( Atotal)9 soma da "rea lateral com as "reas das

duas 4ases, ou seCa9

23.29

E+er%í%io resolido


46/114





E+er%í%io resolido

71


47/114





E+er%í%io resolido

711. :alcular a "rea total da superfície de um cu4o

de aresta a.

7esolu5(o

:omo o cu4o é um paralelepípedo

retoKretHngulo de arestas congruentes, temos9

Atotal 2 &(a a 0 a a 0 a a)

Atotal 2 'a&

23.2;

E+er%í%io resolido


48/114





E+er%í%io resolido

712. :alcular a "rea total da superfície do prisma he-agonal

regular a4ai-o.

23.3<

E+er%í%io resolido


49/114





E+er%í%io resolido

712.

7esolu5(o

? 4ase do prisma é uma região he-agonal regular de lado a.

a4emos que um he-"gono regular pode ser decomposto em

seis triHngulos equil"teros. ? "rea de um triHngulo equil"tero

de lado L é dada por9 A 2

23.3<

:omo imos, um prisma regular é um prisma reto e, portanto,

suas faces laterais são retangulares e congruentes, de

dimensGes a e h.

?ssim, a "rea lateral é dada por9 Alateral 2 ' ⋅a ⋅ h

E+er%í%io resolido


50/114





E+er%í%io resolido

;ortanto, a "rea da 4ase do prisma é dada por9

A4ase 2

Aogo, a "rea total da superfície desse prisma he-agonal é9

Atotal 2 Alateral 0 & ⋅ A4ase 2 'ah 0 & ⋅

⇒ Atotal 2 a(&h 0 a )

23.3<

?ssim, a "rea de um he-"gono regular de lado L é9

A 2

712.

7esolu5(o

E+er%í%io resolido


51/114





E+er%í%io resolido

713. Eeterminar a "rea total da superfície de um prisma

triangular reto, de altura %& cm, sa4endo que as

arestas da 4ase formam um triHngulo retHngulo de

catetos que medem ' cm e $ cm.

7esolu5(o3 prisma tem 4ase triangular. ?ssim9

A4ase 2 2 &*

23.31

E+er%í%io resolido


52/114





E+er%í%io resolido

? "rea lateral é dada pela soma das "reas das faces

retangulares que compGem a superfície lateral. :alculando a

medida da hipotenusa do triHngulo retHngulo da 4ase, temos9

x & 2 '& 0 $& ⇒ x 2 %

;ortanto9 Alateral 2 ' ⋅ %& 0 $ ⋅ %& 0 % ⋅ %& 2 &$$

Aogo, a "rea total é dada por9


Atotal 2 &$$ 0 & ⋅ &* 2 '

;ortanto, a "rea total da superfície do prisma é de ' cm&.

23.31

713.

7esolu5(o

E+er%í%io resolido


53/114





E+er%í%io resolido

71. Eeterminar a "rea total da superfície

do prisma o4líquo de 4ase quadrada

representado ao lado, sa4endo que

as faces laterais são congruentes.

7esolu5(o

3 prisma tem 4ase quadrada. ?ssim9

A4ase 2 %& ⇒ A4ase 2 %

;ara calcular a "rea de uma das faces laterais, amos o4ter

a altura h.

23.32

E+er%í%io resolido


54/114





?ssim9

Alateral

2 * ⋅ (% ⋅%+ ) 2 '

E+er%í%io resolido

sen 'M 2

"rea do paralelogramo

Aogo9


Atotal 2 ' 0 & ⋅ %

Atotal 2 & (% 0 )

;ortanto, a "rea total da superfície do prisma é & (% 0 )

cm&.23.32

71.

7esolu5(o

l d i


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ANOTAÇÕES EM AULA

Capítulo 23 – Poliedros1.CONE!ÕES COM

A MATEM"T#CACONE!ÕES COMA MATEM"T#CA

ANOTAÇÕES EM AULA

Capítulo 23 – Poliedros

Bolu,e de u, pris,a

3 olu,e de um prisma corresponde a um único

número real V positio o4tido pela comparação da

porção do espaço ocupado pelo prisma com a porção do

espaço ocupado por uma unidade de medida de olume.

? unidade de medida de olume que usualmente

consideramos é o olume de um cu4o unit"rio (aresta % u),

sendo u certa unidade de comprimento. 3 olume desse cu4o

unit"rio é % u

. e a aresta do cu4o unit"rio mede % m → V 2 % m

e a aresta do cu4o unit"rio mede % mm → V 2 % mm

23.33

l d i


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A MATEM"T#CA

CONE!ÕES COM

A MATEM"T#CA

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Bolu,e de u, pris,aE+e,plo

Iamos calcular quantas e8es o cu4o unit"rio de aresta % cm ca4e emum paralelepípedo retoKretHngulo de dimensGes * cm, & cm e cm.

23.3

B l d i


57/114

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A MATEM"T#CA

CONE!ÕES COM

A MATEM"T#CA

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Bolu,e de u, pris,aE+e,plo

?nalisando a figura, o4seramos que o paralelepípedo é formadopor * ⋅ & 2 $ cu4os unit"rios na 4ase e tem camadas iguais B

camada da 4ase.

Aogo, tem ⋅ $ 2 &* cu4os unit"rios no total.

;ortanto, o paralelepípedo é formado por * ⋅ & ⋅ 2 &* cu4os de% cm de olume. Ei8emos, então, que o olume dele é &* cm.

23.3

B l d l l í d


58/114

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A MATEM"T#CA

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A MATEM"T#CA

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V paralelepípedo 2 a ⋅ b ⋅

c

V cu4o 2 a

Bolu,e de u, paralelepípedoreto@ret-=ulo

23.3

S ( t l d i


59/114

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A MATEM"T#CA

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Se%5(o tra-sersal de u, pris,aUm plano intercepta um sólido atraés de uma superfície

chamada de se%5(o pla-a.


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A MATEM"T#CA

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Eois sólidos, S% e S&, apoiados num plano α e contidos

num mesmo semiespaço, terão o mesmo olume V

se todo plano β, paralelo a α, secciona os dois sólidos

de modo que as secçGes seCam regiGes planas de

mesma "rea ( A).

23.39

Pri-%ípio de Caalieri

P i í i d C li i


61/114

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A MATEM"T#CA

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E+e,plo

o4re uma mesa, formamos uma pilha com certa quantidade decartGes retangulares id@nticos. ? seguir, modificamos a forma da pilha

sem retirar nem pNr cartão algum. IeCa a ilustração de uma possíel

situação desse tipo.

23.39


P i í i d C li i


62/114

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A MATEM"T#CA

CONE!ÕES COM

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E+e,plo

34serando as pilhas, é possíel notar que9

a altura das duas pilhas é a mesma, pois t@m a mesma quantidade

de cartGes id@nticos/

os cartGes das duas pilhas ficam B mesma altura da mesa e t@m

a mesma "rea, pois são id@nticos/

a segunda pilha tem o mesmo olume da primeira, C" que é formada

pelos mesmos cartGes e, portanto, ocupa a mesma porção

do espaço.

23.39


Bol e de i a al e


63/114

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A MATEM"T#CA

CONE!ÕES COM

A MATEM"T#CA

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V prisma 2 "rea da 4ase - altura

Bolu,e de u, pris,a 0ual0uer

23.3:

E+er%í%io resolido


64/114

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A MATEM"T#CA

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71. EeseCaKse cimentar um quintal de formato quadrado,

com lados medindo $ m, com * cm de espessura de

massa de cimento.


65/114

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71/. :alcular o olume de ar contido em uma casa que tem

a forma do prisma a seguir.

23.<

E+er%í%io resolido


66/114

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Iamos decompor a figura da casa em dois prismas.

%.) ;risma retoKretHngulo

V % 2 A4ase ⋅ alturaV % 2 * ⋅ + ⋅

V % 2 '

23.<

71/.

7esolu5(o

E+er%í%io resolido


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&.) ;risma reto de 4ase triangular

V & 2 A4ase ⋅ altura

V & 2 ⋅ +

V & 2 %

Aogo, o olume total de ar contido na casa é dado por

V % 0 V &, ou seCa, m.

23.<

71/.

7esolu5(o

E+er%í%io resolido


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A MATEM"T#CA

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719. Um reseratório de "gua tem a forma do

prisma he-agonal regular da figura ao lado

e est" cheio. e forem consumidos .

litros, quanto 4ai-ar", em metro, o níel

da "gua desse reseratório=

7esolu5(o

Iamos representar por x , em metro, quanto 4ai-ar" o

níel da "gua no reseratório, se forem consumidos os litros

indicados. 3s . litros consumidos ocupam o olume deum prisma he-agonal regular de mesma 4ase do prisma da

figura e altura de x metro.

23.1

E+er%í%io resolido


69/114

ANOTAÇÕES EM AULA



CONE!ÕES COM

A MATEM"T#CA

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? 4ase do prisma é uma região he-agonal

regular de lado & m, cuCa "rea é dada por9

A4ase 2 ⇒ A4ase 2 ⇒ A4ase 2 '

:om esse dado, podemos calcular o olume da parte do prisma

correspondente aos . litros9

V = A4ase ⋅ x = ' ⋅ x

23.1

719.

7esolu5(o

E+er%í%io resolido


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:omo . litros 2 m, temos9

' ⋅ x 2 ⇒ x 2 ,+

;ortanto, o níel da "gua 4ai-ar" ,+ metro.

23.1

719.

7esolu5(o

Pir,ides


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:hamaKse pir,ide o poliedro formado por todos os

segmentos de reta cuCas e-tremidades são o ponto V

e um ponto da região S.

Pir,idesIamos considerar um plano α, uma região poligonal cone-a S

contida em α e um ponto V fora de α.

23.2

Ele,e-tos de u,a pir,ide


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Ele,e-tos de u,a pir,ide

23.3

:onsiderando a pirHmide desenhada

ao lado, temos9

*ase9 a região poligonal S;

&rti%e da pir,ide9 o ponto V;

$a%es laterais9 as superfícies

triangulares AVB, BVC, ..., NVA;

arestas da *ase9 os segmentos AB, BC, ... , NA;

arestas laterais9 os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;

altura da pir,ide9 a distHncia h entre o értice V e

o plano α.

Classi$i%a5(o das pir,ides


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Classi$i%a5(o das pir,ides:onsideramos o número de arestas da 4ase9

23.

se a 4ase tem + arestas

pir,ide

pe-ta=o-al ,

e assim por diante.

se a 4ase tem arestas

pir,ide tria-=ular

se a 4ase tem * arestaspir,ide

0uadra-=ular

7eprese-ta5>es pla-as de pir,ides


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7eprese-ta5>es pla-as de pir,ides?té aqui, representamos pirHmides em perspectia, como

a ilustrada a4ai-o.

23.

7eprese-ta5>es pla-as de pir,ides


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7eprese-ta5>es pla-as de pir,ides:omo os demais poliedros, uma pirHmide tam4ém pode ser

representada por meio de planificaçGes de sua superfície. 5m

um plano, é possíel Custapor as faces de uma pirHmide de

diferentes modos, desde que cada uma das faces tenha pelo

menos uma aresta em comum com outra. 34sere9

23.

ou

Pir,ide re=ular


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Uma pirHmide cuCa 4ase é uma superfície poligonal

regular e cuCa proCeção ortogonal P do értice so4re o

plano da 4ase coincide com o centro O do polígono de

4ase é chamada de pir,ide re=ular.

23./

Pir,ide re=ular


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Ele,e-tos das pir,ides re=ulares


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Ele,e-tos das pir,ides re=ulares

23.9

7ela5>es ,&tri%as e-tre os ele,e-tos


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23.:

7ela5>es ,&tri%as e-tre os ele,e-tosde u,a pir,ide re=ular

7ela5>es ,&tri%as e-tre os ele,e-tos


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A MATEM"T#CA

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23.:

7ela5>es ,&tri%as e-tre os ele,e-tosde u,a pir,ide re=ular

7ela5(o e-tre as ,edidas da aresta da


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ase Di=ura 7ela5(o

7ela5(o e-tre as ,edidas da aresta da*ase e as do apte,a da *ase deal=u,as pir,ides re=ulares

23.;

7riHnguloequil"tero

ou

7ela5(o e-tre as ,edidas da aresta da


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ase Di=ura 7ela5(o


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ase Di=ura 7ela5(o

7ela5(o e-tre as ,edidas da aresta da*ase e as do apte,a da *ase deal=u,as pir,ides re=ulares

De-"gonoregular

ou

23.;

E+er%í%io resolido


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71:. Um tetraedro regular tem arestas

medindo % cm. :alcular a medida

do apótema da pirHmide (g),

a medida do apótema da 4ase (m)

e a altura da pirHmide (h).

7esolu5(o

>o ODMA, temos9

:omo a 4ase é uma superfície triHngular equil"tera, em9

23.<

E+er%í%io resolido


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?gora, no ODMO, temos9

;ortanto, as medidas são9

cm, cm e cm

23.<

71:.

7esolu5(o

"rea da super$í%ie de u,a pir,ide


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Atotal 2 Alateral 0 A4ase

"rea da super$í%ie de u,a pir,ide"rea da *ase ( A4ase)9 "rea da superfície poligonal que forma

a 4ase/"rea lateral ( Alateral)9 soma das "reas das faces laterais

(superfícies triangulares)/

"rea total ( Atotal)9 soma da "rea lateral com a "rea da 4ase,

ou seCa9

23.1

"rea da super$í%ie de u,a pir,ide


87/114

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Atotal 2

p pO*sera5(o6

e a pirHmide for um tetraedro regular, sua "rea total, em

função da medida ℓ da aresta, ser" dada por9

23.1

E+er%í%io resolido


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71;. Eeterminar a "rea da superfície de

uma pirHmide regular he-agonal

sa4endo que a aresta da 4ase mede ℓ

e a aresta lateral mede a.

7esolu5(o

? 4ase da pirHmide é uma superfície he-agonal

regular de lado ℓ. ;ortanto, a "rea da 4ase é dada por9

A4ase 2

23.2

E+er%í%io resolido


89/114

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:omo a pirHmide é regular, as faces laterais são formadas por

triHngulos isósceles e congruentes, que nesse caso t@m 4ase ℓ

e altura g.

>o triHngulo retHngulo VMB, temos9

Eessa forma9

Alateral 2

23.2

71;.

7esolu5(o

E+er%í%io resolido


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;ortanto9

Atotal 2 Alateral 0 A4ase 2

Aogo, a "rea da superfície da pirHmide regular he-agonal é9

Atotal 2

23.2

71;.

7esolu5(o

2

Propriedades das pir,ides


91/114

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p p1a propriedade9 ? ra8ão entre a "rea S’

de uma secção transersal de uma

pirHmide feita a uma altura h’ em relação

ao értice e a "rea S da 4ase dessa

pirHmide de altura h é9

2a propriedade9 e duas pirHmides

t@m mesma altura e mesma "rea de

4ase, elas t@m o mesmo olume.

23.3

Bolu,e de u,a pir,ide de *ase


92/114

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ANOTAÇÕES EM AULA


V pirHmide triangular

2

ptria-=ular

23.

Bolu,e de u,a pir,ide 0ual0uer


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ANOTAÇÕES EM AULA


V pirHmide

2 "rea da 4ase - altura

p 0 0

23.

E+er%í%io resolido


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ANOTAÇÕES EM AULA


72


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ANOTAÇÕES EM AULA


72o triHngulo retHngulo BO , temos9

Aogo, o olume do octaedro é9

V octaedro 2 & 2 &

23./

E+er%í%io resolido


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721. :alcular o olume do tetraedro regular de aresta a.

7esolu5(o

? "rea da 4ase é a "rea de uma

superfície triangular equil"tera de

lado a. Aogo9 A4ase 2

? altura h é tal que9

?ssim9

V tetraedro 2 ⇒ V tetraedro 2 ⇒

⇒ V tetraedro 2

23.9

E+er%í%io resolido


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7esolu5(o

;rimeiro, amos calcular a medida g do apótema da pirHmide.

23.:

722. Eeterminar o olume de uma

pirHmide regular he-agonal cuCa

aresta da 4ase mede %& cm e a

aresta lateral mede & cm.

E+er%í%io resolido


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ANOTAÇÕES EM AULA


?gora, amos determinar a

medida m do apótema da 4ase.

:omo a 4ase é um he-"gono

regular, temos9

:"lculo da altura h da pirHmide9

23.:

722.

7esolu5(o

E+er%í%io resolido


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ANOTAÇÕES EM AULA


:"lculo da "rea da 4ase9

A4ase 2 A4ase 2

:"lculo do olume da pirHmide9

V pirHmide 2 V pirHmide 2 V pirHmide 2

;ortanto, o olume da pirHmide é cm.

23.:

722.

7esolu5(o

Tro-%o de pir,ide


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Iamos considerar uma pirHmide de értice V , altura ! e

4ase contida em um plano α.

23.;

Tro-%o de pir,ide


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eccionando essa pirHmide com um plano β, paralelo a α,

essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o

értice V , que é uma noa pirHmide de altura h e 4ase

contida no plano β, e o que contém a 4ase da pirHmide

maior, denominado tro-%o de pir,ide, de 4ases

paralelas.

23.;

Ele,e-tos de u, tro-%o de pir,ide


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:onsiderando o tronco de pirHmide da

figura ao lado, temos9

*ase ,aior9 superfície poligonal

ABCDF /

*ase ,e-or9 superfície poligonal

A’B’C’D’’F’ /$a%es laterais9 superfícies trape8oidais

AA’B’B, BB’C’C etc./

altura do tronco (h" )9 distHncia entre a

4ase maior e a 4ase menor (h" = ! # h).

23./<

Tro-%o de pir,ide re=ular


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>o tronco o4tido de uma pirHmide regular, o4seramos que9

as 4ases são superfícies poligonais regulares semelhantes/

as faces laterais são superfícies trape8oidais isósceles e

congruentes/

a altura de uma face lateral é o apte,a do tro-%o

(de medida $).

23./1

"rea da super$í%ie de u, tro-%o de


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"rea da *ase ,e-or F Ab)9 "rea

da superfície poligonal que forma

a 4ase menor ( A’B’C’D’’F’ ).

"rea da *ase ,aior F AB)9 "rea

da superfície poligonal que forma

a 4ase maior ( ABCDF ).

"rea lateral F Alateral)9 soma das "reas dos trapé8ios laterais

( A’ABB’ , B’BCC’ , C’CDD’ , D’D’ , ’FF’ e F’FAA’ ).

23./2

pir,ide

"rea da super$í%ie de u, tro-%o dei id


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Atotal 2 Alateral 0 Ab 0 AB

"rea total F Atotal)9 soma da "rea lateral com as "reas das

4ases menor e maior, ou seCa9

23./2

pir,ide

7aG(o de se,el'a-5a


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O*sera5(o6

5m geral, usaKse a letra % para representar a ra8ão de

semelhança entre dois segmentos.

2 ... 2

23./3

Bolu,e de u, tro-%o de pir,ide


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V tronco =

V tronco = V VABCD # V VA’B’C’D’’

O*sera5(o6

5ssa fórmula tam4ém é "lida para pirHmides o4líquas.

ou

23./

E+er%í%io resolido


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723. Um tronco de pirHmide reta tem 4ases quadradas de

lados * cm e % cm e altura de ' cm. :alcular as "reas

das 4ases e o olume do tronco.

7esolu5(o AB 2 %& 2 %

Aogo9 AB 2 % cm&

Ab 2 *& 2 %'

Aogo9 Ab 2 %' cm&

V tronco 2

⇒ V tronco 2 &(% 0 * 0 %') 2 %&

Aogo, o olume do tronco é %& cm.23./


109/114

H

E+er%í%io resolido


110/114

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ANOTAÇÕES EM AULA


72. Um tronco de pirHmide regular tem

a aresta lateral medindo dm

e 4ases quadradas cuCos lados

medem * dm e % dm. :alcular

a "rea de cada 4ase, a "rea lateral

e o olume do tronco.

7esolu5(o

:"lculo da "rea de cada 4ase9

Ab 2 *& 2 %'/ logo9 Ab 2 %' dm&

AB 2 %& 2 %/ logo9 AB 2 % dm&

23./9

E+er%í%io resolido


111/114

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ANOTAÇÕES EM AULA


72.

7esolu5(o

:"lculo da "rea lateral9

;ara calcular a "rea lateral, precisamos

da medida de M P M indicada na figura.

Iamos destacar a face lateral BBP C P C .;ela figura ao lado, temos9

? "rea de cada face lateral

(trapé8io BB’C’C ) é9

ABB’C’C =

23./9

72

E+er%í%io resolido


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ANOTAÇÕES EM AULA


? "rea lateral do tronco de pirHmide é9

Alateral 2 * ⋅ + ⇒ Alateral 2 %*/

logo9 Alateral 2 %* dm&

:"lculo do olume do tronco9

;ara calcular o olume, precisamos

determinar a altura do tronco de pirHmide.

34sere o trapé8io OP M P MO destacado9;ela figura, temos9

23./9

72.

7esolu5(o

h" 0 & 2 +& ⇒ h" 2 *&

E+er%í%io resolido

72


113/114

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;ortanto9

V tronco =

⇒ V tronco =

V tronco = &$

Aogo, o olume do tronco é &$ dm.

23./9

72.

7esolu5(o

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Coorde-a5(o editorial6 Quliane Jatsu4ara Rarroso

Edi5(o de te+to6 ?na ;aula ou8a >ani, ?driano Sosa Aopes, 5nrico Rriese :asentini, 5erton Qosé Auciano,


114/114

5 , p , , ,

Quliana FTeda, Jarilu Jaranho 7assetto, illian Saphael ila

Assist-%ia editorial6 ;edro ?lmeida do ?maral :orte8

Prepara5(o de te+to6 Senato da Socha :arlos

Coorde-a5(o de produ5(o6 Jaria Qosé 7an4ellini#%o-o=ra$ia6 Eaniela :hahin Rarauna, 5riTa Vreitas, Vernanda iWiec, Jonica de ou8a e Xan :omunicação

#lustra5(o dos =rH$i%os6 ?dilson ecco

E?#TO7A MO?E7NA

?iretoria de Te%-olo=ia Edu%a%io-al

Editora e+e%utia6 YellZ JaZumi Fshida

Coorde-adora editorial6 Fonete Aucirio

Editores6 ?ndre Qun, Velipe Qordani e >at"lia :oltri Vernandes

Assiste-tes editoriais6 :iça Qapiassu Seis e Senata Jichelin

Editor de arte6 Va4io Ientura

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Assiste-tes de arte6 ?na Jaria 7otaro, :amila :astro e Ialdeí ;ra8eres

7eisores6 ?ntonio :arlos Jarques, Eiego Se8ende e Samiro Jorais 7orres

[ Seprodução proi4ida. ?rt. %$* do :ódigo ;enal e Aei 6.'% de %6 de feereiro de %66$.

7odos os direitos reserados.E?#TO7A MO?E7NASua ;adre ?delino, +$ 1 Relen8inhoão ;aulo 1 ; 1 Rrasil 1 :5;9 K6*Iendas e atendimento9 7el. (\\%%) &'&K++%Va- (\\%%) &6K%+%

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