1

3. Beugung am Kristall3.1 Beugung mit Photonen, Neutronen, Elektronen

Voraussetzung:Wellenlänge ≈ Gitterabstand

Elektronenenergie in 100 eV

10

1.0

0.11 10 100

Wel

lenl

änge

in A

Photonenenergie in keVNeutronenenergie in 0,01 eV

Analyse von Kristallstrukturen durch die Beugung von:Photonen, Neutronen und Elektronen

Röntgenstrahlung:E = hc/l: l(A) = 12,4/E(eV)

Neutronen*:E = h2/2Mnl2: l(A) = 0,28/[E(eV)]1/2

Elektronen*:E = h2/2mel2: l(A) = 12 [E(eV)]1/2

*de Broglie - BeziehungE = p2/2M; l = h/p

2

konstruktive Interferenz:nl = 2d·sin (Q); (Bragg)

Gitterebenenabstand d ist Funktion derhkl Indizes und desGittertyps

Beugung von Röntgenstrahlen an den hkl-Netzebenen des Kristallgitters

d

(hkl)-Ebenen

Q Q

2QQ

einfallendeRöntgenstrahlen

reflektierteRöntgenstrahlen

orthorhombisch

kubisch

tetragonal

†

1d2 =

h2 + k 2 + l2

a2

1d2 =

h2

a2 +k 2

a2 +l2

c 2

1d2 =

h2

a2 +k 2

b2 +l2

c 2

l = constantmonochromatisch

Q = constantenergiedispersivl/2 l/2

3

3.2 Reziprokes Gitter

G = hA + kB + lC, (h,k,l: ganze Zahlen)

A a = 2"A b = 0A c = 0

•••

B a = 0B b = 2"B c = 0

•••

C a = 0C b = 0C c = 2"

•••

Eigenschaften:

A = 2"b x c

a b x c•B = 2"

c x a

a b x c•C = 2"

a x b

a b x c•

Primitive reziproke Gittervektoren: A, B, C

a, b, c primitive Vektoren des Kristallgitters

Reziproker Gittervektor

Zuordnung der Gesamtheit der Reflexionen zu den Netzebenenscharen hkl des Gitters.Eine Netzebenenschar wird durch einen Vektor dargestellt, der auf der hkl Ebene senkrechtsteht und dessen Länge gleich ist dem reziproken Gitterebenenabstand 1/dhkl.

Alle möglichen primitiven Gittervektoren a, b, c für ein gegebenes Kristallgitter führen zudenselben reziproken Gitterpunkten.

4

Beugungsbedingung im reziproken Gitter

∆k = G oder k + G = k'

•

••• •

••

••

•• •

••• •••

•

•••••••

•

••• •

••

••

•• •

••• •••

•

2qqk'

k

G

Ewaldsche Kugel

Beugungsbedingung

k‘2 = k2 (elastische Streuung)(k + G)2 = k2; 2"/|∆k| = d(hkl)

2k·G = G2

dhkl = 2"/$|G(hkl)|

2 dhkl sin Q = nl

Der Vektor G verbindet zwei Punkte im reziproken Gitter, die denreflektionsfähigen Gitterebenen hkl entsprechen.

q q

q

qk

-k

k‘

∆k

|∆k| = 2k·sin q = (4"/l)· sin q

5

Reziprokes krz-Gitter

a‘ = (a/2) (x‘ + y‘ - z‘)b‘ = (a/2) (-x‘ + y‘ + z‘)c‘ = (a/2) (x‘ - y‘ + z‘)

V = 1/2 a3

A‘ = (2"/a) (x‘ + y‘)B‘ = (2"/a) (y‘ + z‘)C‘ = (2"/a) (x‘ + z‘)

Reales kfz-Gitter

Das kfz-Gitter ist das reziproke Gitter des krz-Gitters

6

3.3 Brillouin-Zonen

2-dim. Kristallgitter:a = 2 x‘, b = x‘ + 2y‘

x

y

c x a = z‘x (2x‘) = 2y‘b x c = x‘x z‘ + 2y‘x z‘ = -y‘ + 2x‘a · b x c = 4

2-dim. reziprokes Gitter:A = " x‘- 1/2"y‘, B = "y‘

•Reziproker Raum•Verbindung von O zu Nachbarn• Mittelsenkrechte• Kleinstes umgrenztes Flächenelement· erste Brillouin Zone

Erste Brillouin-Zonedes kubisch raum-zentrierten Gitters

RegelmäßigerRhombischesDodekaeder

Brilloiun Zonen sind wichtig beielektronischen Energiebändern in Kristallen.

7

3.3 Beugungsverfahren

Röntgen- und Neutronenstrahlen

Der Netzebenenabstand dhkl nimmtmit zunehmender Indizierung hkl ab.Für hochindizierte Netzebenen mussdaher kurzwellige Röntgenstrahlunggenutzt werden.

Intensität einer Wolfram-Röntgenröhre, „weißes“Bremsspektrum mitüberlagertercharakteristischer Kaund Kb Strahlung.

Weißes Spektrum einesNeutronenstrahls auseinem Reaktor. EinMonochromatorselektiert eineWellenlänge l = 1,16A.

8

3.4 Eigenschaften von RöntgenstrahlenIo

I

Energieverlust der Röntgenstrahlung in Materie:• Absorption• Streuung• Paarbildung

†

I = Io ⋅ exp(-mD)

D µ

4209871941.93 Å (Fe)

23049328491.54 Å (Cu)

1405138.55.220.71 Å (Mo)

PbCuFeAlWellenlänge

Massenschwächungskoeffizient µ/r ≈ c* l3 Z3

* c ändert sich sprunghaft an Absorptionskanten

Röntgen-Absorp-tions-spektrum

9

Laue-Verfahren zur Einkristallorientierung

Laue Diagramm eines Si-Einkristalsl in 100-Orientierung, 4-zähligeSymmetrieWeisses Röntgenlicht trifft auf einen Einkristall.Der einfallende Strahl

wird in Vorwärts- und Rückwartsstreuung gestreut und auf zweiPlanfilmen registriert. Die Orientierung des Einkristalls kann mit einem Goniometer-Kopf einjustiert werden.

10

Debye-Scherrer Verfahren

Pulver-Verfahren, polykristalline Proben

11

Röntgen-Goniometer

SiemensHorizontalGoniometer

Bragg-BrentanoFokussierung

Beugungs-reflexe

Röntgen-Röhre

12

Textur-Goniometer (nach Lücke) und Beugungsaufnahmen an Gefügestrukturen unterschiedlicherKörnung und Textur

K: Kollimator-RöhrchenB: Probe in Transmissionsrichtung

13

3.5 SynchrotronstrahlungRelativistische Teilchen, v ≈ c · tangentiale Abstrahlung von Röntgenstrahlung

Abgestrahlte Leistung:≈ (E/m)4/R2

Öffnungswinkel:

≈ m c2 / E

Frequenzobergrenze:≈ c E3 / (2" m3 c6 R)

14

European Synchrotron Radiation Facility, Grenoble

Umfang: 300 m

Umfang: 850 mBeamlines: 32

15

2 3 4 5 6 7Q[Å-1]

.

2150 2200 2250 2300Time [s]

1350

1400

1450

1500

1550

1600

1

2

3

4

11 22

33

44

TLs'TLs'

TLfccTLfcc

TLbccTLbcc

IIIIII

Ni41V59Ni41V59

Inte

nsity

[a.u

.]

(311

)(131

)(4

10)(1

40)

(330

)(3

31)

(411

)(141

)

(312

)(132

)(3

22)(2

32)

(250

)(520

)(5

01)(0

51)

(252

)(522

)(5

32)(3

52)

(551

)(7

21)(2

71)

Tem

pera

ture

[K]

(110)

(200) (211)

(110)

(200)(211)

In situ Beobachtung der Phasenselektionwährend der raschen Erstarrung vonunterkühlten Metallschmelzen

Energiedispersive Beugung, q = const.

16

3.6 Elektronenmikroskopie

Auflösungsvermögen:Lichtmikroskop: 338 - 780 nm

Elektronenmikroskop:≈ 0.1 nm

l= h/p = h/(2meeU)1/2

U ≤ MeV

Atomare Auflösung!

Elektronen: Geringes Durchstrahlungsvermögen.Besondere Anforderungen an die Präparation dünner Proben 100-300 nmIonenätzen, Emulsionen, elektrolytisches Polieren

Strahlengang beim Licht- und Elektronenmikroskop:

17

Raster-Elektronen-MikroskopElektronenoptische Oberflächen -darstellung mit großer Tiefenschärfe.

Auflösungsvermögen: 10 - 20 nm

Durchmesser der Elektronensonde:≈10 nm

Keine Elektronenbeugung:Abbildung im realen Raum!

18

3. 7 Neutronenbeugung

-1,913 µB ÷ Kernspin1/2

Magnetisches Moment

EPhotonen ≈ 8,3 keVENeutronen ≈ 36 meVl = 1,5 Å

l = h/|p| = 2"/kl = h/|m·v| = 2"/kWellenlänge

1,66·10-27 kgRuhemasse

p = hkp = mv = hkImpuls

E = hw = hkc = hc/l= pc

E = h2k2/2mEnergie der Welle

E = mv2/2 = p2/2mKinetische Energie

PhotonenNeutronen

Wechselwirkung der Neutronen mit Elektronen in kondensierterMaterie nur über magnetische Dipol-Dipol Wechselwirkung:• großes Durchdringungsvermögen• strukturelle und magnetische Streuung

19

Neutronendiffraktometer

Streulänge von Neutronenändert sich von Element zuElement sprunghaft ÷ hoherKontrast für chemischeOrdnung im Kristall

Elastische Streuung k = k‘:

Strukturuntersuchung, Statik

Inelastische Streuung k ≠ k‘:

Energetische Anregungen, Dynamik

20

Elastische Neutronenstreuung an Flüssigkeiten

Ikosaeder:13 AtomeZ = 12Dichteste Packung

Dodekaeder:33 Atome

21

3.8 Feldionenmikroskop

Eine feine Metallspitze (Anode,Krümmungsradius r ≈ 100 nm) steht in einemHe-gefüllten Rezipienten einem Leuchtschirm(Kathode, r ≈ 10 cm) gegenüber. ZwischenAnode und Kathode liegt eine Spannung vonetwa 100 kV, vor der Spitze beträgt die elektr.Feldstärke E ≈ 106 V/cm. He-Atome werdenpolarisiert und dadurch ionisiert, werden zumBildschirm beschleunigt und erzeugen dort ein106 fach vergrößertes Abbild der Spitze. Bildeines Atoms an der Spitze ist auf etwa 100 µmvergrößert.

Bild einer Wolframspitze (r ≈ 45 nm). Jeder Lichtfleck entspricht einem Spitzenatom.Die vierzählige Symmetrie des Bildes spiegelt die kubische Kristallstruktur des W wieder.

22

3.9 Raster-Tunnel-Elektronen-Mikroskop

Oberfläche einer (111) SiliziumStruktur aufgenommen mit einemTunnel-Elektronen-Mikroskop. DerAbstand benachbarter Höcker bzw.Atome beträgt etwa 0,8 nm.

Raster-Tunnel-Mikroskop:Zwischen der Spitze und derOberfläche fließt derTunnelstrom, derempfindlich vom AbstandSpitze-Oberfläche abhängt.