2.2.1

对数与对数运算

第三课时

换底公式及对数运算的应用

问题提出

.

（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）log logna aM n M

log log log ( )a a aM N M N

log log loga a a

MM N

N

（ 1 ） ; （ 2 ） ; （ 3 ） .

log 1a a log 1 0a loga Na N

1. 对数运算有哪三条基本性质？

2. 对数运算有哪三个常用结论？

3. 同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？

　 4. 由 得 ，

但这只是一种表示，如何求得 x 的值？

181.01

13x 1.01

18log

13x

知识探究（一）：对数的换底公式

思考 2: 你能用 lg2 和 lg3 表示 log23 吗？

思考 1: 假设 ，则

，从而有 . 进一步可得到什么结论？

2

2

log 5

log 3x

2 2 2log 5 log 3 log 3xx 3 5x 3log 5x

思考 4: 我们把

（ a>0 ，且 a≠1 ； c>0 ，且 c≠1 ； b>0 ）叫做对数换底公式，该公式有什么特征？

loglog

logc

ac

bb

a

思考 3: 一般地，如果 a>0 ，且 a≠1 ；

c>0 ，且 c≠1 ； b>0 ，那么 与哪个对数相等？如何证明这个结论？

log

logc

c

b

a

思考 6: 换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？

思考 5: 通过查表可得任何一个正数的常用

对数，利用换底公式如何求 的值？ 1.01

18log

13

知识探究（二）：换底公式的变式

思考 1: 与 有什么关系？ loga b logb a

思考 2: 与 有什么关系？ log naN loga N

思考 3: 可变形为什么？ (log ) (log )a aM N

理论迁移

例 1 计算：

(1) 　　 ;

(2) （ log2125 ＋ log425 ＋ log8

5)·

（ log52 ＋ log254 ＋ log1258 ）

32log9log 278

例 2 20 世纪 30 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越 . 这就是我们常说的里氏震级 M ，其计算公式为 M ＝ lgA－ lgA0. 其中 A 是被测地震的最大振幅， A0 是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差） .

（ 1 ）假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20 ，此时标准地震的振幅是 0.001 ，计算这次地震的震级（精确到 0.1 ）；

例 2 20 世纪 30 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越 . 这就是我们常说的里氏震级 M ，其计算公式为 M ＝ lgA－ lgA0. 其中 A 是被测地震的最大振幅， A0 是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差） .

（ 2 ） 5 级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的多少倍（精确到 1 ） .

例３ 生物机体内碳 14 的“半衰期”为 5730 年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 76.7 ％，试推算马王堆古墓的年代 .

作业：P68 练习： 6.P74 习题 2.2A 组： 6 ， 11 ， 12.