22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido

22.- Trabajo y energía en el movimientogeneral del sólido rígido.

§22.1. Energía cinética del sólido rígido (655); §22.2. Energía cinética de rotación (657);§22.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (660); §22.4. Rodadura (661);§22.5. Resistencia a la rodadura (663); §22.6. Expresión del trabajo (666); §22.7. Teoremade la energía cinética (667); §22.8. Conservación de la energía (668); Problemas (672)

§22.1. Energía cinética del sólido rígido.- Entendemos por energía cinéticadel sólido rígido la suma de las energía cinéticas del todas las partículas que loconstituyen. Como ya sabemos, la energía cinética es una magnitud física escalarrelativa al observador en el referencial fijo XYZ.

Quedó demostrado en la Lección 5 (Cinemática del sólido rígido) que elmovimiento más general del sólido rígido puede reducirse a una rotación develocidad angular ω con respecto a un eje que pasa por un punto arbitrario o, másuna traslación cuya velocidad vo es la correspondiente a dicho punto. Así, la veloci-dad, en el referencial fijo, de un punto genérico Pi del sólido viene dada por

Figura 22.1

[22.1]v i v o ω × r i

donde ri = oPi es el vector de posicióndel punto genérico Pi respecto delpunto arbitrario o perteneciente alsólido.

Si consideramos una partículagenérica de las que constituyen el cuer-po, digamos la partícula i-ésima (Figu-

ra 22.1), su energía cinética en el refe-rencial fijo XYZ es

[22.2]Ek,i

12

mi v 2i

Física Universitaria 655

656 Lec. 22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido rígido.

de modo que la energía cinética total del cuerpo Ek, teniendo en cuenta la relación[22.1], es

[22.3]Eki

12

mi v 2i

12 i

mi (v o ω × r i)2

y desarrollando

[22.4]Ek

12 i

mi v2o

12 i

mi (ω × r i)2

imiv o (ω × r i)

y puesto que ni vo ni ω son propias de la partícula i-ésima, podemos escribir

[22.5]Ek

12

mv2o

12 i

mi (ω × r i)2 (v o × ω )

imir i

donde m es la masa del cuerpo. Esta es la expresión general de la energía cinética delsólido rígido y es válida cualquiera que sea el punto o perteneciente al sólido conrespecto al cual se mide ri.

En la expresión [22.5] vemos que la energía cinética del sólido rígido, medida enel referencial fijo XYZ, puede separarse en tres partes.

El primer término corresponde a la energía cinética asociada con el movimientodel punto o, como si en dicho punto estuviese concentrada toda la masa del cuerpo.

El segundo término representa la energía cinética del sólido rígido asociada consu movimiento con respecto al punto o perteneciente al mismo, ya que ω × ri =vi - vo.

El tercer término no tiene una interpretación tan fácil como los dos anteriores einteresa anularlo mediante una elección conveniente del punto o del sólido respectoal que se mide ri. Esto será posible en los tres casos siguientes:

a) Si elegimos el punto o coincidiendo con el centro de masa del sólidorígido, ya que entonces se anulará el sumatorio.

Esto es, por representar la posición del centro de masa de un cuerpo en el referenciali

mir i 0

que tiene su origen, precisamente, en dicho centro de masa.

b) Si elegimos el punto o de modo que su velocidad sea nula en el referencial inercial(XYZ); en estas condiciones también será nulo el primer término de la expresión [22.5].

Esta elección será evidente cuando el sólido rígido esté girando alrededor de un eje fijo respectoal sólido y que mantiene fijo al menos uno de sus puntos en el referencial inercial XYZ.

c) Si elegimos el punto o de tal modo que su velocidad sea paralela al vectorde velocidad angular ω; i.e., si el punto o está situado sobre el ejeinstantáneo de rotación y deslizamiento.

En cualquiera de los tres casos anteriores se consigue una simplificaciónconsiderable. Concretando al caso en que o ≡ CM, tenemos

[22.6]Ek

12

mv2cm

12 i

mi (ω × r i)2

§22.1.- Energía cinética del sólido rígido. 657

Obsérvese que podemos separar el movimiento del sistema en dos partes, cadauna de ellas con una energía cinética bien definida. El primer término del segundomiembro de [22.6] corresponde al movimiento del centro de masa del sistema yrepresenta la energía cinética de traslación del cuerpo. El segundo términocorresponde al movimiento de las distintas partes del cuerpo con respecto al centrode masa. Puesto que en un sólido rígido el centro de masa está fijo en el cuerpo, elúnico movimiento que puede tener el cuerpo con respecto a su centro de masa es elde rotación, de modo que el segundo término de [22.6] representa la energía cinéticade rotación del cuerpo con respecto a un eje que pasa por su centro de masa1. Porconsiguiente, podemos escribir

[22.7]Ek Ek,t Ek,r

que corresponde a la formulación del TEOREMA DE KŒNIGS para la energía cinéticadel sólido rígido:

En el movimiento general del sólido rígido, la energía cinética total puede

Figura 22.2

expresarse como la suma de la energía cinética de traslación del centro demasa y de la energía cinética de rotación en torno a un eje que pasa por elcentro de masa.

§22.2. Energía cinética derotación.- Debemos entender que laenergía cinética de rotación essimplemente la suma de las energíascinéticas de traslación ordinarias detodas las partículas del cuerporeferidas al centro de masa delmismo, y no una "nueva clase deenergía". Esto se pone bien enevidencia si tenemos en cuenta que v′i= vi - vcm = ω × ri es la velocidad dela partícula i-ésima del cuerpo conrespecto al centro de masa de éste,de modo que

[22.8]Ek,ri

12

mi (ω × r i)2

i

12

miv′2i

Así pues, la energía cinética de rotación es solamente una forma conveniente dedesignar una parte de la energía cinética del sólido rígido (energía cinética interna).

Resulta muy conveniente expresar la energía cinética de rotación en función delos momentos y productos de inercia del sólido rígido en un referencial móvil, xyz,

1 Pueden hacerse las mismas consideraciones si el punto o está fijo en el sistema de referenciaXYZ o si pertenece al eje instantáneo de rotación y deslizamiento. En lo que sigue nos referiremosal centro de masa, aunque no descartaremos nunca las otras posibilidades.


ligado al cuerpo, al que llamaremos referencial solidario (Figura 22.2). Poniendo v′i =vi - vcm = ω ×ri, dicha energía puede expresarse en la forma

[22.9]Ek,r

12 i

mi v′i (ω × r i)

que, permutando los vectores del producto mixto, se convierte en

[22.10]Ek,r

ω2 i

(mi r i × v′i)

Se comprende fácilmente que la suma corresponde al momento angular del cuer-po respecto al origen o del referencial móvil, de modo que

[22.11]Ek,r

12

ω L ⇒ Ek,r

12

ω II ω

Haciendo las operaciones indicadas en la expresión anterior, tenemos

Ek,r

12

ω II ω 12

ω x ω y ω z

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Ixx Ixy Ixz

Iyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

ω x

ω y

ω z

[22.12]12

Ixxω2x

12

Iyyω2y

12

Izzω2z Ixyω xω y Iyzω yω z Izxω zω x

que es la expresión de la energía cinética de rotación.Si utilizamos el sistema de ejes principales de inercia ligado al cuerpo

(Figura 22.4), la expresión anterior toma una forma más sencilla

[22.13]Ek,r

12

I1ω21

12

I2ω22

12

I3ω23

Obsérvese que podemos obtener las componentes del momento angular a partir de lasexpresiones [22.12] o [22.13] de la energía cinética; esto es,

[22.14]Lx

∂Ek,r

∂ω x

Ly

∂Ek,r

∂ω y

Lz

∂Ek,r

∂ω z

o bien [22.15]L1

∂Ek,r

∂ω 1

L2

∂Ek,r

∂ω 2

L3

∂Ek,r

∂ω 3

En todo caso, siempre podemos encontrar una expresión más simple que la [22.12]

o la [22.13] para la energía cinética de rotación. Nos bastará considerar el versor e enla dirección de la velocidad angular ω, de modo que

[22.16]ω ω e

y entonces la expresión [22.11] puede escribirse en una forma que, sin duda, nosresultará más familiar

§22.2.- Energía cinética de rotación. 659

[22.17]Ek,r

ω 2

2e II e 1

2Iω 2

ya que I = e II e, como ya vimos en §16.10 (expr. [16.69]), siendo I el momento deinercia del sólido rígido respecto al eje de rotación, sea éste principal o no.

Podemos deducir la expresión [22.17] de un modo más

Figura 22.3

elemental y rápido sin más que sumar las energías cinéticas detodas la partículas del sólido rígido dotado de una rotación puracon una velocidad angular ω alrededor de un eje (Figura 22.3). Enefecto,

[22.18]Ek,r

N

i 1

12

mi v 2i

12

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

N

i 1

mi δ 2i ω 2 1

2I ω 2

ya que miδi2, donde δi es la distancia de la partícula i-ésima al

eje, es el momento de inercia del sólido con respecto a dicho eje.

La expresión [22.17] de la energía cinética de rotaciónes análoga a la expresión de la energía cinética de unapartícula, mv2/2. Ya sabemos que la velocidad angular ωes análoga a la velocidad v; ahora vemos que el momento de inercia es análogo a lamasa m. Como la masa representa la resistencia o inercia del cuerpo a los cambiosde movimiento (de traslación), el significado físico del momento de inercia quedabien claro: el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje dado representala resistencia o inercia del cuerpo a los cambios de movimiento (de rotación) en tornoa dicho eje. Notemos que en tanto que la masa es una constante característica delcuerpo, el momento de inercia depende del eje considerado.

El momento angular del sólido rígido, en el

Figura 22.4

sistema de ejes principales ligado al cuerpo (Figu-

ra 22.4), viene dado por

[22.19]L II ω

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

I1ω 1

I2ω 2

I3ω 3 e1e2e3

donde (e1, e2, e3) son los versores en las direccionesde los ejes principales y (ω1, ω2, ω3) son lascomponentes de ω en las direcciones de dichosejes. Así pues, tenemos que

[22.20]L1 I1 ω 1 L2 I2 ω 2 L3 I3 ω 3

de modo que, combinando las expresiones [22.20] y [22.13], podemos expresar laenergía cinética de rotación del sólido rígido en la forma

[22.21]Ek,r

L21

2I1

L22

2I2

L23

2I3


expresión que se reduce a [22.22]Ek,r

L2

2I

en el caso particular en que la rotación del sólido tenga lugar alrededor de un ejeprincipal de inercia.

§22.3. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.- Como ya sabemos, elmódulo de la velocidad vi de un punto Pi del sólido rígido es mínimo cuando dichavelocidad es paralela a la velocidad angular ω y el lugar geométrico de tales puntoses una recta, en la dirección de ω, llamada eje instantáneo de rotación y deslizamien-to.

Consideremos un punto genérico

Figura 22.5

(Pi) perteneciente al sólido; si severifica que ω vi ≠ 0 (i.e., si el inva-riante escalar no es nulo), el movimien-to del sólido resulta equivalente a unarotación pura alrededor del eje instantá-neo de rotación y deslizamiento másuna traslación a lo largo de dicho eje(Teorema de Chasles), ya que lospuntos del sólido situados en ejeinstantáneo de rotación y deslizamientotienen una velocidad paralela a lavelocidad angular ω. Bajo estas condi-

ciones es cuando podemos hablar con propiedad del eje instantáneo de rotación ydeslizamiento y el movimiento del sólido se reduce a un movimiento helicoidal tan-gente.

Si en la expresión [22.5] de la energía cinética total del sólido rígido, que esválida cualquiera que sea el punto o del cuerpo, elegimos dicho punto o sobre el ejeinstantáneo de rotación y deslizamiento, entonces, puesto que vo ω, será nulo eltercer término del segundo miembro de [22.5], de modo que nos queda

[22.23]Ek

12

mv 2o

12 i

mi (ω × r i)2

de modo que la energía cinética total del sólido puede separarse en dos partes:

energía cinética de traslación correspondiente al deslizamiento del cuerpoa lo largo del eje instantáneo de rotación y deslizamiento y energía cinéticade rotación en torno a dicho eje.

Obsérvese que los puntos del eje instantáneo de rotación tienen, en lo que respectaa la energía cinética, propiedades idénticas a las del centro de masa del cuerpo, peronótese también que, a diferencia del centro de masa, los puntos del eje instantáneode rotación no son siempre los mismos.

Si el invariante escalar es nulo, o sea ω vi = 0, sin ser nulo ω, entonces deberáser vi ⊥ ω de modo que cada partícula del cuerpo se moverá en un planoperpendicular al eje instantáneo de rotación (o sea al vector ω). Como para los puntos

§22.3.- Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. 661

del eje instantáneo de rotación debe ser, además, vi ω, la velocidad de dichospuntos deberá ser nula. Por consiguiente, el sólido pasará en cada instante por unestado de rotación pura, con velocidad angular ω, alrededor del eje instantáneo derotación, pero sin que exista (en este caso) deslizamiento a lo largo de dicho eje. Estemovimiento se denomina movimiento de rodadura, y en él los puntos del ejeinstantáneo de rotación se encuentran "instantáneamente" en reposo en el referencialfijo.

§22.4. Rodadura.- En el caso de que el movimiento del cuerpo sea unarodadura, será nulo el primer término del segundo miembro de [22.23] (al no existirdeslizamiento a lo largo del eje instantáneo de rotación), de modo que

la energía cinética del sólido rígido corresponderá a la energía cinética deuna rotación pura alrededor del eje instantáneo de rotación (sin desliza-miento).

Dicho eje se encontrará instantáneamente en reposo en el referencial fijo; i.e.,

[22.24]Ek Ek,r

12 i

mi (ω × r i)2

que es la misma ec. [22.8] establecida anteriormente. Obviamente, esta energía cinéticade rotación puede expresarse en función del momento de inercia del cuerpo respectoal eje instantáneo de rotación y obtendremos de nuevo la expr. [22.17], que es válidapara cualquier eje de rotación. Esto es

[22.25]Ek Ek,r

12

Ioω2

donde el subíndice o indica que estamos considerando un eje de rotación que pasapor el punto o.

Podemos completar el enunciado del TEOREMA DE KŒNIGS:

el movimiento de rodadura, los efectos combinados de la traslación delcentro de masa y de la rotación en torno a un eje que pasa por él sonequivalentes a una rotación pura, con la misma velocidad angular, alrededordel eje instantáneo de rotación.

Ilustraremos los resultados anteriores con un

Figura 22.6

ejemplo sencillo: el de un cilindro que rueda sobre unasuperficie plana.

Destacaremos, en primer lugar, que la condición de"rodar" impone unas determinadas relaciones cine-máticas entre el movimiento lineal y el movimientoangular del móvil. La Figura 22.6 muestra un cilindroque rueda sobre una superficie horizontal. Cuando elcilindro gira un cierto ángulo θ, el centro del mismoexperimenta un desplazamiento x; la relación existenteentre estas dos magnitudes es

[22.26]x θ R


siendo R el radio del cilindro. A partir de esta relación encontramos fácilmente, por derivaciónrespecto del tiempo, la relación existente entre la velocidad del centro del cilindro y la velocidadangular

[22.27]v ω R

Una segunda derivación nos permite relacionar la aceleración lineal del centro del cilindro con laaceleración angular;

[22.28]a α R

La condición de rodadura significa que, en un

Figura 22.7

instante cualquiera, los puntos del cilindro que estánen contacto con la superficie se encuentran momen-táneamente en reposo. Dichos puntos determinan eleje instantáneo de rotación pura del cilindro. Losdemás puntos del cilindro tendrán en ese instanteuna cierta velocidad, perpendicular al eje instantá-neo de rotación y a la línea que une dicha partículacon dicho eje y de módulo proporcional a dichadistancia. Esto equivale a decir que el cilindro estágirando en cada instante alrededor de la generatrizdel cilindro que está en contacto con la superficie,con una cierta velocidad angular ω. Por consiguien-

te, en un instante dado, el movimiento del cilindro equivale a una rotación pura, y su energíacinética será

[22.29]Ek

12

Ioω2

donde Io representa el momento de inercia del cilindro con respecto al eje de rotación instantáneo.

El teorema de Steiner nos permite escribir

[22.30]Io Icm mR 2

siendo Icm el momento de inercia del cilindro, de masa m y radio R, con respecto a un eje paraleloal eje instantáneo de rotación pura y que pasa por el centro de masa del cuerpo. Entonces laec. [22.29] puede ponerse en la forma

[22.31]Ek

12

Icmω 2 12

mR 2ω 2

Pero la cantidad ωR es la velocidad vcm de traslación del centro de masa del cilindro, de modo que

[22.32]Ek

12

Icmω 2 12

mv 2cm

Podemos interpretar la expr. [22.32], que fue obtenida partiendo de un movimiento de rotaciónpura, analizando separadamente el significado de cada uno de los términos: el primero, ½Icmω2,corresponde a la energía cinética que tendría el cilindro si estuviera simplemente girando en tornoa un eje que pasase por su centro de masa (sin traslación); el segundo término, ½mv2

cm, correspondea la energía cinética que tendría el cilindro si sólo tuviera un movimiento de traslación (sinrotación) con la velocidad de su centro de masa. De hecho, la ec. [22.32], que es la misma ec.[22.6], es válida para cualquiera sólido rígido que presente un movimiento general (rototraslatorio).

§22.4.- Rodadura. 663

§22.5. Resistencia a la rodadura.- Estamos ahora en condiciones de estudiar

Figura 22.8

la resistencia a la rodadura, en el bien entendido de que esta resistencia sólo sepresenta cuando un cuerpo real (deformable) rueda sobre una superficie real(deformable). Como veremos, no tiene sentido alguno hablar de resistencia a larodadura en el caso de un sólido rígido (indeformable) que rueda sobre una superficieindeformable.

En efecto; la resistencia a la rodadura aparece

Figura 22.9

cuando el cuerpo que rueda, o la superficie sobre laque rueda, o ambos a la vez, se deforman, aunquesólo sea ligeramente, a causa de las grandes pre-siones existentes en los puntos de contacto. Pense-mos en el caso de un cilindro que se apoya sobreuna superficie plana; todo el peso del cilindrogravita sobre una exigua superficie de contacto (unageneratriz, desde un punto de vista estrictamentegeométrico). Es fácil comprender que la presión en el contacto será tan grande quehasta el material más rígido se deformará. De ese modo, el cuerpo, la superficie quelo soporta o ambos, se deforman, aumentando el área de contacto hasta que la presióndisminuye y se restablece una situación de equilibrio elastostático. En resumen, alrodar un cuerpo real sobre una superficie real se producen unas deformaciones, comose muestra en la Figura 22.9, de modo que el cuerpo tiene que "vencer" continuamenteun pequeño obstáculo que se le presenta por delante y que se opone a su rodadura.

Consideremos, para comenzar, el caso ideal de un cuerpo indeformable (un cilin-dro o una rueda, por ejemplo) que puede rodar sobre una superficie plana tambiénindeformable (Figura 22.10). Si la superficie es horizontal, las fuerzas que actúan sobreel cilindro son: su peso P y la reacción normal del plano N.

Si ahora aplicamos una fuerza F sobre el eje del cilindro, paralelamente al planoy perpendicularmente al eje, aparecerá una fuerza de rozamiento, f, en A, en direcciónopuesta a la fuerza aplicada F. El momento de la fuerza de rozamiento respecto deleje del cilindro, M = fR hace girar el cilindro alrededor de su eje.


Así, en el caso de cuerpos indeformables sopor-

Figura 22.10

tados por superficies indeformables, por pequeñaque sea la fuerza F se producirá la rodadura(siempre que exista suficiente rozamiento estáticopara evitar el deslizamiento). En estas condicionesno tienen sentido hablar de resistencia a larodadura.

Sin embargo, en las situaciones reales, loscuerpos se deforman, por poco que sea. El contactono se realiza entonces a lo largo de una generatriz

(en el ejemplo anterior) sino a lo largo de una estrecha banda A′A″, como se muestraen la Figura 22.11. Ello da lugar a que aparezcan reacciones en los apoyos; reaccionesque dan lugar a la aparición de un par que se opone la rodadura. Con la finalidad desimplificar el problema, podemos imaginar que en cada instante el cilindro debe rotarsobre la generatriz que pasa por A″ para poder rodar superando el pequeño obstáculoque se opone a ello. Eso equivale a considerar desplazada la línea de acción de lareacción normal N una distancia que designaremos por µr, como se muestra en la Figu-

ra 22.11. El par de resistencia a la rodadura y el par aplicado valen, respectivamente

[22.33]Mres µ r N Mapl R F

En las condiciones críticas, cuando está a punto de

Figura 22.11

comenzar la rodadura, esos dos momentos serániguales, de modo que

[22.34]

de modo que el cilindro comenzará a rodar si Mapl

> Marr = µr N. De la ec. [22.34] se deduce

[22.35]Fµ r

RN

que nos da el valor de la fuerza mínima necesaria para el arranque. La magnitud µr,que tiene dimensiones de una longitud, es el llamado coeficiente de resistencia a larodadura2. De la ec. [22.34] se deduce que el par de arranque es proporcional a lareacción normal N. De la ec. [22.35] se sigue que la fuerza de tracción necesaria parael arranque es inversamente proporcional al radio del cilindro; esa es la ventaja delas ruedas grandes sobre las pequeñas.

El valor del coeficiente µr depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto(fundamentalmente de su rigidez). En general, la relación µr/R (adimensional) tieneun valor muy inferior al del coeficiente de rozamiento por deslizamiento (estático ycinético); así pues, es mucho más conveniente, al efecto de disminuir las pérdidasenergéticas, sustituir en los mecanismos y máquinas los deslizamientos por lasrodaduras; esa es la ventaja del carro sobre el trineo.

2 Obsérvese que se ha evitado mencionar la idea de "rozamiento de rodadura".

§22.5.- Resistencia a la rodadura. 665

Ejemplo I.- En una bolera, lanzamos una de las bolas a lo largo de la pista de modo que inicial-

Figura 22.12

mente resbala sin rodar (traslación pura), con una velocidad v0. Gradualmente se va produciendola transición de la traslación pura a la rodadura. a) Demostrar que la bola comenzará a rodar sinresbalar cuando su velocidad se haya reducido a 5v0/7. b) Calcular el tiempo empleado, el desplaza-miento horizontal y el ángulo girado por la bola durante la transición de la traslación pura a larodadura. Expresar los resultados enfunción del coeficiente de roza-miento µ entre la bola y la pista yde la velocidad inicial v0 de la bola.

Las fuerzas que actúan sobre labola son: el peso de la bola (mg), lareacción (N) y el rozamiento (f),como se indica en la Figura 22.12.La única fuerza que posee compo-nente horizontal (i.e., en la direccióndel movimiento) y que proporcionamomento, es la fuerza de rozamiento(estático) cuyo módulo puedeexpresarse en función de la masa dela bola:

f µ N µ mg

a) Las ecuaciones para el movimiento de traslación y para el movimiento de rotación, tomandomomentos con respecto al centro de la bola, son

⎧⎪⎨⎪⎩

f m a

f R I α 25

mR 2 α⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

afm

µg

α 52

fmR

52

µ gR

⇒ aα

25

R

siendo R el radio de la bola, de modo que tanto la aceleración del centro de masa (a) como laaceleración angular de la bola (α) son constantes. Por consiguiente, podemos escribir:

aα

v v0

ω ω 0

v v0

ω25

R ⇒ v0 v25

ω R

con la condición inicial ω0=0.

Cuando finalmente la bola rueda (sin resbalar), con una velocidad vf y una velocidad angularωf, la condición de rodadura se expresa en la forma

vf ω f R

de modo que combinando las dos últimas ecuaciones resulta

v0 vf

25

vf ⇒ vf

57

v0

que es la velocidad pedida.

b) Puesto que el movimiento de la bola es uniformemente acelerado, tanto en lo que concierne ala traslación como a la rotación, durante la transición de la traslación pura a la rodadura, podemosescribir


Δtvf v0

aΔx

v 2f v 2

0

2aΔθ

ω 2f

2 α

con a µg α 52

µ gR

vf

57

v0 ω f

vf

R57

v0

R

de modo que el tiempo y los desplazamientos pedidos serán

Δt27

v0

µ gΔx

1249

v 20

µ gΔθ 5

49

v 20

µgR

§22.6. Expresión del trabajo.- Consideremos, de nuevo, un sólido rígido querealiza un movimiento general (rototraslatorio) bajo la acción de un sistema defuerzas que actúa sobre él. Nuestro propósito es encontrar la expresión del trabajoelemental realizado por dicho sistema de fuerzas durante un movimiento elementaldel sólido.

Si sobre un punto Pi actúa una fuerza externa resultante Fi, durante un intervalode tiempo infinitesimal dt el punto de aplicación de dicha fuerza experimentará undesplazamiento elemental dRi, dado por

[22.36]dR i dR o ω dt × r i dR o dθ (e × r i)

siendo e el versor en la dirección de la velocidad angular ω, de modo que ω = ω e.Por lo tanto, el trabajo elemental realizado por la fuerza Fi es

[22.37]dWi F i dR i F i dR o (r i × F i) e dθ

y sumando los trabajos elementales correspondientes a todas las fuerzas que actúansobre el cuerpo

[22.38]dW (i

F i) dR o (i

r i × F i) e dθ F dR o M o dθ

siendo F = Fi y Mo = (ri×Fi) la resultante y el momento resultante del sistema defuerzas actuantes sobre el sólido, respectivamente, tomando el punto o como centrode reducción u origen de momentos.

Aunque la expresión [22.38] es válida cualquiera que sea el punto o, pertenecienteal cuerpo, que elijamos como centro de reducción, corrientemente, dicho centro dereducción lo hacemos coincidir con el centro de masa del cuerpo, de modo que laexpresión [22.38] nos permite enunciar:

El trabajo elemental realizado por las fuerzas que actúan sobre un sólidorígido, durante un movimiento elemental del mismo, es la suma del trabajorelacionado con la traslación elemental del centro de masa (bajo la acciónde la resultante de dicho sistema de fuerzas) y del trabajo asociado con larotación elemental del sólido (bajo la acción del momento resultante respectoal c.m. de dicho sistema de fuerzas) alrededor de un eje instantáneo que pasa

§22.6.- Expresión del trabajo. 667

por el centro de masa.

Obsérvese la analogía formal

Figura 22.13

existente entre la expresión del tra-bajo elemental de traslación (F dr)y el trabajo elemental de rotación(M dθ).

Para obtener la rapidez con quese realiza trabajo en el movimientogeneral del sólido rígido bajo la ac-ción de un sistema de fuerzas,dividiremos ambos miembros de[22.38] por el intervalo de tiempoinfinitesimal durante el cual elcentro de reducción (o) experimentael desplazamiento dRo y el cuerpogira un ángulo dθ; así, obtenemospara la potencia la expresión

[22.39]P dWdt

F v o M ω

donde podemos observar, una vez más, la analogía existente entre la dinámica tras-lacional y rotacional.

§22.7. Teorema de la energía cinética.- El sólido rígido constituye un casoespecial de los sistemas de partículas en el que las condiciones de rigidez permitenasegurar que el trabajo interno (realizado por las fuerzas internas) será nulo encualquier movimiento del sistema.

La fuerza resultante que actúa sobre el sólido rígido puede considerarsecompuesta de dos partes: la resultante de las fuerzas externas y la de las fuerzasinternas, dadas por

[22.40]F exti

Fi,ext F inti

Fi,int

de modo que [22.41]F F ext F int

Consideraciones análogas podemos hacer para el momento resultante de lasfuerzas que actúan sobre el sólido:

[22.42]Mo,exti

r i × Fi,ext Mo,inti

r i × Fi,int

con [22.43]M o Mo,ext Mo,int

Sustituyendo las expresiones [22.41] y [22.43] en la expresión [22.38] del trabajoelemental, donde ya están incluidas implícitamente las condiciones de rigidez (¿porqué?), tenemos


[22.44]dW F ext dR o Mo,ext dθ Fint dR o Mo,int dθ dWext dWint

y puesto que, en general, para un sistema de partículas es

[22.45]F int 0 Mo,int 0

resulta que el trabajo interno es siempre nulo, en el caso de un sólido rígido, en unmovimiento arbitrario y general (dRo, dθ) del mismo.

En consecuencia, el teorema de la energía cinética se reduce a

[22.46]dWext dEk dEk,t dEk,r

que podemos enunciar diciendo que

el cambio en la energía cinética (total) de un sólido rígido es igual al trabajorealizado sobre el mismo por las fuerzas externas.

§22.8. Conservación de la energía.- En un sólido rígido, puesto que laspartículas que lo constituyen mantienen fijas sus posiciones relativas unas respectoa otras en cualquier proceso en el que esté implicado el sólido, la energía potencialinterna (que depende tan sólo de esas posiciones relativas) permanecerá constante,de modo que no la tendremos en cuenta cuando calculemos la energía total delsistema (recordaremos que tan sólo tienen significado los cambios en la energíapotencial, ya que la elección de un nivel de energía potencial nula es arbitrario).

Si las fuerzas externas que actúan sobre el sólido rígido son conservativas,tendremos

[22.47]dW dEp

donde hemos prescindido de los subíndices ext, ya que al ser nulo el trabajo internoy al ignorar la energía potencial interna no hay necesidad de especificar que nosreferimos al trabajo y energía potencial externos.

Combinando las expresiones [22.46] y [22.47] tenemos

[22.48]dW dEk dEp

de modo que [22.49]dE d(Ek Ep) 0

donde [22.50]E Ek Ep cte

es la energía total del sólido rígido. La expresión anterior constituye la ley de laconservación de la energía, en el supuesto de que las fuerzas (externas) seanconservativas.

Si algunas de las fuerzas externas que actúan sobre el sólido rígido no sonconservativas, entonces deberemos escribir

[22.51]dW dWc dWnc dEk

y puesto que dWc = - dEp, será

§22.8.- Conservación de la energía. 669

[22.52]dWnc dEk dEp d (Ek Ep) dE

y el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energíamecánica total del sólido rígido.

Ejemplo II.- Acoplamiento de discos.- Un disco

Figura 22.14

homogéneo, de masa m y radio r, está girando libre-mente alrededor de su eje con una velocidad angular ω0.Un segundo disco, cuyo eje es paralelo al del primero,también homogéneo, de masa 4m y radio 2r, se encuen-tra inicialmente en reposo. Acercamos el segundo discoal primero, manteniendo los eje paralelos entre sí, demodo que se ponen en contacto por sus bordes; enton-ces, el mayor comienza a girar y el pequeño se frena.a) Determinar las velocidades angulares de ambosdiscos cuando dejen de resbalar, uno con respecto aotro, en el punto de contacto. b) ¿Se conserva el mo-mento angular del sistema? c) ¿Se conserva la energía cinética del sistema?

Los momentos de inercia del disco pequeño (Ip) y del disco grande (Ig) con respecto a sus ejesrespectivos son:

Ip

12

mr2 Ig

12

(4m) (2r)2 8 mr2

de modo que Ig 16 Ip

a) Las fuerzas que actúan sobre cada uno de los discos son las que se indican en laFigura 22.14. Tomando momentos con respecto al eje de cada uno de los discos tenemos las ec.del movimiento de cada uno de ellos:

[1]rf Ip α p 2rf Ig α g

de modo que αp=cte y αg=cte, por lo que el movimiento de cada uno de los discos durante elacoplamiento es uniformente acelerado. Dividiendo miembro a miembro las ec. [1], obtenemos

[2]12

Ip α p

Ig α g

⇒α p

α g

Ig

2 Ip

8 ⇒ω ω 0

Ω8 ⇒ ω 8 Ω ω 0

Cuando, finalmente, los discos dejan de resbalar en el punto de contacto mutuo, se cumplirá:

[3]r ω 2r Ω ⇒ ω 2 Ω 0

y resolviendo el sistema de ecuaciones [2]-[3] obtenemos las velocidades angulares pedidas:

ωω 0

5Ω

ω 0

10

b) Calcularemos los momentos angulares inicial (L0) y final (L) del sistema:


⎧⎪⎨⎪⎩

L0 Ip ω 0

L Ip ω Ig Ω Ip

ω 0

5Ig

ω 0

10⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

15

1610

Ipω 0

75

Ipω 0

esto es, ΔL L L0

125

Ipω 0

de modo que el momento angular no se conserva.

Puesto que el centro de masa de cada uno de los discos permanece estacionario (ejes fijos),la reacción en el eje de cada disco (F) es igual y opuesta a la fuerza de rozamiento cinético (f) enel borde del disco, como se ilustra en la Figura 22.14. Por consiguiente, el sistema constituido porlos dos discos está sometido a un par externo (F,-F) cuyo momento es -3rf. Entonces, igualandola impulsión del momento externo con el cambio que experimenta el momento angular del sistema,obtenemos:

Mext Δt ΔL ⇒ 3r f Δt125

Ipω 0 ⇒ r f Δt45

Ipω 0

que es la misma ec. [1a], ya que

rf Δt Ip α p Δt Ip (ω ω 0 ) Ip (ω 0

5ω 0 ) 4

5Ipω 0

Así pues, el momento angular del sistema no se conserva porque sobre el actúa un par externo(F,-F) proporcionado por los apoyos de los ejes (fijos) de los discos.

c) Calculamos las energías cinéticas inicial (Ek,0) y final (Ek) del sistema:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ek,0

12

Ipω20

Ek

12

Ipω2 1

2Ig Ω2 ... 1

10Ipω

20

o sea ΔEk Ek Ek,0

25

Ipω20

45

Ek,0

de modo que la energía cinética no se conserva, ya que durante la transición entre el estado inicial(ω0,0) y el final (ω,Ω) se produce resbalamiento entre los dos disco, lo que entraña una disipaciónde energía cinética.

Ejemplo III.- En el problema enunciado en el Ejemplo I, ... : c) Calcular el cambio que experi-menta la energía cinética de la bola durante la transición del movimiento de traslación pura a larodadura. d) Calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento y compararlo con el cambioen la energía cinética.

c) Las energías cinéticas inicial (Ek,0) y final (Ek,f) de la bola son

Ek,0

12

m v 20

Ek,f

12

m v 2f

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

25

mR 2 ω 2f

12

m v 2f

15

m v 2f

710

m v 2f

514

m v 20

57

Ek,0


de modo que el cambio que experimenta la energía cinética de la bola es

ΔEk

57

Ek,f Ek,0

27

Ek,0

17

m v 20

d) Tan sólo la fuerza de rozamiento realiza trabajo sobre la bola, por lo que los trabajosasociados con la traslación y con la rotación valen

f Δx µ mg1249

v 20

µg1249

mv 20

2449

Ek,0

fR Δθ µ mgR549

v 20

µgR549

mv 20

1049

Ek,0

y el trabajo neto total es

Wext

2449

Ek,0

1049

Ek,0

27

Ek,0

17

mv 20

lo que confirma que Wext ΔEk

Ejemplo IV.- Un bloque homogéneo está soportado

Figura 22.15

por dos cilindros idénticos, también homogéneos,como se ilustra en la figura. Aplicamos al bloqueuna fuerza horizontal constante y suponemos queexiste rozamiento suficiente como para que loscilindros rueden sin resbalar con respecto al suelo yal bloque. Determinar la aceleración del bloque enel instante que se indica en la figura, cuando los dosrodillos están situados simétricamente con respectoal bloque.

Consideremos un desplazamiento arbitrario xdel bloque en la dirección de su movimiento, partiendo del reposo (para facilitar el razonamiento,aunque ello sea irrelevante). Puesto que la única fuerza que trabaja es la fuerza aplicada F, será

[i]W Fx ΔEk

esto es, [ii]Fx12

Mv 2 2 ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

12

mv 2O

12

12

mR 2ω 2 12

Mv 2 mv 2O

12

mR 2ω 2

donde v y vO son las velocidades de traslación del bloque y de los cilindros, respectivamente,cuando ya se ha recorrido la distancia x.

Derivando la expr. [ii] con respecto al tiempo obtenemos las aceleraciones correspondientes;i.e.,

[iii]F v Mva 2mvOaO mR 2ωα

La condición de rodadura con respecto al suelo exige que la velocidad del punto Q del rodillosea nula; i.e.,


[iv]vO ω R ⇒ aO α R

Además, la condición de rodadura con respecto al bloque exige que la velocidad del punto P delbloque sea igual a la del punto P del rodillo; i.e.,

[v]v vO ω R 2 vO ⇒ a 2 aO

De las expresiones [iv] y [v] se sigue:

[vi]vO

12

v aO

12

a ω 12

vR

α 12

aR

que sustituidas en [iii] conducen a

F v Mva12

mva14

mva ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

M34

m va

de modo que la aceleración pedida es

aF

M 3

4m

Ejemplo V.- Un cilindro macizo, de masa m y radio R,

Figura 22.16

está unido a un muelle, de constante elástica k, como semuestra en la figura adjunta, de modo que el cilindropuede rodar sin resbalar sobre un plano horizontal.Abandonamos el cilindro, partiendo del reposo, desdeuna posición en la que el muelle está deformado. De-mostrar que el movimiento del centro de masa delcilindro será armónico simple y determinar la frecuenciay el periodo de las oscilaciones del sistema.

Escribimos la expresión de la energía total del sistema

E Ek Ep

12

mx 2 12

12

mR 2θ2 12

kx 2

con la condición de rodadura

x R θ

de modo que podemos expresar la energía total en función de una sola variable (el sistema solotiene un grado de libertad) y de su derivada temporal; i.e.,

E12

mx 2 14

mx 2 12

kx 2 34

mx 2 12

kx 2 cte

que es constante ya que el sistema es conservativo. Entonces, derivando con respecto del tiempo

dEdt

32

mxx kxx 0 ⇒ x ( 32

mx kx) 0

y, puesto que x no es siempre nula, deberá serlo el paréntesis, de modo que


x2k3m

x 0

que es la ec. dif. de un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular y periodo son

ω 2k3m

T 2π 3m2k

Problemas

22.1.- Una varilla homogénea AB está guiada

Prob. 22.1

por dos pasadores, A y B, que deslizan libre-mente por las guías situadas en un plano ver-tical que se indican en la figura adjunta. Seabandona la varilla, partiendo del reposo, en laposición 1 indicada. Determinar las veloci-dades de los pasadores A y B, así como lavelocidad de traslación y la velocidad angularde la varilla, en las posiciones 2 y 3 indicadas.

22.2.- Una varilla de longitud L se sostieneverticalmente apoyada sobre el suelo por unextremo y se la deja caer. Suponiendo que elextremo apoyado no resbala, determinar lavelocidad angular de la varilla en función delángulo que forma con la vertical y la veloci-dad del extremo libre cuando pega contra elsuelo.

22.3.- Los extremos de una varilla rectilíneay homogénea, de longitud l, están apoyadossin rozamiento en un suelo horizontal y en unapared vertical. a) Determinar la aceleraciónangular de la varilla en función del ángulo θque forma en cada instante con la vertical.b) Si abandonamos la varilla, partiendo del

reposo, cuando forma un ángulo θ0, expresarla velocidad angular de la varilla en funcióndel ángulo θ. c) En el supuesto del apartadoanterior, determinar el valor del ángulo θ parael cual la varilla pierde contacto con la paredvertical.

22.4.- Las varillas homogéneas AB y BC que

Prob. 22.4

se muestran en la figura están articuladas en B,sus masas son 6 kg y 1.5 kg y sus longitudes40 cm y 10 cm, respectivamente. El sistema seabandona, partiendo del reposo, de la posiciónhorizontal (indicada con trazo continuo).Calcular la velocidad angular que tendrá lavarilla BC cuando pase por la vertical(indicada con trazo discontinuo).

22.5.- Las dos varillas homogéneas, de la mis-ma masa m y longitud l, que se muestran en lafigura, están articuladas entre sí en el punto A.El extremo O de la varilla superior estáarticulada a un punto fijo y el extremo B de lainferior lo está a una corredera que puededeslizar sin fricción a lo largo de un eje verti-cal. Se abandona el sistema, partiendo del re-poso, de la posición horizontal (θ=0). Deter-minar: a) la velocidad angular de cada varillaen función del ángulo θ; b) la velocidad de la


cor redera en

Prob. 22.5

función de θ.

22.6.- Un cilin-dro macizo yhomogéneo, der a d i o r ygeneratriz 2r,descansa apoyadoen una de susbases sobre unplano horizontalrugoso que nop e r m i t e e ldeslizamiento. Leaplicamos unafuerza horizontal, a una altura convenientesobre el plano, hasta que, apoyado en el bordede su base inferior se desequilibra e inicia lacaída. a) Calcular el momento de inercia delcilindro con respecto al eje AA′ tangente a laperiferia de la base. b) Determinar la velocidadangular del cilindro en el instante en que sugeneratriz llega al plano horizontal.

Prob. 22.6

22.7.- Un disco de 10 cm de radio y 5 kg demasa está girando a razón de 1200 rpm. Alaplicarle la zapata del freno, se detiene en 6 s.El coeficiente de rozamiento entre la zapata yel disco vale 0.25. a) Calcular la fuerza conque debe aplicarse la zapata para conseguir elefecto anterior y el número de vueltas que dael disco hasta detenerse. b) Repetir el cálculode la fuerza del apartado anterior a partir deconsideraciones energéticas.

22.8.- Una rueda de fuegos artificiales de 1 mde radio y 4 kg de masa lleva sujetos en losextremos de un diámetro dos cohetes, de 3 kgcada uno, que ejercen fuerzas tangencialesiguales y opuestas. Sabiendo que cada cohetedesarrolla una fuerza de 10 N, y prescindiendode los rozamientos y de la pérdida de masa delos cohetes, calcular la velocidad angular de larueda al cabo de 10 s de iniciarse el movi-miento y el trabajo producido por la com-bustión de la pólvora durante ese tiempo.

22.9.- Una varilla homogénea de longitud L ymasa M puede girar sin rozamiento alrededor

de un eje vertical que pasa por su centro y quees perpendicular a la varilla. A lo largo de lavarilla pueden moverse dos esferillas idénticas,de masa m cada una, unidas entre sí por unhilo inextensible de longitud d < L. Ini-cialmente, la varilla está girando con unafrecuencia ν0 y las esferillas se encuentran enposiciones simétricas con respecto al eje derotación. En un instante determinado, el hilo serompe y las esferillas se desplazan hacia losextremos de la varilla, que dando detenidas enlos topes que existen en dichos extremos.a) Calcular la frecuencia de rotación final delsistema. b) ¿Se conservará la energía cinéticaen el proceso?

22.10.- En la figu-

Prob. 22.10

ra adjunta serepresenta unr e g u l a d o r d ecentrífuga en elque cada una delas varillas tieneuna longitud de10 cm y masadespreciable frentea las de las bolas,que pesan 500 gcada una. Elsistema está girando inicialmente con unavelocidad angular tal que el ángulo que formacada varilla con el eje de rotación es de 80°.a) Calcular la velocidad angular del sistema.b) Con el sistema siempre en rotación, seobliga al collar C a desplazarse hacia abajohasta que el ángulo anteriormente citado sereduce a 30°. ¿Cuál será la nueva velocidadangular? c) ¿Qué fuerza deberemos manteneraplicada en C para evitar que las bolas seseparen de nuevo? d) ¿Qué trabajo se harealizado al desplazar el collar?

22.11.- Un aro, un cilindro macizo y unaesfera bajan rodando sin resbalar por unmismo plano inclinado. Los tres cuerpospartieron simultáneamente del reposo desdeuna misma altura en el plano. a) Ordenarlos deacuerdo con el orden de llegada al pie delplano. b) ¿Intervienen las masas o los radiosde los cuerpos en el orden de llegada? c) ¿En-tonces, qué criterio se ha seguido para hacer laclasificación? Explíquese.

22.12.- Dadas dos esferas de la misma masa ydel mismo radio, pero una maciza y la otrahueca, describir detalladamente un experimentoque, sin dañar las esferas, nos permita averi-guar cual es la maciza y cual la hueca.

22.13.- Determinar la frecuencia de las peque-ñas oscilaciones del sistema que se muestra en

Problemas 675

la figura adjunta, suponiendo

Prob. 22.13

que la polea sea un discohomogéneo de masa M y ra-dio R y que la cuerda sealigera y no resbale por lagarganta de la polea.

22.14.- El cilindro macizo yhomogéneo que se muestraen la figura, de masa m yradio R, está suspendido deltecho mediante una cuerda.Uno de los extremos de lacuerda está unido directa-mente al techo; el otro loestá a un muelle de

Prob. 22.14

constante elástica k.Determinar la fre-cuencia de lasoscilaciones delsistema.

22.15.- Calcular elperiodo de laspequeñas oscilacio-nes del sistemarepresentado en lafigura adjunta. Lavarilla, de longitudL y masa m, puedegirar alrededor de un eje fijo y horizontal quepasa por su centro.

Prob. 22.15

22.16.- En el dispositi-

Prob. 22.16

vo que se muestra en lafigura, el collarín ligeropor el que pasa lavarilla y al que estánunidos dos muellesidénticos, permite queéstos permanezcanhorizontales. Determi-nar la frecuencia de laspequeñas oscilaciones de la varilla.

22.17.- En el dispositivo que se muestra en la

Prob. 22.17

figura, el muelle está unido al extremo supe-rior de la varilla y no está estirado cuandoθ=0°. a) Determinar la posición de equilibriodel sistema. b) Encontrar la frecuencia de las

pequeñas oscilacionesde la varilla respecto as u p o s i c i ó n d eequilibrio.

22.18.- En el péndulosimple representado enla figura, la varillarígida, de masa des-preciable, puede giraralrededor del eje hori-zontal fijo que seindica. Obtener la fre-cuencia natural de las

Prob. 22.18

pequeñas oscilacionesamortiguadas del pén-dulo.

22.19.- En el sistemaque se representa en lafigura, el rozamiento essuficiente para que elrodillo ruede sinresbalamiento. a) Esta-blecer la ec. diferencialdel movimiento del

centro de masa de rodillo. b) Demostrar que

Prob. 22.19

este sistema es equivalente, desde el punto devista analítico, al descrito en la Lec. 14, conm=3M.

22.20.- En el dispositivo de la figura, el

Prob. 22.20

cilindro de 50 kg de masa y 30 cm de radiorueda sobre la superficie horizontal rugosa. Laconstante de amortiguamiento del amortigua-dor es 75 kg/s y la constante elástica delmuelle vale 300 N/m. A la base móvil se leimpone una oscilación armónica simple conuna amplitud de 1 cm. a) Determinar lasfrecuencias de resonancia en la energía y en la


amplitud y la amplitud de las oscilaciones dedesplazamiento del centro del rodillo en esasresonancias. b) Calcular la potencia mediatransferida al rodillo en las resonancias deenergía y de amplitud.

22.21.- a) Una varilla, de longitud l y masa m,

Prob. 22.21

permanece en reposo sobre una superficiesemicilíndrica, como se muestra en la figura.Determinar la frecuencia de las pequeñasoscilaciones libres de la varilla cuando empu-jamos ligeramente hacia abajo uno de susextremos. b) Ídem si se tratase de un tablón deespesor h.

22.22.- Una pequeña esfera de radio r perma-nece en equilibrio inestable en la cima de unagran esfera fija de radio R. Desplazamosligeramente la esferilla de su posición de equi-librio, de modo que comience a rodar (sinresbalar) sobre la esfera grande. Determinar laposición en que la esferilla se despega de laesfera grande y la velocidad que lleva en eseinstante.

22.23.- Una bola maciza, de 2 cm de radio,

Prob. 22.23

desciende rodando sin resbalar por una pistaque forma un rizo de 20 cm de radio, como semuestra en la figura. Si la bola parte delreposo de un punto situado a una altura hsobre el fondo del rizo, calcular el valormínimo de h que permite a la bola "rizar elrizo" sin despegarse de la pista.

22.24.- Una bolita de radio r se encuentra enel interior de una oquedad hemiesférica deradio R. a) Demostrar que si desplazamos labolita de su posición de equilibrio en el fondode la oquedad y después la abandonamos, lasoscilaciones de la bolita no serán armónicassimples a menos que la amplitud de dichasoscilaciones sea muy pequeña. b) En este

último caso, determinar el periodo de lasoscilaciones y la longitud del péndulo simpleequivalente.

22.25.- Una bolita, de

Prob. 22.25

radio r, rueda por uncarril situado en unplano vertical, de radiointerior R>r. a) ¿Cuáldeberá ser el valormínimo de v0 a fin deque la bolita completesu trayectoria circularsin despegarse delcarril? b) Sea vm el valor mínimo calculadoanteriormente; y supóngase ahora que v0 =0.387 vm. Bajo estas condiciones, determinar laposición angular θ del punto P en el que labolita se despega del carril, así como suvelocidad en ese instante.

22.26.- Un cubo homogéneo está apoyadosobre una de sus aristas en contacto con unplano horizontal, de modo que inicialmente seencuentra en equilibrio inestable. Los despla-zamos ligeramente de esa posición para quecomience a caer. Calcular su velocidad angularcuando una de sus caras choca con el planohorizontal: a) suponiendo que la arista noresbale sobre el plano y b) suponiendo que elplano sea perfectamente liso.

22.27.- Un rodillo

Prob. 22.27

macizo, de sec-ción circular, deradio r y masa m,descansa sobre elborde horizontalde un escalón yempieza a rodarhacia afuera, sinr e sba l a r , c onvelocidad inicialdespreciable. Calcular el ángulo que girará elrodillo antes de que pierda contacto con el bor-de del escalón, así como su velocidad angularen ese instante.

22.28.- Dos discos idénticos, de 200 g de masa

Prob. 22.28

cada uno de ellos y de 10 cm de radio, están

Problemas 677

unidos por un eje cilíndrico y ligero de 2 cmde radio. El sistema rueda sin deslizar por unplano inclinado (30°) angosto de forma que losdiscos cuelgan a ambos lados del plano. Elsistema parte del reposo y recorre una longi-tud de 1 m sobre el plano antes de que los dis-cos tomen contacto con el plano horizontal;entonces se produce un aumento notable en lavelocidad de traslación del sistema. a) Calcularla velocidad del sistema cuando está a puntode alcanzarse el pie del plano. b) Calcular lavelocidad que finalmente adquiere el sistemarodando sobre el plano horizontal. c) ¿Se con-serva la energía cinética en el tránsito delplano inclinado al horizontal?

22.29.- Un rodillo macizo, de masa m y radio

Prob. 22.29

r, desciende rodando (sin resbalar) por la carainclinada de un prisma triangular móvil, demasa M e inclinación θ, como se ilustra en lafigura. a) Determinar las aceleraciones (abso-lutas) del rodillo y del prisma. b) Si el rodillopartió del reposo en la parte superior del pris-ma, estando también éste inicialmente en repo-so, ¿cuál será la velocidad final del prisma?

22.30.- Un cilindro

Prob. 22.30

macizo y homo-géneo, de masa my radio r, rueda sindeslizar por elinterior de otrocilindro hueco, demasa M y radio R,que puede giraralrededor de un ejefijo horizontal (O)que coincide consu eje de simetría. En el instante inicial, seabandona el sistema (partiendo del reposo) enla posición que se indica en la figura. a) De-terminar las velocidades angulares de cada unode los dos cilindros en el instante en que elcilindro interior pasa por su posición más baja.b) Determinar la velocidad de traslación delcilindro interior en dicho instante.


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22.- Trabajo y energía en el movimiento general del sólido