Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
3 The Discrete-Time
Fourier Analysisร ร ฟร ร ไ การวเคราะหฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา
ผศ.ดร. พระพล ยวภษตานนท
ภาควชา วศวกรรมอเลกทรอนกส
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-1
ปเปาหมาย
• นศ เรยนรการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (The Discrete-
Ti F i T f DTFT) (DTFT Di Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกตางกบ Discrete
Fourier Transform (DFT) ในบทท 5)
• นศ เรยนรทฤษฎการสมสญญาณ
• นศ รจกความหมายของผลตอบสนองความถ
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-2
ทาไมจงตองแปลง DTFT ?ทาไมจงตองแปลง DTFT ?
• เราทราบวา องคประกอบทางการประสานนน ซงคอ “หนวงเวลา” และการ “สเกลคา” ซงมประโยชนในการวเคราะห ระบบสาหรบสญญาณการ สเกลคา ซงมประโยชนในการวเคราะห ระบบสาหรบสญญาณอนพท หลากรปแบบ
• แตเมอระบบเปน linear shift-invariant (LSI) เราสามารถจะใชการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (Discrete-time Fourier (Transform; DTFT)เพอทาใหการวเคราะหงายขนกวา การทาConvolution Convolution
• และผลจากการแปลง DTFT ทาใหทราบ “ผลตอบสนองความถ ของระบบ”
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-3
Th Di Ti F i T fThe Discrete-Time Fourier Transform
• การแปลงฟรเยร แบบไมตอเนองทางเวลา DTFT ของ x(n) คอ∞
( ) ( )j j n
nX e x n eω ω
∞−
=−∞≡ ∑
n ∞
ω = ความถดจตอลหนวยเปน เรเดยน
ผลการแปลงในโดเมนความถดจตอลน สามารถแสดงในรป ผลการแปลงในโดเมนความถดจตอลน สามารถแสดงในรป
วงกลมหนงหนวย
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-4
เรองของวงกลมหนงหนวย ( i i l )เรองของวงกลมหนงหนวย (unit circle)
แกนจนตภาพje ω
je 1. วงรอบของความถมคาซาทกๆ
2แกนจรง
ω 2π เรเดยนแกนจรง
2. ความถดจตอลมคาในชวง 2. ความถดจตอลมคาในชวง
0 ω π≤ < เรเดยน0 ω π≤ < เรเดยน
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-5
1.วงรอบของความถมคาซาทกๆ 2 ๆเรเดยน
2π
2 10n=1,9,..
n=2,10,..
4π
n=0,8,..
(2 )j jπ π(2 ) 24 4j jje e e
π π− + −−= ×
4j
eπ
−=
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-6
e
2 ใ ช2. ความถดจตอลมคาในชวง ω π> 7πω =
0 ω π≤ <
หาก เชน ตวอยางω π>4
ω =หาก เชน
( ) cos( )j n j ne ex n nω ω
ω−+
= =จะใหผลลพธซากบคาในชวง
ตวอยาง
( ) cos( )2
x n nω= = คอ0 ω π≤ <
4πω =
7 7 7(2 ) (2 )4 4 4 47( )
j n j n j n j ne e e e
π π π ππ ππ
− − − −+ +
4
cos( )4 2 2
j j
n
π π
= =
4 4
2
j n j ne e−
+=
2
cos( )4
nπ=
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-74
U i S F iUnit Step Function
• ยนทสเตปฟงกชน1 0n ≥⎧1, 0
( )0, 0
nu n
n≥⎧
= ⎨ <⎩⎩11
nn00
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-8
ตวอยางการแปลง DTFT Iตวอยางการแปลง DTFT I
• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n)
• วธทา( ) ( ) 0.5j j n n j nX e x n e eω ω ω
∞ ∞− −= =∑ ∑
0
1(0 5 )
n nj
j n e ωω
=−∞ =
∞−∑
0(0.5 )
1 0.5 0.5j n
j jn
ee e
ωω ω−
== = =
− −∑
ผลรวมเรขาคณตแบบไมจากด (Infinite geometric sum):1 1n
∞
∑0
, 11
n
na a
a== <
−∑
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-9
ตวอยางการแปลง DTFT IIตวอยางการแปลง DTFT II
• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมอ และเปน 0 เมอn
ป
0 1n L≤ ≤ −เปนคาอนๆ
• วธทา
1 1
( ) ( ) 0.5 0.5L L
j j n j n j nX e x n e e eω ω ω ω∞ − −
− − −= = =∑ ∑ ∑วธทา
• ( ) ( )0 0
12
sin / 210 5 0 5
n n n
j L j L Le eωω ω
=−∞ = =
− − −−= =
( )20.5 0.5
1 sin / 2j ee ω ω−= =
−ผลรวมเรขาคณตแบบจากด (Finite geometric sum):ผลรวมเรขาคณตแบบจากด (Finite geometric sum):
1, 1
Ln L
L a−
=⎧⎪⎨∑
01 , 11
n L
na a a
a=
⎪= ⎨ −≠⎪ −⎩
∑
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-10
MATLAB i l iMATLAB simulation
1.5
2Magnitude Part
tude 1.5
2Real Part
al
•หาก x(n) มคาไมจากด เราจะใช
0 0.5 10.5
1
1.5
Mag
nitu
d
0 0.5 10.5
1
1.5
Rea
l MATLAB หา DTFT ของ x(n)
โดยตรงไมได 0 0.5 10.5
frequency in pi units
−0.5
0Angle Part
ians
0 0.5 10.5
frequency in pi units
−0.5
0Imaginary Part
inar
y
โดยตรงไมได
•แตเราจะใชสมการทไดจาก
0 0.5 1−1
−0.5
frequency in pi units
Rad
ia
0 0.5 1−1
−0.5
frequency in pi units
Imag
in
•power series 0 0.5 1frequency in pi units
0 0.5 1frequency in pi units
>>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points.
exp_3_1.eps
[ ] p ; [ , p ] p
>> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-11
ตวอยางการแปลง DTFT IIตวอยางการแปลง DTFT II
• จงหาการแปลง DTFT ของ ( ) {1,2,3,4,5}x n↑
=
• วธทา
( ) ( )j j nω ω∞
∑•
( ) ( )j j n
nX e x n eω ω−
=−∞= ∑
2 32 3 4 5j j j je e e eω ω ω ω− − −= + + + +
สงเกต เครองหมาย วา n=0 อย ณ ตาแหนงของคา 2↑
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-12
หากอนพทมจานวนจากด เราใช MATLAB คานวณ DTFT • หากอนพทมจานวนจากด เราใช MATLAB คานวณ DTFT
ไดโดยตรง
• การคานวณ จะกระทาในชวง ( )jX e ω [0, ]πโดยแบง M+1 คา
, 0,...,k k MMπω ≡ =M
π0 M ชวงω
πM ชวง
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-13
•จาก เรากาหนดการหา คา n ในชวง -1 ถง 3( ) {1,2,3,4,5}x n↑
=
10
15Magnitude Part
de 10
20Real Part
l
จาก เรากาหนดการหา คา n ในชวง 1 ถง 3
•เราหา DTFT ของ x(n) ไดจาก
( ) { , , , , }↑
5
10
Mag
nitu
de
0
10
Rea
l
3ω
0 0.5 10
frequency in pi units
M
5Angle Part
0 0.5 1−10
frequency in pi units5
Imaginary Part
y
3( / )
1( ) ( ) ,j j M kl
lX e x l eω π−
=−= ∑
0
Rad
ians
−5
0
Imag
inar
y
1l=
0 0.5 1−5
frequency in pi units
R
0 0.5 1−10
−5
frequency in pi units
Im
MATLAB code
>>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n)
( / )* %>> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501
>> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vectorEEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-14
X x (exp( j pi/500)) . (n k); % DTFT using matrix vector
ผลตอบสนองความถของระบบ
( )h( ) j nω ( )h n0( ) j nx n e ω= 0( ) j nh n e ω∗
•เมอทาการประสานจะได
0 0 ( )( ) ( ) ( )j n j n k
ky n h n e h k eω ω
∞−
=−∞= ∗ = ∑
0 0( )
k
j k j nh k e eω ω
= ∞
∞−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
0
( )
( ( ))k
j nF h n e ω
=−∞⎢ ⎥⎣ ⎦=
∑
การแปลงฟรเยรทความถ0( ( ))F h n e
ω ω==
0ωEEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-15
0
ป ล ส h(n)( )jH ω เปนผลตอบสนองความถของระบบ h(n)( )jH e ω
( ) ( )j j n
nH e h n eω ω
∞−
∞= ∑
n=−∞
ใชหาคาของเอาทพท y(n)
j( ) j nω
ใชหาคาของเอาทพท y(n)
( )jH e ω0( ) j nx n e ω=
0( ) ( ) j njy n H e e ωω=
หรอเขยนในรปโดเมนความถ
( ) ( ) ( )j j jY e H e X eω ω ω=
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-16
Frequency Response from Poles and q y pZeros
• ขนาดผลตอบสนองความถเปน ขนาดจากซโร ไปยงวงกลมหนงหนวย
โ ไป หารดวย ขนาดจากโพลไปยงวงกลมหนงหนวย ณ ความถหนง
1 2( )( )j jj
e z e zω ω− −1 2
1 2
( )( )( )
( )( )j
j jH e
e p e pω
ω ω=
− −1ω =
AABB ขนาดท 1ω =
π 01( )j BH e =( )H e
A=
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-17
E l f F RExample for Frequency Response
สมมตวา โพล สมมตวา โพล = .= .8 8 ซโร ซโร ==0 0
ความถตาความถตา ความถกลางๆความถกลางๆ ความถสงความถสง
AABB AABB AABBBBπ 0 π 0 π 0
BB >> AA BB == AA BB << AABB > > AA BB AA B B < < AA1( )jH e ω = = มาก มาก = = กลางๆ กลางๆ = = นอย นอย 1( )jH e ω 1( )jH e ω
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-18
ๆๆ
Pl f M i dPlot of Magnitude
AABB AABB AA( )jH e ω
AABB AABB AABBπ 0 π 0 π 0
ตา กลาง สง
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-19
ตวอยาง
• Example 4.4.1 หาผลลพทของระบบ โดยมอนพท
ป i l
1( ) ( )2
n
h n u n⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠njπ
เปน ลาดบ exponential 2( )j
x n Ae=1( ) ( )j j nH e h n eω ω
∞−= =∑( ) ( ) 11
2jn
H e h n ee ω−=−∞ −
∑
• ท ได0 2πω = 26.62 1 2( ) 1 5
j jH e eπ
−= =
• ดงนน
1 512
j+
nπ⎛ ⎞⎛ ⎞• ดงนน 26.626.6 222 2( )
5 5
nn jjjy n A e e Aeππ ⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠EEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-20
5 5⎝ ⎠
หาผลตอบสนองของ h( )หาผลตอบสนองของ h(n)
1∞ 1( ) ( ) 11
j j n
jnH e h n e
e
ω ω
ω
∞−
−=−∞
= =−
∑1
21 j j
e
e eω ω
1 112 2
jj jee e
ωω ω−
= =− −
2 2
แสดงวา zero มตวเดยว คอ z1=0
Pole ม p1=1/2
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-21
การหาผลตอบสนองความถจากสมการผลตาง (F R f Diff(Frequency Response from Difference
Equations)Equations)• จากสมการผลตาง ( ) ( ) ( )
N M
l my n a y n l b x n m+ − = −∑ ∑1 0
l ml m= =∑ ∑
ให ( ) j nx n e ω= ดงนน ( ) ( )j j ny n H e eω ω=( ) ( ) ( )y
( ) ( )( ) ( )N M
j j n j j n l j n mH e e a H e e b eω ω ω ω ω− −+ =∑ ∑1 0
( ) ( )l ml m
H e e a H e e b e= =
+ =∑ ∑ตด j ne ω
M
0( )
Mj m
mj m
b eH e
ω
ω
−
==∑
( )1
Nj l
l
H ea e ω−
=+ ∑
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-221l=
ตวอยาง ตวอยาง มระบบ LSI ทอธบายไดดวย สมการผลตาง ของอนพทและเอาทพท
( ) 0.8 ( 1) ( )y n y n x n= − +
จงหา ผลตอบสนองและสญญาณ y(n) เมอ อนพทเปน จงหา ผลตอบสนองและสญญาณ y(n) เมอ อนพทเปน
( ) cos(0 05 ) ( )x n n u nπ=( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=วธทา ( ) 0.8 ( 1) ( )y n y n x n− − =
( 1)
( ) ( ) ( )( ) 0.8 ( )j j n j j n j n
y yH e e H e e eω ω ω ω ω−− =
( ) 0.8 ( )j j n j j n j j nH e e H e e e eω ω ω ω ω ω−− =1( )
1 0 8j
jH ee
ωω−= ⇐
−ผลตอบสนองความถ
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-23
1 0.8e−
ท ( ) cos(0 05 ) ( )x n n u nπ=ท ( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=
0 05ω π0 0.05ω π=ดงนน
0.05 0.53771( ) 4 0928j jH e eπ −= =0.05( ) 4.09281 0.8 jH e e
e π−= =−
ไ ป ฟ จงไดจากการแปลง “เฟสเซอร”
( ) 4 0928cos(0 05 0 5377)y n nπ= −
[ ]( ) 4.0928cos(0.05 0.5377)
4.0928cos 0.05 ( 3.42)y n n
nππ
=
= −[ ]4.0928cos 0.05 ( 3.42)nπขนาด เฟส
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-24
ทดสอบ คา y(n) ทคานวณ
( )jH e ω( )x n ( )y n
Input sequence
( )H e( ) ( )y
1
n)
Input sequence
−1
0x(n)
( ) cos(0.05 )x n nπ=0 20 40 60 80 100
−1
n5
Output sequence
4.092
0y(n)1( ) ( )y n x n⎛ ⎞= ⎜ ⎟
4.092
0 20 40 60 80 100−5
n
( ) ( )1 0.8 jy n x n
e ω−⎜ ⎟−⎝ ⎠ตางเฟส 3 42
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-25
nตางเฟส =3.42
การสมสญญาณ (S li )การสมสญญาณ (Sampling)
• ทฤษฎการสมกลาววา “ความถของสญญาณสมจะตองมากกวา 2 เทาของ
( f )”ความถสงสดของสญญาณ ( fmax)”
• หากความถสม = fs หากความถสม fs
สญญาณสม
...1T
• ดงนน
s
Tf
=
2f f>• ดงนน max2sf f>
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-26
สเปคตรม (Spectrum) และ ผลของการสม( p ) สญญาณ
• สเปคตรมเปนการแสดงคาการกระจายของสญญาณในเชงความถ
• ผลของการสมทาใหเกด สเปคตรมแบบเปนคาบ (periodic)
ความถ f หรอ f เรยกวา ความถไนควสต (Nyquist Frequency)ความถ fmax หรอ f0 เรยกวา ความถไนควสต (Nyquist Frequency)
ความถสมตาสดทจะไมเกด aliasing จะเรยกวา อตราไนควสต สเปคตรม(Nyquist rate)
ความถ
f=Nyquist Frequencyf = Nyquist rateEEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-27
sf0 =Nyquist Frequencyf Nyquist rate
อะไรคอแอลแอส (Ali i ) ?อะไรคอแอลแอส (Aliasing) ?
• คาวา alias หมายถง “ชอปลอม”
• การเกดแอลแอส ในทาง dsp คอ “การเกดการซอนทบของสเปคตรม”
• สาเหตคอ การทความถสมนอยกวาสองเทาของความถไนควสต หรอ• สาเหตคอ การทความถสมนอยกวาสองเทาของความถไนควสต หรอ
02sf f< 0sf f
แอลแอส ทางแก: แอลแอส ทางแก:
1 ใช Anti-aliasing filter ซงเปน
(L filt )
sff
วงจรกรองตาผาน (Low pass filter)
2 ทา Oversampling
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-28
sf0f
ทฤษฎการสมและคนรปสญญาณ ฤ ฎ ญญ(Sampling and Reconstruction)
ผลตอบสนองของสญญาณตอเนองทางเวลา xa(t) คอ ( )aX jΩΩ = ความถแอนาลอก เปน เรเดยนตอวนาท
( )X jΩ ไ ป ฟ ( )t
( )x t ( )aX jΩ( )aX jΩ หาไดจากการแปลงฟรเยรของ ( )ax t
แปลงฟรเยร
( )ax t ( )a j
แปลงฟรเยร
−Ω Ω0−Ω 0Ωt
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-29
ความถแอนาลอกกบ ความถดจตอล สมพนธกนดงน
Tω = Ωความถแอนาลอกกบ ความถดจตอล สมพนธกนดงน
•ผลของการสม ทาใหการแปลงฟรเยรเปน รายคาบ (periodic)
ดจตอล แอนาลอก
( )x n ( )jX e ω
แปลงฟเรยร
( )
ω− ωt ππ−2π− 2π•สญญาณสม มความถ= 1/T
0T−Ω0TΩ•สญญาณสม มความถ= 1/T
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-30
สทฤษฎการสม( )as t( )a
( ) ( )Tแปลง อมพลส
เปน สญญาณ DT( )ax t ( )sx t ( ) ( )ax n x nT=
ญญ
( ) ( )Tδ∞
∑ ( ) ( )an
s t t nTδ=−∞
= −∑สญญาณสม:
สญญาณแอนะลอกทถกสม: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s a a an
x t s t x t x nT t nTδ∞
=−∞= = −∑
สญญาณไมตอเนอง (DT): ( ) ( )ax n x nT=
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-31
ทฤษฎการสม (ตอ)
ป ฟ
ทฤษฎการสม (ตอ)
การแปลงฟรเยรสาหรบสญญาณแอนาลอก xa(t)
( ) ( ) j tX j x t e dt∞
− ΩΩ ≡ ∫เมอ คอ ความถแอนาลอก หนวยเรเดยนตอวนาท (rad/sec)Ω
( ) ( ) ja aX j x t e dt
−∞
Ω ≡ ∫เมอ คอ ความถแอนาลอก หนวยเรเดยนตอวนาท (rad/sec)Ω
1( ) ( ) j ta ax t X j e d
∞Ω= Ω Ω∫( ) ( )
2a a jπ −∞∫
ทาการสม สญญาณ แอนาลอก ดวย ความถ T วนาททาการสม สญญาณ แอนาลอก ดวย ความถ T วนาท
( ) ( )ax n x nT≡ a
และแปลงฟรเยร กไดเปน สญญาณไมตอเนองทางเวลา ( )jX e ω
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-32
สมการแอลแอส (Aliasing formula)
การแปลง DTFT ของ x(n) ไดเปน
( g )
( ) ( ) ( )j jn jnX e x n e x nT eω ω ω∞ ∞
− −∑ ∑
( )
( ) ( ) ( )j j ja
n nX e x n e x nT e
=−∞ =−∞= =∑ ∑
( )jX e ω เปน ผลรวมของ ทตางความถ ( )aX jΩ
/
1 2( ) ( ) ( )js aT
kX e X j X j j k
T T Tω
ω
ω π∞
Ω=∞
= Ω = −∑kT T T=−∞
สมการแอลแอส (aliasing formula)
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-33
T π<เมอชวงเวลาในการสม
0
T <Ω
เมอชวงเวลาในการสม
( )x n ( )jX e ω( )
ω− ωt ππ−2π− 2π
0 / T−Ω0 / TΩ
เมอชวงเวลาในการสม T π>Ω( ) ( )jX e ω
0Ω( )x n ( )X e
ω− ωt ω− ωt ππ−2π− 2πเกด แอลแอสและไมสามารถคนรปสญญาณได
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-34
เกด แอลแอสและไมสามารถคนรปสญญาณได
แบนดวทของสญญาณทใชได (คอไมเกด
ใ H t1f
ญญ (แอลแอส)
ความถในการสมสญญาณ Hertz
Ω
sf T=
แบนดวทมากสดของสญญาณ
(ความถไนควสต) 0
0 2f
πΩ
= Hertz( )
( )jX e ω
0f sf 02sf f>
ω− ωππ2π 2πสญญาณสมตอง
ππ−2π− 2πมคามากกวา
แบนดวท 2 เทา EEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-35
แบนดวท 2 เทา
ตวอยางตวอยางfs = 1 kHz
DSP chipx(t) y(n)x(n)TMS320
ตวสมสญญาณ 1,250f Hz=
• มสญญาณ x(t) ถกสมท fs = 1kHz โดย
ญญ
( ) cos(2500 )x t tπ=
• จากความถแอนาลอกของ x(t) แปลงเปนความถดจตอล32500 (10 ) 2 5Tω −Ω เรเดยน32500 (10 ) 2.5Tω π π= Ω = = เรเดยน
ตดใหอยในยาน 0 ω π≤ <ตดใหอยในยาน 0 ω π≤ <
0.5ω π=EEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-36
0.5ω π
• ทาใหได สญญาณไมตอเนองทางเวลา x(n) เปน( ) (0 5 )
( ) cos(0.5 )x n nπ=
• แตเนองดวยความเปน “คาบ” ทกๆ
ส ใ
2π/TΩ2• มสญญาณความถแอนาลอกทกๆ เทาของ ทให
สญญาณแบบเดยวกบ x(n)
/TωΩ =2πญญ ( )
3( ) cos( ) 10 (0 5 ) 500x t t π π= Ω Ω = = f1= 250 Hz1 1 13
2 2 2
( ) cos( ), 10 (0.5 ) 500
( ) cos( ), 10 (2 0.5 ) 2500
x t t
x t t
π π
π π π
= Ω Ω = =
= Ω Ω = + =
f1= 250 Hz
f2= 1250 Hz3
3 3 3( ) cos( ), 10 (4 0.5 ) 4500x t t π π π= Ω Ω = + = f3 =2250 Hzและตอเนอง ไปเรอยๆ
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-37และตอเนอง ไปเรอยๆ
f 1 kHfs = 1 kHz2250Hz
1250 H1250 Hz
250 Hz
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-38dsp_3_7.jpg
สเปคตรม เมอความถสม F 1 KHสเปคตรม เมอความถสม Fs= 1 KHz
Fs=1 KHzFs=1 KHz
fs= 1kHz
250Hz 2250Hz1250Hz
จะเกดความถเงาหรอแอลแอสขน ท 250 และ 2250
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-39
เมอ fs มากขนแตยงนอยกวา 2 เทาของ 1250 Hz
• เมอ fs =2 kHz จะได
( ) ( )( ) cos(0.25 )x n nπ=
•มสญญาณหลายความถแอนาลอกทใหสญญาณแบบเดยวกบ x(n)
31 1 1
3
( ) cos( ), 2*10 (0.25 ) 500
( ) ( ) 2*10 (2 0 25 ) 4500
x t t π π= Ω Ω = =
Ω Ω
f1= 250 Hz3
2 2 23
3 3 3
( ) cos( ), 2*10 (2 0.25 ) 4500
( ) cos( ), 2*10 (4 0.25 ) 8500
x t t
x t t
π π π
π π π
= Ω Ω = + =
= Ω Ω = + =f2= 2250 Hz
f3 =4250 Hzf3 4250 Hz
ยงคงเกด แอลแอสEEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-40
f 2 kHfs=2 kHz4250Hz
2250 H2250 Hz
250 Hz
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-41dsp_3_6.jpg
สเปคตรม เมอความถสม F 2 KHสเปคตรม เมอความถสม Fs= 2 KHz
fs= 2kHz
fs ความถ250Hz 2250Hzfs250Hz 2250Hz
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-42
f = 2500 Hz (2 1250 Hz)หาก fs = 2500 Hz (2 เทาของ 1250 Hz)
• นนคอ fs = 2500 Hz จะได( ) ( )
ได ความถทซาเปนจานวนเทา ของ 1250 Hz
( ) cos( )x n nπ=
• ได ความถทซาเปนจานวนเทา ของ 1250 Hz
3( ) ( ) 2 5*10 ( ) 2500t tΩ Ω f1= 1250 Hz31 1 1
32 2 2
( ) cos( ), 2.5*10 ( ) 2500
( ) cos( ), 2.5*10 (2 ) 7500
x t t
x t t
π π
π π π
= Ω Ω = =
= Ω Ω = + =
f1= 1250 Hz
f2= 2500 Hz3
3 3 3( ) cos( ), 2.5*10 (4 ) 12500x t t π π π= Ω Ω = + = f3 =6250 Hz
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-43
f = 2500 Hzfs = 2500 Hz
6250Hz
2500 Hz
1250 H1250 Hz
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-44dsp_3_8.jpg
สเปคตรมทความถสมตางๆสเปคตรมทความถสมตางๆ
fs= 1kHz x(t)
fs ความถ250Hz 2250Hz
fs= 2kHzความถ
x(t)
fs ความถ250Hz 2250Hzfs= 2.5kHz
fs250Hz
x(t)
2250Hz
fs ความถ1250HzEEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-45
fs ความถ1250Hz
ตดสญญาณ f ดวย L filตดสญญาณ fs ดวย Low pass filterLowpass
fs= 2.5kHz x(t)p
fs ความถ1250Hz
สามารถคนรปสญญาณได ญญ
fs= 2.5kHz x(t)
fs ความถ1250HzEEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-46
fs1250Hz
ป (R tr ti )ใ
การคนรปสญญาณ (Reconstruction)ใชวงจรกรองตาผานอดมคต
( )jX e ω ( )jX e ω( )X e ( )X e
กรองตาผาน
ππ−2π− 2π ππ−2π− 2πππ2π 2π
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-47
จากเรองการสมเราได
( ) ( ) ( )sx t x n t nTδ∞
= −∑
จากเรองการสมเราได
... ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) ...n
x t T x t x t Tδ δ δ=−∞
= + − + + + − +
แปลงกลบเปน กรองตาผาน( )x n ( )x t ( )x tแปลงกลบเปน
อมพลสกรองตาผาน
อดมคต
( ) ( )sx t ( )ax t
ตวแปลง D/C( ) ( )x tอดมคต
( )x n ( )ax t
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-48
⎧
ผลตอบสนองของวงจรกรองตาผานอดมคต( )rH jΩ
,( )
TTH j
π⎧ Ω ≤⎪⎪Ω = ⎨
T
( )0,
rH j
Tπ
Ω ⎨⎪ Ω >⎪⎩
Tπ
Tπ
−
( )rH jΩ ( )rh tแปลงผกผนฟเรยร
sin( / )t Tπ i ( / )
sinc( / )t T
sin( / )( )/rt Th t
t Tπ
π= sinc( / )t T=
การคนรปสญญาณ
,recon ( ) ( ) ( )a rn
x t x n h t nT∞
=−∞= −∑
การคนรปสญญาณ
sin ( ) /( )( ) /
n
t nT Tx nt T Tπ
= ∞
∞ −= ∑
สตรการทา
InterpolationEEET0485 Digital Signal Processing
Asst.Prof. Peerapol YuvapoositanonDSP3-49
( ) /n t nT Tπ=−∞ − Interpolation
× dsp 3 1 jpg× dsp_3_1.jpg
แตละจดของ x(n) ถกคณดวย
sinc function ทมการเลอนsinc function ทมการเลอน
ตาแหนง
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-50
dsp_3_2.jpg
ผลการคณของแตล ตาแหนงผลการคณของแตละตาแหนง
(0)sinc( / )x t T
(1)sinc(( - ) / )x t T T
(2)sinc(( - 2 ) / )x t T T
(3)sinc(( 3 ) / )x t T T−
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-51dsp_3_4.jpg
i t l ti ปผลรวมของการทา interpolation คอสญญาณคนรป
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-52dsp_3_9.jpg
ส ปสรป
• การแปลง DTFT ทาให หาผลตอบสนองความถของระบบได
• เราสามารถหาผลลพธการประสานไดจากการทา DTFT
• การสมสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถเปนรายคาบ• การสมสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถเปนรายคาบ
• ความถการสมจะตองมากกวา 2 เทา ของ ความถแอนาลอกสงสด โดย
คนรปสญญาณไดโดยการใชวงจรกรองตาผานกบสญญาณไมตอเนอง
ทางเวลา ทางเวลา
EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon
DSP3-53