工程力学教程电子教案 1力矩与平面力偶系

§3-1 力矩的概念和计算§3-2 力偶的概念§3-3 平面力偶系的合成与平衡

第 3 章 力矩与平面力偶系

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力对物体作用时可以产生移动和转动两种外效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。

主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。

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§3-1 力矩的概念和计算1. 力对点之矩

(1) 用扳手拧螺母；

(2) 开门，关门。

由上图知，力 F 使物体绕 O 点转动的效应，不仅与力的大小有关，而且与 O 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 F·d 来度量力的转动效应。

工程力学教程电子教案 4力矩与平面力偶系

该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称为力 F 对点 O 之矩，简称力矩，以符号 M O (F) 表示 , 即

O 点称为力矩的中心，简称矩心； O 点到力 F 作用线的垂直距离 d ，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。

( )OM F d F

工程力学教程电子教案 5力矩与平面力偶系

力矩的单位： N·m ， kN·m

应注意：

在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此可以用代数量表示。

力矩的性质：

(1) 力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；

.OF

d

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(2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；

(3) 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。

F

o.

.

F1

F2

O

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2. 合力矩定理表达式：证明：由图得

而

R( ) ( )O OM MF F

( ) sin( )

(sin cos

sin cos )

sin cos

sin cos

OM F d F r

F r

F r

F r

F

cos , sin

cos , sin

x yF F F F

r x r y

O x

y

d

x

y

F

Fx

Fy

A

r

则 (a)( )O y xM x F y F F

工程力学教程电子教案 8力矩与平面力偶系

若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、 F2 … 、 Fn ） , 则利用式 (a) 可将每个力对 O 点之矩相加，有

由式 (a) ，该汇交力系的合力 FR=∑F ，它对矩心O 的矩为

比较 (b) 、 (c) 两式有

(a)( )O y xM x F y F F

(b)( )O y xM x F y F F

(c)R R R( )O y x y xM x F y F x F y F F

R( ) ( )O OM MF F

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§3-2 力偶的概念1. 力偶和力偶矩

(1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作（ F ， F

′ ）。可用图 (a) 表示 ,例如：双手操纵方向盘 , 如图 (b) 。

F

F′

d力偶臂

力偶作用面图 ( a)

F1

F

F′

AB

F1′

C

D

图 (b)

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(2) 力偶的性质(a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零；(b) 力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；(c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只能改变物体的转动状态。

x

F

F′

d力偶臂

力偶作用面

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(3) 力偶矩

力偶对刚体的转动效应是用力偶矩度量，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。

F

F

d

Ox

例如：( ) ( )

( )O OM M

F x F d x

F d

F F

( , )M F d M F d 或F F

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(4) 力偶的三要素(a) 力偶矩的大小；(b) 力偶的转向；(c) 力偶作用面在空间的方位。

2. 平面力偶等效定理 定理：在同一平面内（或两平行平面内）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。

例如：双手操作方向盘。F1

F

F′

AB

F1′

C

D

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设有一力偶 (F, F ′), 如图所示 。 运用加减平衡力系的公理并注意到：

1 1 R R

R R

( , ) ~ ( , , , ) ~ ( , )

( , ) ~ ( , )

F F F F F F F F

F F F F

R R

( , ) 2 ,

( , ) 2

ABD

ABC

ABD ABC

M S

M S

S S

F F

F F

R R

R R R1 R1

R1 R1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

M M

M M

M M

F F F F

F F F F

F F F F

证明：

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两个重要推论：推论 1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对刚体的转动效应。

A B

M

A B

M

C

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推论 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。

注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。

其中 F1d1=F2d2

A Bd1

F1

F1

A Bd2

F2

F2

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§3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的

总称。1. 合成(1) 两个力偶的情况

F1′

F1d1

d2

F2′

F2

1 1 1

2 2 2

,M F d

M F d

=

F11′

F22′

F22

F11

d

1 11

2 22

,M F d

M F d

d

FR′FR

=

R 11 22

R 11 22

,F F F

F F F

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这样得到新的力偶 (FR , FR′), 则

M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2

(2) 任意个力偶的情况

M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi

M1

M2

Mn

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2. 平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即

∑M=0

利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。

M1

M2

Mn

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两力偶作用在板上，尺寸如图。已知 F1=F2=1.5

kN , F3=F4=1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。

解：由式M = M1 + M2

则M =-F1 · 0.18 –F3 · 0.08

= -350 N· m

负号表明转向为顺时针。

例 题 3- 1

180mmF 1F

2

F3

F 4

80mm

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长为 l=4 m 的简支梁的两端 A 、 B 处作用有两个力偶，大小各为 M1 =16 N·

m ， M2 = 4 N· m ，转向如图。试求 A 、 B 支座的约束力。

解：作 AB 梁的受力图。 AB 梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、 B 处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（ FA ， FB ）才能与之平衡。

例 题 3- 2

60

4m

AB

M1 M2

M1 M2

A B

dFA

FB

工程力学教程电子教案 21力矩与平面力偶系

由平衡方程 ∑M =0

得 -M1+ M2+FB l cos60º= 0

解得

故

FB=6 N

FA 、 FB 为正值，说明图中所设 FA 、 FB 的指向正确。

FA = FB = 6 N

例 题 3- 2

M1 M2

A B

dFA

FB

60

4m

AB

M1 M2

－ 16 + 4 + FB4cos60 = 0

工程力学教程电子教案 22力矩与平面力偶系

如图所示的铰接四连杆机构 OABD ，在杆OA 和 BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知 OA=r ， DB=2r ， =30° ，不计各杆自重，试求 M1 和 M2 之间的关系。

B

O D

M1

M2

A

例 题 3- 3

工程力学教程电子教案 23力矩与平面力偶系

解：因为杆 AB 为二力杆，故其约束力 FAB 和 FBA 只能沿 A ， B 的连线方向。 分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座 O 和 D 的约束力 FO 和 FD 只能分别平行于 FAB

和 FBA ，且与其方向相反。

例 题 3- 3

B

O D

M1

M2

A

工程力学教程电子教案 24力矩与平面力偶系

B

D

M2

FD

FBA

OM1

FO

FABA

1

2

cos 0

2 cos 0AB

BA

M F r

M F r

AB BAF F因为

2 12M M所以求得

分别画出受力图。写出杆 OA 和 DB 的平衡方程： ∑M = 0

B

O D

M1

M2

A

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一力偶 (F1,F1′) 作用在 Oxy 平面内 ,另一力

偶 (F2 ， F2′) 作用在 Oyz 平面内 , 它们的力偶矩大小

相等 ( 如图 ) 。试问此两力偶是否等效，为什么？

x

y

z

F2

F2′

F1 F1′

O

思考题 3- 1

工程力学教程电子教案 26力矩与平面力偶系

如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1′) 和 (F2,F2′) 其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？

F1

F2

F1′

F2'

F1

F2

F1′

F2'

思考题 3- 2

工程力学教程电子教案 27力矩与平面力偶系

图示圆盘由 O 点处的轴承支持，在力偶M 和力 F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？

力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？

F

MO

思考题 3- 3

思考题 3- 4

工程力学教程电子教案 28力矩与平面力偶系

两轮半径同为 r ，一轮在轮缘上受一大小为 F 的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小都是 F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相同？

(a)

思考题 3- 5

rO1

F

rO1

F/2

F/2

(b)

工程力学教程电子教案 29力矩与平面力偶系

图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力使之平衡？如何加？

(a)

rO1

F

思考题 3- 6

rO1

F 2

F 2

(b)

工程力学教程电子教案 30力矩与平面力偶系