2014年9月29日星期一 - 我的西电我的主页|Xidian University ...2015/01/13 · 2014年9月29 日星期一上讲回顾第三讲直和及线性变换子空间的直和

矩阵论

主讲教师：徐乐主讲教师：徐乐

2014年9月29日星期一

上讲回顾讲回顾

第三讲直和及线性变换

子空间的直和

线性变换及其运算线性变换及其运算

lexulexu@@mail.xidian.edu.cnmail.xidian.edu.cn 矩矩阵阵论论 2

子空间的直和子空间的和

定义

设V1 和 V2是线性空间V的子空间• 若其和空间V + V 中的任一元素只能唯一的表示为• 若其和空间V1 + V2中的任一元素只能唯一的表示为

V1的一个元素与V2的一个元素之和即– 即

– 存在唯一的

使

21 VVx

21 , VzVy – 使 x = y + z

• 则称V1 + V2为V1与V2的直和

• 记为 21 VV


子空间的直和子空间的和

定理

关于直和如下四种表述等价

• （1） V + V 成为直和 VV • （1） V1 + V2成为直和

• （2） V1 ∩ V2 = {0}21 VV

• （3）

• （4）若2121 dimdim)dim( VVVV

– 为V1的基

– 为V2的基sxxx ,, 21

tyyy ,, 21 2– 则为V1 + V2的基

tyyy ,, 21ts yyyxxx ,,,,, 2121


线性变换及其运算线性变换及其运算

定义

设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对于V中的任意元素 x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，称T为V的一个变换或算子，记为

性质 Tx y性质线性变换把零元素仍变为零元素

负素象为来素象负素

Tx y

负元素的象为原来元素的象的负元素

线性变换把线性相关元素组仍变为线性相关元素组


第三讲线性变换矩阵及其对角化第讲线性变换矩阵及其对角化

线性变换的矩阵表示

线性变换及矩阵的值域和核

特征值和特征向量

矩阵对角化的充要条件矩阵对角化的充要条件

内积空间内积空间


线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示

线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换

转化为具体的矩阵形式

设T是线性空间V n的个线性变换设T是线性空间V n的一个线性变换

是V n的的一个基 nxxx ,,, 21 ，存在唯一的坐标表示

nVx

1

xxxxxxx

2

1)( 2211 nxxxTTx n

nxxxT

221 ),,,(

n

xxxxxxx n

n

n

221121 ,,, n



确定基元素在该变换下的象就可以确定线

性变换

i

i

ni

aa

xxxTx 21

21 ,,,

in

ni

a

xxxTx21

,,,

Axxxaaaaaa

xxxxxxT nn

n

nn ,,,,,,,,, 2122212

12111

2121

aaa nnnn 21

1 21 2, , , nTx x x x A


n


对于任意元素，在基下变换后坐标表示为

xxxTx

2

1

A

2

1

2

1

n

nxxxTx

21 ,,,

nn

A

1

1

x

2

1

ATx

2

n

n



定义：把A称为在基下的矩阵 nxxx ,,, 21 定理：

的个基在该基设是V n的一个基，T1、 T2在该基下的矩阵分别为A、B 。则有

nxxx ,,, 21

)(,,,,,,)( 212121 BAxxxxxxTT nn

)(,,,,,, 21211 kAxxxxxxkT nn

)()( ABTT )(,,,,,,)( 212121 ABxxxxxxTT nn

121211 ,,,,,, AxxxxxxT nn


2121 ,,,,,, nn


推论1 设为纯量t的m次多项式

为线性空间的个线性变换且在的基0

( )m

ii

if t a t

T为线性空间V n的一个线性变换,且在V n的基下的矩阵为A，则

)(,,,,,,)( 2121 AfxxxxxxTf nn • 其中

nne TaTaTaTaTf

2210)(

( ) 20 1 2 n

nf A a I a A a A a A



推论2 设线性变换T在V n的基下的矩阵为A

nxxx ,,, 21 阵为A

元素x在该基下的坐标为 ),,,( 21 n

则Tx在该基下的坐标满足),,,( 21 n

A

2

1

2

1

nn



相似矩阵

设T在V n的两个基的矩阵分别为A和B '''

且则

nxxx ,,, 21 ''2'1 ,,, nxxx Cxxxxxx nn ,,,,,, 21''2'1 1B C AC

即A和B为相似矩阵 nn ,,,,,, 2121 C C

AT '''''' AxxxxxxT nn ,,,,,, 2121 BxxxxxxT nn ''2'1''2'1 ,,,,,,

CBxxxCxxxT CBxxxCxxxT nn ,,,,,, 2121 CBxxxACxxx nn ,,,,,, 2121

AC CB 1证明


AC CB 1B C AC


定理

n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵性变换在不同基下的矩阵

[证明]• 充分性可由相似矩阵定义得到

• 必要性待证必要性待证



必要性：

• 已知方阵A和B相似

• 即存在可逆矩阵P使得 1B P AP即存在可矩阵使得• 选取一个基

则可作为新基

nxxx ,,, 21 P'''• 则可作为新基

• 定义 AxxxxxxT nn ,,,,,, 2121 Pxxxxxx nn ,,,,,, 2121

PxxxTxxxT nn ,,,,,, 21''2'1 APxxx n,,, 21 APPxxx 1''2'1 ,,, Bxxx ''2'1 ,,,

• A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵 APPxxx n21 ,,, Bxxx n21 ,,,


线性变换及矩阵的值域和核线性变换及矩阵的值域和核

定义

设T是线性空间V n的线性变换，称• 为T的值域 n( ) | VR T T dim R(T)

T

的秩• 为T的值域

• 为T的核 n( ) | VR T Tx x n( ) | V , 0N T x x Tx

dim R(T)

dim N(T)秩和零度 R(T)和N(T)均为V n的子空间

设A为m×n阶矩阵称

度

设A为m×n阶矩阵，称• 为矩阵A的值域 n n( ) | R or CR A Ax x x • 为矩阵A的核 n n( ) | R or C , 0N A x x x Ax

dim R(A) dim N(A) A的秩和零度


dim R(A) dim N(A) A的秩和零度


定理

（4）若A是线性变换T的矩阵，则

例1.16



[证明] (1) 设是N(T)的一组基

• 根据基扩定理可将其扩展为Vn的一组基• 根据基扩定理，可将其扩展为Vn的一组基},,,,,,{ 121 nrr xxxxx

• 接下来证明是R(T)的一组基},,,{ 21 nrr TxTxTx

0 ( 1,2, , )iTx i r

1 1 2 2r r r r n nTx k Tx k Tx k Tx



• 证明线性无关},,,{ 21 nrr TxTxTx

01

n

riii xlT

r

iii

n

riii xpxl

11



证明(２)• 由定义知，R(A)是A的列向量所张成的子空间

• dim R(A)等于列向量组中最大线性无关组中的元素( )等于列向中最大线性无关中的元素个数，即列向量组的秩

• 又因为矩阵A的秩rankA等于列向量组的秩• 又因为矩阵A的秩rankA等于列向量组的秩

• 所以 dim ( ) rank( )R A A 证明(3)

• N(A)是Ax = 0的解空间( )是的解间

• 若rankA = r，则 dimN(A) = n-r

即 dim ( ) dim ( )R A N A n即证即证


• 即 dim ( ) dim ( )R A N A n

特征值与特征向量特征值与特征向量

前言

线性空间线性空间矩阵矩阵

加法元素加法坐标向量的加法加法基基

元素加法坐标向量的加法

数乘数与元素“乘” 数与坐标向量相承

线性变换

对应关系矩阵与坐标向量

的乘积


变换的乘积


对角矩阵的形式简单，处理方便

比如求解矩阵方程时，将矩阵对角化后很容易

得到方程的解得到方程的解

对角化的过程实际上是一个去耦的过程

• 一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？

• 对角化需要什么样的条件呢？对角化需要什么样的条件呢？

• 如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？得简单呢？



定义：

对m阶方阵A，若存在数λ，及非零向量（列向量）x量）x

使得Ax = λx

则称λ为A的特征值

为A的属于特征值λ的特征向量 x为A的属于特征值λ的特征向量• 特征向量不唯一

A的特征多项式• 特征向量非零

• (λI - A) x = 0有非零解，则det (λI - A) = 0

A的特征多项式


(λI A) x 0有非零解，则det (λI A) 0


[例1]求矩阵A的特征值和特征向量 [解] 1 2 2

2 1 2A 2 2 1

1 2 2 1 2 2det( ) 2 1 2 0

2 2 1I A

2 2 1

2( 1) ( 5) 0 ( ) ( )

1 2 1 3 5



属于特征值λ= -1的特征向量 ( ) 0I A x

12 2 22 2 2 0

0

2

3

2 2 2 02 2 2

1 2 3 0

1 1 1 0 1 12 2

1 01

x

2 11

x 3 1 2 1 1



属于特征值λ= 5的特征向量 (5 ) 0I A x

14 2 22 4 2 0

2

3

2 4 2 02 2 4

1 2 3

1

3

111

x 1



矩阵的迹与行列式

矩阵的n n

矩阵的迹1

tr iii

A a

1

trn

ii

A

矩阵的行列式 detn

iA 1i



两个定理

设A、B分别为m×n和n×m阶矩阵，则• tr(AB) tr(BA)• tr(AB)= tr(BA)

Sylvster定理：设A、B分别为m×n和n×m阶矩阵，则

• det(λI - AB)= λm-n det(λI – BA)det(λIm AB) λ det(λIn BA)

• 即AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同征值相同



定理

n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特征向量它具有n个线性无关的特征向量

• [证明] 充分性：– 已知A具有n个线性无关的特征向量 nxxx ,,, 21

i i iAx x ni ,,2,1 i i i ,,,

nnn xxxxxxA 221121 01

nxxx2

21

线性无关


n0

线性无关


令

01 AP P

0

2

1P AP n0

即

若阶方阵A具有个线性无关的特征向量• 若n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量

• 则必可通过相似变换对角化



必要性证明：

• 已知存在可逆方阵 P，使得

01

APP21

• 将P写成列向量，Pn为n维列向量，则

n0

nPPPP 21 nnn PPPAPAPAP 221121


Euclid空间空间

定义

设V是实线性空间（k∈R），对于V中任何两个元素x、y均按某一规则存在一个实数与之对应，记为(x , y)，若它满足以下四个性质，则称(x , y)为x与y的内积，定义了内积的实线性空间称为Euclid空间

（1）交换律 (x , y)= (y, x)

（2）分配律 (x y + z)= (x y)+ (x z) （2）分配律 (x , y + z)= (x , y)+ (x , z)

（3）齐次律 (kx , y) = k (x , y)

（4）非负性， (x , x)≥0• 当且仅当x=0时, (x ,x)=0


Euclid空间空间

对于一个给定的线性空间，可以定义多种

内积，较典型的如三维向量空间的数量积

就满足以上四条性质构成内积就满足以上四条性质，构成内积

以n维向量空间为例以维向量空间为例 Tnx 21 Tny 21

n

定义内积 1

,n

i i ii

x y w


Euclid空间空间

验证内积的四条性质


作业作

P77-78 26、7

106 10P106－107 1(1)(2)1(1)(2)


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