7/21/2019 27_Henkin
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O metodo das constantes de Henkin
Fernando Ferreira
Teorema da Completude de Godel (versao dedutiva). Seja um
conjunto de formulasfechadas e uma formula fechada duma dada
linguagem do calculo de predicados. Se |= entao .
O teorema da completude acima segue-se do seguinte
resultado:
Teorema da Existencia de Modelos. Se um conjunto de formulas
fechadas e consistente entaotem um modelo.
Com efeito, suponhamos que |= . Entao {} nao tem modelos. Pelo
teorema acima,
{}nao e consistente. Como vimos, isto implica que .Tem-se um
resultado analogo de completude para o calculo de predicados com
igualdade(emque a semantica e dada por estruturas normais) desdeque
nos axiomas logicos tambem se incluamos axiomas da igualdade I G.
Para verificar este resultado, suponhamos que nao se obtem de por
meio duma deducao formal com os axiomas da igualdade. Pelo teorema
da completude acima, I G {} tem um modelo (nao necessariamente
normal). Como sabemos, entao existe ummodelo normalde {}.
O teorema da existencia de modelos permite demonstrar facilmente
o teorema da compacidadedo calculo de predicados. Suponhamos que e
um conjunto de formulas fechadas finitamentesatisfazvel. Entao, e
finitamente consistente (i.e., todo o subconjunto finito de e
consistente).Obviamente, sai que e consistente visto que as
deducoes formais apenas usam um numero finitode formulas. Pelo
teorema da existencia de modelos, tem um modelo.
Definicao 1. Seja T um conjunto de sentencas duma dada linguagem
L e C um conjunto deconstantes deL. Diz-se C e um conjunto de
testemunhas para T emL se, para cada formula deL com exactamente
uma variavel livrex, existe uma constantec deC tal queT x xc .
Com a ajuda do proximo lema, vamos demonstrar o teorema da
existencia de modelos. Nestademonstracao vamos usar inducao e
recursao transfinita. O leitor nao familiarizado com estasnocoes da
teoria dos conjuntos pode restringir-se ao caso em que a linguagem
e numeravel. Nestecaso, apenas se usa inducao e recursao
finita.
Lema 1. Seja T um conjunto consistente de sentencas duma dada
linguagem L. Seja C umconjunto de constantes novas com a
cardinalidade da linguagem L e tome-se LC a linguagem Ljuntamente
com as novas constantes deC. Entao ha uma extensao
consistenteTCdeT, constituda
por sentencas deLC, de tal modo queC e um conjunto de
testemunhas paraTC emLC.
Demonstracao. Sejaa cardinalidade de L e seja (c)
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LC, ha uma constante c de LC tal que T x xc . Por modus ponens,
tem-se T
xc . Logo,
por hipotese de inducao, vem |=M xc e, portanto, |=M x. Caso x
nao ocorra livre em , use-sesimplesmente o facto de que, neste
caso, x e, novamente, modus ponense a hipotese deinducao.
Demonstramos, pois, o teorema da existencia de modelos.
A versao dedutiva do teorema da completude de Godel permite
concluir a existencia de deducoesformais atraves de argumentos de
natureza semantica. Com efeito, para mostrar que bastaargumentar
que e verdadeira em todo o modelo de . Considere-se, por exemplo, o
esquema (2)formado pelos fechos universais dexy(x= y ), onde e uma
formula qualquer, y estalivre para x em e obtem-se de substituindo
uma ou mais ocorrencias livres da variavel xpela variavel y. Dado
que as formulas deste esquema sao verdadeiras em todas as
estruturas quesatisfacam os axiomas de igualdade I G(recorde-se que
estes axiomas estaoapenasenunciados paraformulas sem
quantificadores ), sabemos que as formulas de (2) admitem deducoes
formais nocalculo de predicados com igualdade. (De facto, nao e
difcil argumentar este facto directamente,por inducao na
complexidade das formulas .) Trata-se de uma forma indirectade
mostrar queexistem certas deducoes formais (o argumento nao e
construtivo, na medida em que nao se mostracomo obte-las
explicitamente). Esta forma indirecta e frequentemente usada em
logica matematica.Quando se quer argumentar que existe uma deducao
formal de a partir de por esta viasemantica, e costume comecar o
argumento com as palavras raciocinemos em , com vista amostrar que
e verdadeira em todo o modelo de . Deve realmente ter-se o cuidado
de assegurarque o nosso raciocnio se aplica, efectivamente, a todo
e qualquer modelo de . O principiante e,por vezes, levado ao engano
por deixar de fora certos modelos (por estes nao serem
naturais).Neste texto, evitaremos usar o metodo semantico para
justificar a obtencao de deducoes formais.
Nas proximas seccoes admitimos a existencia de certas deducoes
formais. A sua existenciadireta e geralmente simples de argumentar
(usando tautologias e o teorema da deducao). A ttulode exemplo,
vamos argumentar que se tem x((x) x = t) x((x)(x)) (t), ondet e um
termo fechado e tem como unica variavel livre x (e, e claro, a
deducao e no calculo depredicados com igualdade). Este facto vai
ser usado pelo menos duas vezes nas proximas seccoes.Ora, dado
que
((x) x = t) [(x= t (x) (t)) ((x) (x) (t))]
e uma tautologia, vem por (2), {x ((x) x = t)} (x) (x) (t). Como
sabemos, daquisai {x ((x) x = t)} x((x) (x)) (t). Agora utiliza-se
o teorema da deducao e umatautologia apropriada.
Ha mais uma observacao que e oportuno fazer sobre a versao
dedutiva do teorema da completudede Godel. Esta versao tem, como
obvia consequencia, a versao recursiva do teorema da completude.Com
efeito, seja T e uma teoria recursivamente axiomatizavel com
axiomatica A. Considere-se opredicado binarioR que e verdadeiro do
par (m, k) se, e somente se, k e o numero de Godel dumadeducao
formal a partir de A da formula cujo numero de Godel e m. Como ja
discutimos, R e umpredicado recursivo. Logo, m e o numero de Godel
dum elemento de T se, e somente se,k R(m, k).Como e patente, os
numeros de Godel dos elementos de T formam um conjunto
recursivamenteenumeravel.
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