3. ANUITE - DEUkisi.deu.edu.tr/serkan.aras/4_1_ Anuite-sermaye.pdf · 2017. 12. 19. · IV-1 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik 3. ANUITE (TAKSİTLİ ÖDEME) 3.1. Sermaye

IV-1 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik

3. ANUITE

(TAKSİTLİ ÖDEME) 3.1. Sermaye oluşturma

3.1.1. Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

3.1.1.1. Devre başı ödemeli

3.1.1.2. Devre sonu ödemeli

3.1.2. Sermaye oluşturma yaklaşımı ile borcun taksitle ödenmesi

3.1.2.1. Sabit devre ve eşit taksitli borç

3.1.2.2. Sabit devre ve değişken taksitli borç

3.1.3. Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

3.1.3.1. Düzenli değişken taksitler

3.1.3.1.1. Geometrik dizi şeklinde değişken taksitler

3.1.3.1.2. Aritmetik dizi şeklinde değişken taksitler

3.1.4. Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

3.2. Borcun taksitle ödenmesi (istikraz)

3.2.1. Sabit taksitli borç

3.2.2. Değişken taksitli borç

3.3. Rant geliri

3.3.1. Sabit gelirli rant

3.3.2. Ertelenmiş rant

3.3.3. Çabuklaşmış rant

3.3.4. Değişken gelirli rant

3.3.4.1. Geometrik artış gösteren gelir taksitli rantlar

3.3.4.1.1. Geometrik artış gösteren hemen başlayan gelir taksitli rantlar

3.3.4.1.2. Geometrik artış gösteren ertelenmiş gelir taksitli rantlar

3.3.4.1.3. Geometrik artış gösteren çabuklaşmış gelir taksitli rantlar

3.3.4.2. Aritmetik artış gösteren gelir taksitli rantlar

3.3.4.2.1. Aritmetik artış gösteren hemen başlayan gelir taksitli rantlar

3.3.4.2.2. Aritmetik artış gösteren ertelenmiş gelir taksitli rantlar

3.3.4.2.3. Aritmetik artış gösteren çabuklaşmış gelir taksitli rantlar


Anuiteleri farklı bakışlarla değişik şekillerde sınıflandırılabilir, bunların ;

taksitli sermaye oluşturma,

taksitle borç ödeme

taksitli elde edilen rant gelirleridir

Anüiteler ev kredisi ödemeleri vb gibi dönemi sabit ve belirli olanları yanında sosyal güvenlik sigortası

veya hayat sigortası ödemeleri gibi anüite dönemi deg isen veya önceden belirsiz olan ödemeli olanları vardır. Diğer taraftan, ilk ödemesi veya ödemeleri ertelenmiş şekilde geç yatan anüiteler veya çabuklaştırılmış ödemeli anuiteler sınıflandırması vardır.

3.1. Sermaye oluşturma A: anüite, periyodik ödemelerin baz (sabit=başlangıç) değeri

n: Anüite dönemi boyunca faiz isleyen dönem sayısı. (Basit anüitelerde ödeme sayısı)

r: Dönem basına faiz oranı, (r veya rm /m)

Cn : Anüitenin toplam deg eri ya da birikmis deg eri.

C0: Anüitenin iskontolu deg eri ya da simdiki deg eri.

I : Faiz miktarı

Örnek : Dönem başı ödemeli basit anuite, ödeme ve faiz oluşum tablosu. A = 500, r=%12, n=10

ödeme dönemi

(n) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cn I

1 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 166 1.553 1.053

2 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 1.387 887

3 500 60 67 75 84 94 106 118 133 1.238 738

4 500 60 67 75 84 94 106 118 1.105 605

5 500 60 67 75 84 94 106 987 487

6 500 60 67 75 84 94 881 381

7 500 60 67 75 84 787 287

8 500 60 67 75 702 202

9 500 60 67 627 127

10 500 60 560 60

Toplamlar 5.000 600 605 602 590 566 529 474 398 297 166 9.827 4.827


Dönem sonu ödemeli basit anuite, ödeme ve faiz oluşum tablosu. A = 500, r=%12, n=10

ödeme dönemi

(n) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cn I

1 500 60 67 75 84 94 106 118 133 149 1.387 887

2 500 60 67 75 84 94 106 118 133 1.238 738

3 500 60 67 75 84 94 106 118 1.105 605

4 500 60 67 75 84 94 106 987 487

5 500 60 67 75 84 94 881 381

6 500 60 67 75 84 787 287

7 500 60 67 75 702 202

8 500 60 67 627 127

9 500 60 560 60

10 500 500 0

Toplamlar 5.000 540 538 527 506 472 423 355 265 149 8.774 3.774

3.1.1. Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

Cn : n adet devre sonunda biriken para A : devre başı veya sonu ödemeler, n: taksit sayısı, r:

faiz%

Devre başı ödemeli:

0 1 2 … n-3 n-2 n-1 n zaman

A A A A A A

n A(1+r)n

n-1 A(1+r)n-1

n-2 A(1+r)n-2

… …

3 A(1+r)3

2 A(1+r)2

1 A((1+r)

Ödeme devrelerinin toplamları bir geometrik dizi oluşturur

Cn = A(1+r)n + A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + … + A(1+r)2 + A(1+r)


Cn = (1+r) { A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + … + A(1+r) + A }

İlk terimi A olan ve ortak çarpanı (1+r) olan bir geom. dizi veya dizi tersten de yazılabilir

Cn = A [(1+r)n -1] (1+r)/r] elde edilir

Veya başka bir yolla

İlk terimi A(1+r)n ve ortak çarpanı (1+r)-1 olan geometrik dizi toplamı

Cn = a (un – 1)/(u – 1) den (geom. dizide a: ilk terim, u ortak çarpan)

Cn = A(1+r)n [(1+r)-n – 1]/[(1+r)-1 – 1]

Cn = A(1+r)n { [1 - (1+r)n / (1+r)n ] / [1 – (1+r)]/(1+r)

Cn = A(1+r)n { [1 - (1+r)n / (1+r)n ]} / [ –r)/(1+r)]

Cn = A(1+r)n { [1 - (1+r)n / (1+r)n ]} x [(1+r)/(-r)]

Cn = A[(1+r)/(-r)] [1 - (1+r)n ] pay ve payda (-1) ile çarpılırsa

Cn = A (1+r) [(1+r)n - 1 ]/r

sn = [(1+r)n -1]/r

an = [1-(1+r)-n]/r

(1+r)nan = sn

Cn = A (1+r) sn = A an (1+r)n+1 = A {[(1+r)n -1]/r} (1+r)

elde edilir.

A = Cn an (1+r) = Cn / {sn (1+r)} = Cn r / {[(1+r)n -1] (1+r)}

n = { log[Cn r + A (1+r)] – logA – log(1+r) } / log(l+r)

olur.

Veya diğer bir yolla elde edilmek istenirse, dizi tersten yazılır,

Cn = A(1+r) + A(1+r)2 + A(1+r)3 + … + A(1+r)n-1 + A(1+r)n

İlk terimi A(1+r) ve ortak çarpanı (1+r) olan geometrik dizi toplamı

Cn = A[(1+r)n -1] (1+r)/r] olur.


Devre sonu ödemeli:

0 1 2 … n-3 n-2 n-1 n zaman

A A A A A A

n A(1+r)n-1

n-1 A(1+rn-2

n-2 A(1+r)n-3

… …

3 A(1+r)3

2 A(1+r)2

1 A((1+r)

0 A

Ödeme devrelerinin toplamları bir geometrik dizi oluşturur

Cn = A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + A(1+r)n-3 + … + A(1+r) + A

Buradaki geom. dizi kısmi toplamları

1 + u + u2 + … + un-1 = (un -1)/(u-1) eşitliği kullanılarak

İlk terimi A(1+r)n-1 ve ortak çarpanı 1/(1+r) olan geometrik dizi toplamı


Cn = A(1+r)n-1 [1/(1+r)n – 1]/[1/(1+r) – 1]

Cn = A(1+r)n-1 {[1 - 1/(1+r)n ] /(1+r)n } / {1 – (1+r)/(1+r)}

Cn = A(1+r)n-1 {[1 - 1/(1+r)n ] /(1+r)n } x {(1 +r)/-r}

Cn = A [(1+r)n - 1] / r olur.

Veya diğer bir yolla, dizi tersten yazılırsa,

Cn = A + A(1+r) + A(1+r)2 + … + A(1+r)n-2 + A(1+r)n-1

İlk terimi A ve ortak çarpanı (1+r) olan geometrik dizi toplamı


Cn = A [(1+r)n – 1]/[(1+r) – 1]

Cn = A [(1+r)n - 1] / r olur.


Ya da başka bir yolla

Cn = A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + A(1+r)n-3 + … + A(1+r) + A her iki tarafı – ile çarp

(1+r)Cn = A(1+r)n + A(1+r)n-1 + A(1+r)n-2 + … + A(1+r)2 + A(1+r) iki denklemi topla

--------- -------------------------------------------

(1+r)Cn – Cn = A(1+r)n - A

Cn = A [(1+r)n - 1] / r elde edilir.

Devre sonu ödeme ile devre başı ödeme arasındaki ilişkiler :

Devre başı ödemeli sermaye toplamı

Cn = A[(1+r)n -1] (1+r)/r]

Devre sonu ödemeli sermaye toplamı

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

Devre başı ödeme Cn = devre sonu ödeme Cn x (1+r) dir.

Devre başı ile devre sonu ödeme toplamları arasındaki fark

d = A[(1+r)n -1] (1+r)/r] - A [(1+r)n - 1] / r

= A [(1+r)n - 1] / r x { (1+r -1}

= A [(1+r)n - 1] / r x { r}

= A [(1+r)n - 1]

= A (1+r)n - A

Devre başı ödeme toplamı / devre sonu ödeme toplamı = (1+r) dir.

{A[(1+r)n -1] (1+r)/r]} / {A [(1+r)n - 1] / r } = (1+r) dir.

İskontolu değer

Dönem sonlarında yapılan n adet A ödemesi, dönem başına r faiz oranı ile aşağıdaki iskontolu

değeri verir, bu değern dönem sonu biriken sermayenin %r iskonto ile başlangıç değeridir.

C0 = Cn (1+r)-n

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

yerine konursa


C0 = A [(1+r)n - 1]/r} x [1+r]-n

C0 = A [1-(1+r)-n]/r

Şeklinde İskontolu değer elde edilir.

ÖrneK : 500 lira sabit dönem sonu ödemeli 10 dönem %12 faizle oluşan sermaye birikimi

Cn = A [(1+r)n - 1] / r = 500 [ (1,12)10 – 1 ] / 0,12 = 8,774,37 liradır,

Yukarıdaki 8,774.37 liranın 5,000 lirası ana paradır.

Bu sermayenin %12 iskontolu 10 yıl önceki başlangıç değeri ise

C0 = A [1-(1+r)-n]/r = 500 [1 – (1,12)-10]/0,12 = 2,825.11 liradır veya

C0 = Cn (1+r)-n = 8,774.37 (1,12)-10 = 2,825.11 liradır.

Örnek :

Her yıl 2000 lira ödemeli 5 yıllık bir dönem sonu ödemeli basit anüite toplam değeri %9 faiz

oranı ile ne olur?

A = 2000

r = 0,09

n = 5

C5 = 2000 {(1+0,09)5 -1}/0,09 = 11.969,42 lira

Örnek : Bir borç aylık 250 lira ödemeler ile ödenmektedir. Bu kişi 4 aylık ödemesine ait borçlarını

ödememiştir. Ödeme dengesinin sağlanması için borçlunun borcunu ödemediği ayları takib eden

5. Ay taksidi ile birlikte ödemesi gereken miktar nedir? Yıllık Faiz = %14,4.

A = 250

r/12 = 0,144/12 = 0,012

n = 5

Cn = 250 {(1+0,012)5 – 1}/0,012 = 1280,36 lira


Örnek : Bankaya 3 ayda bir 300 lira yatırılmaktadır. İlk ödeme ile son ödeme arasındaki toplam

süre 4 yıl olduğuna göre, dönem sonundaki toplam birikim ne olur? Bankanın yıllık fazi oranı

0,08 dir.

A = 300

r/4 = 0,08/4 = 0,02

n = 17 (4x4yıl+1)

Cn = 300 {(1+0,02)17 – 1}/0,02 = 6003,62 lira

Örnek : 10 yılsonra 80.000 lira biriktirmek için her yıl ne kadar yatırım yapılmalıdır. Yıllık faiz

%8 dir.

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

A = Cn /{[(1+r)n - 1] / r} = 80.000 {[1,0810 -1]/0,08} = 5.522,36 lira

Örnek : 3 yıl süre ile her ay sonu 380 lira yatırılan ödemelerin iskontolu değerini bulunuz. Yıllık

iskonto oranı %12 dir.

A = 380

r/12 = 0,12/12 = 0,01

n = 36

Cn = A [1-(1+r)-n]/r

Cn = 380 {[1-(1+0,01)-36]/0,01} = 11.440,85 lira

Veya

Cn = A [(1+r)n - 1]/r} x [1+r]-n

Cn = 380 {[(1+0,01)36-1]/0,01}x (1,01)-36 = 11.440,85 lira

Örnek : 1500 lira peşin ve 3 yıl süre ile aylık 182,5 lira ödemeli bir satın almada, yıllık faiz %18

olduğuna göre

a) Malın peşin değerini

b) Borçlanmadaki toplam faizi hesaplayınız

a) A = 182,5

n = 36

r /12 = 0,18/12 = 0,015

X = 1500 + 182,5 {[1 – (1+0,015)-36]/0,015} = 6.548,47 lira

b) I = A n – (Cn – X)

182,5 (36) – 5048,47 = 1521,93 lira


Örnek : Yatırım amaçlı 5 yıl süre ile her ay başında 200 lira bankaya yatırılıyor. 5 yıl sonundaki yatırım

değerini bulunuz. Yıllık faiz %10,5

A = 200

r/12 = 0,105/12

n = 60

Cn = A [(1+r)n -1] (1+r)/r]

Cn = 200 {[(1+0,105/12)60 -1] (1+0,105/12)}/(0,105/12) = 15.831,10 lira

Örnek : Her yıl sonunda 2000 lira yatırmak kaydı ile, yıllık %6,5 faiz ile 20. Yıl sonu kaç para

sermaye oluşur?

Cn = A [(1+r)n -1] /r

= 2000 [ 1,06520 – 1]/0,065 = 77,625,3 lira

Örnek : Bir baba doğan çocuğunun 25 yaşını tamamladığında 100.000 lira bir kapitali olması

için her ay sonu kaç lira yatırmalıdır? Aylık faiz %0,6 dır.

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

100000 = A [ 1,00625x12 -1] / 0,006 = A [ 1,006300 -1] / 0,006

A = 119,4 lira

Örnek : Her ay sonunda 1000 lira yatırmak kaydı ile ne kadar zaman sonra 100.000 lira para

toplanır. Aylık faiz 0,003

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

100.000 = 1000 [ 1,003n – 1] /0,003

100.000 x 0,003 / 1000 + 1 = 1,003n

n log 1,003 = log [100.000 x 0,003 / 1000 + 1 ]

n = 87,6 ay


Örnek : Yıl sonlarında 2500 lira yaıtırılarak 10. Yıl sonunda 33.414,3 lira elde edildiğine göre yıllık faiz

oranı nedir?

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

[(1+r)n - 1] / r = Cn / A = 33414,3 / 2500 = 13,366 oranı kullanılarak

33414,3 = 2500 [ (1 + r)10 – 1] /r = 13,366

İterasyon ile r1 = 0,07 alınırsa (1,0710 – 1 ) /0,07 = 13,814

r2 = 0,06 “ (1,0610 - 1) /0,06 = 13,183

r3 = 0,065 “ (1,06510 - 1) /0,065 = 13,495

en iyi r = 0,065 elde edilir.

Örnek : 3 aylık devrelerin başında yatırılan 1000 lira taksitler 15. Yıl sonunda kaç lira eder? 3

aylık devre faizi %1,5.

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

= 1000 [ 1,01515x4 – 1 ] / 0,015 = 1000 [ 1,01560 – 1 ] / 0,015 = 97.748,6 lira

Örnek : 10. Yıl sonunda 40.000 lira paranın elde edilmesi için 4 aylık devreler başında kaç lira taksit

yatırılmalıdır? 4 aylık devre faizi %2.

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

40000 = A [1,0210x3 -1 ] / 0,02 = A [1,0230 -1 ] / 0,02

A = 966,7 lira

Örnek : Her hafta başında kaç para yatırılmalı ki 18. Yıl sonunda 50.000 lira birikmiş olsun?

Haftalık faiz binde 1.

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

50000 = A [ 1,00118x52 – 1 ] / 0,001 = A [ 1,001936 – 1 ] / 0,001

A = 32,75 lira


3.1.2. Sermaye oluşturma yaklaşımı ile borcun taksitle ödenmesi

3.1.2.1. Sabit devre ve eşit taksitli borç

Borç olarak alınan bir B miktarının, süre sonunda tek seferde ödemek yerine belirli devrelerde

eşit taksitler ile tasviyesi istendiğinde. A taksit miktarları, n devre sonunda toplanacak paranın

bugünkü değerin (B) nin n devre sonu değerine eşit olmalıdır.

I. Aynı devrede aynı sabit faiz oranlı taksitler

Taksitler devre sonu yatırılması koşulu ile

Sermaye oluşturmada kullanılan sermayenin n dönem toplamı ile borcun veya sermayenin

başlangıç değerleri arasındaki ilişki

C0 = B

C0 = Cn (1+r)-n

Cn = C0 (1+r)n

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

Cn = B (1+r)n olur.

B(1+r)n = A [(1+r)n -1] /r

B = A [1 – 1/(1+r)n ] /r

olur.

A = B(1+r)n r / [(1+r)n -1]

n = {logA –log (A-Br)} / log(1+r)

olur.

r’nin çözümü ancak iteratif denemeler yolu ile yapılabilir. (çünkü denklemde birden çok r var)


Taksitler devre başında yatırılırsa

B(1+r)n = A [(1+r)n -1](1+r)/r

B = A [1 – 1/(1+r)n ](1+r)/r

olur, buradan,

A = B(1+r)n r / {[(1+r)n -1](1+r) }

n = {logA + log(1+r)–log [A(1+r)-Br]} / log(1+r)

olur.

3.1.2.2. Sabit devre ve değişken taksitli borç

Alınan borç ve ödenecek taksitler ayrı devre ve ayrı faiz oranı ile ise,


B(1+r)n = A1 [(1+r1)n

1 -1] /r1

B = A [(1+r1)n

1 – 1]/(1+r)n r1

olur.

A = B(1+r)n r1 / [(1+r1 )n1 -1]

n = { logA + log [ (1+r1)n

1 -1] - log(r1 B) } / log(1+r)

n1 = { log [ Br1 (1+r)n + A] – logA } / log(1+r1)

olur.


B(1+r)n = A [(1+r1)n

1 -1] (1+r1) / r1

B = A [(1+r1)n

1 – 1] (1+r1) /(1+r)n r1

olur.

A = B(1+r)n r1 / [(1+r1 )n1 -1] (1+r1)

n = { logA + log [(1+r1)n

1 -1] – log(r1 B) + log(1+r1)} / log(1+r)

n1 = { log[ Br1 (1+r)n + A(1+r1)] – logA – log(1+r1) } / log(1+r)

olur.


Örnek : Bankadan alınan 40,000 lira borç ay sonlarında eşit taksitlerle 15 yılda ödenecektir.

Sabit aylık faiz oranı 0,008 olduğuna göre aylık taksitleri hesaplayınız.

B(1+r)n = A [(1+r)n -1] /r

A = 40000 x 0,008 (1,008)180 / [(1,008)180 -1]

180 log 1,08 = 180 x 0,00346 = 0,62280

Antilog 0,62280 = 4,19564

A = 417,3 lira

Örnek : Her ay başı 300 lira taksitle 20 yılda ödenmek koşulu ile kaç liralık borç alınabilir?

Aylık faiz %0,8.

B(1+r)n = A [(1+r)n -1](1+r)/r

B (1+0,008)20x12 = 300 [ (1,008)20x12 – 1] (1,008)/0,008

B = 32.152 lira

Örnek : 30,000 alınan bir borç ay sonlarında 400 lira taksitlerle ödenecektir. Aylık faiz 0,008

olduğuna göre, taksit sayısı ne olmalıdır ?

n = {logA –log (A - Br)} / log(1+r)

n = {log400 –log (400-30000x0,008)} / log(1,008)

n = {log400 –log160} / log(1,008)

n = (2,60206 – 2,20412) /0,00346

= 115,01

Taksit sayısı kesirli çıktığı için aşağıdaki çözümlerden biri uygulanır.

i. n=115 alınır ve B=30000 lira borç biraz azaltılabilir.

ii. n=115 alınır ve B=30000 sabit tutularak aylık taksit A=400 biraz büyültülür

iii. n=116 alınır ve A=400 taksit ile B>30000 yeni borç hesaplanır.

iv. n=116 alınır ve B=30000 lira borç sabit tutulur A<400 biraz küçük bir aylık taksit

hesağlanır.

v. n=115 alınır ve B=30000 sabit tutulur (uygulamada) başta veya sondaki taksit

biraz eksik ödenir.


Örnek : Yıllık %10 faizle 5 yıl için 20000 lira borç alınıyor ve hemen başlamak üzere 5 yıl

süre ile ay sonu ödemeli taksitler ödenecektir. Aylık faiz %0,5 olduğuna göre aylık taksit

miktarlarını hesaplayınız.

A = Br1 (1+r)n / [(1+r1)n

1 -1]

A = 20000x 0,005 (1,1)5 / [(1,005)60 -1]

x = 1,15

log x = 5 log 1,1 = 5 x 0,04139 = 0,20695

antilog x = 1,61044

x = 1,00560

log x = 60 log 1,005 = 60 x 0,00217 = 0,13020

antilog x = 1,34959

A = 20000x0,005x1,61044/(1,34959-1)=100 x 161044/34959 = 460,7 lira

aynı problemde borç faizi için aylık devreler ve faiz oranı aynı alınırsa taksit tutarı ne

olur?

A = B(1+r)n r / [(1+r)n -1]

A = 20000x 0,005 (1,005)60 / [(1,005)60 -1]

1,00560 = 1,34959

A = 100 x 1,34959 / 1,34959

A = 386 lira


3.1.3. Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

Sabit devreli ve düzensiz değişken taksitli ödemelerle hesaplama yapmak için oluşacak

sermaye her farklı devreye ait miktar ve dönem için ayrı ayrı hesaplamalar yapılarak bir araya

getirilmek sureti ile işlemler yapılır. Burada sabit devreli düzenli değişken (aritmetik ve

geometrik) taksitli ödemelerin sistematiği üzerinde durulmaktadır.

3.1.3.1. Düzenli değişken taksitler

3.1.3.1.1. Geometrik dizi şeklindeki taksitler

u=1+r ve 1+q : geometrik artış/azalış oranı

Devre başı ödemeli :

0 1 2 … n-2 n-1 n Zaman

A A(1+q) A(1+q)2 A(1+q)n-2 A(1+q)n-1 A(1+r)n

A(1+q)(1+r)n-1

A(1+q)2(1+r)n-2

… …

A(1+q)n-2(1+r)2

A(1+q)n-1(1+r)

Ödeme devrelerinin toplamları da bir geometrik dizi oluşturur

Cn = A(1+r)n + A(1+q)(1+r)n-1 + A(1+q)2(1+r)n-2 + … + A(1+q)n-2(1+r)2 + A(1+q)n-1(1+r)

İlk terimi A(1+r)n ve ortak çarpanı (1+q)/(1+r) olan geometrik dizi toplamı


Cn = A(1+r)n [(1+q)n/(1+r)n – 1]/[(1+q)/(1+r) – 1]

Cn = A(1+r)n [ (1+q)n/(1+r)n - 1} x [(1+r)/(q-r)]

Cn = A(1+r)n [ (1+q)n - (1+r)n ]/( 1+r)n x (1+r)/(q-r)

Cn = A [ (1+q)n - (1+r)n ] x (1+r) /(q-r) (q>r ise) veya olur veya pay ve paydayı -1 ile çarpılırsa

Cn = A [ (1+r)n – (1+q)n ] x [(1+r) /(r-q) (r>q ise) olur.


A = (Cn (q-r)/{[(1+q)n – (1+r)n ] x (1+r)} veya

A = (Cn (r-q)/{[(1+r)n –(1+q)n] x (1+r)} elde edilir.

q=0 ise Cn = A (1+r) [(1+r)n - 1 ]/r olur

q=r olur ise Cn = n A (1+r)n olur.

ve devre başı ödeme ile devre sonu ödeme arasındaki fark

Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) dır.

Devre sonu ödemeli :

0 1 2 … n-2 n-1 n Zaman

A A(1+q) A(1+q)n-3 A(1+q)n-2 A(1+q)n-1

A(1+r)n-1

A(1+q)(1+r)n-2

… …

A(1+q)n-3(1+r)2

A(1+q)n-2(1+r)

A(1+q)n-1

Ödeme devrelerinin toplamları da bir geometrik dizi oluşturur

Cn = A(1+r)n-1 +A(1+q)(1+r)n-2 + A(1+q)2(1+r)n-3 + … + A(1+q)n-3(1+r)2 + A(1+q)n-2(1+r)+ A(1+q)n-1

İlk terimi A(1+r)n-1 ve ortak çarpanı (1+q)/(1+r) olan geometrik dizi toplamı


Cn = A(1+r)n-1 [(1+q)n/(1+r)n – 1]/[(1+q)/(1+r) – 1]

Cn = A(1+r)n-1 [ (1+q)n/(1+r)n - 1} x [(1+r)/(q-r)]

Cn = A(1+r)n-1 {[ (1+q)n - (1+r)n ]/( 1+r)n }x [(1+r)/(q- r)]

Cn = A [ (1+q)n - (1+r)n ] / (q-r) (q>r ise) olur veya pay ve paydayı -1 ile çarpılırsa

Cn = A [ (1+r)n – (1+q)n ] / (r-q) (r>q ise) olur

A = Cn (q-r)/[(1+q)n – (1+r)n ] (q>r ise) elde edilir veya

A = Cn (r-q)/[(1+r)n – (1+q)n ] (r>q ise) olur.


q=0 olursa

Cn = A[ (1+r)n - 1 ]/ r olur.

q=r olursa Cn = 0/0 yani belirsiz çıkar.

Taksitlerin artış oranı faiz oranına eşit olduğunda Cn = nA(1+r)n-1 formülü kullanılır.

q > 0 ise taksitler giderek artar, q < 0 ise taksitler zamanla giderek azalır. q=0 ise taksitler sabit

kalır.

Dizi tersinden yazılırsa, ilk terimi A(1+q)n-1 ve ortak çarpanı (1+r)/(1+q) olan geometrik dizi

toplamı

Cn = A(1+q)n-1 { [(1+r)n/(1+q)n – 1] / [(1+r)/(1+q) – 1]

Cn = A [(1+r)n - (1+q)n] / (r-q) r>q ise,

Cn = A [(1+q)n - (1+r)n] / (q-r) q>r ise, elde edilir.

Cn = A [(1+r)n - 1] / r q=0 ise

Cn = 0/0 belirsiz, q=r ise

A = Cn (r-q)/[(1+r)n – (1+q)n ] bulunur.

Dizi toplamı, üzerinde (1+q) yerine (1+r) konursa (veya q=1 olursa) dizi toplamı

Cn = A(1+r)n-1 + A(1+q)(1+r)n-2 + A(1+q)2(1+r)n-3 + … + A(1+q)n-3(1+r)2 +A(1+q)n-2(1+r) + A(1+q)n-1

dizisi

Cn=A(1+r)n-1+ A(1+r)n-1+ … + A(1+r)n-1 olur

ve n adet terim eşit olduğundan

Cn = n A (1+r)n-1 olur.

r>0 ise artan taksitler, r<0 ise azalan taksitleri r=0 ise sabit taksitler söz konusudur.


Örnek : Birinci taksidi 1000 lira ile başlayıp sonraki taksitler %4 artan ve yıl sonlarında yatırılan

20 taksit kaç lira olur? Yıllık faiz % 6,5.

r=0,065 > q=0,04

Cn = A [ (1+r)n – (1+q)n ] / (r-q) = 1000 [ 1,06520 – 1,0420 ] / (0,065 – 0,04) = 53.316 lira

Örnek : İki aylık devreler halinde %2 oranında artan ve devre sonu ödenen taksitlerle 15 yılda

100.000 lira bir para toplamak için ilk taksit kaç lira olmalıdır? İki aylık faiz oranı %1,5.

q=0,02>r=0,015

A = Cn (q-r)/[(1+q)n – (1+r)n ] = 100000 (0,02-0,015)/(1,0215x6 – 1,01515x6) = 235,8 lira

Örnek : İlk taksidi 1000 lira olan ve %3 oranı ile artan 4 aylık devre sonlarında yatırılarak 10 yıl

sonunda kaç lira olur? 4 aylık devre faizi % 3.

q=0,03 = r=0,03

Cn = n A (1+r)n-1 = (3x10) 1000 (1,03)30-1 = 70.710 lira

Örnek : İlk taksidi 100 lira olan birinden diğerine %1 artan ve aybaşlarında yatırılan taksitlerle

5. Yıl sonunda ne kadar para birikir. Aylık faiz %0,5

q=0,01 > r=0,005

Cn = A[(1+q)n – (1+r)n ] (1+r) /(q-r) = 100 [1,0112x5 – 1,00512x5] 1,005/(0,01-0,005)

= 9.382,7 lira

Aylık faiz 0,01 olursa sonucu hesaplayın

q=0,01 = r=0,01

Cn = n A (1+r)n-1 = (12x5) 100 (1,01)12X5 = 10.898,4 lira

Örnek : İlk taksidi 500 lira olup aybaşlarında yatırılan ve her taksitte %2 eksilen taksitlerle 15.

Yıl sonunda kaç lira toplanır. Aylık faiz 0,006.

q= - 0,02 < r=0,006

Cn = A [ (1+r)n – (1+q)n ] x [(1+r) /(r-q) (r>q ise)

Cn = 500 [1,00612x15 – (1 - 0,02)12x15] 1,006/(0,006 + 0,02)


3.1.3.1.2. Aritmetik dizi şeklindeki taksitler Devre başı ödemeli :

0 1 2 … n-2 n-1 n Zaman

A A+b A+2b A+(n-2)b A+(n-1)n

n A(1+r)n

n-1 (A+b)(1+r)n-1

n-2 (A+2b)(1+r)n-2

… …

2 [A+(n-2)b](1+r)2

1 [A+(n-1)b](1+r)

u = 1+r

b : ortak fark (pozitif veya negatif olabilir)

ΣCn = Aun + (A+b)un-1 + (A+2b)un-2 + … + [A+(n-2)b]u2 + [A+(n-1)b]u

uΣCn = Aun+1 + (A+b)un + (A+2b)un-1 + … + [A+(n-2)b]u3 + [A+(n-1)b]u2

parantezler açılırsa,

-ΣCn = - {Aun + Aun-1+bun-1 + Aun-2+2bun-2 + … + Au2+(n-2)bu2 + Au+(n-1)bu }

uΣCn = Aun+1 + Aun+bun + Aun-1+2bun-1 + … + Au3+(n-2)bu3 + Au2+(n-1)bu2

ilk eşitliğin işareti değiştirilir ve her iki denklem toplanırsa,

(u-1)ΣCn = Aun+1 -Au+ b(un+un-1+un-2+ … + u3+u2+u)-nbu

(u-1)ΣCn = Au(un-1)+ b[u(un-1)]/(u-1)-nbu

u=1+r old için her iki taraf u-1 = r ile bölünürse

ΣCn = Au(un-1)/r+ b[u(un-1)]/(r)2-nbu/r

u-1=r old için u=1+r ve ∑Cn yerine Cn kullanılırsa

Cn = A(1+r)[(1+r)n-1)/r+ b(1+r)[(1+r)n-1]/r2-nb(r+1)/r

Cn = { (1+r) [(1+r)n-1]/r } x [A + b/r] - nb(r+1)/r

olur.

Devre sonu taksitler için;

Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) olduğu için,

Devre sonu ödemeli Cn = (1+r) {[(1+r)n-1]/r} x A (1+ b/r)(1+r) - nb (1+r)/r(1+r)

Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r)n-1]/r} x A (1+ b/r) - nb/r


Devre sonu ödemeli :

0 1 2 … n-2 n-1 n

A A+b A+(n-3)b A+(n-2)b A(n-1)b

A(1+r)n-1

n-1 (A+b)(1+r)n-2

n-2 (A+2b)(1+r)n-3

…

2 [A+(n-3)b](1+r)2

1 [A+(n-2)b](1+r)

[A+(n-1)b]

u = 1+r

b : ortak fark (pozitif veya negatif olabilir)

ΣCn = Aun-1 + (A+b)un-2 + (A+2b)un-3 + … + [A+(n-2)b]u + [A+(n-1)b]

ΣCn = A {un-1 + bun-2 + 2bun-3 + … + (n-2)bu + (n-1)b}

ΣCn = A {un-1 + b[un-2 + 2un-3 + … + (n-2)u + (n-1)]}

Bu terimlerden A ayrılırsa ve her bir terim aşağıdaki gibi parçalara ayrılırsa,

{un-1 + b[un-2 + 2un-3 + … + (n-2)u + (n-1)]}

0 un-1 = 0

bun-2 = bun-2

2bun-3 = bun-3 + bun-3

. . .

. . .

. . .

(n-2)bu = bu + bu + … + bu

(n-1)bu0 = bu0 + bu0 + … + bu0 + bu0 elde edilir

Sıfır olan ilk terim dışındakilerin aynı sıra numaralı olanları aşağıdan yukarı doğru birer

geometrik dizi oluşturmaktadır. Burada (n-1) tane geometrik dizinin ilk terimleri bu0 ve ortak

çarpanı u olduğu görülür. Bu dizilerin toplamları yazılacak olursa,


S1 = b(un-1 – 1)/(u-1)

S2 = b(un-2 – 1)/(u-1)

. …

S(n-2) = b(u2 – 1)/(u-1)

S(n-1) = b(u – 1)/(u-1)

olur. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak

Sn-1 + Sn-2 + … + S1 = b(u-1)/(u-1) + b(u2-1)/(u-1) + … + b(un-1-1)/(u-1)

olur.

=b/(u-1) {(u-1) + (u2-1) + … + (un-1-1)}

=b/(u-1) {u + u2 + … + un-1-(n-1)}

=b/(u-1) { u0+ u + u2 + … + un-1 } –bn/(u-1) içerideki geo. dizi toplamı

yazılırsa

=b/(u-1) { u0(un-1)/(u-1) } –bn/(u-1)

u=1+r yazılırsa yerine yazılırsa,

=b/r {((1+r)n-1)/r } –bn/r

İlk işlemlere başlarken ayrılan A tekrar denkleme eklenirse

Cn= [A + b/r ]{((1+r)n-1)/r } –bn/r

elde edilir.

Devre sonu taksitler için;

Devre başı Cn = devre sonu Cn x (1+r) olduğu için,

Devre sonu ödemeli Cn = (1+r) {[(1+r)n-1]/r} x (A + b/r)(1+r) - nb (1+r)/r(1+r)

Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r)n-1]/r} x (A + b/r) - nb/r

3.1.4. Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

Değişken devreli ve değişken (farklı) taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma hesaplamaları

yapmak için oluşacak sermaye her farklı devreye ait dönem için ayrı ayrı hesaplanarak bir araya

getirilerek işlemler yapılır. Bu nedenle burada değişken devreli ve eşit taksit ödemeli sermaye

oluşturma yapısı üzerinde durulmaktadır.


Değişken devrede farklı faiz oranlı ve eşit taksitler

Örnek : Bir kişi 10 yıllık süre ile her yıl sonunda 1000 lira ödemek koşulu ile bankaya para

yatırıyor. İlk 3 yıl için%8, sonraki 4 yıl için %10,25, son 3 yıl için %9 faiz oranı ile

a)yatırımın toplam değeri ne olur?

b) Elde edilen faiz nedir?

a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,08 0,1025 0,09

Cn = A{[(1+r1)n1 -1]/r1} x (1+r2)n2 x (1+r3)n3 + A{[(1+r2)n2 -1]/r2} x (1+r3)n3 + A{[(1+r3)n3-1]/r3}

C10 = 1000{[(1,08)4 -1]/0,08} x (1,1025)4 x (1,09)3 + 1000{[(1,1025)4 -1]/0,1025} x (1,09)3 +

1000{[(1,09)3-1]/0,09}

= 15.521,97 lira

b) 15521,97 – 10.000 = 5.521,97 lira

Örnek : 6 ayda bir 200 lira ödemeler ile 8.000 liralik bir fon oluşturmak için kaç ödeme

yapmak gerekir, faiz %12 dir.

Cn = A [ (1+r)n – 1 ] / r

8000 = 200 [ (1+0,06]n -1 ]/0,06

n log(1,06) = log [ 0,06 x 8000 /200 + 1]

n 1,06 = log 3,4

n = 0,531479/0,025306

n=21 dönem (10,5 yıl)

veya

Cn = X + A [ (1+r)n – 1 ] / r

8000 = X + 200 [ (1+0,06]21 -1 ]/0,06

X = 1,45 lira son (21.) ödeme 201,45 liradır.


Örnek : altı ayda bir 500 liralık ödemel ile 5 yılda 6000 lira toplamak için faiz ne olmalıdır?

Cn = A [ (1+r)n – 1 ] / r

6000 = 500 [ (1+r/2]10 -1 ]/(r/2)

k=6000/500 = 12

12 = [ (1+r/2]10 -1 ]/(r/2)

6r = [ (1+r/2]10 -1 ]

6r + 1 = (1+r/2]10

Log (6r+1) = 10 log (1+r/2)

Log (6r+1) / log (1+r/2) = 10

iterasyonları ile

r= 0,05 için 0,113943 / 0,010724

r=0,06 için 0,122529/0,012837 = 10,40

r=0,07 için 0,152288/0,01494 = 10,19309

r=0,08 için 0,170262/0,017033 = 9,995792

r=0,079 için 0,168497/0,016824 = 10,01501

r=0,0798 için 0,169909/0,016992 = 9,999627 (en yakın sonuç)

Örnek : 5 yıl süre ile her ay sonu 300 lira ödeme ile ve 3 aylık %6 faiz oranı ile biriken kapitali

hesaplayınız.

Bileşik faizdeki denk faiz oranı yarımı ile

(1+r)12 = (1+ 0,06/4)4 r = 0,004975209

Cn = A [ (1+r)n – 1 ] / r

= 300 [ (1+ 0,004975209]60 – 1] /0,004975209

= 20.915,01 lira


Özet

Sabit devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

Devre başı ödemeli Cn = A [(1+r)n -1] (1+r)/r]

A = Cn an (1+r) = Cn / {sn (1+r)} = Cn r / {[(1+r)n -1] (1+r)}

n = { log[Cn r + A (1+r)] – logA – log(1+r) } / log(l+r)

Yardımcı fonksiyonlar an = [1-(1+r)-n]/r

sn = [(1+r)n -1]/r

(1+r)n an = sn

Devre sonu ödemeli Cn = A [(1+r)n - 1] / r

Cn = A [(1+r)n - 1] / r

Devre başı ödeme Cn = devre sonu ödeme Cn x (1+r) dir.

İskontolu değer Cn = A [1-(1+r)-n]/r veya Cn = A [(1+r)n - 1]/r} x [1+r]-n

Sermaye oluşturma yaklaşımı ile sabit taksitli borcun taksitle ödenmesi


B = A [1 – 1/(1+r)n ] /r

A = B(1+r)n r / [(1+r)n -1]

n = {logA –log (A-Br)} / log(1+r)


B = A [1 – 1/(1+r)n ](1+r)/r

A = B(1+r)n r / {[(1+r)n -1](1+r) }

n = {logA + log(1+r)–log [A(1+r)-Br]} / log(1+r)

Sermaye oluşturma yaklaşımı ile değişken taksitli borç taksitleri,

ayrı devre ve ayrı faiz oranı ile


B = A [(1+r1)n

1 – 1]/(1+r)n r1

A = B(1+r)n r1 / [(1+r1 )n

1 -1]

n = { logA + log [ (1+r1)n

1 -1] - log(r1 B) } / log(1+r)

n1 = { log [ Br1 (1+r)n + A] – logA } / log(1+r1)


B = A [(1+r1)n

1 – 1] (1+r1) /(1+r)n r1


A = B(1+r)n r1 / [(1+r1 )n

1 -1] (1+r1)

n = { logA + log [(1+r1)n

1 -1] – log(r1 B) + log(1+r1)} / log(1+r)

n1 = { log[ Br1 (1+r)n + A(1+r1)] – logA – log(1+r1) } / log(1+r)

Sabit devreli ve değişken taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

Düzenli değişken taksitler, Geometrik dizi şeklinde değişken taksitler

Devre başı ödemeli Cn = A {[ qn - (1+r)n ] x [(1+r)} /(q - r-1) veya

Cn = A {[ (1+r)n – qn ] x [(1+r)} /(r - q + 1)

A = (Cn (q-r-1)/{[qn – (1+r)n ] x (1+r)} veya

A = (Cn (r-q+1)/{[(1+r)n –qn] x (1+r)} ,

Devre sonu ödemeli Cn = n A (1+r)n-1

Düzenli değişken taksitler, Aritmetik dizi şeklinde değişken taksitler

Devre başı ödemeli Cn = { (1+r) [(1+r)n-1]/r } x [A + b/r] - nb(r+1)/r

Devre sonu ödemeli Cn = {[(1+r)n-1]/r} x A (1+ b/r) - nb/r

Değişken devreli ve eşit taksitli ödemeler ile sermaye oluşturma

Cn = A{[(1+r1)n1 -1]/r1} x (1+r2)n2 x (1+r3)n3 + A{[(1+r2)n2 -1]/r2} x (1+r3)n3 + A{[(1+r3)n3-1]/r3}

Documents

3. ANUITE - DEUkisi.deu.edu.tr/serkan.aras/4_1_ Anuite-sermaye.pdf · 2017. 12. 19. · IV-1 Prof. Dr. Dr. Levent ŞENYAY Finansal Matematik 3. ANUITE (TAKSİTLİ ÖDEME) 3.1. Sermaye