Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
3-1
3. PROFILI U NESTLAČIVOM OPTJECANJU
3.1 Razvoj profila
Presjeka krila okomito na njegov raspon nazivamo profil. Razvoj profila može se pratiti
pomoću slike 1. Ako profil ploče iznenadno zauzeo mali napadni kut, pojavit će optjecanje
kao na slici 1-a. Zbog toga što je oblik strujanja skoro simetričan praktično nema sile uzgona.
Međutim zbog viskoziteta strujanje na izlazom rubu ne može nastaviti obilaziti oštri izlazni
rub da bi zrak išao u natrag.
Slika 3-1
U mjesto toga struja zraka se brzo dobije oblik kao na slici b tj. struja zraka na izlaznom rubu
je praktično tangencijalna s pločom. To je tzv. Kutta uvjet prema Njemačkom znanstveniku
W. M. Kutta koji je 1902 prvi postavio taj uvjet da bi teoretski izračunao silu uzgona jednog
3-2
profila. Na toj slici treba uočiti strujnicu koja djeli nailazeću struju zraka na zrak koji ide na
gornju stranu ploče od zraka koji ide na donju stranu ploče. Na kraju te strujnice, gdje ona
udara okomito na ploču, nalazi se zaustavna točka u blizini napadnog ruba. Zrak s gornje
strane te strujnice nije u stanju obići oštri napadni rub, te dolazi do odvajanja struje zraka s
gornje strane ploče. Pod utjecajem nailazeće struje zraka s gornje strane ploče dolazi do
povrata struje zraka na površinu ploče neposredno poslije obilaska napadnog ruba. Zbog ove
nesimetrične slike optjecanja u kojoj zrak s gornje strane ima dulji put dolazi do ubrzava
gibanje a s donje strane, gdje zrak ima kraći put ploče, dolazi do usporavanja gibanja.
Primjenom Bernulijeve jednadžbe znači da s gornje strane imamo pad tlaka, a s donje
povećanje tlaka. Ta razlika tlaka stvara silu uzgona.
Slika 3-2
3-3
Ako je napadni kut ploče veliki (npr. 015 ) odvojeno strujanje s gornje strane od
prednjeg ruba neće biti vraćeno na ploču kao na slici c. Kad se to dogodi neuredno
(nekontrolirano) optjecanje s gornje strane stvara povećanje tlaka, što izaziva pad sile uzgona.
aj slučaj nazivamo slom uzgona (stall).
Da bi poboljšali optjecanje i time omogućili veće napadne kutove prije sloma uzgona,
povije se prednji dio profila ploče kao na slici d. da bi bio bolje prilagođen nailazećoj struju
zraka. Taj oblik profila je sličan onome koji su primijenila Wright Brothers. Ovo rješenje, kao
što se moglo očekivati je dobro samo za mali interval napadnih kutova za koje je tangenta na
napadni rub profila u pravcu nailazeće struje. Međutim, ako podebljamo profil i zaoblimo ga
na prednjem rubu, profila se može koristiti za znatno veći interval napadnih kutova, a da se ne
pojavi odvajanje struje s gornje strane prednjeg ruba. Zakrivljenost profila i debljina profila
nisu elementi potrebni za stvaranje uzgona, već oni omogućuju uporabu danog krila u širem
intervalu napadnih kutova, a time i veći najveći uzgon prije pojave sloma uzgona.
I zakrivljeni i zaobljen profil konačne debljine ima svoj slom uzgona kao na slici f. Pri
nekom napadnom kutu dolazi ipak do odvajanja s gornje strane u blizini izlaznog ruba. S
povećanjem tog napadnog kuta točka odvajanja struje zraka pomjera se u naprijed. Gdje će se
vršiti to odvajanje od prednjeg ili zadnjeg ruba ovisi o Reynoldsovom broju i geometriji
profila. Jasno je da deblji profili sa zaobljenim prednjim rubom imaju odvajanje od prednjeg
ruba pri većim napadnim kutovima. Isto tako djeluje i povećanje Reynoldsovog borja.
Odvajanje od zaobljenog prednjeg ruba profila realne debljine stvara odvojeno
optjecanje na cijelom gornjem dijelu profila, dok je odvajanje na zadnjem dijelu profila
progresivno s povećanjem napadnog kuta i postupno dovodi do sloma uzgona. Pogledajmo
prvo sliku 3.6 koja daje rezultate ispitivanja promjene uzgona s povećanjem napadnog kuta
profila NACA 1408 za razne vrijednosti Reynoldsovog broja: 666 109,106,103 ⋅⋅⋅=Re .
Prvo uočimo da je za taj profil i za sve vrijednosti Reynoldsovog broja isto 0α i αlc . Razlika
je u slomu uzgona zbog različitih Reynoldsovih brojeva.
Za najmanju vrijednost Reynoldsovog broja 6103 ⋅=Re (točke označene ○), slom
uzgona se pojavljuje odjedanput kad napadni kut ima vrijednost 0max 12=α . To znači da je pri
tom Re
Za srednju vrijednost Reynoldsovog broja 6106 ⋅=Re (točke označene □), slom
uzgona se pojavljuje također odjedanput ali pri većoj vrijednosti napadnog kuta 0max 14=α .
3-4
lijevo desno
Slika 3-3
3.2 Optjecanje tankih profila pod malim napadnim kutom
U aerodinamici profila koristimo dva koordinatna sustava. Prvi ima ishodište na početku
tetive, os x u pravcu tetive, a z os okomito na gore (y os koju ne koristimo ide u pravcu
razmaha krila). Komponentu aerodinamičke sile u pravcu tetive nazivamo uzdužna sila i
označavamo je sa X, a komponentu okomitu na tetivu nazivamo normalna sila i označavamo
je sa Z. Drugi koordinatni sustav ima isto ishodište ali x os je u pravcu neporemećene brzine
optjecanja ∞V , a z os je okomita na nju isto na gore (y os oba koordinatna sustava je
zajednička i u pravcu raspona krila). Komponenta aerodinamičke sile duž neporemećene
brzine označava se sa D i naziva se otpor, a komponenta okomita na neporemećenu brzinu
označava se sa L i naziva se uzgon.
3-5
α
∞VX
D
Z
L
Fzz
x
x
c
Slika 3-4
3.2.1 Aerodinamički koeficijenti profila
Zamislimo jedno krilo beskonačnog raspona, a istog profila u svim presjecima krila. Takvo
krilo ima ravansko optjecanje tj u svim presjecima bit će slika optjecanja ista. Promatramo
jedan dio dy koji je isječen iz tog krila, ali se nalazi u prisustvu ostatka krila (slika 3-5).
dycdS ⋅= je projekcija površine tog djela krila na ravan krila. Na taj dio krila duljine dy
djeluje aerodunamička sila koja ima dvije komponente u ravni profila: uzgon dL okomito na
brzinu i otpor dD u pravcu brzine, te moment propinjanja dM u ravni profila. S obzirom da
smo pretpostavili da je optjecanje ravansko ta brzina u promatranom presjeku ista je kao i u
svakom drugom presjeku. Odnos sile uzgona na tom dijelu krila prema referentnoj sili
predstavlja koeficijent uzgona profila
dycVdLc
⋅⋅=
∞
2
2ρl ,
Isto tako je koeficijent otpora profila
dycVdDcd
⋅⋅=
∞
2
2ρ,
i koeficijent momenta propinjanja profila za neku točku profila (obično za točku na 41
tetive)
3-6
cdycVdMcm
⋅⋅⋅=
∞
2
2ρ.
1m
c
Slika 3-5 Dio jedinične duljine isječen iz beskonačnog krila
To znači da je otpor, uzgon i moment propinjanja po jedinici duljine u presjeku krila :
m
d
ccVdydM
ccVdydL
ccVdydD
22
2
2
2
2
2
∞
∞
∞
=
=
=
ρ
ρ
ρ
l
Uvedimo oznake
DdydD ′= L
dydL ′= M
dydM ′=
D′ i L′ imaju dimenzije sile po duljine (opterećenje) tj [ ]mN , dok M ′ ima dimenziju
momenta po duljini (to je dimenzija sile).
Ako je optjecanje ravansko a to znači isti profil i isti vektor neporemećene brzine po cijelom
razmahu krila, onda su otpor, uzgon i moment koji djeluje na dio krila raspona b
d
d
cbcVM
ccbVL
ccbVD
22
2
2
2
2
2
∞
∞
∞
=
=
=
ρ
ρ
ρ
l
3-7
Međutim ako profil ili vektor neporemećene brzine nisu isti onda moramo integrirati po
razmahu krila da bi dobili otpor, uzgon i moment koji djeluju na krilo.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∫
∫
∫
⋅=
⋅=
⋅=
∞
∞
∞
2
0
22
2
0
2
2
0
2
22
22
22
b
b
b
d
dyycycVM
dyycycVL
dyycycVD
l
l
ρ
ρ
ρ
Vidimo da su nam potrebni aerodinamički koeficijenti profila da bi smo odredili
aerodinamičke sile i moment koji djeluju na krilo.
3.2.2 Određivanje aerodinamičkih koeficijenata profila uzrokovanih talkom
Prema slici 3-6 bit će elementarna sila koje djeluju na element površine dyds ⋅ donjake
(indeks "d" od engleske riječi down) zbog tlaka
( ) dydzpdydzpdydspdDdydxpdydspdL
dddd
ddd
⋅−=⋅−⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=
δδ
sincos
ili
dzpDddxpLd
dd
dd
−=′⋅=′
a na element gornjake (indeks "u" od engleske riječi up)
( ) dydzpdydzpdydspdDdydxpdydspdL
uuuu
uuu
⋅=⋅−⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅−=⋅⋅⋅−=
δδ
sincos
dzpDddxpLd
dd
dd
−=′⋅=′
Isto tako elementarni moment zbog tlaka za ishodište
( )( )dzzdxxpDdzLdxMd
dzzdxxpDdzLdxMd
uuuu
dddd
+⋅−=′⋅+′⋅−=′+⋅=′⋅−′⋅=′
Na cijeli profil djelovat će sile
∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫
⋅−=⋅−⋅−=⋅−⋅=′+′=′
⋅=⋅+⋅=⋅−⋅=′++′=′
dzpdzpdzpdzpdzpDdDdD
dxpdxpdxpdxpdxpLdLdL
A
Bu
B
Ad
A
Bu
A
Bd
B
Au
B
Ad
A
Bu
B
Ad
B
Au
B
Ad
B
Au
B
Ad
3-8
Kako je rezultanta od elementarnih sila dsp∞ po zatvorenoj konturi profila jednaka nuli, bit
će
( )
( )
( ) ( )∫∫∫
+⋅−=′
⋅−=′
⋅−=′
∞
∞
∞
dzzdxxppM
dyppD
dxppL
sd Dd
Ld
∞V
⋅
δ
∞V
1⋅dspLd
sdDd
c
δ
1dsp
A
A
B
B
Slika 3-6. Elementarne sile na profilu jedinične širine
3-9
Da bi dobili koeficijente profila trebamo ove sile po duljini raspona (opterećenja) podijeliti sa
referentnim tlakom 2V 2ρ i sa tetivom profila c
( ) ∫∫∫ =−
=−⋅
=⋅
′= ∞
∞ xdCcxd
Vppdxpp
cVcVLc p
22
1
2
222 ρρρl
gdje je koeficijent tlaka
∞
∞−=
qppC p
a 2
21
∞∞∞ = Vq ρ je referentni tlak. Uočimo da je pC nad tlak u promatranoj točki
∞−=∆ ppp , podijeljen s referentnim tlakom, drugim riječima to je bezdimenzionalni prirast
tlaka u promatranoj točki.
Isto tako bit će bit:
( ) ∫∫ −=⋅−−=′
= ∞∞∞
zdCdzppcqcq
Dc pd1
i na analogni način dobivamo konačno i koeficijent momenta za točku na napadnom rubu.
( )∫ += zdzxdxCc pm .
Uočimo da su ovi integrali po konturi profila napisani u koordinatnom sustavu čija je x os u
pravcu neporemećene brzine. Međutim s obzirom da integral po zatvorenoj krivulji ne ovisi
od izbora koordinatnog sustava mogu se oni izračunati i uz pomoć kooridnatnog sustavu čija
je x os duž tetive. U svakom slučaju da bi izračunali aerodinamičke koeficijente na profilu
prouzrokovane tlakom potreban je koeficijent tlaka pC .
3.2.3 Izračunavanje aerodinamičkih koeficijenata profila uzrokovanih trenjem
Kao što smo odredili aerodinamičke koeficijente prouzrokovane tlakom na gornjaci i donjaci
tako isto određujemo i aerodinamičke koeficijente prouzrokovane trenjem zraka po gornjaci i
donjaci profila. Na elementarnoj površini dydsdS ⋅= postoji elementarna sila trenja
dSdF ⋅= τ u pravcu tangente, i u smjeru od brzine, gdje je τ tangencijalni napon zbog
trenja zrako po konturi profila. Sa slike 3-7 vidimo da element te sile ima komponente na
gornjaci :
dydxdydsdDdydzdydsdL
uuu
uuu
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=
τδττδτ
cossin
ili poslije dijeljenja sa dy
3-10
dxDddzLd
uu
uu
⋅=′⋅=′
ττ
a na donjaci:
dydxdydsdDdydzdydsdL
ddd
ddd
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=
τδττδτ
cossin
dxDddzLd
dd
dd
⋅=′⋅=′
ττ
sd Dd
αcosc
c
dL∞V
αsincDdsd
Ld
1dsd ⋅τ
∞V
δ
δ
1dsu ⋅τ
Slika 3-7
Elementarni moment oko ishodišta zbog trenja:
dddd
uuuu
dDzdLxdMdDzdLxdM⋅+⋅−=
⋅−⋅=
3-11
Na cijeli profil djelovat će sile po jedinici raspona
( )
( )∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
+=+=′+′=′
+=+=′+′=′
B
Aud
B
Au
B
Ad
B
Au
B
Adf
B
Aud
B
Au
B
Ad
B
Au
B
Adf
dxdxdxDdDdD
dzdzdzLdLdL
ττττ
ττττ
Odgovarajući koeficijenti trenja profila
( )
( )∫
∫
+=′
=
+=′
=
∞
∞
B
Aufdf
fdf
B
Afudf
ff
xdcccV
Dc
zdcccV
Lc
2
2
2
2
ρ
ρl
gdje odnos tangencijalnog napona na optjecanoj površini i referentnog tlaka
f2 c
2V
=∞ρ
τ
tz. lokalni koeficijent trenja.
Postoji i moment za vrh profila od sila trenja:
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅+⋅−+⋅−⋅=′+′=′B
Addd
B
Auuu
B
Ad
B
Auo dDzdLxdDzdLxMdMdM
Kao što vidimo da bi izračunali aerodinamičke koeficijente uslijed trenja treba nam lokalni
koeficijent trenja fc , ako što nam je trebao koeficijent tlaka pC da bi izračunali
aerodinamičke koeficijente uslijed tlaka.
3.2.4 Profil kao vrtložna površina
Slučaj tankih profila pod malim napadnim kutom može se teoretski analizirati. Tanak profil
možemo zamijeniti s njegovom srednjom linijom a da se njegove značajke ne razliku bitno od
profila male debljine. Neka je jednadžba te srednje linije ( )xzz = kao na slici 2-5. Na
elementu ds postavljamo elementarni vrtlog
dsd ⋅=Γ γ
takav da budu zadovoljeni rubni uvjeti (brzina tangentna na profil). Prema teoremu Kutta-
Joukowski na taj element profila ds djeluje elementarna sila uzgona
Γ=′ ∞∞ dVLd ρ
Poslije dijeljenje sa ds.1
γρ ∞∞=∆ Vp
3-12
dsΓd
z
x
Slika 3-8
gdje je ud ppp −=∆ razlika tlaka s donje i gornje strane profila na mjestu promatranog
elementa. Ta razlika tlaka može se prikazati i pomoću koeficijenta tlaka
( ) ( )2
2∞∞
∞∞ −=−−−=∆VCCppppp pupdud
ρ
Kombiniranjem ove jednadžbe i gornje dobivamo
∞
=−V
CC pupdγ2
U svakom slučaju vidimo da je funkcija ( )xγ pokazuje razliku tlaka (ili koeficijenta tlaka)
donjake i gornjake.
Na mjesto srednje linije, s kojom smo zamijenili profil (krilo beskonačnog raspona),
promatramo cilindričnu vrtložnu površinu. Elementarni vrtlozi su pravocrtne izvodnice, a
srednja linija profila je direktrisa te cilindrične površine kao na slici 9.
Vrtložna površina predstavlja površinu diskontinuiteta u strujnom polju, jer se i
normalna i tangencijalna komponenta brzine razlikuju s gornje i donje strane vrtložne
površine. U to ćemo se uvjeriti na slijedeći način. Zato što je optjecanje ravansko u točki
( )zxP , postoji potencijal od jedne vrtložne niti:
rndsd lπ
γφ2
=
3-13
x
y
z
A B
Slika 3-9
a ukupni je potencijal u točki P koji stvara vrtložna površina od točke A do točke B
( )∫=B
A
dsrnlγπ
φ21
Gradijent potencijala je
∫∫−
=∂∂
=∂∂ B
A
B
A
dsr
xdsxr
rx 2211
21 ξγ
πγ
πφ
A B
x
ξ
ds
P ( )zx,
( )ζξ ,r
x
z
Slika 3-10.
3-14
∫−
=∂∂ B
A
dsr
zz 22
1 ςγπ
φ
a inducirana brzina u pravcu nr bit će
φgradnVn ⋅=r
Da bi pojednostavili, pretpostavimo nezakrivljenu vrtložnu površinu AB. Zatim postavimo x
os koordinatnog sustava paralelno toj površini. Normalna komponenta brzine na vrtložnu
površinu AB bit će:
∫−
=∂∂
=⋅=B
A2n ds
rz
21
zgradnV ζγ
πφφr
Vidimo da pri prolazu točke P kroz vrtložnu površinu (ζ je konstatno, a z se smanjuje i kad
točka P prolazi kroz vrtložnu površinu ζ=z ) normalna komponenta brzine mijenja znak.
Tangencijalne komponente isto imaju diskontinuitet. Promatrajmo kao na slici 2-9
elementarni četverokut oko elemnta ds. Cirkulacija duž tog četverokuta mora biti jednaka
intenzitetu vrtložne niti, a to znači da je
z
x
Γdds
utv
dtvnv
nv
Slika 3-11
Γ=⋅+⋅+⋅+⋅rrrrrrrrr dndvsdvndvsdv ndtnut
Kao što smo rekli normalna komponenta brzine je po intenzitetu ista s gornje i donje strane
vrtložne površine, pa je skalarni produkt duž bočnih stranica četverokuta jednak nuli jer je do
vrtložne površine jednog znaka (prva polovina dn), a poslije (druga polovina dn) suprotnog,
dok je intenzitet isti. Tako dobivamo
dsdsvdsv dtut γ=−
γ=− dtut vv
3-15
Pretpostavimo da je element ds na izlaznom rubu profila C. Ako postoji gustoća vrtloga γ u
izlaznoj točki C onda na izlaznom rubu imamo dvije različite brzine s gornje i donje strane
ruba, jer je
dcucc vv −=γ
Kako je to nerealno, jedino je moguće rješenje, da na izlaznom rubu gustoća bude jednaka
nuli:
0=Cγ .
To je uvjet Kutta Žukovski.
3.2.5 Raspodjela cirkulacije po tetivi profila
Iskoristimo činjenicu da srednja linija nema veliku zakrivljenost pa vrtložne niti možemo
promatrati na tetivi (na x osi) kao na slici 2-9. To znači da je
( )xdxd γ=Γ
z
x
dxαΓd
Slika 3-12
a rubni je uvjet prema Kutta Žukovskom:
( ) 0=cγ .
Elementarni vrtlog Γd inducira na srednjoj liniji brzinu elementarnu induciranu brzinu koja je
okomita na poteg od vrtloga do promatrane točke P. Ta brzina ima dvije komponente: tdw
duž tangente i ndw okomitu na tangentu. Komponenta okomita na tangentu praktično je
jednaka induciranoj brzini na x osi
( )xddwdwn −
=≈ξ
ξξγπ21
3-16
Γd
z
x
ξd
ξ
x
dxdzarctgndw
dV
tdw
dw
Slika 3-13
Zato je ukupna komponenta duž normale od svih inducirana brzina jednaka integralu
( )∫ −
=c
dx
w02
1 ξξξγ
π
z
x
α
ξ
x
nV
Γd
∞V
nw
dxdzarctg
ξd
Slika 3-14
Iz rubnog uvjeta, ta brzina mora biti jednaka projekciji brzine optjecanja na normalu u točki P.
( )
−=
− ∞∫ dxdzarctgVd
x
c
αξξξγ
πsin
21
0
Već smo usvojili da je zakrivljenost mala što znači da je dxdz
dxdzarctg ≈ , a isto tako
promatramo i slučaj malih napadnih kutova, pa je sinus napadnog kuta jedank kutu u
radijanima. Tako dobivamo temeljnu jednadžbu tankih profila
( )
−=
− ∞∫ dxdzVd
x
c
αξξξγ
π 021
3-17
U ovoj jednadžbi je ( )xzdxdz ′= zadana funkcija, a traži se gustoća intenziteta elementarnih
vrtloga ( )ξγγ = .
3.2.6 Značajke simetričnog profila
Simetrični profili su nezakrivljeni 0=dxdz , jer je njihova srednja linija ujedno tetiva profila.
Temeljna jednadžba simetričnih profila ima jednostavan oblik:
( ) αξξξγ
π ∞=−∫ Vd
x
c
021 .
Rješava se uvođenjem Glauertove varijable (kao na slici 2-13)
( )ϕξ cos12
−=c
ϕϕξ dcd sin2
=
analogno tomu je
( )ϑcos12
−=cx
ϑξx
2c
ϕ
Slika 3-15
S tom smjenom temeljna jednadžba dobiva oblik
( ) αϕϑϕ
ϕϕγπ
π
∞=−∫ Vd
0 coscossin
21
3-18
Ne zaboravimo da je kut ϑ konstanta u procesu integracije po kutu ϕ . Rješenje ove
integralne jednadžbe jest
( )ϑϑαϑγ
sincos12 +
= ∞V
U prilogu 11.1 je dokazano ovo rješenje. Uočimo da je na početku profila, kada je 0=ϑ ,
gustoća vrtloga ∞=γ , a na kraju profila, kada je πϑ = , ova jednadžba daje neodređen
rezultat, pa je potrebno primijeniti L'Hospitalovo pravilo
( ) 0cossin2 =
−= ∞ π
παπγ V
Ovakva raspodjela vrtloga po tetivi profila daje nam informaciju i o raspodjeli razlike tlaka.
Kako je
∞
=−V
CC pupdγ2
bit će za gornju funkciju ( )ϑγ
ϑϑα
sincos14 +
=− pupd CC
Slika 3-16
Vratimo na mjesto Glauertove varijable ϑ koordinatu ( )ϑcos12
−=cx , dobit ćemo
xxCC updp
−⋅=−
14α
3-19
Na dijagramu slika 14 prikazana je razlika koeficijenta tlaka ovisno o relativnom udaljenju od
vrha profila. Vidimo da je razlika koeficijenta tlaka proporcionalna napadnom kutu, da je
njena najveća vrijednost na početku tetive, i da opada rapidno prema izlaznom rubu. Linearna
teorija ne daje dobre rezultate na početku profila, jer je na zaobljenju kut tangente vrlo veliki.
Ukupni vrtlog oko profila pri ovoj raspodjeli ( )xγ bit će
( ) απϑϑϑϑαγ
π
∞∞ =+
==Γ ∫∫ cVdcVdxxc
00
sinsin
cos12
2
U jednadžbu teoreme Kutta Žukovski za profil
Γ= ∞∞VF ρ
zamijenimo vrijednost za cirkulaciju silu uzgona pomoću aerodinamičkog koeficijenta, pa
ćemo dobiti:
απρρ∞∞∞
∞∞ = cVVccVl2
2
απ2=lc
Uočimo karakter ovog koeficijenta uzgona tankog simetričnog profila. On je proporcionalan
napadnom kutu, a koeficijent proporcionalnosti je π2
αmalo
lc
π2arctan α
Slika 3-17. ( )αlc tankog simetričnog profila pod malim napadnim kutom
3-20
Konačno smo u mogućnosti izračunati hvatište aerodinamičke sile na simetričnom profilu.
Kako je Γ= ∞dVdF ρ i Γ= ∞∞VF ρ , bit će
Γ
Γ==∫∫cc
pc
xd
F
xdFx 00
Integral u brojniku
( ) απϑϑαϑϑϑϑαϑ
ππ
∞∞∞ =⋅=+
⋅−=Γ ∫∫∫ VcdVcdcVcxdc
2
0
22
00 4sin
21sin
2sincos12cos1
2
Vrijednost u nazivniku je već poznata απ ∞=Γ cV pa je
4cxcp =
Zato što je ova točka hvatište sile uzgona, za nju je moment propinjanja jednak nuli.
Za tanke profile (debljine do %12 ) i za male napadne kutove ( 2.0<α ), ispitivanja u
tunela na simetričnim profilima u potpunosti potvrđuju ove rezultate da je gradijent πα
2=∂∂ lc
te da je koeficijent momenta propinjanja za jednu četvrtinu tetive jednak nuli 041 =mc .
3.2.7 Značajke nesimetričnog profila
Vidjeli smo da temeljna jednadžba koja određuje raspodjelu cirkulacije po tetivi za
nesimetrične profile ima oblik
( )
−=
− ∞∫ dxdzVd
x
c
αξξξγ
π 021
ili pomoću Glauertove varijable
( )
−=
− ∞∫ dxdzVd αϕ
ϑϕϕϕγ
π
π
0 coscossin
21
Uočimo da nam je funkcija dxdz zadana a da se traži funkcija ( )ϑγ . Rješenje ove jednadžbe
tražimo u obliku zbroja funkcija
( ) ( ) ( )ϑγϑγϑγ f+= 0
gdje su ( )ϑγ 0 i ( )ϑγ f rješenja jednadžbi:
( ) αϕϑϕϕϕγ
π
π
∞=−∫ Vd
0
0
coscossin
21
( )dxdzVdf
∞=−∫
π
ϕϑϕϕϕγ
π 0 coscossin
21
3-21
Rješenje prve jednadžbe znamo jer to je gustoća vrtloga po tetivi simetričnog profila.
( )ϑϑϑγ
sincos12 00
+= ∞ AV
Drugo, ne znamo ali pada u oči da ono ne ovisi o napadnom kutu, već samo o zakrivljenosti
profila. To drugo rješenje tražimo u obliku Fourierove serije.
∑∞
=∞=
1
sin2n
nf nAV ϑγ
Sve konstante određujemo za zbroj.
++
= ∑∞
=∞
10 sin
sincos12
nn nAAV ϑ
ϑϑγ
Ako je rješenje tog oblika onda ono mora zadovoljavati temeljnu jednadžbu. Iz tog uvjeta
određujemo nepoznate konstante.
−=
−
+
+∞
∞
=∞∫ ∑ dx
dzVdnAAVc
nn α
ϑϕϕϕϕ
ϕϕ
π 0 10 coscos
sinsinsin
cos1221
dxdzdnAdA c
nn
c
−=−
+−
+∫ ∑∫
∞
=
αϑϕ
ϕϕϕπ
ϕϑϕ
ϕπ 0 10
0
coscossinsin1
coscoscos1
dxdzdnAdA
n
nc
−=−⋅
+−
+ ∑ ∫∫∞
=
αϕϑϕϕϕ
πϕ
ϑϕϕ
π
π
1 00
0
coscossinsin
coscoscos1
dxdznAA
nn −=−∑
∞
=
αϑ1
0 cos
Zadanu funkciju dxdz moramo razviti u Fourierov red:
∑∞
=
+=1
0 cosn
n nBBdxdz ϑ
gdje su
∫
∫
=
=
π
π
ϑϑπ
ϑπ
0
00
cos2
1
dndxdzB
ddxdzB
n
Uočimo važnu značajku ovih Fourierovih koeficijenata. Oni ne ovise o brzini optjecanja ∞V
ni o napadnom kutom α . Tako se temeljna jednadžba svodi na oblik
∑∑∞
=
∞
=
−−=−1
01
0 coscosn
nn
n nBBnAA ϑαϑ
iz koje slijedi da su traženi koeficijenti rješenja:
3-22
nn BABA
=−= 00 α
Koeficijent 0A ovisi o napadnom kutu ali ne o brzini optjecanja, a koeficijenti nA ne ovise ni
o brzini optjecanja ni o napadnom kutu. Tako je konačno gustoća vrtloga na u funkciji
Glauertove varijable:
( )
++
−= ∑∞
=∞
10 sin
sincos12
nn nBBV ϑ
ϑϑαγ
Ukupni vrtlog koji je integral elementarnih vrtloga bit će ( ϑϑ dcdx sin2
= )
( )
++−=−==Γ ∑ ∫∫∫∫
∞
=∞
1 000
00
sinsincos1sin2 n
n
c
dnAdAcVdcdxπππ
ϑϑϑϑϑϑϑγγ
Kako je
≠
==∫10
12sinsin
0 n
ndnπ
ϑϑϑπ
bit će
( )
+−⋅−=
+−−=
+−=Γ ∞∞∞ 222
101010
BBcVBBcVAAcV αππαπππ
To znači da je
( )0ααπ −⋅−=Γ ∞cV
gdje je
21
00BB −=α
Na temelju ove vrijednosti za cirkulaciju oko profila bit će primjenom teoreme Kutta
Žukovski Γ−= ∞∞VL ρ
( )0
2
2ααπρρ
−⋅= ∞∞∞∞∞ cVVccV
l
( )02 ααπ −=lc
Uočimo iz ove jednadžbe fizičko značenje 0α . To je napadni kut pri kome je uzgon jednak
nuli. On je značajka profila i obično je negativan.
3-23
0α
π2arctanα
αmalo
lc
Slika 3-18 ( )αlc tankog nesimetričnog profila pod malim napadnim kutom
Znači zbog zakrivljenosti srednje linije tankog profila koeficijent uzgona πα 2=lc se nije
promijenio. Pojavilo se samo 00 <α , zbog koga se ( )αlc transliralo na gore, drugim riječima
imamo povećanje koeficijenta uzgona profila za 02 απ bez obzira na napadni kut.
z
x
x
Γ= ∞∞ dVdL ρ
L
lx
c
Slika 3-19
3-24
Aerodinamički moment za vrh profila (napadni rub, leading edge ) bit će
∫∫ Γ⋅=⋅= ∞∞
cc
e dVxdFxM00
ρl
a njegov koeficijent
∫∫
⋅=⋅
⋅=
∞∞∞
∞∞ c
c
em dxxcVccV
dxVxc
022
0 2
2
γρ
γρ
l
Kako je
( )
−
+−−=
−+−−=
−+−=
+
+⋅−−=
⋅=Γ
∞∞∞
∞
=∞∫ ∑
∫∫
242424
sin2
sinsin
cos12cos12
210
2210
2210
2
0 10
00
BBcVBBBcVAAAcV
dcnAAVc
dxxdx
nn
cc
ααπαππ
ϑϑϑϑϑϑ
γ
π
bit će
−
+−−=
−
+−−= ∞∞ 22242 21
021
02
2
BBBBcVcV
c em ααπααπl
Potražimo hvatište sile uzgona lx .
( )
−−
⋅+=−−
−
+−−=
Γ
Γ=
Γ
Γ==
∞
∞
∞∞
∞∞ ∫∫∫0
21
0
210
2
000
211
424
ααααπ
ααπ
ρ
ρBBc
cV
BBcVdx
V
dVx
L
xdLx
ccc
l
Vidimo da za razliku od simetričnih profila, kod nesimetričnih profila hvatište sile uzgona
ovisi o napadnom kutu (kreće se od ∞− do ∞+ ). To znači da hvatište sile uzgona profila
nije jedna određena točka koja bi mogla biti značajka profila. Zato se hvatište sile uzgona ne
upotrebljava u praksi. Namjesto njega koristi se aerodinamički centar.
Potražimo moment za točku koja se nalazi na prvoj četvrtini tetive.
∫∫ ∞∞⋅
−=⋅
−=
cc
dxVcxdFcxM00
41 44γρ
a koeficijent tog momenta je
3-25
( )
( )
( )21
021
0
021
02
2
02
02
02
0241
4
222
21
242
212
422
42
BB
BB
cVcV
BBcVcV
cVdx
cV
dccV
dxcV
dcxcV
c
c
ccc
m
−−=
−+
−
+−−=
−+
−
+−−=
Γ−Γ⋅=
Γ⋅−Γ⋅=Γ⋅
−=
∞∞
∞∞
∞∞
∞∞∞
∫
∫∫∫
π
ααπααπ
ααπααπ
Ta vrijednost koeficijenta momenta ne ovisi o napadnom kutu. Ona jedino ovisi o obliku
srednje linije profila (konstante 21 i BB predstavljaju oblik profila). Zato se točka na tetivi za
koju moment propinjanja ne ovisi o napadnom kutu uzima kao značajka profila i zove se
aerodinamički centar.
4cx ca =
Uočimo činjenicu da simetrični profili imaju moment propinjanja za jednu četvrtinu
tetive (gdje je hvatište uzgona) jednak nuli, pa je ta točka isto aerodinamički centar
simetričnih profila jer moment u njoj ne ovisi o napadnom kutu. Drugim riječima
aerodinamički centar je značajka za sve vrste profila, ali za simetrične to je ujedno hvatište
sile uzgona, dok se hvatište sile uzgona na nesimetričnim profilima pomjera ovisno o
napadnom kutu od ∞− do ∞+ .
3.2.8 Primjer
Zadana zakrivljena ploča kao na slici. Parametarske jednadžbe srednje crte
( )ϑcos12
−=cx
ϑ2sinfz =
Ovim parametarskim jednadžbama odgovara nagib tangente
ϑϑ
ϑϑ cos4sin
2
cossin2 fcf
dxdz
==
S ovom vrijednosti bit će koeficijenti Fourierovog reda
0sin4cos410
000 ==== ∫∫
πππ
ϑπ
ϑϑπ
ϑπ
fdfddxdzB
3-26
ffdfddxdzB 4
42sin
28cos8cos2
00
2
01 =+=== ∫∫
πππ ϑϑπ
ϑϑπ
ϑϑπ
03
sin16sin8
cossin16cos8
2coscos82cos2
0
3
0
0
2
0
002
=
−=
−=
==
∫∫
∫∫
ππ
ππ
ππ
ϑπ
ϑπ
ϑϑϑπ
ϑϑπ
ϑϑϑπ
ϑϑπ
ff
dfdf
dfddxdzB
što znači da taj profil ima pozitivan koeficijent uzgona kada je napadni kut jednak nuli.
04
22
11
00
====
=−=
BAfBA
BA αα
Prema dobivenim vrijednostima za Fourierove koeficijente bit će značajka profila
ffBB 22
402
100 −=−=−=α
pa je aerodinamički koeficijent uzgona profila
( )fc 22 += απl
( ) ( ) ffBBcm πππ−=−=−= 40
44 1241
3.3 Profili realne debljine
3.3.1 Jednadžbe za izračunavanje aerodinamičkih koeficijenata
Poremećaj koji stvara profil u struji zraka simuliramo rasporedom elementarnih vrtloga Γd
koji su raspoređeni po konturi profila. Gustoća vrtloga dsdΓ
=γ je promjenljiva od točke do
točke na konturi tako da budu zadovoljeni rubni uvjeti a to znači da brzina u beskonačnosti
ostane nepromijenjena, a da na konturi da bude tangencijalna.
Promatrajmo jedan elementarni vrtlog dsd γ=Γ . U točki P, čije su koordinate
( )pp zx , , taj elementarni vrtlog inducira brzinu inddV kao na slici 3-20:
dsr
dVindγ
π21
= ,
3-27
gdje je r udaljenost elementarnog vrtloga od točke P pp zx , .
x
z
dsd γ=Γ
r
P
inddV
du
dw
ϑ
ϑ
+
Slika 3-20
Ta elementarna inducirana brzina ima komponente dwdu i .
ϑϑ
cossin
ind
ind
dVdwdVdu
=−=
Njihovom integracijom po konturi, a to znači krivuljni integral po konturi, dobit ćemo pp wu i
komponente inducirane brzine u točki P od cijele konture profila.
∫∫
=
−=
dww
duu
p
p
Pri tome moramo vršiti integraciju po konturi tako da površina profila bude s lijeve strane
kretanja u smjeru kako je to pokazano na slici 3-20. Ukoliko vršimo integraciju u suprotnom
smjeru moramo promijeniti znak ispred integrala.
Kad smo izračunali komponente inducirane brzine u točki P onda su komponente
poremećene brzine u točki P
pz
px
wVVuVV
+=
+=
∞
∞
α
α
sincos
a kvadrat brzina u točki P je
3-28
222zxp VVV +=
Koeficijent tlaka u točki P određujemo prema Bernoullievoj jednadžbi
22
22p
p
VpVp ∞∞∞
∞ +=+ρρ
pa je iz nje
2
2
2 1
2∞∞∞
∞ −=−
=VV
Vpp
C ppp ρ
Da bi odredili aerodinamičke koeficijente realnog profila prema jednadžbama
∫= xdCc pl
∫−= ydCc pd
( )∫ += ydyxdxCc pm .
treba nam koeficijent tlaka u točkama P koje leže na profilu, a da bi njega izračunali treba
nam brzina optjecanja u točki P na konturi profila.
3.3.2 Numerčka metoda
Mi ćemo prikazati tzv. panelnu metodu. Kontura profila je podijeljena na "m" pravocrtne
segmente (slika 2). Jedan bilo koji segment označavamo indeksom "k". Točke na granicama
segmenta nazivamo čvorovi (bijele točke). Neka su u čvorovima gustoće vrtloga:
mkk γγγγγ KK ,,,, 121 +
Usvojit ćemo da se gustoća vrtloga duž segmenta "k" linearno mijenja od čvora do čvora:
( ) sS
sk
kkk
γγγγ −+= +1
∞V
α 2
k
kγ 1+kγ
1
m 1+mγ
1γ
2γ
Slika 3-21
3-29
3.3.3 Komponente inducirane brzine od jednog segmenta
Da bi jednostavnije izračunali komponente inducirane brzine od jednog segmenta postavljamo
nov koordinatni sustav s ishodištem na početku segmenta sa ξ osom od čvora k prema čvoru
k+1. Sa slike vidimo da su koordinate pp ηξ , točke P u kooordinatnom sustavu k-og segmenta
(slika 3-22)
−−
⋅
−
=
kp
kp
kk
kk
p
p
zzxx
δδδδ
ηξ
cossinsincos
Sa slike vidimo da su komponente elementarne inducirane brzine duž i okomito na segment
rdVdVdV
rdVdVdV
pindind
pindind
ςξϑ
ηϑ
η
ξ
−==
−=−=
cos
sin
x
z
dsd γ=Γ
kS
kδ
r
ϑ
P
inddV
ξ
η
k
1+k
ϑ
ϑ
ξdV
ηdV
Slika 3-22: k-ti segment, i P točka.
3-30
U tim jednadžbama je udaljenost točke P čije su koordinate pp ηξ , od elementarnog vrtloga
čije su koordinate 0,ξ
( ) 222ppr ηξξ +−=
a elementarna inducirana brzina
r2dsdVind πγ
=
S tim oznakama bit će komponente inducirane brzine od svih elementarnih vrtloga na k-tom
segmentu :
∫∫
∫∫−
=−
=
−=−=
kk
kk
S
02
pS
0ind
pk
S
02p
S
0ind
pk
dsr2
1dVr
V
dsr2
1dVr
V
γξξ
πξξ
γη
πη
η
ξ
ili
( )
( )∫
∫
−+
+−
−=
−+
+−−=
+
+
k
k
S
k
kkk
pp
pk
S
k
kkk
pp
pk
dS
V
dS
V
0
122
0
122
21
21
ξξγγγηξξ
ξξπ
ξξγγγηξξ
ηπ
η
ξ
Pogodno je raditi s veličinama bez dimenzija.
kSξξ =
kSηη =
∞
=VV
V kk
ξξ
∞
=VV
V kk
ηη
∞
=′Vπγγ
2
gdje je kS duljina segmenta. S tim veličinama bit će poremećaji brzine bez dimenzija od k-tog
segmenta
( ) ( )
( )( )( )
( )( ) 1
1
022
1
022
1
1
022
1
022
1
1
+
+
′⋅
+−
−+′⋅
+−
−−=
′⋅
+−−′⋅
+−
−−=
∫∫
∫∫
k
pp
pk
pp
pk
k
pp
pk
pp
pk
ddV
ddV
γξηξξ
ξξξγξ
ηξξ
ξξξ
γξηξξ
ξηγξηξξ
ξη
η
ξ
3-31
U tim jednadžbama u uglastim zagradama se nalaze integrali koji ovise isključivo od položaja
točke P u odnosu na segment tj od pp ηξ i i od duljine segmenta kS .
( )∫ +−
−=
1
0221
1 ξηξξ
ξη dIpp
ppk
( )∫+−
=1
0222 ξ
ηξξξη dI
pp
pkp
( )( )( )∫
+−
−−=
1
0223
1ξ
ηξξ
ξξξdI
pp
pkp
( )( )∫ +−
−=
1
0224 ξ
ηξξ
ξξξdI
pp
pkp
Drugim riječima ti integrali su funkcije geometrije i nemaju nikakve veze s optjecanjem, tj. ne
ovise o brzini ∞V i napadnom kutu α . Od tih veličine ovise intenziteti vrtloga u čvorovima.
Uz pomoć tih integrala možemo napisati bezdimenzionalne jednadžbe za komponente (bez
dimenzija) inducirane brzine u točki P od segmenta k.
( )143
121
+
+
′⋅+′⋅=
′⋅+′⋅−=
kkpkkpk
kkpkkpk
IIV
IIV
γγ
γγ
η
ξ
Ove komponente trebamo preračunati u koordinatni sustav profila yx, pomoću jednadžba
transformacije:
+−
=
⋅
−=
kkkk
kkkk
k
k
kk
kk
k
k
VVVV
VV
wu
δδδδ
δδδδ
ηξ
ηξ
η
ξ
cossinsincos
cossinsincos
3.3.4 Komponente ukupne inducirane brzine
S obzirom da vršimo numeričku integraciju krivuljnog integrala u negativnom pravcu
(koeficijent k raste u negativnom pravcu) bit će komponente inducirane brzine u točki P od
svih segmenata:
( )
( )∑∑
∑∑
==
==
+−=−=
−−=−=
m
kkkkk
m
kkp
m
kkkkk
m
kkp
VVww
VVuu
11
11
cossin
sincos
δδ
δδ
ηξ
ηξ
poslije dijeljenja s neporemećenom brzinom i zamjene ξkV i ηkV bit će komponente
inducirane brzine (bez dimenzija):
3-32
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑
∑
=++
=++
′⋅+′⋅−′⋅+′⋅=
′⋅+′⋅+′⋅+′⋅=
m
kkkkpkkpkkkpkkpp
m
kkkkpkkpkkkpkkpp
IIIIw
IIIIu
1143121
1143121
cossin
sincos
δγγδγγ
δγγδγγ
Grupirajmo koeficijente uz nepoznate gustoće vrtloga kγ i 1+kγ
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑
∑
=+
=+
′⋅−+′⋅−=
′⋅++′⋅+=
m
kkkkpkkpkkkpkkpp
m
kkkkpkkpkkkpkkpp
IIIIw
IIIIu
114231
114231
cossincossin
sincossincos
γδδγδδ
γδδγδδ
Konačno komponente brzine u točki P su zbroj komponenata brzine prije poremećaja
αα sin,cos ∞∞ VV i komponenata poremećaja brzine pp wu , .
ppz
ppx
wVVuVV
+=
+=
∞
∞
α
α
sin
cos
3.3.5 Rubni uvjeti
Kad se točka P nalazi na konturi profila, nazivamo je kontrolona točka. U kontrolnoj točki
brzina mora biti tangencijalna na konturu, drugim riječima normalna komponenta mora biti
jednaka nuli. Izaberimo m kontrolnih točaka (na sredinama svakog od m segmenata). U tim
kontrolnim točkama m normalnih komponenata brzine moraju biti jednake nuli.
0=⋅+⋅= zjzxjxn nVnVV
To su m jednadžba za određivanje gustoća vrtloga. Kontrolne točke označit ćemo indeksom j
što znači da je mj K,2,1= .
jδcos
jδsin
jδ
1+j
j
jC
jnr
jxV
jzV
Slika 3-23
3-33
U svakoj kontrolnoj točki jj zx , poznat je ort normale nr :
jzjx nn δδ cos,sin =−= ,
pa rubni uvjet u kontrolnoj točki ima oblik:
( ) ( ) 0cossinsincos =⋅++⋅+− ∞∞ jjjj wVuV δαδα
ili
( )αδδδ −=+− jjjjj wu sincossin .
Komponente poremećaja (bez dimenzija) u j-toj kontrolnoj točki dane su jednadžbama:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑
∑
=+
=+
′⋅−+′⋅−=
′⋅++′⋅+=
m
kkkjkkkjkkkjkkjj
m
kkkkjkkjkkkjkkjj
IIIIw
IIIIu
114231
114231
cossincossin
sincossincos
γδδγδδ
γδδγδδ
U ovim jednadžbama integrali jk4jk3jk2jk1 IIII i,, su četiri konstantne matrice, koje ovise
samo o obliku profila. Tako dobivamo u svakoj kontrolnoj točki ( mj K,2,1= ):
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )αδγδδγδδδ
γδδγδδδ
−=′⋅−+′⋅−+
+′⋅++′⋅+−
∑
∑
=+
=+
j
m
kkkkjkkjkkkjkkjj
m
kkkkjkkjkkkjkkjj
IIII
IIII
sincossincossincos
sincossincossin
114231
114231
Grupirajmo koeficijente uz nepoznate 1i +′′ kk γγ
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )j
m
1k1kkjkj4kjkj2
m
1kkkjkj3kjkj1 IIII
δα
γδδδδγδδδδ
−=
=′⋅−+−+′⋅−+− ∑∑=
+=
sin
cossincossin
Ako uvedemo matrice 2n1n i CC
( ) ( )( ) ( )kjkjkjkjjkn
kjkjkjkjjkn
IICIIC
δδδδ
δδδδ
−+−=
−+−=
cossin
cossin
422
311
Ove nove matrice također ovise samo od oblika profila jer se pored matrica
jk4jk3jk2jk1 IIII i,, pojavljuju još i razlike nagiba segmenata kj δδ − . Tako dobivamo u m
kontrolnim točkama jednadžbe za rubne uvjete :
( )j
m
kkjkn
m
kkjkn CC δαγγ −=′⋅+′⋅ ∑∑
=+
=
sin1
121
1 .
Tako smo dobili m jednadžba ( j od 1 do m) za m+1 nepoznatih gustoća.
3-34
3.3.6 Uvjet na izlaznom rubu
Počet ćemo brojati segmente od izlaznog ruba, pa je čvor na izlaznom rubu granica između
prvog segmenta ( 1=k ) i zadnjeg segmenta ( mk = ). Dok je u svim čvorovima krajnja
gustoća prethodnog segmenta jednaka početnoj gustoći slijedećeg segmenta u čvoru na
izlaznom rubu gustoća je zbroj gustoća na početku prvog segmenta i na kraju m-ot segmenta
1m1 ++= γγγ .
Međutim u tom čvoru brzina s gornjake i donjake profila su jednake pa prema jednadžbi
(poglavlje 2.3.3) da je
du vv −=γ
gustoća vrtloga na izlaznom rubu mora biti jednaka nuli., a to znači da je
011 =+ +mγγ
Pomoću ove jednadžbe eliminirat ćemo nepoznatu gustoću 1+mγ , pa nam ostaje m
nepoznatih gustoća mγγγ K,, 21 koje možemo odrediti iz m graničnih uvjeta.
3.3.7 Određivanje gustoća
Jednadžbe koje smo dobili u kontrolnim točkama
( ) j
m
kkjknkjkn BCC =′+′∑
=+
1121 γγ
gdje je
( )jj
kk
BV
δαπγγ
−=
=′∞
sin2
Članove u linearnim jednadžbama možemo grupirati kako slijedi:
( ) jmmjn
m
kkkjnjknjn BCCCC =′+′++′ +
=−∑ 12
2121111 γγγ
Kako je
11 γγ ′−=′ +m
bit će
( ) ( ) j
m
kkkjnjknjmnjn BCCCC =′++′− ∑
=−
21211211 γγ
Konačno smo dobili linearni sustav od m jednadžba sa m nepoznatih gustoća:
j
m
kkjkn BA =′∑
=1
γ .
3-35
za mi K,2,1=
Matrica nA ima prvi stupac jmnjnjn CCA 2111 −= , a od drugog do zadnjeg stupca
121 −+= kjnkjnjkn CCA
3.3.8 Brzina optjecanja
Potrebna nam je brzina optjecanje u kontrolnoj točki. Već smo vidjeli da je normalna
komponenta brzine optjecanja u kontrolnoj točki jednaka nuli (rubni uvjet) pa imamo samo
tangencijalnu komponentu
jjtjj tVVVrr⋅==
zjzxjxj tVtVV +=
Komponente su orta tangente jxt δcos= i jzt δsin= , a komponente brzine u kontrolnoj točki
su jjx uVV += ∞ αcos , jjz wVV += ∞ αsin pa dobivamo brzinu optjecanja u j kontrolnoj
točki:
( ) ( ) jjjjj wVuVV δαδα sinsincoscos ⋅++⋅+= ∞∞
jjjjjjj wVuVV δδαδδα sinsinsincoscoscos +++= ∞∞
( ) jjjjjj wuVV δδαδ sincoscos ++−= ∞
S obzirom da su komponente poremećaja u j-toj kontrolnoj točki :
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑
∑
=+
=+
′⋅−+′⋅−=
′⋅++′⋅+=
m
kkkjkkkjkkkjkkjj
m
kkkkjkkjkkkjkkjj
IIIIw
IIIIu
114231
114231
cossincossin
sincossincos
γδδγδδ
γδδγδδ
dobivamo brzinu optjecanja jV u svakoj kontrolnoj točki ( mj K,2,1= ):
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑
∑
=+
=+
′⋅−+′⋅−+
+′⋅++′⋅++−=
m
kkkkjkkjkkkjkkjj
m
kkkkjkkjkkkjkkjjjj
IIII
IIIIV
114231
114231
cossincossinsin
sincossincoscoscos
γδδγδδδ
γδδγδδδαδ
Grupirajmo koeficijente uz nepoznate gustoće vrtloga kγ ′
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]∑
∑
=+
=
′⋅−−++
+′⋅−−++−=
m
kkkjkjkjkjkjkj
k
m
kkjkjkjkjkjkjjj
II
IIV
1142
131
sincoscossinsinsincoscos
sincoscossinsinsincoscoscos
γδδδδδδδδ
γδδδδδδδδαδ
3-36
Kao što smo uveli koeficijente jknjkn CC 21 , za proračun normalne komponente brzine,
uvedimo sad analogno tome koeficijente za proračun tangencijalne komponente:
( ) ( )( ) ( )kjkjkjkjjkt
kjkjkjkjjkt
IICIIC
δδδδ
δδδδ
−−−=
−−−=
sincos
sincos
422
311
S tim koeficijentima bit će konačno brzina optjecanja u j-toj točki
( ) ∑∑=
+=
′⋅+′⋅+−=m
kkjktk
m
kjktjj CCV
112
11cos γγαδ
Kao i slučaju rubnih uvjeta gornju jednadžbu za brzinu optjecanja možemo napisati u
jednostavnom obliku ako uvedemo matricu tA . Prvi stupac te matrice je razlika prvog stupca
matrice 1tC i zadnjeg stupca matrice 2tC
jmtjtjt CCA 2111 −=
a svi slijedeći stupac je zbroj odgovarajućeg stupca matrice 1tC i prethodnog stupca matrice
2tC
121 −+= kjtjktkjt CCA
mk K,2=
S tom matricom je brzina optjecanja dana jednadžbom:
( ) ∑=
′−−=m
kkkjtjj AV
1
cos γαδ
Znak - ispred sume je zbog obrnutog smjera brojanja segmenata.
3.4 Optjecanje pod velikim napadnim kutom (slom uzgona)
Eksperimentalna ispitivanja potvrđuju da se lc mijenja linearno do neke vrijednosti napadnog
kuta α , a zatim kratko vrijeme nelinearno da bi za određeni napadni kut imali najveću
vrijednost koeficijenta uzgona maxlc . Tu vrijednost napadnog kuta pri kojoj imamo najveći
koeficijent uzgona označujemo sa maxα . Posle te vrijednosti koeficijent uzgona rapidno pada
kao na slici 3-24. Mi kažemo da tada nastupa slom uzgona (stall).
3-37
maxα
maxlc
0lc
0α
( )0arctan a
Slika 3-24
Do sad smo promatrali samo potencijalno idealno optjecanje. To znači da je zrak
promatran kao idealan plin, i da je granična strujnica kontura profila. Pri tome smo zanemarili
granični sloj. I ako je tanak on je prisutan između potencijalnog optjecanja i konture profila.
Za male napadne kutove i tanke profile ova pretpostavka je bila zadovoljavajuća. Međutim
kad promatramo veće napadne kutove utjecaj graničnog sloja se ne može zanemariti. Mora se
uzeti u obzir i strujanje u graničnom sloju između profila i potencijalnog optjecanja. Taj
utjecaj se prvenstveno ostvaruje preko debljine graničnog sloja. Drugim riječima potencijalno
strujanje ima rubni uvjet na graničnom sloju, a ne na konturi profila. Vanjsku konturu
graničnog sloja dobivamo kad konturi profila dodamo debljinu graničnog sloja. Zato je
potrebno odrediti debljinu graničnog sloja.
Debljina graničnog sloja ovisi o prvenstveno o brzini na rubu graničnog sloja i
potencijalnog optjecanja i od gradijenta tlaka duž graničnog sloja, a da odredimo te veličine
treba nam oblik granične strujnice. Da bi razriješili ovaj simultani problem radimo iterativno:
U prvoj iteraciji zanemarimo postojanje graničnog sloja, te izračunamo potencijalno
optjecanje oko profila. Zatim usvajamo da brzina optjecanja i tlak na konturi profila su isti na
vanjskoj granici graničnog sloja. To nam omogućuje da izračunamo debljinu graničnog sloja.
To znači da u analizi graničnog sloja pretpostavljamo da se tlak ne mijenja kroz granični sloj.
U drugoj iteraciji određujemo potencijalno optjecanje oko profila koji je zadebljan za
debljinu graničnog sloja. Ako je debljina graničnog sloja mala duž cijele konture jasno je da
3-38
je da će se brzina optjecanja i tlak malo ili vrlo malo promijeniti u odnosu na optjecanje
profila iz prve iteracije, kad smo zanemarili granični sloj. Međutim ukoliko je došlo do pojava
koje znatno mijenjaju oblik granične strujnice u odnosu na konturu profila kao što je pojava
odvajanja graničnog sloja od konture profila, koeficijent tlaka a i oblik krivulje po kojoj
računamo krivuljni integral se bitno razlikuje pa su aerodinamički koeficijenti znatno različiti,
lc
α
12 3
4
Slika 3-25
Na slici 3-25 prava 1 predstavlja analitičko rješenje ( )02c ααπ −=l kod koga je
πα
2c=
∂∂ l
Taj nagib imaju samo vrlo tanki profili pri malim vrijednostima napadnog kuta. Profili
normalne debljine imaju taj nagib manji
0ac=
∂∂αl
Tu vrijednost dobivamo numeričkom metodom (panelnom metodom) ( )00ac αα −=l pravac
2, ali već za malo veće napadne kutove dolazi do odvajanja mjerenih podatak od pravca. Ako
izračunamo debljinu graničnog sloja pa zatim podebljamo profil za debljinu graničnog sloja
pa za taj podebljani profil izračunamo silu uzgona i cio taj postupak ponovimo za nekoliko
napadnih kutova, nećemo više dobiti linearnu ovisnost za koeficijent uzgona ( )αlc već
krivulju 3. Tako dobivena ovisnost dobro prati izmjeni koeficijent uzgona profila sve do neke
srednje vrijednosti napadnog kuta kad opet dolazi do odvajanja izračunatog i izmjerenog
koeficijenta sile uzgona za isti napadni kut. Ako u proračun optjecanja profila uzmemo u
3-39
obzir i odvajanje graničnog sloja, dobivamo krivulju 4 koja u potpunosti prati izmjerenu
zavisnost koeficijenta uzgona
Što je veća sila uzgona veća je cirkulacija brzine oko profila Γ , a to znači da je brzina
s gornje strane profila sve veća. Međutim prema uvjetu Kutta-Žukovski na izlaznom rubu
brzina s gornjake i donjake moraju biti jednake i jednake vrijednosti malo manjoj od brzine u
beskonačnosti. To znači da na gornjaci brzina mora naglo opadati od maksimalne vrijednosti
do vrijednosti na izlaznom rubu. Zbog opadanja brzine stvara se gradijent tlaka koji je utoliko
veći ukoliko je veća maksimalna brzina tj. ukoliko je veća cirkulacija tj. ukoliko je veća sila
uzgona. Znači što je veća sila uzgona biće jači gradijent tlaka na gornjaci prema izlaznom
rubu. Baš taj gradijent tlaka je uzrok odvajanja graničnog sloja. Znači da bi dobili što veću
maksimalnu silu uzgona treba tako napraviti gornjaku tako da gradijent tlaka bude što veći, ali
da ni u jednoj točki gornjake ne pređe kritičnu vrijednost.
U poglavlju o graničnom sloju vidjet ćemo da na odvajanje veliku ulogu ima
Reynoldsov broj kao i oblik gornjake oko napadnog ruba. Zato veličine maxα maxlc ovisi
prvenstveno o obliku gornjake i Reynoldsovog broja.
Slika 3-26
Neki profili poslije maksimalnog uzgona postepeno gube uzgon, dok drugi naglo gube
uzgon i istodobno mijenjaju i moment propinjanja. Tako npr. debeli profili (>14%)
zaobljenog napadnog ruba, gube uzgon postupno. Njihov turbulentni dio graničnog sloja
povećava se s povećanjem napadnog kuta, a oko 010 počinje odvajanje graničnog sloja na
kraju gornjake. Točka odvajanja se pomjera u naprijed kako se povećava napadni kut, što ima
za posljedicu postepeno opadanje uzgona. U tim uvjetima postepeno se mijenja i moment
propinjanja.
3-40
Nasuprot tomu kod tankih profila (manje od 6%) pri vrlo malim napadnim kutovima
dolazi do odvajanja struje na napadnom rubu gornjake, ali se granični sloj vraća na gornjaku.
S povećanjem napadnog kuta taj povratak graničnog sloja na gornjaku se odvija sve dalje i
dalje da bi pri nekom napadnom kutu cijela gornjaka bila odvojena od graničnog sloja. I u tim
slučajevima pad uzgona je postupan, ali se pojavljuju velike promjene u momentu
propinjanja.
Profili srednje debljine imaju sličnu pojavu, ali se pri nekom napadnom kutu, granični
sloj više ne vraća na gornjaku, što ima za posljedicu nagli slom uzgona i nagle promjene
momenta propinjanja.