Página                  de    16  1    

 

ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  

DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS  CURSO  DE  NIVELACIÓN  2014  (2S)  

CAPÍTULO:          G  E  O  M  E  T  R  Í  A        D  E  L          E  S  P  A  C  I  O    D  E  B  E  R          9  

 

 

   8.1  Figuras  en  el  espacio    1) Se  tiene  un  plano  Π  con  una  circunferencia  de  25cm  de  longitud  de  radio,  de  centro  O  y  de  

diámetro  𝐴𝐵.  En  el  espacio  se  tiene  el  punto  P,  cuya  distancia  mínima  a  la  circunferencia  es  30cm  y  la  máxima  es  70cm.  Calcule  la  distancia  de  P  a  Π.    

                       

8.2  Rectas  y  planos  en  el  espacio    2) Defina:  

a) Rectas  alabeadas.  b) Planos  paralelos.  c) Ángulo  diedro.  d) Ángulo  poliedro.  

 8.3  Cuerpos  geométricos  

 3) Defina:  

a) Cuerpo  poliedro.  b) Poliedro  convexo.  c) Diagonal  de  un  poliedro.  d) Poliedro  regular.    

4) Un  hexaedro  regular  tiene  una  diagonal   interior  que  mide  2 2   ,  determine  la   longitud  de  la  diagonal  de  una  de  sus  caras.  

Respuesta:   ! ! !!

 

P

Π

A O

B

Página                  de    16  2    

 8.4  Prismas    5) Defina:  

a) Prisma.  b) Generatriz  de  un  prisma.  c) Prisma  recto  regular.  d) Prisma  oblicuo.  e) Paralelepípedo.  f) Ortoedro.  

 6) Dado  el  siguiente  prisma:  

 

   

Calcule:  𝑊𝑌,𝐷𝑌,𝐴𝑌,𝑚∢(𝑊𝐷𝑌)    

7) Grafique  un  octaedro  regular  cuyas  aristas  midan  8  cm  dentro  de  un  prisma  de  base  cuadrada  cuyo  lado  mide  8  cm  y  tiene  su  altura  congruente  a  la  del  octaedro.  

 8) Determine  cuantos  ángulos  diedros  y  triedros  hay  en  el  ejercicio  anterior.    9) Grafique  un  prisma  cuya  base  sea  un  hexágono  regular  y  su  altura  mida  6  cm.    10) Dado   un   prisma   recto   de   base   hexagonal,   determine   cuantas   diagonales   se   pueden   trazar  

desde  el  vértice  de  una  de  las  bases  hacia  los  vértices  de  la  base  opuesta.    8.5  Pirámides    11) Defina:  

a) Pirámide.  b) Generatriz  de  una  pirámide.  c) Pirámide  regular.  d) Pirámide  truncada.  

 12) Grafique  un  hexaedro  regular  con  arista  de  10  cm  que  en  su  interior  contenga  una  pirámide  

cuya  altura  mida  10  cm  y  la  base  triangular  tenga  como  medida  10  cm  en  la  base  y  10  cm  en  la  altura.  

Página                  de    16  3    

 13) Construya  una  pirámide  truncada  de  base  pentagonal  y  determine  cuantos  ángulos   triedros  

tiene.  Respuesta:  10  

 8.6  Áreas  de  poliedros  

 14) Calcule  el  área  de  un  tetraedro  regular  cuya  arista  tiene  longitud  𝐿.  

 15) Un  tetraedro  regular  tiene  una  arista  que  mide  4cm,  el  área  de  su  superficie  total,  en  cm2,  es  

igual  a:  a) 3     b)   4 3   c)  16 3   d)   4     e)  16  

Respuesta:  c)    

16) Calcule  el  área  de  la  superficie  lateral  y  el  área  de  la  superficie  total  de  un  prisma  cuya  base  es  un  rombo  de  diagonales  12  y  18  cm.  

Respuesta:  AL  =  1,038.72  cm2;  AT  =  1,254.72  cm2    17) Para  un  prisma  recto  pentagonal  regular  cuya  altura  mide 15cm, y  cuya  base  tiene 8cm de  

arista  y  apotema  de  5.5cm, el  área  de  su  superficie  total,  en cm2, es  igual  a:  a) 410     b)  600     c)  820     d)  1,000     e)  1,640  

Respuesta:  c)    

18) Calcule  el  área  de  la  superficie  lateral  y  el  área  de  la  superficie  total  de  un  tronco  de  pirámide  cuadrangular  de  la  figura  adjunta.  

                       

Respuesta:  AL  =  3,600  cm2;  AT  =  5,600cm2    19) Las  bases  de  un  prisma  recto  son  pentágonos  regulares  de  8cm.  de  lado.  La  altura  del  prisma  

es  de  15cm.  Calcule  el  área  de  la  superficie  total.  Respuesta:  820  cm2  

 20) ¿Cuál  es  el  precio  de  un  cajón  de  embalaje  de  60  cm  *  40  cm  *  50  cm,  si   la  madera  cuesta  

18dólares/m2?  Respuesta:  26,64  dólares  

 

Página                  de    16  4    

21) En  la  figura  mostrada  cada  componente  es  un  cubo  y  el  sólido  tiene  un  área  de  la  superficie  total  (incluyendo  la  base)  de  42  unidades  cuadradas.                    a) ¿Cómo  puede  cambiarse  el  área  de  la  superficie  total  a  44  unidades  cuadradas  moviendo  

un  solo  cubo?  b) ¿Cómo  puede  cambiarse  el  área  de  la  superficie  total  a  40  unidades  cuadradas  moviendo  

un  solo  cubo?    

22) Se  tiene  un  prisma  recto  hexagonal  regular,  en  el  cual  la  arista  de  su  base  mide  el  triple  de  su  arista  lateral.  También  se  tiene  un  prisma  recto  triangular  regular,  cuya  arista  lateral  mide  la  sexta  parte  de  la  altura  del  prisma  anterior  y  cuya  arista  de  la  base  mide  la  mitad  de  la  arista  de  la  base  del  prisma  anterior.    Calcule  la  relación  entre  el  área  de  la  superficie  total  del  prisma  recto  hexagonal  regular  y  el  área  de  la  superficie  total  del  prisma  recto  triangular  regular.  

 23) Una  pirámide   hexagonal   recta   regular   tiene   aristas   laterales   que  miden   5   cm   y   arista   de   la  

base  de  6  cm.  Calcule  el  área  de  la  superficie  total  de  este  poliedro.    24) La  carpa  de  un  circo  tiene  la  forma  de  un  prisma  octogonal  regular.  Su  techo  es  una  pirámide  

de  altura  igual  a  la  tercera  parte  de  la  altura  del  prisma.  Si  la  longitud  de  la  arista  de  la  base  del  prisma  es  5m  y  la  altura  total  (prisma  y  pirámide  incluidos)  es  de  24m,  calcular  la  cantidad  de  lona  necesaria  para  construir  la  carpa.  

 8.7  Volúmenes  de  poliedros    25) Determine  el  valor  de  verdad  esta  proposición.  Justifique  formalmente  su  respuesta.  

“Si  se  tiene  una  caja  de  dimensiones  3  cm,  10  cm  y  16  cm,  y  cubos  de  2  cm  de  longitud  de  arista,  entonces  pueden  colocarse  exactamente  60  de  estos  cubos  dentro  de  la  caja.”  

Respuesta:  0    

26) En  un   recipiente   cúbico  que   contiene  35m3  de  agua   se   introduce  un   cubo  macizo  de  modo  que  el  agua  se  eleva  hasta  alcanzar  el  nivel  del  recipiente.  Si  la  longitud  de  la  arista  del  cubo  macizo  es  la  mitad  de  la  longitud  de  la  arista  del  recipiente,  calcule  el  volumen  del  recipiente.  

 27) Un   ortoedro   tiene   como  medidas   de   su   largo   y   su   ancho,   el   triple   y   el   doble   de   su   altura,  

respectivamente.  Si  se  conoce  que  la  longitud  de  su  diagonal  mide   126 cm ,  calcule:  a) el  área  de  la  superficie  total  del  ortoedro,  y  b) el  volumen  del  ortoedro.  

Página                  de    16  5    

 28) Al  unir  los  centros  de  las  caras  de  un  cubo  cuya  arista  mide  6  m  se  forma  un  sólido,  calcule    el  

área  de  la  superficie  total  y  el  volumen  de  este  último.    

 

   

Para  los  siguientes  4  ejercicios,  puede  guiarse  con  la  siguiente  figura:    

   

Imagine  que  un  octaedro  regular  es  un  Iceberg,  el  octaedro  regular  de  arista  𝑎 = 10𝑚,  está  conformado   por   2   pirámides   congruentes   con   base   cuadrada,   y   supongamos   que   la   base  cuadrada  está  paralela  al  mar.  Una  pequeña  pirámide  de  altura  ℎ′  queda  fuera  del  agua.  

 29) Calcule  la  altura  del  octaedro.  

 30) Si  ℎ! = 2𝑚,  calcule  𝑎′.    31) Calcule  el  volumen  del  octaedro.    32) Calcule  el  volumen  de  la  parte  del  iceberg  que  queda  fuera  del  agua.    33) En  un  almacén  de  dimensiones  5  m  de  largo,  3  m  de  ancho  y  2  m  de  alto  queremos  almacenar  

cajas   de   dimensiones   10  dm   de   largo,   6  dm   de   ancho   y   4  dm   de   alto.   ¿Cuantas   cajas  podremos  almacenar?  

Respuesta:  125  34) ¿Cuántas   losetas   cuadradas   de   20  cm   de   lado   se   necesitan   para   recubrir   las   caras   de   una  

piscina  de  10  m  de  largo  por  6  m  de  ancho  y  de  3  m  de  profundidad?  Respuesta:  3,900  

 35) En  un  cubo  de  8  cm  de  arista  se  echan  cuatro  cubitos  de  hielo  de  4  cm  de  arista.  ¿A  qué  altura  

llegará  el  agua  cuando  se  derritan?  Respuesta:  4  cm  

Página                  de    16  6    

 36) Determine  el  volumen  de  este  prisma  de  base  hexagonal  regular:    

   

Respuesta:  259,8  cm    37) Calcule  el  volumen  de  una  pirámide  regular  cuya  base  es  un  cuadrado  de  24  cm  de  lado  y  su  

arista  lateral  es  de  37  cm.    38) ¿Qué   volumen   de   líquido   queda   en   un   recipiente   hueco   en   la   cara   superior?,   (tal   como   se  

muestra  en  la  figura)  luego  de  extraer  de  su  interior  un  sólido  de  forma  cilíndrica  que  tiene  3  cm  de  radio  y  15  cm  de  altura.  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 Respuesta:  (963  –  135π)  cm3  

 39) Determine  el  volumen  de  una  pirámide  triangular  en  la  que  todos  sus  lados  y  aristas  tienen  la  

misma  longitud  L.  

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎:212

𝐿!    40) Un  recipiente  sin  tapa  tiene  la  forma  de  una  pirámide  regular  invertida,  donde  su  altura  mide  

3  pies  y  su  base  es  un  hexágono  inscrito  de  una  circunferencia  de  diámetro  igual  a  2  pies.  Se  desea  pintar  100  de  estos  recipientes  por  dentro  y  por  fuera,  para  lo  cual  se  utilizará  pintura  donde  con  un  galón  se  puede  pintar  470  pies  cuadrados.  Determine  la  cantidad  de  galones  de  esa  pintura  que  se  necesitarán  para  pintar  los  100  recipientes.  

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎:3047

39  𝑔𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠  

Página                  de    16  7    

 41) Se  necesita  construir  una  piscina  como  se  indica  en  la  figura.  Si  el  metro  cúbico  de  agua  tiene  

un  costo  de  1  dólar.  ¿Cuánto  gastaría  en  llenar  completamente  la  piscina?  (𝜃 = arctan  (10)).    

   42) Determine  el   volumen  del   sólido  que   se  muestra  en   la   figura   (prisma  y  pirámide  hexagonal  

con  una  base  común)  

   

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎:32𝑎! 3 + 1  

 43) Determine  el  volumen  de  un  adorno  de  plástico  macizo    en  forma  de  pirámide  regular  de  base  

hexagonal,   de   20   cm   de   lado   y   con   arista   que   mide   29   cm,   la   cual   tiene   en   su   interior   6  pirámides  regulares  metálicas  (tetraedros  regulares)  de  1  cm    de  arista.  

 Respuesta:  7,266    -­‐     !

 !    cm3  

 44) Encuentre  el  volumen  de  una  pirámide  de  15  cm  de  altura  y  de  base  cuadrada  de  lado  12  cm  

la  cual  se  le  realizó  un  corte  paralelo  a  su  base  a  dos  tercios  de  su  altura.    

Respuesta:  693.3  cm      

Página                  de    16  8    

8.8  Cuerpos  de  revolución    

45) Calcule  la  longitud  del  radio  de  la  esfera  inscrita  en  un  octaedro  regular  de  arista   a .    

46) Determine  el  volumen  de  la  figura,  si  por  el  centro  de  ésta  se  ha  taladrado  un  orificio  de  30  cm  de  profundidad  y  2  cm  de  diámetro  

 Respuesta:  5,063.72  cm2  

 47) Calcule  el  volumen  del  tronco  de  pirámide  y  del  tronco  de  cono:    

   

Respuesta:  17.493  cm3;  989.1cm3  

 48) Sean   dos   esferas   concéntricas,   con   la   característica   de   que   la   esfera   externa   se   encuentra  

circunscrita   a   un   cono   cuya   generatriz  mide   3cm.,   y   es   igual   en   longitud   al   diámetro   de   su  base;   la   esfera   interna   está   inscrita   en   el   mismo   cono.   Determine   el   volumen   del   espacio  entre  las  2  esferas.  

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎:  72

3𝜋𝑐𝑚!  

 49) En  un  cono  circular  recto  donde  el  diámetro  de  la  base  y  su  altura  miden  3m.,  se  inscribe  otro  

cono  cuya  altura  mide  2m.,  de  manera  que  el  vértice  del  cono  inscrito  coincide  con  el  centro  de  la  base  del  cono  circunscrito.  Determine  el  volumen  del  cono  inscrito.  

𝑅 =𝜋6𝑚!  

 

50) Se   tiene   un   cono   con   área   de   la   superficie   lateral   igual   a   36 5π cm2   y   altura   que   mide  12cm.   Si   este   cono  es   cortado  por   un  plano  paralelo   al   de   la   base   a   un   cuarto  de   la   altura  respecto  al  vértice,  calcule  el  volumen  de  los  2  cuerpos  que  se  forman  después  del  corte.  

 

Página                  de    16  9    

51) Calcule  el  volumen  del  cono,  en  el  cual  un  punto  de  su  generatriz  dista  5cm,  3cm  y  8cm  del  vértice,  de  la  altura  y  de  la  base,  respectivamente.    

52) Un  recipiente  en  forma  de  cono  recto  de  15cm.  de  altura  y  radio  𝑟  tiene  sus   !!"  partes  llenas  

de  helado,  determine  la  altura  𝑎  del  helado    

   

𝑅 = 10𝑐𝑚    

53) Se  ha  inscrito  un  cilindro  recto  de  altura   h  en  un  prisma  recto  de  base  cuadrada  de  lado   L  de   longitud,   tal   como  se  muestra  en   la   figura  adjunta,  entonces  el   volumen  del   cilindro,  en  unidades  cúbicas,  es  igual  a:  a) πhL2  b) 2πhL2  

c) 12πhL2  

d) 14πhL2  

e) 13πhL2  

Respuesta:  d)    

54) Se  desea  fundir  3  piezas  de  bronce  (según  gráfica)    para  luego  darle  forma  de  un  cubo.  Si  en  el  proceso  se  pierde  5%  de  material,cuales  son  las  medidas  del  cubo  

   

Respuesta:  14,78  cm    

Página                  de    16  10    

 55) Calcule  el  área  de  la  superficie  lateral,  el  área  de  la  superficie  total  y  el  volumen  de  un  tronco  

de  cono  de  radios  6  y  2  cm,  y  de  altura  10  cm.  Respuesta:  544.54  cm3  

 56) Calcule  el  área  de   la   figura,  sabiendo  que  es  una  figura  compuesta  por  una  semiesfera  y  un  

cono  (medidas  expresadas  en  centímetros).    

                     

Respuesta:  AT  =  17,520.  66  cm2    57) Calcule  el  área   total  del   siguiente  cuerpo,   conformado  por  una  semiesfera,  un  cilindro  y  un  

cono  (medidas  en  centímetros).    

   58) Califique  cada  proposición  como  verdadera  o  falsa.  Justifique  formalmente  su  respuesta.  

a) Si  una  esfera  y  un  cubo  tienen  la  misma  área  superficial  de  36cm2,  entonces  el  volumen  de  la  esfera  es  mayor  que  el  volumen  del  cubo.  

b) La  región  limitada  por  la  recta  y=2x+1,  el  eje  X  y  el  eje  Y  se  rotan  alrededor  de  los  ejes  X  e  Y,  respectivamente.  Si  Vx  y  Vy  son  ambos  volúmenes  obtenidos,  entonces  Vx  =  Vy.  

c) La  diagonal  del  cubo  inscrito  en  una  esfera  es  congruente  con  su  diámetro    

59) Se   tiene   una   esfera   situada   dentro   de   un   cilindro   de   manera   que   la   altura   del   cilindro   es  congruente   con   el   diámetro   de   la   esfera.   Determinar   la   relación   entre   el   área   lateral   del  cilindro  y  el  área  de  la  superficie  esférica.    

60) En  una  esfera  de  radio  r  se  tiene  inscrito  un  cilindro  de  manera  que  el  diámetro  del  cilindro  es  congruente  con  el  radio  de  la  esfera.    Calcular  la  relación  entre  el  área  de  la  superficie  esférica  y  el  área  total  del  cilindro.  

 

Página                  de    16  11    

61) Calcule  el  área  de  la  superficie  total  del  sólido  de  revolución  que  se  genera  al  rotar  la  región  sombreada  alrededor  del  eje  AA’.  

                                           

62) Dados  un  cono  de  altura  h  y  radio  r,  y  una  pirámide  hexagonal  regular  cuya  base  está  inscrita  en  la  misma  base  del  cono.  Determine  la  altura  de  la  pirámide  para  que  el  cono  y  la  pirámide  indicados  tengan  el  mismo  volumen.  

 63) Al  hacer  girar  un  triángulo  equilátero  cuyo   lado  mide  2cm,  alrededor  del  eje  OO’,  se  genera  

un  sólido  de  revolución.  Calcule  el  volumen  de  dicho  sólido.    

 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 4𝜋𝑐𝑚!  

 64) Una  cuerda  del  círculo  base  de  un  cono  recto  de  4  cm  de  alto,  mide  8  cm.  Si  la  distancia  de  la  

cuerda  al  centro  del  círculo  de  la  base  es  de  2  cm,  calcule  la  longitud  de  la  generatriz.    

65) Se   tiene  un  cilindro  recto   inscrito  en  una  esfera.  Si  el  volumen  y  el   radio  del  cilindro  miden  72πcm3  y  3cm  respectivamente,  calcule  el  volumen  de  la  esfera.  

 

A’

a

2a

2a

A

a a

Página                  de    16  12    

 66) Calcule  el  volumen  del  sólido  que  se  genera  al  rotar  la  región  R  alrededor  del  eje  OO’    

   

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎:8𝜋3𝑐𝑚!  

 67) Cuando  se  gira  la  región  sombreada  alrededor  del  eje  OO’,  se  genera  un  sólido  de  revolución.  

Calcule  el  área  de  la  superficie  total  de  dicho  sólido.    

 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 2𝜋 5 + 9 𝑎!  

 68) Determine  el  volumen  del  sólido  generado  al  rotar  la  parte  sombreada  del  gráfico  alrededor  

del  eje  PQ.                    

Página                  de    16  13    

69) Se  tiene  un  cubo  de  8cm3  de  volumen,  en  el  cual  se  circunscribe  una  esfera  cuyo  volumen,  en  cm3,  es  igual  a:    a) 4 3π  b) 16π  c) 32π  

d) 4 2π3

 

e) 8 2π3

 

Respuesta:  a)    70) Se  tiene  un  cubo  de  64cm3  de  volumen,  en  el  cual   se   inscribe  una  esfera  cuyo  volumen,  en  

cm3,  es  igual  a:    

a) 16π3

 

b) 32π3

 

c) 32π  

d) 128π3

 

e) 64π  Respuesta:  b)  

71) Al  rotar   la   región  del  plano  cartesiano   limitada  por  

y = −2xy = −2x = −1

"

#$

%$

,  alrededor  del  eje   x = −1 ,   se  

genera  un  sólido  de  revolución  cuyo  volumen,  en  u3,  es  igual  a:  

a) 4π3

    b)  8π3

    c)  16π3

  d)  32π3

  e)  8π  

Respuesta:  c)   72) En  un  cilindro  recto  se  ha  inscrito  un  cono  con  altura  congruente  a  la  altura  del  cilindro  y  base  

también   congruente   a   la   base   del   cilindro.   Se   conoce   que   la   relación   entre   el   área   de   la  superficie   total  del   cilindro  y  el  área  de   la  base  del  cono  es  4.  Calcule   la  medida  del  ángulo  formado  por  el  eje  del  cilindro  y  la  generatriz  del  cono.  

                     

Eje

Página                  de    16  14    

 73) Calcule  el  área  de  la  superficie  lateral  del  cilindro  de  revolución  mostrado.   74) Calcule  el  volumen  del  sólido  de  revolución  que  se  genera  al  rotar  el  triángulo  equilátero  de  

2cm  de  lado,  alrededor  del  eje  AA’.  

75) Las  pelotas  de  tenis  se  venden  en  recipientes  que  tienen  forma  cilíndrica  y  que  contienen  3  

pelotas  cada  una.    Si  el  radio  de  la  base  del  recipiente  mide  3.25  cm,  calcule  el  volumen  que  queda  libre  en  el  interior  de  uno  de  estos  recipientes.    

76) El  área  de  la  superficie  lateral  de  un  cono  recto  mide  A  m2  y  la  menor  distancia  del  centro  de  la  base  a  una  de  sus  generatrices  mide  b  cm.  Calcule  el  volumen  de  dicho  cono.    

77) Sea  R   la  región  sombreada  que  se  muestra  en  la  figura.  Calcule  el  volumen  que  se  genera  al  rotar  la  región  R  alrededor  del  eje  AA’  

   

 

A

A’

60o

A

A’

2u

2u

3u

R

Página                  de    16  15    

78) Determine  el  volumen  del   sólido  de  revolución  que  se  genera  al   rotar   la   región   sombreada  

alrededor  del  eje  xx´.          

79) Sea  la  región  R  limitada  por:  

31

1 3

y xyx

≤ −⎧⎪

≥ −⎨⎪ ≤ ≤⎩

 

a) Grafique   R  en  el  plano  cartesiano.  b) Calcule  el  volumen  del   sólido  de  revolución  que  se  obtiene  al   rotar   R  alrededor  del  eje  

4x = .    80) Se  tiene  una  esfera  situada  dentro  de  un  cilindro  de  manera  que  el  cilindro  tiene  la  altura  y  el  

diámetro  de  la  esfera.    Determine  la  relación  entre  el  área  lateral  del  cilindro  y  el  área  de  la  esfera.    

81) En  una  esfera  de  radio  r  se  tiene  inscrito  un  cilindro  de  manera  tal  que  el  diámetro  del  cilindro  es  igual  al  radio  de  la  esfera.  Calcule  la  relación  entre  el  volumen  del  cilindro  y  el  área  de  su  superficie  lateral.  

 82) Se   tiene   una   orden   de   trabajo   de   1.000   cojinetes   de   bronce,   los   mismos   que   tienen   la  

siguiente  forma:                   Radio  externo=    5  cm.  

Radio  Interno=  4  cm.                                                                                                      Largo=  10  cm.    

 Sabiendo  que  en  el  proceso  de  fundición  del  bronce  se  tiene  una  pérdida  del  10%  del  material  fundente,  que  cantidad  de  bronce   (cm3)  hay  que  considerar  en   la   fundición  para  obtener  el  número  de  piezas  ordenadas?  

L

R externo

R interno

Página                  de    16  16    

2a

aC

C`

 83) Una  tolva  para  almacenar  agregado  para  cemento  tiene  una  forma  de  cono  invertido.    Con  un  

radio  de  1  m  y  una  altura  3  m.  ¿A  qué  altura,  desde  el  vértice  de  la  tolva,  estará  llena  la  tolva  a  las  2/3  partes  de  su  capacidad  total  de  almacenamiento?  

 84) Determine  el   volumen  del   sólido  de   revolución  que   se  genera  al   rotar   la   región   sombreada  

adjunta  alrededor  del  eje  CC`                    85) Se   utiliza   un   cuerpo   de   forma   esférica   para   cerrar   una   abertura.   La   abertura   se   encuentra  

ubicada  en  el  vértice  de  un  cono  cuyo  diámetro  y  generatriz  miden  20  cm.  Si   la  esfera  tiene  que  quedar  inscrita  en  el  como,  calcular  el  volumen  de  dicha  esfera.  

 

L

L