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M ARIO Z ANARTU N AVARROF LORENCIA D ARRIGRANDI N AVARRO M AURICIO R AMOS R IVERA


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AUTORES TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Y GUA DIDCTICA PARA EL PROFESOR

M ARIO ZAARTU NAVARROLICENCIADO EN MATEMTICA CON MENCIN EN MATEMTICA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE CHILE.MAGSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD,

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE BARCELONA.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARROLICENCIADA EN MATEMTICA CON MENCIN EN ESTADSTICA,

MAGSTER EN ESTADSTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE CHILE.

M AURICIO RAMOS RIVERALICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIN EN MATEMTICA

LICENCIADO EN CIENCIAS CON MENCIN EN FSICA

UNIVERSIDAD DE CHILE


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El material didcticoGua Didctica para el Profesor,correspondiente al TextoMatemtica 2, paraSegundo Ao de Educacin Media,es una obra colectiva,creada y diseada por el Departamento de InvestigacionesEducativas de Editorial Santillana, bajo la direccin de:

MANUEL JOS ROJAS LEIVA

COORDINACIN DEL PROYECTO:EUGENIA GUILA GARAY

COORDINACINREAMATEMTICA:VIVIANA LPEZ FUSTER

EDICIN:JAVIERA SETZ MENA

AYUDANTE DEEDICIN:ALDO PEREIRA SOLIS

AUTORESTEXTO PARA ELESTUDIANTE Y

AUTORESGUADIDCTICA PARA ELPROFESOR:MARIO ZAARTU NAVARROFLORENCIA DARRIGRANDI NAVARROMAURICIO RAMOS RIVERA

CORRECCIN DE ESTILO:ISABEL SPOERER VARELAASTRID FERNNDEZ BRAVO

DOCUMENTACIN:PAULINA NOVOA VENTURINOMARA PAZ CONTRERAS FUENTES

La realizacin grfica ha sido efectuada

bajo la direccin de:VERNICA ROJAS LUNA

COORDINACIN GRFICA:CARLOTA GODOY BUSTOS

COORDINACIN LICITACIN:XENIA VENEGAS ZEVALLOS

DISEO Y DIAGRAMACIN:XIMENA MONCADA LOMEAMARIELA PINEDA GLVEZ

FOTOGRAFAS:ARCHIVO SANTILLANA

CUBIERTA:XENIA VENEGAS ZEVALLOS

PRODUCCIN:GERMN URRUTIA GARN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del"Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o

parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos lareprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin en ejemplares de ella

mediante alquiler o prstamo pblico.

2009, by Santillana del Pacfico S.A. de Ediciones,Dr. Anbal Arizta 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por Quebecor World Chile S.A.

ISBN: 9 - 7895 - 15 - 1567 - 3Inscripcin N 186.187

www.santillana.cl

La materialidad y fabricacin de este texto est certificada por el IDIEM Universidad de Chile.


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ndice

ndice | 5

Unidad 5: Circunferencia

Unidad 6: Datos y azar

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Propsito de la unidad

Propsito de la unidad

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Esquema de la unidad

Esquema de la unidad

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Propuesta de planificacin de la unidad

Propuesta de planificacin de la unidad

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Indicaciones y orientaciones para las pginas de inicio

del Texto para el Estudiante

Indicaciones y orientaciones para las pginas de iniciodel Texto para el Estudiante

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Indicaciones y orientaciones para las pginas de desarrollodel Texto para el Estudiante

Indicaciones y orientaciones para las pginas de desarrollodel Texto para el Estudiante

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Solucionario Evaluaciones finales y Talleres de evaluacin.190

Taller de evaluacin 2. Material fotocopiable.188

Indicaciones y orientaciones para las pginas de cierredel Texto para el Estudiante

166 Evaluacin final. Material fotocopiable

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Indicaciones y orientaciones para las pginas de cierredel Texto para el Estudiante

186 Evaluacin final. Material fotocopiable185 Bibliografa


7/1946 |Gua Didctica Matemtica 2 o Medio

Fundamentacin terica

INTRODUCCIN

La siguiente propuesta aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y ContenidosMnimos Obligatorios para 2 Medio del sector Matemtica, establecidos en elAjuste Curricular, e integra y articula los Objetivos Fundamentales Transversales conlos contenidos y actividades centrales presentados.

La propuesta Matemtica 2 Medio consiste en el Texto para el Estudiante, la GuaDidctica para el Profesor y el Hipertexto.

El Texto para el Estudiante se basa en la concepcin de aprendizaje constructivista,de este modo, presenta a los alumnos y las alumnas los distintos contenidoscorrespondientes a su nivel, a partir de situaciones contextualizadas, en las quemediante el razonamiento espontneo los y las estudiantes activen sus

conocimientos previos. Luego, se desarrolla cada contenido mediante actividades y ejemplos resueltos. La evaluacin se considera en todas las etapas del proceso deaprendizaje, de manera transversal.

La Gua Didctica para el Profesor es una herramienta que permite articular y llevar a cabo cada contenido tratado en el Texto explicando claramente aquellosconceptos claves para la comprensin del contenido, las relaciones principales quese puedan establecer y sus referencias tericas, con el objeto de sustentar y ampliar los conocimientos del docente. Se incluyen orientaciones para desarrollar lasdistintas actividades presentadas en el Texto para el Estudiante.

El Hipertexto consiste en un material educativo multimedial diseado para ampliar

las instancias de aprendizaje de los jvenes, que complemente las actividades delTexto y aproveche los recursos tecnolgicos disponibles, y que el y la estudiantepueda resolver de manera autnoma. Contiene actividades de motivacin,ejercitacin y profundizacin y evaluaciones diagnsticas y sumativas, de modo queel o la estudiante pueda autoevaluarse independiente de sus actividades en clases.

ESCENARIO EDUCACIONAL

A diez aos de iniciada la Reforma Curricular de la Educacin Bsica y Media, elMinisterio de Educacin ha desarrollado un proceso de revisin del currculum, pararesponder a diversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia.

Esta revisin es parte de una poltica de desarrollo curricular que busca mejorar cclicamente el currculum a la luz de su implementacin y de los cambios que sevan experimentando en la sociedad. Lo anterior se relaciona directamente con lascaractersticas de la sociedad actual: el currculum debe ser capaz de responder oportunamente a la rpida generacin de cambios en el conocimiento, a las

transformaciones constantes del mundo productivo y a las nuevas demandasformativas que van surgiendo. As, el ministerio ha estado elaborando una propuestade ajuste curricular que tiene como propsito mejorar la definicin curricular nacional.Si bien este proceso de ajuste es de mayor envergadura que las modificaciones


8/194Fundamentacin terica | 7

Introduccin

realizadas hasta la fecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, puesto quese mantiene el enfoque de la Reforma, es decir, el currculum sigue estandoorientado hacia el desarrollo deconocimientos, habilidadesy actitudes que sonrelevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos de lasociedad actual.

La propuesta de ajuste curricular tiene entre otros, los siguientes objetivos.

Con respecto a los sectores de aprendizaje: Mejorar la redaccin de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mnimos

Obligatorios, para precisar su extensin y mejorar su claridad. Mejorar la secuencia curricular y la articulacin entre ciclos. Visibilizar la presencia de las habilidades en Contenidos Mnimos Obligatorios. Reducir la extensin del currculum (especialmente en ciencias sociales y naturales). Fortalecer la presencia transversal de Tecnologas de la Informacin y

Comunicacin (TIC), en la Educacin Bsica y Media.

Con respecto a temas de organizacin del currculo: Homologar la nomenclatura de las asignaturas en Educacin Bsica y Media. Homologar los Objetivos Fundamentales Transversales en Educacin Bsica

y Media. Mejorar la presencia de Ciencias Naturales y Ciencias Sociales en primer ciclo. Definir objetivos y contenidos especficos de Ingls. Revisar la definicin de niveles en primer ciclo bsico, nico que tiene definidos

OF/CMO para dos aos escolares. Revisar la formulacin diferenciada humanstico-cientfica.

En el sectorMatemtica, se reorden el sector con una nueva organizacin decuatro ejes curriculares:Nmeros, en el que se introducen los distintos sistemasnumricos, con nfasis en las operaciones y situaciones que cada sistema permite y resuelve;lgebra, el cual introduce al estudiante en el uso de smbolos pararepresentar y operar con cantidades y en la nocin de funcin y el estudio dealgunas de ellas en particular;Geometraen el que se da diferentes enfoques parael tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamao y la posicin;y Datos y Azar, que introduce el tratamiento de datos y modelos para elrazonamiento en situaciones de incerteza y propone desarrollar conceptos y tcnicas propias de la estadstica y la teora de probabilidades.

Adems, contempla un eje trasversal derazonamiento matemtico, de modo quese explicite en cada eje la resolucin de problemas, la exploracin de caminos

alternativos y el modelamiento de situaciones o fenmenos, as como el desarrollodel pensamiento creativo, analgico y crtico para la formulacin de conjeturas, labsqueda de regularidades y patrones y la discusin de la validez de lasconclusiones.

Esta reorganizacin tiene el propsito de acercar el currculum del sector a laexigencia internacional y a pruebas internacionales en las que participa nuestro pas,ya que el anlisis mostr que muchos contenidos eran tratados tardamente ennuestro currculum, o bien, de manera muy acotada.


9/1948 | Gua Didctica Matemtica 2 o Medio

Como parte complementaria del ajuste curricular, se han elaborado losMapas deProgreso del Aprendizaje, que describen la secuencia tpica que sigue aprendizaje, en las reas o dominios que se consideran fundamentales formacin de los estudiantes, en los distintos sectores curriculares. Estos estuna relacin entre currculum y evaluacin, orientando lo que es importante

y entregando criterios comunes para observar y describir cualitativameaprendizaje logrado. Los aprendizajes en Matemtica se organizan en cuatrde Progreso correspondientes a los ejes curriculares anteriormente mencionaque se organiza el sector.

CONCEPCIN DEL SUBSECTOR DE APRENDIZAJE

La propuestaMatemtica 2 Medioresponde a una concepcin de la Matemtireflejada en los Ajustes Curriculares y en los Requerimientos para la ElaborTextos Escolares. Desde esta perspectiva, el sectorMatemtica tiene comopropsito formativo enriquecer la comprensin de la realidad, facilitar la sde estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensa

crtico y autnomo en todos los estudiantes.De acuerdo a lo anterior, el proceso de enseanza-aprendizaje de la Matemcumple los siguientes grandesobjetivos:

Proporcionar herramientas conceptuales para analizar la informacin cuapresente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportadesarrollo de las capacidades de comunicacin, razonamiento y abstracimpulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexin sistem

Contribuir a que los y las estudiantes valoren su capacidad para anconfrontar y construir estrategias personales para la resolucin de problem

anlisis de situaciones concretas, incorporando formas habituales de la amatemtica, tales como la exploracin sistemtica de alternativas, la apliel ajuste a modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evla precisin en el lenguaje y la perseverancia en la bsqueda de caminohallar soluciones.

Los cuatro ejes en los que se organizan los aprendizajes y el conocimmatemtico que conforman los Objetivos Fundamentales y Contenidos MObligatorios articulan la experiencia formativa de los alumnos y alumnas ade los aos escolares. Estos ejes articulan la propuestaMatemtica 2 Medio.

Nmeros: este eje constituye el centro del currculo matemtico. Incluy

aprendizajes referidos a la cantidad y el nmero, las operaciones aritmtidiferentes sistemas numricos, sus propiedades y los problemas proveniela vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemtica misma. Se org torno a diferentes mbitos y sistemas numricos, de modo que cada unestos permita resolver problemas que los precedentes dejaron sin resAvanza en completitud, abstraccin y complejidad desde los nmnaturales hasta los nmeros complejos, pasando por enteros, racionales ySimultneamente, el desarrollo de los nmeros acompaa, y encuentmotivaciones, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes.



Introduccin

lgebra:este eje introduce al estudiante en el uso de smbolos para representar y operar con cantidades. El lgebra provee de un lenguaje a la Matemtica, por ende, contribuye y se nutre del desarrollo de los ejes de nmeros, geometra y datos y azar. Este eje introduce, tambin, la nocin de funcin y el estudio dealgunas de ellas en particular.

Geometra: este eje se orienta, inicialmente, al desarrollo de la imaginacinespacial, al conocimiento de objetos geomtricos clsicos y algunas de suspropiedades. En particular, propone relacionar formas geomtricas de dos y tresdimensiones, la construccin de figuras y de transformaciones de figuras. Adems,se introduce la nocin de medicin de figuras planas. Progresivamente seintroduce el concepto de demostracin y se ampla la base epistemolgica de lageometra, mediante las transformaciones rgidas en el plano, los vectores y lageometra cartesiana. De este modo, se da diferentes enfoques para el tratamiento de problemas en los que interviene la forma, el tamao y la posicin.

Datos y Azar:este eje introduce el tratamiento de los datos y modelos para el

razonamiento en situaciones de incerteza. Incluye los conocimientos y lascapacidades para recolectar, organizar, representar y analizar datos. Provee demodelos para realizar inferencias a partir de informacin muestral en variadoscontextos, adems del estudio e interpretacin de situaciones en las queinterviene el azar. Son tambin temas de estudio conceptos bsicos quepermiten analizar y describir procesos aleatorios, as como cuantificar laprobabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables y distinguir entre losfenmenos aleatorios y los deterministas.

Elrazonamiento matemtico, abordado transversalmente en los ejes anteriores,busca lograr aprendizajes referidos a la resolucin de problemas, formulacin deconjeturas y verificacin de la validez de los procedimientos y relaciones. De este

modo, la formacin matemtica y, por tanto, la propuestaMatemtica 2 Mediodebe apelar a las bases del razonamiento matemtico, incluyendo el desarrollo desus habilidades centrales, como la estimacin y aproximacin, el clculo mental, lacomunicacin, el uso de herramientas matemticas, la manipulacin aritmtica y algebraica, el manejo de informacin, clasificacin, comparacin, secuenciacin,anlisis de las partes y el todo, identificacin de patrones y relaciones, induccin,deduccin, visualizacin espacial y relaciones lgicas entre afirmaciones.

En cuanto a la resolucin de problemas especficamente, se debe promover eldesarrollo de habilidades referidas a la comprensin del problema, bsqueda,comparacin y puesta en prctica de caminos de solucin, el anlisis de los datos y de las soluciones, la interpretacin de los resultados en funcin del contexto, entreotras. La resolucin de problemas se debe trabajar en forma transversal a loscontenidos, considerando sus cinco componentes de forma interconectada:

Conceptos: se refiere al conocimiento matemtico bsico, necesario pararesolver problemas matemticos. En particular: conceptos numricos, geomtricos,algebraicos y estadsticos.



Habilidades:se refiere a las habilidades que se espera que los estudiantes capaces de desarrollar en cada contenido: estimacin y aproximacin, mental, comunicacin, uso de herramientas matemticas, manipulacin aritmtica y algebraica y manejo de informacin.

Procesos:se refiere al razonamiento y la heurstica involucrados en la reso

de problemas matemticos: Habilidades de razonamiento:clasificar, comparar, secuenciar, anlisis d

partes y el todo, identificacin de patrones relaciones, induccin, dedvisualizacin espacial y relaciones lgicas entre afirmaciones.

Heurstica para resolver problemas:simulacin, uso de diagramas o modellistado sistemtico, bsqueda de patrones, razonamiento en reversa, uconcepto de antes y despus, ensayo y error, hacer suposiciones, reforel problema, simplificar el problema y resolver parte del problema.

Actitudes:se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemplacer de hacer Matemtica, aprecio por la belleza y poder de la Matemconfianza en el uso de la Matemtica y perseverancia en la resolucinproblema.

Metacognicin:se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamipropio durante la resolucin de problemas. Se promueven instanciapermitan al estudiante: monitoreo constante y consciente de las estrateprocesos mentales usados al realizar una labor, bsqueda de maneras alterde realizar una labor y chequear cun razonable y apropiada es una respu

Considerando que elconocimiento matemticoforma parte del acervo cultural dla sociedad y es una disciplina cuya construccin emprica e inductiva surnecesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de lovariados mbitos; el aprendizaje de la Matemtica debe buscar conssistematizar y ampliar las nociones y prcticas matemticas que los alualumnas poseen, como resultado de su interaccin con el medio y lo realizlos niveles que lo precedan.

En este sentido, eldesarrollo de los contenidosdebe promover la conexin de loscontenidos previos con los nuevos contenidos, integrando el conocimientello, es necesario que el proceso de aprendizaje tenga una base en contsignificativos para los alumnos y alumnas, que permitan favorecer la compor sobre la mecanizacin de los procedimientos y el aprendizaje de reglasituaciones deben ser motivadoras y desafiantes para los y las estudiantes, caracterstica fundamental es que el contenido a estudiar sea necesarioenfrentar dichas situaciones. Luego de esta contextualizacin, es importante

el proceso inverso de descontextualizacin, de modo de sistematizar y ubiconceptos emergentes en el plano puramente matemtico.

En relacin con lo anterior, lasactividades de aprendizajeque se desarrollan en estapropuesta estn orientadas a facilitar, potenciar y reforzar la comprenaplicacin de los contenidos, de manera que los y las estudiantes profundizando en sus conocimientos. Estas actividades dan cuenta de dpropsitos:



Introduccin

Ejercitar los conceptos centrales, procedimientos y habilidades, permitiendo unareal apropiacin de los nuevos contenidos.

Abstraer los contenidos, es decir, ubicar las ideas matemticas surgidas encontextos de diario vivir o en la experimentacin, en el contexto matemticopertinente.

Generalizar los aprendizajes, aplicando los conceptos construidos a situacionesnuevas, reconociendo el valor de la Matemtica. Sistematizar los contenidos estudiados.

As mismo, las actividades propiamente colaborativas cobran especial relevancia,dando espacios para la exploracin, experimentacin y la investigacin, junto con lacomunicacin, confrontacin de ideas y fundamentacin de opiniones e ideas.

El sectorMatemtica tambin es concebido como una oportunidad para eldesarrollopersonal. En este sentido, es importante favorecer la confianza de los y lasestudiantes en sus propios procedimientos y conclusiones, una actitud positiva haciala Matemtica y la autonoma del pensamiento.

Del mismo modo, la enseanza de la Matemtica promueve, adems, el desarrollo delosObjetivos Fundamentales Transversalesde forma integrada con los contenidoscentrales, entre los cuales encontramos:

Aceptacin y valoracin de la diversidad etaria, cultural, socioeconmica, degnero, de condicin fsica, opinin u otras.

Respeto de la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberesde todas las personas.

Preservacin de la naturaleza y cuidado del medioambiente. Desarrollo de las habilidades del pensamiento.

La evaluacinen el sectorMatemticaconsidera tanto los procesos como losresultados de estos, siendo parte inherente del proceso de aprendizaje, de modoque las actividades de aprendizaje contemplan preguntas que promueven laevaluacin. Esta recoge los aprendizajes centrales y a su vez es desafiante para losalumnos y alumnas, midiendo destrezas, habilidades y conocimientos de diversasformas. Adems, considera diferentes propsitos, que se materializan enevaluaciones diagnsticas, formativas y sumativas, junto con promover instancias dereflexin sobre los propios procesos y sus resultados.

Finalmente, los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mnimos Obligatorios delsectorMatemticaincluyen el uso detecnologasdigitales, de Internet ysoftwaresespecializados. Estas tecnologas, adems de contribuir a presentar la Matemtica en

una mayor diversidad de medios y modos, de apelar a los intereses de los jvenesy de facilitar la exploracin y el estudio de procesos que requieren operacionesrepetidas, permiten tratar la Matemtica desde una perspectiva ms amplia y realista.De esta manera, las herramientas tecnolgicas, sitios web ysoftwares complementanel desarrollo, la comprensin y la aplicacin de los contenidos del sector.



FUNDAMENTOS DEL PROYECTO

La metodologa utilizada en la propuesta Matemtica 2 Medio tiene como puntode partida los fundamentos pedaggicos derivados de la Reforma EducacionalChilena y responde a las orientaciones generales planteadas en el Ajuste Curricular

y a los requerimientos generales para la elaboracin de Textos escolares deSegundo Ao Medio, presentados por el Ministerio de Educacin.

Los objetivos generales de nuestra propuesta son:

Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prcticas matemticas que losalumnos y alumnas poseen como resultado de su interaccin con el medio y lorealizado en cursos anteriores.

Enriquecer la comprensin de la realidad de los y las estudiantes, a travs delaprendizaje de conceptos y procedimientos matemticos, que les permitanintervenir activamente en ella.

Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamientomatemtico y de la resolucin de problemas, a travs de situaciones, problemasy desafos que favorezcan la integracin de diferentes dimensiones de laMatemtica.

Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la Matemtica,desarrollando el placer de hacer matemtica, el aprecio por la belleza y poder dela Matemtica, la confianza en el uso de la Matemtica y la perseverancia en laresolucin de problemas.

Los ejes metodolgicos en los que se sustenta nuestra propuesta son:

Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, en unnivel de complejidad creciente, segn las exigencias del subsector y nivelsealadas en los Ajustes Curriculares y en los Mapas de Progreso del Aprendizaje.

Presentar los contenidos en contextos significativos, que den cuenta de lanecesidad de utilizar el nuevo contenido.

Tratar los contenidos activando las experiencias y conocimientos previos de losy las estudiantes, promoviendo el razonamiento espontneo respecto del nuevocontenido. Conectar el contenido nuevo de manera explcita con contenidosprevios, profundizando e integrando el conocimiento.

Promover en los y las estudiantes la observacin y comprensin de los procesosinvolucrados, mediante la ejemplificacin y anlisis de los mismos. Incluir

justificaciones simples de los conceptos y procedimientos cuando sea pertinente. Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada

contenido, a travs de un discurso formal pero en un lenguaje adecuado al nivel

de los y las estudiantes. Proponer actividades variadas de ejercitacin de los contenidos, que permitan

naturalizar los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan convertirseen instancias de evaluacin permanente.

Proponer actividades de generalizacin de los aprendizajes, que promuevan laaplicacin de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas.

Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemtico y de la resolucin de problemas, como son la seleccin de los datos, la bsqueday puesta en prctica de estrategias de resolucin y la interpretacin de resultadosen funcin del contexto, de forma integrada con las actividades de aprendizaje.


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Los aprendizajes descritos en este mapa progresan considerando tres dimenque se desarrollan de manera interrelacionada:

Comprensin y uso de los nmeros: se refiere a la comprensin del significade los nmeros, la forma de expresarlos y los contextos numricos a lopertenecen, as como las aplicaciones y los problemas que los originarpermiten resolver.

Comprensin y uso de las operaciones: se refiere a la comprensin designificado de las operaciones, los contextos numricos en los que se realrelaciones entre ellas, as como sus propiedades y usos para obtener ninformacin a partir de informacin dada.

Razonamiento matemtico: involucra habilidades relacionadas con la selecaplicacin y evaluacin de estrategias para la resolucin de problemargumentacin y la comunicacin de estrategias y resultados.

El Mapa de Nmeros describe el aprendizaje en 7 niveles, que abarcan desdeAo Bsico hasta Cuarto Ao Medio. En estos 7 niveles, se describe una se

que los alumnos y alumnas recorren a diferentes ritmos. A continuacipresenta cada uno de estos niveles.

MAPA DE PROGRESO DE NMEROS

NIVEL DESCRIPCIN

NIVEL 7Sobresaliente

Comprende los diferentes conjuntos numricos, las relaciones entre ellos y los problemas que dieron origen. Comprende que en cada conjunto numrico se puede operar sobre la base de rego propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomaflexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinariutilizando diversas estrategias, y para formular conjeturas acerca de objetos matemticos. Utililenguaje matemtico para presentar argumentos en la demostracin de situaciones matemticas

NIVEL 6

Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los ncomplejos como una extensin del campo numrico y los utiliza para resolver problemas que nadmiten solucin en los reales. Usa las cuatro operaciones con nmeros complejos. Resuelveproblemas, utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategiutilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la valilos procedimientos o conjeturas.

NIVEL 5

Reconoce a los nmeros irracionales como nmeros decimales no peridicos que no pueden seescritos como fraccin entre dos nmeros enteros y a los nmeros reales, como la unin de losnmeros racionales e irracionales. Realiza las cuatro operaciones con nmeros reales en formaalgebraica, utilizando propiedades, e identifica el conjunto numrico al que pertenecen los resuUtiliza las potencias de base racional y exponente racional y sus propiedades, para simplificar y establece la relacin entre potencias y races. Resuelve problemas utilizando estrategias que idescomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. Argumenta susestrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsde conjeturas.


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Mapas de Progreso del Apre

Fundamentacin terica | 15

Extrado de: Mapas de progreso del aprendizaje.

Ministerio de Educacin. 20 de enero 2008. www.mineduc.cl/biblio.

NIVEL DESCRIPCIN

NIVEL 4

Comprende que todo nmero racional es un cuociente entre dos nmeros enteros y los utiliestimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes. Comprende la conexin encuatro operaciones en los nmeros racionales positivos y negativos. Utiliza la notacin cienpotencias de base racional y exponente entero y sus propiedades, para simplificar clculos. problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben erelaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los robtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemticas.

NIVEL 3

Reconoce que los nmeros naturales se pueden expresar como producto de factores y los exforma de potencias. Utiliza nmeros decimales positivos y fracciones positivas para ordenaestimar, medir y calcular. Utiliza nmeros enteros para cuantificar magnitudes, ordenar y coComprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones odecimales para calcular porcentajes simples. Comprende y realiza las cuatro operaciones codecimales y con fracciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en divcontextos que requieren reorganizar la informacin disponible. Argumenta sobre la validez procedimiento, estrategia o conjetura planteada.

NIVEL 2

Utiliza los nmeros naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimaComprende que las fracciones simples y los nmeros decimales permiten cuantificar las parobjeto, una coleccin de objetos o una unidad de medida y realiza comparaciones entre nmdecimales o entre fracciones. Multiplica y divide (por un solo dgito) con nmeros naturalecomprendiendo el significado de estas operaciones y la relacin entre ellas. Realiza estimacclculos mentales de multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simResuelve problemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los daestn necesariamente explcitos y requieren reorganizar la informacin del enunciado. Justiestrategia utilizada, explicando su razonamiento o verificando conjeturas a travs de ejempl

NIVEL 1

Utiliza los nmeros naturales hasta 1 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y ccantidades de objetos y magnitudes. Comprende que, en estos nmeros, la posicin de cadadetermina su valor. Realiza adiciones y sustracciones comprendiendo el significado de estasoperaciones y la relacin entre ellas. Reconoce que los nmeros naturales se pueden expresadiciones o sustracciones de dos nmeros naturales y descomponer en centenas, decenas y uRealiza estimaciones y clculos mentales de adiciones y sustracciones que requieren de estrsimples, con nmeros menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos familiaen que los datos estn explcitos y cuya estrategia de solucin est claramente sugerida en eenunciado. Describe y explica la estrategia utilizada.

Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a lasTIC. En relacin aellas, el ajuste curricular postula el fortalecer su presencia a travs de laincorporacin de las habilidades de uso de estas tecnologas como un quinto eje transversal. En ese sentido, elMapa de Progreso de las TICes considerado almomento de formular las actividades ya que, por un lado, nos muestra lo que losalumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, por otro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado.



El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones:

Tecnologa. Utilizacin de aplicaciones y generacin de productos que resulas necesidades de informacin y comunicacin dentro del entorno sociinmediato/ prximo (no virtual).

Informacin. Bsqueda y acceso a informacin de diversas fuentes virtuevala su pertinencia y calidad.

Comunicacin. Interaccin en redes virtuales de comunicacin, con apocreativos propios.

tica. Uso responsable de la informacin y comunicacin.

Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles y para cadaellos se describen variables e indicadores que sealan lo que los alumnos y sern capaces de realizar al finalizar ese nivel. Algunos de estos nivedimensin, son:

Nivel 51314 aos1 y 2 medio

Dimensin TecnologaNIVELES VARIABLES INDICADORES


Utiliza y combina distintos programas comoprocesador de texto, planillas de clculo,plantillas de presentacin y dispositivosperifricos para desarrollar productosmultimediales simples (glosario).

Transporta informacin con dispositivos auxiliare trabaja archivos en distintos programas.

Utiliza programas como el MindManager paraorganizar informacin.

Utiliza herramientas de productividad sin importael tipo de programas.


Utiliza y combina distintos programas comoprocesador de texto, planillas de clculo,plantillas de presentacin y dispositivosperifricos para desarrollar productosmultimediales simples (glosario).

Produce hipertextos. Traspasa/ incorpora video o sonido a

presentaciones Powerpoint. Incorpora movimiento en sus presentaciones. Graba y edita videos.

Nivel 41112 aos7 y 8 bsico

Utiliza diversos programas como procesador de texto, planillas de clculo y plantillas depresentacin, para escribir, editar y ordenar informacin, exportando informacin de unprograma a otro y de algunos dispositivosperifricos.

Exporta grficos a formato de procesador de texto. Utiliza cmara digital. Crea presentaciones con incorporacin de

movimiento en plantillas de Powerpoint. Vincula informacin en las presentaciones. Mezcla msica con imgenes estticas y en

movimiento en sus presentaciones. Utiliza el corrector ortogrfico.

Dimensin ComunicacinNIVELES VARIABLES INDICADORES


Participa en comunidades virtualesdesarrollando intereses particulares.

Participa activamente en redes de inters, conocediariamente lo que sucede en ella.

Publica informacin propia en plataformasvirtuales, como blogs, y retroalimenta a otros.

Mantiene actualizado su sitio (blog, fotologo pgina web).

Inicia debates virtuales.


Participa en espacios interactivos de sitios web,de debate e intercambio de informacin y produce documentos en forma colectiva.

Utiliza el control de cambios. Participa en foros de curso.



Mapas de Progreso del Ap

Recupera, guarda y organiza informacin endistintos formatos, extrada de sitios webrecomendados por el profesor, y navegalibremente en Internet. Identifica y utiliza loscriterios bsicos de evaluacin de lainformacin: la actualidad, autora y pertenencia.

Utiliza diversos buscadores electrnicos. Guarda URL que le interesan. Busca msica y videos en sitios especializados Busca elementos que le permiten analizar la va

de la informacin (autor, fecha y fuente). Busca fuentes de informacin en catlogos de a

materia o ttulo. Identifica en los datos de la URL la relevancia

inters del sitio (extensiones). Identifica fuentes primarias y secundarias. Diferencia hechos de opiniones.

Dimensin ticaNIVELES VARIABLES INDICADORES


Respeta las nomas ticas en su participacinen espacios virtuales. Reconoce y valora la transparencia y democratizacin de lainformacin de la red y hace extensivos losaccesos a su comunidad.

Guarda adecuadamente informacin confidenci Comparte informacin con su entorno. Participa en actividades de difusin de las

oportunidades de la red en su comunidad.


Conoce la regulacin legal de utilizacin delespacio virtual y las normas de seguridad dela red (claves, pirateo y hackeo) y aplicacriterios de buenas prcticas.

Conoce las consecuencias legales de interferiren la comunicacin on-line.

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Emplea buenas maneras al usar correo electrn(Netiquette).


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HABILIDADES DEL PENSAMIENTO

El trabajo en el aula de matemtica orientado al desarrollo de habilidades es importancia en el proceso de enseanza y aprendizaje, y se basa en la necesiformar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del

matemtico de forma autnoma y eficaz. De esta manera, las actividades a depor los alumnos y alumnas de Tercer Ao Medio, propuestas en el Texto pEstudiante y en la Gua Didctica para el profesor, buscan promover el desarestas habilidades mediante estrategias metodolgicas que propician su adquis

Para ello, tanto en las actividades como en los tems de evaluacin disead jugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el internacional de Tendencias en Matemtica y Ciencia 2003 (TIMSS), proyla Asociacin Internacional para la Evaluacin del Rendimiento Educativo las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberan manifealumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticacin demanifestacin vare en relacin con los cursos superiores o inferiores.

A continuacin, se presenta la descripcin de las habilidades consideradaspropuesta. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las prhabilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresin dconocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de conocimiento en la resolucin de problemas. No obstante, esta complejiddebe confundirse con la complejidad de la actividad o del tem de evaluaciesta tambin depende de la interaccin entre el contenido y la habilidad.

Recordar Recordar definiciones, vocabulario, unidades, hechos numricos, propiedades de los npropiedades de las figuras planas y convenciones matemticas.

Reconocer/Identificar

Reconocer o identificar entidades matemticas que sean equivalentes, es decir, reas dede figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equexpresiones algebraicas simplificadas y figuras geomtricas simples orientadas de modo

Calcular

Conocer procedimientos algortmicos para +, , , : o una combinacin de estas operacconocer procedimientos para aproximar nmeros, estimar medidas, resolver ecuaciones,expresiones y frmulas, dividir una cantidad en una razn dada, aumentar o dismincantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expralgebraicas y numricas y reunir trminos semejantes.

Usar herramientasUsar las matemticas y los instrumentos de medicin, leer escalas y dibujar lneas, figuras segn unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y comconstruir la mediatriz de una lnea, la bisectriz de un ngulo, tringulos y cuadrilteros.

ClasificarClasificar o agrupar objetos, figuras, nmeros, expresiones e ideas segn propiedades c tomar decisiones correctas con relacin a la pertenencia a una clase y ordenar nmeros y segn sus atributos.

RepresentarRepresentar nmeros mediante modelos; representar informacin matemtica de datdiagramas, tablas, cuadros y grficos, y generar representaciones equivalentes de una erelacin matemtica dada.

Formular Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones


20/194


21/194



Evaluacin en Matem

Conceptos y terminologa

3 puntos. Muestra un entendimiento del concepto o principio matemtico y una notacin y una terminologa adecuada.

2 puntos. Comete algunos errores en la terminologa empleada y muestraalgunos vacos en el entendimiento del concepto o principio.

1 punto. Comete muchos errores en la terminologa y muestra vacosconceptuales profundos.

0 punto. No muestra ningn conocimiento en torno al concepto tratado.

empleado, identificar los conceptos que maneja, los procedimientos que aplica y laactitud presentada frente al problema a resolver, adems, permite conocer el estadodel pensamiento matemtico de los y las estudiantes. Para establecer desde dnde y cmo se ve el conocimiento matemtico escolar, se parte desde una concepcin en lacual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental.

El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadasentre s mediante mltiples relaciones, que constituyen lo que se denominaestructura conceptual, donde los conceptos se unen o se relacionan, constituyendoconceptos de orden superior.

El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuacin o de ejecucin de tareas matemticas que van ms all de la ejecucin mecnica de algoritmos. En lse distinguen tres niveles: Destrezas:en el campo de la matemtica escolar se distinguen entre destrezas

aritmticas, geomtricas, mtricas, grficas y de representacin. Razonamiento en matemtica:conjunto de enunciaciones y procesos asociados

que se llevan a cabo para fundamentar una idea en funcin de unos datos opremisas y unas reglas de inferencia. Estrategias:formas de responder a una determinada situacin dentro de una

estructura conceptual, implica tener una gran dosis de creatividad e imaginacin.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIN

En el proceso de evaluacin es importante considerar distintos instrumentos quepermitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuacin, sepresentan algunos instrumentos que puede utilizar con sus alumnos y alumnas.

Evaluacin de mapas conceptuales

Los mapas conceptuales son un medio para visualizar conceptos y relaciones jerrquicas entre conceptos. Tienen por objeto "representar relaciones significativasentre conceptos en forma de proposiciones", es decir, dos o ms trminosconceptuales (conceptos) unidos por palabras y que en conjunto forman unaunidad con un significado.

Para evaluar y, eventualmente, calificar el trabajo de los y las estudiantes con los mapasconceptuales, Bartels propone tres categoras y para cada una establece cuatro criteriosde desempeo a los cuales le asigna un puntaje que se muestra a continuacin:



Habilidad para comunicar conceptos a travs del mapa concep

Conocimiento de las relaciones entre conceptos

3 puntos.

Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyenejemplos, colocando los conceptos en jerarquas y conexionesadecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dancomo resultado final un mapa que es fcil de interpretar.

2 puntos.Coloca la mayora de los conceptos en una jerarqua adecuadaestableciendo relaciones apropiadas la mayora de las veces, dacomo resultado un mapa fcil de interpretar.

1 punto.Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarqua apropiada yusa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando comresultado un mapa difcil de interpretar.

0 punto. Produce un resultado final que no es un mapa conceptual.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

3 puntos. Identifica todos los conceptos importantes y demuestra conocimiento de las relaciones entre estos.

2 puntos. Identifica importantes conceptos pero realiza algunas conexioerradas.

1 punto. Realiza muchas conexiones erradas.

0 puntos. Falla al establecer cualquier concepto o conexin apropiada.

Evaluacin de proyectos realizados por estudiantes

Considerar como punto de partida los intereses o motivaciones personamomento de plantear estrategias que permitan alcanzar logros en el aprenpermite plantear el conocimiento como un desafo ms atractivo y eficaz palas estudiantes.

La realizacin de proyectos estimula a los y las estudiantes a plantearse un ya que surge a partir de sus propios intereses o necesidades, por lo cuaprendizaje del tema investigado se hace ms significativo.La pauta siguiente establece tres reas de observacin respecto del trabajo de lestudiantes, en donde es importante observar y orientar su desempeo, a sabformulacin del proyecto, el desarrollo del proceso de investigacin y, por presentacin de los resultados.


24/194



Evaluacin de la comunicacin de procedimientos

En el proceso de enseanza-aprendizaje de laMatemtica, es indispensable lacomunicacin de los procedimientos realizados por los y las estudiantesresolucin de problemas.

La comunicacin en Matemtica es fundamental, ya que obliga a detenerse spropio pensamiento para precisarlo, justificarlo y clarificarlo. Informar realizado implica la reconstruccin de la accin realizada.

Para potenciar este proceso metacognitivo, en el cual sus alumnos y alumnaexplicitar el razonamiento aplicado, se sugiere aplicar una pauta como lapresenta a continuacin, la cual permite evaluar la exposicin oral de los resobtenidos en la resolucin de un problema matemtico.

PROBLEMA:

INTEGRANTES:

LOGRADO MEDIANAMENTELOGRADO

POR LOGRAR

Explica el problema.

Identifica y explica la pregunta del problema.

Explica claramente los procedimientos realizados en laresolucin.

Presenta ms de una solucin (en caso que sea posible).

Pregunta por otras soluciones a la clase.

Extiende el problema mediante la presentacin a la clase de unproblema nuevo derivado del presentado.

Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ser esta lanica manera de hacerlo?, es esta la nica respuesta posible?,qu pasa si...?

Responde las preguntas realizadas por la clase.

Se expresa en forma audible y clara.

Escucha las ideas de otras personas.

Fuente: adaptacin de documento extrado de www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm


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RAZONAMIENTO MATEMTICO Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS

En la interaccin con el entorno y con los otros, diariamente las personenfrentamos a situaciones problemticas necesarias de ser resueltas de la mms ptima. En la bsqueda de estas soluciones interactan la experien

creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resoproblema determinado se aprende tambin cmo actuar frente a nusituaciones que impliquen un desafo.

Consideraremos la resolucin de problemas como una modalidad didcticque el y la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas pexplorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizgenerar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, approcedimientos algoritmos u otros tpicos matemticos.

Esto se traduce en diferentes situaciones didcticas en las que el y la estuinteractuando con desafos especialmente diseados en un ambiente coopera

estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas dsituaciones pueden ser:

Exploraruna situacin problema con el objeto de acercarse a un concepgenerar procedimientos para buscar y reconocer una solucin.

Analizaruna situacin problema insuficientemente definida con el objeaprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que form

Investigaruna situacin con el objeto de reunir y sistematizar informaciinvolucre el uso de modelos matemticos.

En nuestra propuesta, el trabajo de razonamiento matemtico y resoluciproblemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera

componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitumetacognicin.

Conceptos: se refiere al conocimiento matemtico bsico, necesario resolver problemas matemticos.

Habilidades:se refiere a las aptitudes que se espera que los y las estudiantescapaces de desarrollar en cada contenido.

Procesos:se refiere al razonamiento y la heurstica involucrados en la resode problemas matemticos.

Actitudes:se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemt Metacognicin:se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensami

propio durante la resolucin de problemas.


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VERIFICACINDERESULTADOSY/OPROGRESOS

No revisa clculos niprocedimientos.

No reconoce si surespuesta es o norazonable.

Revisa clculos y procedimientos.Puede investigar razones si existen

dudas.

Chequea racionalidad de los resultados.Reconoce sin razones.

NO COMPRENDE EN PROCESO, LOGRO PARCIAL LOGRO, APLICACIN

COMPRENSINDEL PROBLEMAO DE LASITUACIN

No intenta entender el problema.

Entiende malel problema.

Como rutina pideexplicaciones.

Copia el problema.Identifica palabras clave.Puede que mal interprete parte

del problema.Puede que tenga alguna idea acerca

del problema.

Puede expresar en sus propias palabras ointerpretar coherentemente el problema.

Comprende las condiciones principales.Elimina la informacin innecesaria.Tiene una idea acerca de la respuesta.

COMPRENSINDECONCEPTOS

No modela losconceptos rutinarioscorrectamente.

No puede explicar el concepto.

No intenta resolver el problema.

No hace conexiones.

Demuestra un entendimiento parcialo satisfactorio.

Puede encontrar y explicar usandouna variedad de modos.

Est listo para hacer conexionesacerca de cmo y por qu.

Relaciona el concepto conconocimientos y experiencias anteriores.

Puede crear problemas relacionados.Realiza las tareas cada vez con

menos errores.

Aplica correctamente reglas o algoritmoscuando usa smbolos.

Conecta cmo y por qu.Aplica el concepto a problemas o

situaciones nuevas.Hace y explica conexiones.Realiza lo pedido y va ms all.

MEDICIN(LONGITUD,MASA YCAPACIDAD)

Hace comparacionesdirectas entre objetos.

No puede ordenar

objetos de acuerdo asu medida.No distingue diferencias

entre distintas unidadesde medida.

Puede ordenar y comparar usandounidades no estndares.

Puede estimar y medir usando

unidades no estndares.Puede resolver algunos problemasrelacionados con medida.

Puede estimar y medir usando unidadesestndares.

Puede utilizar incrementos fraccionarios

para medir.Puede resolver problemas relacionados.

Hace conjeturas pocorealistas.

No usa estrategias pararefinar la estimacin.

No puede modelar oexplicar la estrategiaespecificada.

No puede aplicar estrategias unidas aexplicaciones.

Refina conjeturas o estimacionesmediante particiones/comparaciones.

Demuestra poseer estrategias,otras le faltan.

No puede modelar o explicar laestrategia cuando le preguntan.

Refina conjeturas o estimacionesmediante particiones y comparaciones.

Puede modelar, explicar y aplicar unaestrategia cuando le preguntan.

Demuestra poseer estrategias.Usa estimacin cuando es apropiado.

contina en la sgte. pg.

Para evaluar la resolucin de problemas, se propone la siguiente tabla que eslos indicadores de logro de acuerdo a cada etapa de la resolucin de problem



Resolucin de problem

NO COMPRENDE EN PROCESO,LOGRO PARCIAL LOGRO, APLICACIN

RECOLECCIN YORGANIZACINDE DATOS

No hace planteamientos.No puede proceder sin

instrucciones ni asistencia.Comete graves errores alrecolectar o mostrar datos.

Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma de

registrarlos.Tiene errores menores alrecolectar y desplegar datos.

Puede corregir errores enmomentos crticos.

Puede recolectar y desplegar eforma organizada.

Clasifica en forma exacta y apropiada.

INTERPRETACINY SNTESIS DERESULTADOS

No hace planteamientos pararesumir y describir datos.

Puede responder preguntassimples relacionadas con losdatos, si es requerido.

No puede comunicar resultadosen forma rudimentaria.

Resume y describe datosapropiadamente.

Puede generar una respuestaa una pregunta relacionadacon los datos.

Puede comunicar resultados enforma rudimentaria.

Expresa conclusiones einterpretaciones vlidas.

Hace generalizaciones.Comunica resultados en forma

clara y lgica.

APLICACIN DECONCEPTOS,PROCEDIMIENTOSY ESTRATEGIAS

No intenta.Se apoya en otros para

seleccionar y aplicar estrategias.Su trabajo no es comprensible.No puede explicar su trabajo o

estrategia adecuadamente.Selecciona estrategias

inadecuadas.Su implementacin no es lgica

ni ordenada.

Usa estrategia si se lo piden.Reconoce estrategias.Puede explicar estrategias.Usa un limitado nmero de

estrategias.Puede seleccionar una

estrategia, pero puede necesitar ayuda en su implementacin.

Puede presentar su trabajo enuna forma aceptable.

Genera nuevos procedimientoExtiende o modifica la estrategConoce o usa diversas

estrategias.Usa estrategias en forma flexibReconoce cuando una

estrategia es aplicable.Presenta su trabajo en forma

lgica y coherente.

DISPOSICIN(VALORES YACTITUDES)

Demuestra ansiedad o disgusto.Se retira o es pasivo durantela clase.

Cede fcilmente y se frustraen la clase.

Necesita un apoyo frecuente,atencin y retroalimentacin.

Se aplica a la tarea.Participa activamente en lasactividades de aprendizaje.

Esta dispuesto a intentarnuevos mtodos.

Responde si le preguntan, peropuede que no tome la iniciativa.

Demuestra confianzaen su trabajo.Es persistente cuando intenta

varios enfoques.No se da por vencido.Es curioso, muestra flexibilidaHace muchas preguntas.

GENERALIZACIN YCONEXIONES

No intenta hacer conexiones.No puede extender ideas en

nuevas aplicaciones.Hace el mnimo esperado.

Puede reconocer problemas oaplicaciones similares.

Hace conexiones.

Propone y explora conexionesPuede crear problemas paralelo

variando las condiciones delproblema original.

Puede aplicar ideas en nuevasaplicaciones.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htmFuentes consultadas: Chamorro, C.El aprendizaje significativo en el rea de matemticas .

Alambra Longmam. Madrid. 1991. Stemberg, R.; Spears-Swerling, L. La comprensin de los principios bsicos y de las dificultades de ensear a pensar

Teaching for thinking , trad. De R. Llavori. Ensear a pensar, Santillana, Madrid, 1996. www.educarchile.cl/planificaccion/1610/propertyvalue-42121.html


31/194



Relacin entre los CMde Educacin Medi

RELACIN ENTRE LOSCMODE EDUCACINMEDIA, EJELGEBRA, SEGN AJUSTE CURRICULAR

E s t a b l e c

i m i e n t o

d e r e

l a c i o n e s e n

t r e e x p r e s i o n e s

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b r a i c a s n o

f r a c c i o n a r i a s m e d

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d e p a r n t e s

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e d u c c i

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d u c t o s n o

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f a c t o r i z a c

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R e s o

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d e f r m u l a s .

A n

l i s i s d e l a s

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t a c i o n e s

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i n

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d i r e c t a .

U s o

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d e l a f u n c

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d e l a s v a r i a c i o n e s g r

f i c a s q u e s e

p r o d u c e n p o r

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i f i c a c i

n d e s u s p a r

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1 M E D I O

R e s o

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d e s i t u a c i o n e s e n

l a s q u e s e a

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e s t a r , m u l

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b r a i c a s s i m p l e s , c

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d e n o m

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P l a n

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d o s

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d e l a s s o l u c

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d o u n s o

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R e s o

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d e p r o

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d e e c u a c i o n e s l i n e a

l e s c o n

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c o n t e x

t o s v a r i a

d o s .

D i s c u s i

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l u c i o n e s .

2 M E D I O

R e s o

l u c i

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d e s e g u n d o g r a

d o

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d e

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n t e r p r e t a c

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d e s u p e r t e n e n c i a

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D e d u c c i

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d e l a f r m u l a

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n g e n e r a l

d e s e g u n d o g r a d o y

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d e s u s r a

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R e p r e s e n t a c

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2 + b x

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d e l a s c o n d

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d e l a f u n c

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U s o

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M o

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R e s o l u c

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d e s e g u n d o g r a d o c o n u n a

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c o n t e x

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p r o

b l e m a .

3 M E D I O



RELACIN ENTRE LOSCMODE EDUCACINMEDIA, EJEGEOMETRA, SEGN AJUSTE CURRICULAR

I d e n

t i f i c a c

i n

d e l p l a n o c a r t e s

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p a r a r e p r e s e n

t a r p u n t o s y

f i g u r a s g e o m

t r i c a s .

C o n s t r u c c

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d e f i g u r a s g e o m

t r i c a s e n e

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.

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p o l g o n o s .

N o t a c

i n y r e p r e s e n

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d e v e c t o r e s

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t r i c a s

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d e t r a s

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M E D I O

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t e r i z a c

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s e m e j a n

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I d e n

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l i s i s d e l a

s e m e j a n z a e n

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d e t r a z o s e n e l

t r i n g u l o

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l e s .

D i v i s i n

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t r i c o p a r a v e r

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A p l

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2

M E D I O

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3 M E D I O


34/194



Organizacin interna del Texto

ESTRUCTURA DELTEXTO

El TextoMatemtica 2 Mediose organiza en 6 Unidades, con los siguientes ttu

TextoMatemtica 2 Medio

Unidad 1: Nmeros y racesUnidad 2: Expresiones algebraicas fraccionariasUnidad 3: Sistemas de ecuaciones linealesUnidad 4: SemejanzaUnidad 5: CircunferenciaUnidad 6: Datos y azar

ORGANIZACIN DELTEXTO

Cada Unidad tiene tres momentos pedaggicos:Inicio, Desarrolloy Cierre

En elIniciose considera:

Entrada de Unidad:en estas pginas se explicitan los aprendizajes quespera que logren los y las estudiantes con el desarrollo de la unidapresentan actividades de motivacin y activacin de experiencconocimientos previos.

Cunto sabes?: actividades de evaluacin diagnstica que permitir evlos contenidos que son prerrequisitos de la Unidad.

Qu debes recordar?Resumen de los principales conceptos que servide base para el aprendizaje que se espera lograr en la Unidad.

En elDesarrollose considera:

Pginas de Contenidos: incluyen variadas actividades de exploracactivacin del razonamiento espontneo de los estudiantes, construcaplicacin de los contenidos, mediante ejercicios resueltos, procedimdemostraciones, etc. Incluye una seccin que define, describe o formaconceptos tratados.

En estas pginas, la informacin se complementa con las siguientes se

Herramientas tecnolgicas: seccin con actividades para trabajar ccalculadora, planillas de clculo,software o programas ocupacionales.

Mi progreso: consiste en un listado de actividades que permitiralumno evaluar su progreso en el logro de los aprendizajes.

Cmo voy?: tabla que contiene los indicadores de logro y actividades relacionadas con cada uno, de modo que el alumno y apueda autoevaluarse.


36/194Organizacin interna del Texto | 35

Organizacin del Tex

Adems, el tratamiento del contenido incluye la siguiente informacin secundaria:

Recuerda que...: permite recordar contenidos o procedimientos aprendidosen aos anteriores que sean necesarios para desarrollar las actividades aresolver.

No olvides que...: permite enfatizar la revisin continua de sus procedimientos,anlisis de la pertinencia y consistencia de las soluciones encontradas respectodel contexto, etc.

Glosario: permite incorporar vocabulario matemtico.

Para la consolidacin del aprendizaje, se presentan las siguientes secciones:

Cmo resolverlo: seccin orientada a presentar problemas resueltos, demanera que el y la estudiante aprenda distintas estrategias de resolucin. En cada

pgina, se plantea un problema resuelto paso a paso (comprender, relacionar,calcular, comprobar) y se presentan problemas en los que pueda aplicar loaprendido.

En terreno: seccin orientada a aplicar lo aprendido en la unidad en un contextode ndole laboral, con variada informacin, de modo que parte de la dificultadpara el alumno y alumna sea discernir qu informacin le es til para responder las preguntas.

Investiguemos: contiene las indicaciones para realizar un trabajocolaborativo, basado en la temtica de la seccin anterior, perosolicitando investigacin adicional de parte de los alumnos.

Evaluemos nuestro trabajo: consiste en preguntas para realizar laautoevaluacin y la coevaluacin respecto del trabajo colaborativorealizado.

En elCierre se considera:

Sntesis de la Unidad: sntesis de los contenidos tratados en la unidad a travs de mapas conceptuales; incluye un listado de preguntas deverdadero o falso, enfocadas a contenidos conceptuales y problemas dedesarrollo o aplicaciones de los contenidos tratados.

Evaluacin de la Unidad: seccin de evaluacin sumativa. Consiste en unlistado de preguntas de seleccin mltiple.



La Gua para el Profesor est organizada a partir de las siguientes secciones

Propsito de la unidad:en esta se entrega una orientacin sobre el trabajo qse debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la unidad. Propuesta de planificacin de la unidad:en una tabla se organizan los contenido

mnimos obligatorios, los contenidos de la unidad, aprendizajes esprecursos didcticos, tipos de evaluacin y el tiempo estimado para el desde la unidad.

Esquema de la unidad:en un organizador grfico se presentan los conteni trabajados en la unidad.

Bibliografa:se presentan distintos recursos bibliogrficos que pueden apocon el trabajo de los contenidos de la unidad.

Adems, de acuerdo con los momentos didcticos considerados en cada unid

distinguen:

Pginas de INICIO

Informacin complementaria para docentes:se dan indicaciones que permitenorientar la activacin de conocimientos previos de los y las estudiantrespecto a los contenidos de la unidad.

Actividades complementarias:se presentan actividades que complementan ldel Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje.

Evaluacin diagnstica:esta seccin tiene como objetivo orientar la evaluacde las actividades propuestas en la seccin CUNTO SABES? del TextoEstudiante, a travs de una rbrica que permitir medir el nivel de logpresentan sus alumnos y alumnas respecto de los aprendizajes adquiridaos anteriores. Adems, se presentan los criterios de evaluacin por cady se incluye un cuadro en el que se detallan las habilidades que se evalcada actividad.

Posibles dificultades en la evaluacin y remediales:se indican las posiblesdificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluacin diagnpresentada en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitar

Pginas de DESARROLLO

Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto:se especifican lashabilidades que se trabajan en cada actividad.

Organizacin de la Gua Didctica


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Organizacin de la Gua D

Informacin para el docente:se dan sugerencias metodolgicas e indicacionescon respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, usode recursos, etc., para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidadesen los y las estudiantes. Adems, se plantean sugerencias o aclaracionesespecficas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades,

formalizaciones, etc. Variantes metodolgicas:para los temas ms complejos se presentan sugerenciasy estrategias distintas a las presentadas en el Texto para el Estudiante, de manerade asegurar el logro de aprendizajes de estudiantes con distintos ritmos y formasde aprendizaje.

Actividades complementarias:se plantean actividades que permitan reforzar y/oampliar el contenido y las habilidades que se estn trabajando.

Errores frecuentes:se indican las posibles dificultades que pueden tener susestudiantes en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

Mi progreso:esta seccin tiene como objetivo orientar la evaluacin de lasactividades propuestas en la seccin MI PROGRESO del Texto para el Estudiante,a travs de una rbrica que permitir medir el nivel de logro que presentan los y las estudiantes de los aprendizajes adquiridos hasta ese momento. Adems, sepresentan los criterios de evaluacin por cada tem y se incluye un cuadro en elque se detallan las habilidades que se evalan en cada actividad.

Posibles dificultades en la evaluacin y remediales:se indican las posibles dificultadesque pueden tener sus estudiantes en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

En terreno:se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de estaseccin y actividades complementarias que potencian el establecimiento devnculos entre los contenidos matemticos trabajados y la realidad.

Pginas de CIERRE

Sntesis:en esta seccin, se entregan sugerencias para organizar y sintetizar loaprendido y se proponen preguntas que permitirn detectar y clarificar las dudasque an presenten sus estudiantes.

Evaluacin:se orienta la evaluacin de las actividades presentadas en la seccinEVALUACIN DE LA UNIDAD, permitiendo evaluar los logros alcanzados por sus alumnos y alumnas en la unidad.

Posibles dificultades en la evaluacin y remediales:se indican las posiblesdificultades que pueden tener sus estudiantes en la evaluacin presentada en elTexto para el Estudiante y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos.

Ejercicios resueltos:en esta seccin, se plantean orientaciones para trabajar laresolucin de problemas.

Evaluacin fotocopiable:esta seccin tiene como objetivo orientar la aplicacinde un instrumento de evaluacin sumativa que puede fotocopiar y aplicar a susestudiantes al finalizar la unidad. Adems, se incluye una pauta que incorpora lashabilidades que evala cada tem y los puntajes otorgados.


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Ecuacioneslogartmicas

Propiedades

Concepto

38 | Unidad 1 Gua Didctica Matemtica 2 o Medio

1UnidadNmeros

y racesPROPSITO DE LA UNIDAD

En esta unidad, se profundizan y amplan los conocimientos adquiridos en aos anteriores por losalumnos y alumnas en relacin al estudio de los conjuntos numricos. Los nmeros irracionales seintroducen a travs del concepto de nmeros decimales infinitos no peridicos ni semiperidicos. Deaqu se deduce que no es posible escribir un nmero irracional como un cuociente entre dos racionales.Como parte de los nmeros irracionales, son estudiadas las races ensimas y sus propiedades, parala resolucin de operatoria con races y su relacin con potencias de exponente fraccionario. Los y las estudiantes aprendern a estimar races cuadradas no exactas. Adems, utilizando las propiedadesde las races, podrn calcular algunas cuando estas resulten ser nmeros enteros. Por otro lado, losalumnos y alumnas trabajarn en esta unidad con las ecuaciones que contienen races , aprendern aresolverlas e interpretar sus soluciones. Tambin se estudiar el concepto de logaritmo, sus propiedadesy su relacin con las potencias adems de la resolucin de ecuaciones logartmicas y algunas de susaplicaciones en la ciencia como son, por ejemplo, la medicin del pH de una sustancia, la energa liberadadurante un sismo o el clculo del nivel de intensidad sonora.

A lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicacin con el propsito de que los y las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseados en diferentes contextos

matemticos y cotidianos.

A continuacin, se presenta esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Aplicaciones

Nmeros irracionales Logaritmos

Aproximacin

Nmeros y races

Orden

Ubicacin en larecta numrica

Races

Operaciones

Propiedades Potencias

Ecuacionescon radicales


40/194


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Pginas de entradaPGINAS12 - 13

En la imagen se muestra la presencia de la famosa sucesin de Fibonacci en lanaturaleza, y con esto puede comenzar a conversar sobre los nmeros irracionales,su importancia y su presencia en diferentes mbitos, como, por ejemplo, en elarte, en la geometra y en la economa, entre otras.

El nmero irracional e , tambin est presente en diversos mbitos; por ejemplo,en Economa, se utiliza para explicar modelos econmicos predictivos; enBiologa, para explicar el crecimiento de las poblaciones; en Salud, para estudiar enfermedades de carcter epidmico, etc.

Tambin podra conversar sobre otro nmero irracional muy interesante y atractivo,el nmero de oro . Este nmero tambin est relacionado con la sucesin deFibonacci. Por ejemplo, si dividimos dos nmeros consecutivos de la sucesin deFibonacci (el mayor dividido por el menor), el resultado de aproximar cada vez msal nmero de oro a medida que utilizamos nmeros ms grandes de la sucesin.Este nmero es tambin encontrado en diversas manifestaciones de la naturaleza y de las proporciones humanas, adems ha sido utilizado en muchas obras de arte,como, por ejemplo, en las de Da Vinci y Dal.En el libro El Cdigo Da Vinci, de Dan Brown, se dedican varias pginas a lasmaravillas del nmero . Sera interesante que leyera o invitara a leer a susestudiantes algunas pginas de este libro. Las pginas que hacen referencia alnmero de oro son: 117 - 126.Tambin, en el magnfico libro de H.S.M. Coxeter, Fundamentos de geometra ,Editorial Limusa. Mxico. 1971. El captulo 11 del libro est totalmente dedicado al

tema. Puede encontrar all breves discusiones histricas y aplicaciones a la morfologade las plantas, adems de problemas relacionados y algunas de sus soluciones.

Ms informacin sobre el nmero puede encontrar en los siguientes sitios.http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htmhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/index.htmlRecuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Evaluacin diagnsticaPGINAS14 - 15

En estas pginas, se presenta una evaluacin diagnstica que permitir medir elnivel de conocimiento que tienen los y las estudiantes acerca de los contenidosde esta unidad.Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta unaevaluacin diagnstica con el ttulo Cunto sabes? , que incluye los siguientes criterios:

tem 1:descomponer nmeros como producto de factores primos.tem 2:determinar si las igualdades dadas son verdaderas.tem 3:calcular expresiones aplicando propiedades de las potencias.tem 4:resolver problemas aplicando potencias.tem 5:calcular expresiones aplicando propiedades de las races.

4 Aplicar y calcular.

5 Conectar y calcular.

Cunto sabes?tem Habilidades quese evalan

1, 2 y 3 Calcular.

Revise el hipertexto, para queconozca l

Documents

2Medio_2011_Profesor.pdf