3رياضيات ثالث متوسط2011-2012

1

جمهورية العراق وزارة التربية

املديرية العامة للمناهج

للصف الثالث املتوسط

الدكتور طارق شعبان احلديثي محمد عبد الغفور اجلواهري

مــهـــــدي مــــال اهللا مـــكـــي منـــــــــعم حـــسيــــن علوان

الطبعة االولى ١٤٣٢هـ - ٢٠١١م

الرياضيات

املؤلفون

2

3

املقدمة نظرا للتطور الكبير الحاصل في المواد الدراسية كافة والرياضيات خاصة تعنى وزارة التربية باعادة

النظر في الكتاب المدرسي وتنقيحه او اعادة تأليفه وفق لجان مختصة تؤلف لهذا الغرض وتلقى كتب

الرياضيات نصيبها الوافي من هذه العناية.

وهذا الكتاب الثالث من سلسلة كتب الرياضيات للمرحلة المتوسطة ، وقد رتبنا هذا الكتاب بعشرة

فصول، يبدأ الفصل االول بموضوع التطبيقات والفصل الثاني االعداد الحقيقة ، اما الفصل الثالث

الحدوديات ويتضمن الفصل الرابع المتباينات يتبعه في الفصل الخامس المثلثات اما موضوع الدائرة

فهو في الفصل السادس وعند الفصل السابع الهندسة االحداثية اما الفصل الثامن هندسة التحويالت

يتضمن الفصل التاسع حساب المثلثات وينتهي الكتاب بالفصل العاشر الذي اختص بدراسة موضوع

االحصاء .

لقد تم وضع هذا الكتاب وفقا للمنهج الدراسي المقرر وحاولنا ان نستخدم الطرق التربوية الحديثة

وتوخينا االفهام بقصد شرحا العلمية المادة توضيح اعيننا نصب واضعين المجهود بهذا فقمنا

االكثار من االمثلة المحلولة والتمارين العملية التي يصادفها الطالب في حياته ومتدرجة من السهل

الى الصعب وال يسعنا اال ان نثمن جهود الخبيران العلميان اللذان ساهما بانجاز هذا الكتاب وهم :

ماجد كامل حسن د. محمد نجم

يوافونا ان المدرسين اخواننا من نرجو و الطلبة ابنائنا الى خدمة وفقنا قد ان نكون نرجو وختاما

بمالحظاتهم حول هذا الكتاب لكي نتالفى النقص فيه ، والكمال هللا وحده..

واهللا ولي التوفيق

المؤلفون

Mappings التطبيقات

f:AA

BBB

AAB

ff

[1-1] التطبيق .[2-1] نوع التطبيق .

[3-1] املخطط البياني للتطبيق . [4-1] تركيب التطبيقات .

الفصل االول 1

المصطلح الرمز أو العالقة الرياضية

N األعداد الطبيعية

Z األعداد الصحيحة

Q األعداد النسبية

fog أو gof تركيب التطبيقين f , g

Mappings التطبيقات

مقدمة

A سبق وأن درست موضوع املجموعات والعمليات عليها وتعلمت أيضا العالقة من املجموعة .B الى A رمز للعالقة من r هي مجموعة من األزواج املرتبة. حيث أن B الى املجموعة

A × B مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي r وأن

ودرست أيضا خواص العالقة على املجموعة مثل :

. (Re�exive) اخلاصية األنعكاسية ✻

. (Symmetric) واخلاصية املتناظرة ✻

. (Transitive ) واخلاصية املتعدية ✻

✻ وكذلك خاصية التكافؤ (Equivalence) أذا حققت اخلواص الثالثة السابقة .

(أنعكاسية، متناظرة، متعدية).

(Mapping) في هذه املرحلة الدراسية، سنتعرف على مفهوم أخر هو التطبيق

الفصل

r ⊆ A×B

1

6

لتكن r : A B وتقرأ (

= { a , b , c , d } و A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ولتكن

r = { ( 1 , a ) , ( 2 , b ) , ( 3 , c ) , ( 4 , d ) }

الحظ أن كل عنصر في المجموعة A التي تسمى بالمجال يقترن بعنصر وحيد في المجموعة B التي

. r تسمى بالمجال المقابل كما في الشكل [1-1] الذي يمثل المخطط السهمي للعالقة

ومن خالل الشكل هناك سهم واحد فقط ينطلق من كل عنصر في المجموعة A ليرتبط مع عنصر واحد من

مجموعة B . يقال لهذه العالقة تطبيق وأن صور عناصر المجموعة A تحت تأثير (التطبيق ) يسمى مدى

(Range) التطبيق.

r : A B

1 - 1 (Mapping) التطبيق

B

r : A B

بصورة عامة [1-1]

التطبيق r : عالقة من املجموعة A حيث ∅ ≠ A الى املجموعة B حيث∅ ≠ B بحيث أن كل عنصرمن عناصر املجال يقترن أو يرتبط بعنصر واحد فقط من عناصر املجال املقابل

ضمن قاعدة األقتران أي: ( x , y ) ∈ r بحيث y ∈ B يوجد عنصر وحيد x ∈ A لكل

A

abcd

1234

B

الشكل [1-1]

r

( B الى A عالقة من r

7

بالل

عبد اهللا

مثنى

أنكليزي

فرنسي

A

B

a b c d

e f g

B الى A معرفه من r مجموعة لغات. والعالقةB مجموعة طالب . ولتكن A الحظ الشكل :- لتكن

هي عالقة يدرس». فاذا كانت:

A = { بالل , عبد اهللا , مثنى }

B = { أنكليزيه , فرنسيه }

وأن r : A B ، هل r تمثل تطبيقا ؟ مع ذكر السبب.

احلل/ r التمثل تطبيقا.

ألن بالل ينتمي الى المجال وقد أرتبط بلغتين في المجال المقابل

r : A B لتكن

A = { a , b , c , d }

B = { e , f , g }

r = { ( a , e ) , ( b , f ) , ( d , g ) }

1) هل r تمثل تطبيقا؟ مع ذكر السبب.

2) مثله بمخطط سهمي.

احلل/ 1) التمثل تطبيقا.

B لم يرتبط بأي عنصر في المجال المقابل c ∈ A ألن

(2

مثال ( 1 )

مثال ( 2 )

A B«

8

A = { 1 , 2 , -3 } اذا كانت

B = { 2 , 3 , - 2 , -4 }

f : A B -:تطبيق معرف كاآلتي f

x x + 1 حيث

أوال: أكتب التطبيق f على شكل مجموعة من األزواج المرتبة

ثانيا: مثله بمخطط سهمي

f ثالثا: أوجد مدى التطبيق

احلل/

x x + 1

1 1 + 1 = 2

2 2 + 1 = 3

-3 -3 + 1 = -2

∴ f = { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( -3 , -2 ) }

ثانيا: -المخطط السهمي

ثالثا:- مدى التطبيق ={2-, 3 , 2 }

A23

-2-4

12

-3

B

مثال ( 3 )

اوال:-

9

في المثال (3) قاعدة األقتران

x x + 1 يمكن التعبيرعنها

f (x) = x + 1

مالحظه (1)

يمكن التعبير عن التطبيق بأحد الحروف.. , r , f, g مالحظه (2) مع ذكر المجال والمجال المقابل وقاعدة األقتران.

مالحظه (3)

المخططات السهميه ممكن أن تكون على الصور التالية:

A B A B

A

B

مالحظه (4) المدى هو مجموعة جزئية من المجال المقابل.

10

g : A B اذا كانت

B ⊂ Q حيث

A = { -1 , 1 , 2 , -3 }

g (x) = x2 - 4

أوجد

1) مدى التطبيق

2) أرسم المخطط السهمي للتطبيق

3)أكتب التطبيق بذكر عناصره

احلل /

1) g (x) = x2- 4

g (-1) = (-1)2 - 4 = 1- 4 = -3

g (1) = (1)2- 4 =1- 4 = -3

g (2) = (2)2- 4 = 4 - 4 = 0

g (-3)=(-3)2 - 4 = 9 - 4 = 5

∴ Range = {-3,0,5} المدى

2)

3) g = {(-1,-3), (1,-3),(2,0),(-3,5)}

مثال ( 4 )

-3

0

5

-112

-3

A Bg

..

...

..

...

...

..

11

اذا كانت A مجموعة األعداد الطبيعية الموجبة األصغر من 5

وكانت f : A Z ، حيث Z مجموعة االعداد الصحيحة

f (x) = 2x - 3 جد مدى التطبيق اذا كان

احلل/

f (x) = 2 x - 3

f (1) = (2)(1) - 3 = -1

f (2) = (2)(2) - 3 = 1

f (3) = (2)(3)- 3 = 3

f (4 ) = (2)( 4 ) - 3 = 5

∴ Range = {-1 , 1 , 3 , 5 } المدى

g : Q Q مع العلم ان g (x) = 10 عندما x فجد قيمة g (x) = 4x - 7 اذا كان

حيث Q مجموعة االعداد النسبية .

∵ g (x) = 4 x - 7 /احلل

g (x) = 10

∴10 = 4x - 7

⇒ 4x = 10 + 7

⇒ 4x = 17 (4) بقسمة طرفي المعادلة على

⇒ x = ∈ Q

مثال ( 5 )

مثال ( 6 )

Q g(x) = 4x − 7g(x) = 10

∴10 = 4x − 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q174

A = { 1 , 2 , 3 , 4 }

12

1 1

، A = { a , b , c } وكانت r : A B س1/ اذا كان

r = { ( a , 4 ) , ( b , 7 ) , ( c , 3 ) }

r = { ( a , 3 ) , ( b , 3 ) , ( c , 3 ) }

اوال: هل r تطبيقا ولماذا؟ ثانيا: ارسم المخطط السهمي

A س2/ اذا كانت

B وكانت

f عالقة من A الى B معرفة (يزيد بمقدار 1)

أوال: أرسم المخطط السهمي ثانيا: هل f يمثل تطبيقا ؟ ولماذا ؟

g : A Z وكان A = { 1 , 2 , -2 , -3 } س3/اذا كانت

. g (x) = 5x - 3 جد مدى التطبيق اذا كان

س4/ لتكن A مجموعة المناطق االثرية في العراق.

حيث {باب عشتار ، الزقورة ، الملوية} = A ولتكن B مجموعة محافظات عراقية.

وان r : A B انسب المناطق االثرية لكل محافظة عراقية بمخطط سهمي تختاره.

B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7}

مجموعة األعداد الطبيعية الزوجية األصغر من 7

مجموعة األعداد الطبيعية الفردية األصغر من 8

1)

2)

13

f (x ) = 2 x + 8 حيث f : N Q س5/ اذا كان

اوال: اكتب مدى التطبيق

x فجد قيمة f ( x ) = 16 ثانيا: اذا كان

ثالثا: اكتب مجموعة االزواج المرتبة التي تمثل التطبيق

r = { ( 1 , a ) , ( 2 , b ) , (3 , c) , ( 4 , d ) , ( 5 , a )} س6 /اذا كانت

r : A B حيث

. B , A 1) جد كال من

2) أكتب مدى التطبيق.

3) ارسم المخطط السهمي.

f ( x ) = 2x 2 - x + 3 حيث f : A Q س7 / اذا كان

A = { 1 , -1 , 0 } حيث

1) أكتب المدى.

2) اكتب مجموعة االزواج المرتبة التي تمثل التطبيق.

3) أرسم المخطط السهمي.

14

نوع التطبيق 2 - 1

r : A B تكون تطبيقا شامال اذا حقق :

A هو صورة لعنصر واحد أو اكثر من عناصر المجموعة B كل عنصر من عناصر المجموعة

اي ان : المدى = المجال المقابل

الحظ الشكل المجاور .

تطبيق شامل

(Surjective Mapping) اوال:التطبيق الشامل

A••••

••••

B

يكون التطبيق غير شامال اذا وجد عنصر

من عناصر المجال المقابل ليس صورة الي عنصر من

عناصر المجال. كما في الشكل المجاور .

تطبيق غير شامل تطبيق غير شامل تطبيق غير شامل

Adefg

abc

B

يكون التطبيق غير شامال اذا وجد عنصر مالحظه

15

مثال ( 1 )

حدد اي من المخططات السهمية االتية تمثل تطبيقا شامال؟

B = { 4 , 6 , 8 , 10 } , A = { 3 , 5 , 7 , 9 , 11 } حيث f : A B ليكن

وان f = { ( 3 , 4 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) , ( 9 , 10 ) , ( 11 , 4 ) } ، هل f تطبيقا شامال؟

احلل/ المدى { 10 , 8 , 6 , 4}

B بما ان المدى = المجال المقابل

∴ f تطبيق شامل

A B

-125

-3034

( 2)ال يمثل تطبيقا شامال الن 4 ليست

صورة لعنصر في المجال

A

B

1 2 3

2 3 4 (3)

تطبيقا شامال

مثال ( 2 )

Aefgh

abcd

B

(1)تطبيقا شامال

16

f : A N حيثx x2 + 1 , A = { -1 , -2 , 1 , 2 } ، هل f تطبيق شامل؟

احلل/

f(-1) = (-1) 2 + 1 = 2

f (-2) = (-2) 2 + 1 = 5

f (1) = (1) 2 + 1 =2

f(2) = (2)2 + 1 = 5

Range = { 2 , 5 } المدى

N المدى ≠ المجال المقابل

f تطبيق غير شامل

f : N N , f (x) = 3x + 2 بين هل التطبيق f شامل؟

احلل/

f(0) =3 (0) + 2 = 2

f (1) = 3(1) + 2 = 5

f (2) = 3(2) + 2 = 8

f(3) = 3(3) + 2 = 11

Range = { 2 , 5 , 8 , 11 , ....} المدى

f ليس شامال

N الن المدى ≠ المجال المقابل

مثال ( 4 )

مثال ( 3 )

∴

∴

∴

f (x) = 3x + 2

17

لتكن A مجموعة الدول العربية المتمثلة بـ { العراق ، سوريا ، مصر ، االردن } ولتكن B مجموعة عواصم

هذه الدول المتمثلة بـ { بغداد ، دمشق ، القاهرة ، عمان } والعالقة مبينة كما في المخطط السهمي :

الحظ ان كل دولة عربية أرتبطت بمدينة واحدة في المجموعة B والتي تمثل عاصمتها كما في الشكل اعاله

ان مثل هذا التطبيق يسمى تطبيقا متباينا ، اذا يكون التطبيق متباينا اذا تحقق:

ألي عنصرين مختلفين من المجال تكون صورتهما مختلفتين.

اذا تساوت صورتا عنصرين في المجال كان هذان العنصران متساويين .

Injective Mapping ثانيا : التطبيق المتباين

1) ∀x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 ⇒ R x1( ) ≠ R x2( )2) ∀x1, x2 ∈ A , R x1( ) = R x2( ) ⇒ x1 = x2

ff,

1) ∀x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 ⇒ R x1( ) ≠ R x2( )2) ∀x1, x2 ∈ A , R x1( ) = R x2( ) ⇒ x1 = x2ff,

يكون التطبيق غير متباين اذا وجد عنصران مختلفان من عناصر المجال

لهما نفس الصورة في المجال المقابل .

مالحظه

العراقسوريامصراالردن

A

بغداددمشقالقاهرةعمان

B

أو

أي أن:

18

بين أي التطبيقات االتية متباينة ثم ارسم المخطط السهمي لها .

f : A B واذا كان B = { 1 , 4 , 9 , 16 } و A= { 1 , 2 , 3 , 4 } 1) اذا كانت

. f(x) = x2 حيث

احلل/

f(x) = x 2

f (1) = (1) 2 = 1

f (2) = (2) 2 = 4

f(3) = (3)2 = 9

f(4) = (4)2 = 16

∴ f = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 , 16 ) }

∴ f متباين النه لكل عنصرين مختلفين من المجال لهما صورتين مختلفتين في المجال المقابل.

2) اذا كانت A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } وكان g : A A تطبيقا معرفا كاالتي

g = { ( 1 , 4 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 4 ) } احلل/

2 بينما g (2) = g (4) = 2 وكذلك ≠ 4 التطبيق غير متباين الن

g (1) = g (5) = 4 5 ≠ 1 بينما

f(x) = 3x حيث ان f : N+ N 3) اذا كان

احلل/

مثال ( 5 )

149

16

1234

A B

12345

12345

A B

f(x) = 3x

f (1) = 3

f (2) = 6

f(3) = 9

A

B

1 , 2 , 3 , 4 .....

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , ....

املجال

املجال املقابل

19

مثال ( 6 )

Bijective Mapping ثالثا : التطبيق تقابل

مثال ( 7 )

التطبيق متباين الن كل عنصرين مختلفين في المجال لهما صورتان مختلفتان في المجال المقابل.

الحظ ان المجال والمجال المقابل مجموعتان غير منتهيتان .

f : A B وكان B = {2 , 5 , 10 } و A = { -1 , 2 , 3 , 1 } اذا كانت

f(x) = x 2 + 1 . هل متباين؟

f (1) = f ( -1 ) = 2 احلل / التطبيق غير متباين ألن 1- ≠ 1 بينما

يكون التطبيق تقابال اذا حقق الشرطين اآلتيين :-

1) التطبيق شامال .

2) التطبيق متباينا .

B = { 0 , 2 , 3 , 8 } , A = { 1 , 2 , 3 } اذا كانت

f جد 1) المدى , 2) اذكر نوع التطبيق f (x) = x 2 - 1 بحيث f : A B

3) ارسم المخطط السهمي للتطبيق

f(x) = x 2 - 1 (1 /احلل

f (1) = (1)2 - 1 = 0

f (2) = (2)2 - 1 = 3

f(3) = (3)2 - 1 = 8

∴ Range = { 0 , 3 , 8 } المدى

2) التطبيق غير شامال الن 2 ليس صورة لعنصر في المجال او المدى ≠ المجال المقابل التطبيق متباينا ، ليس تقابال النه ليس شامال .

f(x)

20

3) المخطط السهمي

اذا كانت f : Z Z ، حيث f (x) = 2 x2 - 3 بين نوع التطبيق f حيث Z مجموعة االعداد الصحيحة .

f(x) =2 x 2 -3 /احلل

f (-2) = 2 (-2) 2 -3 = 8 - 3 = 5

f (-1) = 2 (-1) 2 -3 = 2 - 3 = -1

f(0) = 2(0)2 - 3 = -3

f(1) = 2(1)2 - 3 = 2 -3 = -1

f(2) = 2(2)2 - 3 = 8 -3 = 5

اوال : التطبيق ليس شامال الن المدى ≠ المجال المقابل

ثانيا : التطبيق ليس متباينا الن f (-1) = f (1) = -1 بينما 1≠ 1-

ثالثا: التطبيق ليس تقابال.

مثال ( 8 )

0238

123

A B

∴

اليمكن رسم مخطط كامل لهذا التطبيق الن Z مجموعة مالحظةغير منتهية

Z

Z

اوال : التطبيق ليس شامال الن المدى

... , -3 , -2 , -1 , 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ....

... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , .....

21

املخطط البياني للتطبيق 3 - 1

في االمثلة السابقة مثلنا التطبيقات على شكل مخططات سهمية .

مثال عندما كان r : A B تطبيقا

A = { 1, 2 , 3 , 4 }

B = { 2 , 3 4 , 5 }

r = { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 5 ) } حيث

فأن المخطط السهمي للعالقة r هو

ويمكن ايضا تمثيل العالقة r من خالل االزواج المرتبة بمخطط بياني كما في الشكل .

2345

1234

A B

y

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 60x

22

A = { 1, 2 , 3 } اذا كان

B = { 3 , 5 , 2 }

r : A B

r = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 2 ) } حيث

1) إرسم المخطط السهمي للتطبيق.

2) إرسم المخطط البياني للتطبيق .

3) بين نوع التطبيق .

احلل/ (1) بمخطط سهمي

(2) المخطط البياني

(3) التطبيق (شامال ، متباينا ، تقابال)

مثال ( 1 )

235

123

A B

y

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 60X

23

f : A B اذا كان

A = { -1 , 2 , -2 }

B = { 1 , 4 }

f ( x ) = x 2 وكانت

أرسم المخطط البياني للتطبيق وبين نوعه

احلل /

f(x) = x 2

∴ f (-1) = (-1) 2 = 1

f (2) = (2) 2 = 4

f(-2) = (-2)2 = 4

f = {(-1 , 1) , ( 2 , 4 ) , ( -2 , 4 ) }

المدى = { 4 , 1 }

التطبيق شامال الن المدى = المجال المقابل

التطبيق ليس متباينا ألن

2 ≠ -2 ⇒ f(2) = f(-2)

التطبيق ليس تقابال النه ليس متباينا

y

X1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 60-1-2

مثال ( 2 )

24

اذا كان r : A { 2 , 5 , 8 , 11} ممثلة بالمخطط البياني:

r , A (1 2) المدى 3) بين نوع التطبيق .

احلل / (1)

r من المخطط البياني نجد العالقة

(2)

≠ المجال المقابل (3) التطبيق ليس شامال الن المدى

التطبيق متباين الن

التطبيق ليس تقابل النه ليس شامال

مثال ( 3 )

y

X

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 40

9

10

11

2 ≠ 3 ⇒ r(2) ≠ r(-2)

المدى = { 11 , 5 ، 8}

A = 1,2,3{ }

r = 1,5( ) , 2,8( ) , 3,11( ){ }

جد:

25

تعريف/

تركيب التطبيقات:تعرفنا في هذا الفصل على تعريف التطبيق وانواعه وكيفية إيجاد صور عناصر المجال بتأثير قاعدة

f فأن . x( ) = x2 +1 f:Q حيث → Q اإلقتران، مثال : إذا كانت

واآلن سوف نتعرف على نوع آخر من التطبيقات ناتج من تركيب تطبيقين معلومين، g ، f نوضحه

بالتعريف اآلتي:

g وأن صورة x( ) ليكن كل من g ، f تطبيق ، x عنصر في مجال g فأن صورة x بتأثير التطبيق g هي

f يسمى هذا التطبيق الجديد (( تركيب g x( )( ) g بتأثير التطبيق f هي x( ) العنصر الجديد

التطبيقين f ، g )) ويوضحه المخطط التالي:

(fog) بالرمز f g x( )( ) سوف نرمز لـ

. g تركيب f هي (fog) وأن قراءة fog( ) x( ) = f g x( )( ) أي أن:

: f تركيب g فأنه يقرأ (gof) عند إيجاد التركيب اآلخر

اي ان :

تركيب التطبيقات 4 - 1

Composition of Mappings

fog

x g(x) f(g(x))

f g

gof( ) x( ) = g f x( )( )

f 12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1

4 + 1 = 5

4

27

f : N N , f (x) = 2x + 1 اذا كان

g : N N , g (x) = x 2

f(1) , g (1) :جد اوال

ثانيا : (3) (fog) , (3)(gof) ماذا تالحظ ؟

احلل/

f (x) = 2 x + 1 ⇒ f(1) = 2(1) +1 : اوال

f(1) = 3

g (x) = x 2 ⇒ g(1) = (1)2

g(1) = 1

ثانيا : لنجد

A = { 1 , 2 , 3 } اذا كانت

f : A A وكان

f = {( 1 , 3 ) , ( 3 , 3 ) , ( 2 , 3 ) }

g = { ( 3 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) } gof , fog جد

مثال ( 3 )

مثال ( 2 )

(gof) (3)

(gof) (3) = g ( f (3))

= g (2(3)+1)

= g(7 )

=(7)2

= 49

(fog) (3)

(fog) (3) = f (g (3))

= f (32)

= f(9 )

=2(9) + 1

=19

(fog) (3) ≠ (gof) (3) الحظ ان

g : A A

28

احلل/

fog اوال / نجد

( fog) (1) = f(g(1)) = f (2) = 3

( fog) (2) = f(g(2)) = f (3) = 3

( fog) (3) = f(g(3)) = f (1) = 3

∴ fog = { (1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 3)}

gof ثانيا / نجد

( gof) (1) = g(f(1)) = g (3) = 1

( gof) (2) = g(f(2)) = g (3) = 1

( gof) (3) = g(f(3)) = g (3) = 1

∴ gof = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 1)}

ماذا تالحظ ؟

f : Z Z , x ∈ Z , x 3x + 1

g :Z Z , x ∈ Z , x 2x + 5

( fog ) (x) = 28 اذا كان x جد قيمة

( fog) (x) = f(g(x)) = f (2x + 5) /احلل

= 3 ( 2x + 5 ) + 1

= 6x + 15 + 1

= 6x + 16

∵ (fog) (x) = 28

∴ 6x + 16 = 28

6x = 28 -16

6x = 12 ⇒ x = 2

مثال ( 4 )

29

g (x) = x2 + 3 حيث g : Z N س1/ اذا كان

* اكتب g بذكر عناصرها على شكل ازواج مرتبة .

* اكتب المدى.

* بين نوع التطبيق.

f (x) = 5x + 2 حيث f : N N س2/ اذا كان

g (x) = x + 3 حيث g : N N

* اكتب fog بذكر االزواج المرتبة .

. fog مدى *

.fog بين نوع التطبيق *

f (x) = 6x - 1 حيث f : Q Q س3/اذا كان

g (x) = x2 + 1 حيث g : Q Q

. ( fog ) (x) = 17 اذا علمت ان x جد قيمة

1 2

12

30

f (x) = x 3 حيث f : Z Z س 4/ اذا كان

g (x) = 7 حيث g : Z Z

فأن: ∗ (1-)(fog) يساوي : 7 ، 7- ، 343 ، 49-

∗ يساوي : 7 ، 7- ، 1- ، 1

f (x) = 3x + 4 حيث f : Q Q س 5/ اذا كان

g (x) = 1-2 x حيث g : Q Q

, fog (3) جد ∗

. x اذا كان فجد قيمة ∗

f (x) = 4 x -3 حيث f : { 1 , 2 , 3 ,.... } Z س 6/ اذا كان

1) اكتب مدى التطبيق .

2) بيان التطبيق f بذكر عناصره .

3) نوع التطبيق.

. x جد قيمة f(x) = 53 4) اذا كان

. x جد قيمة(f of) (x) = 1 5) اذا كان

(gog)(x)

(gof)(-1)

(gof)(x)=-43

2

31

[1 - 2 ] احلاجة الى املزيد من االعداد. [2 - 2 ] خواص االعداد احلقيقية .

[3 - 2 ] اجلذور التربيعية . [4 - 2 ] اجلذور التكعيبية .

[1 - 2 ] احلاجة الى املزيد من االعداد. ] احلاجة الى املزيد من االعداد.

األعداد احلقيقية Real Numbers

3

aa.bb

33==

aa3

.b

3aa bb

3==

aa33

bb33

املصطلح الرمز او العالقة الرياضية

R االعداد احلقيقية

Q االعداد النسبية

H االعداد غير النسبية

اجلذر التربيعي

اجلذر التكعيبي

الفصل الثاني2

تعرفنا في مراحل سابقة من دراستنا على مجموعات اساسية هي :

. N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ....} (Natural Numbers ) 1 . مجموعة االعداد الطبيعية

2. مجموعة االعداد الصحيحة( ) {... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...}

Q = { ab

: a , b ∈ Z , b ≠ 0 } ( ) 3 . مجموعة االعداد النسبية

والحظنا ان كل مجموعة منها تحوي المجموعة التي قبلها وقد مكننا ذلك من حل بعض المعادالت

والمسائل فمثال المعادلة ( x + 2 = 0 ) ليست لها حل في (N) الن قيمة (x=-2)حيث

لذلك وسعت (N) لتصبح Z قادرة على حل هذه المعادلة وامثالها النها تحوي اعداد سالبة .

3 هكذا 2

∉ Z ، y = 32

كذلك المعادلة ( 2y - 3 = 0 ) ليست لها حل في Z الن قيمة

اوجدت المجموعة (Q) لتوفر حال الية معادلة بالصورة ( ax + b = 0 , a ≠ 0 ) حيث مجموعة

.{ - ba

الحل{

لكن هناك العديد من المعادالت والمسائل ال تستطيع حلها في Q مثال المعادلة ( x 2 = 3 ) النه

اليوجد عدد نسبي مربعه (3) . لذلك دعت الحاجة الى مجموعة جديدة من االعداد سميت (مجموعة

االعداد الحقيقية Real Numbers) ويرمز لها (R) لنستطيع من خاللها حل الكثير من المعادالت

والمسائل.

واضح ان :

Ingteres

Rational Numbers

-2 ∉ N

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

N Z Q

R

Z =

احلاجة الى مزيد من االعداد الفصل

2 2 - 1

H

33

(H) Irrational Numbers 4. االعداد غير النسبية

من كل ما سبق توضحت الحاجة الى اعداد ليست على الشكل {14 . 4 , 7 , , -}

. ( b ≠ 0 ، اعداد صحيحة a , b اي ال يمكن وضعها بالصورة حيث)

وفي المرحلة السابقة تعرفنا مفصال على اعداد نسبية سميت مربعات كاملة ( اي انها مربعات االعداد

. B ∈ Q حيث ( B 2 ) نسبية) وصورتها

مثال: 22 = 4 , 52 = 25 .

49 .. الخ.64

=78

, 25 = 5, 4 = 2 والجذور التربيعية لهذه االعداد هي اعدادا نسبية

اما االعداد النسبية التي ليست مربعات كاملة مثال 2 ، 3 ، 5 تكون جذورها التربيعية اعدادا ليست

...)كذلك االعداد النسبية (المكعبات الكاملة ) كاالعداد 8 ، 27 ، 1000 5, 3, 2 ) نسبية

تكون جذورها التكعيبية اعداد نسبية .

واالعداد االخرى مثال : تكون جذورها التكعيبية ليست نسبية وان اتحاد

. R يمثل مجموعة األعداد الحقيقية “ H واالعداد غير النسبية Q المجموعتين ”االعداد النسبية

خط االعداد

اعداد موجبة اعداد سالبة

15

23

ab

R = Q ∪ H

10003 = 10 , 273 = 3 , 83 = 2

53 , 33 , 23

-3 -2 -1 1 2 3

(... 5, 3, 2 )12

-

O

34

خواص االعداد احلقيقية 2 - 2

اوال

تعتبر هذه الخاصية من الخواص المهمة لمجموعة االعداد الحقيقية وتتضمن ما يلي :

1. اذا كان a ∈ R فان واحدة فقط من الحاالت االتية صائبة :

a > 0 , a = 0 (عدد موجب) يقع على يمين الصفر على خط االعداد

a < 0 (عدد سالب) يقع على يسار الصفر على خط االعداد

2. اذا كان a , b ∈ R فان واحدة فقط من هذه العالقات تتحقق :

a = b , a > b , a 0a<0

Property اخلاصيةAddition اجلمع Multiplication الضربclousre االنغالق a +b ∈ R a . b ∈ R

Commutativity االبدالية a + b = b + a a. b = b . aAssociativity التجميعية( a +b ) + c = a +( b + c)( a . b ).c = a . (b . c)

العنصر احملايدIdetity Element

a + 0 = 0 + a = aالعنصر احملايد هو 0

a.1 = 1.a =aالعنصر احملايد هو 1

Inverse النظير اجلمعيالنظيرAdditive Inverse

a + (-a ) = ( -a) +a =0

النظير الضربي Multiplicative

Inverse a النظير الضربي للعدد

, a ≠ 0 حيث

1هو

a1a

a . ( ) = ( ). a = 11a

Order Property [1 - 2 - 2] خاصية الترتيب

[2 - 2 - 2] خواص بعض العمليات على االعداد الحقيقية

35

الطرح والقسمة

الطرح: يعرف بالشكل االتي : a - b = a + (-b ) اي طرح b من a يعني . جمع a مع النظير

.b الجمعي للعدد

القسمة: تعرف بالشكل االتي : a ÷ b = a . , b ≠ 0 اي قسمة a على b تعني حاصل ضرب

b ≠ 0 شرط ان b في النظير الضربي للعدد a العدد

توزيع عملية الضرب على الجمع والطرح

a , b , c ∈ R لكل

a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )

a . ( b - c ) = ( a . b ) - ( a . c )

تطبيق قواعد ضرب االشارات نفسها كما درستها سابقا اي:

1) - ( - a ) = a

2) a ( - b ) = - ( ab)

3 ) ( -a ) ( -b ) = ab

= , = , a , b , c ∈ R

b ≠ 0 , c ≠ 0

اذا كان:

ثانيا

1b

ثالثا

رابعا

خامسا ab

a . c b . c

ab

a ÷ c b ÷ c

سادسا

Distributive property

Zero Factor Property(خاصية العامل الصفري)a . b = 0 فان a = 0 او b = 0 او كالهما

لكل

36

سبق ان تعلمت بانه اذا كانت (a) عددا حقيقيا ليس سالبا ( a ≥ 0 ) فاي عدد مربعه (a) يسمى جذرا

. a ويرمز له (a) تربيعيا للعدد

، 34

,22 = 4 ) الن 4 = 2)4 مثال /العدد 2 جذرا تربيعيا للعدد

الن .

تعريف (2-1)

.b2 = a أي ان a عددا حقيقيا ليس سالبا مربعه b حيث a = b فان a ≥ 0 , a ∈ R لتكن

a فان a : كذلك ، a = 32 = 9 فان a مثال : اذا كانت

ومن خواص الجذور :

b ≥ 0 , a ≥ 1 - اذا كانت a , b ∈ R فان : ab = a . b والعكس صحيح حيث 0

مثال / كذلك :

≤ b > 0 , a و والعكس صحيح مثال 0 - 2

10 = 10. 10 , 8. 8 = 8 ≤ a والعكس صحيح 0 , a . a = a - 3

اجلذور التربيعية 3 - 2

916

=34

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ 9

16

= 3=34

3 . 5 = 15 21 = 7. 3

=

925

=9

25 =

35

ab

ab

34

جذرا تربيعيا للعدد

=34

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=9

16

37

ضع في ابسط صورة :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

(c) مباشرة كما في الفرع (f) ميكن حل

مثال ( 1 )

3 5 + 2 5 − 6 5 = 5 3+ 2 − 6( ) = 5 −1( ) = − 5

4 3 +1( )+ 3 3 −1( )= 4 3 + 4 + 3 3 − 3 = 7 3 +1

+ ( ), ≥ 0 , ≥ 0a b a b

2 2 + 5( ) − 2 1− 3 2( )= 2. 2 + 5 2 − 2 + 6 2

= 2 + 5 2 − 2 + 6 2

= 2 − 2( )+ 5 + 6( ) 2 = 0 +11 2

= 11 2

7 + 2( ) 3+ 7( )= 3 7 + 7. 7 + 6 + 2 7

= 3 7 + 7 + 6 + 2 7

= 3+ 2( ) 7 +13 = 5 7 +13

5 − 2( )2

= 5 − 2( ) 5 − 2( )= 5. 5( ) − 5. 2( ) − 2. 5( )+ 2. 2( )= 5 − 5 × 2 − 2 × 5 + 2

= 5 − 10 − 10 + 2 = 7 − 2 10

2

= ( )2+ 2 + ( )2

= + 2 +a a b b a ab b.

38

مثال ( 2 )

مثال ( 3 )

ضع في ابسط صورة كال مماياتي :a) 3 8 + 2 50 − 32

b) 125 − 20 − 4 45 (a)/احلل

(b)/ احلل

− بحيث يكون المقام عددا نسبيا . 45

, 23

, 12

اكتب االعداد

بضرب البسط والمقام في



3 8 + 2 50 − 32

= 3 4 × 2 + 2 25 × 2 − 16 × 2

= 3 4. 2 + 2 25. 2 − 16. 2

= 3× 2 2 + 2 × 5 2 − 4 2

= 6 2 +10 2 − 4 2 = 12 2

125 − 20 − 4 45

= 25( ) 5( ) − 4( ) 5( ) − 4 9( ) 5( )= 25. 5 − 4. 5 − 4 9. 5

= 5 5 − 2 5 −12 5

= −9 5

12

=12

. 22

=2

2

23

=23

. 33

=2 3

3

−45

=−4

5. 5

5=

−4 55

2

3

5

39

مثال ( 5 )

مثال ( 4 )

اختصر في ابسط صورة

:B مثلث قائم الزاوية في A B C :في الشكل المجاور

. AC جد طول BC = cm , AB = cm

وما مساحة المثلث ؟ احلل /

مبرهنة فيثاغورس

2 = ( AB )2 + ( BC) 2(AC) مساحة المثلث

(AC)2

∴(AC)2

A =12

× AB × BC

A =12

× 3 2 × 6

A =32

2 × 6

A =32

4 × 3

A = 3 3

A =12

× AB × BC

A =12

× 3 2 × 6

A =32

2 × 6

A =32

4 × 3

A = 3 3

AC( )2= AB( )2

+ BC( )2

= 3 2( )2

+ 6( )2

= 9 × 2 + 6

AC( )2= 24

∴ AC = 24 = 2 6AC

34

+13

−2512

=34

+13

−2512

=3

2+

13

−5

4( ) 3( )

=3

2+

13

. 13

−5

2 3. 3

3

=3

2+

13

−5 3

6=

3 3 + 2 − 5 36

=2 − 2 3

6

=1− 3

3

3

3 3 − 5 3=

5 3 − 5 36

= 06

= 0

cm2 = 3 ∴المساحة 3

A =12

× AB × BC

A =12

× 3 2 × 6

A =32

2 × 6

A =32

4 × 3

A = 3 3

(AB)(BC)

3 2( ) 6( )

A

B C

3 2cmcm

6 cm

40

1 2

a) :س1 / ضع كل مما يأتي في ابسط صورة

b)

س2 /ضع كل مما يأتي في ابسط صورة:

a)

b)

c)

d)

e)

س3 / بين صحة او خطأ العبارات االتية:

a)

b)

c)

d)

س4 / جد a2 , حيث b ≠ 0 , في كل مما يأتي بحيث يكون المقام عددا نسبيا :

a) a

b) a

c) a

14

7 - 32

5 + 34 7

2 3 − 5 2 + 3 − 4 2

3 2(4 2 − 3)

(2 3 + 5)(3 3 − 2 5)

(4 6 − 3)2 , (1− 2)3 , ( 3 + 2)2 ( 3 − 2)

(4 6 − 3)2 , (1− 2)3 , ( 3 + 2)2 ( 3 − 2) 1- 2( )3

a2

b

= 2 2 , = 3

= 2 - 2 , = 3

= - 4 3 , = - 2

b

b

b

+

−

3 + 3 = 6

8 + 2 = 3 2

12 = 2 6

2 3 × 3 3 = 6 33 3( )2 3( )

a2b ,

41

a) س5 / اختصر المقادير االتية

b)

c)

d)

سa/ 6 ) جد قيمة المقدار االتي : 4x2 - 2x + 5 اذا كانت قيمة x هي :

14 cm2 تساوي ABCD في الشكل المجاور اذا كانت مساحة المستطيل x جد قيمة (b

ABC جد مساحة المثلث (c

48 - 3 75 - 2 12

20 - 12 5 - 5 1

5

5 3

10 - 2 5

6 - 15

32

5 , 1 - 2 , 1

2 ( 2 - 3 )

A

D C

B

- 2( )

+ 2( )x

x

+

+

A

5 + 2

5 - 2CB

3

3

x > 2 حيث

2 63 - 7 2

7 - 3 282 1

7 2 63 - 7 2

7 - 3 28

42

. a يسمى جذرا تكعيبيا للعدد (a) فان اي عدد مكعبه العدد a a ∈ R R اذا كان

تعريف (2-2)

a هو العدد الحقيقي الوحيد الذي مكعبه b حيث a = b فان a R اذا كان

b3 = a : اي ان

يالحظ ان لكل عدد حقيقي جذر تكعيبي وحيد فمثال :

( 273 = 3) (3) هو الجذر التكعيبي للعدد (27)اي ان

( −643 = −4) (4-) هو الجذر التكعيبي للعدد (64-) اي ان

8 اي ان 125

3 =25

, 8125

) هو الجذر التكعيبي للعدد 25

)

اجلذور التكعيبية 4 - 2

a ∈ R

8125

3 =25

, 8125

( )

33

نستنج مما سبق انه :

(*) اذا كان a 0 فان b 0 (سالب)

(*) اذا كان a 0 فان b 0(موجب)

b = 0 فان a = 0 اذا كان (*)

a < 0a < 0

a > 0 a > 0

مالحظة

43

a , b a,b فان : ∈ R R اذا كان

a . b = a . b

a . a = a3 = a

a . a = a2 ≠ a

543 − 3 163 − 4 1283 بسط المقدار التالي :

احلل /

نحلل االعداد 54 ، 16 ، 128 الى عاملين احدهما مكعب كامل على االقل

مثال ( 1 )

= 33 2 − 3 × 23 2 - 4 × 43 2

3 54 =3 27 . 2 = 3 27 . 3 2 = 33 2

163 = 83 . 23 = 2 23

1283 = 643 . 23 = 4 23

= −19 23

33333

∴ 543 − 3 163 − 4 1283 3 3 3

3 3 3

3

=

, b ≠ 0ab

3

3 ab

3 3 3

33

3

1) والعكس صحيح

2)

3)

والعكس صحيح

3 والعكس صحيح 3 3 3 3 32

4) 3 3 3 3 3 3 الحظ ان

من خواص الجذور التكعيبية :

44

3 -a = 3 a

5 116

3 − 323 − 3 −12

3 بسط المقدار التالي :

احلل /

مالحظة : a a فان : > اذا كانت 0 0

= 5 116

×44

3 − 8 × 43 + 3 12

×44

3

= 5 464

3 − 2 43 + 3 48

3

=5 43

4− 2 43 +

3 43

2

=5 43 − 8 43 + 6 43

4

احلل /

مثال ( 2 )

33 −

=34

43

مثال (3 )

3 43

حجم املكعب = 3(طول الضلع)

= 3 43( )3

=33. 43 . 43 . 43

=27. 643

= 27( ) . 4( )=108 cm3

حجم املكعب

املساحة اجلانبية للمكعب = 4 ✕ مساحة وجه واحد

= 3 43( )2

× 4

= 43 . 43( ) × 4

= 163( ) × 4

= 23 . 83( ) × 4

= 23 × 2 × 4

=8 23 cm2

= 3 43 .3 43( )× 4

= 9 163( )× 4

= 9 23 . 83( )× 4

= 9 23 × 2× 4

= 72 23 cm2

3مكعب طول ضلعه جد حجمه ومساحته اجلانبية. 23 cm3 43

45

س1 / اختصر املقادير التالية:

a)

b)

c)

23 +1( ) 43 - 23 +1( ) س2 / جد ناجت

س3 / في الشكل املجاور : مكعب طول ضلعه cm جد حجمه ومساحته الكلية .

6 وحدة طول 33

, 543

, 323

س4 / متوازي سطوح مستطيلة ابعاده :

جد حجمه في ابسط صورة.

2 2

7 543 − −163 + 4 −1283

323 + 2 12

3 − ( −23 )2

2 33

2 33

813 − −243 − 3 =−19

3813 − −243 − 3 =−19

3

احلدودياتPolynomials

[1-3] مراجعة[2-3] حتليل الفرق بني مكعبني

[3-3] حتليل مجموع مكعبني[4-3] حتليل احلدوديات الثالثية

[5-3] حتليل املربع الكامل[6-3] العامل املشترك األكبر واملضاعف املشترك األصغر

[7-3] إستخدام التحليل في تبسيط املقادير اجلبرية


العامل املشترك األكبر

املضاعف املشترك األصغر

aa++

bb(

))2=

aa22++

22aabb

++bb22

−−−−

LCM

GCF


العامل املشترك األكبر

املضاعف املشترك األصغر

الفصل الثالث3

اوال

من المفيد مراجعة ما درست سابقا في موضوع الحدوديات. وقبل ذلك سوف نوضح الفرق بين:

. ( x2)3 , 4x , x4

x4 = x . x . x. x في نفسه 4 مرات x أي ضرب

4x = x + x + x +x اربعة مرات x أي جمع

(x2)3 = (x2) (x2) (x2)

∴ (x2)3 = (x) (x) (x) (x) (x) (x) = x(2)(3) = x6

ضرب حدانية في حدانية أخرى:

( 2x - 1) ( x + 3) نحاول ان نتذكر كيفية إيجاد ناتج

( 2x - 1 ) ( x + 3 ) = 2x (x)+ 2x (3) - 1 (x) - 1 (3)

= 2x2 + 6x - x - 3

= 2x2 + 5x - 3

2x2 + 5x-3 هو ( 2x - 1 ) ( x + 3) أي أن ناتج حاصل ضرب

مربع حدانية

( x + 5)2 تأمل خطوات إيجاد ناتج

( هندسيا ) ( جبريا )

x + 5

(x + 5 )2 = ( x + 5 ) ( x + 5)

= x(x) + x (5) + 5 (x) + 5 ( 5)

= x2 + 10x + 25

ثانيا

x

+

5

)

)

x2 5x

5x 25

الفصل مراجعة 1 - 3

3

48

حتليل حدودية بإيجاد العامل املشترك األكبر

(G.C.F) لنحاول ان نحلل الحدودية اآلتية بإستخراج العامل المشترك اآلكبر

6x3 y2 + 12 x y3

6x3 y2 = (2) (3) (x) (x) (x) (y) ( y)

12x y3 = (2) (2) (3) (x) (y) (y) (y)

(2) (3) (x) (y) (y)

اذا العامل المشترك األكبر هو: x y2 6 لذا سيكون التحليل

6x3y2 + 12x y3 = ( 6x y2 ) [ x2 + 2y]

تحليل الفرق بين مربعين

9x2 - 16 = (3x) 2 - (4)2 9 x 2 - 16 فمثال: حلل

= ( 3x - 4 ) ( 3x +4)

بعد هذه المراجعة المختصرة سنتطرق في البنود الالحقة ألكمال طرق التحليل األخرى.

وبصورة عامة

( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b2--

ثالثا

رابعا

∗ ∗∗

∗ ∗∗ ∗


a2 - b2 = (a - b)(a + b)

49

تعلمت سابقا كيفية فك األقواس بطريقة التوزيع.

فمثال لو ضربنا (a -b) في ( a2 + ab + b2 ) ماذا ينتج؟

( a - b ) (a 2 + ab + b2)

= a ( a2 ) + a(ab) + a(b2 ) - b(a2) - b(ab) - b(b2 )

= a 3 + a2 b + ab2 - b a2 - ab2 - b3

= a 3 - b3

ان الصورة: a3-b3 تسمى الفرق بني مكعبني

حتليل الفرق بني مكعبني 2 - 3

( a3 تقرأ a تكعيب)


( a3 - b3 ) = ( a - b )(a2 +ab +b2 )

ويالحظ /a3 هو اجلذر التكعيبي لـ a

b3 هواجلذر التكعيبي لـ b

العامل (a2+ab+b2) ال يتحلل في R .مالحظة /

50

م

حلل كال مما يأتي:

1) x3-27 2) 8x3-125y3 3) -

4) a6-b6

احلل/

1) x3 - 27= (x-3)(x2+3x+9)

(x)3 (3)3

2) 8x3 - 125y3 = (2x-5y)((2x)2+(2x)(5y)+(5y)2)

(2x)3 (5y)3

3)

4) a6 - b6 = (a2-b2)((a2)2+(a2)(b2)+(b2)2)

(a2)3 (b2)3 = (a2-b2)(a4+a2b2+b4)

مثال م

Q g(x) = 4x − 7g(x) = 10

∴10 = 4x − 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q1a3

Q g(x) = 4x − 7g(x) = 10

∴10 = 4x − 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q64b3

1a3 - 64

b3 = 1a

- 4b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+ 1a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ 4

b⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

1a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 64b3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1

a- 4

b⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1a2 + 4

ab+16

b2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(a-b)(a+b) هو فرق بين مربعين وتحليله هو a2 - b2 وكما تالحظ ومما تعلمته سابقا بأن

في هذه الحالة سيكون التحليل بالشكل اآلتي:

a6-b6=(a-b)(a+b)(a4+a2b2+b4)

أو بالطريقة اآلتية : a6 - b6 = ( a3)2 - ( b3)2 ونكمل التحليل

= 2x-5y( ) 4x2 +10xy+25y2( )= (2x-5y)( )

4 b

3

51

a3+b3 بنفس السياق واالسلوب المتبع في تحليل فرق بين مكعبين يمكن وضع الصورة العامة لتحليل

حيث:

حلل كال مما يأتي:

1) 64x3+1 2) 27a3 +8b3 3) 0.125x3+y6

4) x2y5+y2x5 5) 12

h3 +4

احلل/ 1) 64x3 + 1 = (4x + 1)((4x)2 - 4x(1) + (1)2)

(4x)3 (1)3 = (4x+1)(16x2-4x+1)

2) 27a3 +8b3 = 3

a+2b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

- 3a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 2b( )+(2b)2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

3a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

2b( )3 = 3a

+2b⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

9a2 - 6b

a+4b2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

حتليل مجموع مكعبني 3 - 3

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

مثال

52

3) 0.125x3 + y6 = (0.5x+y2)((0.5x)2-(0.5x)(y2)+(y2)2)

(0.5x)3 (y2)3 = (0.5x+y2)(0.25x2 - 0.5xy2+y4)

4) x2y5+y2x5 x2y2(y3+x3)

= x2y2(y+x)(y2-xy+x2)

5) 12

h3 +4= 12

h3 +8( )

أو

نستخرج عامل مشترك

= 12

h+2( ) h2 -2h+4( )

12

h3+4= h3+82

= 12

(h3+8)3

33

= 12

h+2( ) h2 -2h+4( )

x2y2

53

س1/ حلل كال مما يأتي في ابسط صورة :

1) x3 - 125 2) 8 + 27y3 3) a3 - 64b3

4) 3x3 + 81y3 5) 2xy4 + 16x4y 6)

7) 8) 1000a3 -b3 9) x6 + y6

10) 11) x9 + x3 12)

13) x4 - x 14) 0.64x3 -0.27y3

س2/ لكل سؤال مما يأتي أربع إجابات واحدة فقط صحيحة:

احد عوامل المقدار x3 + 8 هو: (1

a) x - 2 b) x2 - 4 x + 4 c) x2 - 2x + 4 d) x2 + 2x + 4

2) ( x - y ) ( x2 + xy + y 2 ) - ( x + y ) ( x2 - xy + y2 ) =

a) -2y3 b) 2y3 c) -2x3 d) 2x3

3)

a) 12 b) -2 c) 35 d) 2

4) 1 - x3 =

a) ( 1 - x )( 1 + x + x2 ) b) ( 1 - x ) ( 1 - x - x 2 ) c) ( 1 + x ) (1 - x + x2 ) d) ( x - 1 ) ( 1 + x + x2 )

حلل كال مما يأتي في ابسط صورة :

3 1

827

a3 - 115

+ 25z3

32 - 12

a3 3x3 + 19

y3

= x3 +y3 فأن x2 - xy + y2 = 7 وان ( x + y ) = 5 اذا كان

54

لنحاول تحليل الحدوديات اآلتية:

a) x2 + 8x + 12

جمع العواملعوامل العدد 12

(1) (12)1+12 = 13

(2)(6)2+6=8

(3)(4)3+4=7

x2+ 8x + 12 = ( x + 2 ) ( x + 6 )

b) x2 - 9x + 18 جمع العوامل عوامل العدد 18

1+ 18 = 19 (1) (18)

2 + 9 = 11 (2)(9)

3 + 6 = 9 (3)(6)

-3 + - 6 = -9 (-3)(-6)

حتليل احلدوديات الثالثية 4 - 3

من نوع x2 + bx + c اوال

مثال ( 1 )

✓

✓

ضرب حاصل اوجدنا اننا الحظ -: بالتجربة التحليل في

لهما الجبري المجموع بايجاد وقمنا والوسطين الطرفين

والذي يمثل االحد االوسط في الحدودية الثالثية .

6x+ حاصل ضرب الطرفين .

2x+ حاصل ضرب الوسطين .

8x+ الحد االوسط .

x2 - 9x +18 = ( x - 3 ) ( x - 6 )

3x- حاصل ضرب الطرفين .

6x- حاصل ضرب الوسطين .

9x- الحد االوسط .

55

c) x2 + 6x - 27

جمع العوامل عوامل العدد 27-

1-27=-26 (1)(-27)

27-1=26 (27)(-1)

3-9=-6 (3)(-9)

9-3=6 (9)(-3)

x2 + 6x -27 = ( x + 9 ) ( x - 3 )

d) x2 - 3x -18 جمع العوامل عوامل العدد 18-

1-18=-17 (1)(-18)

18-1=17 (18)(-1)

2-9=-7 (2)(-9)

9-2=7 (9)(-2)

3-6=-3 (3)(-6)

6-3=3 (-3)(6)

x2 - 3x -18 = ( x -6 ) ( x + 3 )

✓

✓

56

e) x2- 4xy - 77y2

جمع العوامل عوامل العدد 77-

1-77=-76 (1)(-77)

77-1=76 (-1)(77)

11-7=4 (-7)(11)

7-11=-4 (7)(-11)

x2- 4xy - 77y2 = ( x - 11y ) ( x + 7y )

لنحاول تحليل الحدودية

a) 6x2 + 17x + 7 (1)(7) = 7 (1)(6) العدد 6 = (2) (3)

(1)(6) (1)(7) ⇒ (1)(1) + (6)(7) = 43

(1)(6) + (7)(1) = 13

(2) (3) (1)(7) (2)(1) + (3)(7) = 23

(2)(7) + (3)(1) = 17

∴ 6x2 + 17x + 7 = ( 2x + 1) ( 3x + 7 )

من نوع ax2 + bx + c ثانيا

مثال ( 2 )

⎤⎦

3

14

العدد

✓

✓

57

b) 7x2 - 26x - 8 (1)(8) = 8 (1)(7) = 7 (2) (4)

(1)(1) - (8)(7) = -55

(1)(7) - (8)(1) = -1

(2)(1) - (4)(7) = -26

(2)(7) - (4)(1) = 10

∴ 7x2 - 26x - 8 = ( 7x + 2) ( x- 4 )

c) 3x2 - 17x + 10 (1)(10) = 10 (1)(3) = 3 (2) (5)

(1)(1) + (10)(3) = 31

(1)(3) + (10)(1) = 13

(2)(1) + (5)(3) = 17

(2)(3) + (5)(1) = 11

∴ 3x2 - 17x + 10 = ( 3x - 2) ( x- 5)

⎤⎦

2

-28

-2

-15 وبصورة عامة ax2 + bx + c

( + ) ( + )

. = a . = c . + . = b

⎤⎦

العدد العدد

العدد العدد

✓

✓

58

نحاول ان نحلل:

a) x2 - 8x + 16 (x)2 (4) 2

اي مربع كامل

∴ x2 - 8x + 16 = (x - 4)2

b) 9x2 + 12x + 4 (3x)2 (2) 2

اي مربع كامل

∴ 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2

c) 25 - 25x + 4x2 (5)2 (2x) 2

ليس مربعا كامال

5 - 3 حتليل املربع الكامل

مثال ( 1 )

-2 (x) (4) = -8x

2 (3x) (2) = 12x

-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x

59

وبصورة عامة تكون الحدودية ax2 + bx + c مربعا كامال

+ كان _

2 (ax2 ) (c) = bx

+ 2 (ax2 ) (c) = +2 (x2 )(25) = 10x = bx

- 2 (ax2 ) (c) = -2 (9x2 )(4) = -12x = bx

- 2 (ax2 ) (c) = -2 (16x2 )(1) = -8x = bx

اذا

≠

اي الحدوديات تمثل مربعا كامال ؟

a) x2 + 10x + 25

b) 9x2 - 37x + 4

c) 16x2 - 8x + 1

d) 3x2 - 20x - 9

e) 25x2 + 76x + 3

احلل /

a) مربعا كامال

b) ليس مربعا كامال

c) مربعا كامال

d) 3x2 - 20x - 9 ليس مربعا كامال الن الحد االخير سالبا

e) 25x2 + 76x + 3 ليس مربعا كامال الن 3 ليست مربعا كامال

مثال ( 2 )

60

ax2 + bx + c الحدودية الثالثية بشكل عام هي بصورة

* اذا كان الحد االوسط (bx) مفقودا فأن

25x2 - ...... + 49 جد الحد المفقود في الحدودية

لتصبح مربعا كامال

احلل/

x2 + ...... + 100y2 جد الحد المفقود في الحدودية


احلل/

* اذا كان الحد االول ax2 مفقودا فأن

جد الحد المفقود في الحدودية 8x +16 +.... لتصبح مربعا كامال

احلل/

[1 - 5 - 3] ايجاد الحد المفقود في الحدودية الثالثية لتصبح مربعا كامال : -

bx = _

+ 2 (ax2 )(c)

مثال ( 3 )

bx = 2 (ax2 )(c) = 2 (ax2 )(100y2 ) = 2x(10y) = 20xy ∴ x2 +20xy +100y2 = (x +10y)2

مثال ( 4 )

bx = 2 (ax2 )(c)

bx = 2 (25x2 )(49) = 2(5x)(7) = 70x25x2 - 70x + 49 = (5x -7 )2

مثال ( 5 )

ax2 =+ bx( )2

4c

-

ax2 = + bx( )2

4c

∴ax2 = + 8x( )2

4(16) = 64x2

64 = x2

x2 + 8x + 16 = ( x + 4 )2

-

∓

(

61

جدالحد المفقود في الحدودية 20x + 25- .... لتصبح مربعا كامال

احلل/

اذا الحدودية ستكون بشكل :

* اذا كان الحد c مفقودا

جدالحد المفقود في الحدودية .... + x2 + 8x لتصبح مربعا كامال

احلل/

اذا الحدودية ستكون

جد الحد المفقود في الحدودية .... + 9x2 - 60x لتصبح مربعا كامال

احلل/

اذا الحدودية ستكون :

ax2 = + bx( )2

4c

∴ax2 = - 20x( )2

4(25) = 400x2

100 = 4x2

4x2 - 20x + 25 = (2x - 5 )2

c = + bx( )2

4ax2

c = + bx( )2

4ax2

∴c = 8x( )2

4x2 = 64x2

4x2 = 16

x2 + 8x + 16 = (x + 4 )2

c = + bx( )2

4ax2

∴c = -60x( )2

4(9x2 ) = 3600x2

36x2 = 100

9x2 - 60x + 100 = (3x - 10 )2

-

-

-

-

مثال ( 6 )


مثال ( 7 )

مثال ( 8)

62

(LCM) والمضاعف المشترك االصغر ( GCF) سبق وان تعلمت طريقة ايجاد العامل المشترك االكبر

لعددين او اكثر وكذلك تعرفت في البنود السابقة وفي الصف الثاني المتوسط على طرق تحليل الحدوديات

في هذا البند سنتعرف على طريقة ايجاد كل من (GCF)،(LCM ) للحدوديات :

x3 - xy2 , 4x2 - 4xy , 6x2y - 6xy2 للحدوديات االتية ( LCM)،(GCF) جد

احلل/

نحلل كل حدودية على حدة وحسب طرق التحليل السابقة

جد (GCF)،(LCM ) للحدوديات :

a2 - 9 , a2 - 6a +9 , a2 - 8a + 15

احلل /

نحلل الحدوديات

العامل املشترك االكبر 6 - 3 واملضاعف املشترك االصغر

(LCM) والمضاعف المشترك االصغر ( GCF) أيجاد العامل المشترك االكبر *

مثال ( 1)

x3 - xy2 = x ( x2 -y2 ) = x(x -y)(x + y) ....* GCF = x( x - y ) 4x2 - 4xy = (2)(2)x(x - y)....* 6x2y - 6xy2 = (2)(2)x(x - y)....* LCM = 12xy( x - y )( x + y )

مثال ( 2)

a2 - 9 = ( a - 3 ) ( a + 3 ) ....* GCF =( a -3 ) a2 - 6a + 9 = ( a - 3 )2 ....* a2 - 8a + 15 = ( a - 3 )( a - 5 ) ....* LCM = ( a - 3 )2 (a + 3)( a + 5)( a - 5 )

3 y x-y( ) .. *

a-5( )2

63

جد (GCF)،(LCM ) للحدوديات االتية :

2 a3b - 2ab3 , a4 - 2a3b +b2a2 , 3a4b - 3ab4 الحل /

( LCM)،(GCF) الخالصة اليجاد* نحلل الحدوديات.

* GCF : يمثل حاصل ضرب العوامل المشتركة فقط وباصغر أس .* LCM : يمثل حاصل ضرب العوامل المشتركة وغير المشتركة باكبر أس .

مثال ( 3)

2a2b - 2ab3 = 2ab ( a2 - b2 ) = 2ab ( a - b )( a + b ) ....* a4 - 2a3b + b2a2 = a2 ( a2 - 2ab + b2 ) = a2 ( a - b )2 ....* a2 + ab + b2a2 = ( a - b )( a + 2b ) ....* 3a4b - 3ab4 = 3ab ( a3 - b3 ) = 3ab ( a - b )( a2 + 2ab + b2 ) ....*∴ GCF = ( a - b )LCM = 6a2b(a - b)2 (a + b)(a2 + ab + b2 )

ab

3 2a2b - 2ab3 = 2ab ( a2 - b2 ) = 2ab ( a - b )( a + b ) ....* a4 - 2a3b + b2a2 = a2 ( a2 - 2ab + b2 ) = a2 ( a - b )2 ....* a2 + ab + b2a2 = ( a - b )( a + 2b ) ....* 3a4b - 3ab4 = 3ab ( a3 - b3 ) = 3ab ( a - b )( a2 + 2ab + b2 ) ....*∴ GCF = ( a - b )LCM = 6a2b(a - b)2 (a + b)(a2 + ab + b2 )




64

3 2

س 1/ حلل كل مما ياتي:

س 2/ بين اي الحدوديات االتية تمثل مربعا كامال .

س3/ اكمل الحدوديات االتية لتصبح مربعا كامال :

1) x2 + 6x + 82) x2 - 2x - 153) x2 + 3x + 2 4) 4x2 + 21x + 27 5) x2 + 11x - 806) 4x2 - 4x - 157) 6x2 - 7x - 208) x2 + 20x + 1009) 16x2 + 8x + 110) 4x2 - 12x + 9

1) x2 - 18x + 812) x2 - 7xy + 49y2

3) 4x2 + 25 - 12x 4) 4x2 + 25 - 20x5) 8x2 - 40x + 506) -x2 - 2xy - y2

1) ...... - 32x + 642) x2 - 12x + .....3) 25x2 - ....... + 9y2 4) ...... + 24ab + 36b2

10) 4x2 - 12xy + 9y2

-

65

س4/ حدد االجابة الصحيحة لكل مما يأتي :

1) قيمة m التي تجعل الحدودية 25x2 - mx + 4 مربعا كامال تساوي

a) 30 b) -20 ، 20 c) 10 d) -10

2) ان قيمة n التي تجعل الحدودية y2 + 12y - n مربعا كامال هي :

a) 36 b) -36 c) 144 غير ذلك

س5 / جد (LCM) , (GCF) للحدوديات األتية:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

d)

5x2 -3x( )3 , 5x2 +7x-6 , 10x2 -6x

x3 +y3 , x2 +4xy , x3-xy2

x4 -16 , x4 +8x2 +16 , x6 +64

3x2 -3x2y2 , 5x+5xy , x-xy-2xy2

12

x2 -2 , 2x2 -16 , 3x2 -x-10

x2 -y2 , x3-y3 , x-y( )4 7x-7y

xy, x3-xy2

3

,

66

ان مجموعة االعداد النسبية Q تكتب بشكل:

كما تعلم ان :

باألمثلة:

استخدام التحليل في 7 - 3 تبسيط املقادير اجلبرية

اختصار احلدوديات النسبية اوال

Q = ab

, a, b ∈ R,b ≠ 0⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

35

=2( ) 3( )2( ) 5( )

= 610

, 35

=5( ) 3( )5( ) 5( )

= 1525

وبصورة عامة اذا ضرب كل من البسط والمقام في عدد حقيقي اليساوي صفرا فان

قيمة الكسر التتغير

ab

= acbc

c ≠ 0

3040

=

202402

= 1520

3040

=

30104010

= 34

3040

=

30a

40a

, a≠0

وبصورة عامة اذا قسم كل من البسط والمقام على عدد حقيقي اليساوي صفرا فان قيمة

الكسر التتغير .

35

=a( ) 3( )a( ) 5( )

=3a5a , a≠0

30

ab

= a÷cb÷c

,b,c ≠ 0

Z

67

بسط كال مما ياتي :

1) 6x+12x2 -4

2) x3-27x3 +3x2 + 9x

3) 2x2 -4x+2x2 -7x + 6

4) 2x2 -23+3x3

احلل/ 1)

2)

3)

4)

االمثلة األتية توضح تبسيط الحدوديات النسبية :

مثال ( 1)

6x+12x2 -4

=6 x+2( )

x+2( ) x-2( )

= 6x-2( )

x3-27x3 +3x2 + 9x

=x-3( ) x2 +3x+9( )x x2 +3x+9( )

=x-3( )x

2x2 -4x+2x2 -7x + 6

=2 x2 -2x+1( )

x-6( ) x-1( )

=2 x-1( ) 2

x-6( ) x-1( )=

2 x-1( )x-6( )

=2 x2 -1( )3 1-x3( )

=2 x-1( ) x+1( )

-3 x3-1( )=

2 x-1( ) x+1( )-3 x-1( ) x2 +x+1( )

=2 x+1( )

-3 x2 +x+1( )

2x2 - 2 3 + 3x3−

68

ضرب الحدوديات النسبية .

تعلم ان :

اي ان :


احلل /


احلل /

مثال ( 2)

ضرب وقسمة احلدوديات النسبية .ثانيا

ab

. cd

=a( ) c( )b( ) d( )

= acbd

, b,d≠0

ab

÷ cd

=

abcd

= , b,c,d≠0

3x+22x+4

. x2 +5x+69x2 -4

3x+2( )2 x+2( )

.x+3( ) x+2( )3x+2( ) 3x-2( )

=x+3( )

2 3x-2( )

3x+22x+4

. x2 +5x+69x2 -4

مثال ( 3)

x2 +3x+2x2 +4x+4

÷ 5x2 +5xx2 -4

x2 +3x+2x2 +4x+4

÷ 5x2 +5xx2 -4

x+2( ) x+1( )x+2( )2 ÷

5x x+1( )x-2( ) x+2( )

ab

÷ cd

= ab

. dc

=

=

69


احلل /


احلل /

مثال ( 4 )

x2 -25x3-125

÷ x2 +10x+25x2 +x-20

مثال ( 5 )

x2 +2x+1( ) ÷x+1( )3

x3 +1

x2 -25x3-125

÷ x2 +10x+25x2 +x-20

x+5( ) x-5( )x-5( ) x2 +5x+25( )

÷x+5( )2

x+5( ) x-4( )

x+5( ) x-5( )x-5( ) x2 +5x+25( )

.x+5( ) x-4( )

x+5( )2=

x-4( )x2 +5x+25( )

x+2( ) x+1( )

x+2( )2.

x-2( ) x+2( )5x x+1( )

=x-2( )5x

=

=

=

x2 +2x+1( ) ÷x+1( )3

x3 +1

x+1( )2

1÷

x+1( )3

x+1( ) x2 -x+1( )

x+1( )2

1.

x+1( ) x2 -x+1( )x+1( )3

= x2 -x+1( )

=

=

70

( LCM) اليجاد ناتج جمع او طرح الحدوديات النسبية ، يجب ان نجد المضاعف المشترك االصغر

لمقامات الحدوديات وذلك بالتحليل وحسب الطرائق السابقة واالمثلة اآلتية توضح ذلك


احلل/


احلل/

جمع وطرح احلدوديات النسبية .ثالثا

مثال ( 6 ) 2

x2 -9+ 3

x2 -4x+3

2x2 -9

+ 3x2 -4x+3

2x-3( ) x+3( )

+ 3x-1( ) x-3( )

, LCM= x-3( ) x+3( ) x-1( )

2 x-1( )x-3( ) x+3( ) x-1( )

+3 x+3( )

x-3( ) x+3( ) x-1( )2x-2+3x+9

x-3( ) x+3( ) x-1( )5x+7

x-3( ) x+3( ) x-1( مثال ( 7 ) (

2 x3-64( )x x2 +4x+16( )

- x-1x

2 x-4( ) x2 +4x+16( )x x2 +4x+16( )

-x-1( )x

2 x-4( )x

-x-1( )x

⇒2 x-4( ) - x-1( )

x2x-8-x+1

x⇒

x-7x

⇒

2x3-128x3 +4x2 +16x

- x-1x

2x3-128x3 +4x2 +16x

- x-1x

=

=

=

71

3 3

س1/ بسط كال مما ياتي :

1) 2) x2 -y2

x2 -xy-2y2

3) 4)

س2/ جد ناجت كل مما ياتي في ابسط صورة :

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

x3 +8x3-2x2 +4x

12-4xx2 -2x-3

x 2x-1( ) -1x x-1( )

x2 +7x-8x-1

. x2 -4x2 +6x-16

x2 +9x+20x2 +5x-24

÷ x2 +15x+56x2 +x-12

x2 +x+1x4 -x

- x+3x2 +2x-3

x2 +4x-21x2 +14x+49

÷ x-72x2 -98

x2 -2xy+y2

x-y. x+y

x-y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟÷ x2 -y2

x2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟x2 -xy-2y2( ) ÷ x2 -y2

x2 -2xy+y2 . x3-8y3( )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3x-1

+ 2x+1

+ 4x2 +2x-3

x-3x-1

+ 5x-15x-3( )2 - 3x+1

x2 -4x+3

x3 +27x+3

÷ x3-3x2 +9xx2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟÷x 4x2 -1

4x2 -4x+1+1

83

املتباينات Inequalities

[1-4] اجلمل الرياضية[2-4] املتباينة اخلطية

[3-4] املعادلة من الدرجة األولى مبتغيرين[4-4] حل معادلتني من الدرجة األولى مبتغيرين آنيا

[5-4] املعادلة من الدرجة الثانية مبتغير واحد [6-4] املعادالت الكسرية

gggxx(()))

>>aa

bb≤≤

fffx(()) ≤≤

aa

fffxx((()) <<

dd

المصطلح الرمز او العالقة الرياضية

متباينة

متباينة مزدوجة

T صائبة

F خاطئة

a,b ∈ R a < b ،

d < f x( ) < c

المصطلح الرمز او العالقة الرياضية

متباينة

متباينة مزدوجة

صائبة

خاطئة

الفصل الرابع4

المقدمة

إن دراسة الجمل الرياضية يتطلب معرفة في موضوع المنطق الرياضي والذي هو بالحقيقة منطق لغوي

لعلوم الرياضيات، لو أمعنا النظر في الجمل اآلتية:

. 5= 25 (1) بغداد عاصمة العراق (2) 4 < 3 (3) 1- أكبر عدد صحيح سالب (4)

نالحظ أن كل منها جملة خبرية لها معنى محدد وهو أن كل منها إما صائبة أو خاطئة فقط، وال يمكن

أن تقبل الصواب والخطأ معا كما في ( 2x-1 = 0 ) فهي صائبة لمجموعة قيم x وخاطئة لقيم أخرى

إعتمادا على مجموعة التعويض كما تعلمنا في موضوع المعادالت .

العبارة هي جملة خبرية ذات معنى محدد إما صائبة أو خاطئة وال يمكن أن تكون صائبة وخاطئة في آن واحد.

نفي العبارات: في اللغة نستخدم أداة النفي « ليس » مثال العبارة

5 > 4 يكون نفيها 5 ليس أكبر من 4 أو 5 > 4 وبالرموز اذا

)P هو نفي P ، وإذا كانت P صائبة ) كانت P عبارة فأن

فأن نفيها خاطئة والعكس صحيح كما في الجدول .∼

أمثلة P∼ P

(1)

(2)

(3)

(4)

2 عددا ليس أوليا2 عددا أوليا

-3 ∈ N-3 ∉ N

5 ∉ Q5 ∈ Q12

>14

12

>14

الفصل

4 الجمل الرياضية 1 - 4

Statement العبارة

P P

F T

T F

F T

F T

∼

P PT F F T

∼

تعريف [4-1] :

74

أدوات الربط والعبارات المركبة

سوف نتطرق في هذه المرحلة ألداتي الربط : ( أو ” ∨ ) ، ( و ” ∧ )

2 عدد غير نسبي أو 9 عدد غير أولي. 1

2 مجموع زوايا المثلث 180o و المربع مستطيل.

27 = −3( )3 3 قطرا المعين متناصفان و

الحظ أننا أستخدمنا األداة أو واألداة و للحصول على جملة جديدة تسمى جملة مركبة.

*تكون الجملة المركبة الناتجة من ربط جملتين باألداة أو خاطئة فقط عندما تكون كلتا العبارتين خاطئة.

* تكون الجملة المركبة الناتجة من ربط جملتين باألداة و صائبة فقط عندما تكون كلتا العبارتين صائبة،

كما في الجداول اآلتية:

P1 ∨ P2P2P1P1 ∧ P2P2P1

TTTTTT

TFTFFT

TTFFTF

FFFFFF

ففي المثال: 1 عبارة صائبة .

2 عبارة صائبة .

3 عبارة خاطئة .

””

أمثلة

المتباينة: جملة خبرية تتكون من وضع أحد رموز التباين بين تعبيرين جبريين.

تعريف [4-2] :

75

املعنى الرمز

< أكبر من

> أصغر من

أصغر أو يساوي ≤

≤ أكبر أو يساوي

≠ ال يساوي

فمثال:

2x - 1 < 5 , x + 3 ≤ 2 , 2 ≤ 3x - 4 < 5 , x2 - x > 0

. 5x2 - 3x +1 ≤ 6 ، 15 < 8 ، 3 ≠ 5 ≥ -2

وستقتصر دراستنا في هذه المرحلةعلى المتباينة من الدرجة األولى في متغير واحد. وكما درسنا في فصل

. a - b > 0 على خط األعداد أي أنه b يقع يمين a فأن ( a > b) األعداد الحقيقية أن

فمثال

(1) األعداد يسار العدد (3) (عدا 3 نفسه) تمثل على خط األعداد بشكل:

وتكتب (x < 3 ) وتقرأ x أصغر من 3 .

(2) األعداد يمين العدد (1) عدا العدد 1 نفسه تمثل على خط األعداد بشكل:

وتكتب (x > 1 ) وتقرأ x أكبر من 1 .

(3) األعداد يمين العدد (3-) ومن ضمنها (3-) تمثل على خط األعداد بشكل:

وتكتب (x ≥ -3 ) وتقرأ x أكبر من أو تساوي 3- .

(4) األعداد على يسار (2) ومن ضمنها (2) تمثل بشكل:

وتكتب (x ≤ 2 ) وتقرأ x أصغر من أو يساوي 2 .

3

1

-3

2

76

املتباينة اخلطية (من الدرجة األولى)

ذات املتغير الواحد

4 - 3

ax + b < 0

a , b , c ∈ R

a+c < b+c

هي عالقة تأخذ أحد األشكال اآلتية:

. a ≠ 0 حيث ، ax + b > 0 ، ax + b ≤ 0 أو ax + b ≥ 0

بعض المتباينات (مثال 3 < 7 أو 4 ≠ 2) هي جمل رياضية صائبة كذلك ( 4 < 3- و 5 > 16)

خاطئة ، لكن المتباينات األولى قد تكون صائبة لقيم المتغير فيها ضمن مجموعة تعويض معلومة .

مثال I = { 0 , 1 , 2 , 3 }2 وكانت مجموعة التعويض هيx + 3 ≤ 8 :لو أخذنا المتباينة

. s = { 0 , 1 , 2 } لذا فأن مجموعة الحل x ∈{ 0 , 1 , 2 , 3 } أو أن

x ∈ Ι 2x + 3 ≤8 املتباينة قيمة الصواب

0 0 + 3 ≤ 8 T

1 (2) (1) + 3 ≤ 8 T

2 (2)(2) + 3 ≤ 8 T

3 (2)(3) + 3 ≤ 8 F

إذا كانت فأن :

(1) اذا كانت b < c و a 2 + 3

أي أن عند إضافة اعداد متساوية الى طرفي المتباينةفأن الترتيب ال يتغير .

[1 - 2 - 4] مجموعة حل المتباينة

[2 - 2 - 4] خواص المتباينات

77

2 -3 < 4 - 3

42

< 62

ab

< bcc

ac

< bc

>8-2

< 10-2

>

(3) اذا كانت a < b فأن : a - c (3-)(3)

اي 6 > 9-

(5) اذا كانت c , a b c

اذا كان c = -2 , -2 < 5 فأن:

(-2) (-2) > (-2) (5)

اي 10- < 4

عند ضرب طرفي متباينة بعدد سالب فأن المتباينة صائبة بعكس الترتيب.

(6) اذا كانت c ، a 2

عند قسمة طرفي متباينة على عدد موجب فأنها صائبة بنفس الترتيب

(7) اذا كانت c ، a ).

78

4x - 5 < 3 ( x - 2 ) - 1 حل المتباينة اآلتية ومثل مجموعة الحل على خط األعداد

الحل/

4x - 5 < 3 ( x - 2 ) - 1 المتباينة

4x - 5 < 3 x - 7 توزيع

4x - 5 -3x < 3 x - 7 - 3x اضافة للطرفين

x - 5 < - 7

x - 5 + 5 < - 7 + 5 اضافة (5) للطرفين

∴ x < -2

{x : x < -2 } = مجموعة الحل ∴

-4(x - 2) > 5 - 5 ( x - 1 ) حل المتباينة ومثل مجموعة الحل على خط االعداد

الحل/

-4(x - 2) > 5 - 5 ( x - 1 ) المتباينة

-4x + 8 > 5 - 5 x + 5 ازالة االقواس

-4x + 8 > 10 - 5 x

-4x + 5x + 8 > 10 - 5 x + 5x اضافة للطرفين

مجموعة حل المتباينة : f(x) < m حيث m ∈ R ، حدودية في x هي مجموعة قيم

المتغير x التي تجعل المتباينة صائبة .

f (x)

مثال ( 1 )

-2-3-4-5 -1 0 1

مثال ( 2 )

تعريف [4-3] :

(-3x)

(5x)

79

x + 8 -8 > 10 - 8 اضافة(8-) للطرفين

∴ x > 2

{x : x > 2 } = مجموعة الحل ∴

حل المتباينة ومثل على خط االعداد

الحل/

المتباينة

((الحظ تغير اتجاه المتباينة )) بضرب طرفي المتباينة 5-

اضافة (5x) للطرفين .

باضافة (3-)

بالقسمة على 3

مجموعة الحل

2 3 4 5-1 0 1

مثال ( 3 ) -2x + 3

-5 ≤ x +1

-5 -2x + 3-5

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≥ -5(x + 1 )

-2x + 3 ≥ -5x -5 3x + 3 - 3 ≥ -5 -3 3x ≥ -8 3x3

≥ -83

∴ x ≥ -83

∴ s = x : x ≥ -2 23

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

-2x + 3-5

≤ x +1

-2-3 2 3-1 0 1

-2 23

≥-5x-5

80

حل المتباينة ومثل مجموعة الحل على خط االعداد

الحل/

المتباينة

بضرب طرفي المتباينة في 4

تبسيط الطرفين

باضافة (y-) للطرفين

. { y : y < -7 } = مجموعة الحل ∴

حل المتباينة ( u ≠ -7- ) ومثل مجموعة الحل على خط االعداد

-u ≠ -7 الحل/ المتباينة

نضرب الطرفين في (1-) ..... ويمكن القسمة على (1-)

تبسيط الطرفين R-{7} = { u : u ≠ 7 } = مجموعة الحل ∴

مثال ( 4 )

y - 3

4 - > y

2

y - 3 4

- 1 > y2

4 y - 3 4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ - 4 (1) > 4 y

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

y - 3 - 4 > 2y y - 7 > 2y y - 7 - y > 2y - y - 7 > y y > -7

-2-3-4-5 -1 0-6-7-8-9

مثال ( 5 )

(-1)(-u) ≠ (-1)(-7) u ≠ 7

-1

>

-2-3 4 5-1 0 6 7 8 91 2 3

81

. x حدودية في f(x) c , d ∈ R حيث d < f (x) <c : االن نحاول حل متباينة من نوع

((Double Inequalities)) ويسمى هذا النوع متباينة مزدوجةوهي عبارة عن متباينتين : f2 (x) > d , f(x) < c مربوطتين باداة الربط ((و)) .

.S1 هي المجموعة f (x) <c لتكن مجموعة حل االولى *

. S2 هي مجموعة الحل f(x) >d لتكن مجموعة حل الثانية *

S = S1 ∩S2 : حيث S فأن مجموعة حل المتباينة االصلية : هي

حل المتباينة ومثل مجموعة الحل على خط االعداد

احلل / المتباينة االولى المتباينة الثانية

باضافة (2-) باضافة (2-)

تبسيط تبسيط

بالقسمة على 4 بالقسمة على 4

S = S1 ∩S2

S1S2

مثال ( 6 ) -3 < 4x + 2 ≤ 10

حيث

4x+2>-34x+2-2>-3-2

4x>-54x4

> -54

x> -54

s2 = x:x> -54

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∴

s= x:-54

<x≤2⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⇒

4x+2-2≤10-24x+2≤10

4x≤84x4≤ 8

4x≤2

s1 = x:x≤2{ } ∴

s=s1 I s2 = x:x≤2{ } I x:x> -5

4⎧⎨⎩

⎫⎬⎭ ∴

⇒

∩

10-1-2 2 3-3 4

−54

∩

82

حل المتباينة ومثل مجموعة الحل على خط االعداد . احلل/

يمكن حل المتباينة دون الحاجة الى التجزئة كما في المثال السابق:

المتباينة االصلية

باضافة (1-) الى طرفي المتباينة

تبسيط

بالقسمة على (2-) مع مراعاة تغير الترتيب

يفضل في كتابة مجموعة حلول المتباينة المزدوجة ان يكون العدد االصغر الى اليسار ليكون ذلك

متناسقا مع خاصية الترتيب على خط االعداد اي ان :

ما هي االعداد الصحيحة التي اذا اضيفت الى ثالثة امثالها (5) فان الناتج يقع بين 17 ، 35 احلل /

y = نفرض احد االعداد الصحيحة اذا تصبح المسألة بالصورة الجبرية

باضافة(5-)

بالقسمة على (3)مع المحافظة على ترتيب التباين

∴ االعداد الصحيحة التي تحقق المسألة هي 9 , 8 , 7 , 6 , 5

مثال ( 7 )

مثال ( 8 )

3<1-2y≤10

3<1-2y≤10

3-1<1-2y-1≤10-1

2<-2y≤9

2-2

> -2y-2

≥ 9-2

-1>y≥ -92

s = y : −92

≤ y < −1⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

17 < 3y+ 5 < 3517 - 5 < 3y+ 5 - 5 < 35 - 512 < 3y < 30123

<3y3

<303

4 < y < 10

تدريب حل مثال (6) بنفس هذه الطريقة .

-2-3-4-5 -1 0

-92

83

س1/ أبحث في صحة كل من العبارات اآلتية :

)2− و 7 عدد أولي. )3= −8 (1

)3− يقع على يمين 2- على خط األعداد. ) 15 أو = 5. 3 (2

3) قياس كل زاوية في المثلث المتساوي األضالع 60o و كل مستطيل مربع.

. 6 = 2 + 3 4) الصفر عدد غير نسبي أو

. 66

= 6 643− و = −4 (5

س2/ حل كال من المتباينات االتية ومثل مجموعة الحل على خط االعداد . (1) 2x+3≤9 (2) 5-2y>4 (3) 3Z+5>17 (4) 9≤5-3t

(5) 3k+52

>4 (6) 2p-5-3

≤2 (7) 2 2p-1( ) ≤6- p+8( )

(8) 13

t+ 712

> 12

t+ 34

(9) -10≤2b-3≤9 (10) -4< 3m+22

<5

(11) -13

y≠ 12

(12) 2 p-1( ) -3>2p+3 (13)

س3 / a) اذا كانت درجة زيد في امتحان الرياضيات في الشهر االول (66) وكان يريد الحصول على معدل

في الرياضيات يتراوح بين 70 ، 80 درجة فكم تتراوح الدرجة التي يجب ان يحصل عليها في االمتحان الثاني؟

b) جد مجموعة االعداد الصحيحة التي اذا اضيفت اليها 6 كان الناتج بين 3- ، 7 .

س4 / استبدل عالمة االستفهام فيما يلي باحد الرمزين > او < .

.a ? b فان a - b = -2 اذا كانت . a ? b فان a - b = 1 اذا كانت (a

أبحث في صحة كل من العبارات اآلتية :

4 1

10 p - 8 < 8 + 7p

(b

84

تعلمت من دراستك السابقة ان اية نقطة في المستوي االحداثي تمثل بزوج مرتب من االعداد

. (x , y) الحقيقية

فالمعادلة التي صورتها : معا حيث و معا و تسمى

.x , y معادلة خطية بمتغيرين

جد مجموعة حلول المعادلة :

او مجموعة الحل للنظام :

احلل /

نحاول ايجاد مجموعة الحل بايجاد مجموعة قيم x , y والتي تحقق المعادلة كما في الجدول

(x, y)yx+y=3x

(-1 , 4)4-1+y = 3-1

( 0 , 3)3 0 +y = 30

(1 , 2)2 1 +y = 3 1

( 2, 1)12 + y = 32

من الجدول واضح ان هناك مجموعة غير محددة من االزواج المرتبة (x, y) بحيث ان .

وتكون مجموعة الحل .

املعادلة من الدرجة االولى 3 - 4 مبتغيرين

ax+by+c=0a,b,c ∈ Ra≠0b≠0

[1 - 3 - 4] مجموعة حل المعادلة من الدرجة االولى في متغيرين

مثال ( 1 )

x+y=3

A= x,y( ) :x,y ∈ R, x+y=3{ }

x+y=3

x+y=3

s= 0,3( ) , 1,2( ) , 2,1( ) , -1,4( ) ...{ }

.....

.....

.....

.....

85

ارسم المخطط البياني للمعادلة : 2x + 3y = 6 حيث .

x احلل / مجموعة قيم

. x = 3 , x = -1 واضح ان المخطط البياني للمعادلة يمثل قطعة مستقيم محددة بالنقطتين الناتجتين من

تعريف [4-4] : مجموعة حل المعادلة من الدرجة االولى بمتغيرين x , y هي مجموعة جميع االزواج المرتبة

(x , y) التي تحقق الجملة المفتوحة ax + by + c = 0 اي التي تجعلها صائبة .

مثال ( 2)

(x, y)y2x+3y=6x

(−1, 83

)83-2+3y=6-1

(0,2)20+3y=60

(1, 43

)432+3y=61

(2, 23

)234+3y=62

(3,0)06+3y=63

(1) لتمثيل المعادلة الخطية بمتغيرين في x , y نكتفي باخذ

نقطتين تحققان المعادلة ويفضل ثالث نقاط للدقة .

(2) المخطط البياني للمعادلة ax +by +c = 0 مستقيم او مجموعة جزئية

. x (قطعة مستقيم اوشعاع) معتمدا على مجموعة تعريف المتغير

مالحظة

• •• ••-1 0 1 2 3[ ]

1-1 2 3

3,0( )

y

x

•

•

(-1 , 83

)

-1 ≤ x ≤ 3

86

حل معادلتني من الدرجة االولى

مبتغيرين انيا

L2 معادلتين من الدرجة االولى بمتغيرين x , y لحل :a2x+b2y=c2 , L1:a1x+b1y=c1 لتكن

هذا النظام هناك عدة طرق : بيانية وتحليلية (التعويض ، الحذف) وبطريقة المصفوفات والمحددات .

في هذه المرحلة سندرس الطريقة البيانية وطريقتي التعويض والحذف فقط .

. L1 هي مجموعة حل معادلة S1 وبشكل عام اذا كانت

s1 = x,y( ) :a1x+b1y=c1{ }. L2 هي مجموعة حل معادلة S2

. S2 , S1 فتكون مجموعة حل النظام هي تقاطع المجموعتين

. R في x - y = 1 , x + y = 3 : جد مجموعة حل النظام احلل /

: R نعمل الجدول بثالث نقاط من مجموعة التعويض

مبتغيرين انيا حل معادلتني من الدرجة االولى



حل معادلتني من الدرجة االولى مبتغيرين انيا


حل معادلتني من الدرجة االولى



حل معادلتني من الدرجة االولى مبتغيرين انيا


4 - 4

s2 = x,y( ) :a2x+b2y=c2{ }

s=s1 ∩ s2

الطريقة البيانية :- اوال

مثال ( 1)

L1:x+y=3

(x, y)yx

(0,3)30

(1,2)21

(2,1)12

(x, y)yx

(0,-1)-10

(1,0)01

(2,1)12

L2 :x-y=1

اي :

87

مجموعة الحل = {(1 , 2)}

*

ويتلخص بتحويل أحدى المعادلتين الى معادلة بمتغير واحد فقط وذلك بإيجاد عالقة بين y ، x من أحدى

المعادلتين وتعويضها في المعادلة االخرى كما في المثال االتي:

جد مجموعة حل النظام

: y بداللة x احلل / من المعادلة (1) نجد

اي ان:

نعوض االن قيمة x من (3) في المعادلة (2) لنحصل على :

طريقة التعويض :- ثانيا

مثال ( 2 ) x-y=1.......... 1( )x+y=3......... 2( )

x=1+y......... 3( )1+y( ) +y=3

1+2y=32y=2

∴ y=1

X

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 40-1

-2

L1

L2

y

•

2,1( )

تتلخص طريقة الحل البياني باالتي : * تمثيل كل من المستقيمين االول والثاني في المستوي االحداثي.

* نجد احداثي نقطة تقاطع المستقيمين برسم عمودين من النقطة على المحورين

الصادي والسيني فتكون نقطة التقاطع تمثل مجموعة حل النظام .

88

نعوض قيمة ( y =1 ) في (3) فتكون:

وللتحقق من صحة الحل نعوض عن ( x = 2 ) ( y = 1 ) في كلتا المعادلتين وليس في احداهما الن

مجموعة الحل يجب ان تحقق كلتاهما للحصول على عبارتين صائبتين.

المعادلة االولى :

المعادلة الثانية :

استخدم طريقة التعويض لحل المعادلتين

و

احلل /

من المعادلة (2):

: y نعوض قيمة في المعادلة (1) لنحصل على معادلة جديدة بمتغير واحد هو

بضرب الطرفين في 2

فك االقواس

بالتبسيط

x=1+yx=1+1

∴ x=2s= 2,1( ){ }

x-y=1 ⇒ 2-1=11=1

x+y=3 ⇒ 2+1=33=3

مثال ( 3 )

3x+2y=12..... 1( )2x+3y=13..... 2( )

2x=13-3y ⇒ x= 13-3y2

x= 13-3y2

3 13-3y2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +2y=12

3 13-3y( ) +4y=2439-9y+4y=2439-5y=24

∴ -5y=-15-5y-5

= -15-5

∴ y=3

✓

89

نعوض قيمته y =3 في

نحصل على

{(2, 3)} مجموعة الحل :

والحل البياني للمثال 3:

{(2, 3)} مجموعة الحل هي =

حل المعادلتين االتيتين بطريقة الحذف.

x+2y=5..... 1( ) , 3x-y=1..... 2( )

احلل /

لحذف أحد المتغيرين x أو y نجعل معامل أحد المتغيرين متساوي بالقيمة

ومختلف باالشارة في كلتا المعادلتين.

بعد ضرب المعادلة (2) في العدد 2

بجمع 1 مع 2 نحصل على :

0 = (-2y) + (2y) : ألن

نعوض قيمة x = 1 في أحدى المعادلتين (يفضل بابسط معادلة من المعادلتين ) .

مجموعة الحل

x=1 , y=2 نعوض في كلتا المعادلتين للتحقق :

x= 13-3y2

x=2

طريقة احلذف :- ثالثا

مثال ( 4 )

x+2y=5..... 1( )6x-2y=2..... 2( )

7x=7

∴ x=1

1+2y=52y=4 ⇒ y=2

s= 1,2( ){ }

بالجمع

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2 L1

L2

y

•

•

X1 2 3 4 5 6

•

2,3( )

90

1- نبسط المعادلتين (التخلص من االقواس والكسور ، ان وجدت)

لوضعها بالصورة القياسية:

2- نجعل معامل احد المتغيرين متساو في المعادلتين بالقيمة العددية.

3- نجمع او نطرح المعادلتين (وفقا الشارة المعامل).

4- من الخطوة (3) نحصل على قيمة المتغير االخر ثم نعوض في احدى

المعادلتين للحصول على قيمة المتغير (المحذوف).

حل المعادلتين االتيتين بطريقة الحذف. 3x+4y=10..... 2( ) , 2x+3y=7..... 1( )

احلل /

نحاول حذف x من المعادلتين كما يلي:

بضرب (1) بالعدد 3 والمعادلة (2) بالعدد 2 لنحصل على معادلتين جديدتين مكافئتين لهما.

بالطرح

: y = 1 نعوض في أحدهما (قبل تغير االشارة) ( اي في (1) ) عن قيمة

يمكن للطالب التحقق من صحة الناتج.

ملخص الطريقة :

مثال ( 5 )

ax+by=c

2x+ 3 × 1( ) =7

2x=4 ⇒ x=2

s= 2,1( ){ }

6x + 9y= 21..... 1( ) + 6x + 8y= + 20..... 2( )-

⇒ y=1

- -

91

حل المعادلتين االتيتين بطريقة الحذف اوال ثم بيانيا ثانيا :

3x-y=12......... 1( ) 6 , x-y=4......... 2( ) اوال :

: y بطريقة الحذف: نضرب طرفي المعادلة (2) بالعدد (1-) لنتمكن من حذف المتغير

بالجمع

نعوض في (2) أصال : او في (1):

احلل بيانيا :

مثال ( 6 )

-x +y =-4....... 2( )

x y (x,y)

04

-40

(0,-4)(4,0)

x y (x,y)

02

-60

(0,-6)(2 , 0)

L2 :x-y=4L1:3x-y=12

3x -y =12....... 1( ) 6

2x=8 ⇒ x=4 2 1 4-y=4 ⇒ y=0−3

s = 1,−3( ){ }

3x-y=12......... 1( ) 6 x-y=4......... 2( )

L2

X

L1

y

نقطة التقاطع (1 , -3)

92

حل المعادلتين اآلتيتين بطريقة الحذف :

12

x+2( ) - 13

y-2( ) =3 ........1

14

x + 12

y = 0 ........2

(GCF) 6 احلل/ نتخلص من الكسور في كلتا المعادلتين وذلك بضرب طرفي المعادلة (1) بالعدد

والمعادلة (2) بالعدد 4 . ونبسط:

⇒ 6( ) ×

12

x+2( ) - 6( ) ×13

y-2( ) =6 × 3

⇒ 3 x+2( ) − 2 y-2( ) = 18

3x-2y+10=18

3x-2y=8 ........1

4( ) ×14

x + 4( ) ×12

y=0

⇒ x+2y=0 ........2

3x-2y=8 ........1 بالجمع

4x=8 ⇒ x=2

نعوض بالمعادلة (2)

14

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × 2+ 1

2y=0

12

+12

y=0

بالضرب في 2 نجصل على

1 + y=0 ⇒ y=-1

ss= 2,-1( ){ } ∴ss= 2,-1( ){ } ∴

مثال ( 7 )

93

4 2

س1 / حل كل من المعادلتين اآلتيتين بطريقة التعويض:

س2 / حل كل من المعادلتين اآلتيتين بطريقة الحذف:

ثم تحقق من صحة الحل.

س3 /حل كل معادلتين مما يأتي بيانيا وحقق الناتج بطريقة أخرى :

س4 / حل المعادلتين االتيتين بأية طريقة تختارها:

{(1−,2)} هي مجموعة حل املعادلتني: س5 / اذا كانت , 2x-ay=3 جد a,b حيث a,b ثوابت حقيقية

2x+3y=133x-2y= 0

b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

x-2y= 112x-3y=18

b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3x-4y-12=05x+2y+6=0

b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

0.1x-3y=120.2x-4y = 24b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3x+2y=12x + y = 5

12

x + 13

y =2

2 x+1( ) +3 y-3( ) =2

3x-4y-12=05x+2y+6=0

b-m1-a

, b − am1-a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

bx-2y=-2

a)

b)

a)

b)

a)

b)

94

الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية بمتغير واحد x هي : حيث ,

. a,b,c ∈ R

m2 -m=0 ، y2 - 2y-1=0 ، ax2 -3x+1=0 مثال :

هي أمثلة لمعادلة من الدرجة الثانية لمتغير واحد m , y , x على الترتيب وحل المعادلة

يعني ايجاد مجموعة قيم x التي تحقق المعادلة (تجعلها صائبة) ضمن مجموعة

تعويض معلومة وهناك طرق مختلفة لحل المعادلة التربيعية بمتغير واحد ومنها :

وذلك بوضع المقدار ان امكن على صورة حاصل ضرب عاملين كل منهما من الدرجة

االولى اي ان :

ثم نستخدم خاصية العامل الصفري والتي تنص على أن: اذا كان : اما او

وتكون مجموعة الحل

وكما درسنا الطرق المختلفة لتحليل الحدوديات الثنائية : الفرق بين مربعين ، تحليل الحدوديات الثالثية

(التجربة ، المربع الكامل ) ، الحدوديات الرباعية ( التجزئة ) .

املعادلة من الدرجة الثانية 5 - 4

مبتغيرواحد ax2 +bx+c=0a≠0( )

ax2 +bx+c=0

طريقة التحليل :- اوال

ax2 +bx+c( )

ax2 +bx+c= a1x+c1( ) a2x+c2( ) =0

ab=0 a=0 b=0

a1x+c1 =0 ⇒ x= -c1

a1

a2x+c2 =0 ⇒ x= -c2

a2

S= -c1

a1

, -c2

a1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭2

95

مالحظة

حل المعادالت االتية بطريقة التحليل :a) x2 -25=0 b) 2x2 -3x=0

الحل/

a) x2 -25=0 ⇒ x-5( ) x+5( ) = 0x-5=0: اما ⇒ x=5x+5=0: او ⇒ x=-5

∴ مجموعة الحل

b) 2x2 -3x=0 x 2x+3( ) =0 تحليل باخراج عامل مشترك

x=0 : اما

: او

∴ مجموعة الحل =

مثال ( 1 )

5,-5{ }

نذكر تحليل الفرق بين مربيعين .

( 1 2 ) يمكن حل المثال 1 بطريقة الجذر التربيعي وهي :

اذا كانت ، وكانت فان : او

اي اذا كان :

x2 -a2 = x-a( ) x+a( )

k ∈ Rk > 0x2 =kx= kx=- k

x2 =25∴ x=+ 25

x=+5

∴ S= 5,-5{ }

2x-3=0 ⇒ x= 32

0, 32

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

--

-

96

حل المعادالت االتيه : a) x-2( )2

− 9=0

b) 1-2y( )2− 4=0

c) 2w+a( )2 -4a2 =0

d) 1y+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

- 14

=0

احلل/

a) x-2( )2− 9=0 ( المعادلة )

(فك االقواس)

( تبسيط)

(تحليل تجربة)

: اما

: او


مثال ( 2 )

x2 -4x+4-9=0

x2 -4x-5=0

x-5( ) x+1( ) = 0

x-5=0 ⇒ x=5

x+1=0 ⇒ x=-1

-1,5{ }

تدريب للطالب

. x = 5 , x = - 1 حقق صحة االجابة بالتعويض عن

97

b) 1-2y( )2− 4=0 ( المعادلة )

( فك االقواس ) ( تبسيط )

( تحليل تجربة )

اما :

او :

c) 2w+a( )2 -4a2 =0 ( المعادلة ) ( تحليل الفرق بين مربيعين )

( تبسيط )

اما :

او :

مجموعة الحل =

d) 1y+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

- 14

=0 ( المعادلة )

( تحليل الفرق بين مربيعين )

اما :

1-4y+4y2 -4=04y2 -4y-3=02y+1( ) 2y-3( ) =0

y = -12

y = 32

a2

, -3a2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∴ w= -3a2

2w+3a = 0

∴ w= a2

2w-a=0

2w-a( ) 2w+3a( ) = 0 2w+a( ) -2a⎡⎣ ⎤⎦ 2w+a( ) +2a⎡⎣ ⎤⎦ =0

1y+1

−12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1y+1

+12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =0

1y+1

−12

-12

, 32

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∴مجموعة احلل =

=0

98

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين

او :


حل المعادالت االتية بالتحليل : a) x x-2( ) =35

b) 2x2 -12=5x

c) 13

x2 = 34

x

d) 2x 2 -3+x( ) =5x+9

e)

f) 3x+1( )2 = 3x+1( ) الحل/

a) x x-2( ) =35 x2 -2x-35=0

اما : او : ∴ مجموعة احلل =

1y+1

=12

y+1=2y=1

1y+1

+12

= 0

1y+1

=−12

-y-1=2∴ y=3

-3,1{ }

مثال ( 3 )

7, −5{ }x+5=0 ⇒ x=-5 x-7=0 ⇒ x=7

x-7( ) x+5( ) = 0

−3

-

0.1x2 - 0.4x + 0.4 = 0

99

مالحظة

b) 2x2 -12=5x

اما :

او :


c) x GCF = 12 نتخلص من الكسور بضرب طرفي المعادلة في

( تبسيط الطرفين )

اما : او:


يمكن التحقق من صحة

الناتج بالتعويض بالمعادلة االصلية .

2x2 -5x-12=02x+3( ) x-4( ) = 0

2x+3=0 ⇒ x= -32

x-4=0 ⇒ x=4-32

, 4⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12 13

x2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =12 3

4x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

13

x2 = 34

4x2 =9x⇒ 4x2 -9x=0

⇒ 4x-9=0 ⇒ x= 94 0, 9

4⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

x=0

x ( 4x - 9 ) = 0

-6x+2x2 -5x+9=02x2 -11x+9=02x-9( ) x-1( ) = 9-6x+2x2 -5x+9=0

2 -3+x( ) =5x+9d) 2x -( تبسيط الطرفين )

100

اما :

او :


e)

بضرب طرفي المعادلة قي 10 للتخلص من الكسور


f)

اما :

او :


2x-9=0 ⇒ x =92

x-1=0 ⇒ x=1

92

,1⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3x+1( )2 = 3x+1( )3x+1( )2 - 3x+1( ) =0

3x+1( ) 3x+1( ) -1⎡⎣ ⎤⎦ =0

3x+1=0 ⇒ x= -13

3x=0 ⇒ x=0-13

, 0⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

حاول بطريقة اخرى : فك االقواس واكمال الحل.ويمكن كذلك حل المعادلة بفرض ان : y = (3x + 1 ) لتصبح المعادلة

االصلية بالشكل : y2 = y ثم نكمل الحل.

تمرين للطالب

0.1x2 - 0.4x + 0.4 = 0

x2 - 4x + 4 = 0 (x - 2 )2 = 0 x - 2 = 0 ⇒ x = 2 s = 2{ }

101

إليجاد مجموعة الحل بهذه الطريقة نتبع الخطوات اآلتية:

a≠0 1 - نضع المعادلة التربيعية بالصورة . حيث

. a 2 - اذا كان ، نقسم طرفي المعادلة على

3 - نضيف الى طرفي المعادلة المقدار .

4 - نحلل الطرف االيسر والذي اصبح مربعا كامال بعد الخطوة 3 ونبسط الطرف االيمن .

. x 5 - نأخذ الجذر التربيعي للطرفين ونجد قيم

حل المعادلة بطريقة اكمال المربع .

احلل/

( المعادلة )

(وضع المعادلة بالصورة المطلوبة)

( بقسمة الطرفين على2)

= 916

الحد المضاف =

باضافة للطرفين

تحليل الطرف االيسر ونبسط االيمن

خاصة الجذر التربيعي

اما :

ثانيا To Solve a Quadratic Equation by Completing the Square

ax2 +bx=-c

a≠1

x⎛

⎝⎜ 1 معامل

2⎞

⎠⎟

2

مثال ( 4 )

2x2 -3=3x

2x2 -3=3x

2x2 -3x=3

x2 - 32

x= 32

916

=−32

×12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

916

∴ x2 - 32

x+ 916

= 32

+ 916

x- 34

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 3316

∴ x- 34

=+ 334

x= 34

+ 334

= 3+ 334

-

: طريقة اكمال املربع

102

أو :


الصورة العامة للمعادلة التربيعية

تسمى ايضا الصورة القياسية

a بالقسمة على

باضافة مربع نصف

معامل x للطرفين

تحليل الطرف االيسر ونبسط الطرف االيمن

اما :

او :


:x وبذلك تكون مجموعة حل المعادلة التربيعية في

قانون المعادلة التربيعية

= يسمى المقدار:

x= 34

−334

= 3- 334

3+ 334

, 3- 334

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪

طريقة القانون (الدستور ) (االشتقاق لالطالع فقط) ثالثا :

ax2 +bx+c=0 , a≠0

ax2 +bx=-c

x2 +ba

x= -ca

ax2 + ba

x+ 12

×ba

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= -ca

+ 12

×ba

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

x2 + ba

x+ b2

4a2 = -ca

+ b2

4a2

x+ b2a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= b2 -4ac4a2

x+ b2a

=+ b2 -4ac2a

x=+ -b+ b2 -4ac2a

x=+ -b- b2 -4ac2a

-b- b2 -4ac2a

,-b+ b2 -4ac

2a

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

x= -b+ b2 -4ac2a

b2 -4ac( )Δ( )b2 -4acΔ

x=

x=

-

(دلتا) Deltaبالمقدار المميز ويرمز له بالرمز

-

103

حل المعادلة االتية بالقانون ( الدستور)

احلل/

1) وضع المعادلة بالصورة العامة .

2) تعيين المعامالت c , b , a حيث

3) نعوض عن c , b , a بالقانون :

اما :

او :


عرفنا ان المقدار المميز للمعادلة التربيعية ax2 + bx + c = 0 هو , فان نوع جذرا

المعادلة تتعين كما يلي:

نوع الجذران

جذران حقيقيان نسبيان موجب ومربع كامل

جذران حقيقيان غير نسبيان موجب ليس مربع كامل

جذر حقيقي واحد صفر

جذران غير حقيقيان (تخيليان) سالب

∅ = R مجموعة الحل في ∴

مثال ( 5 )

x2 -3x=5

x2 -3x-5=0a=1 ( x2معامل) , b=-3 (xمعامل)

x= -b+ b2 -4ac2a

∴ x=- -3( ) + -3( )2 - 4 × 1 × 5( )

2 × 1

= 3+ 292

x= 3+ 292

x= 3- 292

3+ 292

, 3- 292

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪

املقدار املميز ∆ The Discriminantرابعا

Δ = b2 -4ac( )

-b2a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

-

-

-

× -

c = -5 (الحد المطلق)

b2 -4acΔ = b2 -4ac( )

104

مالحظة

10 0.3x2( ) -10 1.3x( ) +10 0.4( ) =0

مثال : املعادلة:

والعدد 25 مربع كامل = 52 املقدار

ميكن حتليله

ما قيمة الثابت m التي جتعل جذرا املعادلة متساويان ؟

احلل/ يكون جذرا املعادلة متساويني عندما ∆ ( املميز) = 0

اما :

او :

مع مالحظة انه اذا كانت c , b , a اعداد صحيحة فان

ax2 المقدار يمكن تحليله اذا كان المميز مربع كامل. +bx+c( )

2x2 +3x-2=0 a=2, b=3, c=-2Δ = b2 -4ac

=9- 4 × 2 × -2( ) =25

2x2 +3x-2= 2x-1( ) x+2( )

مثال ( 6 ) x2 - m+1( ) x+4=0

a=1, b=- m+1( ) , c=4

Δ= - m+1( )⎡⎣ ⎤⎦2 -4 × 1 × 4= m+1( )2 -16

Δ=0 ⇒ m+1( )2− 16 = 0

∴ m+1( )2= 16 ⇒ m+1=+4

m=3

m=-5

2

-

10 0.3x2( ) -10 1.3x( ) +10 0.4( ) =0

105

. R بين ان المعادلة ليست لها حل في

احلل/

المعادلة التربيعية ليست لها حل في R عندما ∆( المميز) يساوي عدد سالب .

نضع المعادلة بالصورة العامة :

حيث:

(سالب)

. R المعادلة ليست لها حل في

ما قيمة الثابت m التي جتعل جذري املعادلة متساويان ؟ احلل/

يكون جذرا املعادلة التربيعية متساويان اذا كان .

املعادلة بالصورة العامة

نجعل

مثال ( 7 )

x2 +10=2x

Δ<0( )

x2 -2x+10=10

c=10, b=-2, a=1

Δ=b2 -4ac= -2( )2 -4 × 1 × 10=-36

Δ=-36<0∴

مثال ( 8 )

y2 -16=m y+4( )

Δ = 0

y2 -16=my+4m

y2 -my-16-4m=0a=1 , b=-m, c=-16-4mΔ=b2 -4ac

=m2 +16m+64Δ = 0⇒ m2 +16m+64=0m+8( )2 =0

∴ m=-8

0

= -m( )2 -4 -16-4m( )= -m( )2 -4 -16-4m( )× 1 ×

106

( 480m2) على ضعف عرضه وكانت مساحته (2m) اذا كان طول ملعب كرة السلة يزيد بمقدار

جد بعدي الملعب . احلل/

y = نفرض عرض الملعب

2y+2 = طول الملعب

مساحة الملعب (مستطيلة الشكل) = الطول × العرض

بالقسمة على2

اما : يهمل

او :

العرض =

الطول =

2 × 15+2= =

32m = الطول ∴

مسائل يؤدي حلها الى معادالت من الدرجة الثانية في متغير واحد : -

مثال ( 9)

y 2y+2( ) =480

2y2 + 2y=480y2 +y-240=0y+16( ) y-15( ) =0

y=-16

y=15

15m

2y+2

107

جد العدد الذي مربعه يزيد عليه بمقدار (12) .

احلل/

x2 = مربعه ، x نفرض العدد

اما :

او :

أذا اراد راكب دراجة قطع مسافة (60km) بين مدينتين A , B بسرعة معينة ولو زادت سرعته بمقدار

لتمكن من قطع هذه المسافة بزمن يقل ساعة واحدة عن الزمن االول. جد سرعته اوال.

احلل /

V = نفرض سرعته االولى

V + 10 = سرعته الثانية∴

الزمن االول =

الزمن الثاني =

∴الزمن األول - الزمن الثاني = 1

:LCM بضرب الطرفين في

∴ V=-30 V=20 , تهمل

مثال ( 10)

∴ x2 -x=12x2 -x-12=0

x-4( ) x+3( ) =0x=4

x=-3

مثال ( 11)

(10 km/ h)

60V

60V

- 60V +10

= 1

60V +10

V V+10( )60 V+10( ) -60V=V V+10( )60V+600-60V=V2 +10V⇒ V2 +10V-600=0 ⇒ V+34( ) V-20( ) =0

km/h سرعته أوال

مالحظة الزمن =

املسافةالسرعة

30

108

مربع كل ضلع طول زواياها من متساويه مربعات أربعه قطعت (x cm)ضلعها الشكل مربعة قطعة

(16cm3 ) وثنيت بعدها فتكون صندوق بدون غطاء على شكل متوازي سطوح مستطيلة حجمه(4cm)

جد مساحةالقطعه االصليه .

احلل /

واضح من الشكل ان ابعاد الصندوق : 4 االرتفاع ، (x - 8) بعدي القاعدة .

حجم متوازي السطوح المستطيلة = الطول × العرض × االرتفاع .

بالقسمه على 4

باخذ الجذر التربيعي

اما :

او :

وللتحقق أي من االجابتين تطابق معطيات المسأله نالحظ ان x = 6 يجب اهمالها النها تعطي طول ضلع

القاعدة (x-8 ) عددا سالبا (2 - ) وهو غير ممكن .

(حاول تفسير اهمال x = 6 بطريقه أخرى )

( x = 10 ) طول ضلع القطعه االصليه ∴ 100 cm2 = 102 = وتكون مساحتها

مثال ( 12)

∴ 4 x-8( ) x-8( ) = 16

∴ x-8( )2= 4

∴ x-8 = +2x=10

x=6

-

x - 8

4 4

4 4

109

حل كال من المعادالت االتيه وحقق صحة الحل :

a)

b)

c)

احلل /

نضرب طرفي المعادلة في GCF للمقامات (3x) للتخلص من الكسور :

a)

تبسيط

تحليل بالتجربة

اما :

او :

التحقيق : نعوض بالمعادلة عن

4 - 6 املعادالت الكسرية

5x+ x-23x

= 23

2y+2

- 22-y

= y2 +4y2 -4

6x-2

+ x2-x

=3

5x+ x-23x

= 23

3x 5x( ) +3x x-23x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =3x 2

3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

15x2 +x-2=2x15x2 -x-2=0

5x-2( ) 3x+1( ) = 0

5x-2=0 ⇒ x= 25

3x+1=0 ⇒ x= -13

x= 25

, x= -13

x= -13

L.H.S = 5 ×-13

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

-13

-2

3 ×-13

y

⇐

110

=−53

+

−73

−1

=−53

+73

=

23

= R.H.S

جذر للمعادلة

كذلك يمكن التحقق بسهولة عندما


b ) : للمقامات نحاول تغيرالمقام GCF قبل ضرب طرفي المعادلة في

y-2 حيث

معلومة

الحظ :

y-2( ) y+2( )( ) GCF بضرب طرفي المعادلة في

تبسيط الطرفين

−13

, 25

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

∴ x= -13

x= 25

2y+2

- 22-y

= y2 +4y2 -4

a-b=- b-a( )

2y+2

- 2− y-2( )

= y2 +4y2 -4

2y+2

+ 2y-2

= y2 +4y-2( ) y+2( )

2 y-2( ) + y y+2( ) = y2 +4

2y-4+y2 +2y-y2 -4=04y-8=0 ⇒ y=2

∴ المعادلة تصبح بالشكل االتي :

y2 -4= y-2( ) y+2( )

2-y=- 2-y( )(y-2)

y

y

y

112

س1 /حل كال من املعادالت االتية :

1 -

2 -

3 -

باكثر من طريقة - 4

5 -

6 -

بالدستور -7

( 44m2) فاذا كانت مساحة المستطيل ( 1m) س2/طول مستطيل يقل عن ثالثة أمثال عرضه بمقدار

جد ابعاد المستطيل .

)x-1 مجموع مربعاتها يساوي (149 ) . ) ، x ، x+1( ) س3/ ثالثة أعداد موجبة

جد هذه االعداد .

س 4 / ما العدد الذي اذا اضيف (5 ) الى مربعه كان الناتج (30)؟

4 3

x+1( ) x-3( ) = 12

y2 =7y

3t2 -4=-11t

2x-1( )2= 2x-1( ) ........

x2 -5=3x

4x2 +9=12x.......

13

x2 = 12

x- 56

........

بالدستور

113

س5/ مثلث طول قاعدته يزيد عن ارتفاعه بمقدار (1cm ) فاذا زاد كل من أرتفاعه وقاعدته بمقدار

(2cm )أصبحت مساحته (21cm2 )جدطول القاعدة واالرتفاع .

س6 /قطعة مربعة الشكل طول ضلعها (y cm ) قطعت من زواياها اربعة مربعات متساوية طول ضلع

كل منها (2cm ) وثنيت بعدها فتكون صندوق على شكل متوازي سطوح مستطيله بدون غطاء

حجمه (cm3 242 ). جد طول القطعة المربعة .

س7 / مثلث قائم الزاويه طول أحد ضلعيه القائمين يزيد (2cm ) عن الضلع القائم االخر وطول وتره

يقل (2cm )عن ضعف طول الضلع القائم الصغير . جد أطول اضالع المثلث وما مساحته .

س8 /

a- ما قيمة الثابت (m ) التي تجعل للمعادلة جذرين متساويين ؟

b- ماقيمة الثابت (n ) التي تجعل جذرا المعادلة متساويين ؟

س9 /حل المعادالت االتية وحقق صحة االجابة في كل منها :

a) 3y+52y-1

= 6y+25y-4

b) 5x+2

+ 32-x

=2

x2 -4

c) y-7y2 -2y

= yy-2

- y+4y

d) 2y1-3y

= 53y-1

m y2 +y+1( ) =y+1

w2 -16=n w+4( )

الهندسة Triangle املثلث


الزاوية

Side S الضلع

عالقة التطابق

m∠A A قياس الزاوية

Angle ∠

≅

[1-5] مراجعة .[2-5] منصفات زوايا املثلث .

[3-5] القطع املتوسطة للمثلث .

A

B

C

الفصل اخلامس5

في مراحل دراسية سابقة تعرفنا على مفاهيم هندسية أساسية ودرسنا بشئ من التفصيل بعض االشكال

الدائرة، األشكال: هذه ومن المختلفة الحياتية المسائل في وتطبيقاتها وخواصها المعروفة الهندسية

المربع والمثلث . . الخ.

وسوف نتطرق في هذه المرحلة الى المثلث والدائرة من زوايا مختلفة.

a نوعه بالنسبة الضالعه:

مختلف االضالع متساوي االضالع « منتظم »

قياس كل زاوية فيه 60°

متساوي الساقينAC = AB

ومن خواص المثلث المتساوي الساقين:

. (m ∠ C = m ∠ B) 1) زاويتي القاعدة متطابقتان

2) منصف زاويه الرأس A عمودي على القاعدة BC وينصفها.

NB = CN , AN BC , CB AN ينصف

B

A

NC

مراجعة 1 - 5

املثلث

الفصل

5

A

BC

A

BC

AC = AB = BCAC≠AB≠BC

وعمودي عليه

116

b نوعه بالنسبة لزواياه:

حاد الزوايا منفرج الزاوية قائم الزاوية

. S : side ، (S S S ) :1) تطابق باالضالع الثالثة

∆ ABC ≅ ∆DFE

S.A.S . (محصورة بينهما) 2) تطابق بضلعين والزاوية المحددة بهما

∆ ABC ≅ ∆DEF

حاالت تطابق املثلثني:

D

E F

A

C B

A

B C

F

D

E

117

(A.A.S) 3) تطابق بزاويتين وضلع مناظر

∆ DEF ≅ ∆ ABC

4) يتطابق املثلثان القائما الزاوية بوتر وضلع قائم.

∆ ABC ≅ ∆ DEF

في الشكل املجاور:PQRN شكل رباعي فيه:QR = QN = PQ , RQ NP

m ∠ 3, m ∠ 2, m ∠ 1 : جد m ∠ R = 70°

احلل/ ∵ QR = QN معطى∴m ∠ R = m ∠ 4 خواص ∆ متساوي الساقني

∴ m ∠ 4 = 70° m∠1=180°-(70°×2) مجموع زوايا املثلث

∴ m < 1 = 40°RQ NP معطى

m ∠ 2 = m ∠ 1∴ (متبادلة)∴ m ∠ 2 = 40°

QPNكما في اخلطوات السابقة وعلى املثلث m ∠ 3 ونكمل احلل اليجاد

A

B CE

D

F

CB

AD

E F

مثال (1)

P

R

NQ

1 24

3

70

118

في الشكل المجاور:

AB = AC مثلث متساوي الساقين فيه ABC

AD = AE بحيث ان E ∈AC , D ∈ AB

∆ AEB ≅ ∆ ADC :أثبت انالمعطيات /

تترك للطالب م. أثباته /

البرهان /∆ ∆ AEB , ADC فيهما:

AE = AD ... معطى

AC = AB ... معطى

الزاوية A مشتركة بينهما

∴ يتطابق ∆∆ بضلعين والزاوية المحددة بهما.

(و.هـ.م)

مثال ( 2 )

C

A

B

DE

{

119

المعطيات/

DO = AD , EB = AE , ∆ABO

م.ث/

DE = OB (2 , OB DE (1

العمل والبرهان/

.N في ED فيالقي BE يوازي ON نرسم O من نقطة

AAS بزاويتين وضلع مناظر ∆ ODN ≅ ∆ ADE

. AD = OD (1 :حيث

m ∠ ODN= m ∠ ADE (2 . . . متقابلة بالرأس.

.ON BA متبادلة الن ... m ∠ 2 = m ∠ 1 (3

من التطابق: DN=DE , تتساوى االجزاء المتناظرة في االشكال المتطابقة

...ON = AE

...EB = AE

ON= BE :من (1) ، (2) نحصل على

∴ الشكل EBON متوازي أضالع الن ON BE بالعمل

∴ BO = EN ، BO EN ... خواص متوازي االضالع

DN = DE بالبرهان

DE= 12

EN ∴

∴ DE = OB , OB DE ( و.هـ.م)

(1)

(2) معطى

قطعة املستقيم الواصلة بني منتصفي ضلعي مثلث توازي ضلعه الثالث وطولها نصف طوله.

مبرهنة/ 1

12

12

B

E

A

DN

O

2

1

121

m ∠1 =m ∠2 (1

DE BC الن

(AB)2 + (BC)2 = (AC)2

(2x)2+ x2 =

5x2 = 125 ⇒ x2 = 25

∴x = 5

∴ DE = BC ........... ( 1 مبرهنة)

3) مساحة المثلث = × BC × AB

= ×5×10

وحده مساحة 25 =

في الشكل المجاور: ABC ∆ فيه:

H , E , D منتصفات االضالع AC , BC , AB على الترتيب، BC = 8cm جد .

. DH (1)

(2) أثبت ان DECH متوازي اضالع.

احلل/ H , E , D منصفات أضالع المثلث .... معطى

DH = BC ∴

DH BC

DH = × 8 ∴

DH = 4 cm ∴

DH = EC = 4 cm∴

DH EC ∴الشكل : DECH متوازي اضالع

1212

125( )2

مثال ( 3 )

1مبرهنة 21

12C

A

B

DH

E8 cm

.ABC 2) نطبق مبرهنة فيثاغورس على ∆ القائم

متناظرة

مساحة المثلث

˝

«يكون الشكل الرباعي متوازي أضالع اذا كان كل ضلعان فيه متقابالن متوازيان ومتطابقان»

12

=52

122

(1)......(2)......

المعطيات/

DE BC , AB منتصف D :فيه ∆ ABC

المطلوب أثباته/

AE = EC


H في نقطة DE فيالقي أمتداد C نرسم من نقطة

∴ الشكل:DBCH متوازي اضالع

« تعريف متوازي األضالع»

∴CH = BD خواص متوازي االضالع

DA = BD معطى

∴المثلثان CHE , ADE متطابقان (زاويتان وضلع مناظر)

من التطابق: AE = EC ...اجزاء متناظره في اشكال متطابقة ( و. هـ . م )

. AC = 6 cm , BC = 7 cm , AB = 5 cm فيه ∆ABC :في الشكل

. ∆MHD وما محيط AB ∥ DH أثبت ان AC ∥ MH , BC ∥ MD, AB منتصف M

البرهان/

M منتصف MD ∥ BC , AB معطى

∴AD = DC مبرهنة 2 ... (1)

∵MH∥ AC ...معطى

املستقيم املار مبنتصف أحد أضالع مثلث موازيا لضلع ثان فيه ينصف الضلع الثالث.

مبرهنة/ 2

A

DEH

C B

مثال

A

BC

D

H

M6 cm

5 cm

BD مستقيم يوازي

7 cm

123

∴BH = CH ... مبرهنة (2)

من (1) و(2) نحصل على :

DH = AB , DH ∥AB ...مبرهنة (1)

محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضالعه الثالثة

MH + HD + DM = محيط المثلث ∴

( × 6)+( × 5) + ( × 7) =

9 cm =

)AC عند توفر هذه ) في الشكل المجاور ABC مثلث قائم الزاوية في D , B نقطة منتصف الوتر

BD = AD = DC : المعطيات نحصل على

12

12

12

12

طول القطعة المستقيمة المرسومة من رأس القائمة في المثلث القائم الزاوية الى منتصف الوتر

تساوي نصف طول الوتر .

مبرهنة/ 3

A

BC

D

سنقبل هذه المبرهنة بدون برهان

124

. AC ABC Δ فيه D منتصف في الشكل المجاور :

BD جد

x احلل/ إليجاد قيمة

نطبق مبرهنة فيثاغورس

ABC قائم الزاوية فيB، أثبت ان ADB مثلث متساوي األضالع،

احلل/

∵ D منتصف

=BD مبرهنه 3 12

AC ∴

ADB منتظم (متساوي االضالع ) Δ ∴

قياس كل زاويه من زوايا المثلث

m C=180o .. زوايا مثلث − m B+m A( ) ∴

مثال ( 1 )

AC( )2 = AB( )2 + BC( )2

2 5x( )2

=42 +22

20x2 =20⇒ x2 =1⇒ x=1 x>0( )BD= 1

2AC

∴ BD 12

x2 5= 5 cm

مثال ( 2 )

A

BC

D

2

25X

4

AC

∴ BD= 4 cm

60o = ADB

=180o − 90o +60o( )=180o − 150o

∴ m<c = 30o

A

BC

D4

8

BD= 12

.

AC منتصف D ABC Δm∠C ثم جد

60o = ADBتساوي

∠

∠ ∠ ∠

∴ m C

125

BC أثبت ان : سABCD /1 معين ، M نقطه منتصف

سABC ∆ /2 متساوي االضالع فيه :

أثبت ان :

س3/ في الشكل المجاور :

ABC مثلث فيه AB = AC (متساوي الساقين )

فيه :

MD نقطه متنصف جد M

5 1

OM =

12

AB, OM / / AB

AB ⊥ CH , AD ⊥ BC

DH / /AC

A

BC D

H

BC=12 cm , AD=8 cm

AB

A

BC D

M

A

BC

D

o

M

126

سABC /4 مثلث متساوي الساقني فيه :

BC منتصف D , AB M منتصف , AB = AC

, N منتصف أثبت ان : AMDN معني

AB بحيث ان سABC /5 مثلث ، فرضت النقطتان N ، M على

AD في O أثبت ان : , CM BC في النقطه D وتقاطعت ونصفت

CM // DN (1

AD O (2 منتصف

(3

N في CD نصفت ، P في BC نصفت ، O متوازي أضالع ، تقاطع قطراه في ABCD /6س

أثبت أن : OPCN متوازي أضالع.

AC

AM=MN=NB

MO= 14

MC

127

ABC مثلث فيه G منتصف ، R منتصف ، P منتصف أقيمت أعمدة على أضالع

OB = OA = OC : نحصل من ذلك على ان .O فالتقت في نقطه R , P , G المثلث من

, OE ⊥ BC , , منتصف R , منتصف D :في الشكل

. OR , OA AC=8 cm جد , OB=5 cm

BC , AB منتصف الضلعين E , D حيث OE ⊥ BC , OD ⊥ AB ∵ /احلل

∴ 0 نقطه ملتقى االعمدة المقامة على االضالع المثلث من منتصفاتها .

OC=OB=OA ...... مبرهنة 4 OA=5 cm AC R منتصف ∵

AC ... قطعه المستقيم الواصل بين راس مثلث متساوي الساقين ومنتصف القاعدة ⊥ OR ∴

تكون عمودية على القاعدة .

AR=4 cm , R ∴ ORA قائم الزاوية في

AO( )2= AR( )2

+ RO( )2 فيثاغورس

∴ RO = 3 cm

االعمدة المقامة على اضالع مثلث من منتصفاتها تتالقى في نقطه واحدة تكون متساوية االبعاد

عن رؤوس المثلث.

مبرهنة/ 4

ACBCAB

مثال

ABACOD ⊥ AB

C

G

APB

R

O

A

D

BE

C

R

O

8 5

55

ABAB

25 = 16 + RO( )2

128

[2 ـ 5 ] منصفات زوايا املثلث

تعريف (1 ـ 5) بعد نقطه عن املستقيم

هو طول القطعة المستقيمه العموديه المرسومه من النقطه الى المستقيم .

AB ⊥ L , A ∉ L

A عن AB بعد النقطة

OC , OB , OA في الشكل : ABC مثلث فيه:

C , B , A منصفات الزوايا OG=OP=OR من هذه المعطيات نحصل على ان :

O أعمدة مرسومة من نقطه OR , OP , OG حيث

AC , BC , AB على

منصفات زوايا املثلث 2 - 5

منصفات زوايا المثلث تتالقى بنقطه واحدة تكون متساوي االبعاد عن أضالعه .

مبرهنة/ 5

A

B

A

G

BPC

R

O

L

L

129

x في الشكل : جد قيمه

احلل /

B تنصف زاوية BO

C CO تنصف زاوية

∴O نقطه التقاء منصفات

. ABC زوايا المثلث

( A AO تنصف زاوية )

.... زاويا مثلث x= 1

2m<A=180o- m<B+m<C( )m B+m C( )

=180o-130o

∴ m<A = 50

xo =25o

سنقبل هذه المبرهنة بدون برهان .


AN , CM , BO االرتفاعات الثالثة

P للمثلث التقت في نقطة

مثال ( 1 )

x= 12

m<A

A

O

C B35

3530

30

x

A∠

m ∠ ∠ ∠

m A ∠

أرتفاعات المثلث تلتقي بنقطة واحدة .

مبرهنة/ 6

C

O

AM B

NP

= 180° − (70° + 60°)

130

m<AOR=60o , CE جد قياس كل من ⊥ AB , AD ⊥ BC ABC مثلث فيه :

ARB ,OAR الزوايا احلل /

AD⋂ CE = 0{ }

O نقطه ألتقاء أرتفاعات

المثلث ABC .... ( مبرهنة 6 )

BR أرتفاعا له كذلك .

m<ARB=90o ... تعريف االرتفاع ARO Δ القائم في

=90o-60 =30o

. ABC فيه: أرتفاعات للمثلث ABC ∆ :في الشكل

AB = AC : أثبت ان OC = OB حيث

البرهان : BH ⋂CE = 0{ } O

∴O ملتقي ارتفاعات المثلث

...... أذكر السبب

OBC Δ في

BC .... خواص المثلث متساوي الساقين D منتصف نقطة

AB=AC (لماذا ؟)

A

BC D

EH

O

∠ ∴ m RAO=90o − m ROA ∠

مثال ( 3 )

AD, BH, CE

AD ⊥ BC

مثال ( 2 )

A

E

BD C

RO

m ∠

=30o

131

القطع املتوسطة للمثلث 3 - 5

تعريف (2 ـ 5) هي القطعة المستقيمة التي طرفيها هما رأس المثلث ونقطة منتصف الضلع المقابل لذلك الرأس .

مالحظة: لكل مثلث ثالث قطع مستقيمة متوسطة .

.O قطع متوسطة تلتقي في BR, CG, AP : ABCفي المثلث

، O قطعتان متوسطتان تلتقيان في نقطة AD , CE في الشكل المجاور : المثلث ABC فيه

. AO , OE AD=6 cm جد ، CE = 9 cm

ABC ملتقي متوسطات المثلث O/ احلل OE= 1

2OC ∴

OE =13

CE

AD قطعة متوسطة كذلك

القطع المستقيمة للمثلث تتالقى في نقطة واحدة تقسم كل منها بنسبة 1 : 2

من جهة الرأس .

مبرهنة/ 7

مثال ( 3 )

A

C B

E

D

∴ OA =23

AD =23

× 6=4 cm

A

R

CPB

G

•

• •

•

O

2

1

21

= COOG

= BOOR

= AOOP

=21

∴ OE =13

. 9=3 cm

O

132

س1/ في الشكل : O نقطه التقاء االعمدة المقامة على أضالع المثلث ABC من منتصفاتها

.OA جد ، m ∠ COB = 60

O ثم رسم مستقيم يمر من ،O فألتقى المنصفان في نقطة C , B نصفت الزاويتان ABC ∆ /2س

. AH = HO أثبت ان Mفي BC AB في H ويقطع AC ويقطع ويوازي

AC⋂ BD = 0{ } , AB=AD=DC , AD / / BC سABCD /3 شبه منحرف فيه :

BHC ينصف الزواية

HOu ruu

برهن ان : BAu ruu

I CDu ruu

= H{ } ،

, ABC O , AD نقطة التقاء أرتفاعات المثلث ⊥ BC س4/ في الشكل : المثلث ABC فيه:

. m<CHA , m<ACH m<BAC=70o جد:

5 2

O

A

BC

60

10

A

C B

H

D

O

BC = 10 cm

BA ∩

m ∠m ∠m ∠

cm

133

⋂ BC= D{ } , m<COB=90o س5/ املثلث O , ABC نقطه التقاء القطع املتوسطه ،

. AD BC=6 cm جد ,

DEF . فاذا كان : Δ س6/ في الشكل أعاله : O نقطة التقاء القطع املتوسطة في GF=6x2 فأى من املقادير التاليه ميثله OF ؟ +9y

a) 2x2 +9y b) 2x2 +3y c) 6x2 +9y d) 4x2 +6y

، LG=5x+3 أختر االجابه الصحيحة لقيمة x؟ WL=15x س7/ في الشكل : اذا كان : a) 0.3 b) 0.4 c) 0.6 d) 1.2

G

F E

D

O

F

G

D

W

RL

AO

الدائرةCircle

[1-6] الدائرة .[2-6] كيفية تعيني (رسم ) الدائرة .

[3-6] االقواس .[4 - 6 ] التماس .

A

B

C

D

N

O

A

B

O 2

O 1

1نق

3نق

العمود المصنف

2نق O

r

r

r


r نصف القطر

π النسبة الثابتة

AB AB القوس


نصف القطر

النسبة الثابتة

AB AB

الفصل السادس6

الدائرةCircle

[1-6] الدائرة .[2-6] كيفية تعيني (رسم ) الدائرة .

[3-6] االقواس .[4 - 6 ] التماس .

A

B

C

D

N

O

A

B

O 2

O 1

1نق

3نق


2نق O

r

r

r


r نصف القطر

π النسبة الثابتة

AB AB القوس

الفصل السادس6

تعريف [2 - 6] نصف قطر

تعريف [3 - 6] وتر الدائرة

تعريف [1 - 6] الدائرة

تعريف [4 - 6] قطر الدائرة

O

6 الدائرة

عرف االنسان الدائرة منذ زمن قديم حيث درس خواصها واستخدمها في مجاالت عديدة في حياته ورسمها

بأبسط الوسائل المتاحة .

وسوف ندرس في هذه المرحلة الدائرة من زاوية أخرى .

مجموعة نقاط المستوي والتي تبعد كل منها ببعد ثابت ومتساو عن نقطة. (Center = المركز) ثابتة تسمى

.(Radius = r يسمى البعد الثابت طول نصف القطر )

قطعة المستقيم الواصلة بين مركز الدائرة واية نقطة من نقاطها.

قطعة المستقيم الواصله بين أية نقطتين من نقاط الدائرة.

وتر الدائرة المار بمركزها.

6 - 1 Circle (الدائرة) 6الفصل

6

[1 - 1 - 6] تعاريف

A

B

C

D

N

O

r

وترقطر

136

1) من نقطة معلومة مثل A ال يمكن تعيين دائرة واحدة (هناك

.(A مجموعة غير محددة من الدوائر يمكن تعيينها من

2) من نقطتين معلومتين مثل B , A ال يمكن تعييـن دائرة واحدة

( B , A هناك مجموعة غير محــددة مــن الـدوائر تحتوي)

ويكون مركز هذه المجموعة أية نقطة تقع على العمود

. AB المنصف للقطعة

a (3 - من ثالث نقاط على أستقامة واحدة ال تتعين أية دائرة .

b - من ثالث نقاط ليست على أستقامة واحدة تتعين

(يمكن رسم) دائرة واحدة فقط كما تنص المبرهنة اآلتية:-

سوف نقبل المبرهنة بدون برهان

توضيح/ في الشكل المجاور:

A , B , C ثالث نقاط ليست على أستقامة واحدة

. ( ABC اي أنها تشكل رؤوس المثلث)

BC , AB , AC هي منتصفات أضالعه P , N , M والنقط

على الترتيب حيث ألتقت االعمدة المقامة على هذه االضالع

من المنتصفات P , N , M في نقطة (O) فتكون هذه النقطة

(O) مركز الدائرة المارة برؤوس المثلث C , B , A ومتساوية

البعد عنها (r = OC = OB = OA ) . كما مر سابقا .

كيفية تعيني (رسم) الدائرة 2 - 6

كل ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة تمر بها دائرة واحدة .مبرهنة/ 8

A

A

BM

P

C

O

N

AB

O2

O1

نق1

نق3


نق2 O

137

تعريف/ [ 5-6] الدائرة املرسومة خارج االشكال الهندسية

يسمى الشكل الرباعي (شكال رباعيا دائريا) أذا كانت رؤوسه تنتمي لدائرة واحدة.


. O تتنتمي للدائرة التي مركزها A , B , C , D شكل رباعي دائري حيث ABCD

وكذلك االشكال الهندسية االخرى التي تمر برؤوسها دائرة واحدة تسمى اشكال هندسية دائرية .

ABC مثلث مرسوم ABCDE شكل خماسي مرسوم

داخل دائرة مركزها 0 داخل دائرة مركزها O (خماسي دائري)

يمكن فهم مبرهنة 8 بأسلوب آخر كما يلي:مالحظة

ان االعمدة المقامة على أضالع مثلث من منتصفاتها تلتقي بنقطة واحدة (O) تكون

متساوية البعد عن رؤوسه. وهذه النقطة هي مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث .

تدريب:A

B

4

C4

4

.(4cm ) أرسم دائرة تمر برؤوس مثلث متساوي االضالع طول ضلعه

O

A

B

C

A

B

C

D

EO

A

B

C

D

O

138

قوس الدائرة : AB هو جزء من الدائرة. في الشكل المجاور نالحظ ان

. B , A يشترك مع الدائرة بالنقطتين

اي ان (الدائرة) ∩ A B = { B , A } وبذلك انقسمت

مجموعة نقاط الدائرة الى جزئين كل منهما يسمى قوسا.

. ( Minor Arc AB القوس الثانوي) القوس االصغر -

. ( Major Arc ACB (القوس الرئيسي ) القوس االكبر -مع مالحظة ان اي قطر في الدائرة يقسمها الى قوسين متساويين

.Semi circle يسمى كل منها نصف الدائرة

اي ان: القوس االصغر أصغر من نصف الدائرة

اما: القوس االكبر فهو اكبر من نصف الدائرة.

وقد اتفق على التعبير عن القوس االصغر بحرفين فقط

. AC كما في القوس

توضيح :

في الشكل المجاور :

.O زاوية مركزية في الدائرة التي مركزها AOB تسمى الزاوية

اي ان رأس الزاوية هو مركز الدائرة وضلعاها نصفا قطرين في

الدائرة.

تسمى الزاوية EDF زاوية محيطة، رأسها نقطة من نقط الدائرة

وضلعاها وتران في الدائرة.

قوس الدائرة-الزوايا املركزية- 3 - 6الزوايا احمليطية

A

B

O

C

A

BC

DO

A

B

D

O

E

F

139

المعطيات/

دائرة مركزها COB , O زاوية مركزية، CAB زاوية محيطية.


m ∠ COB = 2m ∠ CAB


نرسم AD قطرا للدائرة.

OA = OB ... أنصاف أقطار دائرة

m ∠ 1 = m ∠ 2 زاويتا قاعدة مثلث متساوي الساقين

m ∠ 3 + m ∠ 1 + m ∠ 2 = 1800 ( مجموع زوايا مثلث)

m ∠3 + 2m ∠2 =1800 ⇐ m ∠1 بالتعويض عن

تعريف[ 6 - 6]

قياس قوس في دائرة هو قياس زاويته المركزية اي الزاوية التي يتحدد هذا القوس بضلعيها.

كما في الشكل المجاور .

m (AB) = m ∠ AOB

ووحدة قياس القوس تسمى درجة قوسية

m ∠ AOB = 300 :فإذا كان

فأن قياس قوسها AB يكون 30 درجة قوسية

وأن قياس القوس االكبر ACB هو 360-30

أي 330 درجة قوسية.A B

O

30

A

B

C

O

D

1

3

24

قياس الزاوية المركزية في دائرة يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها بالقوس نفسه.

مبرهنة/ 9

C

140

m ∠3 = 1800 - 2 m ∠2 .......1

m ∠ BOD + m ∠ 3 = 1800 زاوية مستقيمة

m < BOD = 1800 - m ∠ 3

m ∠ BOD = 1800 - (1800-2m ∠ 2) .... 1 من

m ∠ BOD= 2m ∠ 2........2

وبنفس الطريقة نثبت ان

m ∠ COD= 2m ∠4........3

بجمع المعادلتين 2 و 3

m ∠BOD + m ∠ COD = 2 m ∠2 + 2 m ∠ 4

∴ m < COB = 2 m < CAB (و . هـ . م )

نتيجة 1 ملبرهنة 9 : قياس الزاوية المحيطية في دائرة يساوي نصف قياس قوسها

m ∠ N في الشكل المجاور: جد

احلل/

OA = OB انصاف اقطار دائرة ∵

m ∠ ABO = m ∠ BAO زاويتا قاعدة ∴

m ∠ ABO = 500مثلث متساوي الساقين ∵

m ∠AOB = 1800 - 1000 زوايا مثلث ∴

m ∠ AOB = 800

m ∠ AOB = 2 m ∠ N .......(9 مبرهنة)

m ∠ N = 800

2= 400

∴m ∠ N = 40

مثال ( 1)

A B

N

O

50

141

:x في الشكل المجاور : جد قيمة

احلل/

m < COB = 2 m < A : 9 مبرهنة ∵

x + 300 = 2 x ∴

x = 300

نتيجة 2 ملبرهنة 9 : مجموع قياسي الزاويتين المتقابلتين في أي شكل رباعي دائري = 1800


ABCD شكل رباعي دائري (مرسوم داخل دائرة) m ∠ A + m ∠ C = 1800

m ∠ B + m ∠ D = 1800

مثال ( 2) A

B

C

o

X

x+30

في الشكل المجاور:تدريب:

AB = BC

m ∠ ABC = 960

y جد قيمة

A

BC

O

D

y

96

A B

C

O

D

142

في الشكل :

m ∠ A , m ∠ Dجداحلل/

ABCD شكل رباعي دائري

m ∠ D + m ∠B = 1800 ... 9 نتيجة 2 مبرهنة m ∠ D = 1800-940

m ∠ D = 860

m ∠1 + m∠ ECD = 1800 [(مستقيمة) متجاورتان على أستقامة واحدة]

m ∠ 1 = 1800 - 1000

m ∠ 1 = 800

m ∠A + m ∠1 = 1800 (متقابلتان في شكل رباعي دائري)

m ∠A = 1800 - 80 m ∠A = 1000

مثال ( 3)

A

BC

O

D

E

194 100

في الشكل المجاور :تدريب:

.y , x جد قيمة

O

A B

C

D

x+10

2y

xy

143

المعطيات/

دائرة مركزها AB , O قطر فيها.

المطلوب اثباته/

m ∠ ACB = 900

البرهان/

AOB زاوية مركزية

m ∠ AOB = 1800 ........ ( زاوية مستقيمة الن AB قطر) .

m ∠AOB = 2 m < C ....... قياس الزاوية المركزية تساوي ضعف قياس المحيطية المشتركة

معها بنفس القوس

m ∠ C = 1800

2= 900

(و . هـ . م )

. Y قطر فيها، جد قيمة AB , O دائرة مركزهااحلل/

m ∠ C = 900 ..... 10 مبرهنة

m ∠ A + m ∠ B = 1800 - m ∠ C ....زوايا مثلث

m ∠ A + m ∠B = 900

y + 2 y = 900

3y = 900

y = 300

AB

C

O

مبرهنة/ 10

قياس الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة تساوي 900

مثال ( 4)

2y

y

O

A

C

B

144

AD = DC أثبت أن AB = AC ،قطر فيها AB , Oفي الشكل دائرة مركزها

احلل /

المعطيات/


البرهان/

m ∠ 1 = 900 ...... مبرهنة 9

. ( D مثلثان قائما الزاوية في ) ....... BCD , ABD

AB = BC ............ معطى

Δ CBD , Δ ABD ...... متطابقان (وتر وضلع قائم)

من التطابق نحصل على: AB = DC .... تتساوى االجزاء المتناظرة في االشكال المتطابقة

مثال ( 5)

A

B

C

o

21

D

تترك للطالب}

145

س1/ جد قيمة Y , X في كل شكل من االشكال االتية :-

OD ∥ AC ، m∠ OAC = 60 قطر فيها AB ،(الشكل المجاور) O س2/ دائرة مركزها

m CD = m BD :ثم أثبت ان m CD جد

سABC/3 مثلث مرسوم داخل دائرة مركزها O. فاذا كان m ∠ BAC = 300 أثبت ان المثلث

OBC متساوي االضالع .

سOB , OA /4 نصفا قطرين في دائرة مركزها O ، رسم الوتر BD يوازي AO، فاذا كان

AD ⊥OB :أثبت ان m ∠ AOB = 600

س5/في الشكل المجاور

. m ∠ D جد ( a

. A ينصف زاوية AC أثبت ان ( b

في كل شكل من االشكال االتية :-

6 1

A

B D

CO

60˚

C

4y

yx

O

B

D

BC

O

A

4x

x

1A

BA

D

o80˚20˚

C

146

المعطيات/

m CD = m AB


m ∠ COD = m ∠ AOB

البرهان/

m AB = m ∠ AOB ...... 1

( قياس القوس هو قياس زاويته المركزية )

كذلك:

m CD = m ∠ COD ....2

من (1) و (2) نحصل على:

m ∠AOB = m ∠ COD (و . هـ . م)

نتيجة مبرهنة 11:

اذا تطابق قوسان في دائرة فان زاويتيهما المحيطيتين متطابقتان.

دائرة مركزها AB , O قطر فيها m CD = m BD , m ∠ COD = 500 جد m ∠ DOB ثم OD // AC اثبت ان

المعطيات/المطلوب أثباته /

اذا تطابق قوسان في دائرة فان زاويتهما المركزيتين متطابقتان

مبرهنة/11

مثال ( 1)


o

A

BC

D

147

البرهان/

m CD = m BD

m ∠ DOB = m ∠ COD..... ( 10 مبرهنة )

m ∠ DOB = 500

m ∠ COB = m ∠ COD + m ∠ DOB = 1000

( قياس المركزية ضعف قياس المحيطية )

m ∠ CAB = 12

m ∠ COB

= 500 الزاويتان CAB , DOB متناظرتان

CA // DO ∴

سوف نقبل هذه المبرهنة بدون برهان.

توضيح:


AB وتر في دائرة مركزها MD , O قطر فيها

MD ⊥ AB بحيث ان

ينتج من ذلك:

(AC = BC) AB ينصف الوتر MD - 1

m BD = m AD - 2

m MB = m AM - 3

القطر العمودي على وتر في دائرة ينصف الوتر وينصف كال من قوسيه.

مبرهنة/12

o

AB

D

M

C

A

B D

Co

50˚

148

مثال ( 2)

مثال ( 3)


B

O

AD 44

3

o

N

BO جد AB = 8 cm , OD = 3 cm , AB ⊥ OD , O دائرة مركزها احلل/

AB ⊥OD ..... (معطى)

D منتصف AB ...... ( مبرهنة 11 )

BD = 4 cm

D القائم الزاوية في OBD في المثلث

(OB)2 = (OD)2 + (BD)2.. ( مبرهنة فيثاغورس )

= 9 + 16 = 25

BO = 5 cm

.O دائرتان متحدتان في المركز

BD = AC :أثبت ان BA ⊥ON المعطيات/

المطلوب أثباته /

البرهان/

ON ⊥ CD في الدائرة الصغرى

CN = DN .... (1) 12 مبرهنة

AN = BN ....(2) :كذلك في الدائرة الكبرى

من (1) و (2) نحصل على:

AN - CN = BN - DN اذا طرحت كميات متساوية

من اخرى متساوية تبقى النتائج متساوية

AC = BD ∴

B D C A

149

المعطيات/

.N في AB ينصف الوتر CD ،قطر فيها CD , O وتر في دائرة مركزها AB


CD ⊥AB

البرهان/

نرسم OB , OA (نصفا قطرين)

OA = OB ....( نصفا قطرين في دائرة )

N منتصف AB ... ( معطى )

⊥ ABON ... (خواص مثلث متساوي الساقين )

CD⊥ AB ∴

(و . هـ . م )

قطر الدائرة المار بمنتصف الوتر يكون عموديا على ذلك الوتر.

(عكس مبرهنة 12)مبرهنه/13

B

o

AN

D

C

مالحظة BON , OAN يمكن أثبات المبرهنة من تطابق المثلثين

150


D , O وتر في دائرة مركزها AB

m ∠ OBD m < OBD = 300 , DO / /BC , AB منتصف

اثبت ان المثلث OBC متساوي االضالع

المعطيات/


البرهان/

D منتصف AB .... ( معطى )

⊥ ODAB ..... ( مبرهنة 13 )

D قائم الزاوية في OBD المثلث

m ∠ OBD = 300 ......( معطى )

m ∠ BOD = 600 .....(مجموع زوايا المثلث = 1800)

∵ BC // DO ....... ( معطى)

m ∠ OBC = m ∠ BOD ... ( متبادلة)

m ∠ OBC = 600

((OC = OB) زوايا قاعدة مثلث متساوي الساقين ) ...... m ∠ OBC = m ∠ OCB

m ∠ COB = 600 .....(مجموع زوايا المثلث = 1800)

∴ المثلث BCO متساوي االضالع

مثال ( 4)


o

3060

AB

C

D

151

m ∠ BDC جد ، CA = BC = AB :فيها O س1/ في الشكل المجاور: دائرة مركزها

m∠ B , m ∠ C ، a س2/ في الشكل المجاور: m BC = a , m AC = 96 جد :قيمة

OD س3/ في الشكل المجاور: جد

BAC ينصف AO : برهن ان ،O وتران متطابقان في دائرة مركزها AC , AB /4س

CA = BC = AB :فيها O في الشكل المجاور: دائرة مركزها

6 2

32

AB

C

O

D 8

⁀ ⁀

A

BC

OD

AB

C

O

a96

152

b, a س5 /في الشكل المجاور: جد

Y جد قيمة BC ∥ OA , BA ∥CO :س6/ في الشكل المجاور

تلميح: أثبت ان OCBA معين ، ثم صل OB , هناك طريقة أخرى باكمال شكل رباعي دائري مع

. C , B , A النقط

y جد قيمة ، m ∠ D = 2y , m ∠ A = y + 30 :س7/ أنقل الشكل المجاور في دفترك حيث

. (4y 0) ثم أرسم في الشكل زاوية قياسها ،

A B

C

D

b

a 3a

B

o

y˚ AC

12

o

D

A

B

C

2y 1

2y + 30

153

: O التي مركزها M الحظ في الشكل أعاله ان الدائرة

A في نقطة M مماسا للدائرة L1 يسمى { A} = M ∩ L1 : بنقطة واحدة فقط L1 1 - تشترك مع

ولذلك فان:

أي مستقيم في مستوي الدائرة ويشترك معها بنقطة واحدة فقط يسمى مماسا للدائرة في تلك النقطة (نقطة التماس).

M ∩ L2 - 2 = { C , B } يسمى L2 قاطع للدائرة.

M ∩ L3 - 3 = ∅ , ال يمس وال يقطع الدائرة (خارج الدائرة) .

التـماس 4 - 6

o

L3 A

B

C

M

نقطة متاس

L3

(اليقطع والميس)

(قاطع)

(مماس)

L2

L1

154

مع مالحظة ان المستقيم قد يمس اكثر من دائرة في نفس الوقت ويسمى في هذه الحالة مماسا مشتركا كما

في االشكال:

متاس دائرتني من الداخل

متاس دائرتني من اخلارج

مماس مشترك

تعريف [6-7]

الزاوية المماسية: هي الزاوية المحددة بمماس الدائرة ووترها المرسوم من نقطة التماس من الجهة

االخرى .

زاوية ABD الزاوية تسمى للدائرة وتر BA , O مركزها التي للدائرة مماس L : الشكل في

مماسية.

عبارة اولية: قياس الزاوية المماسية في دائرة يساوي نصف قياس القوس المقابل للوتر الذي هو أحد

أضالع الزاوية المماسية .

⁀

A

B

C

D

O

L

m<ABD= 12

mABm ∠

155

المعطيات/

.A يمس الدائرة في نقطة L المستقيم ،O دائرة مركزها المطلوب أثباته/

OA ⊥ L

العمل والبرهان/ AOB نرسم القطر

m ACB = 1800 .... (الن AB قطر في الدائرة )

=m ∠ BAD m<ABD....( عبارة اولية ) 12

mACB

m ∠ m< BAD =12

×1800 = 900

∴ OA ⊥ L (و . هـ . م )

.N في نقطة L ⊥ ON , O نرسم من L ⊥ OA برهان آخر: اذا لم يكن

. AN = NP بحيث ان .P على أستقامتها الى النقطة AN نمد

المثلثان OAN , ONP متطابقان. «ضلعان وزاوية محصورة بينهما»

من التطابق نحصل على:OA = OP ∵ للدائرة ∴ للدائرة

OA ⊥ L ∴ عبارة أولية:

1 - من نقطة تنتمي للدائرة يمكن رسم مماس واحد فقط.

2 - المستقيم العمودي على مماس الدائرة من نقطة التماس يمر بمركز الدائرة.

⁀

المماس عمود على نصف القطر المرسوم من نقطة التماس.

مبرهنة/14

A∈

P ∈

O

L

B

A

C

D

⁀

O

LA PN

156

في الدائرة التي مركزها O، (الشكل المجاور)

A مماس للدائرة في AB

. m ∠ AOB جد ∠ ABO = 35

احلل /

. B يمس الدائرة في ، A قطر فيها ، يمس الدائرة في ، O دائرة مركزها

أثبت ان المعطيات/


البرهان/

كذلك :

من 1 ، 2 :

وهاتين الزاويتين داخلتين وعلى جهه واحدة من القاطع , ∴

من واحدة في جهة الواقعتان الداخليتان الزاويتان ثالث وكانت بمستقيم قطعا اذا (يتوازي مستقيمين

القاطع مجموعهما 1800) .

مثال ( 2)


ABDC//MN

مثال ( 1)

m

o

A

B35˚

MNDC

DC//MN

AB

m < 1+m < 2=180o

A مماس للدائرة في MN ∵

AB ⊥ MN ....... مبرهنة 13∴

1....... m < 1=90o ∴

m < 2=90o ∴2.......

AB ⊥ AO∴ m < OAB=90o

∴ m < OBA=35o

∴ m < AOB=90o-35o = 55o 180 = مجموع زوايا مثلث

معطى∠ ∠ ∠

∠ ∠

∠ ∠

o2 1

C

AB

D

N

M

157


، A مماس للدائرة في AB

m ∠ OAC = 5N , m ∠ CAB = N

احلل/

A مماس للدائرة في AB

OA ⊥ AB ∴

( m ∠ OAB = 90)

N + 5N = 90

6N = 90 ⇒ N = 15

m ∠ OAC = 5 × 15 = 75

∴ OA = OC ( انصاف اقطار الدائرة )

m ∠ OCA = 5N زاويتا قاعدة مثلث متساوي الساقين

∴ m ∠ OCA = 5 × 15 = 75

m ∠ OCA + m ∠ OAC + m ∠ AOC = 180 .... ( مجموع زوايا المثلث )

75 + 75 + X = 180

∴ X = 180 - 150 = 30

سوف نقبل المبرهنة بدون برهان

مثال ( 3)

ox , N جد قيمة m ∠ AOC = xo

B

C

A •N

oX

5N

المستقيم العمودي على نصف قطر دائرة عند نهايته المنتميه للدائرة يكون مماسا

للدائرة .

(عكس مبرهنة 14 ) .مبرهنة/15

158

A في OA ⊥ AB

حيث OA نصف قطر لدائرة .

عند ذلك نحصل على ان :

. A مماس للدائرة قي AB

توضيح :

في الشكل :

BO , CO , AO : منصفات زوايا المثلث هي

التقت في O فتكون O مركز الدائرة التي

. ABC تمس اضالع المثلث

(كما درسنا ذلك في موضوع المثلث )

OR = OQ = OP اي ان

وكل منها يمثل نصف قطر للدائرة .

o

A

نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث هي مركز الدائرة التي تمس اضالع المثلث نتيجة مبرهنة 15 :

توضيح :

R

C

o

A

BQ

P

B

159

المعطيات /

AC ، AB ، A دائرة مركزها O ، للدائرة ∌ ∋

. A قطعتان مماسيتان للدائرة من

المطلوب اثباته/

AB = AC

ABOC العمل والبرهان/ نكمل الشكل الرباعي

AO ونصل

∵ AC ، AB تمسان الدائرة في C ،B ...... (معطى )

∴ OC ⊥ AC , AB ⊥ OB ... ( نصف القطر عمودي على .... )

ACO ، ABO ΔΔ OA ضلع مشترك في

OC نصفا قطرين في دائرة ≅ OB

∴ يتطابق المثلثان القائما الزاوية (وتر وضلع قائم)

. AC = AB : من التطابق

القطعتان المماسيتان المرسومتان لدائرة من نقطة خارجة عنها متطابقتان .

مبرهنة/16

•

•

•

A

B

o

C

اذا رسم لدائرة من نقطة خارجة عنها قطعتان مماسيتان او (مماسان ) فانهما :

1 - تقابالن زاويتان مركزيتين متساويتين .

2 - قطعة المستقيم الواصلة بين مركز الدائرة والنقطة الخارجة عن الدائرة تنصف

الزاوية التي ضلعاها القطعتان المماسيتان .

3 - قطعة المستقيم الواصلة بين مركز الدائرة والنقطة الخارجة عنها تنصف المستقيم

الواصلة بين نقطتي التماس .

نتيجة مبرهنة 16 :

160

. BC مماسات للدائرة, جد CA ، BC ، BD , O في الشكل المجاور : دائرة مركزها احلل /

BN = BD ....مماسان لدائرة من نقطة خارجة عنها

∵

( تقبل بدون برهان )


B مماس للدائرة في ، O دائرة مركزها

ABC ∠ زاوية مماسية ،

BDC ∠ زاوية محيطة تقابل وتر

الدائرة BC (ضلع للزاوية المماسية ).

m ∠ ABC = m ∠ BDC

مثال ( 4)

∴ BN=6 cm CN=CA∴ CN=4 cm BC=CN∴ BC=4+6=10 cm

قياس الزاوية المماسية في دائرة يساوي قياس الزاوية المحيطة المقابلة لوتر الدائرة

(ضلع الزاوية) من الجهة االخرى .

مبرهنة/17

•o

A

C

B

D

•

BA

•

•

•

•o

N

A

C B

D

6 cm4 c

m

+ NB

161


m ∠ 3 , m ∠ 2 جد

احلل /

C تمس الدائرة في AB ∵

∴ (مبرهنة 17)

m ∠ 1 = 74

DE = CE ∵

∴ m ∠ 1 = m ∠ 2 ...... ( خواص مثلث متساوي الساقين )

m ∠ 2 = 74 ∴

m ∠ 3 = 180 -(m ∠ 1+m ∠ 2) .... مجموع زوايا مثلث = 180

m ∠ 3 = 180 -148

m ∠ 3 = 32

مثال ( 5)

• O

ACB

D

E

740

1

2

3

m ∠ 1 = m ∠ ACE

تدريب:

CD //AB : في الشكل المجاور

. x جد قيمة •

AB

D CO

x3x

162

في الشكل المجاور

m ∠ ABN جداحلل/

m ∠ 1 = m ∠ N.... ( زاوية مماسية )

m ∠ 1 = 50 ∴

∵ CN = AN ... (معطى)

∴ m ∠ 2 = m ∠ 3 ... ( زاويتا قاعدة مثلث متساوي الساقين )

∴ m ∠ N + m ∠ 2 + m ∠ 3 = 180 .... ( زوايا مثلث )

m ∠ 2 بـ m ∠ 3 إبدال

50+ 2m ∠ 2 = 180

2m ∠ 2 = 130

m ∠ 2 = 65 ∴

: ABC في المثلث

m ∠ 4 = 180 - m ∠ 3 ... ( زاوية مستقيمة)

m ∠ 4 = 180 - 65 = 115 ∴

m ∠ B = 180 -(m ∠ 1+m ∠ 4) ∴

m ∠ B = 180 - 165 = 15 ∴

مثال ( 6)

•

••

N

A

50 o

B

CO

1

4

2

3

163

س1/ في الشكلين المجاورين جد قياسات الزوايا المرقمة : 2 ،1

س2/في الشكل المجاور : دائرتان متحدتان في المركز AB ، O وتر في الدائرة الكبرى ويمس الدائرة

AN = NB: اثبت ان N الصغرى في

سABC /3 مثلث قائم الزاوية في C ، رسم AB ⊥ CD ، اثبت ان AC يمس الدائرة المارة برؤوس

.BCD المثلث

.ABC س4/ في الشكل المجاور : جد محيط المثلث

6 3

AB

C

O1

2

AB

O

N

30

O

AC

B

•

•28 2

44

E

2cm

O

B A1.5cm

D

1

C

1.2c

m

الهندسة االحداثية coordinate geometry


( x , y) الزوج املرتب

املسافة بني نقطتني

منتصف قطعة مستقيمة

الفصل السابع7

[1-7] املستوى االحداثي .[2-7] املسافة في املستوي االحداثي .

[3-7] احداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيم في املستوي االحداثي .

( x1 , y1 ) , ( x2 , y2)

( x1 , y1 ) , ( x2 , y2)

d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2 d = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2

M = ( x1+ x2 , y1 + y2 )

2 2

d d d =

( =

( =

( =

( =

( =

( xx 22 - - xx

11 ) ) )2 + (

+ (

+ (

+ ( yy 2 2 y 2 y +

+ yy11 ) )22

= (

= (

= (

= (

= (

تدريب: عين النقط االتية في المستوي االحداثي:

A(3,5) , B (-1,-7) , C (4,-4) , D (0,-2) , E (-6 , 0)

(Origin Point) االصل نقطة تدعى نقطة في متعامدين محورين من االحداثي المستوي يتكون

وهي

. O (0 ،0 )عبارة عن الزوج المرتب

. x-axis المحور االفقي يدعى محور السينات -

. y-axis المحور العمودي عليه يدعى محور الصادات -

وكـل منهما مقسم الى اجزاء متساوية في الطول تــدعــى

الوحدة ( unit) والشكل المجاور يوضح ذلك .

ويمكن تحديد موقع اية نقطة في المستوي من خالل معرفة

. (x , y) والذي يكتب بشكل pair احداثيها السيني واحداثها الصادي وهو مايدعى بالزوج المرتب

احلل /

نرسم مستوي االحداثي على االوراق

البيانية ( ورق عادي ) .

7 - 1 املستوي االحداثي

the Coordinate Plane

O 0,0( )O 0,0( )

D 0,-2( )

E -6,0( )

A 3,5( )

C 4,-4( )

y

x

the Coordinate Planethe Coordinate Plane

الفصل

7

• •

{⤹unit

y

x

y-axis

x-axis

origin

−, +( )

+, −( )

+, +( )

−, −( )

O 0,0( )

166

املسافة في املستوي االحداثي 2 - 7 Distance in �e Coordinate Plane

[1 - 2 - 7] يمكن ان نجد المسافة بين نقطتين على مستقيم افقي (يوازي محور السينات) او مستقيم عمودي ( يوازي محور الصادات)

باستخدام المسطرة او كما درست سابقا:

B ( x2 , y1 ) , A ( x1 , y 1 ) تنتمي لمستقيم معلوم يوازي محور السينات حيث A , B اذا كانت*

فان البعد بين النقطتين A , B كما في الشكل (1) .

AB = | x2 - x1 | او AB = | x1 - x2 | : هو

* اذا كانت A , B تنتمي لمستقيم معلوم يوازي محور

الصادات حيث B = (x 2 , y2) , A = (x1 , y1 ) فان

البعد بين النقطتين A , B كما في الشكل (2) .

AB = | y1 - y2 | او AB = | y2 - y1 | : هو

B = (-2 , 3) , A = (5 , 3 ) فمثال : اذا كان

AB = | x2 - x1 | = | -2 - 5 | = | -7 |= 7

A = (5 , -3) , B = (5 , 8 )

AB = | y2 - y1 | = | 8 - (-3) | = | 11 | = 11

واالن : اذا كانت النقطتان A , B التنتمي الى مستقيم يوازي محور السينات وال الى مستقيم يوازي

محور الصادات . فكيف نجد المسافة بين النقطتين A , B ؟

y

x- axis

{y1

| x2 - x1 |y = y1

A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y1 )

A ( x1 , y1 )

{ x1

| y2 - y1 |

B ( x1 , y2 )

x = x1

y

(1)

(2)

167

d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2d

لتكن : B (x2 , y2 ) , A (x1 , y 1 ) تنتميان الى المستوي االحداثي

من الشكل : المثلث AEB قائم الزاوية في E . نجد ان :

AE = | x2 - x1 | , BE = | y2 - y1 |

وحسب مبرهنة فثاغورس :

(AB) 2 = (AE )2 + (BE)2

وبالتعويض عن BE , AE نجد

(AB) 2 = (| x2 - x1 |)2 + (| y2 - y1| ) 2

(AB) 2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1 ) 2

= AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1) 2

|x |2= x2 حيث

في هذه المرحلة سنذكر بعض تطبيقات القانون :

اوال: اثبات ان نقط مثل A , B , C على استقامة واحدة .

الطريقة :

نثبت النقط المعطاة في المستوي االحداثي .

نجد المسافة بين كل نقطتين ثم نبسط الناتج .

فاذا كان الكل يساوي مجموع االجزاء فان النقط على استقامة واحدة .

[2 - 2 - 7] قانون المسافة بين النقطتين في المستوي االحداثي

y

A ( x1 , y1 )

| x2 - x1 |

B ( x2 , y2 )

X

E

| y2 - y1 |

[3 - 2 - 7] بعض تطبيقات قانون المسافة بين نقطتين

168

بين ان النقاط على استقامة واحدة

احلل/

AB= 0+3( )2 + 1+2( )2

= 3( )2 + 3( )2

AB= 9+9 = 18 = 3 2

BC= 3-0( )2 + 4-1( )2

= 3( )2 + 3( )2

BC=3 2 AC= 3+3( )2 + 4+2( )2

= 6( )2 + 6( )2

= 36+36 = 72

AC=6 2

6 2 = 3 2 + 3 2

AC=AB+BC اي

اذ ا : A , B , C نقط تقع على استقامة واحدة

مثال (1) A= -3,-2( ) ,B= 0,1( ) ,C= 3,4( )

B ( 0 , 1 )X

C ( 3 , 4 )

A ( -3 , -2 )

y d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2 d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1) 2

169

A تقع على خط مستقيم واحد -2,-1( ) ,B -1,0( ) ,C 2,3( ) ,D 4,5( ) اثبت ان النقط :

احلل /

AB= -1+2( )2 + 0+1( )2= 1 + 1 = 2

BC= 2+1( )2 + 3-0( )2= 9 + 9 = 3 2

DC= 4-2( )2 + 5-3( )2= 4 + 4 = 2 2

AD واالن نجد طول

AD= 4+2( )2 + 5+1( )2= 36 + 36 = 6 2

6 2 = 2 + 3 2 + 2 2 الحظ ان :

AD = AB + BC + CD : اي

اذا : النقط A , B , C , D تقع على مستقيم واحد

مثال (2)

y

AB

C

X

D

d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2 d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1) 2

170

ثانيا :

نوع المثلث من حيث اطوال اضالعه :

فهو اما متساوي االضالع او متساوي الساقين او مختلف االضالع .

A ( 2 , 4 ) , B (-4 , 2 ) , C( -1 , -2 ) من حيث اضالعه حيث A B C بين نوع المثلث

احلل /

AB ≠ AC ≠ BC الحظ ان :

∴ المثلث مختلف االضالع

ثانيا :

مثال (3)

AB= 2+4( )2 + 4-2( )2= 36 + 4 = 2 10

AB= 2+4( )2 + 4-2( )2= 36 + 4 = 2 10

AC= -1+4( )2 + -2+2( )2= 9 + 0 = 3

AC= -1+4( )2 + -2+2( )2= 9 + 0 = 3

BC= -1-2( )2 + -2-4( )2= 9 + 36 = 45

BC= -1-2( )2 + -2-4( )2= 9 + 36 = 45

y

A ( 2 , 4)

X

C ( -1 , -2)

B ( -4 , 2)

BC= 2+1( )2 + 3-0( )2= 9 + 9 = 3 25

d=AB= X2 -X1( )2 + Y2 -Y1( )2 d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1) 2

AC= -1+4( )2 + -2+2( )2= 9 + 0 = 3

BC= -1-2( )2 + -2-4( )2= 9 + 36 = 45−

16 25 = 5

171

بين ان المثلث الذي رؤوسه A (3 ،-4 ) , B (5 ، -2 ) , C ( 5 ،-6 ) متساوي الساقين

احلل /

Q AB=AC ∵

∴ المثلث ABC متساوي الساقين

ثالثا :

أختبار المثلث القائم الزاوية نجد اطول اضالعه ، فاذا تحققت مبرهنة فيثاغورس فان المثلث قائم الزاوية

بين ان المثلث الذي رؤوسه A (-2 , -2 ) , B (3 ,4 ) , C ( 3 , -2) قائم الزاوية .

احلل /

d= x2 -x1( )2 + y2 -y1( )2

مثال (4)

d= x2 -x1( )2 + y2 -y1( )2

AB= 5-3( )2 + -2+4( )2= 4 + 4 = 2 2

AB= 5-3( )2 + -2+4( )2= 4 + 4 = 2 2

BC= 5-5( )2 + -6+2( )2= 0 + 16 = 4

BC= 5-5( )2 + -6+2( )2= 0 + 16 = 4

AC= 5-3( )2 + -6+4( )2= 4 + 4 = 2 2

AC= 5-3( )2 + -6+4( )2= 4 + 4 = 2 2

y

c ( 5 , -6)

X

B ( 5 , -2)

A ( 3 , -4)

أختبار المثلث القائم الزاوية

ثالثا :

مثال (5)

AB= 3+2( )2 + 4+2( )2= 25 + 36 = 61

172

الحظ ان :

AB( )2 = AC( )2 + BC( )2 اي :

. C قائم الزاوية في ABC المثلث ∴

رابعا : تطبيقات أخرى

بين ان النقط : A (-2 , 3) ، B (-1 , 4) ،C (2 , -1) ، D(1 ,-2) رؤوس متوازي اضالع

.ABCDاجلل /

∴AB=DC

∴

∴ الشكل ABCD متوازي اضالع

AC= 3+2( )2 + -2+2( )2= 25 + 0 = 25

AC= 3+2( )2 + -2+2( )2= 25 + 0 = 25

BC= 3-3( )2 + -2-4( )2= 0 + 36 = 36

BC= 3-3( )2 + -2-4( )2= 0 + 36 = 36

y

X

B ( 3 , 4)

A ( -2 , -2) c (3 , -2) 61( )2

= 25( )2

+ 36( )2

تطبيقات أخرى رابعا :

مثال (6)

AB= -1+2( )2 + 4-3( )2= 1 + 1 = 2

AB= -1+2( )2 + 4-3( )2= 1 + 1 = 2

DC= 1-2( )2 + -2+1( )2= 1 + 1 = 2

DC= 1-2( )2 + -2+1( )2= 1 + 1 = 2

y

X

B

A

D

C

d= x2 -x1( )2 + y2 -y1( )2

AD= 1+2( )2 + -2-3( )2= 9 + 25 = 34

BC= 2+1( )2 + -1-4( )2= 9 + 25 = 34

61 = 25 + 36

AD=BC

173

M (2 , 1 ) تقع على دائرة مركزها A (-1 , 1 ) ، B (5 , 1) ، C (2 , -2 ) يين ان النقط

جد طول قطرها. احلل/

d= x2 -x1( )2 + y2 -y1( )2

MA= -1-2( )2 + 1-1( )2= 9 + 0 = 3

MB= 5-2( )2 + 1-1( )2= 9 + 0 = 3

2 − 2( )2

+ −2 −1( )2MC= 5-2( )2 + 1-1( )2= 0 + 9 = 3MC= 5-2( )2 + 1-1( )2

= 0 + 9 = 3

∵ MA=MB=MC

اذا : C ، B ، A تقع على الدائرة التي مركزها M طول القطر = 6 وحدات .

في المستوي االحداثي نعلم ان النقطة تتعين بزوج مرتب من االعداد الحقيقية

فاذا فرضنا ان M (x ,y ) هي منتصف حيث فسنقبل بدون برهان

العالقة االتية :

مثال (7)

M (2 , 1 )

A (-1 , 1 )

B (5 , 1)

C (2

, -2 )

احداثيا نقطة منتصف قطعة 3 - 7

مستقيم في املستوي االحداثي

ABA x1,y1( ) , B x2 ,y2( )

M= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

174

لتكن B ( 5 , 1 ) ،A ( 3 , -5 ) جد C منتصف .

احلل/

(Mid Point) نقطة المنتصف

. B فجد احداثي النقطة A ( -1 , -2 ) اذا كانت منتصف وكانت

احلل/

C= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

32

, -12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

-1+x2

2, -2+y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒

32

= -1+x2

2⇒ -2+2x2 =6 ⇒ 2x2 =8 ⇒ x2 =4

-12

= -2+y2

2⇒ -4+2y2 =-2 ⇒ 2y2 =2 ⇒ y2 =1

∴ B = ( 4 , 1 )

مثال (1)

مثال (2)

C =32

, -12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟AB

M= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C =3+5

2, -5+1

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C =82

, -42

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C = 4,-2( )

AB

175

بين ان النقط A (-2 , 3 ) ، B ( -1 , 4 ) ، C ( 2 , -1 ) ، D ( 1 ,- 2) رؤوس متوازي

االضالع ABCD باستخدام قانون المنتصف.

احلل/

نجد منتصف القطر

M= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M1 = -2+32

,3+ -1( )

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M1 = -2+32

,3+ -1( )

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M1 = 0,1( )

BD نجد منتصف القطر

M2 = -1+12

,4+ -2( )

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M2 0,1( )

M1 الشكل ABCD متوازي اضالع الن قطراه احدهما ينصف االخر. = M2 ∴

مثال (3)

AC

y

X

B

A

D

C

176

ABCD اذا كان الشكل D جد احداثي النقطة A ( 4 , 0 ) ، B ( 6 , -6 ) ، C (-8 , 0) لتكن

هو متوازي اضالع . احلل /

M= x1 +x2

2, y1 +y2

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

AC نجد منتصف القطر

M1 =

4+ -8( )2

, 0+02

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

M1 = −2, 0( )

BD نجد منتصف القطر

M2 = x+62

, y-62

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

قطرا متوازي االضالع احدهما ينصف االخر

∴ M2 = M1 اي :

x+6

2=-2 ⇒ x+6=-4

x=-10

y-62

=-2 ⇒ y-6=0

y=6

∴ D = −10,6( )

مثال (4)

A ( 4 , 0 )

D ( X , y ) c ( -8 , 0 )

B (6 , -6 )

M

y-62

=-2 ⇒ y-6=0

177

س1/ بين ان النقاط : A(-2,-2) ، B ( 2 , 1 ) ، C ( 6 , 4) تقع على استقامة واحدة .

. A ( 6 , 8 ) ، B ( 0 , 0 ) ، C ( -3 , -2 ) :س2/ هل النقط االتية تقع على استقامة واحدة

س3/ دائرة مركزها النقطة (8 , 6) والنقطة A (-3 , -4 ) تنتمي لها جد طول قطر هذه الدائرة.

س4/ بين نوع المثلث الذي رؤوسه A ( 2 ,-2) ، B ( 2 , 1 ) ، C ( 6 , 4 ) «متساوي الساقين

متساوي االضالع ، مختلف االضالع » .

س5/ بين ان المثلث الذي رؤوسه A ( 2 , -1 ) ، B ( 2 , 1 ) ، C ( -1 , 1) قائم الزاوية ثم جد

مساحة المنطقة المثلثة .

س6/

A ( -3 , 5 ) ، B ( 2 , 7 ) , C( 1 , 9) ،D (-4 , 7 ) بين بطريقتين ان الشكل الذي رؤوسه

متوازي اضالع .

س7/

. D جد احداثي الرأس الرابع A(4,0) ، B(6,-6) ، C(-8,0) متوازي اضالع رؤوسه ABCD

س8/ مثلث ABC رؤوسه A(6,4) ، B(-2,6) ، C(0,-4) تحقق من ان طول القطعة المستقيمة

الواصلة بين منتصفي ضلعين فيه يساوي نصف طول الضلع الثالث.

سABC /9 مثلث حيث A(0,10) ، B(6,8) ، C(-6,-8) تحقق من ان طول القطعة

المستقيمة الواصلة من رأس القائمة الى منتصف الوتر يساوي نصف طول الوتر.

7 1

[1-8] التحويالت الهندسية .

[2-8] اإلنعكاس

[1-2-8] اإلنعكاس على مستقيم في المستوي

[2-2-8] اإلنعكاس على المستوي اإلحداثي

[3-8] اإلنسحاب على المستوي اإلحداثي

[4-8] الدوران

[1-4-8] الدوران على مستوى حول نقطة

[2-4-8] الدوران على مستوي اإلحداثيات المتعامدة

[5-8] التكبير

[6-8] المجموعات المتناسبة

[7-8] التشابه

التحويالت الهندسية


Rx االنعكاس حول احملور السيني

Ry االنعكاس حول احملور الصادي

R90 90 الدوران حول

D التكبير

8 الفصل الثامن

املصطلح الرمز او العالقة الرياضية املصطلح الرمز او العالقة الرياضية

التحويالت الهندسية

التحويالت الهندسية الفصل

8 مقدمة

محور التناظر المعين مثلث متطابق الضلعين

التحويالت الهندسية هي احد فروع الهندسة الذي يدرس تطابق

االشكال الهندسية، حيث يقال لشكلين هندسيين متطابقان

اذا انطبقت كل نقطة من نقاطهما على االخر وهذا التطابق

نالحظه في الطبيعة من اجسام متحركة او جامدة فمثال ينطبق

جناحا الفراشة احدهما على االخر وكذلك الكتاب تتطابق

اوراقه وان جسم االنسان ينقسم الى نصفين متناظرين بوساطة محور نسميه محور التناظر وعند وقوفك

امام مرأة مستوية لشاهدت صورتك نفسها تماما في المرآة . وان خط المرأة بمثابة محور التناظر ومن

خالل االشكال التالية نالحظ محور التناظر لكل شكل هندسي.

ان هذا التحويل الذي ينقل كل نقطة في المستوي الى نقطة اخرى في المستوي نفسه يسمى بالتحويل

الهندسي . ومن امثلة االنعكاس (Reflection) , واالنسحاب (Transltion) وسنتطرق في هذا

الفصل على تحويالت هندسية اخرى كالدوران والتكبير .

8 - 1

180

نفرض أن L مستقيم في المستوي x وأن التطبيق R , حيث

( a ∈ L ) L تنتمي للمستقيم a والنقطة R : x x

فاذا كان R تطبيق تقابل. فان R تحويل هندسي يسمى إنعكاس

على L ونرمز له بالرمز RL ويسمى L أيضا محور اإلنعكاس.

من الشكل أن RL يحول النقط من المستوي الواقعة في إحدى

جهتي المستقيم L الى الجهة األخرى منه بينما النقاط الواقعة

. a a هو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة L عليه تبقى في موضعها . ويكون

p1 (3 , 5 )في المستوى اإلحداثي المتعامد تكون صورة النقطة

بالنسبة لمحور التناظر x (x : axis )هي p2 (3 , -5 ) .بعد

النقطة p1 بالنسبة لمحور x يساوي بعد النقطة p2 بالنسبة

لمحور x . وبصورة عامة يمكن إستنتاج القاعدة التالية:

Rx [( x , y )] = ( x , -y )

حيثRx يسمى إنعكاس بالنسبة لمحور السينات x (x : axis ) حيث( y = 0 ) . ومن الشكل أيضا

. p3 (-3 , 5 ) هي ( y : axis) y بالنسبة لمحور الصادات p1 (3 , 5 )الحظ صورة النقطة

كما تالحظ أيضا أن بعد النقطة P بالنسبة لمحور الصادات يساوي بعد النقطة P3 بالنسبة لمحور

الصادات وهذا يسهل إستنتاج القاعدة التالية .

Ry [( x , y )] = ( -x , y )

. ( x = 0 ) حيث ( y : axis) y يسمى إنعكاس بالنسبة لمحور الصادات Ry حيث

8 - 2 Re�ection االنعكاس

[1 - 1 - 8] االنعكاس على مستقيم في المستوي :

[2 - 1 - 8] االنعكاس على المستوى االحداثي :

x

y p1 ( 3 , 5 )

p2 ( 3 , -5 )

p3 ( -3 , 5 )

a

L

a

181

مثال (1) اذا كانت p (3 , -4 ) . فجد:

1) صورة إنعكاس النقطة P بالنسبة لمحور السينات.

2) صورة إنعكاس النقطة P بالنسبة لمحور الصادات.

احلل/

Rx [( x , y )] = ( x , -y ) 1) حسب القاعدة

⇒ Rx [( 3 , -4 )] = ( 3 , -(-4)) = (3 , 4 )

2) حسب القاعدة

Ry [( x , y )] = ( -x , y )

⇒ Ry [( 3 , -4 )] = ( -3 , -4 )

ABC فجد صورة املثلث C ( 0 , -3 ) , B ( 5 , 0 ) , A ( 3 , 2 ) اذا كانت 1) باالنعكاس في محور السينات ومثله هندسيا .2) باالنعكاس في محور الصادات ومثله هندسيا .

احلل / انعكاس في محور الصادات انعكاس في محور السينات

A = Rx [( 3 , 2 )] = ( 3 , -2) A = Ry [( 3 , 2 )] = ( -3 , 2)

B = Rx [( 5 , 0 )] = ( 5 , 0 ) B = Ry [( 5 , 0 )] = ( -5 , 0)

C = Rx [( 0 , -3 )] = ( 0 , 3 ) C = Ry [( 0 , -3 )] = ( 0 , -3 )

x

y

A

A

BB

C

C

مثال (2)

A

182

جد صورة املستقيم الذي معادلته 2x - 3y = 6 حتت تأثير أنعكاس 1 ) بالنسبة حملور السينات ومثله هندسيا .2 ) بالنسبة حملور الصادات ومثله هندسيا .

احلل / جند نقطتني على املستقيم بوضع x = 0

⇒ 2(0) - 3y = 6 نعوضها في معادلة املستقيم

⇒ - 3y = 6

⇒ y = 6-3

= ⇒ y = -2

⇒ 2x - 3(0) = 6 في معادلة املستقيم y = 0 نعوض

⇒ 2x = 6

∴ النقطتان هما (0 , 3 ) ، (2- , 0 ) 2x - 3y = 6 ميثل املستقيم L1 ∴

1) Rx [( 0 , -2 )] = ( 0 , 2 )

Rx [( 3 , 0 )] = ( 3 ,0 )

2) Ry [( 0 , -2 )] = ( 0 , -2 )

Ry [( 3 , 0 )] = ( -3 ,0 )

جد صورة الشكل الرباعي ABCD حتت تأثير االنعكاس في محور الصادات عندما يكونA ( 1 , 1 ) , B ( 4 , 1 ) , C ( 4 , 3 ) , D ( 1 , 3 ) ومثله هندسيا.

Ry [( 1 , 1 )] = ( -1 , 1 ) / احلل

Ry [( 4 , 1 )] = ( -4 , 1 )

Ry [( 4 , 3 )] = ( -4 , 3 )

Ry [( 1 , 3 )] = ( -1 , 3 )

⎤

⎦⎥ ⇒ L2

⎤

⎦⎥ ⇒ L3

مثال (3)

مثال (4)

⇒ x = 62

= ⇒ x = 3

∴

)

∴

)

∴

)

∴

)

y

x

L1

L2

L3

)

)

)

)

)

)

)

)

y

x

D

A B

CD

AB

C

183

تعريف [8-1]

هو تحويل هندسي ينقل كل نقطة P في المستوي الى p بحيث

P P = مسافة معينة ، P P باتجاه معلوم .

فأن : 1 ) باالتجاه الموجب لمحور السينات

T ( x , y ) = T( x + a , y )

2) باالتجاه السالب لمحور السينات

T ( x , y ) = T ( x - a , y )

8 - 3 Traslation االنسحاب

[1 - 3 - 8] االنسحاب على المستوي االحداثي :

: a تحت تاثير انسحاب مسافة معينة ( x , y ) [2 - 3 - 8] صورة النقطة

3) باالجتاه املوجب حملور الصاداتT( x , y ) = T( x , y + a )

3) باالجتاه السالب حملور الصادات T( x , y ) = ( x , y - a )

اذا كانت النقطة (3 , 2- ) فأوجد صورة النقطة حتت تأثير أنسحاب مقداره (5 ) وحدات .a) باالجتاه املوجب حملور السينات . b) باالجتاه السالب حملور السينات .c) باالجتاه املوجب حملور الصادات . d) باالجتاه السالب حملور الصادات .

a = 5 (a / احلل T ( x , y ) = ( x + a , y )

T (-2 , 3 ) = (-2 + 5 , 3 ) ⇒= ( 3 , 3 )

مثال (1)

184

b) T ( x , y ) = ( x - a , y ) T (-2 , 3 ) = ( -2 -5 , 3 ) =(-7,3)

c) T ( x , y ) = ( x , y + a ) T(-2 , 3 ) = (-2 , 3 + 5 ) = (-2 , 8 ) d) T( x , y ) = ( x , y - a )

T(-2 , 3 ) = (-2 , 3 -5 ) = (-2,-2)

تعريف

تعريف [8-2]

a الى نفسها ويحول اي نقطة اخرى مثل O الدوران في مستوي هو تحويل هندسي يحول النقطة

aʹ حيث الزاوية θ تقرا ثيتا . الى النقطة

االنسحاب يحافظ على : مالحظة

االستقامة والبينية وقياس الزاويه والتوازي .

8 - 4 Rotation الدوران

1 - 4 - 8] الدوران على المستوي االحداثي :

185

وان :

∗ الدوران 90 حول نقطة االصل .

. R 90 ( x , y ) = ( y , -x ) 1) دوران باتجاه عقارب الساعة

R 90 ( x , y ) = ( -y , x ) 2) دوران باتجاه عكس عقارب الساعة

∗ الدوران 180 حول نقطة االصل ( نصف دورة ) .

R 180 ( x , y ) = ( -x , -y ) 1) دوران باتجاه عقارب الساعة

R 180 ( x , y ) = ( -x , -y ) 2) باتجاه عكس عقارب الساعة

∗ الدوران 270 حول نقطة االصل .

R 270 ( x , y ) = (- y , x ) 1) دوران باتجاه عقارب الساعة

R 270 ( x , y ) = ( y , -x ) 2) باتجاه عكس عقارب الساعة

اذا كانت النقطة (1 , 2-) فجد صورة النقطة.

1) تحت تأثير دوران بزاوية قياسها 90، مركزه نقطة االصل.

a) باتجاه عكس عقارب الساعة . b) باتجاه عقارب الساعة .

a) R 90 ( x , y ) = ( -y , x ) /احلل ∴ R 90 (-2 , 1 ) = (-1 , - 2

b) R 90 ( x , y ) = ( y , - x )

∴ R 90 (-2 , 1 ) = (1 , 2 )

مثال

)

186

2) تحت تأثير دوران بزاوية قياسها 180o ، مركزه نقطة االصل.

باتجاه عكس عقارب الساعة احلل /

b) R 180 ( x , y ) = ( -x , -y )

∴ R 180 (-2 , 1 ) = (2 , - 1 )

3) تحت تأثير دوران بزاوية قياسها 270o ، مركزه نقطة االصل.

باتجاه عكس عقارب الساعة

b) R 270 ( x , y ) = ( y , -x ) /احلل

∴ R 270 (-2 , 1 ) = (1 , 2 )

اخرى نقطة اي ويحول نفسها الى O النقطة يحول وهو K ومعامله O مركزه هندسي تحويل هو

, P (x1 , y 1) . الى p (x , y ) مثل

اذا كان التكبير للنقطة p (x , y ) ، مركزه O نقطة االصل ،معامله K فان

D [P ( x ,y )] = ( Kx , Ky )

بعض خواص الدوران: مالحظة

يحافظ على االستقامة و البينية وقياس الزوايا والتوازي.

التكبير 5 - 8

OP = KOP

187

جد صورة p (3 ,4 ) حتت تأثير تكبير مركزه نقطة االصل ومعامله 2 . احلل/

p (3 , 4 ) K = 2

∵ D [P ( x , y )] = ( Kx , Ky )

∴ D [P ( 3 , 4 )] = [( 2 ) (3) , (2)(4) ] = ( 8 , 6 )

جد صورة p (-2 , 3 ) حتت تأثير تكبير مركزه نقطة االصل ومعامله 3 . احلل/

p (-2 , 3 ) K =3

∵ D [P ( x , y )] = ( Kx , Ky )

∴ D [P ( -2 , 3 )] = [(3 ) (-2) , (3)(3) ] = ( -6 , 9 )

1) يحافظ على االستقامة.

2) يحافظ على البينية.

3) يحافظ على نسب األبعاد.

4) يحافظ على قياس الزوايا.

مثال (2)

مثال ( 3)

1 - 4 - 8] خواص التكبير :

188

جد صورة ∆ ABC تحت تأثير تكبير معامله 2 ومركزه نقطة االصل.

. A ( 0 , 0 ) , B ( 4 , 0 ) , C ( 4 , 3 ) حيث احلل/

D2 ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 )

D2 ( 4 , 0 ) = ( 8 , 0 )

D ( 4 , 3 ) = ( 8 , 6 )

مثال (4)

y

xA = A B B

C

C

189

. p( 5 , -3) 1) جد صورة النقطة

a) تحت تأثير انعكاس على محور السينات .

b) تحت تأثير انعكاس على محور الصادات.

c) انسحاب مقداره (3) وحدات باالتجاه الموجب لمحور السينات .

d) انسحاب مقداره (2) وحدات باالتجاه السالب لمحور الصادات .

2) جد صورة ∆ ABC تحت تأثير االنعكاس في محور السينات

C (4 , 5) , B ( 1 , 4 ) , A ( 1 , 2 ) حيث

3) جد صورة المستقيم 3x + 4y - 5 = 0 تحت تأثير :

a) االنعكاس على محور السينات .

b) االنعكاس على محور الصادات .

4) اذا كانت النقطة (2 , 4 ) فجد صورة النقطة تحت تأثير انسحاب مقداره 5 باالتجاه الموجب

. x لمحور السينات

8 1

190

5) جد صورة النقطة ( 1- , 2 ) تحت تأثير :

a) دوران بزاوية 90 باتجاه عكس عقارب الساعة. ومركزه نقطة االصل.

b) دوران بزاوية 90 باتجاه عقارب الساعة. ومركزه نقطة االصل.

c) تحت تأثير دوران بزاوية 180 باتجاه عكس عقارب الساعة. ومركزه نقطة االصل.

d) تحت تأثير دوران بزاوية 180 باتجاه عقارب الساعة. ومركزه نقطة االصل.

. C(1 , 4 ) , B (-3 , 3 ) , A( - 2 , 1) 6) جد صورة انسحاب المثلث الذي رؤوسه

مسافة قدرها (5) وحدات باالتجاه الموجب لمحور السينات .

7) جد صورة النقطة p (-4 ,3) تحت تأثير تكبير مركزه نقطة االصل ومعامله (2).

ABC جد صورة المثلث C ( 0 , 6 ) , B ( 2 , 3 ) , A ( -1 , 1) 8) اذا كانت

بتكبير مركزه o ومعامله

a) k = 2

b) k = -2

c ) k = 12

191

اذا كانت المجموعتان y = { c , d } , x = { a , b } مجموعتان متقابلتان فيقال للمجموعتان

المتقابلتان متناسبتان اذا كان

بين اي المجموعات متناسبة . { 2 , 2 } , { 1 , 1 } (1

2) { 3 , 6 } , { 4 , 2 }

3) { 3 , 4 , 5 } , { 6 , 8 , 10 }

احلل / متناسبة (1

غير متناسبة (2

متناسبة

اذا كانت المجموعتان { d , c } , { b , a } متناسبتين وكل من a , b , c , d اليساوي الصفر .

فأن

املجموعات املتناسبة 6 - 8

مثال

ac

= bd

12

= 12

34

≠ 62

36

= 48

= 510

⇒12

= 12

= 12

1 - 6 - 8] خواص المجموعات التناسبية:

1) a. d = c. b

2) ba

=dc

3) ac

=bd , d

b=

ca

4) a + bb

=c + d

d , a − b

b=

c − dc

5) ab

=cd

=a + cb+ d

3)

192

ان مصطلح التشابه مفهوم لدى الغالبية العظمى من الناس حتى البعيدين منهم من مادة الرياضيات .

وفي موضوع االشكال الهندسية : -

يقال لشكلين هندسيين انهما متشابهان اذا كانت زواياهما متساوية وتناسبت اطوال اضالعهما المتناظرة

(التي تقابل الزوايا المتساوية) . مثال

المستطيل A ال يشابه المستطيل B بالرغم من ان زواياهما متساوية .

وسوف نقتصر في دراستنا على المثلثات المتشابه فقط في الشكل :-

DE F , ABC

m ∠CAB = m ∠F DE

m ∠ABC = m ∠DE F

m ∠ACB = m ∠DF E

ABDE

=BCDF

=ACDF

1)

2)

التشابهه 7 - 8

A

B C

D

E F

1cm

2cm3cm

2cmA B

△△ DEمتشابهات F , ABC

m ∠CAB = m ∠F DE

m ∠ABC = m ∠DE F

m ∠ACB = m ∠DF E

ABDE

=BCDF

=ACDF

193

اذا كان املثلث OBC تكبير للمثلث OEF بتكبير معامله 3 ومركزه نقطة االصل .

حيث F(3 , 3) , E(3 , 0) , O(0 , 0 ) بني هل اضالعهما متناسبة ؟ احلل/

0,0( ) = 0,0( )3,0( ) = 9,0( )3, 3( ) = 9,9( )

F E = (3− 0)2 (0 − 0)2 = 3OB = 9OE = 3BC = 9

F E = (3− 0)2 (0 − 0)2 = 3OB = 9OE = 3BC = 9

+F E = (3− 0)2 (0 − 0)2 = 3OB = 9OE = 3BC = 9

OF = (3− 0)2 + (3− 0)2

= 9 + 9 = 18 = 3 2

OC = (9 − 0)2 + (9 − 0)2

= 81+ 81 = 2(81) = 9 2

OBOE

=BCE F

=OCOF

93

=93

=9 23 2

∴ االضالع متناسبة .

مثال (1)

y

xO(0 , 0)

C(9 , 9)

E(3 , 0) B(9 , 0)

F(3 , 3)

D3D3D3

195

البرهان/

BC ∥ MN وليكن ، A B = AM بحيث AB نقطة تنتمي الى M لتكن

∴ ABC Δ يشابه AMN Δ ..... [مبرهنة 1]

لكن AMN Δ يشابه A B C Δ ...... (ألن المثلثين متطابقين)

∴ ABC Δ يشابه A B C Δ ( و . هـ . م )

اذا كان :

A B C Δ يشابه ABC Δ فان

ABC Δ و A B C Δ فيهما

A B C Δ يشابه ABC Δ ∴

يتشابه المثلثان اذا تناسبت أطوال اضالعهما .


مبرهنة/3

يتشابه مثلثان اذا تطابقت زاوية في مثلث نظيرتها في مثلث اخر وكان طوال الضلعين المحيطين بها متناسبين مع طولي الضلعين المحيطين بنظيرتها .


مبرهنة/4

A

B C

A

CB

A

B C

A

CB

ABʹA ʹB

= ACʹA ʹC = BC

ʹB ʹC

m ∠ A = m ∠ ʹAABʹA ʹB

= ACʹA ʹC

196

والجزء (3) من المبرهنة يعرف بإسم مبرهنة فيثاغورس،

ونص هذه المبرهنة:

[مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين في المثلث القائم

الزاوية يساوي مربع طول الوتر].

اذا كان المثلث ABC قائم الزاوية في A و AM ⊥ BC فان


مبرهنة/5

AB 2 = BC . BM

AC 2 = BC . CM

BC 2 = AB2 + AC2

في المثلث ABC اذا كان : فان C ∠ قائمة .


مبرهنة/6 ( عكس مبرهنة فيثاغورس )

(AB) 2 = (AC)2 + ( BC)2

B

A

C

A

BC M

197

في الشكل جد AC ، AB في ABC Δ حسب األطوال المبينة على الشكل.

احلل/

. AB = 3cm , BC = 4cm , AC = 5cm في المثلث

هل المثلث قائم الزاوية ولماذا؟

احلل/

(BC)2 = (4) 2 = 16 cm

(AB)2 = (3) 2 = 9 cm

(AC)2 = (5) 2 = 25 cm

. B املثلث قائم الزاوية في ∴

مثال (2)

AB( )2= AE( )2

+ E B( )2

AB( )2= 8( )2

+ 15( )2

AB( )2= 64 + 225

AB( )2= 289

AB = 17

(AB) 2 = (AE)2 + ( EB)2

AB = 17

AC( )2= AE( )2

+ E C( )2

AC( )2= 64 + 36

AC( )2= 100

AC = 10

(AC) 2 = (AE)2 + ( EC)2

AC = 10

مثال (3) , ABC

(AC) 2 = (BC)2 + ( AB)2

25 = 16 + 9

25 = 25

A

BC E

8

156

B

A

C

3

4

5

198

8 2

س1 /

m ∠ A = 70 ، m ∠ F = 40 حيث ان , DEF يشابه المثلث ABC اذا كان المثلث

. C جد 1) قياس زاوية

. E 2) قياس زاوية

س2/

. x جد قيمة AC = 11cm و BC = 10cm في الشكل :- اذا كان

س3 /

N ∈ AC , E ∈ AB اذا كان المثلثان ABC و AEN متشابهان وفيهما النقطة

. AN = 5cm , NC = 3cm , EB = 2cm , EN = 3cm

. AB (1 جد

. BC (2

C

A

B 10cm

5cm

6cm

xD E

199199199

الفصل التاسع9

[1-9] المثلثات .

[2-9] النسب المثلثية .

[3-9] النسب المثلثية للزوايا الخاصة .

المقابل المقابلالمقابلالمقابلالمقابل

الوترالوترالوتر

املجاوراملجاوراملجاور

AA

BBB

CCC

θθ

sin sin

2 θ θ + + + c

os

cos 22 θ θ

= = 1


sin θ جيب الزاوية

cos θ جيب متام الزاوية

tan θ ظل الزاوية


جيب الزاوية

جيب متام الزاوية

ظل الزاوية

حساب املثلثاتTrigonometry

مقدمة

سبق ان تعرفت على المثلث وعناصره حيث يتكون من ثالثة زوايا يسمى بانواعها:

❈ مثلث حاد الزاويا (جميع زواياه حادة اي اقل من 90) .

❈ مثلث قائم الزواية (يحتوي على زاوية قائمة = 90).

❈ مثلث منفرج الزاوية ( احدى زواياه منفرجة اي اكبر من 90) .

وثالث اضالع يسمى بانواعها :

❈ مثلث متساوي االضالع . ❈ مثلث متساوي الساقين . ❈ مثلث مختلف االضالع .

وهناك عالقات مهمة بين زوايا المثلث واضالعه ومن هذه العالقات مايدعى بالنسب المثلثية وما يهمنا

في هذا الفصل هو المثلث القائم الزاوية .

الحظ في الشكل المجاور المثلث ABC القائم الزاوية في B حيث ان :

الضلع ( AC ) يدعى الوتر (مقابل للزاوية القائمة )

. θ يدعى المقابل للزاوية (BC ) والضلع

. θ فيدعى المجاور للزاوية ( AB ) اما الضلع

والمبرهنة التي تربط بين اطوال هذه االضالع تدعى مبرهنة فيثاغورس

( AC 2) = (AB2) + (BC2) حيثθA B

C

حساب المثلثات الفصل 9 - 1 9

+

201

في الشكل المجاور ∆ ABC قائم الزاوية في B والزاوية θ احدى الزاويتين الحادتين

(sine) θ جيب الزاوية θ مقابل الزاوية

الوتر 1) تدعى النسبة

ويكتب بشكل :

Sine اختصار كلمة Sin

( Cosine) θ جيب تمام الزاوية θ مجاور الزاوية

الوتر2) تدعى النسبة

ويكتب بشكل :

Cosine اختصار كلمة Cos

(Tangent) θ ظل الزاوية θ مجاور الزاوية θ مقابل الزاوية

3) تدعى النسبة

وتكتب بشكل :

Tangent اختصار كلمة tan

. tan θ , cos θ , sin θ : كما في الشكل : جد ABC مثلث

احلل/

θ

الوترالمقابل

Aاملجاور B

CABC ∆ABC ∆ABC ي الشكل المجاور في الشكل المجاور في الشكل المجاور

النسب املثلثية 2 - 9

sinθ = BCAC

cosθ = ABAC

tanθ = BCAB

مثال (1)

sinθ = BCAC

⇒ sinθ = 45

cosθ = ABAC

⇒ cosθ = 35

tanθ = BCAB

⇒ tanθ = 43

4cm5cm

3cmA B

C

θ

202

من الشكل المجاور وباستخدام مبرهنة فيثاغورس نجد

. ( AC)2و بالقسمة على ( BC)2 + (AB)2 = ( AC)2

( sin θ) 2 + (cos θ) 2 = 1

AC بالقسمة على

tanA , sinA فجد cosA = 817

في ∆ ABC القائم الزاوية في B اذا كانت

17K = 8 ، الوترK = المجاور ∴ ، K > 0 الطريقة االولى حيث

( AB)2 + (BC)2 = ( AC)2 وحسب مبرهنة فيثاغورس

( 8K) 2 + (BC) 2 = (17K)2

64K 2 + (BC) 2 = 289 K2

(BC )2 = 289K2 - 64K2

(BC )2 = 225K2 ⇒ BC = 15K

θA B

C

بعض العالقات المثلثية 3 - 9

8مثال (2)

BCAC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+ ABAC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= ACAC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

tanθ = BCAC

tanθ =

BCACABAC

tanθ = sin θcos θ

tanθ = BCAC

tanθ =

BCACABAC


cosA = 8K17K

θA B

C

17K

8K

tanθ = BCAC

tanθ =

BCACABAC


203

الطريقة الثانية

BC( )2= 289K 2 − 64K 2

BC( )2= 225K 2 ⇒ BC = 15K

sin A =15K17K

=1517

tan A =15K8K

=158

Asin A = BCAC

⇒

tan A = BCAB

BC( )2= 289K 2 − 64K 2

BC( )2= 225K 2 ⇒ BC = 15K

sin A =15K17K

=1517

tan A =15K8K

=158

A⇒

A B

C

17

8

Q sin2 A + cos2 A = 1

∴sin2 A +8

17⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 1

sin2 A = 1−64289

sin A =1517

Q tan A =sin Acos A

tan A =

15178

17

=158

A

A

A

A

A


∴sin2 A +8

17⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 1

sin2 A = 1−64289

sin A =1517

Q tan A =sin Acos A

tan A =

15178

17

=158

A


∴sin2 A +8

17⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

= 1

sin2 A = 1−64289

sin A =1517

Q tan A =sin Acos A

tan A =

15178

17

=158


204

النسب المثلثية للزاوية 450 : نرسم المثلث ABC القائم الزاوية في B بحيث ان AB = BC اوال :

∵ m ∠ B = 900 ⇒ m ∠ A+ m ∠ c = 900

∵ AB = BC

∴ m ∠ A = m ∠ C = 450

AB = BC = K > 0 نفرض ان

حسب مبرهنة فثاغورس :

( AC )2 = (AB)2 = ( BC)2

(AC )2 = K2 + K2

(AC )2 = 2K2

AC = K

( 2cos45 + tan45) 2 جد ناتج

احلل/

النسب املثلثية للزاويا اخلاصة 4 - 9

A B

C

45

45

K

K

Sin450 =k2k ⇒ Sin450 =

12

Cos450 =k2k ⇒ Cos450 =

12

tan450 =kk ⇒ tan 450 = 1sin45ο = K

2K ⇒ sin45ο = 1

2

cos45ο = K2K

⇒ cos45ο = 12

tan45ο = KK

⇒ tan45ο = 1

مثال (1)

Q 212

+ 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇒ 2 21

2+ 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

⇒ 2 + 1( )2

= 2( )2+ 2 2( ) + 1

= 2 + 2 2 + 1

= 3 + 2 2

Q cos45ο = 1

2 , tan45ο = 1

Q 212

+ 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇒ 2 21

2+ 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

⇒ 2 + 1( )2

= 2( )2+ 2 2( ) + 1

= 2 + 2 2 + 1

= 3 + 2 2

Q 212

+ 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇒ 2 21

2+ 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

⇒ 2 + 1( )2

= 2( )2+ 2 2( ) + 1

= 2 + 2 2 + 1

= 3 + 2 2

sin45ο = K2K

⇒ sin45ο = 12

cos45ο = K2K

⇒ cos45ο = 12

tan45ο = KK

⇒ tan45ο = 1

sin45ο = K2K

⇒ sin45ο = 12

cos45ο = K2K

⇒ cos45ο = 12

tan45ο = KK

⇒ tan45ο = 1

∵

∵

205

ثانيا زاوية قياسها 300 ، 600 : نرسم مثلثا متساوي االضالع طول ضلعه 2k فيكون قياس كل :

∴ BD = DC = K فينصفه الحظ الشكل المجاور وحدة AD ⊥ BC زاويه منها 600 نرسم

AD = K وبستخدام مبرهنة فيثاغوس نجد بان BAD = 300 وان قياس الزاوية

. x , y ∈ R من الشكل المجاور جد قيمة

(a) /احلل

(b)

حاول حل المثال باستخدام نسب مثلثية للزواية 30 .

AD = 3K

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

مثال (2)

30

K

30

60 60

KC

A

BD

2K

40

y60

x

y60

x

Sin6

00=

23 x

⇒3 2

=2

3 x4

3=

3x⇒

x=

4

tan6

0=

23 y

⇒3

=2

3 y

3y=

23

⇒y

=2

cos60° = y40

⇒ 12 = y

40

∴y = 402

⇒ y = 20

sin60° = x40

⇒ 32 = x

40 ∴2x = 40 3 ⇒ x = 20 3

sin60° = 2 3x

⇒ 32 = 2 3

x 4 3 = 3 x ⇒ x = 4

tan60° = 2 3y

⇒ 3 = 2 3y

∴ 3y = 2 3 ⇒ y = 2

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

sin30ο = K2K

⇒ sin30ο = 12

cos30ο = 3K2K

⇒ cos30ο = 32

tan30ο = K3K

⇒ tan30ο = 13

sin60ο = 3K2K

⇒ sin60ο = 32

cos60ο = 12

tan60ο = 3

206

س1 / جد قيمة كل مما ياتي :

1) sin60 cos30 + cos60 sin30

2) ( cos30 - sin45 ) ( sin60 + cos45 )

3) BC = 7cm , AB = 15cm

sin C , cos C , tanC جد

س2 /

a) cos230 - sin230 = cos60 : اثبت ان

b) 2 sin30 cos30 = sin60

c)

س3/ جدقيمة x , y∈ R من المثلثين :

9 1

Cos2 300 − Sin2 300 = Cos600

2Sin300 Cos300 = Sin600

1− Cos600

2= Sin300

b)

10

y x45

ABC مثلث قائم الزاوية في B حيث

10y

x

30

a)

207

االحصاءStatistics

10

[1-10] الوسط احلسابي للبيانات غير املبوبة . [2-10] الوسط احلسابي للتوزيع التكراري البسيط.

[3-10] الوسط احلسابي للتوزيع التكراري ذو الفئات. [4 - 10] مزايا وعيوب الوسط احلسابي .

[5-10] الوسيط . [6-10] مزايا وعيوب الوسيط .

[7-10] املنوال .[8-10] مزايا وعيوب املنوال .


x x: الوسط احلسابي للقيم

ME الوسيط

MO املنوال

الفصل العاشر

x i + x 2 + x 3

+ .

...+ x 7

7x

=

مقدمة

الفصل 10

درسنا في المراحل السابقة طرق جمع وتمثيل البيانات . وكان من الصعب ايجاد مقياس يعبر عن الظاهرة

موضوع الدراسة ، لذلك سنبحث عن مقياس اي قيمة واحدة تتراكم حولها عدد كبير من القيم ، وهذا الميل

حول تلك القيمة يسمى بالنزعة المركزية للتوزيع البياني وتسمى تلك القيمة بمقياس النزعة المركزية

. (Measures of Central Tendency )

ان مقاييس النزعة المركزية (القيم المتوسطة) هي قيم احصائية ذات اهمية كبيرة في وصف التوزيعات

البيانية، ومن اهم مقاييس النزعة المركزية التي ستناول دراستها في هذه المرحلة هي :

. Arithmatic Mean 1 - الوسط الحسابي

.Median 2 - الوسيط

. Mode 3 - المنوال

بشكل , مبسط طريقة استخراجها ومزاياها وعيوبها .

المركزية شيوعا واكثرها استخداما وبساطة النزعة المتوسط اكثر مقاييس او الحسابي الوسط يعتبر

حسابه واستخراجه . نعطي هنا تعريفا للوسط الحسابي للبيانات غير المبوية (البيانات االولية او االصلية

التي جمعت ولم تبوب او توضع بشكل جدول)

تعريف [10-1]

يعرف الوسط الحسابي لمجموعة من القيم لبيانات غير مبوبة بانه مجموع القيم مقسوما على

( X bar ويقرأ أكس بار) X عددها ويرمز للوسط الحسابي عادة بالرمز

االحصاء

209

فاذا كان لدينا n من قيم xi هي : xi : x1 , x2 , x3 , .... : xn عندئذ يكون :

اوجد الوسط الحسابي لالعداد االتية : ( 3 , 2 , 7 , 5 , 4 , 6 , 8 ) . احلل /

الوسط الحسابي x هو :

اذا كانت اعمار ثمانية اشخاص بالسنين هي : ( 4 , 8 , 10 , 12 , 16 , 18 , 20 , 24 ) .

جد الوسط الحسابي العمارهم.

احلل/

مثال (1)

الوسط احلسابي للبيانات غير 1 - 10 املبوبة

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x1 + x2 + x3 + ....+ xn

nX =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x1 + x2 + x3 + ....+ x7

7x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

3 + 2 + 7 + 5 + 4 + 6 + 8

7x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

35

7 x = = 5

مثال (2)

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x1 + x2 + ....+ x8

8x = , n = 8

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

4 + 8 + 10 + 12 + 16 + 18 + 20 + 24

8x = x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

112

8 = = 14

210

fi من تكرار n ويقابلها Xi : X1 , X2 , X3 , .... : Xn : هي Xi من قيم n اذا كان لدينا

. fi : f1 , f2 , f3 , .... : fn : وهي

فيعرف الوسط الحسابي بانه مجموع حواصل ضرب X1 في التكرارات المناظرة fi مقسوما على

مجموع التكرارات .

اي :

اوجد الوسط الحسابي للتوزيع التكراري التالي العمار (14) شخص :

131098العمر2453عدد االشخاص

احلل /

x1 = 8 , f1 = 3 , x2 = 9 , f2 = 5 , ....

مثال

الوسط احلسابي للتوزيع 2 - 10 التكراري البسيط

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x1f1 + x2f2 + x3f3 +...+ xnfn

f1 + f2 + f3 +...+ fn

x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

x1f1 + x2f2 + x3f3 + x4f4

f1 + f2 + f3 + f4

x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

(3)(8) + (9)(5) + (10)(4) + (13)(2)

3 + 5 + 4 + 2x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

24 + 45 + 40 + 26

14 = x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

135

14 =

211

يمكن حل السؤال كما في الجدول االتي :

x1 f1 x1f1

8 3 (8)(3)=24

9 5 (9)(5)=45

10 4 (10)(4)=40

13 2 (13)(2)=26

14 135

تعريف [10-2] يعرف الوسط الحسابي للبيانات المبوبة بأنه مجموع حواصل ضرب مراكز الفئات (والتي يرمز

لها Xi) في التكرارات المناظرة f i وقسمة الناتج على مجموع التكرارات .

فإذا كان لدينا n من مراكز الفئات وهي على التوالي: x1 ، x2 ، x3 ,.....xn وإن التكرارات المناظرة

لها هي: f1 , f2 , f3 , ......fn على التوالي. عندئذ يكون الوسط الحسابي x بحسب القانون اآلتي:

الوسط احلسابي للتوزيع 3 - 10 التكراري ذو الفئات

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

f1x1 + f2x2 + ... + xnfn

f1 + f2 + f3 +... + fn

x =

∴x = 135

14

212

وإليجاد الوسط الحسابي للبيانات المبوبة نتبع الخطوات التالية:

. xi 1) نجد مركز كل فئة من الفئات

. fi في التكرار المناظر لها xi 2) نضرب مركز كل فئة

3) نجد مجموع حواصل الضرب.

4) نجد x بقسمة مجموع حواصل الضرب مراكز الفئات في التكرارات وقسمتها على مجموع

التكرارات .

.(kg) الجدول التالي يمثل توزيع 150 حاجة حسب فئات الوزن بالكيلو غرام

الوزن 15- 25- 35- 45- 55- 65-75عدد احلاجات 9 15 23 30 33 40

إحسب الوسط الحسابي للوزن.

احلل / نجد مراكز الفئات:

: x1 مركز الفئة األولى

مركز الفئة الثانية x2 : وهكذا نعمل اجلدول التالي:

fixixi مركز الفئاتfi فئات الوزنالتكرار

18020915-

450301525-

920402335-

1500503045-

1980603355-

2800704065-75

7830150

مثال

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

40

2

15 + 25

2x1 = = = 20

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

60

2

25 + 35

2x2 = = = 30

213

جد الوسط احلسابي من اجلدول التكراري اآلتي:

الفئات 60- 62- 64- 66- 68-

التكرار 5 18 42 27 8

:x1 احلل/ جند مركز الفئة األولى

جند مركز الفئة الثانية x2: نعمل اجلدول اآلتي:

fixixi مركز الفئاتfi الفئاتالتكرار

(5)(61)=30561560-

(18)(63)=1134631862-

(42)(65)=2730654264-

(27)(67)=1809672766-

(8)(69)=55269868-

6530100

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

f1x1 + f2x2 + ... + xnfn

f1 + f2 + ... + fn

x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

7830

150 x = = 52.2kg

مثال

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

122

2

60 + 62

2x1 = = = 61

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

126

2

62 + 64

2x2 = = = 63

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

f1x1 + f2x2 + ... + xnfn

f1 + f2 + ... + fn

x =

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

6530

100 x = = 65.3

214

أوال: املزايا: * يمتاز بسهولة حسابه .

* تدخل جميع القيم في حسابه.

ثانيا: العيوب: * اليمكن إيجاده بيانيا

* يتأثر بالقيم الشاذة او المتطرفة التي تكون كبيرة جدا أو صغيرة جدا بالنسبة لمعظم القيم

وبالتالي ترفع أو تخفض قيمة الوسط الحسابي.

مثال: لتأخذ االعداد االتية: 10 , 9 , 7 , 3 , 1 وتجد الوسط الحسابي لها فيكون الوسط الحسابي

لها x حيث :

لو اضفنا لها العدد 300 فتكون االعداد 1 , 3 , 7 , 9 , 10 , 300 الوسط الحسابي لهذه االعداد هذه

المرة يكون

الحظ الوسط الحسابي للقيم 10 , 9 , 7 , 3 , 1 هو (6) بينما اصبح (55) بالنسبة للقيم

300 , 10, 9 , 7 , 3 , 1 ونفس الشي بالنسبة للقيم الصغيرة جدا.

مزايا وعيوب الوسط احلسابي 4 - 10

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

1 + 3 + 7 + 9 + 10

5x = = x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n 30

5 = 6

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n

1 + 3 + 7 + 9 + 10+300

6x = = x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n 330

6 = 55

215

مثال (1)

يعتبر وسيط مجموعة من البيانات ( القيم ) قياسا مهما آخرا من مقاييس النزعة المركزية. وسنقتصر

في دراستنا لهذه المرحلة على تعريف وايجاد الوسيط للبيانات غير المبوبة .

تعريف [10-3]

وسيط مجموعة من القيم : x1 , x2 ...., xn في حالة :

اوال: n عدد فردي هو القيمة التي تقع في الوسط عند ترتيب القيم تصاعديا او تنازليا.

ثانيا: n عدد زوجي . تنازليا او القيم تصاعديا ترتيب بعد الوسطيتين القيمتين منتصف (معدل) في تقع التي القيمة هو

. ME وسنرمز للوسيط بالرمز

جد الوسيط للقيم االتية: 5 , 6 , 4 , 2 , 3

احلل / نقوم بترتيب القيم تصاعديا كما يلي:

2 , 3 , 4 , 5 , 6

الن عدد القيم فردي (5) فان قيمة الوسيط تقع في الوسط.

∴ ME = 4

جد الوسيط للقيم االتية: 9 , 6 , 5 , 4 , 2 , 3

احلل / نقوم بترتيب القيم تصاعديا كما يلي: 9 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2

الن عدد القيم زوجي (6) فان قيمة الوسيط هي الوسط الحسابي للقيمتين في الوسط وهما كما واضح :

الوسيط 5 - 10

مثال (2)

ME = = x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n 9

2 = 4.5x =

x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n 4 + 5

2

216

جد الوسيط لمجموعة القيم االتية: 7 , 7 , 11 , 7 , 5 , 4 , 3 , 2 , 3 , 2

احلل / نقوم بترتيب القيم تصاعديا كما يلي:

2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 , 7 , 7 ,7 , 11

الوسيط = ( معدل القيمتني الوسطيتني)

اوال : املزايا :* يمكن ايجاده بيانيا ( خارج نطاق دراستنا لهذه المرحلة ).

* ال يتأثر بالقيم الشاذة او المتطرفة.

مثال : الوسيط لالعداد 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 ,3 , 2 , 1 هو (5) يتوسط القيم الن عدد القيم فردي (9)

قيم. الوسيط لالعداد : 200 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 هو (5) ايضا ونفس الشي اذا كان عدد

القيم زوجي.

ثانيا: العيوب* ال تدخل جميع القيم في حسابه.

مثال (3)

مزايا وعيوب الوسيط 6 - 10

∴ME = 4.5

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xn

n 4 + 5

2

217

يعتبر المنوال مقياسا آخرا مهما من مقاييس النزعة المركزية. ويمكن تعريفه للبيانات غير المبوبة

كما يلي.

تعريف [10-4]

منوال مجموعة القيم x1 , x2 ...., xn هو القيمة الشائعة اي التي تتكرر اكثر من غيرها

.MO ضمن قيم المجموعة . وسنرمز للمنوال بالرمز

جد المنوال للقيم االتية:

11 , 9 , 5 , 4 , 8 , 6 , 9 ,13 , 1 2 , 7

احلل/

الحظ ان القيمة (9) تكررت مرتين لذا فان:

MO = 9

جد المنوال للقيم االتية:

10 ، 5 ، 5 ، 4 ، 7 ، 8 ،2 ، 12 ، 2 ، 3 ، 2 , 5احلل /

الحظ ان : القيمة (5) تكررت مرتين كذلك القيمة (2) تكررت مرتين فيكون لهذه القيم منواالن هما

2 , 5 اي :

MO = 2 , MO = 5

عتبر المنوال مقياسا آخرا مهما من مقاييس النزعة المركزية. ويمكن تعريفه للبيانات غير المبوبة

املنوال 7 -10

مثال (1)

مثال (2)

218

مزايا وعيوب املنوال 8 - 10

هل يوجد منوال للقيم االتية؟

12 , 17 ,13 , 9 , 8 , 2 , 5 , 4 , 1

احلل /

ليس لهذه القيم منوال والسبب هو عدم تكرار أية قيمة من هذه القيم اكثر من مرة واحدة .

اوال: املزايا * بسيط من حيث الفكرة والحساب.

* ال يتأثر بالقيم الشاذة او المتطرفة.

ثانيا: العيوب * قد ال يكون هناك منوال .

* قد يكون هناك اكثر من منوال.

مثال (3)

219

س1/ جد ان امكن الوسط الحسابي، الوسيط والمنوال لكل مما يأتي:

a) 11 , 20 , 5 , 8 , 12 , 17 , 9

b) 8 , 4 , 9 , 5 , 2 , 4 , 4 , 2 , 6 , 7 , 2

c) 12 , 24 , 16 , 20 ,10 , 8 ,18 , 4 , 20

d) 2 , 5 , 9 , 5 , 7 , 7 ,11 , 9 , 7

س2/ من الجدول االتي جد الوسط الحسابي.

الوزن 201712796

العدد756432

س3/ اوجد الوسط الحسابي الوزان (40) طالبا بالكيلو غرام من الجدول التكراري االتي:

االوزان -70-60-50-40-30

التكرار6541510

س4 / احسب الوسط الحسابي للقيم المعطاة في الجدول االتي:

الفئة -20-2317-14-11-8-5

التكرار5237911

10 1

الفهرست الفصل االول/ التطبيقات ...........................4 - 30

الفصل الثاني/ االعداد الحقيقة ..................... 31 - 45

الفصل الثالث/ الحدوديات .........................46 - 71

الفصل الرابع/ المتباينات .........................72 - 113

الفصل الخامس/ الهندسة - المثلث ...............114 - 133

الفصل السادس/ الدائرة .........................134 - 163

الفصل السابع /الهندسة االحداثية .................164 - 177

الفصل الثامن/ هندسة التحويالت .................178 - 198

الفصل التاسع /حساب المثلثات ...................199-206

الفصل العاشر/ االحصاء .........................207 - 219

Documents

3رياضيات ثالث متوسط2011-2012