数学组：赵志兴

学习目标1. 在熟练掌握正整数指数幂运算的基础上，

理解并掌握分数指数幂、有理数指数幂、无理数指数幂的运算性质；

2. 在学习中注意对于不同情况指数幂的运算采取不同的措施，注意偶次方根的两种不同情况 .

一、知识回顾在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数 a 的 n 次幂等于 n个 a 的连乘积，即

an=a·a· ··· ·a

n 个正整数指数幂的运算法则有五条：

1.am·an=am+n ；

2.am÷an=am-n ；

3.(am)n=amn ；

4.(ab)n=an·bn ；

5. ).0()( bb

a

b

an

nn

另外，我们规定：

.1n

n

aa

);0(10 aa

二、根式一般地，如果 xn=a ，那么 x 叫做 a 的 n次方根 (n th root) ，其中 n ＞ 1 ，且 n N*.∈

( 当 n 是奇数 );n ax

( 当 n 是偶数 , 且 a ＞ 0).n ax axn

让我们认识一下这个式子 :

n a根指数被开方数

根式

探究 :

表示 an 的 n 次方根 , 等式 一定成立吗 ?如果不一定成立 , 那么 等于什么 ?

n na aan n n na

)(.0,

,0,||

)(,

为偶数当

为奇数当

naa

aaa

na

an n

)(.0,

,0,||

)(,

为偶数当

为奇数当

naa

aaa

na

an n

例 1 求下列各式的值1.

2.

3.

4.

;)8(3 3

;)3(4 4

).()( 2 baba

;)10( 2

解：1.

2.

3.

4.

;8)8(3 3

;10|10|)10( 2

;3|3|)3(4 4

).()( 2 baba

三、分数指数幂探究 :

).0()(

),0()(

4

1234 344 12

5

1025 525 10

aaaaa

aaaaa

).0(

),0(

),0(

4

54 5

2

1

3

23 2

ccc

bbb

aaa

).1,,,0(

:

* nNnmaaa n mn

m

且

的意义是分数幂我们规定正数的正指数

0的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .

解：

整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用 , 即对于任意有理数 r ， s ，均有下面的运算性质：

),0,0())(3(

),,0())(2(

),,0()1(

Qrbabaab

Qsraaa

Qsraaaa

rrr

rssr

srsr

例 2 用分数指数幂表示下列各式 ( 其中 a>0).

.,, 33 223 aaaaaa

;2

7

2

13

2

133 aaaaaa

;3

8

3

22

3

223 22 aaaaaa

.)()( 3

2

2

1

3

4

2

1

3

13 aaaaaa

四、无理指数幂

探究 :

在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？

a ＞ 0 ， p 是一个无理数时， ap 的值就可以用两个指数为 p 的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而得到 ( 这个近似结果的极限值就等于 ap) ，故 ap 是一个确定的实数 . 而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用 . 这样指数的概念就扩充到了整个实数范围 .

五、强化练习.123,11,5:1 63 的大小比较练习

.111235

.125123121

,125123121

,1211111

,12555

:

36

666

66 23

66 3

所以

又

解

.)21(

24

8:2 33

3

233

2

3

1

3

4

aa

b

aabb

baa

化简练习

.

224

)24)](2()[(

224

])2()[(

2

24

)8(

)21(

24

8

:

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

2

33

133

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

33

3

233

2

3

1

3

4

a

aaa

a

ba

a

abab

ababbaa

a

ba

a

abab

baa

a

a

ba

abab

baa

aa

b

aabb

baa

解

五、知识总结

整数指数幂

有理数指数幂 无理数指数幂分数指数幂

根式 两个等式

),0,0())(3(

),,0())(2(

),,0()1(

Rrbabaab

Rsraaa

Rsraaaa

rrr

rssr

srsr