在发明中学习

线性代数概念引入 之四 : 矩阵运算

李尚志

中国科学技术大学

1. 线性函数

例 1 在平面上建立直角坐标系 .

(1)将平面上每个点 P 绕原点向逆时针方向旋转角 α 到点 P'.

写出点 P 的坐标 (x,y) 与点 P‘ 的坐标 (x',y') 之间的函数关系式 .

矩阵乘法

(2) 将 x 轴绕原点向逆时针方向旋转角 α 得到直线 lα. 平面上任一点 P 关于直线 lα 的对称点为 P'. 写出点 P 的坐标 (x,y) 与点 P'的坐标 (x',y') 之间的函数关系式 .

• 解 设原点 O 到 P 的距离 |OP|=r, 由射线 OX( 即 x轴正方向 ) 到 OP 所成的角 . 则 |OP'|=|OP|=r, x=rcosθ, y=rsinθ.

• (1)

• x'=rcos(θ+α)

=rcosθcosα-rsinθsinα

=xcosα-ysinα

• y'=rsin(θ+α)

=rcosθsinα+rsinθcosα

=xsinα+ycosα

(2)

• 在旋转变换的表达式

中 , x’ 是 x,y 的线性函数 ( 一次齐次函数 )

可以表示成

可以直接写 f1 = (cosα,-sinα).

类似地有

• 一般地 , 任意一个 n 元线性函数

可以由它的一次项系数组成的行向量 (a1,…,an) 来表示 ,

称为这个线性函数 f 的坐标 .

• 可直接写 f = (a1,…,an)

• n 个自变量看成一个整体 X, 写成列向量

• 函数 f 在自变量 X 上的作用可以看作行 f 与列 X 相乘 :

2. 线性映射的矩阵• f : 自变量 因变量

• 旋转

• 轴对称

• 一般地 , 考虑映射 f: X= Y=

• 如果每个 yi 都是 x1 ,…, xn 的一个线性函数

• 决定 , 则映射 f: X Y 由 m 个行向量 fi 决定 .

• f 称为线性映射 . 写成

看作矩阵 A= 与列 X 相乘的结果 .

• 3. 线性映射的合成 :

Y=

Z=

是 X 的 m 个线性函数 f1,…,fn 的线

Z=CX=BAX,C=BA 的第 i 行元素分别乘 A 的各行相加得到 .

性组合 , 仍是 X 的线性函数 , 其坐标的坐标 ( 即 A 的各行 ) 的相应的线性组合

4. 利用分块运算理解矩阵乘法 1 、 AB = A (B1,,B2,…,Bk), A 依次乘 B 的各列。 例 . 对可逆方阵 A ，解矩阵方程 AX=B.

将 X,B 按列分块 , A(X1, … ,Xk)=(B1,…,Bk)

即 (AX1,…,AXk)=(B1,…,Bk), AXj = Bj (j=1,2,…,k)

相当于同时解 k 个有公共系数矩阵 A 的线性方程 .

同时对 k 个增广矩阵 (A Bj) 做同样的初等行变换。 可以合并到一起作初等行变换 :

(A B) (I X ）， X=A-1B 。 2 、 A = (A1,…,An) = x1A1+…+xnAn.

3 、行变换 : B AB

列变换 : B BA

A ：施工方案， B ：被施工的材料

例 .

5. 初等变换与初等矩阵

解。 B AB 与 I AI 经过相同的行变换。

谢谢