2_FUNCOES

Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: [email protected]

Matemática I

FUNÇÕES


Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL:

Conceito, domínio, funções crescentes e decrescentes,

pontos de máximo e mínimo, estudo do sinal de funções

elementares e suas aplicações.

Funções lineares, exponenciais, logarítmicas e

trigonométricas.

EMENTA


Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

Conceito:

A função é uma regra que associa cada objeto

de um conjunto A a um e somente um objeto de

um conjunto

Para ser função, cada número dever estar

associado a um e somente um número

novo.

x f(x)=

x y=

http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.novalima.mg.gov.br/vm/img/galeria/a7e4e0ee88.jpg&imgrefurl=http://www.novalima.mg.gov.br/interna.php?id=27&id_canal=25&id_conteudo=710&usg=__LxL1HJueir56MVtaRYc3Jo0O0hc=&h=367&w=548&sz=90&hl=pt-BR&start=9&um=1&tbnid=X5K59VArLNObnM:&tbnh=89&tbnw=133&prev=/images?q=aten%C3%A7%C3%A3o&as_st=y&hl=pt-BR&rlz=1T4WZPC_pt-BRBR352&um=1


Matemática I


Exemplo

Ao considerar uma função, o próximo número obtido ao

adicionar 4 ao quadrado do número anterior. Qual número

desta função esta associado a 3 ???

O número associado ao 3 32 + 4 ou 13


Matemática I


Exemplo

Ao considerar uma função, o próximo número obtido ao

adicionar 4 ao quadrado do número anterior. Qual número

desta função esta associado a 3 ???

O número associado ao 3 32 + 4 ou 13


Matemática I


Variáveis

Ao escrever uma formula matemática é comum representar

número conhecido por x e o número “novo” por y e estabelece

uma equação que relaciona x e y.

y = x2 + 4

x = variável independentey = variável dependente

Notação

Escolhemos uma letra por exemplo f para representar a função e

chamamos de f(x) ao invés de y, o valor que associa a x.


Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Domínio Imagem

Desporto favorito (f)

Carlos

Rau

Pedro

Beatriz

Carla

Juc a

Tênis

Voleibol

Xadrez

Cartas

Futebol

pesca

http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://3.bp.blogspot.com/_Pusr3YsjUkE/Rn0eiiVlNGI/AAAAAAAAAD8/_GNEXCSDO4Y/s400/1%C2%B0+26.bmp&imgrefurl=http://matematicavirtual-online.blogspot.com/&usg=__DwJ5PAk_vwqklzc2he-e3PwoRqE=&h=245&w=400&sz=15&hl=pt-BR&start=101&um=1&tbnid=-Zt2miFE2pZ10M:&tbnh=76&tbnw=124&prev=/images?q=dominio+contradominio&ndsp=18&hl=pt-BR&rlz=1R2WZPC_pt-BRBR352&sa=N&start=90&um=1


Matemática I


2) g(27), g(5), g(2), g(1), se g(t) = (t – 2)1/2

Determine:

1) f(3), se f(x) = x2 + 4

3) h(-1 / 2), h(1) e h(2), se h(x) 1 se x < 1

x - 1

3x2 + 1 se x ≥ 1



Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Proporcionalidade

Muito utilizado na construção de modelos matemáticos.

Proporcionalidade Direta

Proporcionalidade Simultânea

Proporcionalidade Inversa

Q é proporcional ou diretamente proporcional a x significa

dizer que existe uma constante k para qual Q = kx

Q é inversamente proporcional a x significa dizer que existe

uma constante k para qual Q = k/x

Q é simultaneamente proporcional a x e y significa dizer que

Q é diretamente proporcional ao produto de x e y, ou seja,

existe uma constante k para qual Q = kxy


Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Proporcionalidade

Aplicação:

Solução

Quando fatores ambientais impõem um limite superior ao seu

tamanho, a população cresce a uma taxa que é simultaneamente

proporcional ao seu tamanho atual e à diferença entre o seu

tamanho atual e esse limite superior. Expresse a taxa de

crescimento populacional em função do tamanho da população.

p = Tamanho da população

R(p) = Taxa

correspondente de

crescimento populacional

b = Limite superior

imposto à população pelo

ambiente

R(p) = kp(b – p)

k = constante de

proporcionalidade

Diferença entre população e

limite = b – p

0 b p

R(p)


Matemática I


Determine:

Custo total de produção de um saco de ração (s) é dado

pela seguinte função:

C(s) = 1/10 s3 – 3s2 + 50s + 20

a) Calcule o custo de produção de 10 sacos de ração;

b) Calcule o custo de produção da 9º saco de ração.



Matemática I


Definir o domínio

a) f(x) = 1/(x – 3)

Todos valores reais maior ou igual a 2

Qualquer valor real exceto o 3.

b) g(x) =



Matemática I


Composição de Funções

A função composta g[h(x)] é a função formada das duas funções

g(u) e h(u), substituindo u por h(x) na fórmula para g(u)

u = f(x)



Matemática I


Encontre f(x – 1) se f(x) = 3x2 + 1/x + 5

Variável x aparece tanto no local do termo independente,

quanto no termo dependente

f (x – 1) = 3(x – 1)2 + 1/(x – 1) + 5

Deve visualizar separadamente uma dada função

composta g[h(x)] e identificar as funções g(u) e h(x)

da qual foi originada.

f ( ) = 3( )2 + 1/ + 5



Matemática I


Se f(x) se 5/(x – 2) + 4(x – 2)3, encontre g(u) e h(x)

tais que f(x) = g[h(x)]

g(u) = 5/u + 4u3

Onde a expressão x – 2. Por exemplo, f(x) = g[h(x)], onde

e h(x) = x - 2

Obs: Há infinitos pares de funções g(u) e h(x) que

se combinam para produzir g[h(x)] = f(x)

f (x) = 5/ + 4( )3

Ex: g(u) = 5/u + 1 + 4(u + 1)3 e

h(x) = x + 3



Matemática I


Um estudo ambiental de uma certa comunidade sugere que o

nível médio diário de monóxido de carbono no ar será

c(p) = 0,5p + 1 partes por milhão (ppm) quando a população é p

mil. É estimado que t anos a partir de agora a população da

comunidade será de p(t) = 10 + 0,1t 2 mil.

b) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 6,8 ppm?

a) Expresse o nível de monóxido de carbono no ar como uma

função do tempo.



Matemática I


a) c[p(t)] = c(10 + 0,1t 2)

c[p(t)] = 0,5(10 + 0,1t 2) + 1

c[p(t)] = 6 + 0,05t2

b) c[p(t)] igual a 6,8 ppm e resolva para t.

c(p) = 0,5p + 1 e p(t) = 10 + 0,1t 2

6 + 0,05t2 = 6,8

0,05t2 = 0,8

t2 = 0,8/0,05 t = 4

esta é a função que expressa o

nível de monóxido de carbono

no ar com uma função da

variável t

Obs. 4 anos a partir de

agora o monóxido de

carbono será 6,8ppm



Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES:

ÍMPARESPARES

Qualquer que seja x D ocorre f(x) = - f(-x),

neste caso a função f é ímpar

Qualquer que seja x D ocorre f(x) = f(-x),

neste caso a função f é par

Exemplo:

y = x4 + 1 é uma função par, pois

f(x) = f(-x), para todo x.

Exemplo:

y = x3 é uma função ímpar pois para

todo x, teremos f(- x) = - f(x).

Por exemplo,

f( 2 ) = 24 + 1 = 17 e

f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17

Por exemplo,

f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e

- f( x) = - ( 23) = - 8


Matemática I


FUNÇÕES:

Uma função y= f(x) é crescente

num conjunto A se, e somente se,

para quaisquer x1 e x2

pertencentes ao conjunto A, com

x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2)

DECRESCENTESCRESCENTES

Uma função y= f(x) é crescente

num conjunto A se, e somente se,

para quaisquer x1 e x2

pertencentes ao conjunto A, com

x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2)

Obs. a = 2 > 0 Obs. a = -2 < 0


Matemática I


PONTOS EXTREMOS

Os extremos de uma função são os pontos onde a

imagem de um objeto pode ser maior ou menor em

relação a outros pontos da função.


Matemática I


PONTOS DE MÁXIMO

PONTOS EXTREMOS

Máximo absoluto: É a variável de imagem mais elevada de

uma função;

Máximo relativo: É o ponto mais elevado de uma reta, que

pode ser máximo absoluto ou não.


Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL PONTOS EXTREMOS

Mínimo absoluto: É a variável de imagem mais pequena de uma função;

Mínimo relativo: É o ponto localizado mais abaixo numa reta.

PONTOS DE MÍNIMO


Matemática I

Como classificar os máximos e mínimos



Matemática I

Seja f uma função de domínio D. Então f(c) é:

(a) o máximo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para

qualquer que seja x em D.

(b) o mínimo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para

qualquer que seja x em D.



Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES LINEARES

Na prática, freqüentemente a taxa segundo a qual uma

quantidade varia em relação a outra é constante.

Exemplo: Análise de regressão

Em geral, denomina-se função linear aquela cujo o valor se

modifica a uma taxa constante em relação à sua variável

independente. Isso ocorre porque o gráfico da função linear é

uma reta, ou seja, f(x) = a0 + a1x


Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FORMA INCLINAÇÃO-INTERSEÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA

f(x) = ax + b y = mx + b

y = variável dependente

m = coeficiente angular da reta

b = constante

COEFICIENTE ANGULAR

É dado pela razão entre variação de y e x , ou seja, m = ∆y / ∆x


Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FORMA INCLINAÇÃO-INTERSEÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA


Matemática I


ZEROS DA FUNÇÃO 1º GRAU

Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x

que anula a função, isto é, torna f(x) = 0.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Geometricamente, o zero da função do 1º grau f(x) = ax + b,

a ≠ 0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.


Matemática I


COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

Exemplo de estatística regressão

Modificação sofrida pela ordenada y de um ponto pertencente à reta, quando a

abscissa x sofre o acréscimo de uma unidade.


Matemática I



Taxa de variação = coeficiente angular da tangente


Matemática I



Tangente à curva y = f(x)


Matemática I

0 2 4 6 8 10 12 14 16

404550556065707580859095

Faltas

Nota

final

FUNÇÕES LINEARES



Modificação sofrida pela ordenada y de um ponto pertencente à reta, quando a

abscissa x sofre o acréscimo de uma unidade.

m = –3,924 e b = 105,667


Matemática I

Os pontos da reta têm ordenada negativa

Os pontos da reta têm ordenada positiva

f(x) > 0

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL ESTUDO DO SINAL

Dada a função f(x) = 2x - 4

Determinando: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0

O zero da função => 2x - 4 = 0 => 2x = 4 => x = 2

Observa-se que a função é crescente pois a = 2 > 0

2

f(x) = 0f(x) < 0

f(x)

x

f(x) = 0 para x = 2

f(x) > 0 para {x ∈ IR | x > 2}

f(x) < 0 para {x ∈ IR | x < 2}

0


Matemática I

Os pontos da reta têm ordenada negativa

Os pontos da reta têm ordenada positiva

f(x) > 0

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL ESTUDO DO SINAL

Dada a função f(x) = -2x - 4

Determinando: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0

O zero da função => -2x - 4 = 0 => -2x = 4 => x = -2

Observa-se que a função é crescente pois a = -2 < 0

-2

f(x) = 0 f(x) < 0

f(x)

x

f(x) = 0 para x = -2

f(x) > 0 para {x ∈ IR | x < -2}

f(x) < 0 para {x ∈ IR | x > -2}

0


Matemática I

Pode-se escrever a equação de uma reta como y = mx + b,

onde m é a inclinação da reta e b, o intercepto y.

Assim, a reta de regressão é:

A inclinação m é:

E o intercepto y é:

Uma equação que descreva a relação entre as variáveis x e y.

Essa equação chama-se reta de regressão ou reta do ajuste

ótimo.



Matemática I

180

190

200

210

220

230

240

250

260

1,5 2,0 2,5 3,0Investimento em publicidade

= um resíduo

(xi,yi) = um ponto de dados

Rece

ita

= um ponto na reta com o mesmo valor de x

é um mínimo



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0 2 4 6 8 10 12 14 16

404550556065707580859095

Faltas

Nota

final

m = –3,924 e b = 105,667

A reta de regressão é:

Note que o ponto = (8,143, 73,714) está na reta.

3,924 105,667



Matemática I

Com a reta de regressão, é possível prever valores de y

correspondentes aos valores de x que caiam em determinado

intervalo de dados.

A equação de regressão para o número de faltas e a nota final é:

Use essa equação para prever a nota esperada de um aluno com:

(a) 3 faltas

(b) 12 faltas

Prevendo valores y

(a) = –3,924(3) + 105,667 = 93,895

(b) = –3,924(12) + 105,667 = 58,579

= –3,924x + 105,667



Matemática I


FUNÇÕES POLINOMIAL

Uma funções polinomial f : IR IR de grau n é uma função da

forma:

y = f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a3x

3 + a2x2 + a1x + a0

• n é o grau do polinômio;

• an, na-1, ... , a3, a2, a1, a0 são constante reais (an ≠ 0);

• x é a variável independente;

• y = f(x) é a variável dependente


Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES POLINOMIAL

Dois polinômios são ditos idênticos se os coeficientes das

parcelas de mesma potência são todos iguais.

m + n = 2m

3n = - 6

4p = - 4

Determine os valores de m, n e p para que os polinômios:

A(x) = (m + n)x2 + 3nx – 4 e Q(x) = 2mx2 – 6x + 4p

Identidades de Polinômios

Solução:

m = - 2

n = - 2

p = - 1

soluçãoverificar


Matemática I


O polinômio identicamente nulo é aquele no qual todos os

coeficientes são nulos, ou seja, a = 0.

Polinômios Identidades Nulo

Para todo x pertencente IR.

y = f(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x3 + 0x2 + 0x + 0 = 0

Obs: O domínio de toda função polinomial é IR


Matemática I


O polinômio identicamente nulo é aquele no qual todos os

coeficientes são nulos, ou seja, a = 0.

Polinômios Identidades Nulo

Para todo x pertencente IR.

y = f(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x3 + 0x2 + 0x + 0 = 0


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FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Para abordar funções exponenciais é necessário revisão sobre

potenciação

Expoente inteiro positivo

Se a é um número inteiro real e n é inteiro e positivo, a

expressão an representa o produto de n fatores, todos iguais a

a, ou seja:

an = a . a . a . ... . a

n fatores

REVISÃO DE POTENCIAÇÃO

Resolva: 23; (-4)2; (-5)3; 101; (-3)1; (-1,5)3.


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Expoente inteiro negativo

Sendo a um número real não nulo (a ≠ 0) e n um número

inteiro e positivo, define-se:


Resolva: 3-1; 10-2; (-3 : 4)-1; (-1,5)-3


Matemática I


Expoente racional fracionário

Sendo a um número real positivo (a > 0 ) e m e n números

inteiros e positivos, define-se:


Resolva: 32/3; 102/3; (-3 : 4)3/2; (5)-3/4; (1,5) -3/4

Convenciona-se que a0 = 1, com a ≠ 0

Expoente zero


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Propriedade Regra

am . an = am + n Repete-se a base e soma-se os expoentes.

am / an = am – n Repete-se a base e subtraem-se os expoentes.

(am )n = am . N Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.

(a . b)n = an + bn Eleva-se cada fator ao expoente comum.

(a / b)n = an / bn Eleva-se o numerador e o denominador ao expoente comum.


Matemática I


•Característica

•D = IR

•Im = IR*+

•f é crescente

•A curva passa pelo ponto (0, 1)

•Característica

•D = IR

•Im = IR*+

•f é decrescente

•A curva passa pelo ponto (0, 1)

x Y

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

x Y

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

f(x) = 2x ou 2x f(x) = (1/2)x ou (1/2)x


Matemática I



Matemática I

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Definição

forma

logarítmica

Logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e

diferente de 1, é o número x ao qual se deve elevar a para se

obter b

logab = x ax = b

forma

exponencial

Com b > 0, a e a≠ 1

a = base do logaritmo

b = logaritmando

x = logaritmo

a = base da potência

b = potência

x = expoentelogab = x ax = b


Matemática I


Consideramos função logarítmica

f(x) = log 1/2x:

x Y

8 -3

4 -2

2 -1

x Y

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

x Y

1 0

2 1

4 2

8 3

x Y

1 0

1/2 1

1/4 2

1/8 3

Consideramos função logarítmica

f(x) = log 2x: x > 0


Matemática I


De acordo com gráficos


Matemática I


Sentido da desigualdade se

conserva

Sentido da desigualdade se

inverte

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