2.6 连续时间系统状态方程的离散化(1) 用计算机对连续时间系统状态方程求解

－需先将其状态方程化为离散方程

（ 2 ）对连续受控对象进行计算机在线控制

－受控对象模型离散化

Cxy

BuAxx

假设： (1)t=kT,T 为采样周期，且很小 ,k=0,1,2… 为一正整数

（ 2 ） u(t) 只在采样时离散化，即在 kt≤t≤(k+1)T,u(t)=u(kT)= 常数， 0 阶保持一、线性定常系统状态方程的离散化

－（按非齐次状态方程解，求出）线性定常系统状态方程的解为：

常数取

)kT(u)(u,T)k(t,kTt

d)(Bu)t()t(x)tt()t(xt

t

10

000

不改变与离散后时刻，即

得连续离散化方程则：

相当于）＋＝（上限相当于下限

设

令

DCkTDukTCxkTykTt

kTuTHkTxTGTkx

BdttBdteTHtTk

TtkTddtTkt

BdeTHeTTG

TT AT

TkkT

TkA

AT

)()()()()()()(])1([(

:)()(0,1

,,)1(

)()()(

00

)1( ])1[(

Tk

kT dkTBuTkktxTTkx )1( )(])1[()()(])1([(

归纳：将连续状态方程离散化步骤

)()()()(])1[(4)(3

)()()(2][)(1

0

11

kTuTHkTxTGTkxBdteTH

TttTTGASILet

T At

At

、求、求、

＝、求

，求其离散化方程

已知控制对象满足例

uxx

10

2010

5.2

t

t

Tt e

)e(/)t()T(G)(

2

2

0

12112

)kT(U)kT(H)kT(x

)kT(x)T(G

]T)k[(x

]T)k[(x)(

2

1

2

1

1

14

)e(

)eT(dt

e

)e(/dt

e

)e(/)T(H)(

T

TT

t

tT

t

t

2

2

0 2

2

0 2

2

12

1

124

1

0

1211

1

0

0

12113

t

t

e

)e(/]ASI[L)t(

2

211

0

12111）（

解：

说明：（ 1 ）当 T 选定后（如 T ＝ 0.5 秒） G(t) 和

H(t) 都是确定的系数矩阵(2) 离散化后得状态方程，可按递推法或

Z 变换法求出解

1

1)()1()0()()(

k

jjHujkxkkx

二、线性时变系统状态方程的离散化

－－按导数定义近似求出，也称近似计算方法

假设 T 很小 T≤0.1Tmin （最小时间常数），精度要

求不高时，可用差商代替微商。

T

kTxTkxtx

TkkTt

txttxtx

kTt

T

t

)(])1[(lim)(

])1(,[

)()(lim)(

0

0

区间的导数求取

：

)()()()(

)()()()(])1[()()()()]([])1[(

)()()()()(])1[(

)(

kTTBkTHkTTAIkTG

kTukTHkTxkTGTkxkTukTTBkTXkTTAITkx

kTukTBkTxkTAT

kTxTkxkTx

比较 :

当 ATIATATIeTkTG AT 2)(!2

1)()(

T 的值越小 , 近似程度越高

又 BdtAtAtIBdtekTH TT AT ])(!2

1[ 2

00 ）（

T 很小 ,t 就很小 , 将包含 t 的各式略去 T BTdtBI0

结论：上式为近似计算方法例 2.6 已知时变系统

ueex

e

ex t

t

t

t

)1(5055

)1(50

)1(505

5

5

5

试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为

近似解时，方程在采样时刻的

0

0)0(,10)( xtu

)()(

101

)()(

011

])1[(])1[(

)()()()(])1[(

101

)1(50552.0)()(

011

)1(50

)1(502.010

01)()(

2.02.0)1(

2

1

2

1

2

1kTukTu

ee

kTxkTx

ee

TkxTkx

kTukTHkTxkTGTkx

ee

eekTTBkTH

ee

e

ekTTAIKTG

kkTtT

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

得：离散化方程为代入

秒，离散化，取解：

（ 2 ）用递推法求离散方程的近似解：

取 k ＝ 0 ， 1 ， 2…T ＝ 0.2 秒，并代入输入函数和初始条件可得近似解：

95.005.2

10

865.00135.01

63.037.1

135.00865.01

)6.0()6.0(

63.037.1

10

63.0037.01

01

37.0063.01

)4.0()4.0(

01

10

0011

00

1001

)2.0()2.0(

2

1

2

1

2

1

xx

xxxx

递推求下去

三、计算机控制系统的状态空间表达式（一）计算机控制系统的组成

连续部分：保持和被控对象串联

离散部分：数字计算机

（二）连续部分离散化，求被控对象离散化状态方程。

（三）系统的离散化状态空间表达式：

根据系统结构确定系统的离散状态方程和输出方程。特点 u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-Cx(kT),

例 2.7 求如图所示的计算机控制系统的状态方程

解：对象 的状态方程和输出方程为)1(

1

ss

2

11

2

1

2

1

01

1

0

10

10

x

xxy

ux

x

x

x

说明：

u(t) 是零阶保持器的输出，即 u(kT)= 常数

满足假设，可离散化

方法 1 、线性定常系统离散化

)(1

1)()(

011

)()()()(])1[(

11

10

011)(

011)(

011][)1(

2

1

0 0

11

kTueeT

kTxkTx

ee

kTuTHkTxTGTkxd

eeTdt

eeBdteTHc

eeetGb

eeAsILea

T

T

T

T

T

TT Tt

tAT

T

TAT

t

tAt

、

、

、

、

（ 2 ）由 u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT), 代入，得系统的离散化状态方程。

)(1

1

)(

)(

1

12

)(1

1

)(

)(

0

11

)]1[(

)]1[(

2

1

2

1

2

1

kTre

eT

kTx

kTx

ee

eeT

kTue

eT

kTx

kTx

e

e

kx

kx

T

T

TT

TT

T

T

T

T

系统输出方程

)(

)(01)()(

2

11 kTx

kTxkTxkTy

令 T ＝ 0.1 秒，得系统离散化状态空间表达式

)(

)(01)(

)(095.0

005.0

)(

)(

905.0095.0

095.0995.0

)1(

)1(

)(

)(01)()(

2

1

2

1

2

1

2

11

kTx

kTxkTy

kTrkTx

kTx

Tkx

Tkx

kTx

kTxkTxkTy

方法 2 、近似离散化 A(kT)=A 定常 B(kT)=B

)()()(

)(0)()(

101

])1[(])1[(

0)(

101)(

1

2

1

2

1

kTxkTrkTu

kTuTkTxkTx

tT

TkxTkx

TTBkTHb

TTTAIkTGa

、

、

系统离散状态方程（ T ＝ 0.1 ）

)()(

01)(

)(1.00

)()(

9.01.01.09.0

])1[(])1[(

2

1

2

1

2

1

kTxkTx

kTy

kTrkTxkTx

TkxTkx

输出

可见 T 较小时，两种方法得状态空间表达式近似相等。

离散方程求解可按 2.3 递推法或 Z 变换求解