2.3 一元二次方程的应用 2

—— 几何图形中的方程

斯勇刚

　包装盒是同学们非常熟悉的，手工课上，老师给同学发下一张长４０厘米，宽２５厘米的长方形硬纸片，要求做一个无盖纸盒，请问你该如何做？ ( 可以有余料 )

合作学习

40cm

25cm

请问：１、同学做的纸盒大小都相同吗？

与什么有关？为什么会产生不同呢？

2 、若确定小正方形边长为５厘米，你还能计算哪些量？

例例 11 、如图甲，有一张长、如图甲，有一张长 40cm40cm ，宽，宽 25cm25cm 的长方形硬的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸盒。若纸盒的底面积是无盖纸盒。若纸盒的底面积是 450cm450cm22 ，那么纸盒的高，那么纸盒的高是多少？是多少？ 40cm

25cm

甲 乙

解 : 设高为 xcm, 可列方程为（ 40 － 2x)(25 -2x)=450解得 x1=5, x2=27.5经检验： x=27.5 不符合实际，舍去。

答：纸盒的高为 5cm 。

取一张长与宽之比为取一张长与宽之比为 55 ：： 22 的长方形纸板，剪去四个的长方形纸板，剪去四个

边长为边长为 5cm5cm 的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形

状的包装盒。要使包装盒的容积为状的包装盒。要使包装盒的容积为 200cm200cm33 （纸板的厚（纸板的厚

度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少

cmcm ？？ 5cm

试一试

设长为 5x，宽为 2x ，得：

5（ 5x-10 ）（ 2x-10 ） =200

例 2、某中学为美化校园，准备在长 32m ，宽 20m 的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m2 求出设计方案中道路的宽分别为多少米？

32

20

答：道路宽为 1米。

1 、若设计方案图纸为如图，草坪总面积 540m2

长方形面积 =长×宽解：设道路宽为 m, 则草坪的长为

m ，宽为 m ，由题意得：

х)232( х )220( х

540)220)(232( хх

解得 （不合题意舍去）11 х 252 х

分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下

540)20)(32( xx )32( x

2 、设计方案图纸为如图，草坪总面积 540m2

答：道路宽为 2 米。

)20( x

32

20

解：设道路的宽为 米，根据题意得，x

0100522 xx化简，得

解得 1 ＝ 2 ， 2 ＝ 50 （不合题意舍去）x x

3 、设计方案图纸为如图，草坪总面积 540m2

32

20

解：设道路宽为 m ，则草坪的长为

m ，宽为 m ，由题意得：

х

）х232( ）х20(

540)20)(232( хх

4 、若把甲同学的道路由直路改为斜路，那么道路的宽又是多少米？（列出方程，不用求解）

32

20

一轮船以 30km/h 的速度由西向东航行在途中接到台风警报 , 台风中心正以 20km/h 的速度由南向北移动 , 已知距台风中心 200km 的区域 ( 包括边界 ) 都属于受台风影响区 , 当轮船接到台风警报时 , 测 BC=500km,BA=300km.

B

AC

(1) 图中 C表示什么 ?B表示什么 ?圆又表示什么 ?(2)△ABC 是什么三角形？能求出 AC 吗？

(3) 显然当轮船接到台风警报时 ,没有受到台风影响，为什么？

台风影响区域轮船 台风中心

直角三角形 AC=400km

BC ＞ 200km

(5) 在这现象中存在哪些变量 ?

一轮船以 30km/h 的速度由西向东航行在途中接到台风警报 , 台风中心正以 20km/h 的速度由南向北移动 , 已知距台风中心 200km 的区域 ( 包括边界 ) 都属于受台风影响区 , 当轮船接到台风警报时 , 测 BC=500km,BA=300km.

B

AC

(4) 船是否受到台风影响与什么有关 ?船的航向，速度以及台风的行进方向和速度

船、台风中心离 A 点的距离

(6) 若设经过 t小时后 ,轮船和台风中心位置分别在 B1 和 C1 的位置那么如何表示 B1C1 ？

(7) 当船与台风影响区接触时 B1C1 符合什么条件？

（ 8）船会不会进入台风影响区？如果你认为会进入，那么从接到警报开始，经过多少时间就进入影响区？　

B

AC

B1

C1

B1

C1

B1C12=AC1

2+AB12

B1C1=200km

解 : 设当轮船接到台风警报后 , 经过 t 小时 ,则令：(400-30t)2+(300-20t)2=2002

问： (1) 这方程解得的 t1,t2 的实际意义是什么？

(2) 从 t1,t2 的值中，还可得到什么结论？

解得： t1≈8.35 t2≈19.34

(3) 如何才能避免轮船不进入台风影响区？

轮船首次受到台风影响的时间和最后受到影响的时间

假如轮船一直不改变航向或速度，从开始到结束影响的总时间

改变航向或速度

（ 4）如果船速为 10 km/h, 结果将怎样 ?

B

AC

解 :设当轮船接到台风警报后 ,经过 t小时 ,则令：(400-10t)2+(300-20t)2=2002

化简，得： t2-40t+420=0

由于此方程无实数根

∴轮船继续航行不会受到台风的影响。

如图，在如图，在△△ABCABC 中，中，∠∠B=90B=90oo 。点。点 PP从点从点 AA开始开始沿边沿边 ABAB 向点向点 BB 以以 1cm/s1cm/s的速度移动，与此同时，点的速度移动，与此同时，点QQ从点从点 BB开始沿边开始沿边 BCBC 向点向点 CC 以以 2cm/s2cm/s的速度移动。的速度移动。如果如果 PP、、 QQ分别从分别从 AA ，， BB 同时出发，经过几秒， 同时出发，经过几秒， △△ PBQPBQ的面积等于的面积等于 8cm8cm2 2 ？？

C

BAP

Q

6cm

8cm

做一做

解：设经过 x秒，得：

∴（ 6-x ）×2x÷2=8

∵ S△PBQ=BP×BQ÷2BP=6-x ， BQ=2x

解得： x1=2 ， x2=4