2ºSec-Libro-01-Trigonometria.pdf

Prof. Iván Villanueva pág. 1

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

OBJETIVOS – Reconocer un sistema de medición angular – Establecer la relación correcta entre los sistemas de medición angular. – Aplicar correctamente la conversión entre la unidad y las sub–unidades del sistema sexagesimal

MOTIVACIÓN:

LA ASTRONOMÍA ANTIGUA

LOS MODELOS GEOCÉNTRICOS El interés por los astros se remonta a las primeras civilizaciones humanas, como lo demuestra el hecho de que en algunos grabados rupestres se hayan encontrado representaciones de estrellas. Posteriormente, con el advenimiento de la agricultura, la humildad se interesó por el estudio del firmamento a fin de medir el tiempo y establecer los primeros rudimentos de calendario para poder predecir con antelación la llegada de las épocas convenientes para las faenas agrícolas. Los primeros conocimientos astronómicos aparecieron en Mesopotamia, con centro en Babilonia. Sentaron las bases de una ciencia que luego se transmitió a la India y a Egipto, En Alejandría, capital del imperio de Alejandro Magno, floreció una sociedad avanzada que valoraba el saber y las culturas de todo el mundo conocido. En su famosa Biblioteca se creó un importante núcleo de filósofos que prestaron especial atención al estudio de los astros. En este ambiente propicio Aristarco ya propuso un modelo heliocéntrico, con el Sol en el centro del sistema; aunque acabó triunfando la concepción geocéntrica, defendida por Hiparco y Tolomeo. Entretanto, Erastóstenes había medido el diámetro de la Tierra obteniendo un valor muy semejante al real. Claudio Tolomeo fue el gran compilador del saber astronómico de su tiempo plasmado en la obra Gran Síntesis Matemática (siglo II d.C.), también conocida como Almagesto. Recogía previsiones sobre el movimiento de las astros y los eclipses y un catálogo de estrellas realizado siglos antes por Hiparco. A tolomeo se debe la amplia difusión de la teoría geocéntrica (que suponía a la Tierra en el centro del Universo, con todos los astros girando a su alrededor en ocho esferas concéntricas), y que fue aceptada como válida hasta la llegada de Copérnico en el s. XVI. Otras civilizaciones, como la china, siguieron de forma independiente caminos parecidos en cuanto a sus conocimientos astronómicos. Quien no se ha puesto a pensar, que todos los que nos rodea, está compuesto por figuras geométricas, sí nos imaginamos las líneas de un tren no hace recordar una “Línea recta”.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO. Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de su origen: desde una posición inicial hasta una posición final. La amplitud de la rotación es la medida del ángulo trigonométrico, la posición inicial del rayo se llama lado inicial; la posición final se llama lado terminal y el origen del rayo es el vértice del ángulo.

Elementos: O : vértice del ángulo OA : Lado inicial OA' : Lado terminal : medida del ángulo trigonométrico. Características

1. Sentido.- De acuerdo al sentido de rotación del rayo el ángulo trigonométrico puede ser:

a. Positivo.- Cuando el sentido de rotación es

contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (antihorario).

b. Negativo.- Cuando el sentido de rotación es

horario.

A’

AO

AO

A

AO

A


2. Magnitud.- Un ángulo trigonométrico puede adoptar cualquier magnitud, dependerá de la rotación que se genere.

: medida de un ángulo trigonométrico.

OBSERVACIÓN 1. El ángulo generado al coincidir por primera vez al

lado inicial y el lado terminal se denomina ángulo de una vuelta. Si bien la rotación puede ser en sentido horario o antihorario: consideramos al ángulo positivo cuando hablemos del ángulo de un a vuelta.

Ángulo de una vuelta (1). 2. Para sumar o comparar ángulos trigonométricos:

estos deben tener el mismo sentido. 3. Al cambiarle de sentido a un ángulo

trigonométrico: este cambia el signo de su valor. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Los más usados son: 1. Sistema sexagesimal. También llamado sistema

inglés; su unidad es el grado sexagesimal que representa al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales.

Unidad: (1º): grado sexagesimal Subunidades. (1’) : minuto sexagesimal (1”) : segundo sexagesimal EQUIVALENCIAS: < > Equivale a:

Nota: Pero por comodidad en lugar del símbolo (< >) se suele utilizar el símbolo (=), esto es lo que utiliza.

Ejemplos: 1. R = 4º + 6º = 10º 2. C = xº + 3º = (x+3)º

3. M = 4º 2º2

4. L = 6º 32

5. F = 32º–17º=15º

EJEMPLO (1): Convertir 3º a minutos Resolución: Recordar: 1º= 60 '

60'3º 180 '

1º

EJEMPLO (2): Convertir 5º 30' a segundos Resolución: Recordar:

1º 3600 ''1' 60 '

3600 ''5º 18000 ''

1º60 ''

30 ' 1800 ''1'

5º 30 ' 18000 '' 1800 '' 19800 ''

NOTACIÓN:

Aº B'C '' Aº B' C '' Dónde: B, C < 60

AO

A’

Ao

A’

360partesiguales

1º1º

1º < > 60’ 1’ < > 60’’

1º = 60’ 1’ = 60’’

Grados Minutos Segundos

x 3600

Regla De Conversión

60 60

x 60 x 60

3600

m 1v 1º360

m 1v 360º


2. Sistema Radial.- También llamado sistema circular o internacional su unidad es el radian: que representa el ángulo de una vuelta dividido en 2 partes iguales:

m 1v 1rad2

Unidad: (rad) : radián; 3,1416

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Los sistemas sexagesimal y radial están relacionados mediante una fórmula de conversión:

m 1vuelta 360 2 r ad

Sea “S” la medida de un ángulo “ ” en sexagesimales Sea “R” la medida de un ángulo “ ” en radianes.

S R S R360 2 180

Donde: S : Número de grados sexagesimales R : Número de radianes Cada uno de los números anteriores es para un

mismo ángulo, conocido también como números convencionales.

EJEMPLO (1)

Convertir r ad3

a grados sexagesimales.

Resolución:

S

R r ad3 180

3 180

S 603

r ad 60

3

EJEMPLO (2) Convertir 75° a radianes. Resolución:

575 R 75

S 75 R180 180

12

5R r ad

12

MÉTODO PRÁCTICO: 1. Para convertir grados sexagesimales a radianes;

multiplicamos por

r ad180

.

EJEMPLO: Convertir 45º a radianes.

45 . r ad r ad

180 4

2. Para convertir radianes a grados sexagesimales,

multiplicamos por

EJEMPLO: Convertir r ad5

a grados sexagesimales

180

5

36

1. Convertir a minutos sexagesimales A) 20° B) 30° Rpta:............................................................ 2. Convertir a segundos sexagesimales A) 5’ B) 10’ Rpta:............................................................

3. Convertir a minutos sexagesimales A) 5º 4’ B) 4º 30’ Rpta:........................................................... 4. Convertir a segundos sexagesimales A) B) Rpta:............................................................

NOTA.- En este sistema no existe subunidades solo hay radianes.


5. Convertir a grados sexagesimales A) 480' B) 1080’ Rpta:............................................................ 6. Calcular las siguientes operaciones: A) 20 25' 25 20' A) 80 30' 20 45' Rpta:............................................................ 7. Calcular: a°b’+b°a’ Si: A) a b 12 B) a b 30 Rpta:............................................................ 8. Calcular “” si:

Rpta:............................................................. 9. Calcular “x” si:

Rpta:............................................................. 10. Señale falso (F) o verdadero (V)

a) 30º rad6

( )

b) 515º rad12

( )

Rpta:............................................................. 11. Calcule a+b

Si: 2 rad ab º5

Rpta:.............................................................

12. Calcule en radianes

Rpta:............................................................. 13. Convertir a minutos 9º 15’ Rpta:............................................................ 14. Convertir a segundos 2º15’ Rpta:............................................................ 15. Calcular en radianes

Rpta:............................................................ 16. Si a+b=42 Calcule aºb’+bºa’ Rpta:............................................................ 17. Calcule: U+N+C+P

132 RAD UNCP º8

Rpta:............................................................ 18. Simplificar:

120º 270ºF2 3rad rad3 2

Rpta:............................................................

x

75º

54º


19. Calcule “” en grados sexagesimales

Rpta:............................................................

20. Expresar rad64

en grados, minutos y segundos

sexagesimales. Rpta:............................................................

1. Convertir a minutos 12º 58’ A) 778’ B) 770’ C) 750’ D) 520’ 2. Si: a+b=90 Calcular: aºb ' bºa ' A) 90º 31' B) 91º 30 ' C) 90º 30' D) 91º 31' 3. Calcular “” en radianes:

A)

2 rad5

B)

rad3

C)

rad10

D)

rad5

4. Calcular: a+b si: rad ab º

5

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12

5. Calcular 135º

Erad

2

A)12

B) 32

C) 23

D) 16

35°

10

rad.

72º


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I

OBEJTIVOS

– Definir y calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo en el triángulo rectángulo. – Estudiar, deducir y familiarizarse con las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. - Aplicar a casos de la vida práctica los conceptos sobre razones trigonométricas.

MOTIVACIÓN: ORIGEN DEL TÉRMINO “SENO“

Por el año 500, después de n.e., los matemáticos de la India empezaron a

considerar el movimiento de una recta que gira en sentido contrario al de

las manecillas del reloj alrededor de un punto fijo, y a medir las

longitudes de las semicuerdas o perpendiculares trazadas desde el

extremo de la recta (en diversas posiciones de su movimiento) a la

posición inicial de ella. (Véase la primera figura). Esa recta se conoce

hoy en día como radio vector o “radio movimiento” (del latín: vector,

“portador”, de vehor, “muevo”; compárese con “vehículo”). Por esta razón la longitud de la semicuerda se asoció a un

ángulo, el ángulo determinado por el giro de la recta.

Los indios dieron el nombre de jva a dicha semicuerda, nombre que en hindú significa cuerda. La palabra pasó al

árabe como jiba y más tarde se confundió con la palabra árabe jaib debido probablemente a que las palabras en árabe

se escribían frecuentemente sin vocales y por ser iguales las consonantes de ambas jiba y jaib, es decir jb. Sin embargo,

la palabra jaib no tiene relación alguna con la longitud de la semicuerda ya que significa la abertura en el cuello de una

prenda de vestir. Pese a ello, los árabes tomaron la costumbre de designar a la semicuerda por medio de dicha palabra

jaib sin sentido, que hacía referencia a un “doblez” o “curva”. Por este tiempo, los matemáticos europeos se

familiarizaron con la palabra árabe referente a semicuerda y tradujeron jaib por la palabra sinus que significa “doblez”

o “curva”. Dicho error se ha perpetuado en nuestra palabra seno. Así pues, originalmente el seno de un ángulo

representaba la longitud de la semicuerda de una circunferencia de un radio uno. En nuestros días, como pronto

veremos, cuando hablamos del seno de un ángulo, no hablamos de una longitud.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE ÁNGULOS AGUDOS RAZÓN Es el resultado de comparar dos cantidades mediante la división de dichas cantidades. Ejemplo: Calcule la razón entre los números 20 y 50. Resolución Primer número: 20 Segundo número: 50

Razón(r) = 20 0.450

TRIÁNGULO RECTÁNGULO Para el triángulo rectángulo ABC (C=90°) mostrado:

se define lo siguiente: • a y b catelos • c hipotenusa • Teorema de Pitágoras: El cuadrado de la longitud

de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Semicuerda

Semicuerda

2 2 2c =a +b


RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE UN ÁNGULO AGUDO Para determinar una razón trigonométrica de un ángulo agudo, debemos ubicar a dicho ángulo dentro de un triángulo rectángulo para establecer ciertas definiciones. Así, consideremos el triángulo rectángulo ABC y el ángulo agudo “”:

Con respecto a “” podemos comparar los lados del triángulo tomados de 2 en 2:

CO CA CO CA H H; ; ; ; ;H H CA CO CA CO

Así hemos obtenido las 6 razones trigonométricas del ángulo “”: LAS 3 PRIMERAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las tres primeras razones trigonométricas (R.T.) se llaman seno, coseno y tangente: .

Y para el ángulo agudo “” mostrado:

Dichas R. T. se definen como:

COsenH

CAcosH

COtgCA

Ejemplo 1: Para el ángulo mostrado determinar las 3 primeras razones trigonométricas:

Resolución:

CO 3senH 5

CA 4cosH 5

CO 3tgCA 4


Resolución:

CO 1senH 2

CA 3cosH 2

CO 1tgCA 3

cateto adyacente(CA)

catetoopuesto(CO)

Hipotenusa(H)

senocosenotangente

sencostg


1. Calcular “x”

Rpta:........................................................... 2. Calcular “m”

Rpta:........................................................... 3. Calcular “x”

Rpta:.......................................................... 4. Calcular: x

Rpta:..........................................................

5. Calcular: sen

Rpta:.............................................................. 6. Calcular s e n

Rpta:.............................................................. 7. Calcular: cos

Rpta:.............................................................. 8. Calcular cos

Rpta:.............................................................. 9. Calcular: tg

Rpta:.............................................................. 10. Calcular tg .

Rpta:..............................................................

4

3

x

5 m

12

2

x

12 13

x

14

50

25

7

3

10

52

17

12

6

2


11. Calcular: E sen cos

Rpta:.............................................................. 12. Calcular: R sen cos.

Rpta:............................................................ 13. Calcular: tg cos

Rpta:........................................................... 14. Calcular R sen sen.

Rpta:.............................................................

15. Calcular:

cosK 2.

cos

Rpta:...........................................................

16. Calcule:

sen 3Rcos 4

Rpta:.............................................................

17. Calcule: 2sen

Rpta:.............................................................

18. Calcule: 2 2M sen cos

Rpta:.............................................................

19. Calcule: F 5sen 4tg

Rpta:.............................................................

20. Calcule: 2G (sen cos )

Rpta:.............................................................

13

7 24

5a

4a

2m

m

2m

m

2

2

4

3

1

2

1

5

3

4

12

5


1. Calcular sen si

A) 74

B) 75

C) 76

D) 7

7

2. Calcular P=sen.cos

A) 35

B) 45

C) 25

D) 15

3. Calcular: E=x-2 A) 10

B) 12

C) 15

D) 25 4. Calcule: F=tg.

A) 32

B) 132

C) 2

13

D) 23

5. Calcule: R=5(sen+cos)

A) 65

B) 6 C) 4 D) 3

3

4

9

12

1

2

15

9

x

213


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II

OBJETIVOS – Estudiar las razones trigonométricas cotangente, secante, cosecante en su forma más elemental. – Aplicar las razones trigonométricas en diversos problemas

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) [Continuación]

En este capítulo estudiaremos las 3 últimas razones trigonométricas de un ángulo agudo: la cotangente, la secante y

la cosecante. LAS 3 ÚLTIMAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las tres últimas razones trigonométricas (R.T.) se llaman cotangente, secante y cosecante: .

Y para el ángulo agudo “” mostrado:

Dichas R. T. se definen como:

CActgCO

HsecCAHcsc

CO

Ejemplo 1: Para el ángulo mostrado determinar las 3 últimas razones trigonométricas:

Resolución:

CA 4ctgCO 3

H 5secCA 4

H 5cscCO 3


Resolución:

CA 3ctgCO 1

H 2secCA 3

H 2csc 2CO 1

cotangante secante cosecante

ctgseccsc


1. Calcular: ctg

Rpta:............................................................ 2. Calcular: ctg

Rpta:............................................................

3. Calcular: sec

Rpta:........................................................... 4. Calcular sec.

Rpta:............................................................. 5. Calcular: csc

Rpta:............................................................ 6. Calcular: csc

Rpta:............................................................

7. Calcular:

seccsc

Rpta:............................................................

8. Calcular:

cscsec

Rpta:............................................................

9. Calcular: secR ct g

Rpta:............................................................

12

10

3 5

13

12

1

2

13

2

25 24

12

13

4

3

3

2


10. Calcular:

1K ctg .

sec

Rpta:............................................................ 11. Calcular: P sec csc

Rpta:............................................................

12. Calcular:

1 1M

s e c csc

Rpta:............................................................

13. Determinar:

1 1Q

sec csc

Rpta:............................................................ 14. Calcular:

sec .sec

Nctg

Rpta:............................................................ 15. Calcular: P sec .ctg

Rpta:............................................................ 16. Calcular: E=3.tg.ctg

Rpta:............................................................

17. Calcular: 2E .cos .sec7

Rpta:............................................................

18. Determinar: 2 2E sec tg

Rpta:............................................................

3

3

12

13

3

5

3

5

13

5

3

5

1

3

2

2

7

2

4


19. Calcular:

1ctg

Rpta:............................................................

20. Calcular:

secR

csc

Rpta:............................................................

1. Calcule: E=ctg A) 1

B) 3

C) 10

D) 5 2. Calcular R=5csc

A) 5

B) 5

C) 13

D) 13 3. Calcular: sec A) 1/2

B) 3 / 2

C) 2/11

D) 3 5 / 5

4. Calcular: 2E sec A) 1/5

B) 1/4

C) 1/3

D) 1/2

5. Calcular: R=ctg

A) 2

B) 3

C) 1

3

D) 1

2

2

1

2

22

1 3

12

13

14

23

1

3

Documents

2ºSec-Libro-01-Trigonometria.pdf