Trang 33

Chương III: Cơ sở lý thuyết phép biến đổi

Wavelets

3.1 Phép biến đổi Fourier kinh điển và những nhược điểm

Từ trước đến nay có nhiều phương pháp phân tích tín hiệu. Được biết đến

nhiều nhất là phân tích Fourier, trên cơ sở phân tích một tín hiệu thành tổng của các

hàm sin với các tần số khác nhau. Nói cách khác, phân tích Fourier là kỹ thuật biến

đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số. Với nhiều tín hiệu, phân tích Fourier

rất có ích vì nội dung tần số của tín hiệu là rất quan trọng.

Biến đổi Fourier của tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier ngược của nó được xác

định bởi biểu thức sau:

∫∞

∞−

−= dtetxfXftj π2)()( (3.1)

∫∞

∞−

= dtefXtxftj π2)()( (3.2)

Trong đó, x(t) và X(f) được gọi là một cặp biến đổi Fourier: )()( fXtxFT→←

Hình 3.1: Biến đổi Fourier

Mặc dù có nhiều hiệu quả nhưng phép biến đổi Fourier (như là phân tích các

tín hiệu tuần hoàn, thuận lợi cho các phép chập tín hiệu) vẫn có những hạn chế. Khi

biến đổi sang miền tần số, thông tin thời gian đã bị mất. Nếu một thuộc tính tín hiệu

Biến đổi

Fourier

Trang 34

không thay đổi nhiều theo thời gian, nó được gọi là tín hiệu tĩnh, thì các nhược điểm

trên không có ảnh hưởng quan trọng. Tuy nhiên, nhiều tín hiệu có chứa các thông số

động: trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, khởi đầu và kết thúc của các sự kiện. Những

đặc tính này thường là phần quan trọng nhất của tín hiệu, và phân tích Fourier

không thích hợp để phát hiện chúng.

3.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn

Các tín hiệu thường gặp trong thực tế thường là tín hiệu không dừng (ví dụ

tín hiệu nhạc, tín hiệu nhiễu, …) thì phân tích Fourier hoàn toàn không mang lại các

thông tin hữu ích. Ta xét một ví dụ đơn giản để thấy rõ điều này. Xét trường hợp tín

hiệu xung δ(t), phép biến đổi Fourier F(ω)=1, với ∀ω. Ta thấy rằng thông tin về vị

trí xung trong miền thời gian hoàn toàn không phát hiện trong miền tần số. Như

vậy, biến đổi Fourier không phân tích được biến thiên tần số trong từng vùng theo

thời gian của tín hiệu. Nói cách khác nó không có tính cục bộ về thời gian. Do đó

cần cục bộ hóa biến đổi Fourier để có thể phân tích các tín hiệu không tĩnh.

Để khắc phục những hạn chế của biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier thời

gian ngắn – STFT được đề xuất. Biến đổi này còn được gọi là biến đổi Fourier cửa

sổ hay biến đổi Gabor. Ý tưởng này là sự cục bộ của biến đổi Fourier, sử dụng hàm

cửa sổ xấp xỉ trung tâm nơi định vị. Vì vậy, như biến đổi wavelet, biến đổi là sự

khai triển theo hai thông số tần số và dịch thời gian. Tuy nhiên, nó có điểm khác

biệt là kích thước cửa sổ được định trước khác với tỷ lệ cửa sổ được dùng trong

biến đổi wavelet. Tín hiệu nguyên thủy được phân thành từng đoạn bằng cách nhân

với một hàm cửa sổ w(t - τ), sau đó thực hiện biến đổi Fourier:

Hình 3.2 mô tả biến Đổi Fourier thời gian ngắn.

Trang 35

Hình 3.2: Biến Đổi Fourier thời gian ngắn

∫∞

∞−

− =−= )(),()()(),( ,*

tftgdtetftwwSTFT w

jwt

f τττ (3.3)

trong đó: jwt

w etwtg −−= )()(, ττ

giả sử hàm cửa sổ w(t) được chuẩn hóa để có 1)( =tw và khả tích tuyệt đối, ta có

công thức biến đổi Fourier ngược :

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= dwdttgwSTFTtf wF )(),(2

1)( ,ττ

π (3.4)

Vậy khuyết điểm chính của biến đổi STFT là khi kích thước cửa sổ được

chọn thì tất cả các tần số được phân tích với cùng độ phân giải thời gian và tần số.

Do vậy khi phân tích tín hiệu gồm nhiều thành phần tần số hoặc thời gian, STFT chỉ

có khả năng cho độ phân giải tương đối về tần số tốt với các tín hiệu có thời gian

tồn tại ngắn.

Nói tóm lại vấn đề liên quan đến độ rộng của hàm cửa sổ là :

− Nếu hàm cửa sổ hẹp : phân giải thời gian tốt, phân giải tần số kém.

− Nếu hàm cửa sổ rộng: phân giải tần số tốt, phân giải thời gian kém.

3.3 Độ phân giải của tín hiệu và nguyên lý bất định

Độ phân giải của tín hiệu có chiều dài hữu hạn là số mẫu tối thiểu cần có để

biểu diễn tín hiệu đó. Như vậy độ phân giải của tín hiệu liên quan đến nội dung

Biến đổi Fourier

thời gian ngắn

Trang 36

thông tin của tín hiệu. Với tín hiệu có chiều dài vô hạn có năng lượng hữu hạn và

suy giảm ở vô cùng thì ta định nghĩa chiều dài của tín hiệu là khoảng chứa hầu hết

thông tin của tín hiệu (ví dụ chứa 90% năng lượng của tín hiệu).

Ở tín hiệu liên tục, việc thay đổi tỉ lệ không làm thay đổi độ phân giải, vì nó

ảnh hưởng đồng thời cả tốc độ lấy mẫu và chiều dài của tín hiệu nên số mẫu để biểu

diễn tín hiệu là hằng số. Ở tín hiệu rời rạc, lấy mẫu lên và nội suy không ảnh hưởng

độ phân giải vì các mẫu nội suy là dư. Lấy mẫu xuống bởi N làm độ phân giải giảm

đi N lần và không thể khôi phục được.

Khi nhân tỷ lệ sẽ làm thay đổi độ nét (sharpness) theo thời gian hoặc theo tần

số, tức là chỉ đáp ứng một trong hai yêu cầu trên. Độ nét được gọi là độ phân giải

trong thời gian-tần số (nhưng nó khác với độ phân giải ở trên liên quan đến nội

dung thông tin).

Năng lượng của tín hiệu được định nghĩa là :

∫∞

∞−

dttf2

)( (3.5)

Tín hiệu f(t) được gọi là tín hiệu có tâm năng lượng tại a nếu thỏa:

( ) ( ) 02 =−−∫∞

∞−

dtatfat (3.6)

Xét một tín hiệu có năng lượng bằng 1 và có tâm năng lượng tại gốc tọa độ

f(t) với biến đổi Fourier F(w) thỏa mãn :

( ) ( ) 0022

== ∫∫ dwwFwvadttft # (3.7)

Độ rộng thời gian ∆t của f(t):

( )∫∞

∞−

=∆ dttftt

222 (3.8)

Trang 37

Độ rộng tần số ∆w

( )∫∞

∞−

=∆ dwwfww

222 (3.9)

Định nghĩa về nguyên lý bất định:

Nếu f(t) triệt tiêu nhanh hơn t

1 khi t→±∞ thì:

222 π

≥∆∆ wt (3.10)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi : 2

)(f tet

α

πα −= gọi là tín hiệu Gauss.

Nguyên lý bất định có vai trò quan trọng vì nó đặt ra chặn trên cho độ nét tối

đa cho cả thời gian và tần số. Như vậy, việc nhân tỉ lệ không làm thay đổi tích độ

rộng thời gian và tần số.

3.4 Lý thuyết về biến đổi wavelets

3.4.1 Giới thiệu

Để đáp ứng được yêu cầu độ phân giải ổn định với các tín hiệu có nhiều

thành phần thời gian và tần số, ta cần dùng một phương pháp biến đổi sao cho độ

phân giải thời gian và tần số có thể thay đổi một cách thích nghi với đặc tính của tín

hiệu trên mặt phẳng thời gian và tần số. Vấn đề này được giải quyết bằng cách thay

thế phép dời đơn giản trong STFT bằng phép dời và đổi thang độ (shifts and scales).

Điều này dẫn đến sự ra đời của một phép biến đổi mới đó là phép biến đổi wavelets.

Phân tích Wavelet cho phép sử dụng các khoảng thời gian dài khi ta cần

thông tin tần số thấp chính xác hơn, và miền ngắn hơn đối với thông tin tần số cao.

Ở đây cho thấy sự tương phản với cách nhìn tín hiệu dựa theo thời gian, tần số,

STFT :

Trang 38

Hình 3.3: Biến đổi Wavelet

Vậy phân tích wavelet không dùng một miền thời gian – tần số, mà là miền

thời gian – tỷ lệ.

Hình 3.4: Mô tả các miền biến đổi của tín hiệu

Định nghĩa Wavelet

Wavelets là các dạng sóng nhỏ có thời gian duy trì tới hạn với giá trị trung

bình bằng 0. So sánh với sóng sin thì sóng sin không có khoảng thời gian giới hạn –

nó kéo dài từ âm vô cùng đến vô cùng. Và trong khi sóng sin là trơn tru và có thể dự

đoán, wavelet lại bất thường và bất đối xứng.

Hình 3.6 mô tả sóng sin và wavelet .

Biến đổi Wavelet

Trang 39

Hình 3.5: Sóng sin và wavelet

Phân tích Wavelet chia tách tín hiệu thành các phiên bản dịch vị và tỷ lệ (co

dãn) của một hàm đơn hay gọi là hàm mẹ wavelet. Vì vậy tín hiệu với thay đổi

nhanh có thể phân tích tốt với một wavelet bất ổn định hơn là với một sóng sin trơn.

Các đặc tính cục bộ sẽ được miêu tả tốt hơn với các wavelet.

Số chiều

Phân tích Wavelet có thể áp dụng cho dữ liệu hai chiều (các hình ảnh) và về

nguyên tắc cho dữ liệu có số chiều cao hơn.

Các biến đổi wavelet phổ biến được chia thành 3 loại: biến đổi wavelet liên

tục, biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi wavelet đa phân giải (wavelet

multiresolution-based).

3.4.2 Biến đổi Wavelet liên tục

Về mặt toán học quá trình phân tích Fourier được thực hiện bởi biến đổi

Fourier:

( ) ( ) dtetfFtjωω −

∞

∞−∫= (3.8)

là tổng ở mọi thời điểm của tín hiệu f(t) nhân với một hàm mũ phức (có thể

phân tích thành các thành phần thực và ảo). Kết quả của phép biến đổi là các hệ số

Fourier F(ω). Các hệ số Fourier khi nhân với một sóng sin tần số ω sẽ thành các

thành phần sin tạo ra tín hiệu nguyên thủy.

Hình 3.7 trình bày các thành phần sóng sin với các tần số khác nhau.

Trang 40

Hình 3.6: Các thành phần sóng sin với các tần số khác nhau

Biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT) của một

hàm f(t) được bắt đầu từ một hàm Wavelet mẹ (mother Wavelet) ψ (t), ψ (t) có thể

là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục nào thoả mãn các tính chất sau đây:

Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm ψ (t ) là bằng 0. Tức là:

∫+∞

∞−

= 0)( dttψ (3.11)

Tích phân năng lượng của hàm trên toàn bộ trục t là một số hữu hạn, tức là:

∫+∞

∞−

∞<Ψ dtt2

)( (3.12)

Điều kiện (3.12) có nghĩa là hàm ψ (t) phải là một hàm bình phương khả tích,

hàm ψ(t) thuộc không gian L2(R) các hàm bình phương khả tích.

Biến đổi Wavelet liên tục của một hàm bình phương khả tích f(t) được tính

theo công thức:

∫+∞

∞−

∗

−Ψ= dt

a

bt

atfbaW

1)(),(

(3.13)

là một hàm của hai tham số thực a và b. Dấu * ký hiệu là liên hiệp phức của ψ(t).

Với:

−Ψ=Ψ

a

bt

atba

1)(,

(3.14)

Tín hiệu

Trang 41

Chúng ta có thể viết:

∫

+∞

∞−

Ψ= dtttfbaW ba )()(),( ,

(3.15)

Theo toán học ta gọi đây là tích vô hướng của hai hàm f (t) và ψa,b(t)

Giá trị a

1

là hệ số chuẩn hoá để đảm bảo rằng tích phân năng lượng của

hàm ψa,b(t) sẽ độc lập với a và b :

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

Ψ=Ψ dttdttba

22

, )()( (3.16)

Với mỗi giá trị của a thì ψa,b(t) là một bản sao của ψa,b(t) được dịch đi b đơn

vị trên trục thời gian. Do đó b được gọi là tham số dịch.

Đặt tham số dịch b = 0 ta thu được:

Ψ=Ψa

t

ata

1)(0,

(3.17)

Trong (3.5) cho thấy rằng a là tham số tỷ lệ. Hệ số tỷ lệ càng nhỏ, wavelet

càng được nén mạnh hơn.

Hình 3.7: Các thành phần wavelet tương ứng với các tỉ lệ và vị trí khác nhau

Khi a >1 : hàm wavelet sẽ được trải rộng

Khi 0< a <1: thì hàm sẽ được co lại.

Tín hiệu

Trang 42

Phép biến đổi ngược của biến đổi Wavelets liên tục được tính như sau:

∫+∞

∞−

−Ψ=Ψ dtetjwt)()(ω

(3.18)

Với Ψ (ω ) là biến đổi Fourier của ψ (t ) :

Nếu W(a,b) là biến đổi CWT của f(t) bằng hàm Wavelet ψ(t), thì biến đổi

ngược của biến đổi CWT sẽ được tính như sau:

∫∫∞

∞−

∞

∞−

Ψ= dadbtbaWaC

tf ba )(),(11

)( ,2

(3.19)

với giá trị của C là:

∫∞

∞−

Ψ=

ωω 2)]([

C

(3.20)

Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu C dương và hữu hạn. Do đó C được gọi là điều

kiện tồn tại của biến đổi Wavelet. Đây cũng là điều kiện một hàm cần phải thoả

mãn để có thể được lựa chọn làm hàm wavelet.

Có thể xem biến đổi CWT như là một ma trận hai chiều các kết quả của phép

tính tích vô hướng giữa hai hàm f (t) và ψa,b(t) . Các hàng của ma trận tương ứng với

các giá trị của a và các cột tương ứng với các giá trị của b do cách tính biến đổi

wavelet theo tích vô hướng đã trình bày ở trên:

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∗ Ψ=Ψ⇒= dtttfttfdttgtftgtf baba )()()(),()()()(),( ,,

(3.21)

3.4.3 Biến đổi wavelets rời rạc DWT (Discrete Wavelet Transform)

Việc tính toán các hệ số wavelet tại tất cả các tỉ lệ là một công việc hết sức

phức tạp, sẽ tạo ra một lượng dữ liệu khổng lồ. Để đơn giản người ta chỉ chọn ra

một tập nhỏ các giá trị tỉ lệ và các vị trí để tiến hành tính toán, cụ thể lựa chọn tiến

hành tại các tỷ lệ và các vị trí trên cơ sở luỹ thừa cơ số 2 thì kết quả thu được sẽ

Trang 43

hiệu quả và chính xác hơn rất nhiều. Quá trình chọn các tỷ lệ và các vị trí để tính

toán như trên tạo thành lưới nhị tố (dyamic). Một quá trình phân tích như thế hoàn

toàn có thể thực hiện được nhờ biến đổi wavelet rời rạc (discrere wavelet transform/

DWT).

Phân tích wavelet, các xấp xỉ và chi tiết

Với nhiều tín hiệu, nội dung tần số thấp là quan trọng nhất, nó xác định tín

hiệu. Nội dung tần số cao chỉ làm tăng thêm hương vị. Ví dụ như giọng nói người,

nếu tách bỏ phần cao tần, giọng có khác nhưng vẫn có thể hiểu được nội dung. Tuy

nhiên nếu loại bỏ tần số thấp đến một mức nào đó, sẽ không nghe rõ nữa. Còn đối

với ảnh ta quan tâm đến hai thuật ngữ là xấp xỉ là thành phần tỉ lệ cao tương ứng

thành phần tần số thấp của ảnh và chi tiết tương ứng thành phần tần số cao của ảnh,

tỉ lệ thấp. Với phân tích wavelet ta thu được hai thành phần tương ứng trên, cụ thể

việc thực hiện như sau :

Hình 3.8: Biến đổi wavelet rời rạc của tín hiệu

Tín hiệu

Xấp xỉ

Chi tiết

Trang 44

Do đó, việc tính toán biến đổi DWT thực chất là sự rời rạc hoá biến đổi

Wavelet liên tục (CWT); việc rời rạc hoá được thực hiện với sự lựa chọn các hệ số a

và b như sau:

a = 2m, b=2mn m, n ∈ Ζ (3.22)

Có thể hiểu phép biến đổi Wavelet rời rạc – DWT như là áp dụng một tập

các bộ lọc thông cao và thông thấp.

Hình 3.10 minh hoạ dạng tổng quát của biến đổi DWT một chiều. Theo đó

tín hiệu nguyên gốc được cho đi qua các bộ lọc thông cao H (highpass) và thông

thấp L (lowpass) rồi được lấy mẫu xuống hệ số 2 tạo thành biến đổi DWT mức 1.

Hình 3.9: Quá trình phân tích tín hiệu dùng biến đổi DWT một chiều

Từ biến đổi DWT một chiều có thể mở rộng định nghĩa biến đổi hai chiều

theo cách: sử dụng các bộ lọc riêng biệt, thực hiện biến đổi DWT một chiều đối với

dữ liệu vào (ảnh) theo hàng rồi kế tiếp thực hiện theo cột.

Sau khi thực hiện biến đổi DWT lần lượt như vậy ta sẽ tạo ra 4 nhóm hệ số

biến đổi. Quá trình biến đổi DWT hai chiều có thể minh hoạ như hình 3.11, trong

đó 4 nhóm hệ số là: LL, HL, LH, HH (chữ cái đầu tiên tương ứng là thực hiện lọc

theo hàng, chữ cái thứ hai tương ứng thực hiện lọc theo cột).

↓↓↓↓2

L (lọc thông thấp)

↓↓↓↓2

S (tín hiệu)

Xấp xỉ

Chi tiết

H (lọc thông cao)

Trang 45

Hình 3.10: Minh hoạ DWT hai chiều cho ảnh

3.4.4 Phân tích đa phân giải

Vào năm 1986, Stephane Mallat và Yves Meyer lần đầu tiên đặt ra ý tưởng

phân tích đa phân giải (MRA : multire solution analysis) [13,25,38], vào phạm vi

phân tích wavelets. Đây là một ý tưởng mới và đáng chú ý nhằm giải quyết hình

thức tổng quát trong việc xây dựng cơ sở trực giao của wavelets. Hơn nữa phân tích

đa phân giải là trung tâm của tất cả các phép xây dựng nên hàm cơ sở wavelets.

Khi nhìn bức ảnh, một cách tổng quát chúng ta thấy sự liên kết của những vùng

tương quan cấu trúc và mức độ xám mà kết hợp thành hình dạng đối tượng. Nếu đối

tượng nhỏ hoặc sự tương phản thấp thì thông thường chúng ta khảo sát chúng ở độ

phân giải cao. Nếu đối tượng có kích thước lớn hoặc có độ tương phản cao thì

chúng ta khảo sát chúng dưới tầm quan sát thô. Nếu cả đối tượng có kích thước vừa

và nhỏ - hoặc có độ tương phản cao và thấp, được biểu diễn cùng lúc thì ta phải

khảo sát chúng ở vài độ phân giải khác nhau.

Quá trình phân tích DWT được lặp lại, các xấp xỉ hoàn toàn được tách ra, do đó

một tín hiệu được phân tích thành nhiều thành phần phân giải khác nhau, tiến trình

được thực hiện theo hình 3.12.

ẢNH

L

DWT

DWT

Theo cột

Theo hàng

H

LL

LH

HL

HH

Trang 46

Hình 3.11: Phân tích tín hiệu đa mức

Về lý thuyết quá trình phân tích đa mức có thể lặp lại mãi mãi nhưng trong

thực tế, sự phân tích có thể chỉ thực hiện cho đến khi có được tín hiệu chi tiết phù

hợp với chất lượng của tín hiệu cần phân tích (tùy thuộc vào từng ứng dụng cụ thể).

Hình 3.13 mô tả phân tích 3 mức của tín hiệu hình ảnh.

Hình 3.12 : Minh hoạ DWT kiểu dyadic mức 3

ẢNH

LH

HH

LL

HL

Mức 1 Mức 2

Mức 3

LH

HH

HL

LLLL

LLHL

LLLH

LLHH

LH

HH

HL

LLHL

LLLH

LLHH

↓↓↓↓2

H

↓↓↓↓2

L

S ↓↓↓↓2

H

↓↓↓↓2

L

H

L

Trang 47

3.4.5 Tái tạo (tổng hợp) wavelet

Tín hiệu sau khi phân tích để ứng dụng vào từng mục đích riêng sau đó cần

được tổng hợp lại để có được tín hiệu gốc ban đầu mà không bị mất thông tin. Quá

trình này gọi là tổng hợp hay còn gọi là biến đổi wavelet nghịch (IDWT inverse

discrete wavelet transform).

Hình 3.13 : Quá trình phân tích và tổng hợp đa mức dùng DWT

3.4.6 Các bộ lọc tái tạo

Viêc lấy mẫu xuống trong quá trình phân tích tạo ra méo dạng gọi là alias, điều

này cho thấy cần chọn lựa các bộ lọc cho quá trình phân tích và tái tạo sao cho liên

quan gần giống nhau để loại bỏ hiệu ứng alias này. Các bộ lọc cần dùng này gọi là

bộ lọc gương cầu phương QMF (quadrature mirror filter).

Hình 3.15 mô tả bộ lọc hai kênh cho dãy mã hóa và giải mã một chiều

↓↓↓↓H

↓↓↓↓L

H

L

S

… …

H

L’

↑↑↑↑

↑↑↑↑

↑↑↑↑

↑↑↑↑H’

L’

S

phân tích tổng hợp

Trang 48

Hình 3.14: Bộ lọc hai kênh cho dãy mã hóa và giải mã một chiều

3.5. Ưu điểm của wavelets và ứng dụng

3.5.1 Ưu điểm của wavelets

Sự dịch chuyển thời gian – tần số là tuyến tính trong STFT, còn trong biến

đổi wavelets có sự thay đổi thang độ/ dịch thời gian tuyến tính của hàm ψ(t). Độ

phân giải thời gian và tần số trong STFT độc lập với tần số phân tích ω, còn trong

biến đổi wavelets độ phân giải thời gian tỷ lệ thuận với w, độ phân giải tần số tỷ lệ

nghịch với w.

Hàm cửa sổ w(t) của STFT là một hàm thông thấp còn hàm wavelet mẹ ψ(t)

là một hàm thông dải.

Theo nguyên lý bất định : không thể đạt được độ phân giải cao trong cả 2

miền thời gian và tần số. Đặc tính đáng chú ý của phép biến đổi wavelet là độ phân

giải thời gian tốt ở tần số cao, độ phân giải tần số tốt ở tần số thấp. Vì vậy thích hợp

với việc phân tích các tín hiệu gồm các thành phần tần số cao có thời gian tồn tại

ngắn và các thành phần tần số thấp có thời gian tồn tại dài.

Biến đổi wavelets cho phép làm nổi bật tính cục bộ của tín hiệu, biến đổi

Fourier chỉ có thể nhận biết tính đều đặn toàn cục của tín hiệu hoặc chỉ nhận biết

tính đều đặn trong cửa sổ nào đó (trong trường hợp phép biến đổi Fourier được cục

bộ hóa). Ngược lại, phép biến đổi Wavelet sẽ cách ly điểm gián đoạn này ra khỏi

Trang 49

phần còn lại của tín hiệu và đáp ứng của biến đổi Wavelet tại lân cận điểm gián

đoạn sẽ làm nổi bật điểm này.

3.5.2 Một số ứng dụng nổi bật của Wavelet

3.5.2.1 Nén tín hiệu

Do đặc điểm của mình, wavelet đặc biệt tốt khi sử dụng để nén hay phân

tích các tín hiệu không dừng, đặc biệt là tín hiệu ảnh số và các ứng dụng nén tiếng

nói, nén dữ liệu. Việc sử dụng các phép mã hoá băng con, băng lọc số nhiều nhịp và

biến đổi Wavelet rời rạc tương ứng với loại tín hiệu cần phân tích có thể mang lại

những hiệu quả rất rõ rệt trong nén tín hiệu. Do tính chất chỉ tồn tại trong các

khoảng thời gian rất ngắn (khi phân tích tín hiệu trong miền thời gian tần số) mà các

hệ số của biến đổi Wavelet có khả năng tập trung năng lượng rất tốt vào các hệ số

biến đổi. Các hệ số mang thông tin chi tiết của biến đổi Wavelet thường rất nhỏ và

có thể bỏ qua mà không ảnh hưởng tới việc mã hoá dữ liệu (trong phương pháp mã

hoá ảnh hay tiếng nói là những tín hiệu cho phép mã hoá có tổn thất thông tin).

3.5.2.2. Khử nhiễu

Tính chất của biến đổi Wavelet mà chúng ta đã xét tới trong phần ứng dụng

cho nén tín hiệu được mở rộng bởi Iain Johnstone và David Donohos trong các ứng

dụng khử nhiễu cho tín hiệu. Phương pháp khử nhiễu này được gọi là Wavelet

Shrinkage Denoising (WSD). Ý tưởng cơ bản của WSD dựa trên việc tín hiệu nhiễu

sẽ lộ rõ khi phân tích bằng biến đổi Wavelet ở các hệ số biến đổi bậc cao. Việc áp

dụng các ngưỡng loại bỏ tương ứng với các bậc cao hơn của hệ số Wavelet sẽ có thể

dễ dàng loại bỏ nhiễu trong tín hiệu.

3.5.2.3. Mã hoá nguồn và mã hoá kênh

Sở dĩ Wavelet được ứng dụng trong mã hoá nguồn và mã hoá kênh vì trong

mã hoá nguồn thì chúng ta cần khả năng nén với tỷ lệ nén cao còn trong mã hoá

kênh thì cần khả năng chống nhiễu tốt. Biến đổi Wavelet kết hợp với một số phương

Trang 50

pháp mã hoá như mã hoá Huffman hay mã hoá số học có thể thực hiện được cả hai

điều trên. Vì thế sự sử dụng biến đổi Wavelet trong mã hoá nguồn và mã hoá kênh

là rất thích hợp.

3.6 Giới thiệu một số họ wavelets

3.6.1 Biến đổi Wavelet Haar

Biến đổi Wavelet Haar là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổi

Wavelet. Hình vẽ 3.16 mô tả dạng hàm ψ (t) với biến đổi Haar. Do tính chất đơn

giản của biến đổi Haar mà nó được ứng dụng tương đối nhiều trong nén ảnh.

Hình 3.15. Hàm ψ(t)của biến đổi Haar

Haar wavelet có đặc tính :

Độ rộng xác định : 1

Độ dài bộ lọc : 2

Số moment bằng 0 đối với hàm wavelet : 1

3.6.2. Biến đổi Wavelet Daubechies

Giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớn

trong việc nghiên cứu phát triển phép biến đổi Wavelet. Biến đổi Daubechies là một

trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổi Wavelet, khám phá ra cái

gọi là Wavelet trực giao khoảng chặt- khiến cho phân tích wavelet rời rạc có giá trị

Trang 51

thực tế. Họ biến đổi này được ứng dụng hết sức rộng rãi, biến đổi Wavelet áp dụng

trong JPEG2000 [27] là một biến đổi trong họ biến đổi Wavelet Daubechies.

Tên gọi của họ Wavelet Daubechies được viết là dbN, với N là thứ tự và db là

tên họ wavelet.

Dưới đây là một số hàm ψ(t) của họ biến đổi Wavelet Daubechies:

Hình 3.16 Hàm ψ(t) của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 3, 4, 5

DbN có các đặc tính :

Độ rộng xác định : 2N - 1

Độ dài bộ lọc : 2N

Số moment bằng 0 đối với hàm wavelets : N

3.6.3. Biến đổi Wavelet Biorthogonal (song trực giao)

Họ các wavelet biểu thị thuộc tính của pha tuyến tính, cần cho tái tạo tín hiệu

và hình ảnh. Nhờ dùng hai wavelet, một cho phân tích (bên trái) và một cho tái tạo

(bên phải) thay vì chỉ dùng một cái, đã đạt được các đặc tính thú vị.

Daubechies 2 Daubechies 3 Daubechies 4 Daubechies 5

Trang 52

Hình 3.17 Một vài hàm ψ(t)của các cặp họ biến đổi Biorthogonal

Bior Nr, Nd có các đặc tính :

Độ rộng xác định : 2Nr + 1 cho tổng hợp và 2Nd + 1 cho phân tích

Độ dài bộ lọc : max(2Nr, 2Nd) + 2

Có tính đối xứng

Số moment bằng 0 đối với hàm wavelet : Nr – 1

3.6.4. Biến đổi Wavelet Coiflets

Xây dựng bởi I. Daubechies theo đề nghị của R. Coifman.

Hình 3.18 Hàm ψ(t) của họ biến đổi Coiflets

Độ rộng xác định : 6N - 1

Độ dài bộ lọc : 6N

Trang 53

Gần đối xứng

Số moment bằng 0 đối với hàm wavelets : 2N

Số moment bằng 0 đối với hàm tỷ lệ : 2N – 1

3.6.5. Biến đổi Wavelet Symlets

Symlets là wavelet gần đối xứng, được đề nghị bởi Daubechies là điều chỉnh

của họ db. Đặc tính của hai họ là tương tự.

Hình 3.19. Một vào hàm ψ(t) của họ biến đổi Symlets

3.6.6. Biến đổi Wavelet Morlet

Wavelet này có hàm mức, nhưng rõ ràng.

Hình 3.20: Hàm ψ(t) của biến đổi Morlet

Trang 54

3.6.7. Biến đổi Wavelet Mexican Hat

Wavelet này không có hàm mức và là dẫn xuất của một hàm mà tỷ lệ với

đạo hàm bậc hai của hàm mật độ xác suất Gauss.

Hình 3.21. Hàm ψ(t )của biến đổi Mexican Hat

3.6.8. Biến đổi Wavelet Meyer

Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến

đổi Wavelet. Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biến đổi

thông dụng, và là hàm mức xác định theo miền tần số. Biến đổi này có khả năng

phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar.

Dạng của hàm ψ(t ) với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:

Hình 3.22: Hàm ψ (t ) của biến đổi Meyer