3 The Discrete-Time Fourier Analysis การวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา

EEET0485 Digital Signal Processing

Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

DSP3-1

3 The Discrete-Time

Fourier Analysisการวิ�เคราะห์ฟู�ร�เยรแบบไม่�ต่�อเนื่��องทางเวิลา

ผศ.ดร. พี�ระพีล ยุ�วภู�ษิ�ตานนท์�

ภูาคว�ชา ว�ศวกรรมอิ�เล�กท์รอิน�กส์�



DSP3-2

เป้�าห์ม่าย• นศ เร�ยุนร� �การแปลงฟู�ร�เยุร�แบบไม%ต%อิเน&'อิงท์าง

เวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกต%างก(บ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบท์ท์�' 5)

• นศ เร�ยุนร� �ท์ฤษิฎี�การส์�%มส์(ญญาณ• นศ ร� �จั(กความหมายุขอิงผลตอิบส์นอิงความถี่�'



DSP3-3

ท�าไม่จึ งต่!องแป้ลง DTFT ?

• เราท์ราบว%า อิงค�ประกอิบท์างการประส์านน(2น ซึ่4'งค&อิ หน%วงเวลา และการ ส์เกลค%า ซึ่4'งม�“ ” “ ”ประโยุชน�ในการว�เคราะห� ระบบส์6าหร(บส์(ญญาณอิ�นพี�ท์ หลากร�ปแบบ

• แต%เม&'อิระบบเป7น linear shift-invariant (LSI) เราส์ามารถี่จัะใช�การแปลงฟู�ร�เยุร�แบบไม%ต%อิเน&'อิงท์างเวลา (Discrete-time Fourier Transform; DTFT)เพื่��อท�าให์!การวิ�เคราะห์ง�ายขึ้ %นื่กวิ�า การท�าConvolution

• และผลจัากการแปลง DTFT ท์6าให�ท์ราบ ผลตอิบ“ส์นอิงความถี่�' ขอิงระบบ”



DSP3-4

The Discrete-Time Fourier Transform

• การแปลงฟู�ร�เยุร� แบบไม%ต%อิเน&'อิงท์างเวลา DTFT ขอิง x(n) ค&อิ( ) ( )j j n

n

X e x n e

= ควิาม่ถี่'�ดิ�จึ�ต่อลหน%วยุเป7น เรเดิ'ยนื่

ผลการแปลงในโดเมนความถี่�'ด�จั�ตอิลน�2 ส์ามารถี่แส์ดงในร�ป วงกลมหน4'งหน%วยุ



DSP3-5

แกนจัร�ง

แกนจั�นตภูาพี

เร��องขึ้องวิงกลม่ห์นื่ �งห์นื่�วิย (unit circle)

je

2. ความถี่�'ด�จั�ตอิลม�ค%าในช%วง 0

1. วงรอิบขอิงความถี่�'ม�ค%าซึ่62าท์�กๆ

2 เรเด�ยุน

เรเด�ยุน



DSP3-6

1.วิงรอบขึ้องควิาม่ถี่'�ม่'ค�าซ้ำ�%าท*กๆ เรเดิ'ยนื่

4

n=0,8,..

(2 ) 24 4

4

j jj

j

e e e

e

n=1,9,..

2

n=2,10,..



DSP3-7

2. ควิาม่ถี่'�ดิ�จึ�ต่อลม่'ค�าในื่ช่�วิง

7

4

7 7 7(2 ) (2 )

4 4 4 4

4 4

7cos( )

4 2 2

2

cos( )4

j n j n j n j n

j n j n

e e e en

e e

n

0

หาก เช%น( ) cos( )

2

j n j ne ex n n

จัะให�ผลล(พีธ์�ซึ่62าก(บค%าในช%วง ค&อิ0

4

ต(วอิยุ%าง



DSP3-8

Unit Step Function

• ยุ�น�ท์ส์เตปฟู:งก�ช(น1, 0

( )0, 0

nu n

n

n0

1



DSP3-9

ต่-วิอย�างการแป้ลง DTFT I

• จังหาการแปลง DTFT ขอิง x(n)=0.5nu(n) • ว�ธ์�ท์6า

0

0

( ) ( ) 0.5

1(0.5 )

1 0.5 0.5

j j n n j n

n n

jj n

j jn

X e x n e e

ee

e e

ผลรวิม่เรขึ้าคณิ�ต่แบบไม่�จึ�าก-ดิ (Infinite geometric sum):

0

1, 1

1n

n

a aa



DSP3-10

ต่-วิอย�างการแป้ลง DTFT II

• จังหาการแปลง DTFT ขอิง x(n)=0.5 เม&'อิ และเป7น 0 เม&'อิn เป7นค%าอิ&'นๆ

• ว�ธ์�ท์6า•

0 1n L

1 1

0 0

12

( ) ( ) 0.5 0.5

sin / 210.5 0.5

1 sin / 2

L Lj j n j n j n

n n n

j Lj L

j

X e x n e e e

Lee

e

ผลรวิม่เรขึ้าคณิ�ต่แบบจึ�าก-ดิ (Finite geometric sum): 1

0

, 1

1, 1

1

Ln L

n

L a

a aa

a



DSP3-11

MATLAB simulation

>>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points.>> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));

•หาก x(n) ม�ค%าไม%จั6าก(ด เราจัะใช� MATLAB หา DTFT ขอิง x(n) โดยุตรงไม%ได� •แต%เราจัะใช�ส์มการท์�'ได�จัาก •power series

exp_3_1.eps



DSP3-12

ต่-วิอย�างการแป้ลง DTFT II

• จังหาการแปลง DTFT ขอิง• ว�ธ์�ท์6า

•

( ) {1,2,3,4,5}x n

2 3

( ) ( )

2 3 4 5

j j n

n

j j j j

X e x n e

e e e e

ส์(งเกต เคร&'อิงหมายุ ว%า n=0 อิยุ�% ณ ต6าแหน%งขอิงค%า 2



DSP3-13

• หากอิ�นพี�ท์ม�จั6านวนจึ�าก-ดิ เราใช� MATLAB ค6านวณ DTFT ได�โดยุตรง

• การค6านวณ จัะกระท์6าในช%วง โดยุแบ%ง M+1 ค%า

( )jX e [0, ]

, 0,...,k k MM

0 M ช%วง



DSP3-14

>>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n)>> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 >> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vector

3( / )

1

( ) ( ) ,j j M kl

l

X e x l e

MATLAB code

•จัาก เราก6าหนดการหา ค%า n ในช%วง -1 ถี่4ง 3• เราหา DTFT ขอิง x(n) ได�จัาก

( ) {1,2,3,4,5}x n



DSP3-15

ผลต่อบสนื่องควิาม่ถี่'�ขึ้องระบบ

( )h n

การแปลงฟู�ร�เยุร�ท์�'ความถี่�'

• เม&'อิท์6าการประส์านจัะได�

0( ) j nx n e 0( ) j nh n e

0 0

0 0

0

0

( )( ) ( ) ( )

( )

( ( ))

j n j n k

k

j k j n

k

j n

y n h n e h k e

h k e e

F h n e

0



DSP3-16

เป้1นื่ผลต่อบสนื่องควิาม่ถี่'�ขึ้องระบบ h(n)

( )jH e 0( ) j nx n e

( ) ( )j j n

n

H e h n e

ใช�หาค%าขอิงเอิาท์�พี�ท์ y(n)

( )jH e

หร&อิเข�ยุนในร�ปโดเมนความถี่�' ( ) ( ) ( )j j jY e H e X e

0( ) ( ) j njy n H e e



DSP3-17

Frequency Response from Poles and Zeros

• ขนาดผลตอิบส์นอิงความถี่�'เป7น ขนาดจัากซึ่�โร% ไปยุ(งวงกลมหน4'งหน%วยุ หารด�วยุ ขนาดจัากโพีลไปยุ(งวงกลมหน4'งหน%วยุ ณ ความถี่�'หน4'ง 1 2

1 2

( )( )( )

( )( )

j j

j

j j

e z e zH e

e p e p

p 0

AB ขนาดท์�'

1

1( )jB

H eA

1



DSP3-18

Example for Frequency Response

AB AB A

B

B > A B = A B < A1( )jH e = มาก = กลางๆ = น�อิยุ

ส์มมต�ว%า โพีล = .8 ซึ่�โร% =0

ความถี่�'ต6'า ความถี่�'กลางๆ ความถี่�'ส์�ง

0 0 0

1( )jH e 1( )jH e



DSP3-19

Plot of Magnitude

( )jH e AB AB AB 0 0 0

ต6'า กลาง ส์�ง



DSP3-20

ต่-วิอย�าง• Example 4.4.1 หาผลล(พีท์�ขอิงระบบ

โดยุม�อิ�นพี�ท์เป7น ล6าด(บ exponential

• ท์�' ได�

• ด(งน(2น

1( ) ( )

2

n

h n u n

2( )n

jx n Ae

1

( ) ( )1

12

j j n

jn

H e h n ee

0 2

26.621 2

( )1 512

j jH e ej

26.626.6 22

2 2( )

5 5

nn jjjy n A e e Ae



DSP3-21

ห์าผลต่อบสนื่องขึ้อง h(n)

1( ) ( )

11

2

11 1

12 2

j j n

jn

j j

jj j

H e h n ee

e e

ee e

แส์ดงว%า zero ม�ต(วเด�ยุว ค&อิ z1=0Pole ม� p1=1/2



DSP3-22

การห์าผลต่อบสนื่องควิาม่ถี่'�จึากสม่การผลต่�าง

(Frequency Response from Difference Equations)• จัากส์มการผลต%าง

1 0

( ) ( ) ( )N M

l ml m

y n a y n l b x n m

ให� ( ) j nx n e ด(งน(2น ( ) ( )j j ny n H e e

( ) ( )

1 0

( ) ( )N M

j j n j j n l j n ml m

l m

H e e a H e e b e

ต(ด j ne

0

1

( )1

Mj m

mj m

Nj l

ll

b eH e

a e



DSP3-23

ต(วอิยุ%าง ม�ระบบ LSI ท์�'อิธ์�บายุได�ด�วยุ ส์มการผลต%าง ขอิงอิ�นพี�ท์และเอิาท์�พี�ท์

( ) 0.8 ( 1) ( )y n y n x n

จังหา ผลตอิบส์นอิงและส์(ญญาณ y(n) เม&'อิ อิ�นพี�ท์เป7น ( ) cos(0.05 ) ( )x n n u n

ว�ธ์�ท์6า ( 1)

( ) 0.8 ( 1) ( )

( ) 0.8 ( )

( ) 0.8 ( )

1( )

1 0.8

j j n j j n j n

j j n j j n j j n

jj

y n y n x n

H e e H e e e

H e e H e e e e

H ee

ผลตอิบส์นอิงความถี่�'



DSP3-24

ท์�' ( ) cos(0.05 ) ( )x n n u n

0 0.05

0.05 0.53770.05

1( ) 4.0928

1 0.8j j

jH e e

e

ด(งน(2น

จั4งได�จัากการแปลง เฟูส์เซึ่อิร�“ ”

( ) 4.0928cos(0.05 0.5377)

4.0928cos 0.05 ( 3.42)

y n n

n

ขนาด เฟูส์



DSP3-25

( )jH e ( )x n ( )y n

( ) cos(0.05 )x n n

1( ) ( )

1 0.8 jy n x n

e

ต%างเฟูส์ =3.42

ท์ดส์อิบ ค%า y(n) ท์�'ค6านวณ

4.092



DSP3-26

การส*�ม่ส-ญญาณิ (Sampling)

• ท์ฤษิฎี�การส์�%มกล%าวว%า ความถี่�'ขอิงส์(ญญาณส์�%ม“จัะต�อิงมากกว%า 2 เท์%าขอิง ความถี่�'ส์�งส์�ดขอิงส์(ญญาณ ( fmax)”

• หากความถี่�'ส์�%ม = fs

• ด(งน(2น

...ส์(ญญาณส์�%ม

1

s

Tf

max2sf f



DSP3-27

สเป้คต่ร-ม่ (Spectrum) และ ผลขึ้องการส*�ม่ส-ญญาณิ

• ส์เปคตร(มเป7นการแส์ดงค%าการกระจัายุขอิงส์(ญญาณในเช�งความถี่�'

• ผลขอิงการส์�%มท์6าให�เก�ด ส์เปคตร(มแบบเป7นคาบ (periodic)

ความถี่�'

ส์เปคตร(ม

sf0 =Nyquist Frequencyf

ความถี่�' fmax หร&อิ f0 เร�ยุกว%า ความถี่�'ไนคว�ส์ต� (Nyquist Frequency)ความถี่�'ส์�%มต6'าส์�ดท์�'จัะไม%เก�ด aliasing จัะเร�ยุกว%า อิ(ตราไนคว�ส์ต� (Nyquist rate)

= Nyquist rate



DSP3-28

อะไรค�อแอล�แอส (Aliasing) ?

• ค6าว%า alias หมายุถี่4ง ช&'อิปลอิม “ ”• การเก�ดแอิล�แอิส์ ในท์าง dsp ค&อิ การเก�ดการ“

ซึ่�อินท์(บขอิงส์เปคตร(ม ”• ส์าเหต�ค&อิ การท์�'ความถี่�'ส์�%มน�อิยุกว%าส์อิงเท์%าขอิง

ความถี่�'ไนคว�ส์ต� หร&อิ02sf f

sf0f

แอิล�แอิส์ ท์างแก�: 1 ใช� Anti-aliasing filter ซึ่4'งเป7น วงจัรกรอิงต6'าผ%าน (Low pass filter)2 ท์6า Oversampling



DSP3-29

ทฤษฎี'การส*�ม่และค�นื่ร�ป้ส-ญญาณิ (Sampling and

Reconstruction)

แปลงฟู�ร�เยุร�

( )ax t

( )aX j

0 0t

ผลตอิบส์นอิงขอิงส์(ญญาณต่�อเนื่��องท์างเวลา xa(t) ค&อิ ( )aX j

= ความถี่�'แอินาลอิก เป7น เรเดิ'ยนื่ต่�อวิ�นื่าท' ( )aX jหาได�จัากการแปลงฟู�ร�เยุร�ขอิง ( )ax t



DSP3-30

แปลงฟู�เร�ยุร�

( )x n

( )jX e

t 2 2

•ผลขอิงการส์�%ม ท์6าให�การแปลงฟู�ร�เยุร�เป7น รายุคาบ (periodic)

0T 0T•ส์(ญญาณส์�%ม ม�ความถี่�'= 1/T

T ความถี่�'แอินาลอิกก(บ ความถี่�'ด�จั�ตอิล ส์(มพี(นธ์�ก(นด(งน�2

ด�จั�ตอิล

แอินาลอิก



DSP3-31

ทฤษฎี'การส*�ม่

แปลง อิ�มพี(ลส์� เป7น ส์(ญญาณ DT

( )as t

( )ax t ( )sx t ( ) ( )ax n x nT

( ) ( )an

s t t nT

ส์(ญญาณส์�%ม:

ส์(ญญาณแอินะลอิกท์�'ถี่�กส์�%ม:( ) ( ) ( ) ( ) ( )s a a an

x t s t x t x nT t nT

ส์(ญญาณไม%ต%อิเน&'อิง (DT):( ) ( )ax n x nT



DSP3-32

การแปลงฟู�ร�เยุร�ส์6าหร(บส์(ญญาณแอินาลอิก xa(t)

เม&'อิ ค&อิ ความถี่�'แอินาลอิก หน%วยุเรเด�ยุนต%อิว�นาท์� (rad/sec)

( ) ( ) j ta aX j x t e dt

1( ) ( )

2j t

a ax t X j e d

ท์6าการส์�%ม ส์(ญญาณ แอินาลอิก ด�วยุ ความถี่�' T ว�นาท์�( ) ( )ax n x nT

และแปลงฟู�ร�เยุร� ก�ได�เป7น ส์(ญญาณไม%ต%อิเน&'อิงท์างเวลา ( )jX e

ทฤษฎี'การส*�ม่ (ต่�อ)



DSP3-33

( )jX e เป7น ผลรวมขอิง ท์�'ต%างความถี่�' ( )aX j

ส์มการแอิล�แอิส์ (aliasing formula)

( ) ( ) ( )j jn jna

n n

X e x n e x nT e

/

1 2( ) ( ) ( )j

s aTk

X e X j X j j kT T T

การแปลง DTFT ขอิง x(n) ได�เป7น

สม่การแอล�แอส (Aliasing formula)



DSP3-34

0

T

เม&'อิช%วงเวลาในการส์�%ม

( )x n

( )jX e

t 2 2

0 /T 0 /T

เม&'อิช%วงเวลาในการส์�%ม 0

T

( )x n

( )jX e

t 2 2

เก�ด แอิล�แอิส์และไม%ส์ามารถี่ค&นร�ปส์(ญญาณได�



DSP3-35

ความถี่�'ในการส์�%มส์(ญญาณ Hertz

แบนด�ว�ท์มากส์�ดขอิงส์(ญญาณ(ความถี่�'ไนคว�ส์ต�)

00 2f

1sf T

Hertz

แบนื่ดิวิ�ทขึ้องส-ญญาณิท'�ใช่!ไดิ! (ค�อไม่�เก�ดิแอล�แอส)

( )jX e

2 2

0f sf 02sf f

ส์(ญญาณส์�%มต�อิงม�ค%ามากกว%าแบนด�ว�ท์ 2 เท์%า



DSP3-36

ต(วอิยุ%าง

• ม�ส์(ญญาณ x(t) ถี่�กส์�%มท์�' fs = 1kHz โดยุ• จัากความถี่�'แอินาลอิกขอิง x(t) แปลงเป7น

ความถี่�'ด�จั�ตอิล

DSP chipTMS320

ต(วส์�%มส์(ญญาณ

fs = 1 kHzx(t) y(n)x(n)

( ) cos(2500 )x t t

32500 (10 ) 2.5T เรเด�ยุนต(ดให�อิยุ�%ในยุ%าน 0

0.5

1,250f Hz



DSP3-37

• ท์6าให�ได� ส์(ญญาณไม%ต%อิเน&'อิงท์างเวลา x(n) เป7น

• แต%เน&'อิงด�วยุความเป7น คาบ ท์�กๆ“ ”• ม�ส์(ญญาณความถี่�'แอินาลอิกท์�กๆ เท์%า

ขอิง ท์�'ให์!ส-ญญาณิแบบเดิ'ยวิก-บ x(n)

( ) cos(0.5 )x n n

2

31 1 1

32 2 2

33 3 3

( ) cos( ), 10 (0.5 ) 500

( ) cos( ), 10 (2 0.5 ) 2500

( ) cos( ), 10 (4 0.5 ) 4500

x t t

x t t

x t t

f1= 250 Hzf2= 1250 Hzf3 =2250 Hz

/T 2

และต%อิเน&'อิง ไปเร&'อิยุๆ



DSP3-38

fs = 1 kHz2250

Hz1250

Hz

250 Hz

dsp_3_7.jpg



DSP3-39

สเป้คต่ร-ม่ เม่��อควิาม่ถี่'�ส*�ม่ Fs= 1 KHz

Fs=1 KHzfs= 1kHz

250Hz 2250Hz1250Hz

จัะเก�ดความถี่�'เงาหร&อิแอิล�แอิส์ข42น ท์�' 250 และ 2250



DSP3-40

เม&'อิ fs มากข42นแต%ยุ(งน�อิยุกว%า 2 เท์%าขอิง 1250 Hz

• เม&'อิ fs =2 kHz จัะได�

31 1 1

32 2 2

33 3 3

( ) cos( ), 2*10 (0.25 ) 500

( ) cos( ), 2*10 (2 0.25 ) 4500

( ) cos( ), 2*10 (4 0.25 ) 8500

x t t

x t t

x t t

f1= 250 Hzf2= 2250 Hzf3 =4250 Hz

( ) cos(0.25 )x n n

•ม�ส์(ญญาณหลายุความถี่�'แอินาลอิกท์�'ให�ส์(ญญาณแบบเด�ยุวก(บ x(n)

ยุ(งคงเก�ด แอล�แอส



DSP3-41

fs=2 kHz4250

Hz2250

Hz

250 Hz

dsp_3_6.jpg



DSP3-42

สเป้คต่ร-ม่ เม่��อควิาม่ถี่'�ส*�ม่ Fs= 2 KHz

fs= 2kHz

fs ความถี่�'250Hz 2250Hz



DSP3-43

หาก fs = 2500 Hz (2 เท์%าขอิง 1250 Hz)

• น('นค&อิ fs = 2500 Hz จัะได�

• ได� ความถี่�'ท์�'ซึ่62าเป7นจั6านวนเท์%า ขอิง 1250 Hz

( ) cos( )x n n

31 1 1

32 2 2

33 3 3

( ) cos( ), 2.5*10 ( ) 2500

( ) cos( ), 2.5*10 (2 ) 7500

( ) cos( ), 2.5*10 (4 ) 12500

x t t

x t t

x t t

f1= 1250 Hzf2= 2500 Hzf3 =6250 Hz



DSP3-44

fs = 2500 Hz

6250Hz2500

Hz

1250 Hz

dsp_3_8.jpg



DSP3-45

ส์เปคตร(มท์�'ความถี่�'ส์�%มต%างๆ

fs

fs= 1kHz

fs= 2kHz

fs= 2.5kHzfs

fs



ความถี่�'1250Hz

250Hz

250Hz

2250Hz

x(t)

x(t)

x(t)2250Hz



DSP3-46

ต่-ดิส-ญญาณิ fs ดิ!วิย Low pass filter

fs= 2.5kHz

fs ความถี่�'1250Hz

x(t)

fs= 2.5kHz

fs ความถี่�'1250Hz

x(t)

ส์ามารถี่ค&นร�ปส์(ญญาณได�

Lowpass



DSP3-47

ใช�วงจัรกรอิงต6'าผ%านอิ�ดมคต�

การค&นร�ปส์(ญญาณ (Reconstruction)

( )jX e

2 2

( )jX e

2 2

กรอิงต6'าผ%าน



DSP3-48

( ) ( ) ( )

... ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) ...

sn

x t x n t nT

x t T x t x t T

จัากเร&'อิงการส์�%มเราได�

แปลงกล(บเป7นอิ�มพี(ลส์�

กรอิงต6'าผ%านอิ�ดมคต�

( )x n ( )sx t ( )ax t

ต(วแปลง D/Cอิ�ดมคต�

( )x n ( )ax t



DSP3-49

,( )

0,r

TTH j

T

ผลตอิบส์นอิงขอิงวงจัรกรอิงต6'าผ%านอิ�ดมคต�( )rH j

T

T

T

( )rH j ( )rh tแปลงผกผ(นฟู�เร�ยุร�sin( / )

( )/r

t Th t

t T

sinc( / )t T

,recon ( ) ( ) ( )

sin ( ) /( )

( ) /

a rn

n

x t x n h t nT

t nT Tx n

t nT T

การค&นร�ปส์(ญญาณ

ส์�ตรการท์6า Interpolation

sinc( / )t T



DSP3-50

แต%ละจั�ดขอิง x(n) ถี่�กค�ณด�วยุsinc function ท์�'ม�การเล&'อินต6าแหน%ง

dsp_3_1.jpg

dsp_3_2.jpg



DSP3-51

(0)sinc( / )x t T

(1)sinc(( - ) / )x t T T

(2)sinc(( - 2 ) / )x t T T

(3)sinc(( 3 ) / )x t T T

ผลการค�ณขอิงแต%ละต6าแหน%ง

dsp_3_4.jpg



DSP3-52

ผลรวมขอิงการท์6า interpolation ค&อิส์(ญญาณค&นร�ป

dsp_3_9.jpg



DSP3-53

สร*ป้• การแปลง DTFT ท์6าให� หาผลตอิบส์นอิงความถี่�'

ขอิงระบบได�• เราส์ามารถี่หาผลล(พีธ์�การประส์านได�จัากการท์6า

DTFT• การส์�%มส์(ญญาณท์6าให�เก�ดผลตอิบส์นอิงความถี่�'

เป7นรายุคาบ• ความถี่�'การส์�%มจัะต�อิงมากกว%า 2 เท์%า ขอิง ความถี่�'

แอินาลอิกส์�งส์�ด โดยุค&นร�ปส์(ญญาณได�โดยุการใช�วงจัรกรอิงต6'าผ%านก(บส์(ญญาณไม%ต%อิเน&'อิงท์างเวลา

Documents

3 The Discrete-Time Fourier Analysis การวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา