§2.2 初等函数2.2.1 指数函数2.2.0 整幂函数

2.2.3 双曲函数2.2.4 小结与思考2.2.2 三角函数

2

2.2.0 ( 整 ) 幂函数Def ：称 ( )n

n z

z z z z n 个

为正整数 为幂函数 性质

(1). z=xR 时 ,zn=xn

(2). 令 z=rei=r(cos +isin ), zn= rnein=rn(cos(n) +isin(n) )

1(3) ( ) n n nz A C z nz

3

这里的 ex 是实指数函数2.2.1 指数函数

(cos sin )z x iy xe e e y i y

exp (cos sin )xz e y i y 也可表示为

1. 指数函数的定义 :

z将此函数称为复变数 的指数函数.

定义 2.4 对于任何复数 z=x+iy, 规定

, . (cos sin )

z

x

e

e y i y

注意 没有幂的意义 只是一个符号

代表

实的正余弦函数

4

2 指数函数的性质z(2) | | 0, arg( )

e 0 Arg( ) 2 , Z

z x z

z

e e e y

e y k k

z(3) e ) = ;z ze e在复平面内处处解析,且(

(1) Im( ) 0, , ( ) xz z x R f z e 当 即 时复指数函数与实指数函数保持一致 .

(4). 加法定理 1 2 1 2( )z z z ze e e

(5) ez 是以 2 i 为基本周期的周期函数6 lim ,z

ze e

( )极限 不存在即 无意义

5

(1) 证明加法定理 1 2 1 2( )z z z ze e e 证 , , 222111 iyxziyxz 设

1 2z ze e 左端1

2

1 1

2 2

(cos sin )

(cos sin )

x

x

e y i y

e y i y

)]sincoscos[(sin)]sinsincos[(cos

2121

212121

yyyyiyyyye xx

)]sin()[cos( 212121 yyiyye xx

1 2( ) . z ze 右端

几点说明： 加法定理不能利用实数中

的同底数幂的乘法法则予以

证明

6

因为：当 z 沿实轴趋于 +∞ 时 ez∞; 当 z 沿实轴趋于 -∞ 时 , ez0.

6 lim z

ze

( )极限 不存在的说明

2 2 .z k i z k i ze e e e 首先

5 ze( ) 的周期性的说明

, : z z w zw e z e e 其次 是 的一个周期,则对0, 0 : 1 1

w a ibw a ibz e e e

特别取

1, rg1 22a we b a i kk i

2 i 是 ez 的周期

2 i 是ez 的基本周期

7

例 1 );Re()3(;)2(;)1( , 1

2 2 zzzi eeeiyxz 求设

解 )sin(cos yiyeee xiyxz 因为

.cos)Re( , yeeee xzxz 实部所以其模

zie 2)1( )(2 iyxie ,)21(2 yixe ;22 xzi ee

2

)2( ze2)( iyxe ,222 xyiyxe ;

222 yxz ee

ze1

)3( yixe 1

,2222 yx

yiyx

x

e

.cos)Re( 22

122

yxyee yx

x

z

8

例 2

解

求出下列复数的辐角主值 :

).π20()5(;)4(;)3(;)2(;)1( 4343322

iiiiii eeeeee

)sin(cos 的辐角因为 yiyeee xiyxz

)(2Arg 为整数kkye z

.],(- arg 内的一个辐角为区间其辐角主值 ze)1( ,21Arg 2 ke i ;1arg 2 ie

)2( ,23Arg 32 ke i ;3arg 32 ie

9

,24Arg 43 ke i ;24arg 43 ie

,24Arg 43 ke i ;24arg 43 ie ii ee )5(

;)3( 43 ie

;)4( 43 ie

)sin(cossincos ii

)sin(sin)cos(cos i

2sin

2cos2

2sin

2sin2 i

2cos

2sin

2sin2 i

10

2πsin

2πcos

2sin2 i

π,20 因为 ,02

sin

. 的三角表示式上式就是复数 ii ee

)( Arg ii ee 所以 ,π22

π k

,π时当 )(arg ii ee ,2

π

,π时当 )(arg ii ee .π22

π

11

例 3 的周期求函数 . )( 5z

ezf

解 ,2 ike z 的周期是

5)(z

ezf ikz

e

2

5 510 ikz

e

的周期是故函数 .10 )( 5 ikezfz

),10( ikzf

12

2.2.3 三角函数1. 三角正弦与余弦函数

,sincos yiye iy 因为 ,sincos yiye iy

将两式相加与相减 , 得,

2cos

iyiy eey .

2sin

ieey

iyiy

现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况 .

13

cos ,2

iz ize ez

余弦函数为:

s2

in .iz ize e

iz

正弦函数为

定义 2.5 对任意的复数 z, 规定 z 的

性质 : (1)

sin sin ,cos cos .z x R

z x z x

当 时:

是实三角函数(2) 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数 .

.sin)(cos,cos)(sin zzzz

14

(3) sin , cos .z z是奇函数 是偶函数

.cos)cos(,sin)sin( zzzz

遵循通常的三角恒等式，如

.1cossin

,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos(

)1(22

212121

212121

zz

zzzzzzzzzzzz

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )

1 2 2n = .

2si

i z z i z z iz iz iz ize e e e e ez

iz

i

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 2.

iz iz iz iz iz iz iz ize e e e e e e ei i

1 2 1 2sin cos cos sinz z z z

15

, 时为纯虚数当 yiz

,cosh2

cos yeeyiyy

.sinh2

sin yii

eeyiyy

.sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos(

)3(yxiyxyixyxiyxyix

.sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos(

)2(yixyixyixyixyixyix

16

例 9 . 5sin)( 的周期求 zzf

解 ,sin)2sin( zz 因为

,5sin)25sin( zz 所以

525sin)25sin( zz又因为

,5sin5

25sin zz

所以

.5

2 5sin)( 的周期是故 zzf

.cos)2cos(,sin)2sin( zzzz

(4)sin cos 2 .z z 和 都是以 为周期的函数

17

, sin , cos . 2

y ye ey yi yi

i

当 时

( 注意：这是与实变函数完全不同的 )

sinz 的零点 (i.e. sinz=0 的根 ) 为 z=ncosz 的零点 (i.e. cosz=0 的根 ) 为 z=(n+1/2) n=0,1,

2,···,n,···2

sin 0 0iz iz

iz ize ez e

ie

2 1 i ze z n n Z

(5)

(6) sinz,cosz 在复数域内均是无界函数

18

2. 其他复变数三角函数的定义,

cossintan

zzz 正切函数 ,

sincoscot

zzz 余切函数

,cos

1sec z

z 正割函数 .sin

1csc z

z 余割函数

. , , , cos sin

解析性奇偶性周期性我们可以讨论它们的类似和与 zz

1. 都是相应实函数的推广2. 定义域： tanz,secz 的定义域为 z(k+1/2) cotz,cscz 的定义域为 zk

3. 它们都在自己的定义域内解析。 (tanz)=sec2z, (cotz)=-csc2z (secz)=tanzsecz (cscz)=-cotzcscz

4. tanz cotz 的周期是 secz cscz 的周期是 25 secz 是偶函数 tanz cotz, cscz 是奇函数

19

例 10 . tan 的实部与虚部确定 z

解zzz

cossintan , iyxz 设

)cos()sin(

yixyix

yxiyxyxiyx

sinhsincoshcossinhcoscoshsin

yxyxyyixx

2222 sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin

.sinh2cos2

2sinhsinh2cos2

2sin2222 yx

yiyx

x

)Re(tan z )Im(tan z

20

例 11解 , iyxz 设

.1sinhsin iz 解方程)sin(sin yixz

yxiyx sinhcoscoshsin ,1sinhi

0,coshsin yx故有 1sinsinhcos yx

,0cosh y因为 ,0sin x所以 ,kx

代入将 kx 1sinsinhcos yx

,1sinh)1(sinh ky

,3,1,1,4,2,0,1

kk

y

,2,1,0,)12(

,2

nin

inz即

21

例 12 . )3tan( )1(cos 的值和求 ii

解2

)1cos()1()1( iiii eei

2

11 ii ee

)]1sin1(cos)1sin1(cos[21 1 ieie

1sin)(211cos)(

21 11 ieeee

.1sinh1sin1cosh1cos i

)3cos()3sin()3tan(

iii

iiii

sin3sincos3cossin3coscos3sin

22

1sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sin

ii

22 )1sinh3(sin)1cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3)(cos1sinh3cos1cosh3(sin

ii

1sinh3sin1cosh3sin1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3cos3sin

22222222 i

.)3(sin2)1(cosh2

2sin6sin22

i

23

1. 双曲函数的定义 cosh ,

2

z ze ez

双曲余弦sinh ,

2

z ze ez

双曲正弦

sh tanh .ch

z z

z z

z e ez

z e e

双曲正切

2.2.4 双曲函数

ch coth .sh

z z

z z

z e ez

z e e

双曲余切

1sechch

zz

双曲余割

1 coth .ch

zz

双曲正割

2. 双曲函数的性质.

, 的定义完全一致

函数它与高等数学中的双曲时为实数当 xz

24

.cosh , sinh , 是偶函数是奇函数容易证明 zz

它们的导数分别为,cosh)(sinh zz

并有如下公式 :cosh cos ,zi z

.sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(

yxiyxyixyxiyxyix

它们都是以 为周期的周期函数 ,i2

.sin)(cosh zz

sinh sin .zi i z

参见课本P87-88

16-19 题

25

例 13解

.1tanh z解方程

zz

zz

eeeez

tanh ,

11

2

2

z

z

ee ,11 22 zz ee

, , 2 ivue z 并令两边平方

,0 )1()1( 2222 uvuvu 或

)Re( 2zeu 因为 ,)]Im(2cos[)Re(2 ze z

0)]Im(2cos[0 zu ,24

)Im( kz

. 24

)Im( 1tanh zkzz 的所有复数的解是故

.,2,1,0 k其中

26

2.2.5 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广 , 它既保持了后者的某些基本性质 , 又有一些与后者不同的特性 . 如 :

1. 指数函数具有周期性 ) π2 ( i周期为

2. 三角正弦与余弦不再具有有界性3. 双曲正弦与余弦都是周期函数

27

思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同 ?

28

思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的 , 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式 .

最大的区别是 , 实变三角函数中 , 正余弦函数都是有界函数 , 但在复变三角函数中 , sin 1 cos 1 . z z 与 不再成立!!!

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