1第二章第 讲 1

第第 22 章 连续系统的时域分析章 连续系统的时域分析 系统的数学模型系统的数学模型 微分方程的经典解法微分方程的经典解法 零输入响应零输入响应 冲激响应冲激响应 卷积积分与零状态响卷积积分与零状态响应应

1第二章第 讲 2

2.1 2.1 微分算子及其特性微分算子及其特性

定义定义

dt

dp

t

dp

)(1

dt

dxpx n

nn

dt

xdxp 则：则：

txdtx

p

1

对于算子方程： xpypp )3()52( 2

xdt

dxy

dt

dy

dt

yd352

2

2

其含义是：

1第二章第 讲 3

微分算子的主要特性微分算子的主要特性 微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子

与变量不是相乘，而是一种变换。与变量不是相乘，而是一种变换。

Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因式分解的运算。式那样进行因式分解的运算。

abpbapbpap )())(( 2

dt

dxpx

txdtx

p

1

1第二章第 讲 4

微分算子的主要特性微分算子的主要特性

算子方程两边的公共因子一般不允许消去。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。

如：如： ypNap

apx

)()(

ypN

x)(

1但：但：

但在某种情况下公共因子可以消去，如：但在某种情况下公共因子可以消去，如：

xxpD

pD

)(

1)( )(])([

)(

1txxpD

pD但

简单的如：简单的如： xxp

p 1

但 xCxpxp

1

1第二章第 讲 5

微分算子的主要特性微分算子的主要特性 转移算子：转移算子：

HH((pp)) 把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：

若：若： ，则，则)()()()( tfpNtypD )(

)(

)(

)()(

pD

pN

tf

typH

)()()( tfpHty

)( pH)(tf )(ty

系统的自然频率系统的自然频率 (( 特征根特征根 )) ：：0)( pD 的根为系统的自然频率或特征根。

1第二章第 讲 6

微分算子的主要特性微分算子的主要特性

算子阻抗：算子阻抗：

对电感：dt

idLu L

L LL iLpu

Lp —— Lp —— 算子阻抗算子阻抗

对电容： CC

t

CC ipC

udtiC

u111

—— —— 算子阻抗算子阻抗Cp

1

引入了算子阻抗后，网络的微分方程引入了算子阻抗后，网络的微分方程可以通过电路分析课程的分析方法列可以通过电路分析课程的分析方法列出。如网孔法、节点法、叠加定理、出。如网孔法、节点法、叠加定理、

戴维南定理等。戴维南定理等。

1第二章第 讲 7

例 例 2.32.3

列出电路的微分方程，变量为列出电路的微分方程，变量为 ii22。。

L L

)(te

MC C

R

R

1i 2i

解：网孔方程为：解：网孔方程为：

)()1

( 21 teiMpiCp

LpR

0)1

( 21 iCp

LpRiMp

2222

)1

(

)(

1

1

0

)(1

pMCp

LpR

tepM

CpLpRMp

MpCp

LpR

Mp

teCp

LpR

i

2223422

3

12)

2(2)(

)(

Cp

CR

pCL

RRLppML

tepM

故，微分方程为：故，微分方程为：

3

3

222

22

22

32

3

42

422 )(12

)2

(2)(dt

tedMi

Cdt

id

C

R

dt

id

C

LR

dt

idRL

dt

idML

1第二章第 讲 8

举 例 举 例 求如图所示电路的转移算子：求如图所示电路的转移算子：

解：解：用节点用节点方程方程可求得可求得：：

)(tf1i 2i

0u3 F1 1

H1

)(

)()( 0

tf

tupH

1u

)(1

)1

3

1( 01 tfu

pu

p

0)11

(1

01 upp

up

)()13

1( 01 tpfuup

02

1 )1( uppu

)()1)(3

11( 00

2 tpfuuppp

44

3

131

31

31

1)(

)()(

2322

0

ppppppp

p

tf

tupH

1第二章第 讲 9

2.2 2.2 微分方程的经典解法微分方程的经典解法 全响应＝齐次解全响应＝齐次解 ((自由响应自由响应 ))＋特解＋特解 ((强迫响强迫响应应 ))齐次解齐次解 yyhh(t)(t) ：：齐次方程（右边为零时）的解 齐次方程（右边为零时）的解

写出特征方程，求出特征根写出特征方程，求出特征根 ((自然频率或固有频自然频率或固有频率率 ))。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。无重根：无重根：

有有重根重根 ::

n

i

tih

ieCty1

)( i 为特征根为特征根

0)()( typD

trr

rrh eCtCtCtCty )()( 01

22

11

1第二章第 讲 10

2.2 2.2 微分方程的经典解法微分方程的经典解法

特解特解 yypp(t)(t)：：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。特解就是稳态解。

全解（全响应）：全解（全响应）：

用初始值确定积分常数。用初始值确定积分常数。一般情况下，一般情况下， n n 阶方程有阶方程有n n 个常数，可用个 个常数，可用个 n n 初始值确定。初始值确定。

)()()()(1

tyeCtytyty p

n

i

tiph

i

1第二章第 讲 11

例 例 2.42.4

描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为

)(2)()(2)(3)( tftftytyty 试求：当 时的 试求：当 时的

全解。全解。1)0(,1)0(,)( 2 yyttf

解：解： (1)求齐次解，特征方程为：

2,1 21 tt

h eCeCty 221)(

0232

1第二章第 讲 12

例 例 2.42.4

(2)(2)求特解：求特解：

设特解为：设特解为： 012

2)( PtPtPty p

将将上式上式 代入原微分方程，得： 代入原微分方程，得：2

012

2122 22)(2)2(32 ttPtPtPPtPP

ttPPPtPPtP 22)232()62(2 221021

22 即：即：

比较系数可得：比较系数可得：22 2 P262 21 PP

0232 210 PPP

解之解之：： 12 P

21 P20 P

22)( 2 ttty p

)(2)()(2)(3)( tftftytyty

1第二章第 讲 13

例 例 2.42.4

全解的通解为：全解的通解为：22)()()( 22

21 tteCeCtytyty ttph

将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：

12)0( 21 CCy122)0( 21 CCy

11 C22 C

自由响应自由响应自由响应自由响应 强迫响应强迫响应强迫响应强迫响应

0222)( 22 ttteety tt故，全解为：故，全解为：

1第二章第 讲 14

全响应全响应 == 零输入响应零输入响应 ++ 零状态响零状态响应应 零输入响应的求法与齐次解一样零输入响应的求法与齐次解一样

n

i

txizi

ieCty1

)(

i 为特征根为特征根 xiC 由初始值确定由初始值确定

零状态响应的求法与求非齐次方程一样零状态响应的求法与求非齐次方程一样

)()(1

tyeCty p

n

j

tfjzs

j

齐次解＋特解＝

j 为特征根为特征根 jfC 由零状态初始值确定由零状态初始值确定

1第二章第 讲 15

全响应全响应 == 零输入响应零输入响应 ++ 零状态响应零状态响应

全响应全响应

强迫响应自由响应 零输入响应 零输入响应

自由响应

)()()(111

tyeCeCtyeCty pt

n

ifi

tn

ixip

tn

ii

iii

tn

ifi

tn

ixi

tn

ii

iii eCeCeC 111

＋＝

对积分常数，有

1第二章第 讲 16

例 例 2.52.5

解：解： (1)零输入响应，特征根为： 2,1 21 tt

zi eCeCty 221)(

12

1

21

21

CC

CC代入初始值，得代入初始值，得

2

3

2

1

C

C解得解得

023)( 2 teety ttzi

描述某线性非时变系统的方程为描述某线性非时变系统的方程为)(2)()(2)(3)( tftftytyty

试求：当 时的 试求：当 时的零输入响零输入响应应和零状态响应和零状态响应。。

1)0(,1)0(,)( 2 yyttf

1第二章第 讲 17

例 例 22.5.5

(2)(2)零状态响应：零状态响应：特特解求法同例解求法同例 11 ，，

22)( 2 ttty p

22)()()( 2221 tteCeCtytyty tt

phzs

将初始条件代入上式，得：将初始条件代入上式，得：02)0( 21 CCy

022)0( 21 CCy

21 C

02 C

0222)( 2 tttety tzs

1第二章第 讲 18

齐次微分方程：齐次微分方程： DD((pp))rr(t)=0(t)=0 ，，特征方程： 特征方程： DD((pp)=0)=0t

ntt

zineCeCeCty 21

21)(

0)()( trp ktk

kzi etCtCCty )()( 1110

零输入响应的一般形式零输入响应的一般形式 设系统为设系统为

)()(

)()()()( tf

pD

pNtfpHty

零输入 零输入 ff(t)=0 (t)=0 时，即 时，即 D(p)y(t)=0

若无重根：若无重根：

若有若有 KK 阶重根，即：阶重根，即：

1第二章第 讲 19

例 例 2.62.6

22

1)(

2

pp

ppH已知系统的转移算子 ，初始条件为已知系统的转移算子 ，初始条件为

2)0(,1)0( yy , , 试求系统的零输入响应 试求系统的零输入响应 yyzizi(t)(t) 。。并画出草图。并画出草图。

)cos(2)( 1)1(

2)1(

1 teCeCeCty ttjtjzi

0)3cos(10)( 1 ttgtety tzi

)(tyzi

t0

0222 pp jp 11jp 12解：令 得：解：令 得：

1)0( 21 CCy

2)1()1()0( 21 CjCjy代入初值得：代入初值得：

23

21

1 jC 23

21

2 jC 解得：解得：

10)()( 212

232

21

1 C

31 tg

故：故：

1第二章第 讲 20

例 例 2.62.6

12)(

2

pp

ppH已知系统的转移算子 ，初始条件为已知系统的转移算子 ，初始条件为

2)0(,1)0( yy , , 试求系统的零输入响应 试求系统的零输入响应 yyzizi(t)(t) 。。并画出草图。并画出草图。

tzi etCCty )()( 21

0)31()( tetty tzi

解：令 得：解：令 得：0122 pp 121 pp

1)0( 1 Cy

2)0( 21 CCy代入初值得：代入初值得：

11 C 32 C解得：解得：

)(tyzi

t0

1

1第二章第 讲 21

关于初始状态的讨论关于初始状态的讨论 00 － － 状态和 状态和 00 ＋ ＋ 状态状态

00 － － 状态状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的；统的储能产生的；

00 ＋ ＋ 状态状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。仅有系统的储能，还受激励的影响。

各种响应用初始值确定积分常数的区别各种响应用初始值确定积分常数的区别 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 00 ＋ ＋ 状态状态

初始值。初始值。 在求系统零输入响应时，用的是 在求系统零输入响应时，用的是 00 － － 状态初始值。状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 在求系统零状态响应时，用的是 00 ＋ ＋ 状态初始值，状态初始值，

这时的零状态是指 这时的零状态是指 00 － － 状态为零。状态为零。

1第二章第 讲 22

关于初始状态的讨论关于初始状态的讨论 从 从 00 － － 状态到 状态到 00 ＋ ＋ 状态的跃变状态的跃变

当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从 00－ － 状态到状态到 00 ＋ ＋ 状态有没有跳变决定于微分方程右端状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含自由项是否包含 ((t)t) 及其各阶导数。及其各阶导数。

如果包含有如果包含有 ((t)t) 及其各阶导数，说明相应的及其各阶导数，说明相应的 00 －－状态状态到到 00 ＋＋状态发生了跳变。状态发生了跳变。

00 ＋ ＋ 状态的确定状态的确定 已知 已知 00 － － 状态求 状态求 00 ＋ ＋ 状态的值，可用冲激函数匹配状态的值，可用冲激函数匹配

法。见有关参考资料。法。见有关参考资料。 求 求 00 ＋ ＋ 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定

理求出，见第理求出，见第 55 章内容。章内容。

1第二章第 讲 23

课堂练习题课堂练习题2-1 已知系统的微分方程为 ，且初始条件为 y(0)=3和 y’(0)=4 。求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应及全响应。并弄清楚几种响应之间的关系。

下一节下一节下一节下一节

tetytyty 34)(2)(3)(

0710)( 2 teety ttzi

0242)( 32 teeety tttzs

021112)( 32 teeety ttt