Matematika · 2018-09-20 · Matematika pre u£ite©ov informatiky Zaradenie modulu Modul Matematika pre informatikov 1 slúºi ako prerekvizita v²etkým informatickým a programátorským

Matematikapre u£ite©ov informatiky 1 Garant predmetu:RNDr. Katarína Ba hratá,PhD., �U, �ilinakatarina.ba hrata�fri.uniza.skAutori textu:RNDr. Katarína Ba hratá,PhD., �U �ilinaRNDr. Hynek Ba hratý,PhD., �U �ilinaMgr. O©gaCzimmermannová, �U �ilinaMgr. Peter Cimmermann,PhD., �U �ilinado . RNDr. Stanislav Kraj£i,PhD., UPJ� Ko²i eMgr. Peter Novotný, PhD.,UK BratislavaMgr. Júlia �i²ková,UK BratislavaRNDr. Mi hal Win zer, PhD.,UK BratislavaRukopis odovzdaný:25. mája 2009

Identi�ká ia moduluAktivita projektu: 1.2 Vzdelávanie nekvali�kovaný h u£ite©ovu£ite©ov informatiky na 2. stupni Z� a na S�Línia aktivity: InformatikaPredmet: Matematika pre u£ite©ov informatikyZaradenie moduluModul Matematika pre informatikov 1 slúºi ako prerekvizita v²etkým informati kým aprogramátorským modulom, kde sa pouºíva matematika. V tomto semestri sú to najmämoduly programovania a digitálnej gramotnosti. �alej modul slúºi ako prerekvizitamodulom Matematika pre informatikov 2 a Matematika pre informatikov 3.Abstrakt moduluModul Matematika pre informatikov 1 je roz£lenený na nieko©ko temati ký h £astí,ktoré zah¯¬ajú témy £ísla a £íselné sústavy, prá u s matemati kými výrazmi, súrad-ni ovú sústavu, elementárnu geometriu a funk ie. Tieto texty sú názornou ukáºkoutoho, ºe niet krá©ovskej esty k matematike. Tieº sú potvrdením skuto£nosti, ºe mate-matika nie je len jedna. V texto h sú prezentované odli²né prístupy k obsahu a formeu£enia matematiky na vysokej ²kole. Od názoru, ºe vysoká ²kola má pripravi´ u£ite©av tom, £o bude pouºíva´ a da´ mu do rúk priamo úlohy, ktoré pouºije na hodiná h,aº po názor, ºe matemati ká príprava informatika zah¯¬a vybudovanie abstraktný h²truktúr, ktoré umoºnia poslu há£ovi získa´ potrebný nadh©ad nad matematikou, abyju potom mohol pouºi´ vo svojej vednej dis iplíne. Zanedbate©ný nie je ani názor, ºematematika je ur£itý druh umenia a jej krásu moºno po hopi´ iba vlastným objavo-vaním.Autori do ur£itej miery súhlasia s kaºdým z uvedený h prístupov, no pri príprave jed-notlivý h tém sa riadili svojimi skúsenosámi s u£ením matematiky a na mieste poslu- há£ov si predstavovali svoji h ²tudentov. Veríme, ºe ²iroká ²kála názorov na obsahaj metódy vyu£ovania matematiky je aj medzi lektormi tohoto ²túdijného programu.Práve preto, aby si v materiálo h kaºdý z lektorov aj poslu há£ov na²iel taký sp�sobprezentovania matematiky, ktorý je mu najbliº²í, uviedli sme v tomto u£ebnom texte²irokú paletu metód u£enia a r�zne úrovne matemati kého obsahu. D�leºitá je pod©aautorov osobná skúsenos´ poslu há£ov s rie²ením problémov, ktoré nepozostávajú ibaz po hopenia pojmu, predvedenia algoritmu, alebo z dosadenia do vzor a.�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 1

ÚvodMilí u£itelia informatiky!Napriek tomu, ºe ie©om Vá²ho ²túdia v tomto projekte je zvý²enie Va²i h kompe-ten ií v predmete Informatika, bude Va²e ²túdium obsahova´ aj 3 moduly venovanématematike. Autori tohto textu by boli ve©mi radi, keby ste tento predmet ne hápaliako odbo£enie od Vá²ho ie©a nau£i´ sa pekné a uºito£né ve i z informatiky. Skúsme sipredstavi´ drevoruba£a, ktorý sa tak ponáh©a so svojou prá ou, ºe nemá £as si nabrúsi´sekeru. Keby venoval pár minút vylep²eniu nástroja, mohol by pra ova´ efektívnej²iea s men²ou námahou.Matematiku je moºné, pod©a úrovne na akej sa pouºíva, hápa´ ako zbierku vzorov, pomo ou ktorý h sa rie²ia úlohy, ako zaujímavú a peknú teóriu, ktorej my²lienkysa dajú ukáza´ aj na elementárnej úrovni, ale aj ako vysoko abstraktnú teoreti kúdis iplínu, ktorá svojimi metódami a pre íznymi postupmi zastre²uje kaºdú vede kúdis iplínu. Na²ím ie©om nie je vy hováva´ z Vás matematikov, ale poskytnú´ uºi-to£né nástroje pre vednú dis iplínu informatika. Nástrojmi nie sú myslené iba vzor e,ale hlavne sp�sob myslenia a metódy rie²enia problémov. Na úlohá h na úrovni zák-lado²kolskej a stredo²kolskej matematiky predvedieme �matemati ký sp�sob� rie²e-nia problémov. Ne h eme u£i´ postupy a metódy na náro£ný h úlohá h, pre ktorý hpo hopenie potrebujete nový matemati ký aparát. Myslie´ a brúsi´ nástroje sa dáaj na úlohá h, nad ktorými máte nadh©ad, alebo i h budete m� ´ priamo vyuºi´ v²kolskej praxi na hodiná h informatiky alebo matematiky.Témy, ktoré zah¯¬ajú úlohy tohto modulu, sa priamo vyuºijú v ostatný h modulo hv prvom semestri. Témy tohto prvého matemati kého modulu sú £ísla a £íselné sús-tavy, prá a s matemati kými výrazmi, súradni ová sústava a elementárna geometria,funk ie. Rozsah kaºdej témy je dostato£ne ²iroký na to, aby ste si v materiálo h na²litaké úlohy, ktoré budú pre Vás výzvou, zaujmú Vás a ktorý h rie²ením sa zlep²í Vá²vzáh k matematike ako sp�sobu rozmý²©ania. Výsledkom absolvovania modulu nemáby´ znalos´ vzor ov a algoritmov rie²enia, ale s hopnos´ zamyslie´ sa nad úlohou,navrhnú´ nejaké postupy rie²enia a spomedzi moºný h rie²ení vybra´ to správne. Ne-treba pozna´ naspamä´ vzor e, sta£í vedie´, ako si nájs´ potrebný vzore a správneho pouºi´, alebo koho sa na rie²enie opýta´. A neprija´ rie²enie preto, ºe ho povedalanejaká autorita, ale preto, ºe rozumieme tomu, ºe je správne.Prajeme Vám pekné £ítanie. Autori

2 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

Obsah1. �ísla a £íselné sústavy ........................................................... 41.1. Krátka exkurzia do histórie .................................................... 41.2. R�zne zápisy £ísiel ............................................................ 41.3. Pozi£né sústavy ................................................................ 51.4. Operá ie v desiatkovej sústave ................................................ 61.5. Dvojková pozi£ná sústava ...................................................... 81.6. Prevod medzi £íselnými sústavami ............................................. 81.7. Niektoré ¤al²ie pozi£né sústavy ............................................... 91.8. S akými £íslami dokáºe po£íta£ pra ova´ ...................................... 91.9. Príklady ...................................................................... 102. Prá a s matemati kými výrazmi ................................................ 122.1. Operá ie s £íslami a symbolmi, poradie vykonávaniaoperá ií ........................................................................... 122.2. S£itovanie a násobeniekomutatívnos´, aso iatívnos´, distributívnos´ ..................................... 122.3. Úprava lomený h výrazov (prá a so zlomkami) ............................... 132.4. Prá a s mo ninami a odmo ninami ........................................... 142.5. Vyhodno ovanie výrazov a i h vizualizá ia v tvarekore¬ového stromu ................................................................ 152.6. H©adanie pokladu, súáº skupín v rie²ení úloh ................................ 162.7. Úlohy pre h©adanie pokladu .................................................. 163. O nekone£nom ovo nom sade .................................................. 193.1. Ke¤ si matematik kúpi záhradu. . . ........................................... 193.2. Ve©ké kreslenie ............................................................... 193.3. �o vidíme na obrázku ........................................................ 213.4. A kde zostali £ísla? ........................................................... 213.5. Zrátajme, £o sme videli ...................................................... 253.6. �o je ako ¤aleko, alebo náv²teva pána Pytagora ............................. 263.7. Namiesto záveru. . . .......................................................... 284. Geometria ..................................................................... 294.1. Základné úlohy ............................................................... 294.2. Náro£nej²ie úlohy ............................................................ 324.3. Preh©ad pouºívaný h vzor ov ................................................. 345. Funk ie ........................................................................ 37

�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 3

1. �ísla a £íselné sústavy�ísla tvoria sú£as´ ná²ho kaºdodenného ºivota. Moºno sa nad i h pouºívaním ani neza-mý²©ame a pouºívame i h elkom automati ky. Bolo to tak vºdy? Vieme e²te �ru£ne�vykonáva´ základné aritmeti ké operá ie? Ktoré? A ako to robí po£íta£? Ako si dokáºeAko sa robí +, −, · a / si pamätákaºdý. Kto vie aj odmo ¬ova´? zapamäta´ £íslo, spo£íta´ £ísla v tabu©ke? Odpovede na takéto otázky nazna£íme vnasledujú om texte. S históriou vzniku a pouºívania £ísiel sa m�ºeme podrobnej²iezoznámi´ v [1℄, [2℄, [3℄.1.1. Krátka exkurzia do histórieKedy ©udia za£ali pouºíva´ £ísla na ozna£enie po£tu nejaký h predmetov, presne nevieme.Pravdepodobne to bolo niekedy po£as prvej te hni kej revolú ie, pribliºne pred 12000rokmi. Antropológovia sa e²te aj dnes stretávajú s prírodnými kme¬mi, ktoré pouºíva-jú len ozna£enia pre jedna a dva, prípadne tri. M�ºeme predpoklada´, ºe asi taktonejako to kedysi s £íslami za£alo. K dne²nej predstave a hápaniu £ísiel viedla dlhá esta.Najstar²ie sú asi prirodzené £ísla, ktoré beºne pouºívame na ozna£enie po£tu objektov� jeden, dva, tri, at¤. � alebo na ur£enie i h poradia � prvý, druhý, tretí, at¤.�asto potrebujeme rozdeli´ nejaký objekt na via £astí, napríklad jablko na polovi e,kolá£ na tretiny, kilogram na gramy a pod. Pri hádzame ku kon eptu ra ionálneho£ísla, zlomku a/b. S podobnými £innosámi, aké sme spomenuli, sa ©udia stretávaliasi od nepamäti. Ale aº v anti kom Gré ku pri²li pytagorov i na to, ºe ra ionálnePytagoras, okolo 569�475 p. n. l. £ísla nesta£ia na ozna£enie v²etký h £ísiel. Ako pri²li na to, ºe existujú aj iné £ísla?Jednodu ho, h eli odmera´ d¨ºku uhloprie£ky ²tvor a so stranami d¨ºky 1. Ako vieme(pod©a Pytagorovej vety), d¨ºka uhloprie£ky je √2, a toto £íslo sa nedá zapísa´ v tvarezlomku, hovoríme, ºe je ira ionálne.Vybudova´ záporné £ísla trvalo ©u¤om 1500 rokov [1℄. U Grékov sa £ísla spájali jednak�Celé £ísla sú od Boha, v²etkyostatné sú dielom ©udí.�, LeopoldKrone ker, 1823�1891 s geometri kou predstavou, a úse£ky záporný h d¨ºok predsa nie sú. Iné pouºitie£ísiel bolo rie²enie aritmeti ký h úloh, kde sa vyskytovali tzv. pridané a odobrané£ísla. Záporné rie²enia rovní pre Grékov neexistovali. Asi najrealisti kej²ia motivá iana zavedenie záporný h £ísiel pri hádzala z ú£tovní kej oblasti, na eviden iu dlhov.Tento prístup sa prejavil aº v Indii pribliºne v 7. storo£í. A moderný prístup k záporným£íslam, aký poznáme dnes, sa ustálil aº o ¤al²í h 1000 rokov!Reálne £ísla predstavujú akési zov²eobe nenie £ísla ako pojmu. V dne²nej dobe sa naRi hard Dedekind (1831�1916)reálne £ísla ozna£il R v Stetigkeitund irrationale Zahlen (1872).Giuseppe Peano (1858�1932) pouºilpre prirodzené £ísla N (numerusinteger positivus) v Arithmeti esprini ipia, nova methodo exposita,1889. Q (Quotient) pre ra ionálnea Z (Zahlen) pre elé pouºil Ni olasBourbaki. (Pod menom N. Bourbakisa (od roku 1935) skrývala skupinazvä£²a fran úzsky h matematikov.)

ozna£enie prirodzený h £ísiel pouºíva N, na ozna£enie elý h £ísiel Z, ra ionálny h£ísiel Q a reálny h £ísiel R. V matemati kej praxi sa s nimi stretávame prostred-ní tvom dvo h modelov [1℄: aritmeti kého (£ísla) a geometri kého (£íselná os). Ná-zornej²í je geometri ký, v ktorom vidno vlastnosti reálny h £ísiel (napríklad: pre©ubovo©né dva body X a Y platí práve jeden z prípadov: X = Y , X je v©avo od Y , Yje v©avo od X; medzi kaºdými dvoma bodmi existuje bod; na priamke nie sú diery).V aritmeti kom modeli zase lep²ie vidno rozdiel medzi ra ionálnymi a ira ionálnymi£íslami.1.2. R�zne zápisy £ísielJe zrejmé, ºe ke¤ ©udia za£ali pouºíva´ £ísla, h eli i h aj u hováva´. Vznikla potrebai h nejako zapísa´. V období, ke¤ písa´ vedel len ve©mi obmedzený po£et ©udí, bolpomerne roz²írený sp�sob komuniká ie £ísiel a aj výpo£tov pomo ou prstov na ruká h.Pouºívali ho na mnohý h miesta h a v Európe sa udrºal do stredoveku. Ale zapísané£ísla majú predsa len dlh²iu trvá nos´ neº £ísla ukázané alebo vyslovené. Vyskytujúsa uzlíky (napr. v �íne a Inkovia v Peru), £iarky na r�zny h listo h, zárezy v dreve akameni. Asi najznámej²ie je tzv. rová² � kúsok dreva, ktorý sa po vytvorení zárezovOd 12. storo£ia aº do r. 1826 sarová²e pouºívali v britskomo� iálnom ú£tovní tve roz²tiepil na dva kusy a tie oddelene slúºili ako doklady pre zmluvné strany.4 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

Pri zápise £ísiel sa ve©mi £asto pouºívalo rozdelenie £ísla do vhodný h skupín, ktorésa potom zapísali pomo ou dohodnutý h symbolov. Asi najjednodu h²í sp�sob je, ke¤£íslo rozdelíme na príslu²ný po£et jednotiek a namiesto kaºdej jednotky napí²eme£iarku. Napríklad7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = |||||||.Takmer vºdy boli skupiny nejaký násobok £ísla 5, £o je po£et prstov, ktoré sa pri Vypo£ítajte ||||||||||||| · ||||||||||||.po£ítaní zrejme dos´ vyuºívali. Pouºívali sa skupiny ve©kosti 5, 10, 20, a aj 60. Rímske£ísla vyuºívajú e skupiny po 10 sa pouºívali v Európe 1500 rokov.

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000Napríklad 2009 = MMIX.Pri vypra ovávaní v©avo uvedeného vi£enia si istotne v²imnete, ºe po£íta´ s £íslami Vypo£ítajte bez toho, aby ste si£ísla prepísali �na²ím� sp�sobom.a) MMIX − CX,b) MDCCLIX + IDX, ) MMIX · MMX.zapísanými rímskymi £íslami vyºadovalo riadny kus námahy. �ísla ste najprv rozloºilina i h £asti ozna£ené rovnakými symbolmi, potom sa snaºili vykona´ danú po£tovú op-erá iu. Pri s£ítaní a od£ítaní to bolo ©ah²ie, sta£ilo ku skupinám rovnaký h symbolovprvého £ísla prida´ alebo odobra´ rovnaké symboly z druhého £ísla. Ak sa uº nedaloModerné po£ítadlo. Skústevymyslie´, ako by ste na ¬ompo£ítali s rímskymi £íslami.

odobra´, bolo si treba rozmeni´ na príslu²ný po£et symbolov jeden najbliº²í vä£²í sym-bol. A na konie pouºi´ pod©a potreby opa£né pravidlo, t. j. zameni´ príslu²ný po£etsymbolov na najbliº²í vä£²í symbol, a prípadne e²te pravidlo �od£ítania�, napríkladXXXX = XL, VIIII = IX a pod. Na u©ah£enie výpo£tov sa pouºívalo po£ítadlo, £o jeasi najstar²ie zariadenie na spra ovanie informá ií.Na rovnakom prin ípe ako rímske £ísla bolo zaloºené zapisovanie £ísiel v starovekomEgypte, Gré ku aj v �íne. Pravdaºe pouºívali r�zne symboly a r�zne hodnoty symbolov,napríklad v �íne aº po 100 000 000.1.3. Pozi£né sústavyPravdepodobne potreba pra ova´ s ve©kými £íslami a neprakti kos´ ve©kého po£tu sym-bolov na ozna£enie prvkov jednotlivý h skupín viedli k systemati kému vyuºitiu pozí- ie, na ktorej sa niektorý symbol na hádzal. Takýto sp�sob vyjadrovania £ísiel nanazýva pozi£ný. Je zaujímavé, ºe k takémuto objavu pri²lo nezávisle vo via erý h iv-ilizá iá h, najznámej²ie sú babylonský a mayský systém. Tieto systémy neboli takýmpozi£ným zápisom, aký poznáme dnes, ale svojou podstatou sa od neho prin ipiálnenelí²ili. D�leºitým problémom v pozi£nom zápise je potreba pouºívania symbolu prenulu, jeho zavedenie je podstatným prínosom. Výhody pozi£ného systému denne vyuºí-vame, ©ahko sa £íta, je kompaktný, umoº¬uje zápis ©ubovo©ne ve©ký h £ísiel, a navy²esa v ¬om aj ©ahko dá po£íta´.si v²ak uvedomuje, ºe £ísla zapisujeme v nejakej £íselnej sústave. �íslo berieme V Babylonskej rí²i pouºívali akozáklad pozi£nej sústavy 60. Pre� ifry� nemali 60 symbolov, alezapisovali i h (rovnako ako rímske£ísla) tak, ºe £íslo vytvorilizoskupením príslu²ného po£tusymbolov napríklad pre desiatkua jednotku. Hodnota ifry sa e²tevynásobila 60 to©kokrát, na ko©kejpozí ii sa ifra na hádzala.ako po£et a zapisujeme ho tak, ako nás nau£ili. Pozrime sa bliº²ie na zápis £ísla vdesiatkovej sústave.Táto sústava je pozi£nou sústavou, lebo výsledné £íslo závisí od pozí ie i�er: ak bysme prehodili napríklad prvú a tretiu ifru, získali by sme £íslo 4 237, £o uº by boloiné £íslo ako 3 247. Na²e ifry sa zvyknú nazýva´ indo-arabské, pretoºe histori kéd�kazy nazna£ujú, ºe po hádzajú z Indie, odkia© sa do Európy dostali prostrední tvomArabov. K©ú£ový význam pri roz²írení tohoto zápisu a sp�sobu po£ítania v rám i arab-ského sveta a nesk�r aj Európy malo dielo Mohamada ibn Musa al-Khowarizmiho s�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 5

názvom Al-Jabr wal Muqabalah, ktorého meno v latinskom preklade skomolili na �al-gorismi�, z £oho vzniklo slovo algoritmus na ozna£enie návodu na po£ítanie. �al²ímAhá, no predsa algebra. zásadným dielom bola kniha Liber aba i od Leonarda Fibona iho alebo aj Pisanského.Sú to riadne �stariny�: Al-Jabr je z9. storo£ia a Liber aba i z r. 1202. Je pozoruhodné, ºe obaja autori majú svoje miesto i v dne²nej informatike.Najznámej²ie pozi£né sústavy sú desiatková, dvojková, ²estnástková, osmi£ková. VoV literatúre m�ºeme vidie´ aj inénázvy n-árny h pozi£ný h sústav,ktoré po hádzajú z latin£iny:• dvojková � binárna• desiatková � dekadi káa gré£tiny:• ²estnástková �hexade imálnaAko by sa volala ²estnástkovásústava v latin£ine?

v²eobe nosti m�ºe by´ n-árna £íselná sústava, £íslo n je základ sústavy a ur£uje,mo ninou akého £ísla sa ifry násobia, a tieº po£et moºný h i�er. T. j. v desiatkovejsústave je základ £íslo 10, ifry sa násobia £íslami 100, 101, 102, . . . a ifry m�ºu by´0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. V dvojkovej sústave je základ £íslo 2, ifry sa násobiamo ninami £ísla 2, ifry m�ºu by´ 0 alebo 1. M�ºeme si v²imnú´, ºe v ²estnástkovejsústave sú ifry nielen 0 aº 9, ale aj A, B, C, D, E, F. Je to preto, ºe potrebujeme16 r�zny h symbolov pre ifry. Mohli sme i h ozna£i´ 0 aº 15, nevedeli by sme v²akpoveda´, £i 15 je jedna ifra alebo dve. Z prakti ký h d�vodov sa zvolili jednoznakovéMohli by sme predsa písa´ napríklad

15 . ifry.1.4. Operá ie v desiatkovej sústaveOpí²me si základné operá ie v desiatkovej sústave � s£ítavanie, od£ítavanie, násobe-nie a delenie, aby sme si uvedomili £innosti, ktoré vieme vykonáva´ automati ky.Sú£et £íselS£ítava´ £ísla nás u£ili uº dávno. Malé £ísla sa s£ítavali spamäti, na ve©ké nás u£ilialgoritmus. �ísla sme napísali pod seba a ifry bolo treba s£ítava´ �odzadu�. Teraz siAlgoritmus sme spomínali pred hví©ou. Je to presne de�novanýpostup krokov, ktorý nás dovediek výsledku ukáºeme známy postup a zamyslíme sa nad tým, pre£o funguje. Lep²ie tak po hopímeprin íp zápisu £ísel v desiatkovej sústave a pom�ºe nám to získa´ nadh©ad nad ©ubovo©-nou n-árnou sústavou.Postup: S£ítan e napí²eme pod seba zarovnané doprava. Postupujeme od posledný h i�er k prvým (sprava do©ava). S£ítame ifry v st¨p i a do rovnakého st¨p a vo výsledkunapí²eme sú£et, ak je jedno iferný, alebo poslednú £ísli u sú£tu, ak je dvoj iferný.M�ºe by´ via ako dvoj iferný?Kedy? Ako postupujeme vtedy? Ak bol dvoj iferný, prenesieme druhú ifru do ¤al²ieho st¨p a. Tú musíme do sú£tuzaráta´ tieº. Ke¤ spo£ítavame iba dve ifry, výsledok m�ºe by´ najvia 18. V na²ompríklade m�ºe by´ eventuálna druhá ifra sú£tu len 1. V nasledujú om výpo£te smerovnakou farbou ozna£ili ifry na rovnaký h pozí iá h.635 + 4781 =

635 + 4781 =

= 6 · 100 + 3 · 10 + 5 · 1 + 4 · 1000 + 7 · 100 + 8 · 10 + 1 · 1 =

= 4 · 1000 + (6 + 7) · 100 + (3 + 8) · 10 + (5 + 1) · 1 =

= 4 · 1000 + 13 · 100 + 11 · 10 + 6 · 1 =

= 4 · 1000 + 1 · 1000 + 3 · 100 + 1 · 100 + 1 · 10 + 6 · 1 =

= 5 · 1000 + 4 · 100 + 1 · 10 + 6 · 1 =

= 5416Rozdiel £íselRozdiel £ísel sa od sú£tu ve©mi nelí²i. Rovnakým sp�sobom ako pri s£ítavaní postupu-jeme po jednotlivý h ifrá h sprava do©ava. Teraz ale ifru v druhom riadku odpo£í-tavame od ifry v prvom riadku. Ak je výsledok kladný, je to rovno ifra výsledku.6 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

Ak je ale záporný, musíme si �poºi£a´ desiatku�, teda jednotku z ifry v©avo, ako tovidíme pri zelený h, ºltý h a £ervený h £ísla h v nasledujú om príklade.4105− 942 =

4105 − 942 =

= (4 · 1000 + 1 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1) − (9 · 100 + 4 · 10 + 2 · 1) =

= 4 · 1000 + 1 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1 − 9 · 100 − 4 · 10 − 2 · 1 =

= 4 · 1000 + (1 − 9) · 100 + (0 − 4) · 10 + (5 − 2) · 1 =

= (4 − 1) · 1000 + (11 − 9 − 1) · 100 + (10 − 4) · 10 + (5 − 2) · 1 =

= 3 · 1000 + 1 · 100 + 6 · 10 + 3 · 1 =

= 3163Sú£in £íselVynásobi´ dve via iferné £ísla je uº tro ha áº²ie. Základom je uvedomi´ si, ºesta£í vedie´ násobi´ via iferné £íslo jedno iferným. V takomto prípade postupnenásobíme jedno iferným £íslom ifry druhého £ísla sprava do©ava, teda od najniº²í hrádov k vy²²ím. Pri vynásobení dvo h i�er m�ºeme dosta´ £íslo od 0 po 81. V prípadejedno iferného £ísla je to priamo ifra výsledného sú£inu, ak je dvoj iferné, do výsled-ku zapí²eme jeho druhú ifru a prvá tvorí tzv. prenos do vy²²ieho rádu. Prenos musímepripo£íta´ k ifre výsledku, ktorá je najbliº²ia v©avo. Pri násobení via iferného £ísla Takºe k sú£inu dvo h i�er e²tetreba pripo£íta´ aj prenos. Správneje teda, ºe m�ºeme dosta´ £íslo od0 po 90, v²ak?via iferným postupujeme tak, ºe druhé £íslo si �rozloºíme� na ifry, ktoré, pravdaºe,nesmieme zabudnú´ vynásobi´ 10 to©kokrát, na ko©kej pozí ii sa ifra na hádza (pozí- ie sú o£íslované od 0). Nakonie e²te musíme spo£íta´ to©ko £ísiel, ko©ko i�er malodruhé £íslo, ktorým sme násobili. Pred hví©ou sme si ukázali, ako spo£íta´ dve £ísla.To sta£í, aby sme s£ítali ©ubovo©ný po£et £ísiel. S£ítaním dvo h £ísiel klesne po£ets£ítan ov o jedna, takºe ak sme násobili c- iferným £íslom, s£ítavame c £ísiel po c− 1s£ítania h budeme ma´ h©adaný výsledok násobenia.

364 · 156 =

364 · 156 =

364 · (100 + 50 + 6) =

364 · (1 · 100 + 5 · 10 + 6) =

364 · 1 · 100 + 364 · 5 · 10 + 364 · 6) =

364 · 100 + 1820 · 10 + 2184 =

56784Podiel £íselPodiel je z uvedený h ²tyro h aritmeti ký h operá ií asi najzloºitej²í. Intuitívne jeto asi zrejmé, pretoºe ©ubovo©né dve £ísla sa dajú s£íta´, od£íta´, alebo vynásobi´,ale nie kaºdé dve £ísla sa dajú bezo zvy²ku vydeli´. Ke¤ máme dve £ísla X, Y amáme ur£i´ X/Y , máme vlastne zisti´, ko©kokrát sa £íslo Y na hádza v £ísle X. Na-jjednodu h²ie je to ur£i´ postupným od£ítavaním £ísla Y od £ísla X. Ak dosiahnemenulu, £íslo Y delí X bezo zvy²ku. V prípade, ºe sme nulu nedosiahli, musíme sa razdosta´ do situá ie, ºe výsledok odpo£ítania Y by uº bol záporný. Vtedy sa Y na hádza�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 7

v X so zvy²kom, ktorý sa rovná tomu £íslu, od ktorého sme Y uº nevedeli via odpo£í-ta´. Tento sp�sob nie je ve©mi ²ikovný, najmä v prípade, ke¤ je Y ove©a men²ie neºX, pretoºe po£et od£ítaní Y od X je úmerný ve©kosti podielu X/Y. V praxi sa pouºí-va rý hlej²í, ale zloºitej²í sp�sob, ktorý vyºaduje po£et od£ítaní a násobení úmernýpo£tu i�er podielu X/Y.Skúste vypo£íta´ 20 092 009/19 lenpostupným od£ítaním a zvy£ajnýmsp�sobom a porovnajte po£etpotrebný h od£ítaní a násobení. 5 6 7 8 9 : 1 5 8 = 3 5 9

− 4 7 4

9 3 8− 7 9 0

1 4 8 9− 1 4 2 2

6 7Výsledok delenia 56789/158 je 359, zvy²ok 67.1.5. Dvojková pozi£ná sústavaDvojková sústava hrá v informatike d�leºitú úlohu. Vyuºívajú ju v²etky digitálnete hnológie. Pouºíva ju aj po£íta£. Aby sme dokázali lep²ie porozumie´ niektorýmprin ípom prá e po£íta£a, budeme sa jej teraz stru£ne venova´. Jeden z d�vodov,pre£o sa dvojková sústava pouºíva, je jednodu hos´, s akou sa v nej dajú vykonávaáritmeti ké operá ie a realizova´ potrebné elektri ké obvody. Dvojková sústava sa od0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1,1 + 1 = 10. desiatkovej lí²i len tým, ºe namiesto 10 i�er pouºíva len dve � 0 a 1 � a hodnota ifry na pozí ii p sa násobí 2p a nie 10p. Ke¤ºe máme iba dve ifry, z ktorý h je navy²e0 · 0 = 0,0 · 1 = 0,1 · 0 = 0,1 · 1 = 1. jedna 0, je ©ahko vidie´, ºe s£ítanie aj násobenie bude ve©mi jednodu hé. Cifra v dvoj-kovej sústave sa nazýva aj bit, pouºíva sa aj skratka b. Osem iferné £íslo v dvojkovejTakºe platí 8 b = 1B. sústave sa nazýva byte, skratka B.1.6. Prevod medzi £íselnými sústavamiPrevod £ísel z desiatkovej do dvojkovej sústavy: Jednotlivé ifry £ísla v dvojkovejsústave budeme zapisova´ odzadu.1. Zapí²eme zvy²ok £ísla po delení £íslom 2.2. �íslo vydelíme £íslom 2.Skúste si previes´ £ísloz desiatkovej do desiatkovej sústavy 3. Pokra£ujeme 1. krokom, aº kým sa £íslo nezmen²í na nulu.Na nasledujú om obrázku je prevod £ísla 89 do dvojkovej sústavy. Skúste ho samostatneprevies´ pod©a uvedeného návodu.

�ísla 2 a 10 v dvojkovej, resp. desiatkovej sústave sa nazývajú základ. Ke¤ si pozorne-Binárna s£íta£ka. Zdroj:http://blog.nelmezzo.net/ j²ie v²imneme, £o sa v návode na prevod £ísla x vlastne deje, vidíme, ºe nerobíme8 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

ni£ iné, iba zisújeme, ko©ko ktorý h mo nín základu musíme zobra´, aby sme v sú£tedostali x. Aby sme sa vyhli pri zápise £ísiel nedorozumeniam, akú sústavu pouºívame,základ sústavy zapí²eme k £íslu ako pravý dolný index, napríklad(10)2 = (2)10, (1101)2 = (13)10, (1011001)2 = (89)10.V prípade, ºe h eme £íslo previes´ do inej sústavy, v pred hádzajú om algoritmezameníme £íslo 2 za príslu²ný základ.Pozrime sa teraz na s£ítavanie £ísiel v dvojkovej pozi£nej sústave. Ako sme uº spomí- Skúste sami navrhnú´ postup nas£itovanie bez toho, aby ste £ítali¤alej.nali, je to ©ah²ie neº v desiatkovej sústave, lebo sa sta£í nau£i´ s£itova´ len dve ifry,

0 a 1. Inak postupujeme rovnako ako v desiatkovej sústave, obe £ísla si napí²eme podseba zarovnané doprava a za£neme spo£ítava´ ifry, ktoré sú nad sebou sprava do©a-va. V dvo h situá iá h: (1)2 +(1)2 a (1)2 +(1)2 +(1)2 dostaneme dvoj iferné výsledky Kedy nastane situá ia(1)2 + (1)2 + (1)2?(10)2 a (11)2, vtedy zapí²eme do výsledku pravú ifru, teda 0 alebo 1 a 1 bude prenosdo vy²²ieho rádu.1.7. Niektoré ¤al²ie pozi£né sústavyOkrem dvojkovej sústavy sa £asto pouºíva v súvislosti s po£íta£mi ²estnástková aleboosmi£ková sústava. I h hlavnou výhodou je, ºe umoº¬ujú rý hly prevod z/do dvojkovejsústavy a poskytujú kompaktnej²í zápis. Pretoºe 8 = 2 · 2 · 2 = 23 a 16 = 24, ©ahkovidíme, ºe troji e, resp. ²tvori e dvojkový h i�er tvoria jednu ifru v osmi£kovej,resp. ²estnástkovej sústave. Platí, ºe

(000)2 = (0)8, (001)2 = (1)8, (010)2 = (2)8, (011)2 = (3)8,(100)2 = (4)8, (101)2 = (5)8, (110)2 = (6)8, (111)2 = (7)8.Takºe dvojkové £íslo sta£í rozdeli´ na trojbitové kúsky sprava do©ava, a ke¤ kaºdýnahradíme zodpovedajú ou ifrou v osmi£kovej sústave, máme elé £íslo zapísané vosmi£kovej sústave. V²imnite si, ºe na zápis kaºdého £ísla nám sta£í len tretina sym-bolov, ako ke¤ je £íslo zapísané v dvojkovej sústave. Na druhej strane uº nevysta£ímelen s dvoma symbolmi, ale potrebujeme i h osem. Nieko©ko príkladov:

(10 110 100)2 = (264)8, (111 011 101)2 = (735)8, (1 010 011)2 = (123)8.Analogi ky postupujeme aj pri ²estnástkovej sústave, len teraz dvojkové £íslo rozdelímena ²tvrorbitové kúsky. Platí, ºe(0000)2 = (0)16, (0001)2 = (1)16, (0010)2 = (2)16, (0011)2 = (3)16,(0100)2 = (4)16, (0101)2 = (5)16, (0110)2 = (6)16, (0111)2 = (7)16,(1000)2 = (8)16, (1001)2 = (9)16, (1010)2 = (A)16, (1011)2 = (B)16,(1100)2 = (C)16, (1101)2 = (D)16, (1110)2 = (E)16, (1111)2 = (F)16.Dvojkové £ísla s pred hádzajú eho príkladu zapísané v ²estnástkovej sústave(1011 0100)2 = (B4)16, (1 1101 1101)2 = (1DD)16, (101 0011)2 = (53)16.1.8. S akými £íslami dokáºe po£íta£ pra ova´Predov²etkým si treba uvedomi´, ºe po£íta£ pra uje len s £íslami v dvojkovej sústave.Navy²e má pre kaºdé £íslo vyhradený iba obmedzený po£et bitov! Napríklad to m�ºeby´ 8 b, 16 b, 32 b, 64 b alebo 128 b. V sú£asnosti je to naj£astej²ie 32 b. To vysvet©uje,pre£o po£íta£ vie pra ova´ iba s £íslami z istého intervalu. Vedeli by ste vypo£íta´, No predsa 232 − 1 = 4 294 967 295.aké najvä£²ie £íslo sa zmestí do 32 b?To, ºe £ísla sú v po£íta£i uloºené len v istom pevnom po£te bitov, má zaujímavéd�sledky. Predstavme si, ºe £ísla sú uloºené v byto h. V jednom byte m�ºeme uloºi´�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 9

£ísla 0 aº 255. �o sa stane ke¤ máme £íslo 255, t.j. (11111111)2, a pripo£ítame knemu 1? Presne to, £o asi neo£akávame, dostaneme (00000000)2, teda nulu. Vidíme,ºe £ísla v po£íta£i sa správajú tro hu inak, ako sme si asi predstavovali. A £o ke¤ h eme odpo£íta´ 1 od 0, teda od (00000000)2? Ak ozna£íme tento výsledok V , ho iNi£ prekvapujú e, aj po £ase 23:59predsa nasleduje 00:00. zatia© nevieme aký bude, bude rozumné, ke¤ bude plati´ V +1 = 0. Takºe je to jasné:V musí by´ 255 (nezabudnite: stále pra ujeme s bytmi)!Návod na vytvorenie záporného £ísla k £íslu n v dvojkovej sústave je takýto:1. Zame¬ v dvojkovom zápise £ísla n v²etky 0 na 1 a 1 na 0.2. Ku vzniknutému £íslu pripo£ítaj 1.Stále pra ujeme s £íslami v byto h. Napríklad k £íslu 10 vytvoríme záporné £íslo −10.Naozaj platí, ºe

0000101011110110

00000000

Najprv si prepí²eme 10 do dvojkovej sústavy: (00001010)2, teraz zameníme vzájomne1 a 0. Dostaneme (11110101)2 a pripo£ítame 1 a máme (11110110)2, £o je dvojkovýzápis £ísla −10.Zatia© sme si vysvetlili iba prá u s elými £íslami v dvojkovej sústave. Ob£as trebapouºíva´ aj reálne £ísla. Logi ký sp�sob zapisovania v dvojkovej sústave je taký, ºeza desatinou £iarkou budú ¤al²ie bity hodn�t 2−1 = 1

2 , 2−2 = 14 , 2−3 = 1

8 , . . . Takºenapríklad (12,5)10 = (1010,1)2, (0,75)10 = (0,11)2.Treba si uvedomi´, ºe v po£íta£i vieme zapisova´ kone£ný po£et i�er, takºe problé-mom sú £ísla s nekone£ným rozvojom v dvojkovej sústave, ako napríklad 13 alebo 0,4. Ztoho d�vodu pri prá i s reálnymi £íslami si treba dáva´ ve©ký pozor na zaokrúh©ovaniea porovnávanie.1.9. Príklady1. Zahrajte sa nasledovnú hru s názvom binárny kamzík. Nieko©ko (optimálne ²es´)©udí sa postaví ved©a seba. �udia sa o£íslujú sprava do©ava nasledovne: Najprave-j²í £lovek má £íslo 1, ved©a neho 2, ved©a 4, ved©a 8, ved©a 16 a ved©a 32, t. j. i.Ak nevládzete, m�ºete robi´�drepy� rukami � ruka hore bude 1,ruka dole 0. £lovek sprava má £íslo 2i−1. Kaºdý predstavuje príslu²ný bit £ísla. Ak je £lovekhore, v £ísle na jeho mieste je 0, ak je dole � v drepe, predstavuje £íslo 1. Toznamená, ºe ak sú ©udia postavení hore, hore, hore, dole, hore, dole, dokopypredstavujú £íslo 5 = 4 + 1.Pod©a pred hádzajú i h pravidiel vyrobte £ísla 0 aº 63.(a) V²imnite si, ºe kaºdý £lovek spraví rovnaký po£et drepov. Pre£o to tak je?(b) Ko©ko ©udí treba, ak by ste h eli reprezentova´ £íslo 235?( ) Ak vyrábate £ísla zaradom, je to ©ah²ie, dá sa nájs´ algoritmus priamo prekaºdého £loveka, nezávislý od ostatný h. Vyskú²ajte si reagova´ spontánnena zadané £íslo, t. j. vedú i skupiny povie 7, a iba posledný traja ©udiaspravia drep, ostatní ostanú hore.(d) Vymyslite podobnú hru na pre vi£ovanie trojkovej sústavy.2. Jasnovide ne há dobrovo©níka vybra´ jedno z £ísel:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Potom dobrovo©ník povie, £i je, alebo nie je toto £íslo postupne v jednotlivý hriadko h:1 3 5 7 9 11 13 152 3 6 7 10 11 14 154 5 6 7 12 13 14 158 9 10 11 12 13 14 15Potom jasnovide £íslo uhádne, aj ke¤ si ni£ nezapisuje, ani ne²krtá. Napríkladpri odpovedi áno, nie, nie, áno to bolo £íslo 9. Pre£o sa mu to darí?10 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

3. Dopl¬te £ísli e namiesto otáznikov, aby platila rovnos´.110?01?1 + 10010?10 = 1?101100?4. Dokáºte, ºe od posledného bitu £ísla v dvojkovej sústave závisí parita £ísla. Párne, alebo nepárne?�o viete poveda´ o £ísle, ak viete hodnotu poslednej £ísli e v nejakej zadanej£íselnej sústave?5. Navrhnite postup na delenie £ísel v dvojkovej pozi£nej sústave.6. Rozkrojíme jablko na polovi u, túto polovi u znovu na polovi u, takto pokra£u-jeme n-krát. Pre aké £íslo n bude posledný rozkrojený kúsok jablka jeden atóm?7. Preve¤te £ísla 163, 13,−5 do dvojkovej sústavy.8. Preve¤te £ísla 010010, 1111, 1100100 do desiatkovej sústavy.9. Ko©ko pamäte potrebujeme na eviden iu rodného £ísla? Ko©ko pamäte potrebu-jeme na zaznamenanie rodný h £ísel v²etký h obyvate©ov Slovenska?


2. Prá a s matemati kými výrazmiÚprava matemati kého výrazu znamená zmeni´ výraz tak, aby bola za hovaná rovnos´medzi hodnotou výrazu pred úpravou a po jeho úprave. Vä£²inou úpravou rozumiemezjednodu²enie výrazu tak, aby bol pre pouºívate©a prijate©nej²í alebo vhodnej²í prejeho ¤al²í postup. Prá u s matemati kými výrazmi sí e nem�ºeme nazva´ priamoNajd�leºitej²í matemati ký symbolv tejto téme je symbol �=�. matematikou, ale ºiadny matematik sa bez tejto zru£nosti nezaobíde, preto aj myvenujeme jednu kapitolu ná viku tejto £innosti.V tomto odseku sa na hádzajú vzor e, na úrovni stredo²kolského u£iva, potrebné nazátvorkyumo ¬ovanieodmo ¬ovanienásobeniedelenies£itovanieod£itovanieúpravu matemati ký h výrazov. Nie je potrebné tieto vzor e ovláda´, sta£í si i h vprípade potreby vyh©ada´.2.1. Operá ie s £íslami a symbolmi, poradie vykonávaniaoperá iíVo výraze sa ako prvé upravujú zátvorky, potom sa vykonajú operá ie umo ¬ovania aodmo ¬ovania, potom nasledujú operá ie násobenia, delenia, s£itovania a od£itova-nia.Napríklad 2 · 3 + 10 · 5 = 21 alebo 23 + 5 ·

√100 = 58.V prípade, ºe h eme operá iám priradi´ vy²²iu prioritu, pouºijeme zátvorky:

2 · 3 + 10 · 5 = 21 alebo 2 · (3 + 10) · 5 = 130 alebo (2 · 3 + 10) · 5 = 80

23 + 5 ·√

100 = 58 alebo 2(3+5) ·√

100 = 2560Znalos´ vzor ov zjednodu²í manipulá iu s matemati kými výrazmi. Koe� ienty n-tejFran úzsky matematik Blaise Pas alvyna²iel fúrik mo niny dvoj£lena sa vypo£ítajú ako kombina£né £ísla (nk), pre k = 0, 1, 2, . . . , n. Súto v²ak aj £ísla, ktoré nájdeme v n-tom riadku Pas alovho trojuholníka.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3Blaise Pas al objavil pravidlo, akovyrobi´ trojuholník pozostávajú iz koe� ientov v rozvoji (a + b)n

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

(a + b)n = an +

(n

1

)

an−1b +

(n

2

)

an−2b2 + · · · + bn

(a − b)n = an −(

n

1

)

an−1b +

(n

2

)

an−2b2 + . . . bnVedeli by ste poveda´, aký koe� ient je pri bn?a2 − b2 = (a + b)(a − b)

(a − b)2 + 4ab = (a + b)2

a · b =

(a + b

2

)2

−(

a − b

2

)2Napríklad48 = 49 − 1 = 72 − 12 = (7 − 1) · (7 + 1) = 6 · 8


2.2. S£itovanie a násobeniekomutatívnos´, aso iatívnos´, distributívnos´K de�ní iám vlastností uvedený h v tomto odseku je potrebné uvies´, pre aké £íselnéobory vlastnos´ platí.Komutatívnos´ znamená zamenite©nos´ poradia:a + b = b + a a · b = b · aOperá ie s£itovania a násobenia sú komutatívne.Napríklad:3 + 4 = 4 + 3 5 · 6 = 6 · 6Ale operá ie od£itovania a delenia nie sú komutatívne.a − b 6= b − a a : b 6= b : aNapríklad:5 − 7 6= 7 − 5 6 : 3 6= 3 : 6Aso iatívnos´ znamená moºnos´ ©ubovo©ného zoskupovania jednotlivý h £lenov:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a · b) · c = a · (b · c)Operá ie s£itovania a násobenia sú aso iatívne.Napríklad:(2 + 4) + 6 = 6 + 6 = 12 = 2 + (4 + 6) = 2 + (10) = 12 (1 · 2) · 3 = 1 · (2 · 3)Ale operá ie od£itovania a delenia nie sú aso iatívne.

(a − b) − c 6= a − (b − c) (a : b) : c 6= a : (b : c)Napríklad:(12 − 10)− 2 6= 12 − (10 − 2) (36 : 6) : 3 6= 36 : (6 : 3)Distributívnos´ je pravidlo, pod©a ktorého sa roznásobí sú£et dvo h alebo via erý hs£ítan ov:

(a + b) · c = a · c + b · c(a + b + c) · d = a · d + b · d + c · d

(a + b) · (c + d) = a · (c + d) + b · (c + d) = a · c + b · c + a · d + b · dNapríklad:(3 + 7) · 2 = 3 · 2 + 7 · 2

(5 + 2 + 4) · 3 = 5 · 3 + 2 · 3 + 4 · 3(5 + 2) · (4 + 3) = 5 · (4 + 3) + 2 · (4 + 3) = 5 · 4 + 2 · 4 + 5 · 3 + 2 · 32.3. Úprava lomený h výrazov (prá a so zlomkami)Pri prá i so zlomkami si treba najprv uvedomi´, ºe menovate© ºiadneho zlomku nem�ºe �o sa stane, ke¤ delíme nulou?Pre£o je pohodlnej²ie delenie nulouzakáza´?by´ £íslo 0.

z =a

b, b 6= 0�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 13

Dva zlomky a

ba c

dsa rovnajú, ak platí

a · d = b · cZ rovnosti a · (b · c) = (a · c) · b dostaneme pre b, c 6= 0 predpisy pre roz²irovanie alebokrátenie zlomkovNaozaj sa zlomky 1

4a 2

8navzájomrovnajú?

1/4 2/8

a

b=

a · cb · c

a : c

b : c=

a

bZjednodu²enie zloºeného zlomku dostaneme z rovnosti:a

b· (b · c) = (a · d) · c

d

a

bc

d

=a · db · cS£ítanie a násobenie zlomkov znovu odvodíme z predpisu pre rovnos´ zlomkov

1/4

1/4

1/8

1/8

a

b+

c

b=

a + c

b

a

b+

c

d=

a · d + c · bb · d

a

b· c

d=

a · cb · d2.4. Prá a s mo ninami a odmo ninamiPre reálne £ísla x, a, b a elé kladné £íslo n je:

x0 = 1, x1 = x, x2 = x · x, x3 = x · x · x, xn = x · x · · · · · x︸︷︷︸

nPre mo niny s elým kladným exponentom n platí:0n = 0, 1n = 1, (a · b)n = an · bn, xn · xm = xn+m, (xn)m = xn·m

(a + b)n = an +

(n

1

)

an−1b +

(n

2

)

an−2b2 + · · · + bnPre mo niny s elo£íselným exponentom n a pre kladné x platí:x−n =

1

xnNezáporné £íslo x, ktoré je (pre kladné n) rie²ením rovni e xn = a sa nazýva n-táodmo nina z a a zna£íme x = n√

a.Platí:n√

0 = 0, n√

1 = 1, 1√

a = a, n√

a · b = n√

a · n√

b, n

√ab =

n√

an√

b

n√

a = a1n14 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

( n√

a)m = n√

am = am

n

m

√

n√

a =(

a1n

) 1m

= a1

n·m= n·m

√a

m√

a n√

a = a1m · a 1

n = a1m

+ 1n = a

n+m

m·n =m·n√

an+mOdstránenie odmo niny z menovate©a zlomku:1√x

=

√x

x, 1

√a +

√b

=

√a −

√b

a − b, 1

√a −

√b

=

√a +

√b

a − bNapríklad:1√2

=

√2

2,

1√5 +

√3

=

√5 −

√3

2,

1√7 −

√6

=√

7 +√

62.5. Vyhodno ovanie výrazov a i h vizualizá ia v tvarekore¬ového stromuJednotlivé kroky upravovania matemati kého výrazu majú ur£ené svoje poradie. Do-brým vi£ením pre predstavu toho, ktoré operá ie treba vykona´ sk�r a ktoré nesk�r,je zápis výrazu v tvare aritmeti kého stromu.Na základe obrázku vysvetlite, ako k danému výrazu vytvoríme s hému na vykonávaniejednotlivý h operá ií, nazývanú aritmeti ký strom.(5. + 8):12 + 3 . - (4- )y y 5. y

2 2

:

^

5

4 y

3 2 y

12

8

^5

y 2ÚlohaVytvorte s hému pre rovnaký výraz ako v pred hádzajú ej úlohe, ale nepouºívajteoperá iu umo ¬ovania.(5. + 8):12 + 3 . - (4- )y y 5. y

2 2

5

4 y

3 3 y

12

8

5

y y�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 15

ÚlohaVytvorte s hému pre rovnaký výraz ako v pred hádzajú ej úlohe, ale pouºívajte iba(5. + 8):12 + 3 . - (4- )y y 5. y

2 2

-5

4 -y

3 3 y

1/12

8

5

y y

operá ie násobenia a s£ítania.ÚlohaVytvorte s hému pre výraz(x · 3 + 5) · (x + 5) + x + 72.6. H©adanie pokladu, súáº skupín v rie²ení úlohPre vi£ovanie manipulá ie s matemati kými výrazmi nie je ob©úbenou aktivitou anipre samotný h matematikov. Napriek tomu je táto zru£nos´ potrebná a nemala byspotrebova´ energiu potrebnú na rozmý²©anie. Na tréning takejto zru£nosti m�ºemepouºi´ súáº medzi skupinami rie²ite©ov.Ú£astní i sa rozdelia do nieko©ký h skupín (po 5�8 ú£astníkov). Kaºdá skupina dostaneNa zorganizovanie tejto súáºepotrebujeme po£íta£ s programoma dataprojektorom a organizátora,ktorý skontroluje výsledky. Programje zbalený v súbore poklad.zip,ktorý obsahuje aj podrobný popisprogramu. Organizátor ¤alejpotrebuje súbory so zadaniamia s výsledkami úloh, pri výsledko hje dobré ma´ pozna£ený aj kód predanú úlohu.

na za£iatku sériu 30 úloh a heslo na prístup do po£íta£a. Ke¤ niekto zo skupiny vyrie²iúlohu, vysvetlí jej rie²enie organizátorovi. Na základe správneho rie²enia organizátorprezradí rie²ite©ovi kód k danej úlohe. Ke¤ majú £lenovia skupiny aspo¬ jeden kódOrganizátor súáºe má náro£núúlohu, pretoºe kontroluje rie²enia,odovzdáva za správne rie²enia kódya zárove¬ kontroluje prá u pripo£íta£i.

od opravovate©a, zadajú kód do po£íta£a. Po zadaní správneho kódu pribudne svetlona jeden krok v tme, potom m�ºe pohnú´ svojou postavi£kou a zbiera´ peniaze (£íslov polí£ku znamená ve©kos´ pokladu na tomto polí£ku). Postavi£ka nem�ºe vstúpi´ napolí£ko, na ktorom práve stojí iná postavi£ka, ani mimo hra ieho po©a. Hra kon£í pouplynutí £asového limitu. Výsledné poradie skupín v hre je ur£ené �nan£ným ziskomna kon i hry. Po£íta£ový program poklad.zip je moºno nájs´ na adrese projektuDVUI, v kurze Matematika pre informatikov, v téme Prá a s matemati kými výrazmi:http://dvui.ccv.upjs.sk/kurzy.Jeho sú£asóu sú súbory: poklad.exe (spú²á í program), kody.txt (kódy, ktorésúáºia i získavajú za vyrie²ené úlohy, limit.txt (£asový limit na konanie elej hry),pole.txt(tvar hra ej plo hy), hesla.txt (heslá na vstup do hry pre administrátora ajpre jednotlivé skupiny hrá£ov) a popisprogramu.doc.Na za£iatku súáºe navodíme atmosféru rozprávaním o tom, ºe sme sa dostali do blud-iska plného tajný h miestností a pokladov. Skupiny ú£astníkov sú h©ada£mi pokladu.Po vypo£ítaní príkladu a zadaní tajného kódu, sa v temnote bludiska objaví svetlo,ktoré vydrºí po£as preh©adávania jednej miestnosti.


2.7. Úlohy pre h©adanie pokladu1. Pridajte do výrazu ©ubovo©ný po£et zátvoriek tak, aby mal £o najvä£²iu hodnotu.Zistite, akú najvä£²iu hodnotu m�ºe výraz nadobudnú´. V tejto prílohe sú úlohy, ktoré sabudú v súáºi H©adanie pokladurie²i´. Prosíme nepo£ítajte i hdopredu sami, budeme i h rie²i´spolo£ne.3 · 8 + 6 : 2 + 12 · 5 · 62. Pridajte do výrazu ©ubovo©ný po£et zátvoriek tak, aby mal £o najmen²iu hodnotu.Zistite, akú najmen²iu hodnotu m�ºe výraz nadobudnú´.3 · 8 + 6 : 2 + 12 · 5 · 63. Upravte výrazy tak, aby ste dostali výraz, ktorý neobsahuje zátvorky:a) (2x + 1)(x + 2), b) (2x + 2y)(x + y), ) (x + 2x + z)(3x + 1)4. Upravte výrazy tak, aby ste dostali výraz, ktorý neobsahuje zátvorky:a) (2x + 1)(2x + 1)(2x + 1), b) (2x + 2y)(x + y + z), ) (x + 2x + z)(3x + z + 1)5. Upravte výrazy tak, aby ste dostali výraz, ktorý neobsahuje zátvorky:a) (2x + 1)2, b) (2x + 2y)2, ) (x + 2x + z)26. Nakreslite obrázok, z ktorého vidno, ºe pre a, b ∈ R+, a > b, platí

(a + b)2 = a2 + 2ab + b27. Znakom ♥ sú ozna£ené hýbajú e £asti výrazov. Dopl¬te hýbajú e £ísla, abyplatili rovnosti a napí²te, ko©ko je ♥:a) x2 − 18x + 81 = (x −♥)2, b) x + ♥x + ♥ = (x + 2)2, ) (x + ♥)2 = x2 + 2♥x + ♥28. Znakom ? sú ozna£ené hýbajú e £asti výrazov. Dopl¬te hýbajú e £ísla a znamien- Vzore pre výpo£et sú£tu prvý h ndruhý h mo nín je:12 + 22 + · · · + n2 =

=n(n + 1)(2n + 1)

6

ka tak, aby platili rovnosti:a) x2−?x + 36 = (x−?)2, b) x+?x+? = (x?5)2, ) (?x−?)2 = 25x2−?x?259. Vypo£ítajtea) 5∑

k=3

2k + 1, b) 2∑

k=−1

k2, ) 20∑

k=0

k, d) 20∑

k=0

(k − 1)(k + 1) Vzore pre výpo£et sú£tu prvý h n£lenov geometri kej postupnosti je:a · 1+a · q +a · q2 + · · ·+a · qn =

=a · (1 − qn+1)

1 − q

10. Vypo£ítajtea) 5∑

j=3

2j, b) 2∑

j=−1

3j, ) 20∑

j=0

5j, d) 20∑

j=0

511. Vypo£ítajtea) 3∏

k=1

2, b) 4∏

k=−1

k, ) 15∏

k=3

k

k − 112. Vypo£ítajtea) 5∏

j=3

2j

2j−2, b) 20∏

j=−1

j, ) 12∏

j=1

5j13. Ktoré z nasledujú i h výrazov nie sú druhou mo ninou dvoj£lena?a) x2 + 8x + 8, b) x2 + 8x + 16, ) x2 + 8x + 32, d) x2 + 8x + 414. Zme¬te koe� ient pri lineárnom £lene tak, aby sa nasledujú e výrazy stali druhoumo ninou dvoj£lena.a) x2 + 8x + 8, b) x2 + 8x + 16, ) x2 + 8x + 32, d) x2 + 8x + 4�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 17

15. Zme¬te absolútny £len tak, aby sa nasledujú e výrazy stali druhou mo ninoudvoj£lena.a) x2 + 8x + 8, b) x2 + 8x + 16, ) x2 + 8x + 32, d) x2 + 8x + 416. Zme¬te koe� ient pri kvadrati kom £lene tak, aby sa nasledujú e výrazy stalidruhou mo ninou dvoj£lena.a) x2 + 8x + 8, b) x2 + 8x + 16, ) x2 + 8x + 32, d) x2 + 8x + 417. Opravte hybu tak, ºe zmeníte iba jedno £íslo:a) 25 − 15x + 9x2 = (3x − 5)2, b) 9x2 + 9x + 1 = (3x + 1)218. Zme¬te £o najmen²í po£et £ísel tak, aby sa zo zápisu stala pravdivá rovnos´:9x2 + 36x + 4 = (3x + 5)219. Nakreslite výraz v tvare aritmeti kého stromu:

x · 3 + 4 · (y + 2) + 220. Vyde©te dva polynómy:(12x5 + 2x + 1) : (2x − 1)21. Vyde©te troj£len dvoj£lenom:(12a5 + 2ab + b) : (a + b)22. Nájdite £ísla a, b, c, d tak, aby platilo:

x4 − x3 + 2

x2 − 3x + 2= ax2 + bx + c +

dx + e

x2 − 3x + 223. Odstrá¬te odmo niny z menovate©a:a) 1√2 −

√3, b) √

2 −√

3√2 +

√3, ) 1

3√

5 + 3√

3, d) 1

3√

7 − 3√

524. Zjednodu²te:( √

3 − 1

3 + 2√

3 + 4

)

:

(

2 −√

3

1 −√

3 + 3

)25. Vyjadrite jedným £íslom: √3 + 2√3 − 2

+

√3 − 2√3 + 226. 4 sliepky znesú 20 vaje za 7 dní. Za ko©ko dní znesie 5 sliepok 50 vaje ?27. Tento rok v januári Mi²o kaºdý de¬ urobil priemerne 100 drepov a vo februárikaºdý de¬ priemerne 159 drepov. Ko©ko priemerne drepov Mi²o urobil kaºdý de¬za oba mesia e?28. Julka má obrázok s rozmermi 128×96 pixelov v 256 farbá h uloºený na disku akoAutenti ká ukáºka úlohy zo sútaºeiBobor

http://ibobor.sk/bobor.bmp. Tento súbor na disku zaberá 13366 bajtov. Potrebuje v²ak obrázokmen²í h rozmerov, preto ho zmen²ila na ve©kos´ 64×48. Akú ve©kos´ bude maóbrázok po zmen²ení, ke¤ ho Julka uloºí v rovnakom formáte?29. Robkov dokonalý model Ferrari meria 10 m a váºi 30 g. Ko©ko váºi Janovenaozajstné Ferrari, ak meria 3 m?30. Ako dlho bude trva´ prenos sady digitálny h fotogra�í do webového albumu?Ve©kos´ sady fotogra�í je 59 612663 bitov a rý hlos´ internetového spojenia je30 Mb/s.18 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

3. O nekone£nom ovo nom sadeNasledujú i text obsahuje do príbehu zakomponovanú sériu úloh, týkajú u sa via -erý h oblastí matematiky (detaily budú uvedené v texte). Úlohy v príbehu je moºnérie²i´ aj pomo ou po£íta£a. Meno hlavnej postavy príbehu nie je, ako by sa mohlozda´, hybným prekladom slova záhradník. Ide sk�r o po tu ameri kému matem-atikovi Martinovi Gardnerovi, ve©kému propagátorovi matematiky, a ²pe iálne jej zá-bavnej alebo záujmovej £asti. Významnou £asóu jeho diela je súbor 288 £lánkov,ktoré s mesa£nou frekven iou pod názvom Mathemati al games uverej¬oval od roku1957 do roku 1980 v £asopise S ienti� Ameri an. Ide o neuverite©nú zbierku nápadova in²pirá ií, ktorú moºno kaºdému len odporu£i´. Aj toto rozprávanie vy hádza z jeho£lánku The latti e of integers onsidered as an or hard or a billiard table publiko-vaného v máji 1965. Teraz je najvy²²í £as za£a´. Pripravte si pero, dve kontrastnefarebné �xky, £istý papier na po£ítanie, ²tvor£ekový na kreslenie a hlavu na mysle-nie. Po £ase sa nám na prá u hodí aj po£íta£ a ©ubovo©ný programova í jazyk, ktorýovládate.3.1. Ke¤ si matematik kúpi záhradu. . .Na tomto mieste pripomenieme, ºe rozprávanie má hlavne motiva£ný harakter, ktorýmá podpori´ £itate©a pri rie²ení úloh. To platí nielen pre ú£astníkov tohto kurzu, aleaj pre i h ºiakov. Téma uº bola úspe²ne odskú²aná so ºiakmi stredný h ²k�l.Jedného d¬a sa matematik pán Gardner rozhodol, ºe za£ne záhradní£i´. Najsk�r sikúpil záhradu. Ako matematik samozrejme ne h el ho akú, ale poriadnu. Najlep²ienekone£nú. Ke¤ºe v²ak nebol z najbohat²í h, miesto elej roviny si mohol dovoli´kúpi´ len jej ²tvrtinu. Svoj pozemok si oplotil dvomi polpriamkovými plotmi a v rohu,kde sa stretávali, si postavil bránku. Potom sa zamyslel, £o a ako bude v záhradepestova´. V prvom rade mal by´ v záhrade poriadok a preh©ad. Vyrobil v nej pretopravidelný nekone£ný systém hriadok, ktoré mali od seba vºdy rovnakú vzdialenos´jeden meter a boli rovnobeºné s plotmi. Rastliny sa rozhodol zasadi´ do v²etký hpriese£níkov tý hto hriadok. Boli to ovo né stromy, a zase nie ho aké. Volali sabodovníky. Kaºdý z ni h bol 2 metrová úse£ka, zasadená pekne a úplne kolmo. Ostromy sa dobre staral, pravidelne i h okopával, polieval a te²il sa na úrodu. A tá stálaza to. Kon om septembra na vr hu kaºdého stromu-úse£ky dozrel jej kon ový bod. PárGardner i h pozbieral a v zime predával geometrom. Zásoby boli bohaté, ve¤ kaºdýrok zo stromov obral nekone£ne ve©a bodov. Správna záhrada v²ak svojmu majite©ovinepriná²a len ovo ie a zisk, ale hlavne po it z dobre vykonanej prá e. Pán Gardnersa preto £asto rád ve£er oprel o bránku v rohu záhrady a ko hal sa poh©adom na svojedielo. A práve pri tom si v²imol, ºe sa m�ºe ko ha´ len £asóu tohto diela. Niektoréstromy totiº videl v plnej kráse, ale ¤al²ie boli pri poh©ade od bránky za lonené inýmistromami. Táto skuto£nos´ ho postupne stále via znervóz¬ovala. Na vidite©ný hstromo h mohol poh©adom kontrolova´ zrelos´ bodov, k zakrytým bolo treba prís´.Vidite©nými stromami sa mohol od bránky po hváli´ svojim náv²tevám, nevidite©néako keby sadil zbyto£ne. Nakonie sa rozhodol, ºe s problémom vidite©nosti stromovsa musí vysporiada´. Samozrejme matemati ky.3.2. Ve©ké kreslenieAko správny matematik si pán Gardner zobral pero a papier a situá iu za£al matem-ati ky spra ováva´. Najsk�r si do svojho plánu za£al kresli´, ktoré stromy vlastne zrohu záhady vidí a ktoré nie. My sa ho teraz pokúsime napodobni´.�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 19

Úloha 1:Vyzna£te si na ²tvor£ekovom papieri plán záhrady. Umiestnite si ju tak, aby v hodbol v jej ©avom dolnom rohu, respektíve aby sa záhrada rozprestierala do nekone£nasmerom na sever a na vý hod. �iary zodpovedajú vodorovným a zvislým hriadkam,zvýrazni´ preto sta£í len plot. Priese£níky £iar, tzv. mreºové body, sú presne miesta-mi, z ktorý h vyrastajú bodovníky. Nekone£ný papier sa vám asi nepodarilo zohna´,nakreslite v²ak záhradu tak, aby mala rozmer aspo¬ 20×20 hriadok. A teraz do prá e.Pre kaºdý mreºový bod v rozsahu 20× 20 hriadok farbou ozna£te, £i je z rohu záhradyvidite©ný alebo nie. (Pokia© kreslíte pomaly, rozsah si zmen²ite, ale ur£ite nie podrozmer 10 × 10. Ozna£i´ vidite©nos´ je moºné r�znymi sp�sobmi, najlep²ie sa v²akosved£ilo bodkovanie pomo ou tenký h �xiek.) Medzi pom� kami nebolo spomenutépravítko, a to úmyselne. Miesto neho je omnoho uºito£nej²ie vyuºíva´ pravidelnos´ arytmus ²tvor£ekovej siete.Po£as prá e si zvedomujte svoj postup a skúste objavi´ a vyuºi´ £o najvia metódkreslenia. Urý hli to va²u prá u a poslúºi ako podklad pre ¤al²ie matemati ké skú-manie situá ie.Rie²enie:Túto prá u musí kaºdý zvládnu´ sám. Vlastnoru£ný obrázok autora berte preto akoilustrá iu jeho snaºenia. V ¤al²om texte predpokladáme, ºe £itate© má k dispozí iisvoj obrázok a skúsenosti, ktoré pri jeho výrobe získal.Úloha 2:Aké metódy a sp�soby kreslenia a vyzna£enia vidite©nosti ste objavili a pouºívali?Rie²enie:Uvedieme tri naj£astej²ie metódy.� Nájdeme niektorý z najbliº²í h zatia© nevyhodnotený h bodov. Ozna£íme ho akovidite©ný (ak je to pravda; ak nie, treba ís´ bliº²ie) a za ním �skryté� mreºovébody leºia e na pred¨ºení polpriamky ur£enej vr holom záhrady a vidite©nýmbodom ozna£íme ako nevidite©né. Tieto body na polpriamke je moºné h©ada´pomo ou pravítka, ale e²te lep²ie pomo ou ²tvor£ekovej siete. Pokia© prvý bodje napr. �2 ²tvor£eky doprava a jeden hore� od vr holu, presne v tomto istomrytme za ním nasledujú ¤al²ie zakryté body.� Po hvíli kreslenia sa v niektorý h riadko h a st¨p o h objaví pravidelná vzor-ka vidite©ný h a nevidite©ný h bodov. V st¨p o h a riadko h pri plote sú napr.vidite©né v²etky body, vo ved©aj²í h sa vidite©né a nevidite©né body striedajú, v¤al²í h sa striedajú 2 vidite©né a jeden nevidite©ný bod at¤. Táto pravidelnos´má svoje d�vody, ku ktorým sa dostaneme nesk�r. Pri samotnom kreslení v²ak vprípade o£ividný h vzorov m�ºeme vysvetlenie zatia© vyne ha´ a vyuºi´ i h privypl¬ovaní obrázku. Pri pozornej²om kreslení sa m�ºu objavi´ pravidelnosti ajSamozrejme, je moºné, ºe sa vámpodarilo objavi´ aj ¤al²ie metódy.Skúste aj v ¤al²om texte sledovaí h vyuºitie a formalizá iu. v ¤al²í h polpriamka h (diagonály a pod.).� Obrázok je symetri ký pod©a osi pravého uhla tvoria eho záhradu. Túto sku-to£nos´ m�ºeme bu¤ priamo vyuºi´ pri vykres©ovaní bodov (tu je ur£ité riziko hyby pri ur£ení symetri kého bodu), alebo pri �symetri kom� pouºití vy²²iespomenutý h postupov.Úloha 3:Aké matemati ké pojmy a objekty m�ºu ºia i pri rie²ení tý hto úloh pouºi´ alebo sa snimi intuitívne zoznámi´?Rie²enie:20 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

Zatia© na gra� kej úrovni tu pra ujeme so (súradni ovou) rovinou. Pri kreslení v tom-to prostredí sa vyuºíva, resp. buduje pojem polpriamky, smerového vektora a jehonásobkov, podobnosti at¤. My²lienka gra� kej pravidelnosti v rie²ení alebo jeho syme-trie patrí k univerzálnym prin ípom, ktorý h objavovanie a vyuºitie by sme mali ºiakovnau£i´.3.3. �o vidíme na obrázkuPo usilovnej prá i máme pred sebou zhruba rovnaký obrázok, ako mal na za£iatku Ako ilustrá iu opä´ prikladámepra ovný materiál z ar hívu autora.svojho skúmania aj pán Gardner. Ur£ite ste si uº po£as kreslenia za£ali v²íma´ r�znezaujímavé vlastnosti a útvary, ktoré sa v ¬om na hádzajú. Asi je najvy²²í £as, aby smesa o ni h porozprávali.Úloha 4:�o vás na obrázku s farebne vyzna£enou vidite©nosóu mreºový h bodov upútalo? Akéz h©adiska vidite©nosti zaujímavé útvary a úkazy sa objavili?Rie²enie:Uvedieme opä´ naj£astej²ie sa objavujú e odpovede. Niektoré sa opakujú z rie²eniaúlohy 2, iné sú nové. Porovnajte i h s vlastnými pozorovaniami.� Obrázok je symetri ký. Táto vlastnos´ je vzh©adom na skúsenosti z kresleniataká samozrejmá, ºe odteraz budeme st¨p ovo-riadkovú symetriu povaºova´ zaautomati kú a nebudeme ju stále pripomína´. Ak v ¤al²om budeme spomína´vlastnosti st¨p ov, myslíme vºdy sú£asne aj na �symetri ké� vlastnosti riadkov anaopak.� V st¨p i hne¤ ved©a plotu sú vidite©né v²etky stromy. Naopak na hlavnej diagoná-le sú v²etky stromy okrem prvého nevidite©né. Dve diagonály susedia e s hlavnouobsahujú len vidite©né stromy.� V niektorý h st¨p o h sa pravidelne striedajú 1 vidite©ný a 1 nevidite©ný strom. Otomto jave budeme hovori´ ako o vzorke 1/1, taký hto st¨p ov je via . Objavujúsa aj iné vzorky (2/1 a pod.), i h výskyt je uº zriedkavej²í. Po podrobnej²omskúmaní sa podobné vzorky ukáºu aj diagonála h.� V plániku sa dajú objavi´ st¨p e (a riadky), v ktorý h sú skoro v²etky stromyvidite©né. Pokia© sa po ni h pohybujeme od plota, prvý nevidite©ný strom nájdemeaº na hlavnej diagonále a ¤al²ie v násobko h tejto vzdialenosti.� M�ºeme upriami´ pozornos´ aj na ²ikmé úse£ky kolmé na hlavnú diagonálu. Je, samozrejme, moºnéa pravdepodobné, ºe ste objavili¤al²ie útvary. Tie, ktoré smevymenovali, tvoria základ, na ktorýbudeme v ¤al²om nadväzovaá ¤alej ho rozvíja´.Okrem uº známy h vzoriek zistíme, ºe niektoré z tý hto úse£iek obsahujú ibavidite©né stromy.� Pokia© sa sústredíme na tieto diagonály (prípadne h©adáme aj ¤al²ie zaujímavéútvary), nájdeme ²tvor e, ktorý h dve strany tvorí £as´ plota a druhé dve stranypozostávajú len z vidite©ný h bodov. Jedna diagonála ²tvor a je £asóu �nev-idite©nej� hlavnej diagonály, druhá je vy²²ie spomenutou vidite©nou diagonálou.3.4. A kde zostali £ísla?Z doteraj²ieho rozprávania by sa mohlo zda´, ºe pán Gardner je £istý geometer. Alenie je to tak, a aj jemu samotnému pri skúmaní záhrady uº £ísla za£ínali hýba´. Navi-a sa mu zdalo, ºe je na£ase urobi´ v kreslení a organizá ii záhrady tro hu poriadok.Sta£ilo k tomu málo. Ozna£il si £íslami 1, 2, 3, 4, . . . postupne jednotlivé kolméhriadky, t. j. st¨p e stromov, a podobne si £íslami 1, 2, 3, 4, . . . ozna£il aj jednotlivériadky.�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 21

Úloha 5:Viete, na £o mu to bolo dobré? Ako sa dá tento nápad vyuºi´ pri popise sadu?Rie²enie:Odpove¤ je jednodu há, pre popis pol�h stromov v záhrade sme zaviedli súradni- ovú sústavu. Kaºdý strom (alebo bod), ktorého vidite©nos´ skúmame, tak m�ºemeV²imnime si, ºe aº na výnimky siv na²ej súradni ovej sústavevysta£íme so súradni ami z oborunezáporný h elý h £ísiel, nulapritom bude ma´ len (doslovne)okrajový význam. ur£i´ pomo ou dvo h súradní : £ísla st¨p a a £ísla riadku, na priese£níku ktorý h sana hádza. M�ºeme dodrºa´ zauºívanú prax, ºe prvé £íslo udáva st¨pe a druhé riadok.Strom zo súradni ami (3, 4) sa teda na hádza v treóm st¨p i a ²tvrtom riadku. Pokia©by sme v²ak zvolili opa£né poradie, nasledujú e úvahy by zostali rovnaké. Navy²e,vzh©adom na symetriu situá ie, vidite©nos´ stromov lí²ia i h sa len poradím súradní je vºdy rovnaká.Úloha 6:Predstavte si, ºe by sme zobrazenie sadu a rysujú e sa vlastnosti vidite©nosti jeho stro-mov h eli spra ova´ a skúma´ aj softvérovo. Skúste si vytvori´ základnú predstavuprogramu, ktorý by sa s touto úlohou vysporiadal.Rie²enie:Kaºdý £itate© si samozrejme m�ºe zvoli´ svoj prístup. Dátovým základom v²ak zrejmebude dvojrozmerné pole objektov, ktoré zodpovedajú stromom a i h vlastnostiam.Alebo naopak (pri objektovom prístupe) objekt strom, ktorého základnými atribútmibudú jeho súradni e. Zatia© jedinou jasnou vlastnosóu stromov je i h vidite©nos´ azákladným algoritmom jej ur£enie. Pokia© má na²a dátová predstava sadu bliº²ie kpo©u, m�ºeme ju ur£ova´ aj iteratívnym algoritmom nazna£eným v prvom bode rie²e-nia úlohy 2. Pokia© rozmý²©ame len o objekte stromu, ítime potrebu algoritmu, ktorýur£í jeho vidite©nos´ len na základe súradní . Priblíºime sa k nemu vyrie²ením nasle-dujú i h úloh.Úloha 7:Získajme skúsenosti s popisovaním vlastností sadu a jeho stromov pomo ou súradní odpove¤ou na nieko©ko ©ahký h otázok:1. Aké súradni e majú stromy rastú e ved©a plotu?2. Aké majú súradni e stromy na hlavnej diagonále a na ved©aj²í h diagonála h?3. Aké sú súradni e stromov susedný h k danému stromu a stromov leºia i h nasever od neho?4. Ako by vyzeral test (alebo implementovaná funk ia), ktorá pre dva stromy vy-hodnotí i h susednos´?5. Navrhnite ¤al²ie podobné otázky vhodné pre va²i h ºiakov.Rie²enie:1. Súradni e sú typu (n, 1) a (1, n), kde n je ©ubovo©né kladné prirodzené £íslo.Vzh©adom na dohodu o poradí súradní z úlohy 5, body so súradni ami (n, 1)Odpovieme iba na prvé ²tyri body. zodpovedajú prvému riadku a (1, n) prvému st¨p u sadu.2. Body na hlavnej diagonále majú súradni e tvaru (n, n). Bodom na diagonále pod¬ou zodpovedajú súradni e (n + 1, n) a nad ¬ou súradni e (n, n + 1). Premennán opä´ prebieha ez v²etky kladné prirodzené £ísla (mnoºinu N+).3. Ak má bod súradni e (n, m), tak s ním susedia body so súradni ami (n + 1, m),(n−1, m), (n, m+1), (n, m−1). Tieto body sú vo vzdialenosti 1. Vo vzdialenosti22 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

√2 sú body so súradni ami (n+1, m+1), (n+1, m−1), (n−1, m+1), (n−1, m−1).Tý hto osem bodov sa v sieti mreºový h bodov ²tandardne povaºuje za susedov.Susedia na sever od stromu (n, m) majú súradni e (n, k), kde k > m.4. Pre body so súradni ami (n, m) a (k, l) ur£íme i h susednos´ najlep²ie vyhod-notením hodnoty výrazu |n− k|+ |m− l|. Pre susedné body nadobúda hodnotu 1alebo 2.Ur£ovanie stromov pomo ou dvojí £ísel sa pánovi Gardnerovi ve©mi zapá£ilo. Ke¤si pomo ou neho za£al zapisova´ záznamy o vidite©ný h a nevidite©ný h stromo h,objavil aj ¤al²ie uºito£né vlastnosti tohto zápisu.Úloha 8:Skúsme teraz pomo ou súradní popísa´ aj vlastnosti týkajú e sa vidite©nosti stromov.Za£neme nasledujú imi otázkami:1. Tri stromy najbliº²ie ku v hodu majú súradni e (1, 1), (1, 2) a (2, 1). Aké stromysú nimi zakryté? Vymenujte £as´ z ni h a popí²te tvar i h súradní .2. Aké stromy zakrývajú stromy so súradni ami (1, 3), (2, 3), (2, 5)? Aké majú súrad-ni e a ako súvisia so súradni ami zakrývajú i h stromov? Aký matemati ký po-jem dobre poslúºi pre popis tý hto vlastnosti?3. Teraz skúsme odpoveda´ na opa£né otázky. Budú vidie´ stromy zo súradni ami

(2, 4), (6, 2), (8, 32), (5, 35)? Ak nie, ktoré stromy i h za lá¬ajú? Ako sa tátovlastnos´ prejavuje na i h súradni ia h?4. Rie²te rovnakú úlohu pre stromy so súradni ami (8, 12), (18, 27), (25, 15), (42, 63)?5. Ako vyzerá v²eobe né pravidlo, ako na základe súradní stromu rozhodnú´ o jehovidite©nosti?Rie²enie:1. Bod so súradni ami (1, 1) zakrýva v²etky stromy na hlavnej diagonále. Ide teda obody so súradni ami (2, 2), (3, 3), (4, 4) at¤. Ako sme uº spomenuli, i h súradni emajú tvar (n, n), n ∈ N+. Bod zo súradni ami (1, 2) zakrýva body (2, 4), (3, 6),(4, 8) at¤. I h súradni e majú tvar (n, 2n), n ∈ N+. Pre bod so súradni ami(2, 1) je situá ia rovnaká, len s opa£ným poradím súradní Zakrýva preto bodytvaru (2n, n), n ∈ N+. Táto vlastnos´ opä´ vyplýva zo symetrie elej situá ie.V ¤al²om sa preto budeme venova´ prevaºne bodom, ktorý h prvá súradni a jemen²ia alebo rovná druhej.2. Bod so súradni ami (1, 3) zakrýva body zo súradni ami (2, 6), (3, 9), (4, 12) at¤.,v²eobe ne tvaru (n, 3n), n ∈ N+. Obe súradni e sú teda rovnakým kladnýmprirodzeným násobkom súradní (1, 3). Skontrolujte si odpove¤ aj pre zvy²nédva body. Vhodným jazyk pre tieto vlastnosti sú vektory. Ak súradni e bodu hápeme ak súradni e vektora (n, m), zakrýva nám body zodpovedajú e aspo¬dvojnásobkom tohto vektora.3. Tieto body vidie´ nebudú. Dá sa totiº nahliadnu´, ºe i h súradni e sú spolo£nýmnásobkom súradní iný h, ku v hodu bliº²í h bodov. Postupne sú to body (1, 2),(3, 1), (1, 4) (ale tieº (4, 16) alebo (2, 8)) a (1, 7). (V re£i vektorov ide o násobkyiný h, jednodu h²í h vektorov.) Pre tieto body platí, ºe jedna i h súradni a jenásobkom druhej. Majú teda tvar (n, k · n) alebo naopak. Bod je preto ur£iteskrytý za bodom so súradni ami (1, k). Ale aj za inými. Podrobnej²ie si tietovlastnosti preberieme onedlho.�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 23

4. Ani tieto body vidie´ nebudú z obdobný h d�vodov ako v pred hádzajú om prí-pade. Bod (8, 12) je napríklad skrytý za bodmi (4, 6) alebo (2, 3), bod (42, 63) jeskrytý za bodmi (14, 21), (6, 9), alebo (2, 3). Súradni e skrytý h bodov v²ak majúzloºitej²í tvar. Nie sú svojím vzájomným násobkom, ale spolo£ným násobkomsúradní iného vektora. Napríklad (42, 63) = (3 · 14, 3 · 21) = 3 · (14, 21).5. Odpove¤ je nazna£ená v pred hádzajú i h rie²enia h. V²eobe ne platí, ºe bod(vektor) nie je vidite©ný, ak jeho súradni e sú spolo£ným kladným prirodzenýmnásobkom súradní iného bodu (násobkom iného vektora). Táto skuto£nos´ sav²ak dá zisti´ priamo zo súradní bodu. Pozostávajú z dvo h £ísiel, ktoré ma-jú spolo£ného delite©a. Pokia© súradni e vydelíme týmto delite©om, dostanemebod, ktorý ho zakrýva. �ím vä£²í je delite©, tým bliº²ie je delením získaný �zakrý-vajú i bod� bliº²ie ku v hodu. Ak pouºijeme najvä£²í spolo£ný delite© súradní ,dostaneme súradni e bodu, ktorý je najbliº²ie ku v hodu. Jeho súradni e uºnemoºno zjednodu²i´, preto je to vidite©ný bod. Bod je teda vidite©ný vtedy, aknajvä£²í spolo£ný delite© jeho súradní je 1. Také £ísla nazývame nesúdelite©né.Ke¤ si pán Gardner uvedomil práve popísané vlastnosti súradní stromov a i h vidite©-nosti, za£al ma´ dojem, ºe nie£o podobné uº niekde videl. Dvoji e £ísel, i h spolo£nédelitele a ²pe iálny význam objektu, ktorý vznikne po vydelení najvä£²ím z ni h mupripadali povedomé. Ste na tom rovnako? S takýmito objektami sme sa uº v tejtou£ebni i stretli.Úloha 9:Aká známa matemati ká ²truktúra a jej vlastnosti zodpovedajú súradni iam stromova pravidlám i h vidite©nosti?Rie²enie:Tý h, £o odpove¤ objavili, ur£ite prekvapila a pote²ila. H©adanou ²truktúrou súzlomky, presnej²ie tie z ni h, ktorý h £itate© aj menovate© zodpovedajú kladným pri-rodzeným £íslam. Vlastnos´ vidite©nosti kore²ponduje s tým, £i je zlomok vytvorenýz jeho súradní uvedený v základnom tvare. Pokia© áno, bod je vidite©ný. Pokia©nie, bod nie je vidite©ný. V jeho smere pri poh©ade od hodu uvidíme bod, ktoréhosúradni e zodpovedajú zlomku uvedenému na základný tvar. Plánik sadu s vyzna£enouvidite©nosóu mreºový h bodov tak vlastne zvidite©¬uje ²truktúru (kladný h) zlomkov,prin íp ekvivalen ie, ktorá ur£uje ktoré z ni h sa rovnajú, a sp�sob ako vybera´ i hreprezentanta. Tým, ºe sme zvyknutí a vedení k prá i so zlomkami prevaºne v základ-nom tvare, zostáva nám táto ²truktúra vä£²inou skrytá. V ¤al²om m�ºeme a budemetúto paralelu vyuºíva´. Otázky súvisia e s vidite©nosóu stromov m�ºeme rie²i´ pomo- ou vlastností zlomkov a delite©nosti v²eobe ne.Úloha 10:Vrá´me sa k informati kému poh©adu na problém. Máme uº k dispozí ii dostato£nýaparát, aby sme zvládli základnú úlohu: vytvori´ program, ktorý nakreslí plánik sadu svyzna£ením vidite©nosti mreºový h bodov. Okrem toho navrhnite ¤al²ie metódy alebofunk ie, ktoré by mohli by´ v programe implementované.Rie²enie:Gra� ká zloºka rie²enia nie je komplikovaná. Na ur£enie a vykreslenie vidite©nostimreºového bodu vyuºijeme rie²enie pred hádzajú ej úlohy.24 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

Podstatou je metóda pre ur£enie najvä£²ieho spolo£ného delite©a (NSD). Pokia© vovami pouºívanom jazyku nie je táto metóda k dispozí ii, nie je problém vytvori´ sivlastnú. S jej pomo ou vytvoríme základnú metódu, ktorá pre daný bod rozhodne, £ije vidite©ný, alebo nie. Na ilustrá ii vidíme výsledok prá e jedného zo stredo²kolákov,ktorý v²ak mal stromami nahradený aj plot záhrady. Hodnotu NSD vyuºijeme aj priimplementá ii ¤al²í h metód. M�ºeme napríklad pre kaºdý nevidite©ný bod ur£i´ bod,ktorý pri poh©ade od v hodu jeho smerom uvidíme. Jeho súradni e získame po vy-delení NSD. Iná otázka znie, ko©ko stromov je potrebné vypíli´, aby sme daný strom�zvidite©nili�. Odpove¤ou je hodnota NSD zmen²ená o 1. M�ºeme si vypísa´ aj uspori-adaný zoznam tý hto stromov. Zloºitej²ia metóda m�ºe pre súradni e dvoji e bodovur£i´, £i sa tieto body navzájom zakrývajú (a v akom poradí), alebo nie. A pokia©sa h eme ozaj poriadne zamyslie´, m�ºeme metódy pripravi´ tak, aby sa pozorova- ie miesto zmenilo z vr holu záhrady na ©ubovo©ný, ako vstupný parameter zadanýmreºový bod.3.5. Zrátajme, £o sme videliAko sme zistili, geometri ké vlastnosti záhrady a vidite©nosti stromov z jej vr holuvieme popísa´ na základe vlastností súdelite©nosti i h súradní , resp. moºností kráte-nia zlomkov zostavený h z ni h. Vieme pomo ou súradní a i h vlastností vysvetli´geometri ké zaujímavosti, ktoré sme objavili v úlohe 4? Nasledujú e úlohy priamonadväzujú na tam uvedené pozorovania.Úloha 11:Vysvetlite vidite©nos´ stromov v prvom riadku a st¨p i, na hlavnej diagonále a diago-nála h s ¬ou susedia i h.Rie²enie:Body prvého riadku alebo st¨p a majú súradni e tvaru (n, 1) alebo (n, 1). Kaºdýspolo£ný delite© súradní musí deli´ obe z ni h, teda aj 1. Takým delite©om, a aj na-jvä£²ím delite©om, je len £íslo 1. Ak je NSD rovný 1, strom je vidite©ný. Body hlavnejdiagonály majú naopak súradni e (n, n). I h najvä£²í spolo£ný delite© je o£ividne n.Pokia© sa n rovná 1, bod je vidite©ný, ak je vä£²ie, vidie´ nie je. Body na susednej dia-gonále majú súradni e majú súradni e (n, n − 1) alebo (n − 1, n). Tu uº potrebujeme�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 25

jemnej²iu úvahu. NSD musí deli´ £itate© aj menovate© zlomku, ak v²ak delí obe £ísla,musí deli´ aj i h rozdiel. Ten je v²ak n−(n−1) = 1. Najvä£²ím (a jediným) spolo£nýmdelite©om tak m�ºe by´ len 1, a body sú preto vidite©né.Úloha 12:Vysvetlite d�vod výskytu vzorky vidite©nosti 1/1 a jej opakovania, ako aj vzorky 2/1 a¤al²í h v tvare n/1.Rie²enie:Vzorky 1/1 vidíme prvý raz v druhom riadku a st¨p i, Ten obsahuje body so súradni ami(n, 2) alebo (2, n). Jedna zo súradní je 2, NSD preto musí deli´ 2. Pokia© ma sp�sobińevidite©nos´ stromu, musí by´ NSD rovný 2. Spolo£ným delite©om je potom právevtedy, ak n je párne £íslo. Nevidite©né stromy sú preto tie s párnou a nevidite©nés nepárnou druhou súradni ou. Táto vzorka sa v²ak opakuje aj vo ²tvrtom, �smom,²estnástom a ¤al²í h riadko h (a st¨p o h), ktorý h jedna súradni a je mo ninou £ísla2. I h súradni e majú teda tvar (n, 2m). I h spolo£ný delite© preto delí aj £íslo 2m, aje preto tieº mo ninou dvojky. �íslo n potom delí len vtedy, ak je párne, a nem�ºeAko sme o£akávali, pri rie²enítý hto úloh sa vyuºíva delite©nosá jej vlastnosti. D�leºitou jeskuto£nos´, ºe ak £ísla majúspolo£ného delite©a, má ho aj i hsú£et alebo rozdiel. S delite©nosóuje úzko spojený aj pojem prvo£ísla,ktorý vyuºijeme v ¤al²ej úlohe. ho deli´, ak je nepárne. Vzorku 1/1 m�ºeme vidie´ aj na diagonála h �obsusedný h�s hlavnou. Leºia na nej body so súradni ami (n− 2, n) a (n, n− 2). I h spolo£ný delite©opä´ musí deli´ aj i h rozdiel n − (n − 2) = 2, a zaujímavý NSD je preto 2. Ten jeskuto£ne delite©om v prípade kladného £ísla n a n − 2. Vzorka 2/1 funguje obdobnepre riadky a st¨p e, ktorý h £íslo je mo ninou 3. �al²ia vyskytujú a sa vzorka je v²akaº 4/1, potom 6/1 a 10/1. D�vod, pre£o sa niektoré vzorky typu n/1 nevyskytujú,je hlb²í. Zloºitej²ie pravidlá rytmu vidite©ný h a nevidite©ný h bodov sa v²ak dajúodvodi´ z existujú i h základný h vzoriek typu n/1.Úloha 13:Vysvetlite d�vod �dobrej� vidite©nosti stromov v niektorý h st¨p o h a ²ikmý h úse£ká hkolmý h na hlavnú diagonálu.Rie²enie:Pokia© za£neme sledova´ dobre vidite©né st¨p e a riadky, rý hlo objavíme, ºe i h po-radové £íslo zodpovedá prvo£íslam. I h súradni e preto majú tvar (p, n) kde p jeprvo£íslo. I h NSD preto musí deli´ aj p, a teda je to 1, alebo p. Pokia© je to 1, bod jevidite©ný, £o zodpovedá ná²mu pozorovaniu. Ak je to p, musí deli´ aj druhú súradni un. To je v²ak moºné len vtedy, ke¤ n je násobok £ísla p. Nevidite©né sú preto naozajlen body (p, p), (2p, p) at¤. �ikmé �vidite©né� úse£ky sa s práve popísanými st¨p amipretínajú �v plote� (a vytvárajú spomenuté dobre vidite©né ²tvor e). I h súradni e súpreto postupne (0, p), (1, p − 1), (2, p − 2), . . . , (p − 1, 1) aº (p, 0). V²eobe ne majútvar (n, p − n), kde n prebieha od 1 po p − 1 (pokia© nás zaujímajú len stromy, a nieplot). NSD tý hto súradní potom musí deli´ aj i h sú£et, a ten zodpovedá prvo£íslup. Prvo£íslo p v²ak nedelí ºiadne n v rozsahu od 1 po p − 1. NSD je preto 1, a body súvidite©né.Pán Gardner vo svojej záhrade zaºil e²te ve©a matemati ký h dobrodruºstiev. Skú-manie vzor ov vidite©nosti a v²eobe ne pomeru vidite©ný h a nevidite©ný h stromov vjednotlivý h riadko h ho viedlo k h©adaniu riadkov, v ktorý h je tento pomer najvy²²ía najniº²í. V²imol si tieº, ºe vzorka vidite©ný h a nevidite©ný h stromov, ktorá sa ob-javí v riadku alebo st¨p i v úseku od plota po hlavnú diagonálu, sa v jeho pokra£ovaníuº pravidelne opakuje. Metódami pouºitými aj v rie²ení pred hádzajú i h úloh tútovlastnos´ aj ©ahko dokázal. A spolu s pánom Euklidom, ktorý ho pri²iel na záhradunav²tívi´, vyuºili túto skuto£nos´ na zjednodu²enie sp�sobu výpo£tu NSD. Na tomtomieste sa budeme podrobne venova´ inej, tieº ve©mi vzá nej náv²teve.


3.6. �o je ako ¤aleko, alebo náv²teva pána PytagoraPo pánovi Euklidovi pri²iel na náv²tevu do uº slávnej záhrady ¤al²í velikán, pán Py-tagoras. Aj on sa spolu s pánom Gardnerom ko hal poh©adom od bránky na vzornezoradené stromy. Zaujímali ho v²ak prakti kej²ie ve i. Hlavne ako ¤aleko sú stromyod bránky a ko©ko sa pri i h pestovaní treba na hodi´. Ve©mi sa pote²il, ºe pri výpo£tevzdialeností sa pouºívala aj jeho slávna veta.Úloha 14:V akej vzdialenosti od v hodu do záhrady sa na hádzajú stromy so súradni ami (1, 1),(2, 1), (3, 1), (3, 2) at¤.? Ako vypo£ítame vzdialenos´ stromu so súradni ami (m, n)? Jevzdialenos´ niektorý h stromov elo£íselná? Skúste vytvori´ (usporiadaný) zoznam vz-dialeností stromov od v hodu a po£tu stromov, ktoré sa v tejto vzdialenosti na hádza-jú.Rie²enie:Odpovieme na v²eobe nú otázku. Pokia© má bod súradni e (m, n), jeho vzdialenos´ odv hodu je preponou pravouhlého trojuholníka s odvesnami n a m. Jej hodnota je preto√

m2 + n2. Celo£íselné vzdialenosti vy hádzajú v známy h prípado h tzv. pytagore-jský h trojí , napr. (3, 4, 5), (6, 12, 13) at¤. Vzdialenos´ stromu so súradni ami (3, 4)má preto vzdialenos´ √32 + 42 = 5. Navrhovaný zoznam je moºné vypisova´ ru£ne,alebo si jeho generovanie naprogramova´. Vzh©adom na gra� kú symetriu neprekva-puje, ºe vo vä£²ine vzdialeností (okrem diagonálny h) sa na hádzajú dvoji e stromov.Zoznam so vzdialenosámi a po£tami stromov pána Pytagora zaujal. Hlavne ho prek-vapilo, ºe v ºiadnej vzdialenosti sa zatia© nena hádzali via ako dva stromy. Platí tovºdy, alebo nemáme zoznam dostato£ne dlhý? Ako to vyzerá v tom va²om?Úloha 15:Dopl¬te zoznam tak, aby sa v ¬om na hádzali v²etky vzdialenosti men²ie ako 10. Aképo£ty stromov sa v zozname objavili?Rie²enie:V tomto prípade je uº pomo programu via ako vítaná. Ale aj ru£nou prá ou sa dánájs´ minimálne jedna ²tvori a stromov. Majú súradni e (4, 7), (7, 4), (1, 8) a (8, 1).I h vzdialenos´ je √

42 + 72 =√

82 + 12 =√

65.Pomo ou vygenerovania dostato£ne dlhého zoznamu by sme ur£ite na²li aj ¤al²ie,podobné vzdialenosti, v ktorý h sa na hádza dokon a via , ako ²tyri stromy. Pokúsmesa problém v poslednej úlohe vyrie²i´ matemati ky.Úloha 16:Objavte a vysvetlite podstatu pred hádzajú eho výsledku. Vieme na základe tohoobjavi´ ¤al²ie vzdialenosti, v ktorý h sa na hádzajú via ako dva stromy?Rie²enie:Vieme, ºe pre vzdialenosti platí rovnos´ √42 + 72 =

√82 + 12. Potom sa rovnajú ajdruhé mo niny vzdialenosti, teda 42 + 72 = 12 + 82. Tento výraz m�ºe skúsi´ upravińa tvar, z ktorého lep²ie po hopíme podstatu tejto rovnosti:

42 − 12 = 82 − 72

(4 − 1) · (4 + 1) = (8 − 7) · (8 + 7)

3 · 5 = 1 · 15

15 = 15�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 27

Ke¤ºe pouºité úpravy boli ekvivalentné, m�ºeme postup sledova´ aj od kon a. Vy- hádzame z toho, ºe £íslo 15 sa dá rozpísa´ dvomi sp�sobmi na sú£in dvoji e (r�zny h)£ísel. Tie sa dajú napísa´ ako sú£in sú£tu a rozdielu opä´ dvo h r�zny h dvojí £ísel.Zvy²ok prá e uº vykoná vzore a2 − b2 = (a − b) · (a + b)a presun výrazov na správnu stranu rovností. Dá sa toto vysvetlenie zopakova´ ajv²eobe ne? Predpokladajme, ºe stromy s r�znymi (nie len prehodenými) súradni ami

(m, n) a (k, l) majú rovnakú vzdialenos´ od v hodu. Potom musia plati´ nasledovnévzáhy:m2 + n2 = k2 + l2

m2 − l2 = k2 − n2

(m − l) · (m + l) = (k − n) · (k + n)Pokia© predpokladáme, ºe m > n a k > l, dá sa ukáza´, ºe v²etky £initele v poslednomriadku sú kladné. Ke¤ºe v²etky súradni e sú prirodzené £ísla, musí by´ tieº rozdielmedzi £inite©mi na ©avej strane párny (lí²ia sa o 2l), a tak isto je párny (lí²i sa o 2n)rozdiel £inite©ov na pravej strane.Na základe tohto výsledku sa m�ºeme pokúsi´ o opa£nú estu. Zoberieme £íslo, ktorésa dá dvomi (alebo via ) sp�sobmi napísa´ ako sú£in dvo h o párne £íslo sa lí²ia i h£inite©ov. Napríklad24 = 2 · 12 = 4 · 6Oba sú£iny teraz rozpí²me do tvaru (a − b) · (a + b). To sa nám podarí, ke¤ a budepriemer £inite©ov, b polovi a i h rozdielu. Obe hodnoty budú, ke¤ºe sa lí²ia o párne£íslo, prirodzené £ísla! Potom uº sta£í dokon£i´ výpo£et.

(7 − 5) · (7 + 5) = 2 · 12 = 4 · 6 = (5 − 1) · (5 + 1)

72 − 52 = 52 − 12

72 + 12 = 52 + 52

50 = 50Ke¤ºe strom so súradni ou (5, 5) leºí na hlavnej diagonále, v tomto prípade sme na²livzdialenos´ √50, v ktorej sa na hádzajú tri stromy (5, 5), (1, 7) a (7, 1). Ak za£nemez £ísla s via rozkladmi, napríklad 48 = 2 · 24 = 4 · 12 = 6 · 8, dostaneme ²tvori ustromov vo vzdialenosti √185 a troji u vo vzdialenosti √170. Na tomto mieste námasi napadne, £i v niektorej vzdialenosti neleºí, aj pä´, ²es´ alebo e²te via stromov.Rie²enie tohto problému uº ne háme na £itate©a, prípadne jeho ºiakov.3.7. Namiesto záveru. . .Aj ke¤ na²e rozprávanie kon£í, sad pána Gardnera v sebe skrýva e²te mnoho prek-vapení. Pokia© vás zaujal, a prípadne máte vytvorený softvér, ktorý vám pri prá iv záhrade pomáha, ponúkame vám e²te zopár in²pirá ií.� Existuje ur£itý prevod a súvis medzi vidite©nosóu stromov v st¨p o h a vidite©nosóuv diagonála h rovnobeºný h s hlavnou?� Ako ur£i´ z £ísla st¨p a d¨ºku najmen²ej periódy opakovania vzorky vidite©nostistromov?� Aká je najvä£²ia limitná hodnota pomeru nevidite©ný h stromov k vidite©ným prejednotlivé st¨p e?


4. GeometriaTáto kapitola slúºi predov²etkým ako pripomenutie u£iva zo základnej a strednej ²koly.Zvolili sme formu, pri ktorej poslu há£i sami m�ºu obnovova´ svoje poznatky z geo-metrie (ak si i h náhodou nepamätajú).4.1. Základné úlohyPríklad 1Nájdite obd¨ºnik, ktorý má elo£íselné d¨ºky strán, obsah 12 cm2 a maximálny moºnýobvod.Rie²enie:Obsah obd¨ºnika je a·b a obvod 2a+2b. Ke¤ºe d¨ºky strán majú by´ elo£íselné a jehoobsah je 12 cm2, do úvahy pri hádzajú len rozmery a = 4 cm, b = 3 cm (alebo naopak),¤alej a = 6 cm, b = 2 cm (alebo naopak) a a = 12 cm, b = 1 cm (alebo naopak).Maximálny obvod 26 cm dosiahneme, ak jedna strana má d¨ºku 12 cm a druhá d¨ºku1 cm. �al²ie elo£íselné rie²enia nedávajú maximálny obvod.Otázky� Ako by vyzeral obd¨ºnik s obsahom 9 cm2 a minimálnym obvodom?� Ako bude vyzera´ obd¨ºnik s daným obvodom a maximálnym obsahom?Príklad 2Trojuholník ABC má d¨ºky strán |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a (a 6= b 6= c) a ve©kostiuhlov pri vr holo h A, B, C sú α 6= β 6= γ. Na nasledujú om obrázku máme ná£rtynieko©ký h trojuholníkov. Pod©a ktorého ná£rtu moºno zostroji´ trojuholník ABC?

a

a

a

a

a

b

bb

b

c

c

a) b) c) d)

e) f) g)

α

αα

αα

β

β

γ

γ

γ

Rie²enie:Vyuºijeme vety o zhodnosti trojuholníkov sss, sus a usu, pod©a ktorý h sú dva trojuhol-níky zhodné, ak majú rovnako ve©ké:1. v²etky tri strany,�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 29

2. dve strany a uhol medzi nimi,3. stranu a uhly pri jej kon ový h vr holo h.Trojuholník ABC moºno zostroji´ z ná£rtu (a) � veta sss, z ná£rtu ( ) � veta usu,z ná£rtu (d) � veta sus. Pod©a ná£rtov (b), (e) by sme zostrojili trojuholníky, ktorénie sú zhodné s trojuholníkom ABC, pretoºe v zadaní nesedí rozloºenie strán a uhlov.Ná£rt (f) nedáva jednozna£né rie²enie, existuje nekone£ne ve©a trojuholníkov, ktorémajú uhly ve©kosti α, β a γ. Ná£rt (g) nemusí da´ jednozna£né rie²enie. Pri istý hrozmero h m�ºu existova´ dva trojuholníky, ako vidie´ na nasledujú om obrázku.a

a

cA B

C1

C2

α

Otázky� Kedy sa dá z ná£rtu (g) zostroji´ práve jeden trojuholník?� Pre£o sú d�leºité podmienky vo vetá h sus a usu, ºe zadaný uhol musí by´ medzistranami, ktorý h d¨ºky poznáme, respektíve ºe strana, ktorej d¨ºku poznáme,musí by´ medzi uhlami so zadanou ve©kosóu?Príklad 3D�kaz ktorej známej vety o trojuholníko h moºno odvodi´ z nasledujú eho obrázka?Vedeli by ste ten d�kaz odvodi´?a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

αβγ

Rie²enie:Obrázok reprezentuje jeden z (mnohý h) d�kazov Pytagorovej vety. Pravouhlý tro-juholník s odvesnami a, b sa tam na hádza ²tyrikrát � v kaºdom rohu ²tvor a. Navyrie²enie tejto úlohy potrebujeme vedie´, ako sa po£íta obsah ²tvor a a pravouhlého30 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

trojuholníka. �alej potrebujeme fakt, ºe sú£et ve©kostí uhlov v trojuholníku je 180◦,a tieº vyuºijeme jednodu hé úpravy výrazov.Najprv si musíme uvedomi´, ºe útvar v strede je ²tvore , to znamená, ºe uhol γ jepravý. Sú£et uhlov α + β + γ je 180◦ (pretoºe tieto uhly tvoria priamy uhol, akoto moºno vidie´ na obrázku) a sú£et uhlov α + β + 90◦ v príslu²ný h pravouhlý htrojuholníko h je tieº 180◦. Takºe γ = 90◦. Podobne ostatné uhly v ²tvoruholníku sostranami d¨ºky c sú pravé, takºe je to ²tvore .Obsah ve©kého ²tvor a na obrázku je S = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Obsah tohto²tvor a v²ak moºno vyjadri´ aj ako sú£et obsahov ²tyro h pravouhlý h trojuholníkov sodvesnami d¨ºky a, b a obsahu men²ieho ²tvor a so stranou d¨ºky c, £iºe S = 2ab + c2.Ke¤ porovnáme oba vzáhy, dostávame a2 + b2 = c2.Otázky� Aké ¤al²ie vety o pravouhlom trojuholníku poznáte?� Vedeli by ste vyuºi´ Euklidove vety na dokázanie platnosti Pytagorovej vety?Príklad 4Dopl¬te hýbajú e údaje o ve©kostia h uhlov a strán v trojuholníko h ABC a KLM ,ak viete, ºe sú podobné a |AB| = 6 cm, |KM | = 3 cm, |ML| = 5 cm, |∢KML| = 30◦,|∢BAC| = 90◦.Rie²enie:Ke¤ºe trojuholníky sú podobné, musia ma´ rovnaké uhly: 90◦, 60◦, 30◦. Jedna zostrán KM , ML musí by´ prepona (odvesny majú spolo£ný pravý uhol). Prepona musíby´ ML, pretoºe je dlh²ia ako KM . Pomo ou Pytagorovej vety vypo£ítame d¨ºkustrany |KL| = 4 cm.Príklad 5Obsah trojuholníka ABC je 1 dm2. Úse£ky XB a Y B tvoria dve tretiny úse£iek AB aCB. �iak napísal, ºe obsah trojuholníka XBY je 2

3 dm2. Má pravdu, alebo sa mýli?Rie²enie:�ia©, mýli sa. Situá ia je na nasledujú om obrázku. Obsah trojuholníka ABC jeS1 = 1

2v1c (c je d¨ºka strany |AB|) a trojuholníka XBY je S2 = 12v2(

23c). Ke¤ºe sútrojuholníky ABC a XBY podobné a i h strany sú v pomere 3 : 2, tak v tomto pomeremusia by´ aj i h vý²ky v1 a v2. Takºe v2 = 2

3v1 a S2 = 12

23v1

23a = 4

9S1 = 49 dm2.

A B

C

X

Y

v1

v2


Otázky� Pre£o sú trojuholníky ABC a XBY podobné?� Pre£o sú v rovnakom pomere ako strany aj i h vý²ky?� Trojuholník ABC má strany d¨ºky 11 cm, 15 cm, 25 cm a trojuholník KLM mástrany d¨ºky 13 cm, 16 cm, 29 cm. Ktorý z trojuholníkov má vä£²í obsah?Nebude v tom há£ik? Príklad 6Aký je sú£et ve©kostí vnútorný h uhlov konvexného n-uholníka? Úlohu vyrie²te pren ∈ {4, 5, 6}. Pri rie²ení vyuºite, ºe sú£et uhlov v trojuholníku je 180◦.Rie²enie:Úlohu vyrie²ime pre ²tvoruholník. Zvolíme si ©ubovo©ný vnútorný bod (ozna£me hoX) tohto ²tvoruholníka a spojíme ho s jeho ²tyrmi vr holmi ako na ¤al²om obrázku.Sú£et ve©kostí uhlov v²etký h ²tyro h takto vzniknutý h trojuholníkov je 4 ·180◦. Sú£etve©kostí uhlov pri vr hole X je 360◦. Takºe sú£et ve©kostí uhlov pri vr holo h A, B,C, D je 4 ·180◦−360◦ = 360◦. Podobne moºno úlohu vyrie²i´ aj pre ¤al²ie n-uholníky.V²eobe ný �vzore � pre sú£et ve©kostí uhlov takéhoto n-uholníka je n · 180◦ − 360◦ =(n − 2) · 180◦.

A

B

C

X

DPríklad 7Zmestí sa kruhová podloºka, ktorej plo ha je 78 cm2 do kruhového otvoru s priemerom12 cm?Rie²enie:Polomer kruhového otvoru je 6 cm a polomer r kruhovej podloºky zhora odhadneme zovzáhu pre výpo£et obsahu kruhu S = π·r2, odkia© máme r =

√

S/π <√

78/3,14cm <5 cm, takºe podloºka sa do otvoru zmestí, pretoºe je kruhová a má men²í polomer akootvor.Poznámky�íslo π je povaºované za jedno z najd�leºitej²í h £ísel v�be . Vyjadruje pomer medziobvodom o a priemerom d kruhu o : d = π (odkia© máme aj vzáh na výpo£et obvodukruhu o = π·d).To, ºe tento pomer je kon²tantný, si uvedomovali uº v starovekom Babylone a Egypte.V Babylone napríklad pouºívali pre π hodnotu 3 1

8 = 3.125. Gré i sa nau£ili po£íta´toto £íslo s vä£²ou presnosóu a preborníkom bol slávny Ar himedes, ktorý ur£il, ºetoto £íslo leºí medzi hodnotami 3 1071

.= 3,1408 a 3 1

7

.= 3,1429, £o je presnos´, ktoráposta£uje pri vä£²ine beºný h výpo£tov (hlavne v ²kole) aj v sú£asnosti.32 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

o = πd

d

︸︷︷︸

d︸︷︷︸

d︸︷︷︸

d4.2. Náro£nej²ie úlohyTáto £as´ priná²a náro£nej²ie úlohy ur£ené predov²etkým u£ite©om matematiky, uktorý h je oprávnené predpoklada´, ºe si nepotrebujú zopakova´ základy elemen-tárnej geometrie. O rie²enie tý hto úloh sa v²ak m�ºu pokúsi´ v²et i poslu há£i.1. Táles z Milétu bol v starovekom Gré ku povaºovaný za jedného z najvä£²í h u£en- ov. Okrem toho, ºe je povaºovaný za zakladate©a �lozo�e a je mu pripisovanáTálesova veta, prekvapil Egypánov, ke¤ ur£il vý²ku Ve©kej pyramídy. Sta£il muna to tie¬ tejto pyramídy, pali a, ktorej d¨ºku poznal a vedomosti o trojuhol-níko h. Vedeli by ste zopakova´ jeho postup?2. Vezmime si rovnostranný trojuholník so stranami d¨ºky 10 cm. Stredy jeho stránspojme úse£kami, vznikne rovnostranný trojuholník so stranami d¨ºok 5 cm. Stredyjeho strán opä´ spojme do rovnostranného trojuholníka. Takto m�ºeme vpisova´postupne do seba nekone£ne ve©a rovnostranný h trojuholníkov (nieko©ko prvý hkrokov je na nasledujú om obrázku). Aký je sú£et i h obvodov?3. Istý krá© sa rozhodol, ºe rozumne vyuºije peniaze da¬ový h poplatníkov a okolosvojho palá a dá postavi´ plot. Cenu ur£il na 1 zlatý dukát za meter plota.Výberové konanie vyhrala �rma, ktorá navrhla nasledujú i tvar plota. Vezmimerovnostranný trojuholník so stranami d¨ºky 1 dm. V²etky strany rozdelíme natri zhodné úse£ky. Nad kaºdou zo stredný h úse£iek zostrojíme rovnostrannýtrojuholník (orientovaný smerom von) a túto strednú úse£ku odstránime. Vovzniknutom útvare toto opä´ zopakujeme: rozdelíme v²etky úse£ky na tretiny,nad strednými úse£kami zostrojíme rovnostranné trojuholníky a stredné úse£kypotom zmaºeme (situá ia je na obrázku niº²ie).

Ke¤ takto pokra£ujeme donekone£na, dostaneme útvar, pod©a ktorého víázná�rma postavila plot. Aký je obvod tohto útvaru a ko©ko musel krá© tejto �rmezaplati´?�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 33

4. Ur£te vý²ku v trojuholníka ABC na nasledujú om obrázku, ak poznáte hodnotyx a y.

A B

C

v

xy

5. Je daná kruºni a k, priamka p pre hádzajú a stredom kruºni e a bod X, ktorýneleºí na kruºni i, ani na priamke (pozri nasledujú i obrázok s oboma moºnosá-mi polohy bodu X). Z bodu X zostrojte kolmi u na priamku p, ale pouºite lenpravítko (nie trojuholníkové) a eruzku.X1

X2

k

p6. �o by sa zmenilo v pred hádzajú ej úlohe, keby X leºal na kruºni i k? �o by sazmenilo, keby sme mohli pouºi´ kruºidlo?4.3. Preh©ad pouºívaný h vzor ovV tejto £asti priná²ame preh©ad niektorý h pouºívaný h vzor ov z elementárnej geo-metrie.� �tvore (a je d¨ºka jeho strany)• obvod 4a

• obsah a2� Obd¨ºnik(a, b sú d¨ºky jeho kolmý h strán)• obvod 2a + 2b

• obsah ab

a

a

a

b

� Pravouhlý trojuholník(a, b sú odvesny, c je prepona trojuholníka, v je vý²ka na preponu)34 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

.

a

ab b

α

β

c

v

cacb

• obsah ab2

• Pytagorova veta c2 = a2 + b2

• Euklidova veta o vý²ke v2 = c1c2

• Euklidove vety o odvesná h a2 = cc1, b2 = cc2, kde c = ca + cb� Trojuholník(a, b, c sú strany trojuholníka, vx je vý²ka na stranu x)a

bc va

• obvod a + b + c

• obsah ava

2 = bvb

2 = cvc

2

• Herónov vzore pre obsah √s(s − a)(s − b)(s − c), kde s = a+b+c2

• stred kruºni e vpísanej do trojuholníka leºí na priese£níku osí uhlov• stred kruºni e opísanej trojuholníku leºí na priese£níku osí strán• polomer vpísanej kruºni e S

s , kde S je obsah a s = a+b+c2

• polomer opísanej kruºni e abc4S , kde S je obsah

• sú£et vnútorný h uhlov trojuholníka je 180◦

• trojuholníkové nerovnosti: a + b > c, a + c > b, b + c > a

• dva trojuholníky sú zhodné:1. ak majú rovnaké d¨ºky v²etký h tro h strán (veta sss)2. rovnaké d¨ºky dvo h strán a rovnaký uhol medzi týmito stranami (vetasus) sus � svi¬a (lat.)3. rovnaké dva uhly a d¨ºku strany, ktorá je spolo£ným ramenom tý htouhlov (veta usu)• dva trojuholníky sú podobné:�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 35

1. ak sa rovnajú pomery d¨ºok v²etký h zodpovedajú i h si strán (veta sss)2. ak sa rovnajú pomery d¨ºok dvo h dvojí zodpovedajú i h si strán amajú rovnaký uhol medzi týmito stranami (veta sus)3. ak majú rovnaké dva uhly (veta uu)� Koso²tvore (a je d¨ºka jeho strany)• obvod 4a

• obsah av = u1u2

2 , kde v je vzdialenos´ proti©ahlý h strán a u1 a u2 d¨ºkyobo h uhloprie£ok� Kosod¨ºnik(a, b sú d¨ºky jeho r�znobeºný h strán)• obvod 2a + 2b,• obsah ava = bvb, kde vx je vzdialenos´ proti©ahlý h strán d¨ºky x

a

a

a

bu1u1

u2u2v va� Li hobeºník(a a c sú základne, v i h vzdialenos´ b a d ramená)a

b

c

d v

• obvod a + b + c + d

• obsah a+c2 v� Kruh a elipsa(r je polomer kruhu, d je priemer kruhu, a, b sú polosi elipsy)

• obvod kruhu je πd = 2πr

• obsah kruhu je πr2 = πd2

4

• obsah elipsy je πab

r

d

a

b


5. Funk iePríklad 1�tyria hudobní i � Adam, Boris, Cyril a Du²an � sú ve©kými priazniv ami skupiny Bea-tles a rozhodli sa, ºe si zaloºia i h revival band. Aby sa slávnej ²tvorke podobali£o najvia , povedali si, ºe sa budú navzájom oslovova´ i h menami. Nevedia sa v²akdohodnú´, kto bude kto. Ko©ko majú moºností a ktoré sú to?Rie²enie:Chlap i sa najprv riadne rozhádali, ba hrozilo, ºe sa rozpadnú. Potom si v²ak spoluzaspievali We Can Work It Out, a hne¤ na²li rie²enie: Dohodli sa, ºe si budú menábeatlesákov vybera´ v poradí, o ktorom rozhodne ºreb. Ten prisúdil právo prvej vo©-by Adamovi, druhý bude vybera´ Boris, tretí Cyril a posledný Du²an. Pripome¬me simená liverpoolskej ²tvorky � John Lennon, Paul M Cartney, George Harrison a RingoStarr (prvý je na obrázku v©avo hore, ¤al²í v smere hodinový h ru£i£iek) � a za£nimeteda takpovedia od Adama:• Ak si Adam vyberie meno John, Borisovi ostanú mená Paul, George a Ringo.

• Ak si Boris vyberie Paula, Cyrilovi zvý²ia George a Ringo.• Ak si Cyril vyberie meno George, Du²an uº nemá na výber, musí by´Ringom. Túto moºnos´ ozna£íme m1.• Ak si Cyril vyberie meno Ringo, Du²an uº nemá na výber, musí by´ Geor-geom. Túto moºnos´ ozna£íme m2.

• Ak si Boris vyberie Georgea, Cyrilovi zvý²ia Paul a Ringo.• Ak si Cyril vyberie meno Paul, Du²an uº nemá na výber, musí by´ Ringom.Túto moºnos´ ozna£íme m3.• Ak si Cyril vyberie meno Ringo, Du²an uº nemá na výber, musí by´Paulom. Túto moºnos´ ozna£íme m4.

• Ak si Boris vyberie Ringa, Cyrilovi zvý²ia Paul a George.• Ak si Cyril vyberie meno Paul, Du²an uº nemá na výber, musí by´ Geor-geom. Túto moºnos´ ozna£íme m5.• Ak si Cyril vyberie meno George, Du²an uº nemá na výber, musí by´Paulom. Túto moºnos´ ozna£íme m6.

• Ak si Adam vyberie meno Paul, Borisovi ostanú mená John, Goerge a Ringo.• Ak si Boris vyberie Johna, Cyrilovi zvý²ia . . .Treba pokra£ova´? Iste sa vieme dovtípi´, ako by tento rozbor pokra£oval. Zbavmesa preto uº nudia eho, lebo opakujú eho sa, omá£kového textu, a moºnosti rad²ejna£rtnime vo forme stromu, pri£om kv�li preh©adnosti bude ma´ kaºdý £len Beatlesznázornený jednou farbou � John £ervenou, Paul modrou, George zelenou a Ringoºltou:Adam

Boris

Cyril

Dusan

m1m2

m3m4

m5m6

m7m8

m9m10

m11m12

m13m14

m15m16

m17m18

m19m20

m21m22

m23m24�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 37

V²imnime si, ºe v²etky vetvy tohto stromu (teda postupnosti spojní uzlov zhora nadol,od najvy²²ieho � kore¬a � po najniº²ie � listy) majú rovnakú d¨ºku a ºe v²etky uzlyna tej istej úrovni sa rozvetvujú na rovnaký po£et spojní s i h potomkami.E²te preh©adnej²ie to azda bude v tabu©ke:m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12Adam J J J J J J P P P P P PBoris P P G G R R J J G G R RCyril G R P R P G G R J R J GDu²an R G R P G P R G R J G Jm13 m14 m15 m16 m17 m18 m19 m20 m21 m22 m23 m24Adam G G G G G G R R R R R RBoris J J P P R R J J P P G GCyril P R J R J P P G J G J PDu²an R P R J P J G P G J P JV²imnime si, ºe kaºdá z tý hto moºností je istou permutá iou mien £lenov skupinyBeatles.Dodajme, ºe keby ²lo len o po£et rie²ení, mohli by sme postupova´ ²ikovnej²ie. Adam,ktorý vyberá prvý, má na výber ²tyri moºnosti. (V²imnime si, ºe tie prislú hajú prvejúrovni v na²om strome.) Av²ak bez oh©adu na to, ktorú si vyberie, Borisovi ostanú uºiba tri moºnosti. Kaºdej zo 4 moºností Adama teda prislú hajú 3 Borisovi (ho i v kaº-dom prípade iné), £o spolu znamená 12 moºností. (To sú práve tie, ktoré zodpovedajúuzlom z druhej úrovne.) Cyrilovi teda zvý²ili v kaºdom prípade dve moºnosti, £ím sapo£et moºností zdvojnásobí na 24. (Opä´ i h m�ºeme nájs´ v strome, a to na tretejúrovni.) Bez oh©adu na to, ako vyberali Adam, Boris a Cyril, minuli tri mená zo ²ty-ro h, Du²an teda v ºiadnom prípade nemá na výber, po£et moºností sa uº teda nezvý²i.Po£et permutá ií mien £lenov skupiny Beatles je teda 4 · 3 · 2 · 1, t. j. 4!, £iºe 24.Kaºdá z 24 moºností (m1, . . . , m24) je vlastne istým priradením, ktoré m�ºeme zná-zorni´ aj obrázkom. V tomto prípade ide o moºnos´ m23. Na ©avej strane sú mená hlap ov a z kaºdého z ni h vedie práve jedna ²ípka k niektorému z beatlesákov vpra-vo. V²imnime si pritom, ºe ºiadne dve ²ípky nemajú spolo£ný ie©:

Adam

Boris

Cyril

Dusan

John

Paul

George

Ringo

m23

Otázky• Pre£o 4 moºnosti Adama a 3 moºnosti Borisa dávajú spolu 12 (sú£in) moºností, anie 7 (sú£et)?• Ako by sa zmenili moºnosti, keby ºreb ur£ujú i poradie výberu dopadol inak? Akeby to boli úplne iní ²tyria hlap i?• Ko©ko moºností by existovalo, ak by Boris trval na tom, ºe on ako bubeník predsamusí by´ Ringo?• Ko©ko permutá ií by existovalo, ak by ²lo o skupinu Pink Floyd, pozostávajú u zRogera Watersa, Davida Gilmoura, Ni ka Masona a Ri harda Wrighta?• Ako by to bolo v prípade, keby hlap ov i po£et £lenov skupiny bol n?• Ako by to bolo v prípade, keby hlap ov bolo n a po£et £lenov skupiny m? Musíto by´ hudobná skupina? Musia by´ jej £lenovia ©udia? Je d�leºité, komu/£omu£lenov/£leny skupiny priradzujeme?38 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

Príklad 2Na²i ²tyria hlap i sa okrem Beatles vá²nivo zaujímajú aj o futbal, kv�li Lige majstrovsú o hotní preru²i´ aj skú²ku. V²et i sú ve©mi smutní, ºe i h ob©úbený FC Liverpoolneprekro£il prah semi�nále, ke¤ ho vyradil Arsenal Londýn. Okrem toho postúpiloaj ¤al²ie londýnske muºstvo Chelsea a ²tvori u dop¨¬a Man hester United a jedinýzástup a kontinentálneho futbalu, katalánska FC Bar elona. Po vypadnutí muºstvaz mesta Beatles si kaºdý z ni h napriek zne huteniu tipol, ktoré z tý hto ²tyro hmuºstiev sa stane ²ampiónom. Ko©ko moºností pripadá do úvahy teraz?Rie²enie:Úlohu by sme mohli rie²i´ ve©mi podobne ako pred hádzajú u. Uvedomme si v²ak, ºetentoraz Adamov výber ºiadnym sp�sobom neobmedzuje výber Borisa, ve¤ pre£o bynemohli drºa´ pal e tomu istému tímu? To isté, pravdaºe, platí aj pre Cyrila a Du²ana,v²et i ²tyria teda majú na výber rovnako � ²tyri moºnosti. Celkový po£et moºnostíteda bude 4 × 4 × 4 × 4, t. j. 44, £iºe 256.V²etky z ni h sú aj tu akési priradenia, kaºdé z ni h moºno na£rtnú´ vo forme obrázku.Jedno z ni h vyzerá takto:Adam

Boris

Cyril

Dusan

Arsenal London

Chelsea London

Manchester United

FC Barcelona

m

V²imnime si, ºe aj tentoraz z kaºdého hlap a vy hádza len jedna ²ípka, no niektoréz ni h (na rozdiel od pred hádzajú eho príkladu) m�ºu ma´ spolo£ný ie© (na obrázkuto tak aj je, spolo£ným kon om Adamovej a Cyrilovej ²ípky je Man hester United).Otázky• Podobne ako v pred hádzajú om príklade by sme mohli, pravdaºe, nakresli´ ajstrom v²etký h moºností. Aké dlhé by boli jeho vetvy? Ko©ko potomkov by malijeho uzly?• Ak by sa hlap i dohodli, ºe Arsenalu predsa fandi´ nem�ºu, ko©ko moºnostítipovania by bolo � 34, 43, alebo nebodaj nejaký iný po£et?• Ako by to bolo v prípade, keby hlap ov bolo n a po£et tímov m? Musia to by´futbalové tímy? Musia to by´ hlap i?PoznámkyMalý výlet do kombinatoriky tu m�ºeme ukon£i´. Ale pre£o sme si ho urobili v stati,ktorá sa mala venova´ nie£omu elkom inému � funk iám? Celkom inému? Ale kdeºe,ve¤ sme o ni h rozprávali elý £as. Len sme i h nazývali inak � priradenia.�o to teda funk ia je? Na jej de�ní iu v prvom rade potrebujeme dve mnoºiny,povedzme A a B, a potom budeme �kresli´ ²ípky� smerujú e z A do B (nie v²aknaopak). Úlohu mnoºiny A hrali v obo h príklado h na²i ²tyria fanú²ikovia Liverpoolu.�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 39

V prvom príklade bola mnoºinou B skupina Beatles, v druhom semi�nalisti Ligy ma-jstrov. A teraz k ²ípkam:Uvedomme si, ºe pri ºiadnej z ni h v�be nezáleºí na i h tvare, farbe £i hrúbke,d�leºité je len vedie´, kde sa za£ína a kde sa kon£í. Ak si teda jej za£iatok ozna£ímea a konie b (pri£om, ako sme sa dohodli, prvok a je z mnoºiny A, t. j. a ∈ A, aprvok b je z mnoºiny B, t. j. b ∈ B), ²ípku m�ºeme bez straty informá ie popísaúsporiadanou dvoji ou 〈a, b〉 (slovom �usporiadaná� h eme vyjadri´, ºe na poradí a ab záleºí, ve¤ za£iatok a konie ²ípky nemoºno vymeni´).Napríklad ²ípky z obrázka v prvom príklade moºno povaºova´ za usporiadané dvo-ji e 〈Adam,Ringo〉, 〈Boris,George〉, 〈Cyril, John〉 a 〈Du²an, Paul〉, kým na obrázku zdruhého príkladu sú ²ípkami dvoji e 〈Adam,Man hester United〉, 〈Boris, FC Bar elona〉,〈Cyril,Man hester United〉 a 〈Du²an,Arsenal Londýn〉.Funk ia bude potom zloºená z taký h ²ípok, inými slovami bude to mnoºina príslu²ný husporiadaný h dvojí . Na prvom obrázku je teda funk ia

m23 = {〈Adam,Ringo〉, 〈Boris,George〉, 〈Cyril, John〉, 〈Du²an, Paul〉}a na druhomm = {〈Adam,Man hester United〉, 〈Boris, FC Bar elona〉,〈Cyril,Man hester United〉, 〈Du²an,Arsenal Londýn〉}.Ako v²ak uvidíme v ¤al²om príklade, ve má malý há£ik:Príklad 3V prestávke semi�nálového zápasu, ktorý na²i ²tyria kamaráti spolo£ne sledovali vosvojej skú²obni, pri²la re£ na i h tretiu spolo£nú ob©úbenú tému: ºeny. Zistili, ºev²etky i h sestry práve od estovali na vý hod od/do raja: Adamova Eva je na o�o-logi kom kongrese kdesi medzi Tigrisom a Eufratom, Borisove tri sestry Irina, Má²a aO©ga ²li do Moskvy pozrie´ ¤al²ieho svojho brata Andreja, a Du²anova Du²ana za hra¬u-je du²e v Du²anbe. Len Cyril nemohol poveda´ ni£, lebo má len brata, Metoda. Jevzáh �sestra� funk ia?Rie²enie:Uvedené údaje m�ºeme zakresli´ do obrázka:

Adam

Boris

Cyril

Dusan

Eva

Ol’ga

Irina

Masa

DusanaVidíme tu dva problémy: Prvým je, ºe z Cyrila nejde ºiadna ²ípka. To v²ak m�ºeme©ahko napravi´, jednodu ho ho budeme ignorova´, £iºe zmen²íme mnoºinu na©avo.Druhý problém v²ak napravi´ nemoºno: z Borisa vy hádza prive©a ²ípok.Kým v prvý h dvo h príklado h sme (v rám i danej moºnosti) na otázku �A £o Boris?�vedeli odpoveda´ jednozna£ne (v prvom príklade pri moºnosti m23 to bol George, vdruhom pri moºnosti ozna£enej m FC Bar elona), tu sú na otázku �Ako sa volá Borisovasestra?� správne odpovede tri, a my m�ºeme Borisovi priradi´ len jednu z ni h, £ímostatné dve diskriminujeme.40 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

Mnoºina ²ípok{〈Adam, Eva〉, 〈Boris, Irina〉, 〈Boris,Má²a〉, 〈Boris,O©ga〉, 〈Du²an,Du²ana〉}teda nem�ºe by´ funk ia.PoznámkyMusíme teda poºadova´, aby ku kaºdému prvku a z mnoºiny A bol priradený najvia jeden prvok z B. De�ní iu teda m�ºeme skompletizova´:Ne h A a B sú ©ubovo©né mnoºiny a f podmnoºina mnoºiny {〈a, b〉 : a ∈ A, b ∈ B}(t. j. i h karteziánskeho sú£inu A × B). Potom f nazývame funk ia, ak pre kaºdýprvok a z A a kaºdé dva r�zne prvky b1 a b2 z B je prvkom f najvia jedna z dvojí

〈a, b1〉 a 〈a, b2〉.Pred hádzajú a mnoºina dvojí , vyjadrujú a vzáh �sestra� teda nie je funk ia, leboke¤ poloºíme napríklad a = Boris, b1 = O©ga a b2 = Irina, tak v na²ej mnoºine sú ako〈a, b1〉, tak 〈a, b2〉.Vzáh �najstar²ia sestra� uº v²ak funk iou je, pretoºe (ak zanedbáme nepravdepodobnúmoºnos´ dvoj£iat porodený h sek iou a dvoma syn hronizovanými p�rodníkmi) kaºdýmá najvia jednu najstar²iu sestru.Kauza Cyril nás upozor¬uje, ºe nie kaºdý prvok mnoºiny A musí ma´ partnera z mnoºinyB. Tie prvky, ktoré ju majú, tvoria takzvaný de�ni£ný obor. V prípade najstar²ejsestry je teda de�ni£ný obor mnoºina {Adam,Boris,Du²an}, teda prvok Cyril do nejnepatrí. V beatlesá kom a futbalovom príklade mali v²etky funk ie (tam sme i h e²tenazývali priradenia) de�ni£ný obor rovnaký, a to {Adam,Boris,Cyril,Du²an}.Otázky

• Rozhodnite, ktoré z nasledujú i h vzáhov sú funk ie:• mama,• stará mama,• sesterni a,• manºelka,• d éra,• najstar²ia d éra.Ak sú, aké sú i h de�ni£né obory?PoznámkyPri prá i s funk iami pouºívame nasledujú e ozna£enie: Ak f je funk ia a 〈a, b〉 je jejprvkom (£o znamená, ºe uº pre ºiadne iné c nie 〈a, c〉 prvkom f ), namiesto b pí²eme

f(a).a f(a)�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 41

Napríklad pre funk iu m z druhého príkladu pí²emem(Adam) = Man hester Unitedlebo 〈Adam,Man hester United〉 ∈ m, a z rovnakého d�vodum(Boris) = FC Bar elonam(Cyril) = Man hester United

m(Du²an) = Arsenal LondýnVieme uº, ºe funk ia vlastne znamená r�znos´ prvý h zloºiek v²etký h jej uspori-adaný h dvojí . R�znos´ druhý h v²ak zaru£ená nie je, ako ukazuje funk ia m, ve¤m(Adam) = m(Cyril) = Man hester United. Naproti tomu v²etky funk ie z príkladu oBeatles boli vyberané prin ipiálne tak, aby bola zaru£ená aj r�znos´ druhý h zloºiek.Túto vlastnos´ nazývame prostota. M�ºeme teda de�nova´:Funk iu f nazývame prostá, ak pre kaºdé dva r�zne prvky a1 a a2 z jej de�ni£néhooboru sú r�zne aj hodnoty f(a1) a f(a2).Otázky

• Rozhodnite, ktoré z nasledujú i h funk ií sú prosté:• ote ,• manºel,• manºel (v Európe),• prvorodený syn.

• Rozhodnite, ktoré z nasledujú i h funk ií sú prosté:• hlava ²tátu,• hlava ²tátu (pre európske ²táty),• vlajka ²tátu,• vlajka ²tátu (pre európske ²táty).

• Ur£te de�ni£ný obor nasledujú i h funk ií a rozhodnite, £i sú prosté:• meno,• priezvisko,• meno s priezvisko,• adresa,• rodné £íslo,• £íslo ob£ianskeho preukazu,• eviden£né £íslo vozidla,• £íslo v katastri.

• D�leºité zobrazenia v informatike:• Pre£o musí by´ kaºdá kódova ia funk ia prostá?• Pre£o nesmie by´ ºiadna ha²ova ia funk ia prostá?PoznámkyPojem funk ie je v matematike k©ú£ový, vyskytuje sa vo v²etký h jej oblastia h, £astov²ak funk ie má r�zne kry ie názvy, ako uº spomínané priradenie, alebo zobrazenie £ioperá ia.42 �al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika

Otázky• Ur£te de�ni£ný obor nasledujú i h funk ií a rozhodnite, £i sú prosté:

• algebrai ké operá ie:• sú£et,• rozdiel,• sú£in,• podiel,• druhá odmo nina,

• geometri ké zobrazenia:• zhodnos´,• podobnos´,• rovno©ahlos´,• osová súmernos´,• stredová súmernos´,• posunutie,• rovnobeºné premietanie.Príklad 4A opä´ sa vrá´me k na²im ²tyrom priate©om, ktorí uº medzitým stihli na vi£i´ to©kobeatlesoviek, ºe sa odhodlali odohra´ svoj prvý kon ert. Boli úplne nad²ení z toho, ºehne¤ na²li starý kultúrny dom, kde by sa mohol kon ert kona´, ale hlavne zo správ- ovho s©ubu, ºe od ni h nebude h ie´ ni£ za prenájom priestoru. Cenu vstupenkystanovili na tri eurá. Správ a sa v²ak po £ase spamätal, a svoj názor zmenil. Povedal hlap om, ºe majú dve moºnosti: bu¤ mu z kaºdého predaného lístka dajú ²tyridsa´per ent, alebo mu za prenájom zaplatia pau²álne sto pä´desiat eur. Ktorú moºnos´majú na²i beatlesá i zvoli´?Rie²enie:Aby sme sa v situá ii tro hu zorientovali, zabudnime na hví©u na problémy so správ- om i aparatúrou. Uvedomme si, ºe hlap i nevedia, ko©ko ©udí príde na i h kon ert.Ke¤ i h bude x (a lístok, ako vieme, bude stá´ 3 eurá), elkový výáºok z kon ertubude 3x eur. Uve¤me do tabu©ky niektoré hodnoty: A0

A10

A50

A100

A200

−100

100

200

300

400

500

600

700

800

−100 100 200 300

Ax

PxOx

3x

p

po£et ©udí x 0 10 50 100 200výáºok (v eurá h) 3x 0 30 150 300 600V²imnime si, ºe st¨p e tejto tabu©ky sú vlastne usporiadané dvoji e, v ktorý h jedruhá zloºka trojnásobkom prvej, konkrétne sú to A0 = 〈0, 0〉, A10 = 〈10, 30〉, A50 =〈50, 150〉, A100 = 〈100, 100〉 a A200 = 〈200, 600〉.S nejakými usporiadanými dvoji ami sme sa uº stretli, tieto v²ak majú isté ²pe i�kum:obe zloºky kaºdej z ni h sú £ísla. �o keby sme sa teda na tieto dvoji e pozerali akona body v dvojrozmernom priestore, £iºe v rovine? Prvá zloºka usporiadanej dvoji ebude prvá súradni a zodpovedajú eho bodu, a druhá zloºka zasa druhá súradni a.Na²i h pä´ usporiadaný h dvojí teda bude znamena´ tý hto pä´ bodov zakreslený hv pravouhlej súradni ovej sústave:Ako vidíme, i h poloha je dos´ podozrivá � akoby v²etky leºali na jednej (pol)priamke.A naozaj, ak ozna£íme po£iatok súradni ovej sústavy O a päty vý²ok z na²i h bodovAx na vodorovnú os Px, pre kaºdý trojuholník OPxAx platí

tg(∢PxOAx) =|PxAx||OPx|

=3x

x= 3,�al²ie vzdelávanie u£ite©ov základný h a stredný h ²k�l v predmete informatika 43

takºe tento pomer � zvaný smerni a � je kon²tantný. A ke¤ºe sú v²etky tieto tro-juholníky pravouhlé s pravým uhlom pri Px, pod©a vety sus sú v²etky podobné (badokon a rovno©ahlé). To v²ak znamená, ºe v²etky uhly ∢PxOAx sú rovnako ve©ké,a teda v²etky na²e body Ax leºia naozaj na tej istej priamke p so smerni ou 3. Ba£o via , ukázali sme vlastne, ºe na nej leºia aj v²etky ostatné body zodpovedajú ebodom so súradni ami 〈x, 3x〉, a to bez oh©adu na to, £i v na²ej tabu©ke sú, alebo nie.Uvedomme si, ºe v skuto£nosti nás zaujímajú iba tie body priamky p, ktorý h prvásúradni a x je prirodzené £íslo, ho i na na²om obrázku je vyzna£ená elá priamka� pri geometri kej predstave sa totiº s reálnymi £íslami pra uje jednodu h²ie neº sprirodzenými.A e²te jedna ve je d�leºitá: Vy²²ie uvedenú tabu©ku vieme doplni´ o ©ubovo©ný st¨pe so zadaným horným polí£kom: na �otázku� x v prvom riadku existuje totiº jediná�odpove¤� v druhom, a to 3x. To v²ak znamená, ºe takto vzniknutá mnoºina uspori-adaný h dvojí je funk ia. A pretoºe jej gra� ké znázornenie � tzv. graf � je, akovidíme, priamka, takáto funk ia sa nazýva lineárna.Vrá´me sa v²ak k na²im hlap om a i h problémom so správ om. Ako vieme, ten imp

q

−200

−100

100

200

300

400

500

600

700

−100 100 200 300

p

r

−100

100

200

300

400

500

600

700

−100 100 200 300

dal dve moºnosti. Rozoberme i h:1 Ke¤ majú z kaºdého predaného lístka odovzda´ ²tyridsa´ per ent eny, ostaneim ²es´desiat. Výáºok z jedného lístka je teda 60% · 3 eur, teda 1, 8 eura. Tum�ºeme úplne zopakova´ pred hádzajú u úvahu, ke¤ sme rátali s 1, 8 eurami zalístok. Opä´ budú body � tentoraz so súradni ami 〈x, 1, 8x〉 � leºa´ na priamke(ozna£me ju q), av²ak pod men²ím sklonom � uhol, ktorý bude táto priamkazviera´ s vodorovnou osou, bude ma´ smerni u 1, 8.V²imnime si, ºe aj priamka q pre hádza po£iatkom súradni ovej sústavy.2 Pri druhej moºnosti sa sí e výáºok z predaja lístkov nemení, av²ak v skuto£nostiho musíme zmen²i´ o sumu, ktorú musia hlap i odovzda´ správ ovi � od 3x eurteda musíme odráta´ v zadaní spomínaný h 250 eur. V gra� kom znázornení tovlastne znamená, ºe kaºdý bod Ax treba posunú´ nadol o hodnotu 150, inýmislovami, treba o túto hodnotu nadol elú priamku p, £ím dostaneme priamku r,£o bude mnoºina v²etký h bodov so súradni ami 〈x, 3x− 150〉. A ke¤ºe pre danéx je hodnota 3x − 150 ur£ená jednozna£ne, je to na¤alej funk ia.Ako vidíme, na rozdiel od priamok p a q uº priamka r nepre hádza po£iatkomsúradni ovej sústavy. Stále je to v²ak priamka, teda aj táto funk ia je lineárna.


Zhr¬me si obe moºnosti do jedného obrázka:q

r

M

125

−200

−100

100

200

300

400

500

600

700

−100 100 200 300

Vieme, ºe £ím je hodnota (vzh©adom na zvislú os) vy²²ie, tým via pe¬azí hlap omostane. To teda znamená, ºe pre malé po£ty náv²tevníkov bude vhodnej²í postup 1(ktorý zodpovedá priamke p), kým pre vä£²ie postup 2 (£iºe pod©a priamky r).Mali by sme v²ak e²te zisti´, kde presne sa táto situá ia láme. Obrázok nazna£uje, ºekriti kým miestom je priese£ník priamok q a r, pre príslu²ný �po£et� (ak to je v�be po£et, £iºe prirodzené £íslo) poslu há£ov sú totiº výáºky v obo h prístupo h úplnerovnaké. To teda znamená, ºe musí plati´ 1, 8x = 3x − 150, z £oho po ekvivalentnejúprave dostávame x = 1501,2 = 125. (Kv�li úplnosti dodajme, ºe v takom prípade získajú hlap i 225 (£o je ako 1, 8 · 125, tak 3 · 125 − 150) eur.)�ahko tieº vidie´, ºe 1, 8x < 3x−150 platí práve vtedy, ke¤ x > 125, a 1, 8x > 3x−150platí práve vtedy, ke¤ x < 125.A tak máme odpove¤: Chlap i by sa mali rozhodnú´ pod©a toho, ko©ko ©udí sa impodarí presved£i´. Ak si trúfajú zauja´ via neº sto dvadsa´pä´ ©udí, mali by si vybra´pau²ál. V opa£nom prípade by sa mali uspokoji´ s prvou správ ovou moºnosóu.Otázky

• Ako sa zmení situá ia, ak hlap i zvý²ia enu lístka na ²tyri eurá?• Ako sa zmení situá ia, ak správ a bude namiesto sto pä´desiati h poºadova´ ibasto eur?• Ako sa zmení rie²enie elej úlohy, ak ena vstupenky bude k eur a správ a budepoºadova´ bu¤ p per ent z kaºdého predaného lístka, alebo pau²ál m eur?


Literatúra a zdroje[1℄ Hejný, Milan a kol. Teória vyu£ovania Matematiky 2, SPN, Bratislava 1990.[2℄ Ore, Oystein, Number Theory and Its History, Dover, NY, 1988.[3℄ Znám, �tefan a kol., Poh©ad do dejín matematiky, Alfa, SNTL, Bratislava, Praha,1986.[4℄ He ht Tomá², Sklenáriková Zita: Metódy riešenia matematických úloh[5℄ Bálint, V., Bálintová, M., Bedná°ová, S., Vi²¬ovská, J., Závadová, I., �abka,J.: Úpravy výrazov na daný tvar, KZDM MFF UK Bratislava 2000, TEMPUS ACJEP-13101-98[6℄ P. Be kmann, Historie £ísla π (£eský preklad), A ademia, Praha, 1998, ISBN80-200-0655-9[7℄ Milan Hejný: Geometria nau£ila £loveka myslie´, SPN, Bratislava 7[8℄ Hejný, M., Ku°ina, F: Dít¥, ²kola a matematika (Konstruktivisti ké p°ístupy kvyu£ování), Praha, Portál 2001, ISBN 80-7178-581-4[9℄ T. Pappasová, Pote²enie z matematiky (slovenský preklad), Nebojsa, Bratislava,1997, ISBN 80-967724-6-5[10℄ G. Polya, How To Solve It, Prin eton University Press, 1985, ISBN 0-691-02356-5[11℄ �. Novoveský, K. Kriºalkovi£, I. Le£ko, Zábavná matematika, SPN, Praha, 1978[12℄ Mária Sadlo¬ová, Mi hal Sadlo¬, Matematika - úlohy v ²kole nerie²ené[13℄ J. Tarábek a kol., Geometria v príklado h, Didaktis, Bratislava, 2003, ISBN80-89160-00-X[14℄ �. Znám a kol.: Poh©ad do dejín matematiky, SNTL,ALFA, Bratislava 1986, ISBN63-572-86 3[15℄ Prat hett T., Stewart I., Cohen J.: V¥da na Zem¥plo²e, Talpress, ISBN:80-7197-243-6, EAN: 9788071972433, The S ien e of Dis world, 2004


Tento študijný materiál vznikol ako súčasť národného projektu Ďalšie vzdelávanie učiteľov základných škôl a stredných škôl v predmete informatika v rámci Aktivity „Vzdelávanie nekvalifikovaných učiteľov informatiky na 2. stupni ZŠ a na SŠ“.

Autori © RNDr. Katarína Bachratá, PhD. RNDr. Hynek Bachratý, PhD. Mgr. Oľga Czimmermannová Mgr. Peter Cimmermann, PhD. doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Mgr. Peter Novotný, PhD. Mgr. Júlia Šišková RNDr. Michal Winczer, PhD.

Názov Ďalšie vzdelávanie učiteľov základných škôl a stredných škôl v predmete informatika

Podnázov Matematika pre učiteľov informatiky 1

Študijný materiál prešiel recenzným pokračovaním.

Recenzenti RNDr. Ľubomír Salanci, PhD. doc. RNDr. Gabriela Andrejková, CSc.

Počet strán 48

Náklad 300 ks

Prvé vydanie, Bratislava 2009

Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.

Vydal Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, 830 00 Bratislava, v súčinnosti s Univerzitou Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach, Univerzitou Komenského v Bratislave, Univerzitou Konštantína Filozofa v Nitre, Univerzitou Mateja Bela v Banskej Bystrici a Žilinskou univerzitou v Žiline

Vytlačil BRATIA SABOVCI, s r.o., Zvolen

ISBN 978-80-89225-50-7

Documents

Matematika · 2018-09-20 · Matematika pre u£ite©ov informatiky Zaradenie modulu Modul Matematika pre informatikov 1 slúºi ako prerekvizita v²etkým informatickým a programátorským