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第1問〔1〕
AB =+ +
◊- +
11 3 6
11 3 6
=
+ + + -1
1 6 31
1 6 3( )•
( )
=+ -
=+ -
11 6 3
11 6 32 2 2( ) ( ) ( )
=
+ -=
+ -1
1 6 31
1 6 32 2 2( ) ( ) ( ) ……ア
=
+ + -=
+1
1 2 6 6 31
2 6 4( )
=
+ + -=
+1
1 2 6 6 31
2 6 4( )
=
◊ -+ -
1 6 2
2 6 2 6 2
( )
( )( )
=-
-=
-6 22 6 4
6 24( )
=-
-=
-6 22 6 4
6 24( )
……イ,ウ
1 1
1 3 6 1 3 6A B
+ = + + + - +( ) ( )
= 2 2 6+ ……エ,オ
以上により,
A B AB
A B+ = +d D1 1
= 6 24
2 2 6-
◊ +( )
= ( )( )6 2 6 12
- +
= 6 6 22
- -
= 4 6
2-
……カ,キ
− 1 −
2013 年度大学入試センター試験 解説〈数学ⅠA〉
〔2〕
(1) 「r ⇒ (p または q)」の対偶は,
「(p または q) ⇒ r」……①
ここで,ド・モルガンの法則より,
(p または q) C ( p かつ q )
であるから,①は,
「( p かつ q ) ⇒ r」
よって答えは,① ……ク
(2) (p または q) を満たす選択肢は,
① 内角が 30°,45°,105°の三角形
② 正三角形
③ 三辺の長さが 3,4,5 の三角形
④ 頂角が 45°の二等辺三角形
の 4 つである。
このうち,r を満たさないものは,①と④であるから,答えは①,④ ……ケ,コ
(3) p:二等辺三角形である
q:直角三角形である
であるから, (2) の選択肢のうち, ( p かつ q ) を満たすものは,
⓪ 直角二等辺三角形
のみであり,これは
r:45°の内角を少なくとも 1 つもつ
をも満たす。
よって,「( p かつ q ) ⇒ r」は真である。
これと (1) , (2) より,
「r ⇒ (p または q)」は真,
「(p または q) ⇒ r」は偽
であるから,r は (p または q) であるための,十分条件であるが,必要条件ではない。
よって,答えは,② ……サ
− 2 −
2013 年度センター試験 数学ⅠA
第2問 直線 y = - x……① の傾きは - 1 であるから,①上を動く点 P の x 座標が 2 増加すると,
y 座標は 2 減少する。
直線 y = 10x……② の傾きは 10 であるから,②上を動く点 Q の x 座標が 1 増加すると,
y 座標は 10 増加する。
よって,2 点 P,Q が出発して t 秒後の座標は,それぞれ,
P (- 8 + 2t,8 - 2t),Q (t,10t)
である。
点 P が原点 O に到達するのは,
- 8 + 2t = 0 より,t = 4 ……ア
のときである。
(1) 0 < t < 4 のときの図は,右のようになる。
このとき, VOPP' と VOQQ' の面積の和 S は,
S = 12
8 2 8 212
10- - +{ } - + ◊( ) ( )t t t t
= 2 (4 - t)2 + 5t2
= 2 (16 - 8t + t2) + 5t2
= 7t2 - 16t + 32 ……イ〜カ
さらに,
S = 716
7322d Dt t- +
= 787
6449
322d Dd Dt - - +
= 787
1607
2d Dt - + ……③
であるから,0 < t < 4 においては,t = 87
……キ,ク
で S は最小値 1607
をとる。 ……ケコサ,シ
0 < t < 4 における③のグラフは,右のようになる。
a £ t £ a + 1 (0 < a < 3)……④
において,
(ⅰ) S が t =87
で最小となるのは, 87
が④の範囲
に含まれるときである。
よって,a £ 87
£ a + 1 より,答えは,
17
£ a £ 87
……ス,セ,ソ,タ
− 3 −
8
t
y
x
A
P
P’O Q’
Q
- 8
- 8 + 2t
10t
8 - 2t
Ot
4
32
S
87
1607
3
2013 年度センター試験 数学ⅠA
(ⅱ) S が t = a で最大となるのは,④の範囲が右の
グラフに示す場合か,これよりも左にあるときである。
右のグラフのようになるのは,
a a+ +
=( )1
287
より,a = 914
であるから,答えは,
0 < a £ 9
14 ……チ,ツテ
(2) 原点 O を通り,放物線 y = 2x2 を平行移動したグラフの式は,
y = 2x2 + bx……⑥
と表すことができる。
⑥が P,Q を通ることから,
8 - 2t = 2 (- 8 + 2t)2 + b (-8 + 2t) ……⑦
10t = 2t2 + bt……⑧
t ? 4 より,⑦の両辺を - 8 + 2t で割ると,
- 1 = 2 (- 8 + 2t) + b……⑨
t ? 0 より,⑧の両辺を t で割ると,
10 = 2t + b……⑩
ここで,⑨ - ⑩をつくると,
- 11 = - 16 + 2t これより,t =52
……ト,ナ
このとき,⑩より,b = 5 となるから,⑥は,
y = 2x2 + 5x
= 252
2d Dx x+
= 254
2516
2d Dd Dx + -
= 254
258
2d Dx + -
よって,
x 軸方向に-5
4,y 軸方向に
-258
だけ ……ニ〜フ
平行移動すればよい。
− 4 −
O a a + 1t
4
32
80
S
87
2013 年度センター試験 数学ⅠA
第3問題意を図示すると右のようになる。
AD = AO = 3,
PD = PO = 1 である。
VAOP において三平方の定理を用いると,
AP = +3 12 2
= 10 ……アイ
ここで,四角形 AOPD の面積は,2 VAOP = 3・1 = 3
であるが,AP ⊥ OD であるから,
12
AP•OD = 3
これより, ODAP
= = =6 6
103 10
5 ……ウ,エオ,カ
さらに, VAOD において余弦定理を用いると,
cos–OAD = AO AD ODAO AD
2 2 2
2+ -◊ ◊
= 3 3
3 105
2 3 3
1 125
245
2 22
+ -
◊ ◊=
+ -=
d D ……キ,ク
ここで,AB は円 O の直径であるから,–ACB = 90°
よって,AC = AB cos–OAD = 645
245
◊ = ……ケコ,サ
このとき,
VABC = 12
AB•AC sin–OAD
= 12
1 2◊ ◊ - –AB AC OADcos
= 12
6245
145
2
◊ ◊ -d D =
12
6245
35
21625
◊ ◊ ◊ = ……シ〜タ
さらに,
BC = AB sin–OAD = 635
185
◊ =
ここに, VABC の内接円の中心を Q,半径を q とすると,
VABC = VQAB + VQBC + VQCA
より,
21625
12
612
185
12
245
365
= ◊ + ◊ + ◊ =q q q q
− 5 −
D
A
O
B
CP11
33
2013 年度センター試験 数学ⅠA
よって,q = 65
……チ,ツ
(1) 題意を図示すると右のようになる。
AB = CE ( = 6)
AC = CA ( 共通 )
–ACB = –CAE ( = 90° )
より, VABC ≡ VCEA であるから,それぞれの内
接円の半径も等しい。よって ,QR ⁄⁄ AC である。
これと,図に網目をつけた四角形が合同な正方形
であることから,
QR = AC - 2q
= - ◊ =245
265
125
……テト,ナ
ここに, 125
265
2= ◊ = q であるから,2 円 Q,R は外接する ( ② )。 ……ニ
(2) 上図で VAQF ∽ VAPD であり,相似比は QF:PD = 65
:1 = 6:5 であるこ
とから,AQ = 65
AP = 65
106 10
5◊ = ……ヌ,ネノ,ハ
PQ = 6 5
5-
AP = 15
10105
◊ = ……ヒフ,ヘ
ここに,PQ = 105
365
65
< = = q
PQ = 105
255
55
1< = =
より,点 P は円 Q の内部に,点 Q は円 P の内部にあることがわかる ( ② )。 ……ホ
〈ウ〜カの別解〉
AP と OD の交点を H とする。
AP ^ OD より
VOHP @ VAHO @ VAOP
であるから,
HP:HO = HO:HA = OP:OA = 1:3
よって,HP:HO:HA = 1:3:9
ここに, AP = 10 より,
HO3
1 9AP
3 1010
=+
=
よって, OD HO= =23 10
5 ……ウ,エオ,カ
− 6 −
DF
A
E
O
R
B
C
P
Q
2013 年度センター試験 数学ⅠA
H D
A
PO
3
1
− 7 −
第4問(1) 各桁に 1,2,3,4 の 4 通りの数の決め方があるから,
44 = 256 ( 個 ) ……アイウ
(2) 各桁が異なる数であることから,1,2,3,4 の 4 数の順列を求めると,
4! = 4•3•2•1 = 24 ( 個 ) ……エオ
(3) (ⅰ) 4 つから 2 つを選ぶ組合せを求めると,
4 2
4 32 1
6C =◊◊
= ( 通り ) ……カ
(ⅱ) 4 つから 2 つを選ぶ組合せを求めると,
4C2 = 6 ( 通り ) ……キ
(ⅲ) (ⅰ) と (ⅱ) より,6・6 = 36 ( 個 ) ……クケ
(4) (ⅰ) 四つとも同じ数字である場合は 4 通りであるから,得点が 9 点である確率は,
4
2561
64= ……コ,サシ
得点が 3 点である確率は,(3) (ⅲ) より,
36
2569
64= ……ス,セソ
(ⅱ) 3 回現れる数字が一つと,1 回だけ現れる数字が一つあるとき,それぞれの数字
の決め方が,4P2 = 4•3 = 12 ( 通り )
その各々に対して,1 回だけ現れる数字の位置の決め方が 4 通りあるから,得点が
2 点となる確率は,
12 4
2563
16◊
= ……タ,チツ
さらに,数字の重複がない確率は, (2) より, 24256
であるから, ( 以上の余事象であ
る ) 得点が 1 点となる確率は,
14 36 48 24
256144256
916
-+ + +
= = ……テ,トナ
(ⅲ) 以上により,得点の期待値は,
9
4256
336
2562
48256
1144256
024
216◊ + ◊ + + ◊ + ◊•
= 36 108 96 144 0
256384256
32
+ + + += = (点) ……ニ,ヌ
である。
2013 年度センター試験 数学ⅠA
24256