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josue-lopez-miranda
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20150603170625
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ANTIDERIVADA
Existen problemas en los cuales conocemos la derivada de la funcin, como por
ejemplo: la tasa de variacin instantnea, la pendiente de una curva en cada uno de sus
puntos o la velocidad de un punto mvil en cada instante y queremos encontrar la
funcin que le dio origen.
El proceso de encontrar una funcin a partir de su derivada se llama antidiferenciacin.
Es un proceso inverso a la derivacin ante el cual podemos decir que buscamos una
funcin primitiva o antiderivada.
La antiderivada es la funcin que resulta del proceso inverso de la derivacin, es decir,
consiste en encontrar una funcin que, al ser derivada produce la funcin dada.
Por ejemplo:
Si , entonces , es una antiderivada de f(x),
Pues
Definicin: Una funcin F recibe el nombre de Antiderivada o Primitiva de f en un
intervalo I, si:
'( ) ( ) ,F x f x x I
Observe que no existe una derivada nica para cada funcin. Por ejemplo, si
, entonces es otra antiderivada de f(x), pues .
Ejemplos:
1. La antiderivada ms general de 6( ) 7 5f x x es 7( ) 5F x x x C .
2. La antiderivada ms general de ( ) 9f x x es 32
( ) 93
F x C x x C .
Definicin: Si F(x) es la antiderivada de f(x) sobre el intervalo I, entonces:
Es la antiderivada general de f(x).
Al conjunto de todas las antiderivadas se le llama INTEGRAL INDEFINIDA y se
representa por:
( ) ( ) ( )G x f x dx F x C
En donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integracin o diferencial de x y C es
la constante de integracin.
Ejemplos:
1. ( )x xe x dx e C
2. 1
ln( )dx x Cx
3. 6 6dx x C
FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN
Sean , f g funciones derivables, adems , k C constantes, entonces tenemos:
1. ( ) ( )k f x dx k f x dx
2. ( ) ( ) ( ) ( )a f x b g x dx a f x dx b g x dx
3. k dx k x C
4. 1
1
nn xx dx C
n
5. lndx
x Cx
6. x xe dx e C
7. ( ) cos( )sen x dx x C
8. cos( ) ( )x dx sen x C
9. tan( ) ln cos( )x dx x C
10. c ( ) ln ( )tg x dx sen x C
11. sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan2 4
xx dx x x C C
12. csc( ) ln csc( ) ( ) ln tan2
xx dx x ctg x C C
13. 2sec ( ) tan( )x dx x C
14. 2csc ( ) ( )x dx ctg x C
15. sec( ) tan( ) sec( )x x dx x C
16. csc( ) ( ) csc( )x ctg x dx x C
17. 2 2
1 1arctan
xdx C
x a a a
18. 2 2
1ln
2
dx x aC
x a a x a
19. 2 2
1ln
2
dx x aC
a x a x a
20. 2 2
dx xarcsen C
aa x
21. 2 22 2
lndx
x x a Cx a
22. 2 22 2
lndx
x x a Cx a
23. 2
2 2 2 2
2 2
x a xa x dx a x arcsen C
a
24. 2
2 2 2 2 2 2ln2 2
x ax a dx x a x x a C
25. 2
2 2 2 2 2 2ln2 2
x ax a dx x a x x a C
26. 2 2
1, 0
xdxarcsen C a
a ax x a
27. 2 2
2 2
1 ln( )dx a a xC
a xx a x
TCNICAS DE INTEGRACIN
INTEGRACION POR FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN: Se encuentran las primitivas en forma inmediata con la aplicacin de las frmulas
bsicas de integracin, considerando algunos recursos algebraicos. En ocasiones, antes
de realizar la integral correspondiente, se procede a simplificar la expresin de tal
forma que se pueda aplicar dichas frmulas bsicas.
Ejemplos:
1. 7
6 6 799 9 97 7
xx dx x dx C x C
2. 6 4 2
5 35 2 9 7 5 2 9 76 4 2
x x xx x x dx x C
3. 2
2 5 4 2 2 5 5 4 4 5 5x dx x x dx xdx xdx dx
23
24 8 5
52 3
xx x C
4. 5
2 2 44 4 16 165
xx x dx x dx x C
5.
5 3 2
3
6 9 2x x xdx
x
Solucin:
Descomponiendo la fraccin en suma de fracciones: 5 3 2 5 3
2
3 3 3
6 9 2 6 9 2 26 9
x x x x xx
x x x x x
Por tanto:
5 3 22
3
3
3
6 9 2 26 9
6 9 2ln3
2 9 2ln
x x xdx x dx
x x
xx x C
x x x C
6. 55 3 3
3 4
4 2
2
x x xdx
x
Solucin: 3 35 5
55 3 3 3 35 52 2
4 4 4 43 4 3 3 3 3
5 53 37 711 11
6 15 6 15
8313 4
6 15
4 2 4 2 4 2
2 2 2 2 2
2 22 2
12 15 3
13 4 8
x x x x x x x x xdx dx dx
x x x x x
x xx x dx x dx x dx dx
xx x C
7. El ingreso marginal derivado de la produccin de x unidades de cierto artculo
es 3'( ) 8 2I x x x dlares por unidad. Si el ingreso derivado de la produccin
de 12 unidades es de $12000, cul ser el ingreso esperado por la produccin
de 20 unidades?
8. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de cierto
bien es 2'( ) 3 24 48C q q q dlares por unidad. Si el costo de produccin de
10 unidades es de $5000, cul es el costo de produccin de 25 unidades?
9. Un fabricante estima que el ingreso marginal ser 1/2'( ) 200R q q dlares por
unidad cuando el nivel de produccin sea de q unidades. Se ha determinado
que el costo marginal correspondiente es de 0.4q dlares por unidad. Suponga
que la utilidad del fabricante es $2000 cuando en nivel de produccin es de 25
unidades. Cul es la utilidad del fabricante cuando el nivel de produccin sea
de 36 unidades?
10. Un ecologista encuentra que cierto tipo de rbol crece de tal forma que su
altura ( )h t despus de t aos cambia a una razn de
2/3'( ) 0.2 pies/aoh t t t
Si cuando se plant el rbol ste tena una altura de 2 pies, cul ser su altura dentro de 30 aos?
INTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE
El mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable consiste en transformar
la integral dada, mediante un cambio de variable en otra ms sencilla de integrar.
Si se tiene ( )f u du (una integral no inmediata), se trata de hacer un cambio:
( )u g x , entonces '( )du g x dx para llegar a:
( ) ( ) '( )f u du f g x g x dx
Ejemplos:
1. Determinar 22 1 x xdx .
Solucin:
Hacemos el cambio 21u x , entonces 2du xdx . Sustituyendo en la
integral, tenemos:
32 2
22 1
3x xdx u du u C
Reemplazando u por 21 x , tenemos:
3
2 2 222 1 13
x xdx x C
2. Determinar 3 24x x dx .
Solucin:
Haciendo 24 2u x du xdx
2
duxdx
Luego, reemplazando en la integral:
1 43 2 3 3 3
42 3
1 34
2 2 8
34
8
dux x dx u u du u C
x C
3. Determinar 3
5 42 5x x dx
Solucin: Hagamos 5 42 5u x du x dx . Reemplazando en la integral,
tenemos:
43
5 4 3
45
2 54
2
4
ux x dx u du C
xC
4. Determinar 2sec ( ) tan( )x x dx .
Solucin: Hagamos 2tan( ) sec ( )u x du x dx . Reemplazando en la integral,
tenemos: 2
2
2
sec ( ) tan( )2
tan ( )
2
ux x dx udu C
xC
5. Determinar
2
2 3cos
x dxdx
x .
Solucin:
Hagamos 3 23u x du x dx
2
3
dux dx
Reemplazando, tenemos:
22 2 3 2
2 3
3
1sec sec ( )
3cos
1 1tan( ) tan
3 3
x dxdx x x dx u du
x
u C x C
INTEGRACIN POR PARTES:
Se obtiene de la frmula para la derivada del producto de dos funciones. Si y f g
son
funciones diferenciales, entonces:
( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
df x g x f x g x f x g x
dx
df x g x f x g x g x f x
dx
Al integrar cada miembro de esta ecuacin se obtiene:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
df x g x dx f x g x dx g x f x dx
dx
f x g x dx f x g x g x f x dx
Recibe el nombre de frmula de integracin por partes. Para los propsitos del clculo,
una forma ms conveniente de esta frmula se obtiene al considerar
( ) y ( )u f x v g x .
Entonces '( )du f x dx
y '( )dv g x dx de modo que se transforma en:
udv uv vdu
Ejemplos:
1. Hallar cos( )x x dx .
Solucin: Haciendo u x du dx .
cos ( )
cos ( )
( )
dv x dx
dv x dx
v sen x
cos ( ) cos ( ) ( ) ( )
( ) cos( )
v vdvu u du
x x dx x x dx x sen x sen x dx
x sen x x C
2. Hallar ln( )x dx .
Solucin:
Haciendo ln( ) dx
u x dux
.
dv dx
dv dx
v x
Integrando por partes, tenemos:
ln( )x dx uv vdu
Reemplazando:
1
ln( ) ln( )
ln( )
ln( )
x dx x x x dxx
x x dx
x x x C
3. Hallar 32 ln( )x x dx .
Solucin:
Haciendo ln( )u x
y 32dv x dx ; tenemos:
dxdu
x
3
4
2
2
dv x dx
xv
Entonces: 4 4
3
4 3 4 4
12 ln( ) ln( )
2 2
ln( ) ln( )2 2 2 8
x xx x dx x dx
x
x x x xx dx x C
4. Hallar 3 32 1 xx x e dx .
Solucin:
Haciendo 3 22 1 3 2u x x du x dx
y 3
3 3
xx edv e dx v .
Luego:
3 3
3 3 3 2
(1)
2 1 2 1 3 23 3
x xx e ex x e dx x x x dx
Luego, volveremos a aplicar integracin por partes en (1) para encontrar la integral dada:
3
2
1 3 23
xeI x dx
Haciendo 23 2 6u x du x dx
y 3 3
3 9
x xe edv dx v .
Luego:
3 3
2
1
(2)
3 2 69 9
x xe eI x xdx
Luego, volveremos a aplicar integracin por partes en (2) para encontrar la integral dada:
3
2
2
3
xe xI dx
Haciendo u x du dx
y 3 32 2
3 9
x xe edv dx v .
3
3 3 3 3
2
2 2 2 2 2
3 9 9 9 27
xx x x xe xI dx xe e dx xe e C
Reemplazando en (1) y (2) se obtiene:
3 3 3 3
3 3 3 2 2 22 1 2 1 3 23 9 9 27
x x x xx e e xe ex x e dx x x x C