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74 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.6 Ecuación de BernoulliA una ecuación diferencial de la forma
(2.65)
con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.Si n — 0 o n — 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la
ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramosen el caso en que n ^ 0,1.
El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en unaecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.
Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta
Sea
entonces
por lo cual
Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
74 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.6 Ecuación de BernoulliA una ecuación diferencial de la forma
(2.65)
con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.Si n — 0 o n — 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la
ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramosen el caso en que n ^ 0,1.
El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en unaecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.
Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta
Sea
entonces
por lo cual
Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
74 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.6 Ecuación de BernoulliA una ecuación diferencial de la forma
(2.65)
con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.Si n — 0 o n — 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la
ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramosen el caso en que n ^ 0,1.
El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en unaecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.
Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta
Sea
entonces
por lo cual
Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
74 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
2.6 Ecuación de BernoulliA una ecuación diferencial de la forma
(2.65)
con n un número real, se le llama ecuación de Bernoulli.Si n — 0 o n — 1, (2.65) es una ecuación diferencial lineal. Además si n = 1, la
ecuación se puede resolver mediante separación de variables. Así que nos concentramosen el caso en que n ^ 0,1.
El método para resolver una ecuación de Bernoulli consiste en transformarla en unaecuación diferencial lineal mediante un cambio de variable, veamos.
Dividiendo ambos lados de (2.65) por yn, resulta
Sea
entonces
por lo cual
Sustituyendo (2.67) y (2.68) en la ecuación diferencial (2.66) obtenemos
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
75
(2.69)
(2.70)
(2.71)
2.6. Ecuación de Bernoulli
que es una ecuación diferencial lineal.
EJEMPLO 1. Resolver
Solución. Dividiendo la ecuación (2.69) por y2, resulta
Sea
Sustituyendo en (2.70)
Resolviendo la ecuación diferencial lineal tenemos
y recordando que w
de donde
EJEMPLO 2. Resolver
Solución. Veamos si es una ecuación de Bernoulli.
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
75
(2.69)
(2.70)
(2.71)
2.6. Ecuación de Bernoulli
que es una ecuación diferencial lineal.
EJEMPLO 1. Resolver
Solución. Dividiendo la ecuación (2.69) por y2, resulta
Sea
Sustituyendo en (2.70)
Resolviendo la ecuación diferencial lineal tenemos
y recordando que w
de donde
EJEMPLO 2. Resolver
Solución. Veamos si es una ecuación de Bernoulli.
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75
(2.69)
(2.70)
(2.71)
2.6. Ecuación de Bernoulli
que es una ecuación diferencial lineal.
EJEMPLO 1. Resolver
Solución. Dividiendo la ecuación (2.69) por y2, resulta
Sea
Sustituyendo en (2.70)
Resolviendo la ecuación diferencial lineal tenemos
y recordando que w
de donde
EJEMPLO 2. Resolver
Solución. Veamos si es una ecuación de Bernoulli.
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76 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Así, efectivamente se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividiendo por y3, se sigue que
Sea w Entonces
Resolviendo la ecuación diferencial lineal se obtiene
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. Nótese que
luego la ecuación (2.72) no es de Bernoulli en la variable y, pero si la escribimos como
tenemos que
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76 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Así, efectivamente se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividiendo por y3, se sigue que
Sea w Entonces
Resolviendo la ecuación diferencial lineal se obtiene
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. Nótese que
luego la ecuación (2.72) no es de Bernoulli en la variable y, pero si la escribimos como
tenemos que
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76 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Así, efectivamente se trata de una ecuación de Bernoulli. Dividiendo por y3, se sigue que
Sea w Entonces
Resolviendo la ecuación diferencial lineal se obtiene
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. Nótese que
luego la ecuación (2.72) no es de Bernoulli en la variable y, pero si la escribimos como
tenemos que
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2.6. Ecuación de Bernoulli 77
la cual es una ecuación diferencial de Bernoulli en x. Dividiendo por x2, resulta
Sea w Sustituyendo en (2.73) resulta
(2.73)
y resolviendo la ecuación diferencial lineal en w obtenemos
Ya que w se tiene
de donde
EJERCICIOS 2.6
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
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2.6. Ecuación de Bernoulli 77
la cual es una ecuación diferencial de Bernoulli en x. Dividiendo por x2, resulta
Sea w Sustituyendo en (2.73) resulta
(2.73)
y resolviendo la ecuación diferencial lineal en w obtenemos
Ya que w se tiene
de donde
EJERCICIOS 2.6
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
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2.6. Ecuación de Bernoulli 77
la cual es una ecuación diferencial de Bernoulli en x. Dividiendo por x2, resulta
Sea w Sustituyendo en (2.73) resulta
(2.73)
y resolviendo la ecuación diferencial lineal en w obtenemos
Ya que w se tiene
de donde
EJERCICIOS 2.6
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
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SOLUCIONES
222
v c6. x = y\ny- - + -
2 y
8. y = — cscx
9. x = -ey + ce
10. y - l -
Ejercicios 2.6, Página 77
1.
2.
y--
X2 +V cy2
x'¿
—
—
X
ex
Q / i
4. y = (x + ex2)"3
5. y = \/3 + ce-3x2
6. x2 = "
7. y =
2 + CÍ/5
1cVT- x2 - 7
8. y = ^ce-8*2 + 2
9. y(l + 21nx + cx2
10. x(2 - y2 + ce'2'2/
= 4
= 1
Ejercicios 2.7, Página 80
1. y2 + 2j/(l - x) - 4x2 + 12x + c = 0
2. (l + e5í ')2(l+ sen2x)5 = c
3. y - v/TTce3A
4. y7 + 7eysenx = c
Respuestas a los problemas
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
![Mecánica I - Ecuación de Bernoulli [Modo de compatibilidad]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5571fdad497959916999a9e6/mecanica-i-ecuacion-de-bernoulli-modo-de-compatibilidad-55a2315e8fd11.jpg)
