ทฤษฎของลาดบของจานวนจรง

โดย

นางดรรชน กจสมคร

สารนพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรและเทคโนโลยสารสนเทศ

ภาควชาคณตศาสตร บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร

ปการศกษา 2549 ISBN 974-11-6231-6

ลขสทธของบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร

THEORY OF SEQUENCES OF REAL NUMBERS

By Dutchanee Kitsamak

A Master’s Report Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree MASTER OF SCIENCE

Department of Mathematics Graduate School

SILPAKORN UNIVERSITY 2006

ISBN 974-11-6231-6

บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร อนมตใหสารนพนธเรอง “ทฤษฎของลาดบของจานวนจรง” เสนอโดย นางดรรชน กจสมคร เปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรและเทคโนโลยสารสนเทศ

....................................................................... (รองศาสตราจารย ดร. วสาข จตวตร)

รองอธการบดฝายวชาการ รกษาราชการแทน คณบดบณฑตวทยาลย

วนท...........เดอน...........................พ.ศ............. ผควบคมสารนพนธ

รองศาสตราจารยวาร เกรอต คณะกรรมการตรวจสอบสารนพนธ ............................................ประธานกรรมการ (รองศาสตราจารย ดร. สบสกล อยยนยง) ………../…….………/………. ............................................กรรมการ (รองศาสตราจารย วาร เกรอต) ………../…….………/………. ............................................กรรมการ (รองศาสตราจารย ดร. ฉววรรณ รตนประเสรฐ) ………../…….………/……….

ง

K 46308303 : สาขาวชาคณตศาสตรและเทคโนโลยสารสนเทศ คาสาคญ : ทฤษฎของลาดบของจานวนจรง ดรรชน กจสมคร : ทฤษฎของลาดบของจานวนจรง (THEORY OF SEQUENCES OF REAL NUMBERS) อาจารยผควบคมสารนพนธ : รศ.วาร เกรอต. 61 หนา. ISBN 974-11-6231-6 ในสารนพนธฉบบน เราเรมตนโดยการนาเสนอบทนยามของลาดบลเขาซงแตกตางจากบทนยามของลาดบททราบกนด โดยการนยามในลกษณะแรกเปนการนยามโดย Narayan กลาวคอ ลาดบลเขาเปนลาดบทมขอบเขตและมจดลมตเพยงคาเดยว สวนการนยามอกลกษณะหนงเปนบทนยามทเราคนเคยด นนคอ ถาลาดบของจานวนจรง { }na ลเขา แลว จะมจานวนจรง l ซงสอดคลองวา สาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนเตมบวก N ซง na l ε− < ทกจานวนเตม Nn ≥ เราไดพสจนวาบทนยามทง 2 ลกษณะเปนบทนยามทสมมลกน สดทายเราศกษาทฤษฎบทซงเกยวกบลมตของลาดบ โดยการศกษารวบรวมทฤษฎบทพนฐานเพอนาไปใชสาหรบการหาลมตของลาดบ และทฤษฎบททสาคญซงใหขอสรปเกยวกบการลเขาของลาดบ ไดแก การลเขาของลาดบโมโนโทน เกณฑของโคชสาหรบการลเขาของลาดบ และหลกการ คอนแทรคชน รวมทงทฤษฎบทอนๆ

ภาควชาคณตศาสตร บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร ปการศกษา 2549 ลายมอชอนกศกษา....................................................................................................... ลายมอชออาจารยผควบคมสารนพนธ.........................................................................

จ

K 46308303 : MAJOR : MATHEMATICS AND INFORMATION TECHNOLOGY

KEY WORD : THEORY OF SEQUENCES OF REAL NUMBERS. DUTCHANEE KITSAMAK : THEORY OF SEQUENCES OF REAL NUMBERS. MASTER’S REPORT ADVISOR : ASSOC. PROF. WAREE KAROT. 61 pp. ISBN 974-11-6231-6 In this project we first define a convergent sequence of real numbers to be the sequence that is bounded and has unique limit point. This definition was given by Narayan which is different from the well known definition of a convergent sequence{ }na : i.e. there is a real number l satisfying that for each given 0>ε , there is a positive integer N such that

ε<− lan for all integers Nn ≥ . Then we prove that the two definitions are equivalent and we study basic theorems of sequencial limits in order to find limits of sequences. Finally we study various theorems related to convergence of sequences such as the Monotone Convergence Theorem, the Cauchy Convergence Criterion for Sequences and the Contraction Principle. Department of Mathematics Graduate School, Silpakorn University Academic Year 2006 Student’s signature ………………………………………………..………..………. Master’s Report Advisor’s signature ……………………………………..…………

ฉ

กตตกรรมประกาศ

สารนพนธฉบบนสาเรจลลวงไดดวยความกรณาจาก รองศาสตราจารยวาร เกรอต

อาจารยผควบคมสารนพนธ ทใหคาปรกษา แนะนา ชวยเตมเตมและแกไขในสวนทบกพรองจนทาใหสารนพนธฉบบนสาเรจดวยด

ขอกราบขอบพระคณอาจารยภาควชาคณตศาสตร ภาควชาสถตและภาควชาคอมพวเตอร มหาวทยาลยศลปากร ทกทานทไดประสทธประสาทวชา ความร ทงในระดบปรญญาตรและปรญญาโท จนทาใหศษยคนนประสบความสาเรจในดานการศกษา และสามารถนาสงทเรยนรไปใชใหเกดประโยชนไดอยางถกตอง

ขอขอบคณทกทานทมสวนชวยเหลอ และใหคาแนะนาในการศกษา โดยเฉพาะเพอน ๆ ทศกษารวมรนเดยวกน

สดทายขอบคณครอบครวทใหการสนบสนน และกาลงใจในการศกษาจนทาใหประสบความสาเรจไดในวนน

สารบญ

หนา บทคดยอภาษาไทย............................................................................................................... ง บทคดยอภาษาองกฤษ.......................................................................................................... จ กตตกรรมประกาศ................................................................................................................ ฉ บทท 1 บทนา........................................................................................................................ 1 2 ลาดบของจานวนจรง.................................................................................................2

2.1 บทนยามของลาดบของจานวนจรง..............................................................2 2.2 ลาดบมขอบเขตและจดลมต.........................................................................3 2.3 ลาดบลเขา...................................................................................................15

3 ทฤษฎบทของการลเขาของลาดบ...............................................................…..........19 3.1 ทฤษฎบทพนฐานของการลเขา.................. ................................................19 3.2 ลาดบโมโนโทน.................................................. ......................................41 3.3 การลเขาของลาดบโคช........................ ......................................................51 3.4 อนกรมของจานวนจรง...............................................................................55

บรรณานกรม..........................................................................................................................60 ประวตผวจย...........................................................................................................................61

บทท 1 บทนา

( INTRODUCTION )

ในสารนพนธฉบบนเราจะศกษาทฤษฎของลาดบของจานวนจรง ซงลาดบของจานวนจรง คอ ลาดบซงมเรนจเปนสบเซตของ R และจะเขยนแทนลาดบ f ซง )( nanf = ดวย { }na หรอ KK ,,,, naaa 21 เรยก na วาเทอมท n ( thn term) ของลาดบ และเรยก n วา index สาหรบลาดบ เมอ n +∈ I

เราเรมตนโดยการนาเสนอบทนยามของลาดบลเขาวาเปนลาดบมขอบเขตทมจดลมตเพยงคาเดยวซงเปนการนยามโดย Narayan และแตกตางจากบทนยามของลาดบททราบกนด กลาวคอ ถาลาดบของจานวนจรง { }na ลเขา แลว จะมจานวนจรง l ซงสอดคลองวา สาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนเตมบวก N ซง na l ε− < สาหรบทกจานวนเตม Nn ≥ เราไดพสจนวาบทนยามทง 2 ลกษณะเปนบทนยามทสมมลกน

สดทายเราศกษาทฤษฎบทซงเกยวกบลมตของลาดบ โดยการศกษารวบรวมทฤษฎบทพนฐานตาง ๆ เพอนาไปใชสาหรบการหาลมตของลาดบ หรอตรวจสอบการลเขาของลาดบ นอกจากนเราจะศกษาทฤษฎบททสาคญซงใหขอสรปเกยวกบการลเขาของลาดบ โดยไมกลาวถงลมตของลาดบ ไดแก การลเขาของลาดบโมโนโทน เกณฑของโคชสาหรบการลเขาของลาดบ และหลกการคอนแทรคชนรวมทงทฤษฎบทอนๆ ซงเนอหาในแตละบทมรายละเอยดดงน

บทท 2 : เราจะกลาวถงบทนยามของลาดบลเขาของ Narayan และบทนยามของลาดบท ทราบกนด โดยไดพสจนวาบทนยามทง 2 ลกษณะสมมลกน บทท 3 : เราจะศกษารวบรวมทฤษฎบทพนฐาน ซงนาไปใชหาลมตของลาดบและทฤษฎบททสาคญซงใหขอสรปเกยวกบการลเขาของลาดบ ไดแก การลเขาของลาดบโมโนโทน เกณฑของโคชสาหรบการลเขาของลาดบ และหลกการคอนแทรคชน

บทท 2

ลาดบของจานวนจรง (SEQUENCES OF REAL NUMBERS)

ในบทนเราจะเรมตนโดยการนาเสนอบทนยามของลาดบลเขาวาเปนลาดบมขอบเขตทมจดลมตเพยงคาเดยวซงเปนบทนยามของ Narayan [3] สาหรบบทนยามของลาดบลเขาททราบกนด คอ ถาลาดบของจานวนจรง{ }na ลเขา แลว จะมจานวนจรง l ซงสอดคลองวา สาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนเตมบวก N ซง ε<− lan สาหรบทก Nn ≥ และสดทายเราไดพสจนวาบทนยามทง 2 ลกษณะเปนบทนยามทสมมลกน

2.1 บทนยามของลาดบของจานวนจรง ( Definition of Sequences of Real Numbers)

จะขอเรมตนดวยการกาหนดสญลกษณแทนเซตตาง ๆ ทใชในสารนพนธดงตอไปน R แทนเซตของจานวนจรงทงหมด +Ι แทนเซตของจานวนเตมบวกทงหมด และเขยน ΒΑ⊂ แทนความหมายวา Α เปนสบเซตของ Β บทนยาม 2.1.1 : ลาดบ (sequence) คอฟงกชนซงโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวกทงหมด

ลาดบของจานวนจรง คอ ลาดบซงมเรนจเปนสบเซตของ R และจะเขยนแทนลาดบ f ซง )( nanf = ดวย { }na หรอ KK ,,,, naaa 21 เรยก na วาเทอมท n ( thn term) ของลาดบและเรยก n วา ดชน (index) สาหรบลาดบ เมอ n +∈ I ในสารนพนธนถาไมกลาวเปนอยางอน เมอกลาวถงลาดบจะหมายถงลาดบของจานวนจรง ตวอยาง 2.1.2 : ตอไปนเปนตวอยางของลาดบ{ }na (1) ( )n

na 1 −= สาหรบทกn +∈ I (2) ให ( )11,−∈c และ n

n ca = สาหรบทกn +∈ I (3) ให ∈r R และสาหรบทกn +∈ I นยาม{ }na ดงน

nn rrra +++= K2

3

(4) ให 11 =a และสาหรบทกn +∈ I นยาม{ }na ดงน

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

+=+

na

naa

n

nn 1

11

เมอเมอ

2

22

2

>

≤

n

n

a

a

เราจะเรยกลาดบซงนยามใน (4) วา ลาดบรเคอซฟ (recursive sequence) กลาวคอ เปนลาดบ{ }na ซงนยาม na ในเทอมของ ka เมอ nk <

ในหวขอตอไปเราจะกลาวถงบทนยามและทฤษฎบทตางๆทเกยวกบลาดบมขอบเขตและจด

ลมตของลาดบ { }na โดยเราจะพสจนวาทกลาดบซงมขอบเขตมจดลมต 2.2 ลาดบมขอบเขตและจดลมต (Bounded Sequences and Limit Points) บทนยาม 2.2.1 : กาหนดใหΑ⊂ R เราเรยกจานวนจรง u วา ขอบเขตบน (upper bound) ของเซต Α ถา xu ≥ เมอ Α∈x

บทนยาม 2.2.2: กาหนดใหΑ⊂ R เราเรยกจานวนจรง l วา ขอบเขตลาง (lower bound) ของเซต Α ถา xl ≤ เมอ Α∈x บทนยาม 2.2.3 : กาหนดให Α⊂ R เรากลาววา Α เปนเซตมขอบเขต (bounded set) ถามชวง [ ]ba , ซง Α [ ] a b⊂ , บทนยาม 2.2.4 : เรากลาววาลาดบ{ }na เปนลาดบมขอบเขต (bounded sequence) ถามจานวนจรงบวก M ซง ≤na M สาหรบทกจานวนเตมบวก n

เหนไดชดวา ลาดบ { }na เปนลาดบมขอบเขต กตอเมอ { ∈ : nan }+I มทงขอบเขตลางและขอบเขตบน ตวอยาง 2.2.5 : จงตรวจสอบวาลาดบ { }na กาหนดตอไปนเปนลาดบมขอบเขตหรอไม

(1) n

n na ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

11

(2) n

an1

31

211 ++++= L

4

(3) 12 21

21

211 −++++= nna K

พสจน : (1) ให n

n na ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

11 สาหรบทกn +∈ I ดงนน

n

n na ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

11

1 0

k

n

k nkn

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 211

211

212

21

21

21 1

21 2

11211132

1 211132

1 1121 2

1321

11 1321

21 121

1 1 1

1

22

32

<

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++<

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⋅++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

⋅⋅+−−

++⋅⋅−−

+⋅−

++=

−

−

n

n

n

nn

nnnnnn

nnnnnn

nnnn

nnn

K

LL

K

L

KK

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบมขอบเขต (2) ให

nan

131

211 ++++= L สาหรบทกn +∈ I

ประการแรกจะแสดงวา 2

1 2

na n +≥ สาหรบทกn +∈ I ให ( )nP แทนขอความ

21

2na n +≥

เราจะแสดงวา ( )nP เปนจรง สาหรบทกn +∈ I ( )i ( )1P เปนจรง เพราะวา

2112 +=a และ

211

211 +≥+

ดงนน 2112 +≥a

( )ii ให k +∈ I และ ( )kP จรง นนคอ 2

1 2

ka k +≥ แลวไดวา

22

122

112

1 22 1 kkkkk aa ++

++

++=+ K

22

2 2

1 k

kk++≥

2

11 ++=

k

5

ดงนน ( )1+kP เปนจรง และโดยอปนยเชงคณตศาสตร สรปไดวา2

1 2

na n +≥ สาหรบทกn +∈ I

ตอไปจะแสดงวาทกจานวนจรงบวก M ไมเปนขอบเขตบนของ{ }na ให M 0> เลอก n +∈ I ซง >+

21 n M ดงนน

>+≥ 2

1 2

na n M

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบไมมขอบเขต (3) ให 12 2

121

211 −++++= nna K สาหรบทกn +∈ I ดงนน

12 21

21

211 −++++= nna K

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++= −22 2

121

211

21 1 nK

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+= − 2

112

1 121 1 1n

2 < เพราะฉะนน { }na เปนลาดบมขอบเขต

บทนยาม 2.2.6 : กาหนดให Α⊂ R และΑ เปนเซตมขอบเขต เราเรยกจานวนจรง g วา สมาชกคามากสด (greatest member) ของΑ ถา ∈g Α และ g เปนขอบเขตบนของ Α

บทนยาม 2.2.7 : กาหนดให Α⊂ R และΑ เปนเซตมขอบเขต เราเรยกจานวนจรง l วา สมาชกคานอยสด (smallest member) ของΑ ถา ∈l Α และ l เปนขอบเขตลางของ Α

บทนยาม 2.2.8 : กาหนดใหΑ⊂ R เรากลาววาจานวนจรง u เปนขอบเขตบนคานอยสด (least upper bound) ของ Α หรอ supremum ของ Α ถา u สอดคลองเงอนไขตอไปน

(1) u เปนขอบเขตบนของ Α (2) ถาจานวนจรง u′ เปนขอบเขตบนของ Α แลว uu ≥′

บทนยาม 2.2.9 : กาหนดให Α⊂ R เรากลาววาจานวนจรง l เปนขอบเขตลางคามากสด (greatest lower bound) ของ Α หรอ infimum ของ Α ถา l สอดคลองเงอนไขตอไปน

(1) l เปนขอบเขตลางของ Α (2) ถาจานวนจรง l′ เปนขอบเขตลางของ Α แลว ll ′≥

6

บทนยาม 2.2.10 : กาหนดให x เปนจานวนจรง แลว อาณาเขต (neighbourhood ) ของ x คอ ชวงเปด ( )ba, ซง x∈( )ba,

บทนยาม 2.2.11 : ให Α⊂ R จะกลาววาจานวนจรง x เปนจดลมต (limit point) ของΑ ถาแตละอาณาเขต ( )ba, ของ x เราไดวา { Α∈ y:y และ ( )}bay ,∈ เปนเซตอนนต

บทนยาม 2.2.12 : ให { }na เปนลาดบ และ a เปนจานวนจรง ถา ( ){ }εε +,−∈ aaa:n n เปนเซตอนนต สาหรบทก 0>ε แลวจะกลาววา a เปนจดลมต (limit point) ของ { }na เหนไดวา a เปนจดลมตของ { }na กตอเมอ สาหรบทก 0>ε มเทอม na จานวนอนนตเทอมซง ( )εε +,−∈ aaan

ตวอยาง 2.2.13 : จงแสดงวา (1) ลาดบ { }c ม c เปนจดลมตเพยงคาเดยว เมอ c เปนคาคงตว (2) ลาดบ { }na ม 0 เปนจดลมตเพยงคาเดยว เมอ

nan

1 =

(3) ลาดบ { }na ม −1 และ 1 เปนจดลมต เมอ ( )nna 1 −=

(4) ลาดบ { }na ไมมจดลมต เมอ nan =

พสจน : (1) การพสจนเหนไดชด

(2) ประการแรกจะแสดงวา 0 เปนจดลมตของ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1

ให 0>ε เลอก N +∈ I ซง ε1

>N สาหรบทก Nn ≥ จะไดวา ε<≤Nn11

ดงนน มเทอม na จานวนอนนตเทอม ซง ( )εε ,−∈na เพราะฉะนน 0 เปนจดลมตของ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1

ประการสดทายจะแสดงวา a≠0 ไมเปนจดลมตของ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1

กรณท 1 : 0>a เลอก

2a

=ε พจารณาชวง ( ) =+,− εaεa (2

3 2

aa, )

เลอก N +∈ I ซง 2

1 aN< สาหรบทก Nn ≥ จะไดวา

211 aNn<≤

ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทกn N≥

7

นนคอ มเทอม na อยางมากจานวน 1−N เทอม ซง ∈na (2

3 2

aa, )

เพราะฉะนน a ไมเปนจดลมตของ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1

กรณท 2 : 0<a เลอก

2 aε= พจารณาชวง ( ) =+,− εaεa (

2

23 aa

, ) สาหรบทก n +∈ I

เหนไดชดวา ∉na (2

2

3 aa, ) สาหรบทก n

เพราะวา 0>na ดงนน a ไมเปนจดลมตของ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1

(3) ประการแรกจะแสดงวา 1 เปน จดลมตของ ( ){ }n1− ให 0>ε สาหรบทกจานวนเตมค n ใด ๆ จะไดวา ( ) ε+<=− 1 1 1 n ดงนน มเทอม na จานวนอนนตเทอม ซง ( )εε +,−∈ 1 1na เพราะฉะนน 1 เปนจดลมตของ ( ){ }n1− ตอไปจะแสดงวา −1 เปนจดลมตของ ( ){ }n1− ให 0>ε สาหรบทกจานวนเตมค n ใด ๆ จะไดวา ( ) ε−−>−=− 1 1 1 n ดงนน มเทอม na จานวนอนนตเทอม ซง ( )εε +−,−−∈ 1 1na เพราะฉะนน −1 เปนจดลมตของ ( ){ }n1− ประการสดทายจะแสดงวา ∈a R ซง 1≠a หรอ 1−≠a ไมเปนจดลมตของ { }na กรณท 1 : 1−<a เลอก 1

21

+= aε แลว 1−<+εa และ 1<+εa สาหรบทก n +∈ I

เพราะวา 1 −=na หรอ 1 =na ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทก n เพราะฉะนน a ไมเปนจดลมตของ ( ){ }n1− กรณท 2 : 1>a การพสจนเปนทานองเดยวกนกบกรณท 1 กรณท 3 : 11 <<− a เลอก

21 =ε min { }1 1 −,+ aa สาหรบทก n +∈ I

แลว ( )εε +−∉ aa ,1 และ ( )εε +−∉− aa ,1 ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทก n เพราะฉะนน a ไมเปนจดลมตของ ( ){ }n1−

(4) เราจะแสดงวา { }na ไมมจดลมต กาหนดให a เปนจานวนจรงใด ๆ และให >ε 0 เลอก n +∈ I ซง ε+> an

8

จะไดวา ( )εε +,−∉ aaak ทกจานวนเตม nk ≥ ดงนน มเทอม ka อยางมากจานวน 1−n เทอม ซง ( )εε −,+∈ aaak เพราะฉะนน a ไมเปนจดลมตของ { }n ขอสงเกต 2.2.14 : a เปนจดลมตของ{ }na กตอเมอ ให 0>ε และm เปนจานวนเตมบวก แลวจะมจานวนเตมบวก mm ≥′ ซง ( )εε +,−∈′ aaam ( )*

พสจน : ( )→ กาหนดให a เปนจดลมตของ { }na ให >ε 0 และ m เปนจานวนเตมบวก สมมตวา m′ เปนจานวนเตมบวก ซง mm ≥′ และ ( )εε +,−∉′ aaam นนคอ มเทอม na อยางมากจานวน 1−m เทอม ซง ( )εε −,+∈ aaan ทาใหเกดขอขดแยงกบการเปนจดลมตของa ดงนน มจานวนเตม mm ≥′ ซง ( )εε −,+∈′ aaam

( )← กาหนดให ( )* เปนจรง และ ให >ε 0 เลอกจานวนเตมบวก 1 1 =m จะไดวา มจานวนเตมบวก 11 mm ≥′ ซง ( )εε +,−∈′ aaam1

เลอกจานวนเตมบวก 1 12 +′= mm จะไดวา มจานวนเตมบวก 22 mm ≥′ ซง ( )εε +,−∈′ aaam2

เลอกจานวนเตมบวก 1 23 +′= mm จะไดวา มจานวนเตมบวก 33 mm ≥′ ซง ( )εε +,−∈′ aaam3

M นนคอ สาหรบทกจานวนเตม k เมอ 3≥k เลอกจานวนเตมบวก 11 ++ ≥′ kk mm โดยท

1 1 +′=+ kk mm ซงทาให ( )εε +,−∈+′

aaakm 1

ดงนน ( ){ }εε +,−∈′ ′ aaa:m m เปนเซตอนนต เพราะฉะนน a เปนจดลมตของ { }na

ทฤษฎบทประกอบ 2.2.15 : Bolzano – Weierstrass Theorem ทกเซตอนนตทมขอบเขตจะมจดลมต

พสจน : สามารถดการพสจนจาก [3]

ทฤษฎบท 2.2.16 : ทกลาดบซงมขอบเขตมจดลมต

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบมขอบเขต และ ให =Α { ∈ : nan }+I พจารณา 2 กรณ ตอไปน กรณท 1 : Α เปนเซตจากด

9

ดงนน ม Α∈c ซง { }ca:n n = เปนเซตอนนต เพราะฉะนน c เปนจดลมตของ { }na กรณท 2 : Α เปนเซตอนนต เนองจาก { }na เปนลาดบมขอบเขต ดงนน Α เปนเซตอนนตซงมขอบเขต โดย Bolzano – Weierstrass Theorem จะไดวา ม a เปนจดลมตของ Α ดงนน สาหรบ 0>ε จะไดวา ( ){ }εε +,−∈ aaa:n n เปนเซตอนนต เพราะฉะนน a เปนจดลมตของ { }na และการพสจนทฤษฎบทสนสด

ขอสงเกต 2.2.17 : กาหนดให { }na เปนลาดบมขอบเขต ถา Ε เปนเซตของจดลมตทงหมดของ { }na โดยท φΕ ≠ แลว Ε มขอบเขต พสจน : ให { }na เปนลาดบมขอบเขต และ Ε เปนเซตของจดลมตทงหมดของ { }na โดยท φΕ ≠ สมมตวา Ε ไมมขอบเขต ดงนน Ε ไมเปนสบเซตของ [ rr,− ] สาหรบทกชวง 0>r เนองจาก { }na เปนลาดบมขอบเขต ดงนน จะมจานวนจรงบวก M ซง ≤ na M เพราะวา Ε ไมเปนสบเซตของ [− M , M ] ดงนนม a ซง ∉a [− M , M ] พจารณา 2 กรณตอไปน กรณท 1 : <a − M ให

21

=ε Ma+ เหนไดชดวา ( )εε +,−∉ aaan ซงขดแยงกบการเปนจดลมตของa

กรณท 2 : >a M การพสจนเปนทานองเดยวกนกบกรณท 1 เพราะฉะนน Ε มขอบเขต ทฤษฎบท 2.2.18 : กาหนดให { }na เปนลาดบมขอบเขต แลว Ε จะมสมาชกคามากสดและสมาชกคานอยสด

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบมขอบเขต และ Ε เปนเซตของจดลมตทงหมดของ { }na ให u เปนขอบเขตบนคานอยสดของ Ε และ l เปนขอบเขตลางคามากสดของ Ε

ประการแรกจะแสดงวา u เปนจดลมตของ { }na ให 0>ε เนองจาก

2ε

−u ไมเปนขอบเขตบนของ Ε ดงนน ม Ε∈c ซง

10

2

2 εε

+<≤<− uucu

เพราะวา c เปนจดลมตของ { }na ดงนน ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +,−∈=

22 εcεca:n nΝ

เปนเซตอนนต และ ทก Ν∈ n จะไดวา εεεε

2

2 +<+<<−<− ucacu n

จงสรปไดวา u เปนจดลมตของ { }na ดงนน Ε∈u และ u เปนสมาชกคามากสดΕ ตอไปจะแสดงวา l เปนจดลมตของ { }na

ให 0>ε เนองจาก 2ε

+l ไมเปนขอบเขตลางของ Ε ดงนน ม Ε∈c ซง

2

2 εε

+<≤<− lcll

เพราะวา c เปนจดลมตของ { }na ดงนน ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +,−∈=

22 εcεca:n nΝ

เปนเซตอนนต และ ทก Ν∈ n จะไดวา εεεε

2

2 +<+<<−<− lcacl n

จงสรปไดวา l เปนจดลมตของ { }na ดงนน Ε∈l และ l เปนสมาชกคานอยสดΕ บทนยาม 2.2.19 : จะเรยกสมาชกคามากสดของ Ε และ สมาชกคานอยสดของ Ε ในทฤษฎบท 2.2.18 วา ลมตบน (upper limit) และ ลมตลาง (lower limit) ของลาดบ{ }na และเขยนแทนโดย nn

alim ∞→

และ nn

alim→∞

ตามลาดบ

ทฤษฎบท 2.2.20 : u เปน ลมตบนของลาดบ{ }na กตอเมอ u สอดคลองเงอนไขตอไปน

(1) สาหรบทกจานวนบวก ε จะไดวา { }ε+≥ ua:n n เปนเซตจากด (2) สาหรบทกจานวนบวก ε จะไดวา { }ε−> ua:n n เปนเซตอนนต

พสจน : ( )→ กาหนดให { }na เปนลาดบมขอบเขต และ u เปนลมตบนของ { }na ประการแรกจะแสดงวาขอความ (1) เปนจรง

ให 0>ε เนองจาก u เปนลมตบนของ { }na ดงนน ε+u ไมเปนลมตบนของ { }na

11

จะไดวา ไมมจดลมตของ { }na ทมคามากกวา ε+u ดงนน { }ε+≥ ua:n n เปนเซตจากด เพราะฉะนน ขอความ (1) เปนจรง

ตอไปจะแสดงวาขอความ (2) เปนจรง ให 0>ε เนองจาก u เปนจดลมตของ{ }na ดงนน ( ){ }εεΑ +,−∈= uua:n n เปนเซตอนนต จะไดวา εε +<<− uau n สาหรบทก Α∈n เพราะฉะนน ขอความ (2) เปนจรง

( )← กาหนดใหขอความ (1) และ (2) เปนจรง จะไดวา ( ){ }εεΑ +,−∈= uua:n n เปนเซตอนนต สาหรบทก 0>ε ดงนน u เปนจดลมตของ { }na

สมมตให u′ เปนจดลมตของ { }na ซง uu >′ และให α และβ เปนจานวน ซง uu >>′> αβ

โดยขอความ (1) จะไดวา ( ){ }βα ,∈na:n เปนเซตจากด ดงนน u′ ไมเปนจดลมตของ { }na ซงเปนขอขดแยง เพราะฉะนน u เปนลมตบนของ{ }na ทฤษฎบท 2.2.21 : l เปนลมตลางของลาดบ{ }na กตอเมอ l สอดคลองเงอนไขตอไปน

(1) สาหรบทกจานวนบวก ε จะไดวา { }ε−< la:n n เปนเซตจากด (2) สาหรบทกจานวนบวก ε จะไดวา { }ε+< la:n n เปนเซตอนนต

พสจน : การพสจนเปนทานองเดยวกนกบทฤษฎบท 2.2.20

ตวอยาง 2.2.22 : จงหาขอบเขตบนคานอยสด ขอบเขตลางคามากสด ลมตบน และลมตลางของลาดบ { }na ทกาหนดใหตอไปน

(1) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=

na n

n111

(2)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=+

+=+

=+

=

23 เมอ 1

1

13 เมอ 2

2

3 เมอ 1

mnn

mnn

n

mnn

n

an สาหรบทกจานวนเตม m

12

วธทา : (1) ขอบเขตบนคานอยสดของ{ }na คอ 23 และขอบเขตลางคามากสดของ { }na

คอ − 2 ในการหาลมตบนและลมตลางของลาดบ { }na เราจะหาจดลมตทงหมดของลาดบ { }na ประการแรก จะแสดงวา 1 เปนจดลมตของ{ }na

ให 0>ε เลอกจานวนเตมบวก ε1

>N สาหรบทกจานวนเตมค Nn ≥ จะไดวา

ε+<+< 1 1 1 1n

ดงนน มเทอม na เปนจานวนอนนตเทอม ซง ( )εε +,−∈ 11na และสรปไดวา 1 เปนจดลมตของ { }na

ตอไปจะแสดงวา − 1 เปนจดลมตของ { }na ให 0>ε เลอกจานวนเตมบวก

ε1

>N สาหรบทกจานวนเตมค Nn ≥ จะไดวา

1 1 1 1 −<−−<−−n

ε

ดงนน มเทอม na เปนจานวนอนนตเทอม ซง ( )εε +−,−−∈ 1 1na และสรปไดวา 1− เปนจดลมตของ { }na

ประการสดทายจะแสดงวา ∈a R ซง ≠a 1 หรอ ≠a − 1 ไมเปนจดลมตของ { }na กรณท 1 : 1−<a ให 1

21

+= aε และเลอกจานวนเตมบวก ε1

>N สาหรบทกจานวนเตมบวก Nn ≥ จะไดวา

ε+>−− an

11 หรอ ε+>+ an

11

ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทก n N≥ และสรปไดวา a ไมเปนจดลมตของ { }na กรณท 2 : 1>a

ให 1 21

−= aε และเลอกจานวนเตมบวก ε1

>N สาหรบทกจานวนเตมบวก Nn ≥ จะไดวา

ε−<+ an

11 หรอ ε−<−− an

11

ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทก n N≥ เพราะฉะนน a ไมเปนจดลมตของ { }na กรณท 3 : 11 <<− a เลอก { }1 1

21

−,+= aaminε

เนองจาก 1−<na ถา n เปนจานวนเตมค และ 1>na ถา n เปนจานวนเตมค

13

ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทก n และสรปไดวา a ไมเปนจดลมตของ { }na ดงนนสรปไดวา ลมตบนของ { }na คอ 1 และลมตลางของ { }na คอ −1

(2) ขอบเขตบนคานอยสดของ{ }na คอ 34 และขอบเขตลางคามากสดของ { }na คอ 0

ในการหาลมตบนและลมตลางของลาดบ { }na เราจะหาจดลมตทงหมดของลาดบ{ }na ประการแรก จะแสดงวา 0 เปนจดลมตของ { }na

ให 0>ε เลอกจานวนเตมบวกε1

>N สาหรบทกจานวนเตม 23 += mn ซง Nn ≥ จะไดวา

ε 1

1 1

1<

+≤

+ Nn

ดงนน มเทอม na เปนจานวนอนนตเทอม ซง ( )εε ,−∈na และสรปไดวา 0 เปนจดลมตของ { }na ตอไปจะแสดงวา

21 เปนจดลมตของ { }na

ให 0>ε เลอกจานวนเตมบวกε1

>N สาหรบทกจานวนเตม 13 += mn ซง Nn ≥ จะไดวา

1 21

22

nnn

+=+ และ ε+<+≤+

21 1

21 1

21

Nn

ดงนน มเทอม na เปนจานวนอนนตเทอม ซง ∈na ( εε +,−21

21 )

เพราะฉะนน 21 เปนจดลมตของ { }na

ตอไปจะแสดงวา 1 เปนจดลมตของ { }na ให 0>ε เลอกจานวนเตมบวก

ε1

>N สาหรบทกจานวนเตม mn 3= ซง Nn ≥ จะไดวา

1 1 1nn

n+=

+ และ ε+<+≤+ 1 1 1 1 1Nn

ดงนน มเทอม na เปนจานวนอนนตเทอม ซง ( )εε +,−∈ 1 1na เพราะฉะนน 1 เปนจดลมตของ { }na ประการสดทายจะแสดงวา ∈a R ซง ≠a 0 หรอ

21

≠a หรอ ≠a 1ไมเปนจดลมตของ{ }na

กรณท 1 : <a 0 เลอก

2a

=ε พจารณาชวง ( ) =+,− εε aa (2

2

3 aa, ) สาหรบทกจานวนเตมบวก n

เหนไดชดวา ∉na (2

2

3 aa, ) สาหรบทก n และสรปไดวา a ไมเปนจดลมตของ { }na

กรณท 2 : 021

<< a

14

ให min 21

=ε { |a |,|21

−a | } และเลอกจานวนเตมบวกε1

>N สาหรบทกจานวนเตมบวก

Nn ≥ จะไดวา ε−<

+a

n

11

หรอ ε+>>+ a

n

21 1

21

หรอ ε+>+>+ a

nn 1

21 11

ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทก n N≥ เพราะฉะนน a ไมเปนจดลมตของ { }na

กรณท 3 : 121

<< a

เลอก { 21 min=ε |

21

−a |,| 1−a | } และเลอกจานวนเตมบวก ε1

>N สาหรบทกจานวนเตม

บวก Nn ≥ จะไดวา ε−<+ a

n 1

21

หรอ ε−<+<<

+a

nn 1

21

21

11

หรอ ε+>>+ a

n 1 11

ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทก n N≥ และสรปไดวา a ไมเปนจดลมตของ { }na กรณท 4 : 1>a

ให 1 21

−=ε a และเลอกจานวนเตมบวก ε1

>N สาหรบทกจานวนเตมบวก Nn ≥ จะไดวา

ε−<+ an

11 หรอ ε−<+ an

121

หรอ ε−<

+a

n

11

ดงนน ( )εε +,−∉ aaan สาหรบทก n N≥ เพราะฉะนน a ไมเปนจดลมตของ { }na ดงนนสรปไดวา ลมตบนของ { }na คอ 0 และ ลมตลางของ { }na คอ 1

15

ในหวขอ 2.3 เราจะนาเสนอบทนยามของลาดบลเขาวาเปนลาดบมขอบเขตทมจดลมตเพยงคาเดยวซงเปนบทนยามของ Narayan และในทฤษฎบท 2.3.3 ไดแสดงการพสจนวาบทนยามของ Narayan สมมลกบบทนยามททราบกนด

2.3 ลาดบลเขา ( Convergent Sequences) บทนยาม 2.3.1 : เรากลาววา { }na เปนลาดบลเขา (convergent sequences) ถา { }na เปนลาดบซงมขอบเขตและมจดลมตเพยงคาเดยว และจะเรยกจดลมตนนวา ลมต(limit) ของ{ }na

ถา { }na เปนลาดบทม a เปนลมต แลวเรากลาววา { }na ลเขาส a ( converges to a ) และจะเขยนแทนโดย aalim n

n=

∞→

ถา{ }na ไมเปนลาดบลเขา แลวจะกลาววา ลาดบ { }na เปนลาดบลออก (divergent sequences)

ตอไปนเปนตวอยางของลาดบลเขา

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

n11 , ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

n

n1 , ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1

ตอไปนเปนตวอยางของลาดบลออก ( ){ }n1− , ( ){ }n11 −+ , { }2n

เหนไดชดวา{ }c เปนลาดบลเขาส c ทฤษฎบท 2.3.3 : ใหลาดบ{ }na ลเขาส a กตอเมอ สาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนเตมบวก N ซงสอดคลอง ε<− aan สาหรบทก Nn ≥

พสจน : ( )→ กาหนดใหลาดบ{ }na ลเขาส a และให 0>ε เนองจากa เปนจด ลมตของ{ }na ดงนน ( ){ }εεΑ +,−∉= aaa:n n เปนเซตจากด พจารณา 2 กรณ ตอไปน

กรณท 1 : φΑ = ดงนน ทก n +∈ I จะไดวา ε<− aan

กรณท 2 : φΑ ≠ ให m เปนสมาชกคามากสดของ Α และ 1+=mN พจารณา ทก Nn ≥ จะไดวา Α∉n ดงนน ε<− aan

16

( )← กาหนดให { }na เปนลาดบ ซงสอดคลองวา สาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนเตมบวก N ซง ε<− aan สาหรบทก Nn ≥

ประการแรกจะแสดงวา { }na เปนลาดบมขอบเขต ให 1=ε ดงนนมจานวนเตมบวก k ซงสอดคลองวา 1 <−aan สาหรบทก kn ≥ เลอก { } 1 121 −,,,,+= kaaaamaxM K ดงนน ≤ na M ทก n +∈ I และสรปไดวา { }na เปนลาดบมขอบเขต

ประการสดทาย จะแสดงวา { }na มจดลมตเพยงคาเดยว จากกาหนดใหจะไดวา a เปนจดลมตของ { }na สมมต a′ เปนจดลมตของ { }na เมอ aa ≠′

กรณท 1 : ถา aa >′ ให ( )aa ′−=

31 ε จะไดวา εεε +>+=−′ aaa 2

เนองจาก a เปนจดลมตของ { }na ดงนน a เปนลมตบนของลาดบ{ }na โดยทฤษฎบท 2.2.20 (1) ดงนน ( ){ }εε +′,−′∈ aaa:n n เปนเซตจากด จะไดวา a′ ไมเปนจดลมตของ { }na ซงเปนขอขดแยงของการเปนจดลมตของa′

กรณท 2 : ถา aa <′ ให aa ′−=ε

31 จะไดวา εεε −>−=+′ aaa 2

เนองจาก a เปนจดลมตของ { }na ดงนน a เปนลมตบนของลาดบ{ }na โดยทฤษฎบท 2.2.21 (1) ดงนน ( ){ }εε +′,−′∈ aaa:n n เปนเซตจากด จะไดวา a′ ไมเปนจดลมตของ { }na ซงเปนขอขดแยงของการเปนจดลมตของa′ ดงนน a เปนจดลมตของ { }na เพยงคาเดยว เพราะฉะนน { }na ลเขาส a ดงนนการพสจนทฤษฎบทสมบรณ เงอนไขในทฤษฎบท 2.3.3 เปนเงอนไขทพอเพยงสาหรบการเปนลาดบลเขาของลาดบ{ }na คอ บทนยามของการเปนลาดบลเขาซงเปนทรจกกนด และเราจะใชบทนยามนในการตรวจสอบ ลาดบลเขาดงตวอยาง 2.3.4 และตวอยาง 2.3.5

ตวอยาง 2.3.4 : จงแสดงวาลาดบ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1 ลเขาส 0

พสจน : ให >ε 0 เลอกจานวนเตมบวกε1

>N

ดงนน ε<N1 สาหรบทก Nn ≥ จะไดวา

17

ε<≤Nn11

ดงนนโดยทฤษฎบท 2.3.3 สรปไดวา ลาดบ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n1 ลเขาส 0

ตวอยาง 2.3.5 : จงแสดงวาลาดบ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++ 3 4 2

2 nn ลเขาส 3

พสจน : ให >ε 0 เลอกจานวนเตมบวกε6

>N สาหรบทก Nn ≥ จะไดวา

ε<≤+=−++ 6 4 2 3 3 4 2 22 Nnnnn

ดงนนโดยทฤษฎบท 2.3.3 สรปไดวา ลาดบ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++ 3 4 2

2 nn ลเขาส 3

ตวอยาง 2.3.6 : จงแสดงวาลาดบ ( ){ }n1- เปนลาดบลออก

พสจน : สมมต ( ){ }n1- ลเขาสจานวนจรง a และให 1=ε โดยทฤษฎบท 2.3.3 จะม N +∈ I ซง ( ) 1 1 <−− an สาหรบทก Nn≥ เนองจาก

( ) 1 1- 1 1 2 <−=−≤− a aa N ดงนน >a 0 และ

( ) ( ) 1 1- 1 1 1 1 12 <−=−−=+−=+≤+ + a aaaa N ดงนน <a 0 ซงเปนขอขดแยง เพราะฉะนน ( ){ }n1- เปนลาดบลออก เราจะจบบทนดวยเงอนไขทเพยงพอและจาเปนสาหรบการเปนลาดบลเขา นนคอเงอนไขในทฤษฎบท 2.3.7 ทฤษฎบท 2.3.7 : { }na เปนลาดบลเขา กตอเมอ สาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนเตมบวก N ซง ε<− nm aa สาหรบทกจานวนเตม n และm เมอ Nn ≥ และ Nm ≥

พสจน :( )→ กาหนดให { }na เปนลาดบลเขา ดงนนมจานวนจรง a ซง nn

alima ∞→

=

ให >ε 0 โดยทฤษฎบท 2.3.3 จะมจานวนเตมบวก N ซง 2

ε<−aan สาหรบทก Nn ≥

พจารณาจานวนเตม Nn ≥ และจานวนเตม Nm≥ จะไดวา

18

nmnm aaaaaa −+−=− aaaa nm −+−≤

εεε 2

2

=+<

( )← กาหนดให { }na เปนลาดบซงสอดคลองวา สาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนเตมบวก N ซง ε<− nm aa สาหรบทกจานวนเตม n และm เมอ Nn ≥ และ Nm≥

ประการแรกจะแสดงวา { }na เปนลาดบมขอบเขต ให 1=ε จากกาหนดให จะมจานวนเตมบวก N ซง 1<− nm aa สาหรบทกจานวนเตม n และ m เมอ Nn ≥ และ Nm≥ ให mN = จะไดวา

1<− nN aa หรอ 1+< Nn aa สาหรบทกจานวนเตม Nn ≥ เลอก M { } 1 121 −,,,,+= NN aaaamax K ดงนน ≤ na M ทก n +∈ I เพราะฉะนน { }na เปนลาดบมขอบเขต

ประการสดทายจะแสดงวา { }na มจดลมตเพยงคาเดยว โดยทฤษฎบท 2.2.16 ไดวา { }na มจดลมต กาหนดให a′ และ a เปนจดลมตของ { }na โดยท aa ≠′ และให 0>ε จากกาหนดให จะมจานวนเตมบวก N ซง ε<− nm aa สาหรบทกจานวนเตม n และ m เมอ Nn ≥ และ Nm ≥ โดยขอสงเกต 2.2.14 จะมจานวนเตม Nm ≥1 และจานวนเตม

Nm ≥2 ซง ∈1ma (

3

3 εaεa +,− ) และ ∈2ma (

3

3 εaεa +′,−′ )

ดงนน

2211aaaaaaaa mmmm ′−+−+−=′−

2211

aaaaaa mmmm ′−+−+−≤ εεεε

3

3

3 =++<

และสรปไดวา aa ′= ซงเปนขอขดแยง ดงนน { }na มจดลมตเพยงคาเดยว เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลเขา ดงนนการพสจนทฤษฎบทสมบรณ

บทท 3

ทฤษฎบทของการลเขาของลาดบ (CONVERGENCE THEOREMS OF SEQUENCES) ในบทนเราจะศกษาทฤษฎบทพนฐานทเกยวของกบการลเขาของลาดบซงใชสาหรบการคานวณลมตของลาดบหรอตรวจสอบการลเขาของลาดบ นอกจากนจะศกษาทฤษฎบททใหเงอน ไขทเพยงพอสาหรบการลเขาของลาดบ โดยไมกลาวถงลมตของลาดบ ไดแก การลเขาของลาดบ โมโนโทน เกณฑของโคชสาหรบการลเขาของลาดบ และหลกการคอนแทรคชน 3.1 ทฤษฎบทพนฐานของการลเขา (Basic Theorems of Convergence )

ในหวขอนเราจะศกษาทฤษฎบทพนฐานทเกยวของกบการลเขาของลาดบซงใชสาหรบการ

คานวณลมตของลาดบ หรอตรวจสอบการลเขาของลาดบ และเรากลาวถง Bernoulli’s Inequality ในทฤษฎบทประกอบ 3.1.1 ทจะใชในการพสจนทฤษฎบท 3.1.2 โดยละการพสจน ทฤษฎบทประกอบ 3.1.1 : Bernoulli’s Inequality ถา ∈a R และ 1−>a แลว ( ) naa n +≥+ 11 สาหรบทก +∈ I ทฤษฎบท 3.1.2 : ถา ∈c R ซง 1 <c แลว =

∞→

n

nclim 0

พสจน : กาหนดให ∈c R ซง 1 <c และให >ε 0 พจารณา >−= 1

1 c

d 0 จะไดวา

dc

+=

11

เลอกจานวนเตมบวก εd

N 1 ≥ สาหรบทก Nn≥ จะไดวา

−nc 0 ( )

ε 1 1

1 1

1 ≤<+

≤+

==ndndd

c nn

เพราะฉะนน =→∞

n

nclim 0

20

ทฤษฎบท 3.1.3 : ลาดบลเขาเปนลาดบมขอบเขต

พสจน : กาหนดใหลาดบ{ }na ลเขาสa และให = ε 1 ดงนน ม N +∈ I ซง 1 <−aan หรอ ≤− aan 1 <−aan

สาหรบทก Nn≥ นนคอ 1 aan +≤ สาหรบทก Nn≥

เลอก maxM = { }aaaa N +,,, − 1 , 121 K ดงนน ทก n +∈ I จะไดวา

Man ≤ เพราะฉะนน { }na มขอบเขต ทฤษฎบท 3.1.4 : กาหนดให ∈a R ซง ≠a 0 และลาดบ { }na ลเขาส a แลว จะม ∈N +I ซง

2 aan > สาหรบทก Nn≥

พสจน : กาหนดให ∈a R ซง ≠a 0 และลาดบ { }na ลเขาส a และให 2

a=ε

ดงนน ม ∈N +I ซง

2 aaan <− หรอ

2 aaa n ≤−

สาหรบทก Nn≥ นนคอ

2

2 aaaan =−> สาหรบทก Nn≥

เพราะฉะนนการพสจนทฤษฎบทสนสด ทฤษฎบท 3.1.5 : ให { }na เปนลาดบ แลว aalim n

n=

∞→ กตอเมอ ( ) 0 =−

∞→aalim n

n

พสจน :( )→ ใหลาดบ{ }na ลเขาสa และให 0>ε ดงนน ม ∈N +I ซง ε <−aan สาหรบทก Nn≥

และ ε 0 <−=−− aaaa nn สาหรบทก Nn≥

เพราะฉะนน ( ) 0 =−∞→

aalim nn

21

( )← กาหนดให ( ) 0 =−∞→

aalim nn

และให 0>ε ดงนน ม ∈N +I ซง ε 0 <−=−− aaaa nn

สาหรบทก Nn≥ และจะไดวา =− aan ε 0 <−=−− aaaa nn สาหรบทก Nn≥ เพราะฉะนน ( ) 0 =−

∞→aalim n

n

ทฤษฎบท 3.1.6 : กาหนดให { }na เปนลาดบ แลว 0 =∞→

nn

alim กตอเมอ 0 =∞→

nn

alim

พสจน :( )→ กาหนดให { }na เปนลาดบ โดยท 0 =

∞→n

nalim และให 0>ε

ดงนน ม ∈N +I ซง ε 0 <=− nn aa

สาหรบทก Nn≥ และจะไดวา ε 0 <==− nnn aaa สาหรบทก Nn≥ เพราะฉะนน 0 =

∞→n

nalim

( )← กาหนดให 0 =∞→

nn

alim และให 0>ε ดงนน ม ∈N +I ซง ε 0 <=− nn aa

สาหรบทก Nn≥ และจะไดวา ε 0 <=− nn aa สาหรบทก Nn≥

เพราะฉะนน 0 =∞→

nn

alim

ทฤษฎบท 3.1.7 : กาหนดให { }na เปนลาดบ แลว aalim nn

=∞→

กตอเมอ 0 =−∞→

aalim nn

พสจน : ( )→ ใหลาดบ { }na ลเขาสa โดยทฤษฎบท 3.1.5 ไดวา ( ) 0 =−

∞→aalim n

n

และดงนน โดยทฤษฎบท 3.1.6 สรปวา 0 =−

∞→aalim n

n

( )← พสจนในทานองเดยวกนกบขางบน ดงนน การพสจนทฤษฎบทสมบรณ

22

ทฤษฎบท 3.1.8 : กาหนดให ∈ a R ซง 0≥a และให { }na เปนลาดบโดยท aalim nn

=∞→

แลว aalim n

n=

∞→

พสจน : กาหนดให ∈ a R ซง 0≥a และให { }na เปนลาดบโดยท aalim nn

=∞→

พจารณา 2 กรณตอไปน กรณท 1 : 0=a

ให 0>ε ดงนน ม ∈N +I ซง 2 0 ε<==− nnn aaa สาหรบทก Nn≥

เพราะฉะนน ε 0 <==− nnn aaa สาหรบทก Nn≥

และสรปไดวา aalim nn

=∞→

กรณท 2 : 0≠a ให 0>ε ดงนน ม ∈N +I ซง

ε aaan =− สาหรบทก Nn≥ และสาหรบทก Nn≥ เราได ( ) ( ) ( )[ ] aaaaaaaa nnnn ++−=−

( )

ε

<−≤

+−=

aaa

aaaa

n

nn

เพราะฉะนน aalim nn

=∞→

ทฤษฎบท 3.1.9 : กาหนดให ∈ba , R ให { }nb เปนลาดบโดยท bblim n

n =

∞→ และ { }na เปน

ลาดบซงสอดคลองวา จะม M∈ R และ ∈1N +I ซง ≤−aan M bbn − สาหรบทก 1Nn ≥ แลว aalim n

n =

∞→

พสจน : กาหนดให ∈ba , R ให { }nb เปนลาดบ โดยท bblim nn

=∞→

และ { }na เปน

ลาดบซงสอดคลองวา จะม M∈ R และ ∈1N +I ซง ≤−aan M bbn −

สาหรบทก 1Nn ≥ เหนไดชดวา M 0≥ ให 0>ε เนองจาก bblim nn

=∞→

ดงนน

23

ม ∈2N +I ซง

1

+=−

MMbbn

ε สาหรบทก 2Nn ≥

เลอก { }21 NNmaxN ,= สาหรบทก Nn ≥ จะไดวา εε

1 <

+<−≤−

MMbbMaa nn

ดงนน aalim nn

=∞→

บทนยาม 3.1.11 : กาหนดให { }na และ { }nb เปนลาดบ นยาม ผลบวก ผลคณ และผลหาร ของ

ลาดบ { }na และลาดบ { }nb วาคอ ลาดบ{ }nn ba + , { }nnba และ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n

n

ba เมอ 0≠nb ทก n

ตามลาดบ ทฤษฎบท 3.1.12 : กาหนดให ∈ba , R ให { }na และ { }nb เปนลาดบ โดยท aalim n

n =

∞→

และ bblim nn

=∞→

แลว

(1) ( ) babalim nnn

+=+∞→

(2) ( ) abbalim nnn

=∞→

(3) ba

ba

limn

n

n =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞→

เมอ 0≠nb ทก n และ 0≠b

พสจน : กาหนดให ∈ba , R ให { }na และ { }nb เปนลาดบ โดยท aalim n

n =

∞→ และ

bblim nn

=∞→

(1) ให 0>ε เนองจาก aalim n

n =

∞→ ดงนน จะม ∈1N +I ซง

2 ε<−aan สาหรบทก 1Nn≥

และเนองจาก bblim nn

=∞→

ดงนน จะม ∈2N +I ซง

2 ε<−bbn สาหรบทก 2Nn≥

เลอก { }21 NNmaxN ,= สาหรบทก Nn≥ จะไดวา

24

( ) ( ) ( ) ( ) bbaababa nnnn −+−=+−+ bbaa nn −+−≤ εεε

2

2 =+<

ดงนน ( ) babalim nnn

+=+∞→

(2) ให 0>ε เนองจาก bblim nn

=∞→

โดยทฤษฎบท 3.1.3 { }nb เปนลาดบมขอบเขต

นนคอ จะม 0>M ซง Mbn ≤ ทก n และโดยทฤษฎบท 2.3.3 จะม ∈1N +I ซง

( )1 2

+<−

abbn

ε สาหรบทก 1Nn≥

เนองจาก aalim nn

=∞→

ดงนน จะม ∈2N +I ซง

Maan 2

ε<− สาหรบทก 2Nn ≥

เลอก { }21 NNmaxN ,= สาหรบทก Nn≥ จะไดวา abababbaabba nnnnnn −−+=−

( ) ( )

( )

εεε

εε

2

2

1 2

2

=+<

++<

−+−≤

−+−=

aa

MM

bbaaab

bbaaab

nnn

nnn

ดงนน abbalim nnn

=∞→

(3) กาหนดให 0>ε และ 0≠b ให n +∈ I และ 0≠nb เนองจาก bblim nn

=∞→

โดยทฤษฎบท 3.1.4 จะไดวา ม ∈1N +I ซง

2

b

bn > สาหรบทก 1Nn≥

และโดยทฤษฎบท 2.3.3 จะม ∈2N +I ซง

( )ε

1 4

2

+<−

ab

bbn สาหรบทก 2Nn≥

เนองจาก aalim nn

=∞→

ดงนน จะม ∈3N +I ซง

ε4

baan <− สาหรบทก 3Nn≥

เลอก { }321 NNNmaxN ,,= สาหรบทก Nn≥ จะไดวา

25

( ) ( ) n

nn

n

n

bbbbaaab

ba

ba −+−

=−

n

nn

bbbbaaab

−+−

≤

n

n

n

n

bbb

ba

baa

−

+−

=

( )

εεε

εε

2

2

2

1 4

4

2

2

=+<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

bab

bab

b

ดงนน ba

balim

n

nn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞→

จากทฤษฎบท 3.1.12 จะไดขอสงเกตตอไปน

ถา{ }na และ { }nb เปนลาดบลเขา และ ∈ , βα R แลว ( ) n

nn

nnn

nblimalimbalim

∞→∞→∞→+=+ βαβα

ทฤษฎบท 3.1.13 : กาหนดให { }na เปนลาดบลเขา และ { }nb เปนลาดบลออก แลว{ }nn ba + เปนลาดบลออก

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบลเขา และ { }nb เปนลาดบลออก สมมตให { }nn ba + เปนลาดบลเขา เนองจาก { }na เปนลาดบลเขา จะไดวา { }na− เปนลาดบลเขา ดงนน ( ) ( ){ }nnn aba −++ เปนลาดบลเขา หรอ { }nb เปนลาดบลเขา ซงขดแยงกบขอกาหนด เพราะฉะนน { }nn ba + เปนลาดบลออก

ถา { }2na เปนลาดบลเขา แลวเราไมสามารถสรปไดวา{ }na เปนลาดบลเขา หรอ{ }na เปน

ลาดบลออก เนองจากมตวอยางของ { }na ซงเปนลาดบลเขา และ { }na ซงเปนลาดบลออก ซงได { }2

na เปนลาดบลเขา ดงจะแสดงในตวอยาง 3.1.14 และ 3.1.15

26

ตวอยาง 3.1.14 : ให { }2na เปนลาดบ ซงนยามดงน

22 1 2 1

nnan ++= สาหรบทก +∈Ιn

จงแสดงวา { }2na เปนลาดบลเขา และ { }na เปนลาดบลเขา

พสจน : กาหนดให n +∈ I และ { }2na เปนลาดบ ซงนยามดงน

22 1 2 1

nnan ++=

ประการแรกจะแสดงวา { }2na ลเขาส 1

โดยทฤษฎบท 3.1.12 และตวอยาง 2.3.4 สรปไดวา 1 2 =

∞→ alim n

n

เพราะฉะนน { }2na เปนลาดบลเขา

ตอไปจะแสดงวา { }na ลเขาส 1 เนองจาก

22 1 2 1

nnan ++=

ดงนน 1 1

n an +=

สาหรบทก n +∈ I โดยทฤษฎบท 3.1.12 และตวอยาง 2.3.4 สรปไดวา 1 =

∞→ alim n

n

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลเขา ตวอยาง 3.1.15 : ให { }2

na เปนลาดบ ซงนยามดงน ( ) n

n a 22 1 −= สาหรบทกn +∈ I จงแสดงวา { }2

na เปนลาดบลเขา แต { }na เปนลาดบลออก

พสจน : กาหนดให n +∈ I และ { }2na เปนลาดบ ซงนยามดงน

( ) nn a 22 1 −=

ประการแรกจะแสดงวา { }2na เปนลาดบลเขา

เนองจาก ( ) 1 1 22 =−= n

n a สาหรบทก n

27

ดงนน 1 2 =∞→

alim nn

เพราะฉะนน { }2na เปนลาดบลเขา

ตอไปจะแสดงวา { }na เปนลาดบลออก เนองจาก

( ) nn a 22 1 −=

ดงนน ( )n

n a 1 −= สาหรบทก n +∈ I และโดยตวอยาง 2.3.6 ดงนน { }na เปนลาดบลออก

ตอไปนเปนการหาลมตของลาดบโดยใชทฤษฎบท 3.1.12

ตวอยาง 3.1.16 : จงหาลมตของลาดบตอไปน (1) 6 2

43 −+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

na

n

n

(2) nnnnan 25

3 2

2

++

=

(3) nn rrra +++= K2 เมอ ∈ r R

วธทา : (1) กาหนดให n +∈ I และ { }na เปนลาดบ ซงนยามดงน

6 2 43 −+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

na

n

n

ดงนน

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

∞→∞→6 2

43

nlimalim

n

nnn

6

6 2 43

−=

−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

∞→∞→∞→ nn

n

nlim

nlimlim

(2) กาหนดให n +∈ I และ { }na เปนลาดบ ซงนยามดงน

nnnnan 25

3 2

2

++

=

ดงนน

28

nn

nlimalimn

nn 25

3 2

2

+=

∞→∞→

( )

( )

53

2 5

3

253

=

+=

+=

∞→∞→

∞→

∞→

nlimlim

limn

lim

nn

n

n

(3) กาหนดให ∈ r R และสาหรบทก n +∈ I ซงนยาม { }na ดงน n

n rrra +++= K2 เนองจาก

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=+++=+++ −

rrrrrrrrrr

nnn

11 122 KK

ดงนน

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∞→∞→ r

rr limalimn

nnn 11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∞→ r

r lim rn

n 11

-rr

1 =

ทฤษฎบท 3.1.17 : The Convergence of Cesaro Averages กาหนดให { }na เปนลาดบซงลเขาส a นยามลาดบ { }nσ ดงน

naaaσ n

n+++

=K21 สาหรบทก n +∈ I

แลว aσlim nn

=∞→

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบซงลเขาสa นยามลาดบ { }nσ ดงน

naaaσ n

n+++

=K21 สาหรบทก n +∈ I

กาหนดให aab nn −= สาหรบทก n +∈ I โดยทฤษฎบท 3.1.5 จะไดวา 0 =

∞→n

nblim

ให 0>ε เนองจาก 0 =∞→

nn

blim โดยทฤษฎบท 2.3.3 จะมจานวนเตมบวก p ซง

29

2ε

<nb สาหรบทก pn ≥

เนองจาก { }nb มขอบเขต ดงนน ม 0>M ซง Mbn ≤ สาหรบทก n +∈ I

และเลอกจานวนเตมบวก εpMk 2

>

ให { }kpmaxN ,= ดงนน สาหรบทก Nn≥ เราไดวา

212121

nbbbbbb

nbbb npppn +++++++

=+++ ++ KKK

n

bbb

n

bbb nppp ++++

+++≤

++ KK 2121

( )

nεpn

npM

n

bbb

n

bbb nppp

2

2121

−+<

++++

+++≤

++ KK

n

pεε2

2

2

−+<ε

εεε 2

2

=+<

ดงนน ablim nn

=∞→

และเพราะวา

n

naaaaa nn

−+++=−

K21 σ ( ) ( ) ( )

nbbb

naaaaaa

n

n

+++=

−++−+−=

K

K

21

21

ดงนน สรปไดวา aσlim nn

=∞→

บทนยาม 3.1.18 : กาหนดให f เปนฟงกชนคาจรงทนยามในอาณาเขตหนงของa และ l เปนจานวนจรง เรากลาววา l เปนลมตของ f เมอ x เขาใกล a (limit of f as x approaches a ) และเขยนแทนโดย ( ) lxflim

ax =

→ถาสาหรบแตละ 0>ε จะม 0>δ ซง ( ) ε<− lxf

สาหรบทก δax <−< 0 ในกรณของบทนยาม 3.1.22 เรากลาววา ( ) xflim

ax→หาคาได (exist)

30

บทนยาม 3.1.19 : กาหนดให f เปนฟงกชนทหาคาไดในบรเวณใกล ๆจานวนจรงa และ l เปนจานวนจรง เรากลาววา l เปนลมตซายของ f เมอ x เขาใกล a ทางดานซาย ( limit of f as x approaches a from the left ) และเขยนแทนโดย ( ) lxflim

ax =

−→ ถาสาหรบแตละ 0>ε จะม

0>δ ซง ( ) ε<− lxf สาหรบทก axδa <<− และจะกลาววา l เปนลมตขวาของ f เมอ x เขาใกล a ทางดานขวา (limit of f as x approaches a from the right ) และเขยนแทนโดย ( ) lxflim

ax =

+→ ถาสาหรบแตละ 0>ε จะม

0>δ ซง ( ) ε<− lxf สาหรบทก δaxa +<< นอกจากนเรานยาม ( ) lxflim

x =

∞→ ถาสาหรบแตละ 0>ε จะม 0>N สาหรบทก Nx >

แลว ( ) ε<− lxf และ ( ) lxflim

x

=

∞−→ ถา สาหรบแตละ 0>ε จะม 0>N สาหรบทก Nx −< แลว

( ) ε<− lxf บทนยาม 3.1.20 : เรากลาววาลาดบ { }na มลมตเปนบวกอนนต (positively infinite limit) ถา สาหรบแตละ 0>M จะม N สาหรบทก Nn ≥ แลว Man > และเขยนแทนโดย ∞+=

∞→ n

nalim

และกลาววา ลาดบ{ }na มลมตเปนลบอนนต (negatively infinite limit) ถาสาหรบแตละ 0>M จะม N สาหรบทก Nn ≥ แลว Man −< และเขยนแทนโดย ∞−=

∞→ n

nalim

ทฤษฎบท 3.1.21 : กาหนดให { }na เปนลาดบ และ f เปนฟงกชนคาจรงทนยามบน [ )∞,b ซง ( ) nanf = สาหรบทกจานวน +∈Ιn เมอ bn ≥ ถา ( ) lxflim

x =

∞→แลว{ }na เปนลาดบล

เขา และ lalim nn

=∞→

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบ และ f เปนฟงกชนคาจรงทนยามบน [ )∞,b ซง ( ) nanf = เมอn +∈ I และ bn ≥

ให ( ) lxflimx

=∞→

กาหนด 0>ε ดงนน ม 0>M ซง ( ) ε<− lxf สาหรบทก Mx >

เลอกจานวนเตมบวก bN ≥ และ MN > สาหรบทก Nn ≥ จะไดวา ( ) ε<−=− lnflan

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลเขาส l

31

บทนยาม 3.1.22 : กาหนดให ⊂ D R และ → : Df R เปนฟงกชน ให Da∈ เรากลาววา f

เปนฟงกชนตอเนองท a (continuous function at a ) ถาสาหรบแตละ 0>ε จะม 0>δ ซง ( ) ( ) ε<− afxf สาหรบทก δax <−

บทนยาม 3.1.23 : เรากลาววา f เปนฟงกชนตอเนองทางซายท a (continuous from the left at a ) ถา ( ) ( )afxflim

ax

=

−→

และกลาววา f เปนฟงกชนตอเนองทางขวาท a (continuous from the right at a ) ถา ( ) ( )afxflim

ax

=

+→

บทนยาม 3.1.24 : เรากลาววา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปด ( )ba, (continuous function on open interval ( )ba, ) ถา f ตอเนองททก ( )bax ,∈ บทนยาม 3.1.25 : เรากลาววา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [ ]ba, (continuous function on closed interval [ ]ba, ) ถา f สอดคลองเงอนไขตอไปน (1) f ตอเนองบน ( )ba, (2) f เปนฟงกชนตอเนองทางขวาท ax = (3) f เปนฟงกชนตอเนองทางซายท bx = บทนยาม 3.1.26 : กาหนดให f เปนฟงกชน เรากลาววา f มอนพนธทa (differentiable at a ) ถา ( ) ( )

hxfhxflim

h

−+→

0

หาคาได และเรยกคาลมตนวาอนพนธของ f ท a (derivative of f

at a ) ซงจะเขยนแทนโดย ( )af ′ บทนยาม 3.1.27 : กาหนดให I เปนชวงเปดใด ๆเรากลาววา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปด I (differentiable on I ) ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดททกจดในชวง I บทนยาม 3.1.28 : ให f และ g เปนฟงกชน ซง ( ) 0 =

→xflim

axและ ( ) 0 =

→xglim

axเรากลาววา

gf อยในรปแบบไมกาหนด

00 (indeterminate form

00 )และเขยนแทนอยางสน ๆ โดย ..FI

00

32

บทนยาม 3.1.29 : ให f และ g เปนฟงกชน ซง ( ) 0 =→

xflimax

และ ( ) 0 =→

xglimax

เรากลาววา

gf อยในรปแบบไมกาหนด

∞∞ (indeterminate form

∞∞ )และเขยนแทนอยางสน ๆ โดย ..FI

∞∞

สาหรบในกรณทวไปเราใชทฤษฎของลมตในการหาคาลมตของฟงกชน แตสาหรบกรณทฟงกชนอยในรปแบบ ..FI เราใชกฎของโลปตาล ในการหาคาลมตของฟงกชน โดยละการพสจน สาหรบผสนใจสามารถศกษารายละเอยดไดจาก [4] ทฤษฎบท 3.1.30 : กฎของโลปตาล (l’Hopital’s Rule) ให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง ( )ba, และ ( ) 0≠′ xg สาหรบทกคา

( )bax ,∈ ถาม ( )bax ,0 ∈ ซง ( ) ( ) 0 00

xglimxflimxxxx →→

== และ ( )( )xg

xflimxx ′

′→

0

หาคาได หรอ

มคาเทากบ ∞± แลว ( )( )

( )( )xg

xflimxgxflim

xxxx ′′

=→→

00

หมายเหต : 1) กฎของโลปตาลยงใชไดกบเมอ ( ) ( )

00xglimxflim

xxxx →→=∞±=

2) กฎของโลปตาลสามารถขยายไปถงกรณ ท ±∞→x และกรณท −→ ax และ +→bx

3) สาหรบรปแบบของลมตทจดวาเปนรปแบบไมกาหนดนอกจากรปแบบ ..FI 00 และ ..FI

∞∞

ยงมอกหลายรปแบบซงสามารถจดรปใหอยในรปแบบ ..FI00 และ ..FI

∞∞ แลวสามารถใช

กฎของโลปตาลในการคานวณหาคาลมตไดเชนเดยวกนซงในทนไมไดกลาวถงสาหรบผสนใจ สามารถศกษารายละเอยดไดจาก [4] ตวอยาง 3.1.31 : จงหาลมตของลาดบ{ }na ทกาหนดใหตอไปน

(1) n

n nlna ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

11 (2) n

n nra = โดยท 10 << r

วธทา : (1) กาหนดให :f [ )∞,21

→ R เปนฟงกชน ซงนยามดงน

( )x

xlnxf ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

11 สาหรบทก ∈x [ )∞,21

33

จะไดวา

( ) 11 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

xlnxxf

( )( )x

xln1

11

+

กาหนดให ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

xlnxg 11 และ ( )

xxh 1 = เมอ x∈( 1 ,

2∞)

ดงนน g และ h เปนฟงกชนตอเนองบน [ )∞,21 และหาอนพนธไดบน( 1 ,

2∞)

ให ∈x [ )∞,21 จะไดวา

( ) 012 ≠−=′

xxh

เนองจาก

( ) 01 11 11 ==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

∞→∞→∞→ln

xlimln

xlnlimxglim

xxx

และ ( ) 01 ==

∞→∞→ xlimxhlimxx

จะไดวา hg อยในรป ..FI

00 เพราะวา

( )( )xh

xglimx ′

′∞→

( ) 1 1 1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

∞→ xlimx

โดยกฎของโลปตาล จะไดวา ( )( )

( )( )

1 =′′

=∞→∞→ xh

xglimxhxglim

xx

ดงนน ( ) 1 =∞→

xflimx

และโดยทฤษฎบท 3.1.21 สรปไดวา 1 =∞→

nn

alim

(2) กาหนดให :f [ )∞,21

→ R เปนฟงกชน และ 10 << r นยาม f ดงน

( ) xx rxf = สาหรบทก ∈x [ )∞,21

เนองจาก ∞=

∞→xlim

x และ 0=

∞→

x

x rlim

แสดงวาลมตอยในรป ..FI ∞⋅0 เราจงเขยนนพจนใหมเพอหาคาลมตดงน ( ) x

x

rxrxxf

1 ==

กาหนดให ( ) xxg = และ ( ) xrxh 1 = เมอ ∈x ( 1 ,

2∞)

34

ดงนน g และ h เปนฟงกชนตอเนองบน [ )∞,21 และหาอนพนธไดบน [ )∞,

21

ให [ )∞∈ ,1x จะไดวา ( ) 0 ≠=′ − rlnrxh x

เนองจาก ( ) ∞==

∞→∞→xlimxglim

xx

และ ( ) ∞==

∞→∞→ xxx rlimxhlim 1

จะไดวา hg อยในรป ..FI

∞∞ เพราะวา

( )( )

0 1 ==′′

−∞→∞→ lnrrlim

xhxglim xxx

โดยกฎของโลปตาล จะไดวา ( )( )

( )( )

0 =′′

=∞→∞→ xh

xglimxhxglim

xx

ดงนน ( ) 0 =∞→

xflimx

และโดยทฤษฎบท 3.1.21 สรปไดวา 0 =∞→

nn

alim

ทฤษฎบท 3.1.32 : ให ⊂D R และ → : Df R เปนฟงกชนตอเนองท Da∈ และ { }na เปนลาดบในD ซง aalim n

n =

∞→ แลว ( ) ( )afaf lim n

n=

∞→ นนคอ ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

∞→∞→n

nn

nalim faf lim

พสจน : ให → : Df R เปนฟงกชนตอเนองท a เมอ Da∈ และ { }na เปนลาดบในD ซง aalim n

n =

∞→ ให 0>ε เนองจาก f เปนฟงกชนตอเนองท a ดงนน จะม 0>δ ซง

( ) ( ) ε<− afxf สาหรบทก δax <− เพราะวา aalim n

n =

∞→ ดงนน จะม N +∈ I ซง

δaan <− สาหรบทก Nn≥ ดงนน สาหรบทก Nn≥ เราได

( ) ( ) ε<− afxf เพราะฉะนน ( ) ( )afaf lim n

n=

∞→

35

ตวอยาง 3.1.33 : จงหาคาลมตของลาดบ { }na ตอไปน

(1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=13 2

2

nnlnan

(2) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=n

nsinan72

8 π

วธทา : (1) กาหนดให { }na เปนลาดบ ซงนยามดงน

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=13 2

2

nnlnan สาหรบทกn +∈ I

ให { }nb เปนลาดบ ซงนยามดงน

13 2

2

++

=nnbn สาหรบทกn +∈ I

และ [ )→∞,1:f R เปนฟงกชน ซงนยามดงน ( ) xlnxf = สาหรบทก [ )∞∈ ,1x เนองจาก { }nb เปนลาดบลเขา และ

1 1131 13 222

2=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

++

∞→∞→ nnlim

nnlim

nn

เพราะวา f เปนฟงกชนตอเนองท 1 โดยทฤษฎบท 3.1.34 จะไดวา

0 1 13

13 2

2

2

2==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∞→∞→ ln

nnlimf

nnln lim

nn

ดงนน ลมตของ{ }na เทากบ 0 (2) กาหนดให { }na เปนลาดบ ซงนยามดงน

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=n

nsinan72

8 π สาหรบทกn +∈ I

ให { }nb เปนลาดบ ซงนยามดงน

nnbn

72 += สาหรบทกn +∈ I

และ :f R [ ]1,1−→ เปนฟงกชน ซงนยามดงน ( ) x sin xf = สาหรบทก ∈x R เนองจาก { }nb เปนลาดบลเขา และ

2 72 72 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

+∞→∞→ n

lim n

nlimnn

เพราะวา f เปนฟงกชนตอเนองท 4π โดยทฤษฎบท 3.1.34 จะไดวา

36

21

4 72 72

8 ==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

⋅∞→∞→

ππ sin n

nlimf n

nsin limnn

ดงนน ลมตของ{ }na เทากบ 2

1

ในทฤษฎบท 3.1.32 ไมสามารถสรปอะไรได ถา f ไมเปนฟงกชนตอเนอง เนองจากมตวอยางของ ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

∞→∞→n

nn

nalim faf lim และ ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛≠

∞→∞→n

nn

nalim faf lim เมอ f ไมเปน

ฟงกชนตอเนอง ดงตวอยาง 3.1.34 และตวอยาง 3.1.35 ตวอยาง 3.1.34 : กาหนดให { }na เปนลาดบ ซงนยามดงน

nan

1 = สาหรบทก n +∈ I

และ ( )xf⎩⎨⎧

≠

==

0 เมอ 10 เมอ 0

xx

แลว f ไมเปนฟงกชนตอเนองท 0 และ 0 =

∞→n

nalim และ ( ) 1 =naf ทกn +∈ I

แต ( ) 1 =∞→

nn

af lim เพราะฉะนน

( )nn

nn

af limalimf 1 0 ∞→∞→

=≠=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ตวอยาง 3.1.35 : กาหนดให { }na เปนลาดบ ซงนยามดงน

nan

11 −= สาหรบทก n +∈ I

และ ( ]→2,0:f R เปนฟงกชน ซงนยามดงน

( )xf⎩⎨⎧

≤<

≤<=

21 เมอ 10 เมอ 0

xxx

แลว f ไมเปนฟงกชนตอเนองท 1 และ 1 =

∞→n

nalim และ ( ) 0 =na f ทกn +∈ I

จะไดวา ( ) 0 =∞→

nn

a flim เพราะฉะนน

( ) af lim alim f nn

nn

0 ∞→∞→

==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

37

ทฤษฎบท 3.1.36 : กาหนดให ∈ a R และ { }na เปนลาดบ ซง aalim nn

=∞→

โดยท 0 ≥na

สาหรบทก n +∈ I แลว 0 ≥a

พสจน : กาหนดให ∈ a R และ n +∈ I ให { }na เปนลาดบ ซง aalim nn

=∞→

โดยท

0 ≥na สมมตวา 0 <a ให 2

a=ε ดงนน จะม N +∈ I ซงสอดคลองวา

ε <− aan หรอ 2

2

aaaan <−<−

สาหรบทก Nn≥ และสามารถสรปไดวา 0

2

23

<<<aaa

n

ซงขดแยงกบสงทกาหนดให ดงนน 0 ≥a ทฤษฎบท 3.1.37 : กาหนดให ∈ a R และ { }na เปนลาดบ ซง aalim n

n =

∞→ โดยท 0 ≤na

สาหรบทก n +∈ I แลว 0 ≤a

พสจน : การพสจนเปนทานองเดยวกนกบทฤษฎบท 3.1.36 ทฤษฎบท 3.1.38 : กาหนดให ∈ b,a R และ { }na เปนลาดบ ซง aalim n

n =

∞→โดยท ban ≥

สาหรบทก n +∈ I แลว ba ≥

พสจน : กาหนดให ∈ b,a R และ n +∈ I ให { }na เปนลาดบ ซง aalim nn

=∞→

โดยท ban ≥ และให b ab nn −= จะไดวา

bablim nn

−=∞→

โดยทฤษฎบท 3.1.36 ไดวา 0≥−ba ดงนน ba ≥ ทฤษฎบท 3.1.39 : กาหนดให ∈ b,a R และ { }na เปนลาดบ ซง aalim n

n =

∞→ โดยท

ban ≤ สาหรบทก n +∈ I แลว ba ≤

พสจน : การพสจนเปนทานองเดยวกนกบทฤษฎบท 3.38

38

ทฤษฎบท 3.1.40 : ให ∈ ,, cba R และ { }na ,{ }nb และ { }nc เปนลาดบ ซง aalim n

n =

∞→, bblim nn

=∞→

และ cclim nn

=∞→

ถา nnn bca ≤≤ สาหรบทก n +∈ I แลว

bca ≤≤

พสจน : กาหนดให ∈, cb,a R และ n +∈ I ให { }na ,{ }nb และ { }nc เปนลาดบ ซง aalim n

n =

∞→ , bblim n

n =

∞→ และ cclim n

n =

∞→ และ nnn bca ≤≤ ดงนน

( ) acalimclimaclim nn

nn

nnn

−=−=−∞→∞→∞→

และ ( ) cbclimblimcblim n

nn

nnn

n−=−=−

∞→∞→∞→

เพราะวา nn ca ≤

ดงนน nn ac −≤ 0

และ nn bc ≤

ดงนน nn cb −≤ 0

โดยทฤษฎบท 3.1.36 จะไดวา ac −≤ 0 และ cb−≤ 0

หรอ ca ≤ และ bc ≤

ดงนน bca ≤≤ ทฤษฎบท 3.1.41 : กาหนดให ∈ b,a R ซง ba< และ { }nc เปนลาดบ ซง cclim n

n =

∞→

ถา bca n ≤≤ สาหรบทก n +∈ I แลว bca ≤≤

พสจน : กาหนดให ∈ b,a R ซง ba< และ n +∈ I ให { }nc เปนลาดบ ซง cclim n

n =

∞→ และ bca n ≤≤

พจารณา aan = และ bbn = สาหรบทก n +∈ I โดยทฤษฎบท 3.1.40 จะไดวา bca ≤≤

39

ทฤษฎบท 3.1.42 : The Squeezing Theorem

กาหนดให { }na ,{ }nb และ { }nc เปนลาดบ ซง nnn bca ≤≤ สาหรบทก n +∈ I ถา n

nn

nblimlalim

∞→∞→== แลว lclim n

n =

∞→

พสจน : กาหนดให ∈ l R และ n +∈ I ให { }na , { }nb และ { }nc เปนลาดบ ซง

nnn bca ≤≤ และ

nn

nn

blimlalim ∞→∞→

==

ให 0 >ε ดงนน จะม 1N +∈ I ซง ε <− lan สาหรบทก 1Nn≥

และจะไดวา nal <−ε

เนองจาก lblim nn

=∞→

ดงนน จะม 2N +∈ I ซง ε <− lbn สาหรบทก 2Nn≥

และจะไดวา ε+< lbn

เลอก { }21 NNmaxN ,= สาหรบทก Nn≥ เราไดวา εε +<≤≤<− lb cal nnn ดงนน ε <− lcn เพราะฉะนน lclim n

n =

∞→

ตวอยาง 3.1.43 : กาหนดให { }na และ { }nb เปนลาดบ โดยท ( ) 0 22 =+

∞→nn

nbalim

จงแสดงวา 0 ==∞→∞→

nn

nn

blimalim

พสจน : กาหนดให { }na และ { }nb เปนลาดบ โดยท ( ) 0 22 =+∞→

nnnbalim

ประการแรกจะแสดงวา 0 =∞→

nn

alim เนองจาก 222 0 nnn baa +≤≤

และ

40

( )22 0 0 nnnn

balimlim +==∞→∞→

โดย The Squeezing Theorem จะไดวา 0 2 =

∞→nn

alim

โดยทฤษฎบท 3.1.8 สรปไดวา 0 2 ==

∞→∞→n

nn

n alimalim

และทฤษฎบท 3.1.6 จะไดวา 0 =

∞→n

nalim

ในทานองเดยวกนเราสามารถแสดงไดวา 0 =∞→

nn

blim เพราะฉะนน 0 ==

∞→∞→n

nn

nblimalim

ตวอยาง 3.1.44 : กาหนดให { }na เปนลาดบ ซงนยามดงน

nn na = สาหรบทก n +∈ I

จงแสดงวา 1 =∞→

nlim nn

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบ ซงนยามดงน n

n na = สาหรบทก n +∈ I และ 1>n ให 0 1 >−= n

n nx จะไดวา ( )nnxn += 1

( )

( )

( ) 2

2

2

2

1

2

1 1

2

1 1

n

nn

nnn

xnn

xnnnx

xxnnnx

−≥

−++≥

++−

++≥ K

หรอ

12 0 2

−≤<

nxn สาหรบทก 1>n

ดงนน

12−

≤n

xn

เนองจาก

41

121 1 1−

+≤+=≤n

xn nn

และ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+==

∞→∞→ 121 1 1

nlimlimnn

โดย The Squeezing Theorem ดงนน 1 =∞→

nlim nn

ตอไปในหวขอ 3.2 และหวขอ 3.3 เราจะศกษาทฤษฎบททใหเงอนไขทเพยงพอสาหรบการลเขาของลาดบ โดยไมกลาวถงลมตของลาดบ ไดแก การลเขาของลาดบโมโนโทน เกณฑของโคชสาหรบการลเขาของลาดบ และหลกการคอนแทรคชน 3.2 ลาดบโมโนโทน (Monotone Sequences) บทนยาม 3.2.1 : เรากลาววาลาดบ { }na เปนลาดบ

(1) โมโนโทนแบบเพมขน(monotonically increasing) ถา nn aa ≥+1 สาหรบทก ∈n +I (2) โมโนโทนแบบลดลง(monotonically decreasing) ถา nn aa ≤+1 สาหรบทกn +∈ I และเราเรยกลาดบ{ }na วา ลาดบโมโนโทน (monotone sequence) ถา { }na เปนลาดบ

โมโนโทนแบบเพมขนหรอลาดบโมโนโทนแบบลดลง ตวอยาง 3.2.2 : จงตรวจสอบวาลาดบ { }na ตอไปนเปนลาดบโมโนโทนหรอไม (1)

nan

1=

(2) n

n na ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

11

(3) ( ) nna 1−=

(4) n

an1

211 +++= K

วธทา : (1) เพราะวา nn ann

a 1 1

1 1 =≤+

=+ สาหรบทก ∈n +I

ดงนน { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบลดลง (2) เนองจาก

42

n

n na ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

11

n

kn

k

n

k

1 0∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn

nn nn n

n nn n

nn 1321

111321

21121

111 32 L

KK

⋅⋅+−−

++⋅⋅

−−+

⋅−

++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

nn

nnn

nn

n 112111

3212111

32111

21 2 L

LK

และ

1

1 111

+

+ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++=

n

n na

( )

n

kn

k

n

k 11

1

0 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ∑

=

( )( )

( ) ( )( ) ( ) 12 1

11321

111

121

111 +++⋅⋅+−−

+++⋅

+++= nnn

nn nn n

nn L

KK

( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+−

+⋅++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+−+=

11

121

111

1321

111

21 2

nn

nnn

n L

LK

เพราะวา 1

11+

>nn

จะไดวา ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

11

121

111 11 2111

nn

nnnn

nnLL

ดงนน 1

1

111 11 +

+

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++<⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ += n

nn

n ann

a

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบเพมขน (3) เนองจาก ม 11 −=a และ 1 2 =a จะไดวา

21 1 1 aa =<−= ดงนน { }na ไมเปนลาดบโมโนโทนแบบลดลง เนองจาก ม 1 2 =a และ 1 3 −=a จะไดวา

23 1 1 aa =<−= ดงนน { }na ไมเปนลาดบโมโนโทนแบบเพมขน เพราะฉะนน { }na ไมเปนลาดบโมโนโทน

(4) เนองจากสาหรบทก ∈n +I เราได

nan

1211 +++= K และ

111

2111 +

++++=+ nnan K

43

และ 0 1

1>

+n ดงนน 1 +≤ nn aa

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบเพมขน ทฤษฎบทตอไปนเปนทฤษฎบททใหเงอนไขทเพยงพอและจาเปนสาหรบการเปนลาดบล

เขาของลาดบโมโนโทนซงอาศยสจพจนความบรบรณ (The Completeness Axiom) ดงจะกลาว ตอไปน

สจพจนความบรบรณ ให ⊂S R โดยท φ≠S และ S มขอบเขตบน แลว S มขอบเขตบนคานอยสด ให ⊂S R โดยท φ≠S และ S มขอบเขตลาง แลว S มขอบเขตลางคามากสด ทฤษฎบท 3.2.3 : การลเขาของลาดบโมโนโทน(The Monotone Convergence Theorem)

ให { }na เปนลาดบโมโนโทน แลว { }na เปนลาดบลเขา กตอเมอ ลาดบ { }na เปนลาดบมขอบเขต

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบโมโนโทน ( )→ { }na เปนลาดบลเขา โดยทฤษฎบท 3.1.3 จะไดวา { }na เปนลาดบมขอบเขต ( )← กาหนดให { }na เปนลาดบมขอบเขต พจารณา 2 กรณตอไปน กรณ 1 : { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบเพมขน

เนองจาก { }na เปนลาดบมขอบเขตบน โดยสจพจนความบรบรณ จะไดวา { }na มขอบเขตบนคานอยสด ให u เปนขอบเขตบนคานอยสดของ{ }na ดงนน ε−u ไมเปนขอบเขตบนของ { }na นนคอ ม N +∈ I ซง

ε−>uaN ดงนน

ε−>uan สาหรบทก Nn≥ เพราะฉะนน

εε +<≤<− uuau n สาหรบทก Nn≥ หรอ

ε<− uan สาหรบทก Nn≥ ดงนน ualim n

n =

∞→ เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลเขา

กรณ 2 : { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบลดลง

44

เนองจาก { }na เปนลาดบมขอบเขตลาง โดยสจพจนความบรบรณ จะไดวา { }na มขอบเขตลางคามากสด ให l เปนขอบเขตลางคามากสดของ{ }na ดงนน ε+l ไมเปนขอบเขตลางของ { }na นนคอ ม N +∈ I ซง ε+< laN ดงนน

ε+< lan สาหรบทก Nn≥ เพราะฉะนน

εε +<≤<− lall n สาหรบทก Nn≥ หรอ

ε<− lan สาหรบทก Nn≥ ดงนน lalim n

n =

∞→ เพราะฉะนนการพสจนทฤษฎสนสด

ตวอยาง 3.2.4 : ลาดบ { }na ในตวอยาง 3.2.2(2) เปนลาดบลเขา

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบซงนยามดงตวอยาง 3.2.2(2) จะไดวา { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบเพมขน และในตวอยาง 2.2.5(1) เราไดแสดงวา { }na เปนลาดบมขอบเขต ซง ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++++≤ −22 2

1 21

21 1

21 2 nna K

3 12

21 1

21 1

212 1

=+≤

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+≤ −n

จะไดวา 3 2 ≤< na

โดยทฤษฎบท 3.2.3 จะไดวา { }na เปนลาดบลเขา

จะเขยนแทนคาลมตของ { }na ในตวอยาง 3.2.4 ดวย e และจะเหนวา 3 2 ≤< e และเราสามารถประมาณคาของ e ได สาหรบผทสนใจสามารถศกษาจากบทท 8 ของ [2] ซงไดคาประมาณของ e เทากบ 2.7182

ตวอยาง 3.2.5 : กาหนดให { }na เปนลาดบซงนยามดงน

( )( )nnan 2642

12531⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅= สาหรบทก n +∈ I

จงแสดงวา { }na เปนลาดบลเขา

45

วธทา : กาหนดให { }na เปนลาดบซงนยามดงน ( )( )nnan 2642

12531⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅= สาหรบทก n +∈ I

เนองจาก ( )( )

( )( )( )( )nn

nnnnaa nn 2642

12531 222642

1212531 1 ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅

−+⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅

=−+

( )( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

++

⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅

= 12212

264212531

nn

nn

0 12212 <⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

++

= nann

และ ( )( )

1 2642

12531 0 ≤⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅<

nn สาหรบทก n +∈ I

ดงนน { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบลดลงซงมขอบเขต โดยทฤษฎบท 3.2.3 จะไดวา { }na เปนลาดบลเขา ตวอยาง 3.2.6 : ลาดบ { }na ในตวอยาง 3.2.2(4) เปนลาดบลออก

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบซงนยามดงตวอยาง 3.2.2(4) และในตวอยาง 2.2.5(2) เราไดแสดงวา { }na เปนลาดบไมมขอบเขต ดงนน { }na เปนลาดบลออก

ตวอยาง 3.2.7 : ให { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบเพมขน ซงไมมขอบเขตบน จงแสดงวา

∞+=∞→

nn

alim

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบเพมขน ซงไมมขอบเขตบน ให M 0> เนองจาก M ไมเปนขอบเขตบนของ { }na ดงนน ม +∈ΙN ซง >Na M แต { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบเพมขน ดงนน

>na M สาหรบทก Nn≥ เพราะฉะนน ∞+=

∞→ n

nalim

บทนยาม 3.2.8 : ให { }na เปนลาดบ และ{ }kn เปนลาดบของจานวนเตมบวก ซง K<< 21 nn นยามลาดบ{ }kb ดงน

knk ab = สาหรบทก k +∈ I

46

แลว เราเรยก{ }kb วาลาดบยอย (subsequence) ของ{ }na ตวอยางเชน K,,,

61

41

21 เปนลาดบยอยลาดบหนงของลาดบ K,,,,

51

41

31

21 โดยม

12 −= knk สาหรบทก k +∈ I บทนยาม 3.2.9 : ให { }na เปนลาดบ และ m +∈ I เรากลาววา m เปน peak index ของ { }na ถา mn aa ≤ สาหรบทก mn≥ ตวอยางเชน K,,,

31

21 1 ทกจานวน m +∈ I เปน peak index

K,,,−,−, 3 1 2 1 1 ไมม peak index K 1 1 1 1 ,,−,−, ทกจานวนเตมบวกคเปน peak index

ทฤษฎบท 3.2.10 : ทกลาดบจะมลาดบยอยซงเปนลาดบโมโนโทน

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบ พจารณาตามจานวน peak index ของ{ }na ดงน กรณ 1 : { }na ไมม peak index เนองจาก 1 ไมเปน peak index ของ{ }na ดงนน ม >1n 1 ซง 11 aan > เนองจาก 1n ไมเปน peak index ของ{ }na ดงนน ม 12 nn > ซง 12 nn aa > ในทานองเดยวกน จะม 23 nn > ซง 23 nn aa > M ดงนน

knnnn aaaa <<<< K321

นนคอ { }

kna เปนลาดบยอยโมโนโทนแบบเพมขนของ { }na เพราะฉะนน { }

kna เปนลาดบยอยโมโนโทน กรณ 2 : { }na ม peak index จานวนจากด ให N เปน peak index ทมคามากสด เนองจาก 1+N ไมเปน peak index ของ{ }na ดงนน ม 11 +> Nn ซง 11 +> Nn aa เนองจาก 1n ไมเปน peak index ของ{ }na ดงนน ม 12 nn > ซง 12 nn aa > ในทานองเดยวกน จะม 23 nn > ซง 23 nn aa > M ดงนน

knnnn aaaa <<<< K321

นนคอ { }

kna เปนลาดบยอยโมโนโทนแบบเพมขนของ { }na

47

เพราะฉะนน { }kna เปนลาดบยอยโมโนโทน

กรณ 3 : { }na ม peak index จานวนอนนต ให =P {m |m เปน peak index ของ{ }na } จะไดวา P เปนเซตอนนต และ ⊂P +I ให 1n เปน peak index ทมคานอยสดของ { }na ดงนน

21 nn aa ≥ เมอ 12 nn ≥ ในทานองเดยวกน

32 nn aa ≥ เมอ 23 nn ≥ M จะไดวา

knnnn aaaa ≥≥≥≥ K321

นนคอ { }

kna เปนลาดบยอยโมโนโทนแบบลดลงของ { }na เพราะฉะนน { }

kna เปนลาดบยอยโมโนโทน ทฤษฎบท 3.2.11 : ลาดบมขอบเขตจะมลาดบยอยซงเปนลาดบลเขา

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบมขอบเขต โดยทฤษฎบท 3.2.10 จะไดวา { }

kna เปนลาดบยอยโมโนโทนของ{ }na ดงนน { }

kna เปนลาดบมขอบเขต โดยทฤษฎบท 3.2.3 จะไดวา { }kna เปนลาดบลเขา

เพราะฉะนนการพสจนทฤษฎบทสมบรณ ทฤษฎบท 3.2.12 : The Bolzano–Weierstrass Theorem

ให a และ b เปนจานวนซง ba < ถา { }na เปนลาดบซง [ ]baan ,∈ ทกn +∈ I แลว ลาดบ{ }na มลาดบยอย{ }

kna ซงลเขาส [ ]bax ,∈

พสจน : กาหนดให a และ b เปนจานวนซง ba < ถา { }na เปนลาดบซง [ ]baan ,∈ แลวไดวา { }na เปนลาดบมขอบเขต โดยทฤษฎบท 3.2.11 จะมลาดบ { }

kna ซงเปนลาดบยอยของ{ }na และ{ }

kna ลเขาส x โดยทฤษฎบท 3.1.41 สรปไดวา [ ]bax ,∈

ทฤษฎบท 3.2.13 : ถา { }na เปนลาดบลเขาส a แลว ทกลาดบยอยของ { }na ลเขาส a

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบลเขาส a และ { }kna เปนลาดบยอยของ { }na

ให 0>ε จะม N +∈ I ซง

48

ε<− aan สาหรบทก Nn≥ เนองจาก { }kn เปนลาดบของจานวนเตมบวกซงเปนลาดบเพมขน จะไดวา

jn j ≥ สาหรบทก j +∈ I ดงนน ε<− aa

kn สาหรบทก Nk ≥ เพราะฉะนน aalim

knn

=∞→

จากทฤษฎบท 3.2.12 สรปไดวา ถา aalim n

n =

∞→ แลว aalim n

n 1 =+

∞→

ตวอยาง 3.2.14 : ให 0<c และ 01 >a ให { }na เปนลาดบรเคอซฟ ซงนยามดงน

nn aca +=+1 สาหรบทกn +∈ I จงแสดงวา{ }na เปนลาดบโมโนโทนทลเขาส α เมอ 01 >a และα เปนรากทเปนจานวนจรงบวกของสมการ 02 =−− cxx เมอ 0>x

พสจน : กาหนดให 0<c และ 01 >a และ{ }na เปนลาดบรเคอซฟ ซงนยามดงน nn aca +=+1 สาหรบทกn +∈ I

ประการแรกจะแสดงวา { }na เปนลาดบโมโนโทน ให 0>x และ 02 =−− cxx เปนสมการกาลงสอง ดงนน 02 =−− cxx มรากของสมการ 2 รากโดยทรากหนงเปนจานวนจรงบวก และอกรากหนงเปนจานวนจรงลบ ใหα และβ เปนจานวนจรงบวก ซงα และ β− เปนรากของสมการ 02 =−− cxx เนองจาก

1=−βα และ ( ) c−=−βα ดงนน

( )( )βα +−=−− xxcxx 2 พจารณา

( ) ( ) 11222

1 −−+ −=+−+=−+=− nnnnnnnn aaacacaacaa ถา 1−> nn aa จะไดวา

nn aa >+1 และถา 1−< nn aa จะไดวา

nn aa <+1

49

ดงนน { }na เปนลาดบโมโนโทน ตอไปจะแสดงวา { }na ลเขาส α โดยแยกพจารณาเปน 3 กรณ ตามคาของ 1a ดงน

กรณท 1 : α>1a เนองจาก

( )( )βα +−=−− xxcxx 2 ดงนน

( )( )21 1 1 1 a a c a α a β− − = − +

และสรปวา 0 1

21 >−− caa หรอ 112 aaca <+=

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบลดลง เนองจาก

12

nnn acaca +>+= − ดงนน

0 2 >−− caa nn จะไดวา α>na สาหรบทก n ดงนน { }na เปนลาดบโมโนโทนแบบลดลงซงมขอบเขตลาง โดยทฤษฎบท 3.2.3 สรปไดวา { }na เปนลาดบลเขา กาหนดให ∈a R และ aalim n

n =

∞→ จะไดวา α≥a เนองจาก

( ) ac a clim aclimalimalima nnnnnnnn+=+=+===

∞→∞→+

∞→∞→ 1

ดงนน aca +=2 หรอ 02 =−− caa

เพราะฉะนน α=a เปนคาตอบของสมการ 02 =−− cxx และสรปวา { }na เปนลาดบลเขา กรณท 2 : α<1a การพสจนเปนทานองเดยวกนกบกรณท 1 กรณท 3 : α=1a ดงนน α=na สาหรบทก n เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลเขาส α และ α เปนรากของ สมการ 02 =−− cxx ดงนนการพสจนสมบรณ ตวอยาง 3.2.15 : กาหนดให 21 =a และ { }na เปนลาดบรเคอซฟ ซงนยามดงน

nn aa +=+ 21 สาหรบทกn +∈ I

50

จงแสดงวา{ }na เปนลาดบโมโนโทนทลเขา พรอมทงหาลมตของ{ }na

วธทา : กาหนดให 21 =a และ { }na เปนลาดบรเคอซฟ ซงนยามดงน nn aa +=+ 21

สาหรบทกn +∈ I และให ( )nP แทนขอความ 2 <na

ประการแรกเราจะแสดงวา ( )nP เปนจรง สาหรบทก n +∈ I ( )i ( )1P เปนจรง เพราะวา

21 =a และ 2 2 < ดงนน 2 1 <a ( )ii ให k +∈ I และ ( )kP จรง นนคอ 2<ka เราได

2 4 22 21 <=+<+=+ kk aa ดงนน ( )1+kP เปนจรง และโดยอปนยเชงคณตศาสตร สรปไดวา 2<na สาหรบทกn +∈ I ดงนน 20 << na สาหรบทกn +∈ I เพราะฉะนน { }na เปนลาดบมขอบเขต ตอไปจะแสดงวา { }na เปนลาดบโมโนโทน เนองจาก

nn aa +=+ 21 เมอยกกาลงสองเราได

nn aa +=+ 2 21

หรอ ( )( ) 21 2 222

1 nnnnnn aaaaaa −+=−+=−+ เพราะวา 20 << na สาหรบทกn +∈ I ดงนน

( )( ) 0 21 >−+ nn aa นนคอ 22

1 nn aa <+ และสรปไดวา nn aa <+1 สาหรบทกn +∈ I

ดงนน { }na เปนลาดบโมโนโทนซงมขอบเขต โดยทฤษฎบท 3.2.3 และ ทฤษฎบท 3.1.36 { }na เปนลาดบลเขาส 0≥a ประการสดทายจะแสดงการหาลมตของ{ }na เนองจาก

2 1 nn

nn

alimalim +=∞→

+∞→

51

ดงนน ( ) a a lima nn

+=+=∞→

2 2

จะไดวา aa += 22 หรอ 022 =−− aa

ดงนน

1,2 2

31 2

811 −=±

=+±

=a

เพราะฉะนน ลมตของ{ }na เทากบ 2 3.3 การลเขาของลาดบโคช ( Convergence of Cauchy Sequence) บทนยาม 3.3.1 : ให { }na เปนลาดบ เรากลาววา{ }na เปนลาดบโคช (Cauchy Sequence) ถาสาหรบแตละ 0>ε จะม N +∈ I ซง ε<− mn aa สาหรบทก Nm≥ และ Nn≥ ทฤษฎบท 3.3.2 : ลาดบลเขาเปนลาดบโคช

พสจน : ให ∈a R และ { }na เปนลาดบลเขาส a และให 0>ε ดงนน ม N +∈ I ซง

2 ε<− aan สาหรบทก Nn≥

พจารณาจานวนเตม Nm≥ และ Nn≥ จะไดวา ( ) ( ) mnmn aaaaaa −+−=−

εεε

22

=+<

−+−≤ aaaa mn

เพราะฉะนนการพสจนทฤษฎบทสนสด ทฤษฎบท 3.3.3 : ลาดบโคชเปนลาดบมขอบเขต

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบโคช และให 0>ε ดงนน ม N +∈ I ซง ε<− mn aa สาหรบทก Nm≥ และ Nn≥

กาหนดให mN = จะไดวา

52

1 <− Nn aa สาหรบทก Nm≥ และ Nn≥ เลอก { } ,, , ,1 121 −+= NN aaaamaxM K ดงนน

Man < สาหรบทก n +∈ I เพราะฉะนน { }na เปนลาดบมขอบเขต

ทฤษฎบทตอไปนเปนทฤษฎบททใหเงอนไขทเพยงพอและจาเปนสาหรบการเปนลาดบลเขา

ของลาดบโคช ทฤษฎบท 3.3.4 : เกณฑของโคชสาหรบการลเขาของลาดบ (The Cauchy Convergence Criterion for Sequences) { }na เปนลาดบลเขา กตอเมอ { }na เปนลาดบโคช

พสจน : ( )→ โดยทฤษฎบท 3.3.2 ลาดบลเขาเปนลาดบโคช ( )← กาหนดให { }na เปนลาดบโคช โดยทฤษฎบท 3.3.3 จะไดวา { }na เปนลาดบมขอบเขต โดย Bolzano-Weierstrass Theorem จะไดวา{ }

kna เปนลาดบยอยของ{ }na ซงลเขาส a ให 0>ε เนองจาก { }na เปนลาดบโคช ดงนน ม N +∈ I ซง

2

ε<− mn aa

สาหรบทก Nm≥ และ Nn≥ เพราะวา { }kna เปนลาดบลเขาส a ดงนน จะม +∈ΙK ซง

2

ε<− aa

kn

สาหรบทก Kk ≥ ดงนน ( ) ( ) aaaaaa

knknnn −+−=− aaaa

knknn −+−≤

εεε 22

=+≤

เพราะฉะนนการพสจนทฤษฎบทสมบรณ ทฤษฎบท 3.3.5 : หลกการคอนแทรคชน (The Contraction Principle)

กาหนดให { }na เปนลาดบ ถา ม ∈r R ซง 10 << r และ nnnn aaraa −≤− +++ 112

53

สาหรบทกn +∈ I แลว { }na เปนลาดบลเขา

พสจน : กาหนดให { }na เปนลาดบ และม ( )10,∈r ซง nnnn aaraa −≤− +++ 112 ( )*

สาหรบทก mn, +∈ I และ mn ≥ เราไดวา ( ) ( ) ( ) ( )121121 −−−+++ −+−++−+−=− nnnnmmmmmn aaaaaaaaaa K

( )∑−

=+ −=

1

1 n

mkkk aa

และโดยการใช ( )* ซาแลวซาอก จะได 12

121

211 aaraaraaraa k

kkkkkk −≤≤−≤−≤− −−−−+ L

ดงนน

( ) 1

1∑−

=+ −=−

n

mkkkmn aaaa ( )∑

−

=+ −≤

1

1 n

mkkk aa ∑

−

=

− −≤1

121

n

mk

k aa r

และ

∑−

=

− −1

121

n

mk

k aar ∑−−

=

−− −=1

0

112

1 mn

k

km raarr

rraamn

m

−−

−=−

−

11 1

12 rraa m

−−< −

11 1

12

ตอไปเราจะแสดงวา { }na เปนลาดบโคช ให 0>ε เนองจาก 0 =∞→

n

nrlim เราไดวา

ม 1N +∈ I ซง ( )

12

1 aarr m

−−

<ε

สาหรบทก 1Nm ≥ ให 11 += NN สาหรบ Nn ≥ Nm ≥ และ mn≥ เราได

( ) εε

1 1

1

1 12

12112 =

−−

−−

<−

−<− −

aar

raa

rraaaa m

mn

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบโคช โดยทฤษฎบท 3.34 { }na เปนลาดบลเขา

ตวอยาง 3.3.6 : จงแสดงวาลาดบทกาหนดตอไปนลเขา และหาลมตของลาดบ (1) 11 =a และ

41 1−+= n

na

a

(2) 21 =a และ nn aa 2 1 =+

วธทา : (1) กาหนดให { }na เปนลาดบซงนยามดงน

54

11 =a และ 4

1 1−+= nn

aa สาหรบทกn +∈ I

เนองจาก

41

41 1

12nn

nnaa

aa −−+=− +++

nn aa −= +1 41

โดยทฤษฎบท 3.3.5 จะไดวา{ }na เปนลาดบลเขา กาหนดให { }na เปนลาดบลเขาสจานวนจรงa เนองจาก

41 1 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

∞→+

∞→

n

nn

n

alimalim

ดงนน

41

41 aa

lima n

n+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

∞→

จะไดวา

41 aa += หรอ

34 =a

เพราะฉะนน ลมตของ{ }na เทากบ 34

(2) กาหนดให { }na เปนลาดบซงนยามดงน 21 =a และ nn aa 2 1 =+ สาหรบทกn +∈ I

ประการแรกจะแสดงวา 2≥na สาหรบทก n +∈ I และให ( )nP แทนขอความ 12 −= nn aa

เราจะแสดงวา ( )nP เปนจรง สาหรบทก n +∈ I ( )i ( )1P เปนจรง เพราะวา

2 1 =a และ 22 = ดงนน 21 ≥a ( )ii ให k +∈ I และ ( )kP จรง นนคอ 2≥ka เราได

2 22 2 1 >≥=+ kk aa ดงนน ( )1+kP เปน และโดยอปนยเชงคณตศาสตร สรปไดวา 2≥na สาหรบทกn +∈ I ตอไปจะแสดงวา { }na เปนลาดบลเขา เนองจาก

22 112 nnnn aaaa −=− +++ ( ) ( ) ( )[ ] 2222 22 111 nnnnnn aaaaaa +−⋅−= +++

55

( ) ( ) 2 2 11 nnnn aaaa +−= ++ ( ) ( ) 22 2 1 nnnn aaaa +−= +

( ) ( ) 222 2 1 nnn aaa +−≤ +

nn aa −< +1 21

โดยทฤษฎบท 3.3.5 จะไดวา{ }na เปนลาดบลเขา ประการสดทาย จะแสดงการหาลมตของ{ }na ให { }na เปนลาดบลเขาสจานวนจรงa

เนองจาก nnnnnn

alimalimalim 2 2 1∞→∞→

+∞→

==

ดงนน aalima nn

2 2 ==∞→

จะไดวา 0 2 2 =− aa หรอ ( ) 0 2 =−aa

ดงนน 0 =a หรอ 2 =a

เพราะวา 2≥na ดงนน 2 =a เพราะฉะนน ลมตของ{ }na เ ทากบ 2 เราจะจบสารนพนธนโดยการใหนยามของอนกรมของลาดบของจานวนจรงซงนยามมาจากลาดบของจานวนจรง ดงนนการศกษาอนกรมของจานวนจรงจงนาผลทไดศกษาไวแลวสาหรบลาดบมาใชไดทงหมด

3.4 อนกรมของจานวนจรง (Series of Real Numbers) บทนยาม 3.4.1 : ให { }na เปนลาดบ สาหรบทกn +∈ I ให 1 2n nS a a a= + + + +K K เราจะเรยกลาดบ { }nS วา อนกรมของจานวนจรง (series of real numbers) และเขยนแทนอนกรมโดย

1 n

na

∞

=∑ หรอ 1 2 na a a+ + + +K K เรยก na วา เทอมท n ( thn term) ของอนกรม และ

เรยก nS วา ผลบวกยอยท n ( thn partial sum) ของอนกรม

56

บทนยาม 3.4.2 : ให { }nS เปนลาดบของผลบวกยอยของอนกรม1

nn

a∞

=∑ เรากลาววา

1 n

na

∞

=∑

เปนอนกรมลเขา (convergent series) ถา { }nS เปนลาดบลเขา ถา { }nS ลเขาส s เราเรยก s วาผลบวก (sum) ของอนกรม และเขยนแทนโดย

1 n

na s

∞

==∑

ถาลาดบ { }nS เปนลาดบลออก เรากลาววา 1

nn

a∞

=∑ เปนอนกรมลออก (divergent series)

ตวอยาง 3.4.3 : จงแสดงวา 1

1 22n

n

∞

==∑

พสจน : กาหนดให +∈Ιn และ { }nS เปนลาดบ ซงนยามดงน

∑=

=n

kknS

1 21

เราจะแสดงวา { }nS ลเขาส 2 ให >ε 0 เลอกจานวนเตมบวก

ε1

≥N สาหรบทกจานวนเตม Nn≥ ดงนน

2 21

21

211 2 −++++=− nn sS K

−= 2 −n21 2

ε<≤<=Nnn1 1

21

เพราะฉะนน { }nS ลเขาส 2 และ 1

1 22n

n

∞

==∑

ตวอยาง 3.4.4 : จงหาผลบวกของ ( )1

1 1n n n

∞

= +∑

วธทา : เนองจาก

( ) 11 1

11

+−=

+ kkkk

จะไดวา

( ) ∑∑==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+−=

+=

n

k

n

kn kkkk

S11 1

1 1 1

1

ดงนน

57

11 1

11 11

11

31

21

21 1

+−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

nnnnnSn K

เพราะฉะนน ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+−=

∞→∞→ 11 1

n limSlim

nn

n

( )1

111

1

11 1

=+

−=

+−=

∞→∞→

∞→∞→

nn

limlim

nlimlim

nn

nn

ดงนน 1 =∞→

nn

Slim และ ( )1

1 11n n n

∞

==

+∑

ตวอยาง 3.4.5 : จงแสดงวาอนกรมเรขาคณต (geometric series) K+++ 2arara เปนอนกรมลเขา ถา 1 <r และมผลบวกเปน

ra−1

พสจน : เนองจาก 12 −++++= n

n arararaS K ( )121 −++++= nrrra K ( )

rra n

−−

=11

ดงนน

1 1

n

nn n

a arlim S limr r→∞ →∞

⎛ ⎞= −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

n

n

n

nn

rlimr

ar

ar

arlimr

alim

1

1

1

1

∞→

∞→∞→

−−

−=

−−

−=

1

r

a−

=

ตวอยาง 3.4.6 : จงตรวจสอบวาอนกรม K+−+− 271

91

31 1 เปนอนกรมลเขาหรอไม

วธทา : เนองจากอนกรม K+−+− 271

91

31 1 เปนอนกรมเรขาคณตทม 1=a และ

58

31 −=r ดงนน อนกรมนเปนอนกรมลเขา และ

( ) 43

3111

271

91

31 1 =

−−=+−+− K

ตวอยาง 3.4.7 : จงแสดงวาอนกรมฮารโมนก (harmonic series)

KK +++++n1

31

211 เปนอนกรมลออก

พสจน : เนองจาก 1

31

211

nSn ++++= K

เปนลาดบซงนยามดงตวอยาง 3.2.2(4) ดงนน { }nS เปนลาดบโมโนโทน แตในตวอยาง 2.2.5(2) ไดแสดงแลววา { }nS เปนลาดบไมมขอบเขต และโดยทฤษฎบท 3.2.3 สรปไดวา { }nS เปนลาดบลออก ดงนน KK +++++

n1

31

211 เปนอนกรมลออก

ทฤษฎบท 3.4.8 : ถา ∑∞

=1nna ลเขา แลว 0 =

∞→n

nalim

พสจน : กาหนดให ∑∞

=1nna ลเขา พจารณา 2≥n จะไดวา

( ) ( ) nnnnn aaaaaaaSS 121211 =++−++=− −++− KK ดงนน

1−∞→∞→∞→

−= nn

nn

nn

SlimSlimalim

ถาลมตของแตละเทอมทางขวาหาคาได เนองจาก ∑∞

=1nna ลเขา ดงนน

1 SSlimSlim nn

nn

== −∞→∞→

เพราะฉะนน 0 =

∞→n

nalim

ทฤษฎบท 3.4.8 มประโยชนในการตรวจสอบวาอนกรมเปนอนกรมลเขาหรอไม ดงจะเหน

ไดจากการแสดงวาอนกรมเรขาคณตลออก เมอ 1 ≥r ถา n

n ara = แลว 0 1 >≥≥=+ aarrarar nnn สาหรบทก K, 2 , 1 , 0=n เนองจาก K≤≤≤< 3210 aaa ดงนน 0 ≠

∞→n

nalim

เพราะฉะนน อนกรม K+++ 2arara ลออก เมอ 1 ≥r

59

บทกลบของทฤษฎบท 3.1.20ไมจรง นนคอเราแสดงไดวามอนกรม ∑∞

=1nna ซง 0 =

∞→n

nalim

แตอนกรมนเปนอนกรมลออกดงตวอยางตอไปน

อนกรม ∑∞

=1

1 n n

ลออก

เนองจาก nn

nnnnn

Sn 111 12

11 ==+++>+++= KK

เมอกาหนด 0>M เลอกจานวนเตมบวก 2Mn > ดงนน MSn > และสรปไดวา { }nS เปนลาดบไมมขอบเขต เพราะฉะนน { }nS เปนลาดบลออก

ดงนน ∑∞

=1

1 n n

เปนอนกรมลออก

บรรณานกรม

[1] Belding, F.D. and Mitchell, J.K., Foundations of Analysis , Prentice-Hall, Inc., 1991.

[2] Fitzpatrick, M.P., Advanced Calculus, PWS Publishing Company , 1996. [3] Narayan, S., Mathematical Analysis, S.Chand&Co.Ltd, 10th ed., 1971. [4] Olmsted, M.H.J., Advanced Calculus, New York : Appletion-Century-Crofts,

1961. [5] วาร เกรอต แคลคลส สานกพมพเอมพนธ จากด 2539

60

ประวตผวจย ชอ – สกล นางดรรชน กจสมคร ทอย 29 หม 8 ตาบลลาพยา อาเภอเมอง จงหวดนครปฐม 73000 ประวตการศกษา

พ.ศ. 2542 สาเรจการศกษาปรญญาวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร จากมหาวทยาลยศลปากร พระราชวงสนามจนทร นครปฐม

พ.ศ. 2546 ศกษาตอระดบปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรและเทคโนโลยสารสนเทศ บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร พระราชวงสนามจนทร นครปฐม

ประวตการทางาน พ.ศ. 2542-2544 ครผสอนและหวหนาหมวดวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษา

ตอนตน โรงเรยนกหลาบวฒนา เขตสมพนธวงศ กรงเทพฯ พ.ศ. 2544-2546 ครผสอนและหวหนาหมวดวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษา

ตอนตน-ตอนปลาย โรงเรยนบอสโกพทกษ ตาบลโพรงมะเดอ อาเภอเมอง จงหวดนครปฐม