3 The Discrete-Time Fourier Analysis การวิเคราะห์ฟูริเยร์ ... · อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา

DSP3-1

3 The Discrete-Time

Fourier Analysis การวเคราะหฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา

รศ.ดร. พระพล ยวภษตานนท

ภาควชา วศวกรรมอเลกทรอนกส

EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP

DSP3-2

เปาหมาย

• นศ เรยนรการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกตางกบ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทท 5)

• นศ เรยนรทฤษฎการสมสญญาณ• นศ รจกความหมายของผลตอบสนองความถ



CESdSP

DSP3-3

ทาไมจงตองแปลง DTFT ?

• เราทราบวา องคประกอบทางการประสานนน ซงคอ “หนวงเวลา” และการ “สเกลคา” ซงมประโยชนในการวเคราะห ระบบสาหรบสญญาณอนพท หลากรปแบบ

• แตเมอระบบเปน linear shift-invariant (LSI) เราสามารถจะใชการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (Discrete-time Fourier Transform; DTFT)เพอทาใหการวเคราะหงายขนกวา การทา Convolution

• และผลจากการแปลง DTFT ทาใหทราบ “ผลตอบสนองความถ ของระบบ”



CESdSP

สญญาณไซนไมตอเนองทางเวลา(Discrete-Time Sinusoidal Signals)

• ความถเชงมมดจตอล (Digital Angular frequency) ของสญญาณไซน เรยกวา ความถดจตอล (Digital frequency)

• หนวยเปนเรเดยนตอแซมเปล (Radians per sample)• เมอลาดบเปลยน (n=0,1,…) ความถเชงมมดจตอลจะ

เปน “มม” ของการเคลอนทบนวงกลมตอหนงลาดบCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing

http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

DSP3-4

ความถแซมปลง (Sampling Frequency)

• หนวยเปน คาบตอแซมเปล (Cycles per sample)

• N เปนจานวนแซมเปลตอคาบ

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com


DSP3-5

1f

N

ความถของสญญาณแอนะลอก (Analogue Signal Frequency)

• หนวยเปน คาบตอวนาท (Cycles per second)

• T เปนจานวนวนาทตอคาบ



DSP3-6

1af T



DSP3-7

1 คาบ

เวคเตอรของมม บนวงกลมหนง

หนวย



DSP3-8

เมอ f = 1/2, 1/4, 1/8 cycles per sample



DSP3-9

fa = 1 kHz fa = 1 kHz fa = 1 kHz

f = 1/2 f = 1/4 f = 1/8

• สญญาณรายคาบ เมอ N=6



DSP3-10

1 เงอนไขของสญญาณทจะเปนรายคาบ

• สญญาณจะเปนรายคาบท N แซมเปล หมายถง คาถดไปN แซมเปล มคาเทากบคาปจจบน

• เงอนไขคอ ความถ (f)*คาบ (N) เปนคาจานวนเตม (k) • หรอ fN=k หรอ f= k/N



DSP3-11

• ตวอยาง



DSP3-12

แซมเปลของ แตละคาบนน ซากน

• ตวอยาง



DSP3-13

สงเกตวา แซมเปลของแตละคาบนน ไมซากน

พสจน

• หากเราให x(n) และ x(N+n) เปน



DSP3-14

กรณ f *N เปนเลขจานวนเตม



DSP3-15

กรณ f *N เปนเลขจานวนเตม = k

• ดงนน k จงเปนจานวนเทาของ 2pi

• หรอ จะไดวา x(n+N) = x(n) กตอเมอ ความถ f ซงเปนอตราสวนของ k และ N เปนเศษสวนของเลขจานวนเตม (Rational number) เทานน หรอ



DSP3-16

เปรยบเทยบ

• ดงนน

• แต



DSP3-17

f ไมเปนเศษสวนของเลขจานวนเตม

สญญาณไมเปนรายคาบ

f เปนเศษสวนของเลขจานวนเตม

สญญาณเปนรายคาบ

2 สญญาณจะมความถไดมากสดเปน Pi

• สาหรบ จะไดวาสญญาณฟงกชนโคไซน ทใหคาเปนบวก เขยนได 2 แบบ

• โดยท



DSP3-18

( ) cos( )x n n

ความถ

• คาของฟงกชนโคไชนจะเขยนแทนไดดวยคาทอยในชวง

• หรอไดวา



DSP3-19

ความถ f

• คาของฟงกชนโคไชนจะเขยนแทนไดดวยคาทอยในชวง

• หรอ



DSP3-20

• ตวอยางเชน

• เราไดวาทความถมากกวา pi เรเดยน จะได เชน



DSP3-21

3 สญญาณไซนทมความถตางกน 2Pi จะเปน

สญญาณเดยวกน

• จาก• ให

• จะได



DSP3-22

ความสมพนธของ

สญญาณแอนะลอกและดจตอล • xa(t) คอ สญญาณแอนะลอก x(n) คอ สญญาณดจตอล



DSP3-23

ความสมพนธของความถเชงมม

แอนะลอกและความถเชงมมดจตอล • จงไดวา



DSP3-24

ความถเชงมมแอนะลอก

ความถเชงมมดจตอลชวงเวลาชกตวอยาง

(Sampling interval)

อนกรมฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (Discrete-Time Fourier Series)

• เราวเคราะหสญญาณแบบไมตอเนองทางเวลาทเปน รายคาบ (Periodic) ไดดวยอนกรมฟรเยร

• ตวอยางสญญาณรายคาบ



DSP3-25

อนกรมฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (Discrete-Time Fourier Series)

• สมการการสงเคราะห (Synthesis Equation)

• สมการการวเคราะห (Analysis Equation)



DSP3-26

การแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (Discrete-Time Fourier Transform)

• เราวเคราะหสญญาณแบบไมตอเนองทางเวลาทไมเปนรายคาบ (Non-Periodic) ไดดวยการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (DTFT)



DSP3-27



DSP3-28

โดเมนความถ

โดเมนเวลา



DSP3-29

( )x n ( ) ( )x n h n

ผลจากการประสาน h(n)*e^jwn



DSP3-30

DSP3-31

The Discrete-Time Fourier Transform

• ผลการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (DTFT) ของ h(n) คอ

ω = ความถดจตอลหนวยเปน เรเดยน



CESdSP

กรณอมพลสเรสปอนส เปนเดลตาฟงกชน



DSP3-32



DSP3-33

• เนองจาก เดลตาฟงกชน มคาเปน 1 ณ ตาแหนงเดยวคอท n=0 ดงนน

• หรอ เปนคาคงท



DSP3-34

LabVIEW



DSP3-35

1

อมพลสเรสปอนส เปนเดลตาฟงกชนและคาหนวงเวลา



DSP3-36



DSP3-37

LabVIEW



DSP3-38

เราใชผลรวมเรขาคณตชวยในการคานวณ DTFT

• ผลรวมเรขาคณตแบบไมจากด (Infinite geometric sum):

• ผลรวมเรขาคณตแบบจากด (Finite geometric sum):



DSP3-39

DSP3-40

ตวอยางการแปลง DTFT I

• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n) • วธทา



CESdSP

DSP3-41

ตวอยางการแปลง DTFT II

• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมอ และเปน 0 เมอ n เปนคาอนๆ

• วธทา•

0 1n L≤ ≤ −



CESdSP

DSP3-42

ตวอยางการแปลง DTFT III

• จงหาการแปลง DTFT ของ• วธทา

•

( ) 1,2,3,4,5x n↑

=

สงเกต เครองหมาย วา n=0 อย ณ ตาแหนงของคา 2↑



CESdSP

DSP3-43

ผลตอบสนองความถของระบบ

( )h n

การแปลงฟรเยรทความถ

•เมอทาการประสานจะได

0( ) j nx n e ω= 0( ) j nh n e ω∗

0ωEEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

DSP3-44

เปนผลตอบสนองความถของระบบ h(n)

( )jH e ω0( ) j nx n e ω=

( ) ( )j j n

nH e h n eω ω

∞−

=−∞= ∑

ใชหาคาของเอาทพท y(n)

( )jH e ω

หรอเขยนในรปโดเมนความถ

( ) ( ) ( )j j jY e H e X eω ω ω=

0( ) ( ) j njy n H e e ωω=



CESdSP

DSP3-45

Frequency Response from Poles and Zeros

• ขนาดผลตอบสนองความถเปน ขนาดจากซโร ไปยงวงกลมหนงหนวย หาร

ดวย ขนาดจากโพลไปยงวงกลมหนงหนวย ณ ความถหนง

0

AB ขนาดท

1ω =

1( )j BH eA

=

1ω =



CESdSP

DSP3-46

Example for Frequency Response

AB AB AB

B > A B = A B < A1( )jH e ω = มาก = กลางๆ = นอย

สมมตวา โพล = .8 ซโร =0

ความถตา ความถกลางๆ ความถสง

π 0 π 0 π 0

1( )jH e ω 1( )jH e ω



CESdSP

DSP3-47

Plot of Magnitude

( )jH e ωAB AB ABπ 0 π 0 π 0

ตา กลาง สง



CESdSP

DSP3-48

ตวอยาง

• Example 4.4.1 หาผลลพทของระบบ โดยมอนพทเปน ลาดบ

• ท ได

• ดงนน

1( ) ( )2

n

h n u n =

2( )nj

x n Aeπ

=1( ) ( ) 11

2

j j n

jnH e h n e

e

ω ω

ω

∞−

−=−∞

= =−

∑

0 2πω = 26.62 1 2( ) 1 51

2

j jH e ej

π−= =

+

26.626.6 222 2( )

5 5

nn jjjy n A e e Aeππ − − = =

EEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

DSP3-49

หาผลตอบสนองของ h(n)

1( ) ( ) 112

11 112 2

j j n

jn

j j

jj j

H e h n ee

e eee e

ω ω

ω

ω ω

ωω ω

∞−

−=−∞

−

= =−

= =− −

∑

แสดงวา zero มตวเดยว คอ z1=0

Pole ม p1=1/2



CESdSP

DSP3-50

การหาผลตอบสนองความถจากสมการผลตาง (Frequency Response from Difference

Equations) • จากสมการผลตาง

1 0( ) ( ) ( )

N M

l ml m

y n a y n l b x n m= =

+ − = −∑ ∑

ให ( ) j nx n e ω= ดงนน ( ) ( )j j ny n H e eω ω=

( ) ( )

1 0( ) ( )

N Mj j n j j n l j n m

l ml m

H e e a H e e b eω ω ω ω ω− −

= =+ =∑ ∑

ตด j ne ω

0

1

( )1

Mj m

mj m

Nj l

ll

b eH e

a e

ω

ω

ω

−

=

−

=

=+

∑

∑EEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP



DSP3-51

ตวอยาง มระบบ LSI ทอธบายไดดวย สมการผลตาง ของอนพทและเอาทพท

( ) 0.8 ( 1) ( )y n y n x n= − +

จงหา ผลตอบสนองและสญญาณ y(n) เมอ อนพทเปน

( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=วธทา

( 1)

( ) 0.8 ( 1) ( )( ) 0.8 ( )( ) 0.8 ( )

1( )1 0.8

j j n j j n j n

j j n j j n j j n

jj

y n y n x nH e e H e e eH e e H e e e e

H ee

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ωω

−

−

−

− − =

− =

− =

= ⇐−

ผลตอบสนองความถ



DSP3-52

ท ( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=

0 0.05ω π=

0.05 0.53770.05

1( ) 4.09281 0.8

j jjH e e

eπ

π−

−= =−

ดงนน

จงไดจากการแปลง “เฟสเซอร”

[ ]( ) 4.0928cos(0.05 0.5377)

4.0928cos 0.05 ( 3.42)y n n

nππ

= −

= −ขนาด เฟส

DSP3-53

( )jH e ω( )x n ( )y n

( ) cos(0.05 )x n nπ=

1( ) ( )1 0.8 jy n x n

e ω− = −

ตางเฟส =3.42

ทดสอบ คา y(n) ทคานวณ

4.092



CESdSP

DSP3-54

การชกตวอยางสญญาณ (Sampling)

• ทฤษฎการชกตวอยางสญญาณ กลาววา “ความถของสญญาณชกตวอยาง จะตองมากกวา 2 เทาของ ความถสงสดของสญญาณ ( fmax)”

• หากความถสม = fs

• ดงนน

...

สญญาณชกตวอยาง

1

s

Tf

=

max2sf f>EEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

DSP3-55

สเปคตรม (Spectrum) และ ผลของการ ชกตวอยางสญญาณ

• สเปคตรมเปนการแสดงคาการกระจายของสญญาณในเชงความถ• ผลของการสมทาใหเกด สเปคตรมแบบเปนคาบ (periodic)• ความถ fmax หรอ f0 เรยกวา ความถไนควสต (Nyquist

Frequency)• ความถชกตวอยางสญญาณ ตาสดทจะไมเกด aliasing จะเรยกวา

อตราไนควสต (Nyquist rate)

ความถ

สเปคตรม

sf0 =Nyquist Frequencyf = Nyquist rateEEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

DSP3-56

อะไรคอแอลแอส (Aliasing) ?

• การเกดแอลแอส ในทาง dsp คอ “การเกดการซอนทบของสเปคตรม”

• สาเหตคอ การทความถชกตวอยางสญญาณ นอยกวาสองเทาของความถไนควสต หรอ 02sf f<

sf0f

แอลแอส

ทางแก:

1 ใช Anti-aliasing filter ซงเปน

วงจรกรองตาผาน (Low pass filter)

2 ทา Oversampling



CESdSP

DSP3-57

ทฤษฎการชกตวอยางสญญาณและคนรปสญญาณ (Sampling and Reconstruction)

แปลงฟรเยร

( )ax t

−Ω Ω

( )aX jΩ

0−Ω 0Ωt

ผลตอบสนองของสญญาณตอเนองทางเวลา xa(t) คอ ( )aX jΩΩ = ความถแอนาลอก เปน เรเดยนตอวนาท

( )aX jΩ หาไดจากการแปลงฟรเยรของ ( )ax t



CESdSP



DSP3-58

แปลงฟเรยร

( )x n

ω− ω

( )jX e ω

t ππ−2π− 2π

•ผลของการชกตวอยางสญญาณ ทาใหการแปลงฟรเยรเปน รายคาบ

(periodic)

0T−Ω0TΩ•สญญาณสม มความถ= 1/T

Tω = Ωความถแอนาลอกกบ ความถดจตอล สมพนธกนดงน

ดจตอล แอนาลอก

DSP3-59

ทฤษฎการสม

แปลง อมพลส

เปน สญญาณ DT

( )as t

( )ax t ( )sx t ( ) ( )ax n x nT=

( ) ( )an

s t t nTδ∞

=−∞= −∑สญญาณชกตวอยาง:

สญญาณแอนะลอกทถกชก

ตวอยางสญญาณ :( ) ( ) ( ) ( ) ( )s a a a

nx t s t x t x nT t nTδ

∞

=−∞= = −∑

สญญาณไมตอเนอง (DT): ( ) ( )ax n x nT=



CESdSP

DSP3-60

การแปลงฟรเยรสาหรบสญญาณแอนาลอก xa(t)

เมอ คอ ความถแอนาลอก หนวยเรเดยนตอวนาท (rad/sec)Ω

( ) ( ) j ta aX j x t e dt

∞− Ω

−∞

Ω ≡ ∫

1( ) ( )2

j ta ax t X j e d

π

∞Ω

−∞

= Ω Ω∫

ทาการชกตวอยางสญญาณแอนาลอก ดวย ความถ T วนาท

( ) ( )ax n x nT≡

และแปลงฟรเยร กไดเปน สญญาณไมตอเนองทางเวลา ( )jX e ω

ทฤษฎการชกตวอยางสญญาณ (ตอ)



CESdSP

DSP3-61

( )jX e ω เปน ผลรวมของ ทตางความถ ( )aX jΩ

สมการแอลแอส (aliasing formula)

( ) ( ) ( )j jn jna

n nX e x n e x nT eω ω ω

∞ ∞− −

=−∞ =−∞= =∑ ∑

/

1 2( ) ( ) ( )js aT

kX e X j X j j k

T T Tω

ω

ω π∞

Ω==−∞

= Ω = −∑

การแปลง DTFT ของ x(n) ไดเปน

สมการแอลแอส (Aliasing formula)



CESdSP



DSP3-62

0

T π<Ω

เมอชวงเวลาในการสม

( )x n

ω− ω

( )jX e ω

t ππ−2π− 2π

0 /T−Ω0 /TΩ

เมอชวงเวลาในการสม 0

T π>Ω( )x n

ω− ω

( )jX e ω

t ππ−2π− 2πเกด แอลแอสและไมสามารถคนรปสญญาณได

DSP3-63

ความถในการสมสญญาณ Hertz

แบนดวทมากสดของสญญาณ

(ความถไนควสต) 0

0 2f

πΩ

=

1sf T=

Hertz

แบนดวทของสญญาณทใชได (คอไมเกดแอลแอส)

ω− ω

( )jX e ω

ππ−2π− 2π

0f sf 02sf f>

สญญาณสมตอง

มคามากกวา

แบนดวท 2 เทา EEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

การคนรปสญญาณ (Reconstruction)



DSP3-64

ใชวงจรกรองตาผานอดมคต

( )jX e ω

ππ−2π− 2π

( )jX e ω

ππ−2π− 2π

กรองตาผาน



DSP3-65

( ) ( ) ( )

... ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) ...

sn

x t x n t nT

x t T x t x t T

δ

δ δ δ

∞

=−∞= −

= + − + + + − +

∑

จากเรองการสมเราได

แปลงกลบเปน

อมพลสกรองตาผาน

อดมคต

( )x n ( )sx t ( )ax t

ตวแปลง D/C

อดมคต( )x n ( )ax t



DSP3-66

,( )

0,r

TTH j

T

π

π

Ω ≤Ω = Ω >

ผลตอบสนองของวงจรกรองตาผานอดมคต( )rH jΩ

Tπ

Tπ

−

T

( )rH jΩ ( )rh tแปลงผกผนฟเรยร

sin( / )( )/rt Th t

t Tπ

π= sinc( / )t T=

,recon ( ) ( ) ( )

sin ( ) /( )( ) /

a rn

n

x t x n h t nT

t nT Tx nt nT Tπ

π

∞

=−∞

∞

=−∞

= −

−=

−

∑

∑

การคนรปสญญาณ

สตรการทา

Interpolation

sinc( / )t T



DSP3-67

×แตละจดของ x(n) ถกคณดวย

sinc function ทมการเลอน

ตาแหนง

dsp_3_1.jpg

dsp_3_2.jpg



DSP3-68

ผลการคณของแตละตาแหนง



DSP3-69

ผลรวมของการทา interpolation คอสญญาณคนรป

dsp_3_9.jpg

DSP3-70

สรป

• DFS ใชวเคราะห สญญาณรายคาบ • DTFT ใชวเคราะหท งสญญาณรายคาบและ ไมเปนราย

คาบ• การชกตวอยางสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถท

เปนรายคาบ โดยความถการชกตวอยางจะตองมากกวา 2 เทา ของ ความถแอนาลอกสงสด

• การคนรปสญญาณไดโดยการใชวงจรกรองตาผานกบสญญาณไมตอเนองทางเวลา



CESdSP

Documents

3 The Discrete-Time Fourier Analysis การวิเคราะห์ฟูริเยร์ ... · อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา