1

3. BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

Matematiksel beklenti kavramı şans oyunlarından doğmuştur. En yalın biçimiyle, bir

oyuncunun kazanabileceği miktar ile kazanma olasılığının çarpımıdır. Sözgelimi büyük

ödülün 4800TL olduğu bir çekilişteki 10.000 biletten biri bizimse matematiksel beklentimiz

4800*1/10.000 = 0,48 olur.

3.1 BEKLENEN DEĞER ve ÖZELLİKLERİ

Beklenen değer ya da matematiksel beklenti kavramı matematiğin istatistik bilimine yaptığı

bir katkı olarak düşünülebilir. Bir X şans değişkeninin ya da bu şans değişkeninin herhangi bir

g(x) fonksiyonunun beklenen değeri, değişkenin tüm değerleri üzerinden, olasılık fonksiyonun

ortalama değerinin bulunmasıyla elde edilir. Beklenen değer teorik ya da ideal değerdir. Her

hangi bir denemede X şans değişkeninin beklenen değerini alması gerçekte beklenemez.

Matematiksel beklenti ya da beklenen değer E(x) ile gösterilir.

Tanım (Beklenen değer): Bir X şans değişkeninin olasılık kütle ya da yoğunluğu f(x) olsun.

Şans değişkeninin beklenen değeri, kesikli şans değişkeni için;

)()( xfxxEx

sürekli şans değişkeni için,

x

dxxxfxE )()(

her hangi tipteki bir şans değişkeni için,

dxxFdxxFxE

0

0

1

Bu eşitlik gerçekte X şans değişkeninin bir ağırlıklı ortalamasıdır. Burada ağırlıkları

olasılıklar tanımlamaktadır. Diğer bir ifade ile X şans değişkeninin tanımladığı f(x)

yoğunluğunun ağırlık merkezinin X eksenindeki değeridir. Beklenen değerin tanımlı

olabilmesi için toplam ya da integral işlemlerinin yakınsak olması gereklidir. Bir şans

değişkenin beklenen değeri, şans değişkeninin yoğunluk/kütle fonksiyonuna ya da birikimli

dağılım fonksiyonuna göre tanımlandığı için şans değişkeni referans alınmadan bu

fonksiyonlara göre tanımlanabilir.

Yukarıdaki tanım dikkate alındığında sonlu bir beklenen değere sahip her şans değişkeni için:

E(x)=

Diğer bir ifade ile şans değişkenin beklenen değeri anakütle ortalamasına eşittir. Beklenen

değer işlemi ile temel özellikler aşağıdaki teorem ile verilmiştir.

2

Teorem: X şans değişkenin anakütle ortalaması ve a ile b sabit sayılar olmak üzere:

1.E(a)=a

2.E(ax)=a

ve (1) ile (2) özelliklerinin sonucu olarak,

E(ax+b)=a+b

3. Genelde 0)( xE için )(

11

xExE

İspat: İspat sürekli şans değişkenleri için verilmiştir.

1. adxxfadxxafaE

2. adxxxfadxxaxfaxE

Teorem:

n

i

ininin xEbai

nbxaE

0

)()(

İspat:

n

i

inin bxai

nbxa

0

)( olduğuna göre,

n

i

ininiininin

i

n xEbai

nxba

i

nEbxaE

00

)()(

Beklenen değer ile ilgili diğer özellikler ileriki kısımlarda açıklanacaktır. Beklenen değer

şans değişkeninin anakütle ortalamasına eşit olduğundan sonuç olarak bir yer ölçüsüdür. Bir

sonraki kısımda şans değişkenleri için kullanılabilecek diğer yer ölçülerinden bazıları

tanıtılacaktır.

3.2 TEMEL YER ÖLÇÜLERİ

Şans değişkeni dağılımını farlı bakış açıları ile tanımak amacıyla farklı yer ölçüleri

kullanılmaktadır bu yer ölçülerinden bazıları aşağıda tanıtılmıştır.

Tanım (Kantil): X şans değişkeninin ya da ona ait dağılımın p-inci kantili xp ile gösterilir ve

F(xp)p

koşulunu sağlayan en küçük şans değişkeni değeridir. Eğer X sürekli bir şans değişkeni ise p-

inci kantil

F(xp)=p

koşulunu sağlayan en küçük şans değişkeni değeridir.

Tanım (Medyan): X şans değişkeninin ya da ona ait dağılımın 0.5-inci kantili x0.5 ile ya da M

gösterilir ve medyan olarak adlandırılır. Genel olarak:

Pr[XM]1/2 ya da Pr[XM]1/2

3

tanımlanır. Eğer X sürekli bir şans değişkeni ise medyan:

dxxfdxxfM

M

2/1 .

Medyan veya ortanca, bir frekans dağılımında frekansları iki eşit parçaya bölen x değerdir.

Tanım (Mod): X şans değişkenine ait olasılık kütle/yoğunluk fonksiyonunun x= x0 noktasında

bir maksimum değeri f(x0) var ise x0 değeri mod olarak adlandırılır. Eğer X sürekli bir şans

değişkeni ise:

0xdx

xdf

Bir şans değişkeninin en çok rastlanan değerine mod denir. Bir frekans dağılımında, özellikle

homojen olmayan dağılımlarda birden fazla mod değeri bulunabilir. Mod değeri olmayan

dağılımlarda vardır.

Bir kesikli değişkenin modu, frekansların maksimum olduğu değişken değeridir. f(x)’i

maksimum yapan x değeridir. Bir sürekli değişkenin modu, frekans dağılımında frekans

yoğunluğunun en yüksek değerine karşılık gelen değişken değeridir. f(x)’i maksimum yapan x

değeridir.

Yukarıda açıklanan yer ölçüleri farklı değerler alabileceği gibi dağılım biçiminin özel bir

durumu tanımlayan simetrik dağılımlarda her üç yer ölçüsü de aynı değere sahiptir.

Tanım (Simetri): Olasılık kütle/yoğunluk fonksiyonu f(x);

f(c-x)=f(c+x)

özelliğine sahip olan dağılımlar c noktasına ya da diğer bir deyişle x=c doğrusuna göre

simetriktir.

Eğer bir f(x) dağılımı c noktasına göre simetrik ve anakütle ortalaması sonlu ise c=

olmalıdır.

3.3 VARYANS

Şans değişkeninin dağılımı ile ilgili önemli bir ölçü grubu da yayılım ölçüleridir. Aşağıda bazı

önemli yayılım ölçüleri kısaca açıklanmıştır.

Tanım (Varyans): X bir şans değişkeni ve E(x)= ise şans değişkeninin varyansı V(x) ile ya

da 2 ile gösterilir ve kesikli şans değişkenleri için;

i

ii xfxxV2

sürekli şans değişkenleri için,

dxxfxxV

2

4

her hangi bir şans değişkeni için,

2

0

12

dxxFxFxxV

elde edilir.

Varyansın mevcut olabilmesi için toplam serisinin ya da integralin yakınsak olması gereklidir.

Bir şans değişkenin beklenen değerin de olduğu gibi varyansı da, şans değişkeninin

yoğunluk/kütle fonksiyonuna ya da birikimli dağılım fonksiyonuna göre tanımlandığı için

şans değişkeni referans alınmadan bu fonksiyonlara göre tanımlanabilir.

Gözlenen değerleri ortalamaya göre uzaklaşmaya meyilli X şans değişkenine göre değerleri

ortalama civarında olan bir Y şans değişkenin varyans değerleri karşılaştırıldığında X şans

değişkeninin varyansı daha büyük değerler aldığından varyans bir yayılım ölçüsüdür.

Varyansın formülleri incelendiğinde negatif olmayan değerlere sahip bir ölçüt olduğu

görülebilir. Varyans şans değişkeni ile aynı ölçü birimine sahip değildir.

Tanım (Standart sapma): X şans değişkeninin standart sapması ile gösterilir ve

xV

ile tanımlanır.

Pek çok uygulamada şans değişkeni ile aynı ölçü birimine sahip olduğu için varyansa göre

tercih edilir.

Teorem: Bir sabitin varyansı sıfırdır.

V(c)=0

Teorem:Bir sabit ile bir şans değişkeninin çarpımının varyansı:

V(cx)= c2V(x)

c0 ise, bir rasal değişkenin değerlerinin sabit bir sayıyla çarpılması varyansın da aynı sabit

sayının karesiyle çarpılması demek olduğundan, dağılım yayıklığında da ona uygun bir

değişmeyle karşılaşılır.

Teorem:Bir sabit ile bir şans değişkeninin toplamının varyansı:

V(c+x)= V(x)

Teoremin sonucuna göre; bir rassal değişkenin değerlerine sabit bir sayının eklenmesinin x’in

bütün değerlerinin sağa ya da sola kaymasına yol açtığını ama onun dağılım yayıklığını hiç

etkilemediğini görülür.

Varyans aritmetik ortalamanın etrafındaki yoğunlaşmanın zayıf bir ölçütüdür. Bununla

birlikte simetrik dağılışlar için yeterli bir ölçüdür. Varyans özellikle asimetrik dağılışlar ve

5

yoğunluğun küçük bir kısmının ortalamadan oldukça uzak olduğu dağılımlar için yetersiz bir

yayılım ölçüsüdür. Bir şans değişkeninin varyansının her zaman varolması gerekli değildir.

3.4 ŞANS DEĞİŞKENİNİN BİR FONKSİYONUN BEKLENEN DEĞERİ

Bazı durumlarda doğrudan X şans değişkeni ile değil onun bir fonksiyonu y=g(x) şeklinde

ortaya çıkan şans değişkenleri ile ilgilenilir. Beklenen değer alma işlemi doğrusal bir

operasyondur. Bu nedenle X’ in doğrusal bir fonksiyonunun beklenen değeri sabitlerin etkisi

dikkate alınarak kolayca bulunabilir.

Tanım: X yoğunluğu )(xf olan bir şans değişkeni olsun. Şans değişkeninin bir

fonksiyonunun )(xg ’ in beklenen değeri:

x

xfxgxgE )()()(

dxxfxgxgE )()()(

Teorem: X bir şans değişkeni, f(x)’de onun olasılık fonksiyonu c1, c2…,cn birer sabit sayı

ise gi(x) i=1,…,n fonksiyonlarının sabitlerle çarpımlarının toplamının beklenen değeri:

n

i

ii

n

i

ii xgEcxgcE11

)()(

İspat:

x

n

i x

ii

n

i

ii

n

i

ii xfxgcxfxgcxgcE111

)()()(.)()(

=

n

i x

n

i

iiii xgEcxfxgc1 1

)()()(

Teorem: X bir şans değişkeni, f(x)’de onun olasılık fonksiyonu olmak üzere, eğer tüm x

değerleri için 0)(1 xg ise

0)(1 xgE

Teorem: X bir şans değişkeni, f(x)’de onun olasılık fonksiyonu olmak üzere, eğer tüm x

değerleri için g1(x) g2(x) ise

E[g1(x)] E[g2(x)]

Teorem: X bir şans değişkeni ve cba ,, ise sabitler olsun. Beklenen değerleri mevcut )(1 xg ,

)(2 xg fonksiyonları için eğer tüm X değerleri için bxga )(1 ise

bxgEa )(1 .

3.5 ÇOK DEĞİŞKENLİ DAĞILIMLAR İÇİN BEKLENEN DEĞER VE

VARYANS

6

Beklenen değer ve varyans kavramları çok değişkenli durum için de genellenebilir. Örneğin

bir Z şans değişkeni X ve Y gibi iki şans değişkeninin z=f(x,y) ya da daha genel olarak X1,

X2,,..., Xk sonlu sayıdaki şans değişkenlerinin bir fonksiyonu f(x1,x2,...,xk) olarak ortaya

çıkabilir. Bu gibi durumlarda gereksinim duyulabilecek bazı önemli teoremler aşağıda

verilmiştir.

Teorem: X ve Y şans değişkenleri, f(x,y) bunların ortak olasılık fonksiyonları ise:

E(x+y)= E(x)+E(y)

Teorem: X1, X2,,..., Xk sonlu sayıdaki şans değişkenleri, f(x1,x2,...,xk) bunların ortak olasılık

fonksiyonları ise:

E(x1+x2+...+xk )= E(x1)+E(x2) +...+ E(xk)

Teorem: X ve Y bağımsız şans değişkenleri, f(x,y) bunların ortak olasılık fonksiyonları ise:

E(xy)= E(x)E(y)

İspat: Sadece kesikli şans değişkenleri için verilecektir:

x y

yxxyfxyE ,

Eğer şans değişkenleri bağımsız ise g(x) ve h(y) marjinal olasılık fonksiyonları olmak üzere

ortak olasılık fonksiyonu;

yhxgyxf ,

ve

x y

yhxxygxyE

yx

yyhxxg

yExE

Teorem: X1, X2,,..., Xk sonlu sayıdaki bağımsız şans değişkenleri, f(x1,x2,...,xk) bunların ortak

olasılık fonksiyonları ise:

E(x1,x2,...,xk)= E(x1)E(x2)...E(xk)

Teorem: X ve Y şans değişkenleri, f(x,y) bunların ortak olasılık fonksiyonları ise g(x,y)’nin

beklenen değeri:

yxfyxgyxgEx y

,,,

x y

dydxyxfyxgyxgE ,,, .

7

Teorem: X ve Y şans değişkenleri, f(x,y) bunların ortak olasılık fonksiyonları ise X’nin ve

Y’nin beklenen değeri:

yxfxxEx y

,

yxfyyEy x

,

x y

dydxyxxfxE ,

y x

dxdyyxyfyE ,

Teorem: X ve Y şans değişkenleri, f(x,y) bunların ortak olasılık fonksiyonları ise ve marjinal

dağılımlar g(x) ile h(y) biliniyorsa X ve Y şans değişkenlerinin beklenen değeri:

x

xxgxE

y

yyhyE

x

dxxxgxE

dyyyhyEy

Teorem: c1, c2…,cn birer sabit sayı ise:

i

ki

i

ki xxgEcxxgcE ,,,, 11

Teorem: X şans değişkeni ve f(x/y)’de verilen y değeri için x’in şartlı olasılık fonksiyonu ve

g(y/x) verilen x değeri için y’in şartlı olasılık fonksiyonu ise x’in ve y’nin şartlı beklenen

değeri:

yxxfyxEx

//

xyygxyEy

//

dxyxxfyxEx

//

dyxyygxyEy

//

Teorem: X şans değişkeni ve f(x/y)’de verilen y değeri için x’in şartlı olasılık fonksiyonu ve

u(x), x şans değişkeninin bir fonksiyonu ise verilen y değeri için u(x)’in şartlı beklenen

değeri:

8

yxfxuyxuEx

//

dxyxfxuyxuEx

//

Verilen y değeri yerine konduğunda E(x/y) sabit bir sayıdır, başka bir deyişle şartlı beklenen

değer y’nin bir fonksiyonudur. Benzer şekilde E(y/x)‘de x’in bir fonksiyonudur. E(y/x), x’in

belli bir değeri için sabit, fakat x’in değişen değerlerine bağlı olarak değiştiği için bir şans

değişkenidir. E(y/x)’in dağılımının beklenen değeri E[E(y/x)] olup. E(y/x) regresyon

fonksiyonu olarak da adlandırılır.

Teorem: Koşullu dağılımların beklenen değerleri için beklenen değerler;

E(y)=E[E(y/x)]

E(x)=E[E(x/y)]

Teorem: g(y), y şans değişkeninin bir fonksiyonu olmak üzere,

E[g(y)]=E[E[g(y)/x)]]

Teorem: Eğer x ve y stokastik bağımsız ise, yani

f(x,y)= h(x) g(y)

ise, veya şartlı ve şartsız dağılımlar arasında fark yoksa:

E(x/y) = E(x)

E(y/x) = E(y)

Teorem: x ve y şans değişkenleri, a ve b sabitler olmak üzere:

V(ax+by)= a2V(x)+ b

2V(y)+ 2abCov(x,y)

V(ax-by)= a2V(x)+ b

2V(y)- 2abCov(x,y)

Not: Şans değişkenleri doğrusal ilişkisiz ise Cov(x,y)=0

Teorem: Şans değişkenleri doğrusal ilişkisiz ise yukarıdaki Teorem ikiden çok sınırlı

sayıdaki şans değişkeni için genellenebilir: x1, x2,...,xk sınırlı sayıdaki bağımsız şans

değişkenleri, f(x1, x2,...,xk) bunların ortak olasılık fonksiyonları ise:

V(x1+x2+...+xk )= V(x1)+ V(x2) +...+ V(xk)

Teorem: g(y/x) ve f(x/y) şartlı dağılışlarının varyansı:

a. 22 /// yxEyxEyxV

b. 22 /// xyExyExyV

Şans değişkenleri kesikli ise:

yxfyxExyxVx

///2

9

xygxyEyxyVy

///2

Şans değişkenleri sürekli ise:

x

dxyxfyxExyxV ///2

y

dyxygxyEyxyV ///2

İspat: Sadece (a) şıkkı için verilmiştir.

yyxExEyxV ///2

yyxEyxxExE ///222

22 ///2/ yxEyxEyxEyxE

22 // yxEyxE

Teorem: E(y/x) dağılımının varyansı:

V(y) = E[V(y/x)] + V[E(y/x)]

Son eşitlikte, y’nin varyansı iki farklı varyansın toplamıdır. İlki y’nin değişen x değerleri için

şartlı varyanslarının beklenen değeri. İkincisi ise y’nin değişen x değerleri için şartlı

dağılımının ortalamalarının varyansıdır.

İspat:

22 /// xyEExyEExyVE

2222 / yExyEEyEyE

22// xyEExyEEyV

xyEVyV /

3.6 OLASILIK ÜZERİNE EŞİTSİZLİKLER

Beklenen değer kavramı kullanılarak olasılıklar üzerine bazı eşitsizlikler elde edilebilir. Bu

eşitsizliklerin en önemlisi Chebyshev eşitsizliği olarak bilinir. Chebyshev teoremi belirli bir

olasılık için üst sınırın bulunmasına imkan verir. Bu sınırların tam olasılık değerlerine eşit

yada yakın olması gerekli değildir. Bu nedenle bir olasılık değerine yakınsamak için genelde

bu teorem kullanılmaz. Bu teoremin ana kullanım alanlarından biri Büyük Sayılar Kanunudur.

Teorem: Şans değişkeni X’in olasılık fonksiyonu f(x) ve negatif olmayan bir fonksiyonu u(x)

olsun. Eğer E[u(x)] mevcut ise her bir pozitif k sabiti için;

k

xuEkxu Pr

10

İspat: Şans değişkeni X için A={x:u(x)k} olsun. Bu durumda,

dxxfxudxxfxudxxfxuxuEcAAx

Eşitliğin sağındaki her iki integral de negatif olmayan değerlere sahip olduğundan,

dxxfxuxuEA

Eğer xA bu durumda u(x)k olacağı için u(x) yerine k yazılması eşitsizliğin sağ tarafının

değerini artırmaz.

dxxfkxuEA

Burada kxuAxdxxfA

PrPr olduğundan,

kxukxuE Pr

İspat tamamlanır.

Açıklanan teoerem, Chebyshev eşitsizliği olarak adlandırılan bir eşitsizliğin genellenmiş

şeklidir. Bir şans değişkenin olasılık dağılımından bağımsız sadece beklenen değer ve varyans

bilgileri kullanılarak şans değişkeni ile ilgili bazı olasılık eşitsizlikleri elde edilebileceği, Rus

matematikçisi Chebyshev tarafından ispatlanmıştır.

Teorem (Chebyshev eşitsizliği): Şans değişkeni X’in bir olasılık dağılışına ve sonlu varyansa

sahip olduğu varsayılsın, (bu durumda mutlaka sonlu bir anakütle ortalaması vardır). Bu

koşul altında her k>0 için,

2

1Pr

zzx

ya da eşdeğer olarak,

2

11Pr

zzx .

İspat: Bir önceki teoremde,

2 xxu ve 22zk

alındığında,

22

2

222Pr

z

xEzx

2

1Pr

zzx

Bulunur. Burada z değeri birden büyük olarak alınır.

11

Yukarıda verilen teoreme göre ile , X rassal değişkeninin ortalaması ve standart sapması

ise, herhangi bir pozitif z sabiti için X’in ortalamanın iki yanında z standart sapma aralığında

bir değer alabilme olasılığı en az 2

11

z kadardır.

Örneğin, X rassal değişkeninin ortalamanın her iki yanında, iki standart sapma aralığında bir

değer alma olasılığı en az 1-(1/22)=3/4; 3 standart sapma aralığında bir değer alma olasılığı

1-(1/32)==8/9; 5 standart Sapma aralığında bir değer alma olasılığı 1-(1/5

2)=24/25 olur. Elde

edilen sonuçlar şans değişkeninin standart sapmasının değişkenin yayıklığını ya da

yaygınlığını bu anlamda denetime aldığını belirtmektedir.

Chebyshev teoreminin verdiği olasılığın bir alt sınır olduğu açıktır. Belli bir rassal değişkenin

ortalamanın iki yanında z standart sapma aralığında bir değer alma olasılığının 1-(1/z2)’den

büyük olup olmadığını bilemeyiz ama Chebyshev teoremi bize bu olasılığın kesinlikle

1-(1/z2)’den küçük olamayacağını söyler. Bir rassal değişkenin dağılımı bilinirse ancak o

zaman tam olasılık hesaplanabilir.

3.7 MOMENTLER

Moment terimi fizik biliminden gelmektedir. Moment bir f(x) frekansının (kuvvetinin) x birim

uzaklıkta olduğu bir nokta üzerinde oluşturduğu etkidir. Momentler, bir şans değişkenin

dağılışının kesin şeklini belirler. Bir dağılımın momentleri şans değişkeninin kuvvetlerinin

beklenen değeridir. Momentler genel olarak üç grupta incelenir.

1. Orijine göre momentler

2. Ana kütle ortalamasına göre momentler

3. Herhangi bir a noktasına göre momentler

12

Tanım (Orijine göre moment): X rassal değişkeninin r ile gösterilen, sıfır noktası

dolayındaki r -inci momenti, rx ‘nin beklenen değeridir.

x

rr

r xfxxE )()(

dxxfxxE rr

r )(

En çok kullanılan iki özel durum:

r=0 iken 10

0 dxxfxE

r=1 iken )('1 xE ‘ dir. Bu da X rassal değişkeninin beklenen değerinden başka bir

şey değildir.

Tanım : 1 ifadesine X dağılımının anakütle ortalaması ya da kısaca X şans değişkeninin

ortalaması denir ve ile gösterilir.

Tanım (Aritmetik ortalamaya göre moment): X şans değişkeninin ile gösterilen, ortalama

dolayındaki r -inci momenti, (x-) fonksiyonunun beklenen değeridir, ,2,1,0r için

x

rr

r xfxxE )()(])[(

dxxfxxE rr

r )()(])[(

Teorem: değeri var olan her rassal değişken için 10 ve 01 dır.

İspat: Aritmetik ortalamaya göre birinci moment;

0

)()(

)()(

)][(1

dxxfdxxxf

dxxfx

xE

Bu sonuç tanımlayıcı istatistikten bilinen, aritmetik ortalamadan sapmaların toplamının sıfır

olmasının teorik ispatıdır.

Bir dağılımın tüm momentleri ile ilgili bilgi bu dağılımı eşsiz olarak belirler. Ortalama

dolayındaki ikinci moment, bir rassal değişken dağılımının yayıklığı ya da yaygınlığının bir

göstergesi olduğundan istatistikte özel bir önem taşır. Aritmetik ortalamaya göre ikinci

moment;

xVxE 2

2

varyansdır. Bir dağılımın varyansı, dağılımın ortalama etrafındaki yoğunluğunun ölçümünü

verdiği daha önce açıklanmıştı.

13

Tanım (Herhangi Bir a Noktasına Göre Momentler): X şans değişkeninin, bir a noktası

etrafındaki r-inci momenti, (x- a)r’nin beklenen değeridir.

xfaxaxEr

x

r

r

xfaxaxEr

x

r

r

Tanım: Eğer '

r mevcut ise rk için '

k momentleri mevcuttur.

Eğer E(x2) mevcut ise E(x) mevcuttur ve sonuçta V(x) bulunur. Bu nedenle V(x)’in varlığı

E(x)’in var olduğunu belirtir.

Teorem: Ana kütle ortalamasına göre ikinci moment, yani varyans, daima herhangi bir a

noktasına göre ikinci dereceden momentten daha küçük veya ona eşittir. Buna varyansın

minimum olma özelliği denir:

22axExE

ya da eşdeğer olarak

22 ))(()( xExEaxEMina

İspat: 22axExExEaxE

xExaxEaxExExE 222

xExEaxEabxEExExE 222

22axExExE

Eşitliğin sağındaki terim daima pozitif olup ancak ve ancak E(x)=a olduğunda sıfır alabilir.

Teorem: Eğer X bir şans değişkeni ise;

medxEaxEMina

3.7.1 Aritmetik Ortalamaya Göre Momentlerin Orijine Göre Momentler

Cinsinden Hesabı:

Hesaplama kolaylığı açısından merkezi momentler orijine göre momentler cinsinden

bulunabilir. Orijine göre momentlerle aritmetik ortalamaya göre momentler arasındaki ilişki

Binom teoremi kurulanarak bulunabilir. Bilindiği gibi binom açılımı;

inin

i

n abi

nba

0

)( dir

Bu açılım ortalamaya göre momentlerde kullanıldığında;

14

i

rxx iri

r

i

ir

0

)1(

olup, beklenen değerin 2-inci özelliğinde rx)( alındığında a ve 1b olup sonuç

olarak,

r

i ir

ii

r

i

iriirxExE

0

'

0

1

1

Teorem : Eğer r=2 alınırsa 2'

2

2

İspat : )()(2)(2)( 222222 ExExExxExE

= 2'

2

22 2)( xE

3.7.2 Orijine Göre Momentlerin Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler

Cinsinden Hesabı:

Orijine göre momentler de aritmetik ortalamaya göre momentler cinsinden hesaplanabilir.

ir

i

iri

r

rr

i

r

XEi

r

XE

XE

)(

)(

'

olarak bulunur.

3.7.3 Momentlere Dayanan Asimetri ve Basıklık Ölçüleri

Bir olasılık dağılımının biçimi ile ilgili ek bilgiler üçüncü ve dördüncü merkezi momentler

yardımı ile elde edilebilir. Bu ek bilgiler genellikle dağılımın çarpıklık ve basıklığı olarak

adlandırılır. Bir frekans dağılışının ortalama değerine göre simetriden ayrılış derecesine

asimetri ya da çarpıklık denir.

Asimetri ölçüleri için beklenen temel özellikler:

a. Değişkenin ölçme biriminden bağımsız olmalı

b. Dağılım simetrik olduğunda sıfır değerini almalı

X şans değişkeninin üçüncü merkezi momenti:

3

3 xE

kullanılarak asimetriyi ölçebilmek için 1 ölçüsü Pearson tarafından tek modlu dağılımlar için

bulunmuştur:

15

32

2

3

1

Değişkenin ölçü biriminden bağımsızdır. Simetrik dağılışlarda 1=0 ve asimetrik dağılışlarda

daima 1 > 0.

1‘in işaret eksikliğini gidermek için Fisher tarafından standartlaştırılmış üçüncü moment ya

da diğer adıyla çarpıklık katsayısı önerilmiştir:

3

3

1

1 Değişkenin ölçü biriminden bağımsızdır. Simetrik dağılışlarda 1=0, sağa çarpık

dağılışlarda 1>0, sola çarpık dağılışlarda 1<0

3=0 olduğu halde simetrik olmayan dağılışlarda mevcuttur. Bunun nedeni aşırı büyüklükteki

uç değerlerin aritmetik ortalamaya etki edip, onu büyütüp, küçültmeleridir. ’de oluşan bu

değişme 3’e yansımaktadır.

Bir dağılışın modunun, aynı aritmetik ortalama ve varyansa sahip bir normal dağılımın

moduna göre daha aşağıda ya da daha yukarıda bulunmasına basıklık farkı denir. Dağılışın

tepe noktası normal dağılımdan daha yüksekse sivri, alçaksa basık dağılımdır. Sivri dağılımda

aritmetik ortalama etrafında yoğunlaşma daha fazladır.

X şans değişkeninin dördüncü merkezi momenti:

16

4

4 xE

kullanılarak basıklığı ölçebilmek için 2 ölçüsü Pearson tarafından tek modlu dağılımlar için

bulunmuştur:

22

4

2

Değişkenin ölçü biriminden bağımsızdır. Normal dağılışlarda 2=3, normale göre basık

dağılışlarda 1 2< 3, normale göre sivri dağılışlarda 2>3.

Fisher basıklık ölçüsü:

322

Değişkenin ölçü biriminden bağımsızdır. Normal dağılışlarda 2 = 0, normale göre basık

dağılışlarda 2 < 0, normale göre sivri dağılışlarda 2 >0.

Bir ya da bir kaç tane momentin dağılış hakkında verdiği bilgi sınırlıdır. Aşağıdaki şekil ilk

dört momenti eşit olan iki dağılımı göstermektedir. Bununla birlikte momentlerin (1’, 2’,

3’,... ) bütün bir seti dağılımı tam olarak belirler.

Şans değişkeni X, standart değişkene dönüştürülürse;

Xz

E(z)=0 olduğu için z değişkeninin merkezi momentleri ile orijine göre momentleri eşittir. Bu

özellik kullanılarak z değişkeninin r -inci merkezi momenti, X değişkeninin r -inci merkezi

momenti cinsinden ifade edilebilir:

2/

2 )]([

)()(

])([1

)()(

r

r

r

r

r

r

r

r

r

x

xµxµ

xEX

EzEz

17

Sonuç olarak, 1)()( 2 zzV elde edilir. Görüldüğü gibi bir X şans değişkeninin

standardize edilmesi ortalama ve varyansı etkilemekte fakat

)()( 11 xz

)()( 22 xz

standardize üçüncü ve dördüncü momenti etkilememektedir.

Tanım (Şans Değişkeninin Fonksiyonun Momenti): u(x) şans değişkeni X’in bir fonksiyonu

ise r-inci dereceden momenti:

dxxfxuxuEx

r

x sürekli ise

x

rxfxuxuE x kesikli ise

3.7.4 İki Şans Değişkeni İçin Çarpım Momentleri

Bu kısımda iki şans değişkeninin ortak dağılımı dikkate alınarak şans değişkenlerinin çarpım

şeklindeki momentleri elde edilecektir.

Tanım (İki şans değişkeninin orijine göre çarpım momenti): X ve Y şans değişkenlerinin

olasılık fonksiyonları f(x,y) ise orijin civarındaki r-inci ve s-inci derecen orijine göre çarpım

momentleri sr , ile gösterilir ve xry

s ifadesinin beklenen değeri ile elde edilir:

sr

sr yxE,

Şans değişkenleri kesikli ise;

yxfyxyxEx y

srsr

sr ,,

Şans değişkenleri sürekli ise;

dxdyyxfyxyxEx y

srsr

sr ,,

Çarpım momentleri marjinal (tek değişkenli) momentlere dönüşebilir. Örneğin xE0,1 ya

da yE1,0 ile tanımlanabilir.

Tanım (İki şans değişkeninin ortalamaya göre çarpım momenti): X ve Y şans değişkenlerinin

olasılık fonksiyonları f(x,y) ise orijin civarındaki r-inci ve s-inci derecen ortalamaya göre

çarpım momentleri sr , ile gösterilir ve [x-E(x)]r[y-E(y)]

s ifadesinin beklenen değeri ile elde

edilir:

sr

sr yEyxExE ,

Şans değişkenleri kesikli ise;

18

yxfyEyxExyEyxExEx y

srsr

sr ,,

Şans değişkenleri sürekli ise;

dxdyyxfyEyxExyEyxExEx y

srsr

sr ,,

Çarpım momentleri marjinal (tek değişkenli) momentlere dönüşebilir. Örneğin xV0,2 ya

da yV2,0 ile tanımlanabilir. Ayrıca istatistikte özel öneme sahip bir ortalamaya göre

çarpım momenti de 1,1 ’ dir ve kovaryans olarak adlandırılır.

3.7.5 KOVARYANS

Kovaryans iki şans değişkeni arasındaki doğrusal ilişkinin bir ölçümünü verir. Aralarındaki

kovaryans sıfır olan şans değişkenlerine doğrusal ilişkisiz adı verilir. Stokastik bağımsızlık

doğrusal ilişkisizliği de otomatik olarak sağlar. Fakat ilişkisizliğin mutlaka stokastik

bağımsızlık anlamına geleceği söylenemez. Tek istisna normal dağılmış şans değişkenleridir.

Normal dağılmış iki değişken ilişkisiz ise aynı zamanda stokastik bağımsızdır.

Tanım (Kovaryans): X ve Y iki şans değişkeni ve onların ortalamaları sırası ile x ve y ise, x

ve y arasındaki kovaryans Cov(x,y) ile ya da xy ile gösterilir ve:

Cov (x,y)=E[(x- x)(y- y)]

eşitliğinden elde edilir.

Teorem: İki şans değişkeni X ve Y arasındaki kovaryans orijine göre ve ortalamaya göre

çarpım momentleri cinsinden ifade edilebilir:

1,00,11,1 xy

yx 1,1 .

İspat: Beklenen değerle ilgili teoremler kullanılarak,

yxxy yxE

yxxy yxxyE

yxxy yExExyE

yx 1,1

Teorem: İki Şans değişkeni bağımsız ise xy=0

İspat: Bağımsız şans değişkenleri için;

yExExyE

olduğu için

19

01,1 yExExyEyxxy

Teorem: Eğer X ile Y şans değişkenleri ve a ile b sabitler ise:

yxabCovbyaxCov ,,

yxCovbyaxCov ,,

xaVbaxxCov , .

İki değişken arasındaki kovaryans, değişkenlerin ölçülmesinde kullanılan birimlere bağlıdır.

İlişkinin ölçü birimlerinden arıtılmış ifadesi, ortak anakütle korelasyon katsayısıdır. Anakütle

korelasyon katsayısı ile gösterilir.

x.y = Cov(x,y)/xy

Korelasyon katsayısının temel özellikleri:

1. ‘nun işareti Cov(x,y)’nın işaretine göre değişir.

2. Cov(x,y)=0 ise x.y = 0 olur.

3. x.y ‘nun alabileceği maksimum ve minimum değerler:

-1 x.y 1

4. = 1olması x ve y arasında tam doğrusal ilişki bulunduğunu belirtir.

İspat (özellik 3): İki standart değişken u ve v ele alınsın:

u = [x-E(x)]/x v= [y-E(y)]/y

Tüm standart değişkenlerin; beklenen değeri sıfır, varyansı birdir.

Cov (u,v)= E[u-E(u)][v-E(v)]

=E{[uv]}

Cov (u,v) = (1/xy ) E{[x-E(x)] .[y-E(y)]

Cov (u,v) = Cov(x,y)/ xy = x.y

bulunur. İki şans değişkeninin toplamı ve farkı için verilen teorem standart değişkenlere

uygulandığında,

V(u v) = 2[1 Cov (u,v)]

Eşitliğin sol tarafı varyans olduğundan negatif olamaz. Bu nedenle sağ tarafta olamaz. Sonuç

olarak;

1+ Cov (u,v) 0 ve 1- Cov (u,v) 0

ya da

1+ x.y 0 ve 1- x.y 0

elde edilir. Bu ise

-1 x.y 1

20

eşitsizliğini verir.

İspat (özellik 4): u =1 ve v =1 olduğundan,

Cov (u,v) = 1 ise u.v = 1 ve

Cov (u,v) = -1 ise u.v = -1

olur. Cov (u,v)=1 olduğunda, İki şans değişkeninin toplamı ve farkı için verilen teorem

standart değişkenlere uygulanarak,

V(v-u) = 0

Diğer bir deyişle v-u bir sabittir:

[y-E(y)]/y - [x-E(x)]/x = c

y x - E(y)x- x y+ E(x) y = c x y

y = E(y) +c y – (y / x) E(x)+ (y / x) x

Eşitliğin sağ tarafındaki ilk üç terimin her biri bir sabit olduğundan, bu üç terim a ile temsil

edilerek;

y = a + bx

b’nin pozitif olması zorunludur, a pozitif ya da negatif olabilir.

Cov (u,v) = -1 olduğunda, İki şans değişkeninin toplamı ve farkı için verilen teorem standart

değişkenlere uygulanarak,

V(v+u) = 0

Diğer bir deyişle v+u bir sabittir.

[y-E(y)]/y + [x-E(x)]/x = c

yx - E(y) x+ xy- E(x) y = cxy

y = E(y) +cy + (y/x)E(x)-(y/x)x

Eşitliğin sağ tarafındaki ilk üç terimin her biri bir sabit olduğundan, bu üç terim a ile temsil

edilerek;

y = a - bx

b’nin negatif olması zorunludur, a pozitif ya da negatif olabilir. Elde edilen her iki denklem

için de;

b = y/x

bulunur. Model y = a bx ise

V(y) = b2V(x) ya da y = bx

olup bu sonuç kullanılarak,

Cov(x,y) = b V(x)

x.y = Cov(x,y) /y x=b V(x)/y x

21

12

2

, x

x

yxb

b

bulunur. x.y = 1 durumunda y = a bx doğrusunun grafiği x ve y’nin tüm olasılık dağılımını

içerir. Tüm (x,y) ikilileri doğru üzerindedir. Bu ekstrem durum için P(y = a bx)=1 olur.

Ekstrem durum haricinde, x ve y’nin tüm olasılık dağılımı y = a bx doğrusunun çevresinde

bir bant içindedir.

3.7.6 Faktöriyel Momentler

Özellikle kesikli şans değişkenlerinin momentlerinin bulunmasında faydalı olan bir yaklaşım

dağılımın faktöriyel momentleridir. İlk olarak şans değişkeninin karesi ele alınsın;

xxxx 12

Bu ifadenin beklenen değeri alınarak,

xExxExE 12

Sonuç olarak;

12

21 xExExxE

bulunur. Bu yaklaşım daha büyük momentler için de geçerlidir. Şans değişkeninin üçüncü

faktöriyel momenti

123

23 232321 xExExExxxE

olup,üçüncü faktöriyel moment kullanılarak,

123 2321 xxxE

bulunabilir. Genel olarak r-inci faktöriyel moment

121 rxxxxE

olarak tanımlanır.

3.8 MOMENT TÜRETEN FONKSİYONLAR

Beklenen değer tanımı kullanılarak momentler elde edilebilir. Bu yaklaşımın

hesaplamalarında zorluk olması durumunda dağılımın momentleri, bir fonksiyon yardımı ile

hesaplanabilir. Moment türeten fonksiyonlar sürekli veya kesikli bir X şans değişkenin

dağılımın momentlerinin hesaplanmasına yarayan bir fonksiyondur. X şans değişkeninin

moment türeten fonksiyonu )(tM x ile gösterilir. Bir X şans değişkeninin orjine ve aritmetik

ortalamaya göre moment türeten fonksiyonu bulunabilir.

Tanım (Moment türeten fonksiyon): X yoğunluğu )(xf olan bir şans değişkeni olsun. Eğer

22 hth aralığındaki t ‘nin her bir değeri için şans değişkeninin beklenen değeri mevcut

22

ise, txe ’ in beklenen değeri X‘ in moment türeten fonksiyonu olarak adlandırılır. Moment

türeten fonksiyon:

)(

)(

xfeeEtM

dxxfeeEtM

txtx

x

txtx

x

Eğer bir moment türeten fonksiyon mevcut ise, orijin civarında sürekli olarak türevlenebilir.

Çünkü 22 hth aralığı t=0 değerini içerir. Moment türeten fonksiyon t parametresinin

fonksiyonudur. Bu parametrenin gerçek bir anlamı yoktur, sadece momentlerin belirlenmesine

yardımcı olan matematiksel bir araçtır. Kukla değişkendir. )(tM fonksiyonu, t=0 için

1)0( M olur.

Teorem: Eğer X şans değişkeninin moment türeten fonksiyonu )(tM x ise ve

0

0

t

xr

rr

x tMdt

dM

olarak tanımlanmış ise

0r

x

r MxE

olur.

İspat: İntegral işareti altında türev alınabileceği varsayımı altında, moment türeten

fonksiyonun t ‘ ye göre türevi;

dxxfedt

dtM

dt

d tx

x

dxxfedt

d tx

dxxfxe tx

xtxeE

ve t=0 alınırsa;

xExeEtMdt

dM

t

xt

t

xx

0

0

0

Bu yaklaşım r-inci türev için genellendiğinde,

r

t

xtr

t

xr

rr

x xEexEtMdt

dM

00

0 .

23

Sonuç olarak; bir dağılımın momentleri, moment türeten fonksiyonun yapay değişken t’ye

göre türevi alınarak elde edilebilir. Fonksiyona neden moment türeten fonksiyon dendiğini

açıklayabilmek amacı ile )( xteE yerine bu fonksiyonun Maclaurin seri açılımı konulur.

Maclaurin serisi: Matematikteki fonksiyonları seri açılımları konusundaki Taylor teoreminin

0

2

!

)()(...

!

)()(...

!2

)()())(()()(

n

nn

rr

n

axaf

r

axaf

axafaxafafxf

özel olarak 0a alınarak oluşturulmuş serisidir.

0

2

!)(....

!)(....

!2)()()()(

n

nn

rr

n

xaf

r

xaf

xafxafafxf

Burada maclaurin serisine xe fonksiyonu uygulanmasının nedeni 1 değerine yakınsamasıdır.

Momentler şöyle bulunabilir; xexf )( fonksiyonu maclaurin serisiyle açılırsa,

...!

...!2

12

r

xxxe

rx

buradan da,

...!

...!2

1 22

rr

xt tr

xt

xxte

)(tM x ‘ in seri açılımı )(xf ‘ in momentlerine göre elde edilir.

0

'

2

2

1

22

22

!

1...

!...

!21

....)(!

....)(!2

)()1(...!

...!2

1)(

i

i

rr

r

rr

rr

xt

x

tir

ttt

xEr

txE

txtEEt

r

xt

xxtEeEtM

Bu durum r ‘ nin, )(tM x ‘ nin r defa türevi alınıp daha sonra 0t konularak elde

edilebileceğinin bir diğer kanıtıdır.

Örneğin birinci momenti bulmak için xM (t) nin t ye göre birinci türevi alınır;

0

)()()( t

x

xdt

tdMtMxE

0

1

321!

...!3

3

!2

2

tr

r

r

rttt

burada t=0 olduğunda

1 olarak bulunur.

İkinci moment

2 isteniyor ise

0

2 )()()(

t

x

xdt

tdM

dt

dtMxE xM (t)

24

0

2

32!

)1(...

!3

6

!2

2

tr

r

r

trrt

=

2

Burada söylenmesi gereken bir şans değişkeninin momentlerini belirlemek için bir moment

türeten fonksiyonun Maclaurin serisini kullanmaktaki asıl güçlük moment türeten

fonksiyonunu bulmak değil buna Maclaurin serisini uygulamaktır. Bazı dağılımlarda M(t), t

‘nin bütün değerleri için hesaplanabilir; bazı dağılımlarda ise M(t), t’ nin sadece belirli bir

aralıktaki değerleri için bulunabilir. Örneğin üstel dağılım.

Moment türeten fonksiyonun kullanılabileceği konulardan biri de bağımsız şans

değişkenlerinin toplamının dağılışının belirlenmesidir.

Eğer M(t) mevcut ise, X’ in dağılımı eşsiz ve tam olarak belirlenir. Eğer iki şans değişkeni

aynı moment türeten fonksiyona sahip ise, bu şans değişkenleri aynı olasılık dağılımına

sahiptir. Bazı durumlarda

dxxfe tx )( ’ in integrali ve )(xfex

tx ‘ in toplamı mevcut

değildir. Böyle durumlarda X’ in moment türeten fonksiyon bulunamaz. Diğer bir deyişle her

dağılımın moment türeten fonksiyonu yoktur. Bu tip dağılımlarda momenti bulmak için

karakteristik fonksiyon kullanılır.

3.9.1 Moment Türeten Fonksiyonlarla İlgili Teoremler

Teorem: c bir sabit sayı olmak üzere )(cx ’ in moment türeten fonksiyonu;

)()( ctMtM xcx ’ dir.

İspat: ctMdxxfedxxfeeEtM x

ctxcxtcxt

cx

)()( ’ dir.

Teorem: Bir X şans değişkeninin moment türeten fonksiyonu M(t) olsun, c sabit bir sayı

olmak üzere )( xc ’ in moment türeten fonksiyonu;

)()( tMetM x

ct

xc ’ dir.

İspat: tMedxtfeedxxfeeeEtM x

ctxtctxtcttxc

tc

)()( )(

)( ’ dir.

Teorem: baxy şeklinde tanımlanan y şans değişkeninin moment türeten fonksiyonu;

atMetM x

bt

y ’ dir.

İspat: bt

x

axtbtbtaxttbaxyt

y eatMeEeeeEeEeEtM ’ dir.

25

Teorem: Bir X şans değişkeninin moment türeten fonksiyonu M(t) olsun,

b

axy

olmak

üzere;

)/(/ baMeeEtM x

tbayt

y ’ dir.

Bu teoremde a ve b olarak alınır ise

//

/ tMetM x

t

x

olacaktır. Bu fonksiyon standart normal değişkenin moment türeten fonksiyonu olarak da

bilinir.

Teorem: Eğer iki şans değişkeni aynı moment türeten fonksiyona sahipse bu iki şans

değişkeni aynı dağılıma sahiptir. X şans değişkeninin moment türeten fonksiyonu Mx(t) ve Y

şans değişkeninin moment türeten fonksiyonu My(t) olsun, eğer 22 hth aralığındaki

tüm t değerleri için )()( tMtM yx ise X ve Y şans değişkenleri aynı olasılık dağılımına

sahiptir.

İspat: X şans değişkeninin dağılımı 2;u olsun baxy şeklinde ve normal dağılımlı

atMetM x

bt

x olsun. 2

22tetM t

x

‘ na göre;

2/2/ 2222tatabtatabt

x eeeetM ’ dir.

Bu ise ortalaması ba ve varyansı 22a olan normal bir dağılımın moment türeten

fonksiyonudur.

Teorem: X ve Y bağımsız ve aynı dağılıma sahip iki tesadüfi değişken ve bunların moment

türeten fonksiyonları sırasıyla )(tM x ve )(tM y olsun yxz şeklinde tanımlanan bir z

tesadüfi değişkeninin moment türeten fonksiyonu;

)()()( tMtMtM yxz ’ dir.

İspat: ytxttyxzt

z eeEeEeEtM )(

X ve Y bağımsız olduklarından;

)()()(

)(

tMtMtM

eEeEtM

yxz

ytxt

z

olur.

Eğer bu teorem n tane tesadüfi değişken için genişletilir ise;

)()...()()(21

tMtMtMtMnxxxz .

26

Tanım (Bir şans değişkeninin fonksiyonunun moment türeten fonksiyonu): X şans

değişkeninin her hangi bir fonksiyonu )(xu ise txu

xu eEtM )( dir.

dxxfetM xu

xu )(

x

xu

xu xfetM )( olur.

3.8.2 Aritmetik Ortalamaya Göre Moment Türeten Fonksiyon

Bir X şans değişkeninin kendi aritmetik ortalamasına göre de moment türeten fonksiyonu

bulunabilir. Buda genellikle )(tM x ile ifade edilir.

)()( tMeeEeEtM x

txt

x

’ dir.

Buna göre kesikli veya sürekli bir X şans değişkeninin orijine göre moment türeten

fonksiyonu biliniyorsa bu fonksiyon te ile çarpılarak aritmetik ortalama etrafındaki moment

türeten fonksiyon kolayca bulunabilir.

3.8.3 Faktöriyel Moment Türeten Fonksiyon

X şans değişkeninin faktöriyel moment türeten fonksiyonu eğer beklenen değer mevcutsa

)( xtEtG ile tanımlanır. Bu fonksiyon,

)]1).......(1([)( 1 rxxxEtEdt

dt

x

r

r

eşitliğini sağlar. Eşitliğin sağ tarafı r-inci dereceden faktöriyel momenttir. Eğer X kesikli bir

şans değişkeni ise,

x

xx xXfttE )()(

yazılabilir. Bu ifadede kuvvet serisinin katsayıları olasılıklar olduğu için faktöriyel moment

türeten fonksiyon, olasılık türeten fonksiyon olarak adlandırılır. Burada x=k olasılığını elde

etmek için

kxftEdt

d

kt

x

k

k

0)(!

1

Bu fonksiyonun çeşitli derecelerden türevleri alınıp, t yerine 1 konduğunda x şans

değişkenine ilişkin Faktöriyel momentler bulunur. Faktöriyel momentler kF' ile gösterilir.

Birinci türevi;

xEGxtEdt

dtEtE

dt

dtG t

xx

x

x 11

1

27

bulunur. İkinci türevi;

11 xxEG

bulunur. r -inci türevi;

trxxxEF r ...11

Faktöriyel moment özellikle kesikli değişkenlerde önemlidir.