3000155236

Die Deutsche Bibliothek CIP Einheitsaufnahme:

Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei der Deutschen Bibliothek erhältlich. ISBN 3-00-015523-6

© Silke Scherer, Dirk Proske: Stahlbeton for Beginners – Einführung in den Stahlbetonbau Eigenverlag, Dresden 2005

Herausgeber: Silke Scheerer, Dirk Proske 1. Auflage

Alle Rechte vorbehalten

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch nur bei auszugsweiser Verwertung,

vorbehalten.

Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichnungen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme, daß diese von jedermann frei benutzt werden dürfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen handeln, wenn sie

als solche nicht eigens markiert sind.

Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so können die Autoren keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder

Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Angaben die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen.

Soweit in diesem Werk Verfahren oder Techniken erläutert werden, darf der Leser zwar darauf vertrauen, daß die Autoren große Sorgfalt darauf verwandt haben, daß die Angaben dem Wissensstand bei Fertigstellung des

Werkes entsprechen. Für die Anwendung kann jedoch keine Gewähr übernommen werden.

Silke Scheerer Dirk Proske

Stahlbeton “for Beginners“

Einführung in den Stahlbetonbau

1. Auflage

P

Stahlbeton for Beginners

Vorwort Dieses Buch entstand zunächst als Skript zur Vorlesungsreihe „Grundlagen des Stahlbeton-baus“ für die Studenten der Wasserwirtschaft an der Technischen Universität Dresden. Der große Erfolg dieses Skriptes nicht nur bei den Studenten der Wasserwirtschaft, sondern auch bei den Bauingenieurstudenten ermutigte uns, dieses Skript als Buch zu veröffentlichen.

Der Verbundbaustoff Stahlbeton ist außerordentlich leistungsfähig. Um die Konstruktionen aus diesem Material sachgemäß entwerfen und betreiben zu können, ist es wichtig, das Trag-verhalten und die Besonderheiten dieses Werkstoffes zu kennen und zu verstehen. In diesem Buch werden nicht nur die in der DIN 1045-1 vorgeschriebenen Bemessungsregeln vor-gestellt, sondern auch die Grundlagen des Zusammenwirkens von Stahl und Beton in ver-ständlicher Art und Weise erklärt.

Viele Passagen beruhen auf dem ehemaligen Lehrbrief für Wasserwirtschaftler und auf den Lehrbriefen für die Vorlesungsreihe Stahlbeton und Spezialbauwerke, die beide von Herrn DR.-ING. HANS WIESE verfaßt wurden. Die theoretische Grundlagen wurden vielfach aus den „Vorlesungen für Massivbau, Teile 1 bis 4“ von FRITZ LEONHARDT [24] und aus „Stahlbeton-bau, Teil 1 und 2“ von OTTO WOMMELSDORFF [38] abgeleitet. Nicht an allen Stellen wurden diese Autoren exakt zitiert, deshalb sollen sie an dieser Stelle explizit erwähnt werden. Diese Quellen sollen gleichzeitig als weiterführende Literatur empfohlen werden.

Wir wünschen den Studenten und anderen Lernenden viel Erfolg und Spaß beim Studium des Faches Stahlbeton.

Dirk Proske & Silke Scheerer Dresden, April 2005

SCHEERER PROSKE


12

Inhalt 1 Formelzeichen 16

1.1 Lateinisch, klein 161.2 Lateinisch, groß 181.3 Griechisch 201.4 Abkürzungen, Indizes, Symbole u. a. 21

2 Ermittlung von Schnittgrößen 242.1 Allgemeines 242.2 Auflagertiefen und Stützweiten 242.3 Wiederholung: statisch bestimmte Tragwerke 252.4 Wiederholung: Schnittgrößenfunktionen 262.5 Statisch unbestimmte Tragwerke, Durchlaufkonstruktionen 272.6 Bemessungsmomente einachsig gespannter, durchlaufender Platten und

Balken 322.6.1 Stützenmomente 322.6.2 Mindestrandmomente 322.6.3 Mindestfeldmomente 332.6.4 Negative Feldmomente 332.7 Schnittgrößen wasserbautypischer Konstruktionen 33

3 Bestandteile des Stahlbetons 363.1 Allgemeines 363.2 Beton 363.3 Stahl 423.4 Zusammenwirken von Stahl und Beton 433.5 Andere Bewehrungsmaterialien 453.6 Anforderungen an die Dauerhaftigkeit 463.6.1 Expositionsklassen 463.6.2 Betondeckung 47

4 Sicherheitskonzept 484.1 Allgemeines 484.2 Grenzzustände der Beanspruchbarkeit 494.3 Beanspruchungen 504.4 Charakteristische und andere repräsentative Werte 504.5 Sicherheitsbeiwerte 524.5.1 Allgemeines 524.5.2 Teilsicherheitsbeiwerte 544.5.3 Kombinationsbeiwerte 554.5.4 Einwirkungskombinationen 564.5.4.1 Grenzzustände der Tragfähigkeit 564.5.4.2 Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit 564.5.4.3 Vereinfachte Kombinationen für den Hochbau 57

5 Biegebemessung 585.1 Allgemeines 585.2 Spannungs- und Verformungszustände am statisch bestimmt gelagerten

Biegebalken 595.3 Schnittgrößen und Gleichgewichtsbedingungen 595.3.1 Innere und äußere Kräfte 595.3.2 Lage und Größe der Stahlzugkraft 615.3.3 Lage und Größe der Betondruckkraft 615.3.4 Einführung der Verformungsbedingungen, Festlegung der kritischen

Zustände 63

SCHEERER PROSKE

13

5.3.5 Gleichgewichtsbedingungen, bezogene Größen und Bemessungsgleichungen 65

5.3.6 Grenzen 665.4 Ausgewählte Bemessungsverfahren 665.4.1 Einfach bewehrte Rechteckquerschnitte 665.4.2 Doppelt bewehrte Rechteckquerschnitte 675.4.3 Bemessung mit Hilfe der rechteckförmigen Spannungsverteilung 715.4.4 Vergleich des genauen ω1-Verfahrens mit der Näherung mittels

Rechteckblock 725.5 Bewehrungsführung und Konstruktionsregeln 735.5.1 Bewehrungsführung 735.5.1.1 Allgemeines 735.5.1.2 Bewehren mit Stabstahl 755.5.1.3 Bewehren mit Betonstahlmatten 755.5.1.4 Darstellung von Bewehrung 775.5.2 Konstruktionsregeln für überwiegend biegebeanspruchter Bauteile 845.5.2.1 Mindest- und Höchstbewehrung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile 845.5.2.2 Balken und Plattenbalken 855.5.2.3 Platten 85

6 Plattenbalken 866.1 Tragverhalten 866.2 Berücksichtigung von Stegspannungen 876.3 Anordnung der Bewehrung 88

7 Querkraftbemessung 907.1 Zum Tragverhalten 907.2 Versagensszenarien 917.3 Modelle für die Lastabtragung 927.4 Bemessung 967.4.1 Grundlagen 967.4.2 Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung 967.4.3 Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung 987.5 Anordnung der Querkraftbewehrung 1007.5.1 Grundsätze 1007.5.2 Zur konstruktiven Durchbildung von Balken und Plattenbalken 1017.5.3 Zur konstruktiven Durchbildung von Ortbetonplatten 1027.6 Anschluß von Gurten 102

8 Zugkraftdeckung 1048.1 Grafisches Verfahren 1048.2 Konstruktive Regeln 109

9 Verankerung von Bewehrung 1109.1 Allgemeines 1109.2 Eigenschaften des Verbundes 1109.3 Verbundspannung 1119.4 Verankerung von Stäben 1139.5 Stöße von Bewehrungsstäben 1159.6 Stöße von Matten in zwei Ebenen 116

10 Gebrauchstauglichkeit 11810.1 Allgemeines 11810.2 Spannungsbegrenzung 11810.3 Begrenzung der Rißbreiten 11810.3.1 Grundlagen der Rißbildung 118


14

10.3.2 Nachweise nach DIN 1045-1 12510.3.2.1 Grundsätze 12510.3.2.2 Mindestbewehrung zur Aufnahme von Zwangs- und Eigenspannungen 12610.3.2.3 Beschränkung der Rißbreite bei Lastbeanspruchung 12810.3.2.4 Berechnung der Rißbreite – genaues Verfahren nach DIN 1045-1 12910.4 Begrenzung der Verformungen 129

11 Bemessung von Druckgliedern 13211.1 Tragverhalten druckbeanspruchter Bauteile 13211.2 Knicklängen 13311.3 Bemessung 13511.3.1 Allgemeines 13511.3.2 Einteilung der Tragwerke und Bauteile 13511.3.3 Nachweisverfahren 13511.3.4 Modellstützenverfahren 13711.3.5 Unbewehrte Druckglieder 13811.4 Konstruktive Regeln für Stützen und andere druckbeanspruchte Bauteile 139

12 Fundamente 14212.1 Allgemeines 14212.2 Bodenpressungen und Wahl der Fundamentgröße 14212.3 Schnittgrößenermittlung bei Flachgründungen 14612.4 Unbewehrte Fundamente 14812.5 Bewehrte Fundamente 14912.5.1 Allgemeines 14912.5.2 Biegebemessung 14912.5.3 Durchstanzen 15012.5.3.1 Allgemeines 15012.5.3.2 Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Durchstanzbewehrung 15212.5.3.3 Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Durchstanzbewehrung 15312.5.4 Bewehrungsführung 155

13 Literaturverzeichnis 15814 Anhang 162

14.1 Die Geschichte des Stahl- und Spannbetonbaus 16214.2 Auswahl an Lastannahmen nach DIN 1055 [13], Auszüge 16514.2.1 1055-1 (01/2001): Einwirkungen auf Tragwerke – Wichten und

Flächenlasten von Baustoffen, Bauteilen und Lagerstoffen 16514.2.2 1055-3 (01/2001): Eigen- und Nutzlasten für Hochbauten 16614.2.3 1055-5 (03/2001): Lastannahmen für Bauten, Verkehrslasten – Teil 5:

Schneelast und Eislast 16714.3 Expositionsklassen nach DIN 1045-1 16714.4 Tafeln für Biegung ohne Druckbewehrung 16914.5 Tafeln für Biegung mit Druckbewehrung 17014.6 Tafeln für die Bemessung von Druckgliedern 17214.7 Tafeln für Betonstahlmatten BSt 500 M (A) 176

SCHEERER PROSKE

15


16

1 Formelzeichen

1.1 Lateinisch, klein a Abstand allgemein; Länge allgemein; Auflagerbreite a1, a2 Abstand zwischen Auflagervorderkante und rechnerischer Auflagerlinie af,sw Bewehrungsquerschnitt der Anschlußbewehrung in [cm²/m] al Versatzmaß der Zugkraftdeckungslinie as Bewehrungsquerschnitt allgemein in [cm²/m] as,quer Querbewehrungsmenge in [cm²/m] asl Bewehrungsquerschnitt der Biegezugbewehrung in [cm²/m] asw Bewehrungsquerschnitt der Querkraftbewehrung in [cm²/m] av Bezugslänge bei der Berechnung der Anschlußbewehrung für die Gurte bei ge-

gliederten Querschnitten b Breite allgemein beff mitwirkende Plattenbreite beff,i mitwirkende Plattenbreite der einzelnen Gurte bi tatsächlich vorhandene Gurtbreite bw Stegbreite cmin Mindestwert der Betondeckung cnom Betondeckung cx, cy Abmessung einer Stütze auf einem Fundament in x- bzw. y-Richtung d statische Nutzhöhe; mittlere statische Nutzhöhe bei zweiachsig beanspruchten

Bauteilen; Durchmesser allgemein d1, d2 Abstand der Längsbewehrung vom Bauteilrand; Ausbreitung der Wirkungszone

der Bewehrung dbr Biegerollendurchmesser dg ∅ des Größtkorns di, da Innen- bzw. Außendurchmesser ds Stabdurchmesser ds* Grenzdurchmesser ds,quer Stabdurchmesser der Querbewehrung dsl Stabdurchmesser der Längsbewehrung dsm mittlerer Stabdurchmesser dsV Vergleichsdurchmesser dsw Stabdurchmesser der Querkraftbewehrung e0 planmäßige Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung e01, e02 Lastausmitten der Längskraft an den Stützenenden e2 zusätzliche Lastausmitte nach Theorie II. Ordnung ea ungewollte Zusatzausmitte infolge geometrischer Imperfektionen ed Ausmitte der Längskraft etot Gesamtausmitte ex, ey Ausmitten bzw. Exzentrizitäten in x- bzw. y-Richtung eϕ Ausmitte infolge Kriechens f Durchhang fbd Verbundspannung fcd Bemessungswert der Druckfestigkeit von Beton fck, fck,cyl charakteristische Zylinderdruckfestigkeit von Beton fck,cube charakteristische Würfeldruckfestigkeit von Beton fct charakteristische Zugfestigkeit

SCHEERER PROSKE

17

fct,0 Grundwert der Zugfestigkeit bei der Ermittlung des modifizierten Grenzdurch-messers

fct,eff wirksame Zugfestigkeit des Betons zum betrachteten Zeitpunkt fct,fl Biegezugfestigkeit fct,sp Spaltzugfestigkeit fctk;0,05 charakteristischer Wert des 5-%-Quantils der Betonzugfestigkeit fctk;0,95 charakteristischer Wert des 95-%-Quantils der Betonzugfestigkeit fctm mittlere Zugfestigkeit ftd Bemessungswert der Zugfestigkeit von Betonstahl ftk charakteristischer Wert der Zugfestigkeit von Betonstahl fyd Bemessungswert der Streckgrenze von Betonstahl fyk charakteristischer Wert der Streckgrenze von Betonstahl h Bauteildicke; -höhe hf Dicke des Flansches ht Höhe der Zugzone des (Teil-)Querschnitts im Zustand I hW Wasserstandshöhe i Laufvariable; Trägheitsradius k Beiwert zur Berücksichtigung nichtlinear verteilter Betonzugspannungen k1 Beiwert bei der Berechnung der Mindestbewehrung ka Beiwert zur Bestimmung des Abstandes der Betondruckkraft vom Querschnitts-

rand kc Beiwert zur Berücksichtigung der Zugspannungsverteilung l Länge oder Stützweite allgemein l0 wirksame Stützweite; Ersatzlänge lA, lE Länge der Auftrags- bzw. Einschnittsfläche lb Grundmaß der Verankerungslänge lb,min Mindestwert der Verankerungslänge lb,net erforderliche Verankerungslänge lcol Länge eines Einzeldruckgliedes zwischen den idealisierten Einspannstellen lE Einleitungslänge leff effektive Stützweite li Ersatzstützweite ln lichter Abstand zwischen den Auflagervorderkanten (lichte Weite) ls Übergreifungslänge ls,min Mindestwert der Übergreifungslänge lw Breite des Bereiches mit Durchstanzbewehrung außerhalb der Lasteinleitungs-

fläche n Faktor; Verhältniswert; Potenz p Druck allgemein; Verkehrslast pi, pa Innen- bzw. Außendruck pW Wasserdruck q Gesamtlast r Radius rcrit Radius des kritischen Rundschnitts s Stababstand; Abstand der Knoten im Fachwerkmodell s0 Abstand des Schwerpunktes des Übergreifungsstoßes zur Bauteilkante sk charakteristischer Wert für die Schneelast auf dem Boden sl Stababstand der Längsstäbe sn lichter Abstand zwischen zwei Stäben sq Abstand der geschweißten Querstäbe bei Matten sw Stababstand der Querkraftbewehrung; wirksame Breite einer Bewehrungsreihe


18

u Umfang ucrit Umfang des kritischen Rundschnitts ü Überstand v Verschiebung v0 kleiner Bereich unmittelbar neben dem Riß, in dem Haft- und Scherverbund ge-

stört sind oder verlorengehen vEd Schubfluß; bezogene Normalkraft bei der Bestimmung von λmax vRd,ct Tragfähigkeit eines Bauteiles ohne Durchstanzbewehrung vRd,ct,a Tragfähigkeit in einem Schnitt außerhalb der Durchstanzbewehrung vRd,max Tragfähigkeit der Druckstrebe vRd,sy,i Tragfähigkeit der Zugstrebe entlang des inneren Rundschnittes i w Verschiebung; Rißbreite wk Rechenwert der Rißbreite w/z-Wert Wasser/Zement-Wert x Druckzonenhöhe; Koordinatenachse y Koordinatenachse ys1, ys2 Abstand vom Schwerpunkt der Bewehrung zum Schwerpunkt des Querschnitts z Hebelarm der inneren Kräfte; Koordinatenachse zs2 innerer Hebelarm der Druckbewehrung As2

1.2 Lateinisch, groß A Fläche allgemein; Stützkraft AA, AE Auftrags- bzw. Einschnittsfläche Ac Betonfläche Ac,eff Wirkungszone der Bewehrung Ac,netto Nettowert der Betonfläche Ac,t gezogene Betonfläche im Zustand I Acrit Fläche des kritischen Rundschnitts Ad Bemessungswert einer außergewöhnlichen Einwirkung AEd Bemessungswert einer außergewöhnlichen Einwirkung infolge Erdbeben AF Fundamentfläche Ai ideelle Fläche Aload Lasteinleitungsfläche As Stahlfläche in [cm²] As1, As2 Stahlfläche der unteren bzw. oberen Biegezugbewehrung in [cm²] As,max maximal zulässige Bewehrung in [cm²] As,min Mindestbewehrung in [cm²] Ast Bewehrungsquerschnitt der Querbewehrung in [cm²] Asw Bewehrungsquerschnitt der Querkraftbewehrung in [cm²] D, Di Druckkraft allgemein DEd,As2 Bemessungswert der Stahldruckkraft in der oberen Bewehrungslage (Druckbe-

wehrung) DEd,c Bemessungswert der Betondruckkraft Dv vertikale Druckkraft DV Druckkraft infolge Querkraftbeanspruchung E Elastizitätsmodul; rechnerischer Endpunkt der Bewehrung Ec Elastizitätsmodul von Beton Ecm mittlerer Elastizitätsmodul von Beton (Sekantenmodul) Ed Bemessungswert der Beanspruchung Es Elastizitätsmodul von Betonstahl F, Fi Kraft allgemein; Last allgemein

SCHEERER PROSKE

19

Fki Knicklast Frep repräsentativer Wert GF Eigengewicht des Fundamentes Gk charakteristischer Wert der ständigen Einwirkung H Horizontallast HS Geländehöhe über NN in [m] I Trägheitsmoment K1, K2 Faktor bei der Berechnung der Lastausmitte nach Theorie II. Ordnung M Moment MI, MII Mindestmoment MI, MII Moment nach Theorie I. bzw. II. Ordnung MEd Bemessungswert des Momentes MEd0 Bemessungsbiegemoment nach Theorie I. Ordnung MEds Bemessungswert des Momentes um den Schwerpunkt der Stahleinlagen Mkr Bruchmoment infolge Stabilitätsversagens (bei Druckgliedern) MR Rißmoment Mtot Gesamtmoment Mu Bruchmoment allgemein; Bruchmoment infolge Materialversagens (bei Druck-

gliedern) Mx, My Moment in x- bzw. y-Richtung N Normalkraft Nbal aufnehmbare Längsdruckkraft bei maximaler Momententragfähigkeit des Quer-

schnitts NEd Bemessungswert der Normalkraft Nkr Bruchnormalkraft infolge Stabilitätsversagens (bei Druckgliedern) NRd Bemessungswert der aufnehmbaren Längsdruckkraft Nu Bruchnormalkraft; ~ infolge Materialversagens (bei Druckgliedern) Nud Bemessungswert der Grenztragfähigkeit des Querschnitts unter zentrischem

Druck P Last allgemein Pk charakteristischer Wert der Vorspannung Qk charakteristischer Wert der veränderlichen Einwirkung Qk,1 Leitwert der veränderlichen Einwirkungen R Resultierende allgemein V Querkraft VEd Bemessungswert der Querkraft; gesamte aufzunehmende Querkraft VRd Bemessungswert des Querkraftwiderstandes VRd,ct aufnehmbare Querkraft für ein Bauteil ohne Querkraftbewehrung VRd,max infolge Druckstrebentragfähigkeit aufnehmbare Querkraft VRd,sy durch Querkraftbewehrung aufnehmbare Querkraft W Widerstandsmoment WF Widerstandsmoment des Fundamentes Z, Zi Zugkraft allgemein; Intensität der Schneelast ZEd,s1 Bemessungswert der Stahlzugkraft, untere Bewehrungslage; Bemessungswert der

Stahlzugkraft, der mit der Betondruckkraft im Gleichgewicht steht ZEd,s1(s2) Bemessungswert der Stahlzugkraft, untere Bewehrungslage, der mit der Druck-

kraft in der Druckbewehrung As2 im Gleichgewicht steht ZEd,s2 Bemessungswert der Stahlzugkraft, obere Bewehrungslage ZR Zugkraft, die zum Erstriß führt ZV Zugkraft infolge Querkraftbeanspruchung


20

1.3 Griechisch α Faktor; Völligkeitsbeiwert; Winkel allgemein; Neigungswinkel der Zugstreben im

Fachwerkmodell; Winkel zwischen Bewehrung und Bauteillängsachse; Lastaus-breitungswinkel; Faktor zur Berücksichtigung von Dauerlasten

α1 Beiwert für die Übergreifungslänge α2 Beiwert für die Berücksichtigung des Mattenquerschnitts bei der Ermittlung der

Übergreifungslänge αa Beiwert zur Berücksichtigung der Ausbildung der Verankerung αa1 Winkel der Schiefstellung gegen die Sollachse αc Abminderungsbeiwert für die Druckstrebentragfähigkeit β Knicklängenbeiwert; Beiwert zur Berücksichtigung einer nicht rotationssymmetri-

schen Querkraftverteilung im Rundschnitt β02 0,2-%-Dehngrenze (Bezeichnung nach DIN 1045 [10], Ausgabe 1988) βct Rauhigkeitsbeiwert βs Zugfestigkeit, alte Bezeichnung βWm Mittelwert der Verteilung der Probenhäufigkeit βWN charakteristische Druckfestigkeit eines 20er Würfels nach DIN 1045 [10], Ausga-

be 1988 βz Streckgrenze (Bezeichnung nach DIN 1045 [10], Ausgabe 1988) χ Beiwert zur Abminderung des Bemessungswertes der Betondruckspannung bei

Anwendung der rechteckförmigen Spannungsverteilung ∆ Differenzbetrag allgemein, z. B. ∆FEd, ∆M usw. ∆c Vorhaltemaß εc Betondehnung εc2 Dehnung des Betons beim Übergang von der Parabel zum Rechteck bei Verwen-

dung des Parabel-Rechteck-Diagramms εc2u rechnerische Bruchdehnung des Betons bei Verwendung des Parabel-Rechteck-

Diagramms εc3 Dehnung des Betons beim Übergang von der linear ansteigenden zur konstant

verlaufenden Geraden bei Verwendung des bilinearen Diagramms εc3u rechnerische Bruchdehnung des Betons bei Verwendung des bilinearen Dia-

gramms εcu rechnerische Bruchdehnung des Betons εs Stahldehnung εs0 Stahldehnung zum Zeitpunkt t = 0 εsu Bruchdehnung des Betonstahls für die Bemessung εuk Bruchdehnung des Betonstahls für die Schnittgrößenermittlung εyd Bemessungswert der Dehnung des Betonstahls an der Streckgrenze φ Beiwert, der angibt, inwieweit die Betondruckspannung in Höhe der Druckbeweh-

rung ausgenutzt wird γ Teilsicherheitsbeiwert allgemein γc Teilsicherheitsbeiwert für Beton γc' Erhöhung des Teilsicherheitsbeiwertes für Beton bei hochfestem Beton γG Teilsicherheitsbeiwert für ständige Lasten

γQ Teilsicherheitsbeiwert für veränderliche Lasten

γP, γPA spezielle Teilsicherheitsbeiwerte von Einwirkungen (Vorspannung) γl Wichtungsfaktor (siehe DIN 1055-100 und Entwurf DIN 4149) γs Teilsicherheitsbeiwert für Stahl γW Wichte von Wasser

SCHEERER PROSKE

21

η1 Beiwert allgemein; Beiwert zur Berücksichtigung der unterschiedlichen Dichten von Normal- und Leichtbeton

ηx, ηy Momentenbeiwerte beim Streifenverfahren (Bemessung von Fundamenten) ϕ Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung auf

die Tragfähigkeit von unbewehrten Druckglieder in unverschieblich ausgesteiften Tragwerken

ϕ(x) Verteilung der Probenhäufigkeit κ (Abminderungs-) Faktor allgemein κs Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der Bauteilhöhe auf die Wirksamkeit

der Bewehrung λ Schlankheitsgrad λcrit Grenzwert der Schlankheit, ab dem für ein Druckglied Einflüsse nach Theorie II.

Ordnung zu berücksichtigen sind λmax Grenzwert, ab dem ein Druckglied als schlank gilt µ0 Querdehnung des Betons µEd,tot bezogener Bemessungswert des Gesamtmoments bei der Bemessung von Druck-

gliedern µEds bezogenes Bemessungsmoment um den Schwerpunkt der Stahleinlagen Θ Neigungswinkel der Druckstreben im Fachwerkmodell ρ Dichte allgemein; Grundwert für die Ermittlung der Mindestbewehrung ρl auf den Nutzquerschnitt bezogener Bewehrungsgehalt der Längsbewehrung ρlx, ρly ρl in x- bzw. y-Richtung ρw Querkraftbewehrungsgrad σ Spannung allgemein; Standardabweichung σ0 Bodenpressung σI, σII Hauptspannungen σc Betonspannung allgemein σc,R verringerte Bruchspannung des Betons am Querschnittsrand bei rechteckförmiger

Spannungsverteilung σcd Bemessungswert der Betonspannung σG Bodenpressung infolge Fundamenteigenlast σq Bodenpressung infolge aller Lasten außer der Fundamenteigenlast σs Spannung im Bewehrungsstahl allgemein σs0 Stahlspannung zum Zeitpunkt t = 0 σsR Stahlspannung beim Auftreten des ersten Risses σx Spannungen in x-Richtung (σy, σz entsprechend) τ Schubspannung τ03 Grenzwert in der alten DIN 1045 [10] für den Schubbereich III (τ01, τ02 entspre-

chend) τRd,ct aufnehmbare Schubspannung für ein Bauteil ohne Querkraftbewehrung ω1 Beiwert zur Kennzeichnung der Auslastung der Druckzone (Biegebemessung) ξ Beiwert zur Bestimmung der Druckzonenhöhe x ψ0, ψ1, ψ2 Kombinationsbeiwerte ζ Beiwert zur Bestimmung des inneren Hebelarms z

1.4 Abkürzungen, Indizes, Symbole u. a. c Beton (engl.: concrete) d Bemessungswert (engl.: design) Ed Bemessungswert der Einwirkung (engl.: effect)


22

erf erforderlich GZG Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit GZT Grenzzustand der Tragfähigkeit k charakteristisch max maximal min minimal s Stahl (engl.: steel) R i. d. R. für Verwendung der Rechteckverteilung bei Betondruckspannungen Rd Bemessungswert des Widerstands (engl.: resistance) vorh vorhanden zul zulässig ' Kennzeichen für Abminderung oder Reduktion ∅ Durchmesser Kapitelnummer in DIN 1045-1 [11] → Absatznummer in DIN 1045-1 [11] → Gleichungsnummer in DIN 1045-1 [11] → Tabellennummer in DIN 1045-1 [11] → Bildnummer in DIN 1045-1 [11] →

7.3.2

(xx)

Gl. (xx)

Tab. (x)

B. (xx)

SCHEERER PROSKE

23


24

2 Ermittlung von Schnittgrößen

2.1 Allgemeines Um komplexe Bauwerke aus Stahlbeton berechnen zu können, wird die Konstruktion zweck-mäßigerweise in möglichst einfache ein- und zweidimensionale Teilsysteme zerlegt. Nach ihrer Tragwirkung werden dann z. B. Scheiben-, Platten- und Stabtragwerke unterschieden.

Die Schnittgrößen können gemäß den Grundlagen der Statik mit üblichen Verfahren und Ta-bellenwerken ermittelt werden. Dabei sind aber in vielen Fällen die gegenüber anderen Bau-stoffen größeren geometrischen Abmessungen von Stäben und Knoten aus Stahlbeton zu berücksichtigen. Eine weitere Besonderheit stellen die zumeist teilweise oder vollständig bie-gesteifen Anschlüsse an den Knotenpunkten dar.

Schnittgrößen können grundsätzlich aus • Lasten, z. B. Eigenlasten, Verkehrslasten, Schnee, Wind und • Zwang, z. B. behinderte Temperaturverformung, Stützensenkung

entstehen, wobei bei statisch bestimmten Tragwerken keine Schnittgrößen infolge Zwang auf-treten können. Schnittgrößen aus Zwangsbeanspruchung werden im Rahmen dieses Buches nur für Ausnahmefälle behandelt. In vielen Fällen wird der Zwang konstruktiv berücksichtigt. Um ein Bauteil bemessen zu können, müssen verschiedene Lastfälle kombiniert und jeweils maximale und minimale Schnittgrößen bestimmt werden.

2.2 Auflagertiefen und Stützweiten Für die Bemessung muß die Geometrie der Ersatz- oder Teilsysteme aus dem Gesamttrag-werk abgeleitet werden. Die Grundlagen werden im folgenden vorgestellt. Auflagertiefen und Stützweiten von Platten, Balken und ähnlichen Bauteilen können nach Gleichung (1) und Tabelle 1 bestimmt werden. Die maßgebende Dimension eines Bauteils ist die effektive Stütz-weite leff.

(1) 1 2eff nl l a a= + +

mit: leff effektive Stützweite eines Bauteils (Balken, Platte) ln lichter Abstand zwischen den Auflagervorderkanten a1, a2 Abstand zwischen Auflagervorderkante und rechnerischer Aufla- gerlinie

Empfehlungen für die Bestimmung von ai sind in Tabelle 1 zusammengestellt.

(1) Platte / Balken frei aufliegend (z. B. auf Mauerwerk) leff

lnaa1 = min a

l/3

0,025 n

a

a a1 = /2 a a2 = /2

leff,1 leff,2

ln,1 ln,2

Tabelle 1 Annahmen für den rechnerischen Auflagerpunkt

7.3.1

Gl. (10)

SCHEERER PROSKE

25

(2) Platte / Balken bindet in Mauerwerk ein

Die elastische Einspannung am Endauflager ist konstruk-tiv zu berücksichtigen!

elastische Einspannungkonstruktiv berücksichtigen

lna

leff

a1 = min al

/30,025 n

leff,1 leff,2

aa a1 = /2 a a2 = /2

ln,1 ln,2

(3) Platte / Balken, Stützung durch Stahlbetonunterzüge, monolithische Verbindung links: Die Torsionseinspan-nung durch den Randunterzug ist konstruktiv zu berücksich-tigen.

leff

a a1 = /2

lna

leff,1 leff,2

aa a1 = /2 a a2 = /2

ln,1 ln,2 (4) Stahlbetonbalken in Stahl-

betonscheibe, monolithische Verbindung

hstarreScheibe

leff

ln

a h1 = /2

Fortsetzung Tabelle 1 Annahmen für den rechnerischen Auflagerpunkt

An dem nun bekannten statischen Ersatzsystem können die Schnittgrößen ermittelt werden, wobei zuerst bestimmt werden muß, ob es sich um ein statisch bestimmtes oder unbestimmtes System handelt.

2.3 Wiederholung: statisch bestimmte Tragwerke

Bei statisch bestimmten Tragwerken können alle Schnittgrößen über die drei möglichen Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden:

Σ Horizontalkräfte = Σ H = 0 Σ Vertikalkräfte = Σ V = 0 Σ Momente = Σ M = 0

(2)

Die Schnittgrößen werden entsprechend Abbildung 1 positiv definiert. M MV

VN

+N

Abbildung 1: Schnittgrößendefinition


26

2.4 Wiederholung: Schnittgrößenfunktionen Die Schnittgrößenfunktionen für Querkraft und Moment können aus der Belastungsfunktion abgeleitet werden. Im allgemeinen gilt:

(3)

(4)

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Funktion für die Belastung:

Funktion für die Querkraft: 0

Funktion für das Moment: 0

= + =

= + =

∫∫

p x

V x p x dx V x

M x V x dx M x

(5)

Beispiel für eine konstante Streckenlast:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

0² 0 0

2

p x q

V x q x V xxM x q x V x M x

= −

= − ⋅ + =

= − ⋅ + ⋅ = + =

Die Größen V(x = 0) und M(x = 0) stehen dabei für die Anfangsschnittgrößen am linken Auf-lager des betrachteten Bauteiles oder Bauteilabschnittes, da hier i. d. R. der Ursprung für die x-Achse festgelegt wird (x = 0). Der Sachverhalt ist in Abbildung 2 dargestellt. In diesem Bild sind außerdem die Zusammenhänge zwischen Belastung und Stabachsenverdrehung (in Stab-längsrichtung) und vertikaler Durchbiegung (z-Richtung) ergänzt.

q

l

ql2

2ql8 -ql³

2445 ql

384

-ql2

EIVerdrehung:

∫M(x) dx + 0

ql³24

M(x) = ∫ Q(x) dx + M0

EIw(x) = ∫Durchbiegung:

M(x) dx² + w0∫

Querkraft:Q(x) p(x) dx + Q0= ∫

Moment:

Belastung:x p(x) q = -

Abbildung 2: Beispiel für die Ableitung der Schnittkraftfunk-tionen aus der Belastungsfunktion

Die Nullstellen für die Querkraft- und Momentenfunktion können durch Umstellen der Funk-tionsgleichungen ermittelt werden. Für eine konstante Streckenlast –q ergibt sich somit z. B.:

Querkraft: ( ) ( ) ( ),0

00 0

== = − ⋅ + = → =V

V xV x q x V x x

q

Moment: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

,0

²0 0 02

2 0 0 2 0

= = − ⋅ + ⋅ = + =

⎛ ⎞⋅ = = ⋅ =→ = ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠M

xM x q x V x M x

V x V x M xx

q q q

Maxima und Minima einer mathematischen Funktion erhält man, indem man die erste Ablei-tung der Funktion = 0 setzt. Für die Linienlast ergibt sich somit für die Stelle des maximalen Moments x(M = max M):

( ) ( )0 0M x q x V x′= = − ⋅ + = → ( ) ( )0max

== =

V xx M M

q

SCHEERER PROSKE

27

2.5 Statisch unbestimmte Tragwerke, Durchlaufkonstruktionen Viele Stahlbetonbauteile können nur als statisch unbestimmte Systeme modelliert werden. Der Unterschied zwischen statisch bestimmten und unbestimmten Tragwerken soll am Bei-spiel eines über mehrere Felder durchlaufenden Balkens veranschaulicht werden. In Abbil-dung 3 ist prinzipiell dargestellt, wie sich der Balken in Abhängigkeit vom statischen System verformt. Bei statisch bestimmten Systemen sind die Felder nicht gekoppelt, beeinflussen sich also nicht gegenseitig. In der Biegelinie stellen sich Knicke an den Auflagern ein, da sich dort Gelenke befinden. Bei einem einzelnen belasteten Feld entstehen keine Schnittgrößen oder Verformungen in den anderen Feldern. Im Unterschied dazu sind die Felder bei statisch unbe-stimmten Balken nicht entkoppelt, die Verformung eines Feldes erzwingt Verformungen und damit Schnittgrößen in den anderen. Damit reichen die drei Gleichgewichtsbedingungen nach (2) - Ermittlung der Schnittgrößen bei statisch bestimmten Systemen - nicht mehr aus. Es sind nun zusätzlich Kontinuitätsbedingungen zu erfüllen, z. B. dürfen also keine Knicke in der Biegelinie entstehen.

M

M

- --

+

+--

M

M oben: unverformtes System und Belastung Mitte: Verformung und Momentenlinie des Balkens, wenn dieser statisch bestimmt ist unten: Verformung und Momentenlinie des Balkens, wenn dieser statisch unbestimmt ist

Abbildung 3: Verformungen statisch bestimmter und unbestimmter Durchlaufträger

Um die Berechnung von Schnittgrößen statisch unbestimmter Systeme zu vereinfachen, ste-hen eine Vielzahl von Tafelwerken zur Verfügung. Im Rahmen dieses Buches sollen nur durchlaufende Platten oder Balken diskutiert werden. Die folgenden Tabellen gelten für durchlaufende Träger mit 2 ... 5 sowie unendlich vielen Feldern. Es gilt:

2Moment Tafelwert effq l= ⋅ ⋅ bzw. Moment Tafelwert effP l= ⋅ ⋅ (6)

Kraft Tafelwert effq l= ⋅ ⋅ bzw. Kraft Tafelwert P= ⋅ (7)

Anwendungsgrenze: min 0,8 maxeff effl l≥ ⋅ (8)

Die angegebenen Feldmomente stehen für die Maximalwerte in den entsprechenden Feldern. Bei unterschiedlichen Stützweiten sind die Schnittgrößen an den Stützen mit den Mittelwerten von leff der beiden angrenzenden Felder zu berechnen. Die Belastungen sind wie folgt defi-niert.

Belastung 1 Belastung 2 Belastung 3 Belastung 4 Belastung 5 Belastung 6

l

q

0,5 l0,5 l

q

0,4 l 0,4 l

0,2 l

q

0,4 l

q

0,5 l0,5 l

P

0,3 l 0,3 l

0,3 l

P P

Abbildung 4: Definition der Belastungen für die Tafeln für Durchlaufträger


28

Lastfall Kraft-größen Belastung 1 Belastung 2 Belastung 3 Belastung 4 Belastung 5 Belastung 6

A B C1 2l l

M1

Mb

A B Vbl

0,070

- 0,125

0,3751,250

- 0,625

0,048

- 0,078

0,172

0,656

- 0,328

0,056- 0,093

0,2070,786

- 0,393

0,062- 0,106

0,2440,911

- 0,456

0,156 - 0,188

0,313 1,375

- 0,688

0,222- 0,333

0,6672,667

- 1,333

A B C1 2

M1 Mb A

C

0,096- 0,063

0,438- 0,063

0,065- 0,039

0,211- 0,039

0,076- 0,047

0,253- 0,047

0,085- 0,053

0,297- 0,053

0,203 - 0,094

0,406 - 0,094

0,278- 0,167

0,833- 0,167

A B C1 2l l

D3l

M1 M2 Mb A B

Vbl

Vbr

0,0800,025

- 0,1000,4001,100

- 0,600 0,500

0,0540,021

- 0,0630,1880,563

- 0,313 0,250

0,0640,024

- 0,0740,2260,674

- 0,374

0,300

0,0710,025

- 0,0850,2650,785

- 0,435

0,350

0,175 0,100

- 0,150 0,350 1,150

- 0,650

0,500

0,2440,067

- 0,2670,7332,267

- 1,267

1,000

A B C1 2 D3

M1

M2

Mb

A

0,101- 0,050- 0,050

0,450

0,068- 0,032- 0,032

0,219

0,080- 0,037- 0,037

0,263

0,090- 0,043- 0,043

0,307

0,213 - 0,075 -0,075

0,425

0,289- 0,133- 0,133

0,867

A B C1 2 D3

M2 Mb A

0,075- 0,050- 0,050

0,052- 0,032- 0,032

0,061- 0,037- 0,037

0,067- 0,043- 0,043

0,175 - 0,075 - 0,075

0,200- 0,133- 0,133

A B C1 2 D3

Mb Mc

B

Vbl

Vbr

- 0,117- 0,033

1,200- 0,617

0,583

- 0,073- 0,021

0,626- 0,323

0,303

- 0,087- 0,025

0,749- 0,387

0,362

-0,099- 0,029

0,871- 0,449

0,421

- 0,175 - 0,050

- 1,300 - 0,675

- 0,625

-0,311- 0,089

2,533- 1,311

1,222

A B C1 2 D3

Mb Mc

Vbl

Vbr

0,017- 0,067

0,017- 0,083

0,011- 0,042

0,011- 0,053

0,013- 0,050

0,013- 0,062

0,015- 0,057

0,015- 0,071

0,025 - 0,100

0,025 - 0,125

0,044- 0,178

0,044- 0,222

A B C1 2l l

D3l l

E4

M1 M2

Mb Mc

A

B

C

Vbl

Vbr

Vcl

0,0770,036

- 0,107- 0,071

0,3931,1430,9290,607 0,536

0,464

0,0520,028

- 0,067- 0,045

0,1830,5900,455

- 0,317 0,273

- 0,228

0,0620,032

- 0,080- 0,053

0,2200,7070,546

- 0,380

0,327- 0,273

0,0690,034

- 0,091- 0,060

0,2590,8220,638

- 0,441

0,381- 0,319

0,170 0,116

- 0,161 - 0,107

0,339 1,214 0,892

- 0,661

0,554 - 0,446

0,2380,111

- 0,286- 0,190

0,7142,3811,810

- 1,286

1,095- 0,905

A B C1 2 D3 E4

M1 Mb

Mc

A

0,100- 0,054- 0,036

0,446

0,067- 0,034- 0,023

0,217

0,079- 0,040- 0,027

0,260

0,088- 0,046- 0,031

0,298

0,2 10 - 0,080 - 0,054

0,420

0,286- 0,143- 0,095

0,857

A B C1 2 D3 E4

M2 Mb

Mc

A

0,080- 0,054- 0,036- 0,054

0,056- 0,034- 0,023

0,034

0,065- 0,040- 0,027- 0,040

0,071- 0,046-0,031- 0,046

0,183 - 0,080 - 0,054 - 0,080

0,222- 0,143- 0,095- 0,143

SCHEERER PROSKE

29

A B C1 2 D3 E4

Mb Mc

Md

B

Vbl

Vbr

- 0,121-0,018- 0,058

1,223- 0,621

0,603

- 0,076-0,012- 0,036

0,640- 0,326

0,314

- 0,090-0,013- 0,043

0,767- 0,390

0,377

- 0,102-0,015- 0,049

0,889- 0,452

0,437

- 0,181 -0,027 - 0,087

1,335 - 0,681

0,654

- 0,321-0,048- 0,155

2,595- 1,321

1,274

A B C1 2 D3 E4

Mb Mc

Md

B

Vbl

Vbr

0,0130,0540,049

- 0,080- 0,013

0,067

0,009- 0,033- 0,031- 0,050- 0,009

0,042

0,010- 0,040- 0,037- 0,060- 0,010

0,050

0,011- 0,045- 0,042- 0,067

0,011- 0,056

0,020 - 0,080 - 0,074 - 0,121

0,020 - 0,100

0,036- 0,143- 0,131- 0,214

0,036- 0,178

A B C1 2 D3 E4

Mb Mc

C

Vcl

- 0,036- 0,107

1,143- 0,571

- 0,023- 0,067

0,589- 0,295

- 0,027- 0,080

0,706- 0,353

- 0,031- 0,091

0,820- 0,410

- 0,054 - 0,161

- 1,214 - 0,607

- 0,095- 0,286

2,381- 1,191

A B C1 2 D3 E4

Mb Mc

C

Vcl

- 0,071 0,036

-0,214

0,107

- 0,045 0,023

-0,134

0,067

- 0,053

0,027-0,160

0,080

- 0,060

0,031-0,182

0,091

- 0,107

- 0,054 -0,321

- 0,161

- 0,190

0,095-0,571

0,286


30

A B C1 2l l

D3l l

E4l5 F

M1

M2

M3

Mb

Mc

A

B

C

Vbl

Vbr

Vcl

Vcr

0,0780,0330,0460,1050,0790,3951,1320,9740,6050,5260,4740,500

0,0530,0260,034

- 0,066- 0,050

0,1850,5820,484

- 0,,3160,266

- 0,2340,250

0,0620,0300,040

- 0,078- 0,059

0,2220,6970,581

- 0,3780,319

- 0,2810,300

0,0690,0320,043

- 0,089- 0,067

0,2610,8110,678

- 0,4390,372

- 0,3280,350

0,171 0,112 0,132

- 0,158 - 0,118

0,342 1,197 0,960

- 0,658 0,540

- 0,460 0,500

0,2400,0990,123

- 0,281-0,2110,7192,3511,930

- 1,2811,070

- 0,9301,000

A B C1 2 D3 E4 5 F

M1 M3 Mb

Mc

A

0,1000,0860,0530,0390,447

0,0680,059

- 0,033- 0,025

0,217

0,0790,070

- 0,040- 0,030

0,260

0,0880,076

- 0,045- 0,034

0,305

0,211 0,191

- 0,079 - 0,059

0,421

0,2870,228

- 0,140- 0,105

0,860

A B C1 2 D3 E4 5 F

M2

M3

Mb

Mc

A

0,079

- 0,0530,0390,053

0,055- 0,025- 0,033- 0,025- 0,033

0,064- 0,030- 0,040- 0,030- 0,040

0,071- 0,034- 0,045- 0,034- 0,045

0,181 - 0,059 - 0,079 - 0,059 - 0,079

0,205- 0,105- 0,140- 0,105- 0,140

A B C1 2 D3 E4 5 F

Mb

Mc

Md

Me

B

Vbl

Vbr

- 0,120- 0,022- 0,044- 0,051

1,218- 0,620 0,598

- 0,075- 0,014- 0,028- 0,032

0,636- 0,325

0,311

- 0,089- 0,016- 0,033- 0,038

0,761- 0,389

0,373

- 0,101- 0,019- 0,037- 0,043

0,883- 0,451 0,432

- 0,179 - 0,032 - 0,066 - 0,077

1,327 - 0,679

0,647

- 0,319- 0,057- 0,118- 0,137

2,581- 1,319

1,262

A B C1 2 D3 E4 5 F

Mb

Mc

Md

Me

B

Vbl

Vbr

0,014- 0,057- 0035- 0,054- 0,086 0,014- 0,072

0,009- 0,036- 0,022- 0,034- 0,054

0,009- 0,045

0,011- 0,043- 0,026- 0,040- 0,065

0,011- 0,053

0,012- 0,048- 0,030- 0,046- 0,072

0,012- 0,060

0,022 - 0,086 - 0,052 - 0,081 - 0,129

0,022 - 0,108

0,038- 0,153- 0,093- 0,144- 0,230

0,038- 0,191

A B C1 2 D3 E4 5 F

Mb

Mc

Md

Me

C

Vcl

Vcr

- 0,035- 0,111- 0,020- 0,057

1,167- 0,576

0,591

- 0,022- 0,070- 0,013- 0,036

0,605- 0,298

0,307

- 0,026- 0,083- 0,015- 0,043

0,725- 0,357

0,368

- 0,029- 0,094- 0,017- 0,048

0,841- 0,414

0,427

- 0,052 - 0,167 - 0,031 - 0,086

1,251 - 0,615

0,636

- 0,093- 0,297- 0,054- 0,153

2,447- 1,204

1,242

A B C1 2 D3 E4 5 F

Mb

Mc

Md

Me

- 0,071 0,032

- 0,059- 0,048- 0,194

0,103

- 0,044 0,020

- 0,037- 0,030- 0,121

0,064

- 0,052 0,024

- 0,044- 0,035- 0,144

0,076

- 0,060 0,027

- 0,050- 0,041- 0,163

0,086

- 0,106 0,048

- 0,088 - 0,072 - 0,291

0,154

- 0,188 0,086

- 0,156- 0,128- 0,517

0,274

SCHEERER PROSKE

31

C

Vcl

Vcr

- 0,091 - 0,057 - 0,068 - 0,077 - 0,136 - 0,242

Tabelle 2 Schnittgrößen für Durchlaufträger mit zwei bis fünf Feldern

Lastfall Kraft-größen Belastung 1 Belastung 2 Belastung 3 Belastung 4 Belastung 5 Belastung 6

l llll lJ K L M Nk l m n

MStütze MFeld V Auflager

-0,0830,0420,5001,000

-0,0520,0310,2500,500

-0,0620,0360,3000,600

-0,0710,0400,3500,700

-0,125 0,125 0,500 1,000

-0,2220,1111,0002,000


MStütze Mk=Mm Auflager

-0,0420,0830,500

-0,0260,0580,250

-0,0310,0670,300

-0,0360,0750,350

-0,063 0,188 0,500

-0,1110,2221,000


ML MK=MM L

-0,114-0,0221,184

-0,071-0,0140,615

-0,085-0,0170,736

-0,096-0,0190,855

-0,171 -0,034 1,274

-0,304-0,0602,488


MK=ML Ml MJ=MM

-0,0540,0710,014

-0,0330,0510,009

-0,0400,0590,010

-0,0450,0650,012

-0,079 0,171 0,021

-0,1410,1920,037

Tabelle 3 Schnittgrößen für Durchlaufträger mit unendlich vielen Feldern


32

2.6 Bemessungsmomente einachsig gespannter, durchlaufender Platten und Balken

2.6.1 Stützenmomente

Durchlaufende Platten und Balken dürfen bei der Schnittgrößenermittlung als frei drehbar ge-lagert angesehen werden. Konstruktive Eck- und Randeinfassungsbewehrungen sind nicht als Rahmenbewehrung zu betrachten.

Bei der Ermittlung der Stützenmomente wurde dementsprechend bisher eine gelenkige, schneidenförmige Lagerung angenommen (siehe Tabelle 2), was allerdings nicht mit der Wirklichkeit übereinstimmt. Im Bereich der flächigen Auflagerung über die Balken- bzw. Stützenbreite a wird die Spitze des Stützenmomentes abgerundet. Dadurch sinkt der Maxi-malwert M auf M'. Hierbei ist grundsätzlich zu unterscheiden, ob eine monolithische Verbin-dung mit der Unterstützung besteht oder nicht.

(1) Träger ist durch eine Fuge von der Unterstützung getrennt: Größtwert MEd – entspricht der Schneidenlagerung - wird auf den Scheitelwert MEd' abgemindert

MEd M 'Ed

a

CEd

'8Ed Ed Ed Ed EdaM M M M C∆= − = − ⋅

(9)

(2) Träger ist monolithisch mit der Unterstützung verbunden: maßgebend wird der größere Wert der beiden Momente an den Auflagerrändern

(10)

(a)

I II

MI MII

a

MEd

, ,

, ,

2

2

Ed I Ed Ed li I

Ed II Ed Ed re II

aM M V M

aM M V M

= − ⋅ ≥

= − ⋅ ≥

(10) (b)

Die Momente am Auflagerrand dürfen die Mindestwerte MI bzw. MII nach Abschnitt 2.6.2 nicht unterschreiten.

2.6.2 Mindestrandmomente

Weiterhin ist zu beachten, daß das Bemessungsmoment in den Anschnitten vertikaler Aufla-ger von Durchlaufträgern 65 % des Momentes bei Annahme voller Einspannung am Aufla-gerrand nicht unterschreiten darf.

7.3.2

Gl. (11)

7.3.2

(3)

SCHEERER PROSKE

33

Tragwerk:

Statisches System und Mindest-Randmomente MI und MII:

q1 Endfeld q2 Mittelfelder q3

leff,1 leff,2 leff,3

ln,1 ln,2 ln,3

2,1

10,658

nlq− ⋅ ⋅2

,220,65

12nlq− ⋅ ⋅

2,3

30,652

nlq− ⋅ ⋅

(11)

2.6.3 Mindestfeldmomente Wenn kein genauerer Nachweis der teilweisen Einspannung geführt wird, sind bei gleichmä-ßig verteilter Last folgende Mindestwerte der Feldmomente für die Bemessung einzuhalten.

Tragwerk:

Statisches System und Mindest-feldmomente:

q1q2 q3


2,1

1 14,2effl

q ⋅

2,2

2 24effl

q ⋅ 2,3

3 24effl

q ⋅

(12)

2.6.4 Negative Feldmomente Negative Feldmomente brauchen, wenn trotz biegesteifer Unterstützung freie Verdrehbarkeit an den Auflagern vorausgesetzt wurde, nur berechnet werden mit:

Platten und Rippendecken: Eigenlast + 0,5 ⋅ veränderliche Last Balken: Eigenlast + 0,7 ⋅ veränderliche Last (13)

2.7 Schnittgrößen wasserbautypischer Konstruktionen Ein spezieller Lastfall ist der Wasserdruck. Bei wasserbautypischen Konstruktionen kann der Wasserdruck von innen, z. B. Behälter, oder von außen wirken, z. B. Einbauten in Talsperren. Der Druck wirkt allseitig, die Höhe des Wasserdruckes pW ist abhängig vom Wasserstand hW.

10 kN/m³W W W Wp h hγ= ⋅ = ⋅ (14)

mit: pW Wasserdruck hW Wasserstandshöhe γW Wichte von Wasser

Bei Behälterwänden entstehen infolge des allseitigen Druckes große Normalkräfte in Kombi-nation mit Momenten- und Querkraftbeanspruchung. Um die Schnittgrößenermittlung zu er-leichtern, stehen verschiedene Tafelwerke zur Verfügung.

Rechteckige Behälter:

Grundsätzliche Schnittgrößenverläufe für rechteckige Behälter sind in Abbildung 5 zu sehen. Es gibt zahlreiche Tafelwerke, die für verschiedene Belastungsfunktionen die Schnittgrößen-ermittlung erleichtern. Im Horizontalschnitt durch die Wand sind Normal- und Querkräfte sowie Momente zu berechnen, im Vertikalschnitt Querkräfte und Momente. Das komplexe System kann in Teilsysteme unterteilt werden. Bei quadratischen Behältern können die Schnittgrößen in horizontaler Richtung am beidseitig eingespannten Stab berechnet werden, siehe Gleichung (15) ff. und Abbildung 5. Der Stab ist dreifach statisch unbestimmt. Die Stützkräfte A und B des Teilsystems bewirken Normalbeanspruchungen N in den angrenzen-den Wänden.

8.2 (5)


34

2! 3!

N V M

0p f zi = ( )

z

M V N

Abbildung 5: Schnittgrößenverläufe in den Wänden rechteckiger Behälter

(15)

(16)

2q lA B ⋅= =

2

max24Feld

q lM ⋅=

2

12⋅= −Stütze

q lM (17)

Bei quadratischen Behältern mit konstanten Wanddicken verdrehen sich die Ecken des Behäl-ters nicht, sie verschieben sich nur nach außen. Sind dagegen die Abmessungen der Wände stark unterschiedlich (Dicke und/oder Länge), kommt es auf Grund der Steifigkeitsunterschie-de zu Verdrehungen, die Schnittgrößen der kurzen und langen Wände sind nicht mehr gleich. Die langen Wände werden sich mehr durchbiegen, die Feldmomente werden also dort auch größer als bei den kurzen Wänden sein. Zur Veranschaulichung dient Abbildung 6.

pi

pa

pi

quadratischer Behälter unter Innendruck

quadratischer Behälter unter Außendruck

rechteckiger Behälter unter Innendruck

Abbildung 6: Verformung von rechteckigen Behältern unter Wasserdruck

Bei Außendruck, z. B. bei einem Entnahmeturm, ist in gleicher Weise zu verfahren, es ändern sich lediglich die Vorzeichen der Schnittgrößen.

Behälter mit Kreisquerschnitt:

In horizontaler Richtung entstehen in kreisförmigen Behältern nur Normalkräfte, bei Innen-druck Zug-, bei Außendruck demzufolge Druckkräfte.

Innendruck: 2

i ip dN Z ⋅= = (18)

Außendruck: 2

a ap dN D ⋅= = − (19)

mit: di, da Innen- bzw. Außendurchmesser pi, pa Innen- bzw. Außendruck

M

q

A Bl

SCHEERER PROSKE

35

pi

pi

Z Zpi

Z Z pi

d

Abbildung 7: Schnittgrößen bei Behältern mit Kreisquerschnitt bei Wasserinnendruck

Werden die Enden des Zylinders als ideal verschieblich (ohne Reibungsbehinderung) gelagert angesehen, entstehen in vertikaler Richtung keine zusätzlichen Biegemomente. In der Praxis kommt dieser Fall natürlich nicht vor. In Abhängigkeit von der Lagerung des Kopf- und Fuß-punktes des Behälters entstehen Biegemomente mit unterschiedlichen Absolutwerten und Schnittgrößenverläufen. Die Größe der Ringzugkräfte wird ebenfalls durch die Lagerungsbe-dingungen beeinflußt. Die Berechnung dieser Schnittgrößen übersteigt den Rahmen dieses Buches. In Abbildung 8 sollen lediglich qualitative Beispiele für mögliche Schnittkraftver-läufe in der Zylinderwand gegeben werden.

w++

w N Mhorizontal Ring vertikal

+ + +


+


+ +

Zylinder mit Innendruck

Fußpunkt frei verschieblich und verdrehbar

Fußpunkt eingespannt Fußpunkt gelenkig gelagert

Abbildung 8: Qualitativer Verlauf der Schnittgrößen in der Wand eines zylindrischen Be-hälters bei Wasserinnendruck


36

3 Bestandteile des Stahlbetons

3.1 Allgemeines Stahlbeton ist ein Verbundbaustoff, d. h. die Baustoffe Stahl und Beton wirken als eine Ein-heit statisch zusammen, wenn das Bauteil Beanspruchungen wie z. B. Biegung ausgesetzt wird. Die Kombination zweier Materialien funktioniert nicht immer so selbstverständlich wie bei Stahlbeton. Die Grundlagen für das gute statische und auch wirtschaftliche Zusammen-wirken sind folgende Materialeigenschaften:

• hohe Druckfestigkeit des Betons • hohe Zugfestigkeit des Stahls • Beton ist relativ preiswert, die Menge des relativ teuren Stahls wird optimiert • gleiche Wärmeausdehnung von Beton und Stahl • Korrosionsschutz des Stahls durch das alkalische Milieu des umgebenden Betons.

Für die Aufnahme von Zuglasten ist der Beton wegen seiner geringen Zugfestigkeit ungeeig-net. Unter Beachtung der erforderlichen Sicherheiten kostet die Aufnahme einer Zugkraft durch Stahl nur etwa ein Achtel dessen, was für ein Betonzugglied aufgewendet werden müß-te, vom Unterschied in der Leistungsfähigkeit der Materialien ganz zu schweigen. Eine Zusammenstellung verschiedener Materialien, ihrer Festigkeiten und ihrer Materialkosten ist in Tabelle 4 zu sehen.

Material Preis [€/kg]

Dichte ρ [kg/m³]

zul. Spannungσ [N/mm²]

Preis [€/m³]

Preis [€/MN]

Druck 25 3,3 Beton

Zug 0,04 2300

2,5 82,3

32,9 Glas (Einzelfilamente) 7,67 2800 2800 21 474,3 7,7 Stahl (eingebaut) 0,51 8000 500 4 090,3 8,2 Kohlenstoff 25,56 1800 4000 46 016,3 11,5 Spannstahl (eingebaut) 3,07 8000 1400 24 542,0 17,5 Holz 0,41 500 10 204,5 20,5 Brettschichtholz 0,85 600 14 512,3 36,6

Tabelle 4 Vergleich der Kosten verschiedener Baustoffe

Meist treten aber in Bauteilen sowohl Druck- als auch Zugspannungen auf. Die Idee war also, ein Konstruktionselement zu schaffen, bei dem die Druckkräfte von dem preiswerten Baustoff Beton, die Zugkräfte aber von Stahl oder anderen zugfesten, aber teureren Baustoffen aufge-nommen werden. Sind die inneren Schnittgrößen bzw. Spannungen nach Größe, Richtung und Lage bekannt, kann man die erforderlichen Stahleinlagen richtig bemessen und anordnen. Da-zu sollen nachfolgend die Grundlagen erarbeitet werden.

Eine Kurzfassung der Entwicklung des Stahlbetonbaus befindet sich in 14.1, ausführlicher kann sie in [36] oder in [37] nachgelesen werden. Der Baustoff Stahlbeton und seine einzelnen Bestandteile werden im Lehrbrief von SCHORN [34] ausführlich beschrieben. Nach-folgend werden nur einige besonders wichtige Zusammenhänge vorgestellt.

3.2 Beton Beton ist ein künstliches Gestein, das aus sogenannten Zuschlagstoffen, das sind Sand, Kies und/oder Splitt, sowie Wasser und Zement besteht. Dabei wirkt der Zement als Bindemittel. Seine Wirkungsweise im Beton kann man sich mit Hilfe von Abbildung 9 verdeutlichen.

9.1

SCHEERER PROSKE

37

(b)

"A"

(a) Abbildung 9: Druckübertragung durch ein Korngerüst in einem

Rohr

Wird ein Rohr mit einer Mischung aus Kies und Sand gefüllt und gut verdichtet, so kann die-ses Korngerüst große Kräfte übertragen. Das ist aber nur möglich, wenn horizontale Kräfte, die im Verhältnis zu den wirkenden vertikalen Kräften klein sind, aufgenommen werden kön-nen, wie Abbildung 9 (a) verdeutlicht. Diese Aufgabe übernimmt dort das umhüllende zugfes-te Rohr. Im Beton verklebt das Bindemittel die Zuschlagkörner miteinander und überträgt so-mit die zwischen den Zuschlagkörnern entstehenden Zugkräfte. Dadurch können horizontale Zugkräfte bis zu einem bestimmten Maß übertragen werden. Dieses Bindemittel wird im Be-ton aus Zementstein, einem chemischen Reaktionsprodukt einer Mischung aus Zement und Wasser, gebildet.

Das Grundprinzip der Herstellung eines künstlichen Steins war bereits den Römern bekannt. Der so hergestellte Werkstoff wurde als „opus caementitium“ bezeichnet [37]. Er war wie Be-ton hervorragend zur Übertragung von Druckkräften geeignet. Die Römer setzten ihn meist nur in Konstruktionsteilen ein, die durch Druckkräfte beansprucht wurden. Auch heute ist der Beton für druckbeanspruchte Bauteile einer der billigsten Baustoffe. Zu Betonbestandteilen, zu seiner Herstellung und Prüfung sowie zu besonderen Eigenschaften, unterschiedlichen Wichten und Festigkeiten siehe u. a. [26]. Im folgenden soll auf die Klassifizierung von Beton, die Druckfestigkeit, die genormten Spannungs-Dehnungs-Beziehungen sowie auf Schwinden und Kriechen eingegangen werden.

Beton kann anhand verschiedener Kriterien klassifiziert werden. Eine Möglichkeit ist, Beton nach seinem Gewicht einzuteilen, wie Tabelle 5 zeigt. Im Rahmen dieses Buches soll nur der Normalbeton betrachtet werden. Trockenrohdichte [kg/m³]Normalbeton 2000 ... 2600 Leichtbeton 800 ... 2000 Schwerbeton > 2600

Tabelle 5 Einteilung von Beton nach der Rohdichte

Die wichtigste Form der Unterscheidung ist die Einteilung des Betons in Druckfestigkeits-klassen. Betone nach DIN 1045-1 werden entsprechend Abbildung 10 bezeichnet.

C 35/45 = charakteristische Druckfestigkeit fck,cube von 15er Würfeln nach 28 d

C = "concrete" bei Normal- und Schwerbeton, LC = "lightweight concrete" bei Leichtbeton = charakt. Druckfestigkeit fck,cyl f hck = von Zylindern mit = 15 cm, = 30 cm nach 28 d∅

Abbildung 10: Bezeichnung der Betonfestigkeitsklassen

Aus Abbildung 10 wird deutlich, daß die Druckfestigkeit von Beton gestaltabhängig ist. Je kleiner und kompakter die Geometrie eines Prüfkörpers ist, desto höher wird die Festigkeit

3.1.4

bis

3.1.6


38

ausfallen. Bei Baustoffprüfungen in Deutschland ist der 15er Würfel am gebräuchlichsten, die Zylinderfestigkeit kommt dagegen der realen einaxialen Festigkeit von Beton am nächsten und ist der Bezugswert für die Bemessung. In der alten Fassung der DIN 1045 [10] wurden die Betone anhand der Festigkeit von 20er Würfeln klassifiziert. Ein Beton mit einer Nennfes-tigkeit von βWN = 35 N/mm² wurde z. B. als B 35 bezeichnet. Nach HARTZ [21] können die alten Festigkeitsklassen entsprechend Tabelle 6 in die neuen Festigkeitsklassen umgerechnet werden. alte Norm DIN 1045 (07/1988) [10] und Richtlinie für hochfesten Beton [28]

βWN [N/mm²] 5 10 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115

neue Norm DIN 1045-1 (07/2001) [11] fck [N/mm²] 8 8 12 20 30 35 45 55 60 70 80 90 100 fck,cube [N/mm²] 10 10 15 25 37 45 55 67 75 85 95 105 115

Tabelle 6 Betonfestigkeitsklassen und Umrechnung von der alten in die neue Norm, [21]

Außer der Geometrie beeinflussen auch die Lagerungsbedingungen während der Aushärtung des Betons dessen mechanische Eigenschaften. In Deutschland werden die Prüfkörper bis zum siebenten Tag unter Wasser und danach in einer Klimakammer in relativer Trockenheit mit definierten Umgebungsbedingungen bis zum 28. Tag aufbewahrt. In anderen europäi-schen Ländern werden die Prüfkörper bis zum 28. Tag unter Wasser gelagert, was zwangs-läufig auch zu anderen Festigkeiten führt. Die verschiedenen Werte können mittels Umrech-nungsfaktoren, die auf Grund von umfangreichen Versuchen empirisch gefunden wurden, ineinander umgerechnet werden, siehe z. B. [8] oder [32].

Der Bemessungswert der Druckfestigkeit fcd für die Nachweise im Grenzzustand der Tragfä-higkeit kann mit Hilfe des Teilsicherheitsbeiwertes für Beton und einem Faktor α berechnet werden, der den Einfluß der Dauerlast, der in jedem Bauwerk zum Tragen kommt, berück-sichtigt (näheres zum Sicherheitskonzept siehe Kapitel 4).

(20)

ckcd

c

ff αγ

= ⋅

mit: α Abminderungsbeiwert zur Berücksichtigung von Langzeitwirkun- gen auf die Druckfestigkeit von Beton, i. a. gilt: α = 0,85 γc Teilsicherheitsbeiwert für Beton, siehe auch Kapitel 4.5.2 γc = 1,5 ständige oder vorübergehende Bemessungssituation γ c = 1,3 außergewöhnliche Bemessungssituation

ab C 55/67 ist γc mit γc' zu multiplizieren: 1' 1,01,1

500

cckfγ = ≥

−

(21)

Für die Bemessung ist die Kenntnis von den Spannungs-Verformungs-Beziehungen der Bau-stoffe elementar. Die Ansichten über die Spannungsverteilung im Beton gehen sehr weit aus-einander und reichen von der dreieckförmigen bis zur rechteckigen Gestalt. An dieser Stelle soll auf Abschnitt 5.3.3 verwiesen werden, wo verschiedene Varianten der Druckspannungs-verteilung für Beton vorgestellt werden. Bei älteren Bemessungsverfahren, z. B. beim n-Ver-fahren, wurde der Zusammenhang zwischen Festigkeit und Verformung für Beton wie für einen linear-elastischen Baustoff durch das Balkentheorem von BERNOULLI - Ebenbleiben der Querschnitte unter Heranziehung des HOOK'schen Gesetzes - angenommen zu

c c cEσ ε= ⋅ . (22)

9.1.6

(2)

Gl. (67)

5.3.3

Tab. 2

5.3.3

Gl. 3

SCHEERER PROSKE

39

Der Elastizitätsmodul Ec sollte als Kennwert bzgl. der Verformungseigenschaften des Betons gelten, ist dazu aber wegen des nichtlinearen Formänderungsverhaltens des Betons ungeeig-net. Das wird nicht zuletzt durch die zahlreichen Bestimmungsverfahren für den Elastizitäts-modul des Betons deutlich, der für Biege-, Druck- und Zugbeanspruchung unterschiedlich ausfällt und als Sehnen- oder Tangentenmodul dargestellt werden kann.

Zahlreiche Versuche, von denen die Wichtigsten im Rahmen von Forschungsvorhaben des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton DAfStb durchgeführt und in der Schriftenreihe des Deutschen Ausschusses für Stahlbeton in den Heften 120 bis 207 beschrieben worden sind (als Beispiel sollen [30], [33] und [35] genannt werden), beschäftigten sich mit der Erfor-schung des Verformungsverhaltens von Beton. Dabei wurde festgestellt, daß dieses von zahlreichen Randbedingungen beeinflußt wird. Die wichtigsten sind:

• der Belastungsgrad σc/fck • die Belastungsgeschwindigkeit • die Art der Beanspruchung - Druck, Biegung oder Zug • die Dauer der Belastung.

Im Ergebnis ist festzustellen, daß es keine allgemein gültige Spannungs-Verformungs-Bezie-hung für die Betondruckzone gibt. Als Grundlage für ein Bemessungsverfahren muß daher je-weils eine begründete Annahme getroffen werden. Die direkte Anwendung der vorgenannten Forschungsergebnisse ist für ein praktisches Bemessungsverfahren zu aufwendig, selbst wenn die jetzt noch offenen Fragen einmal gelöst sein werden. Bei einem Bemessungsverfahren kann es sich daher nur um ein Näherungsverfahren handeln. Das trifft auch für das Traglast-verfahren in der alten und neuen DIN 1045 [10], [11] zu, das auf Grundlage von Verfor-mungstheorien entwickelt wurde und den in der CEB-FIP-Richtlinie [6] festgelegten inter-nationalen Kenntnis- und Erfahrungsstand berücksichtigt.

In der DIN 1045-1 sind folgende drei σ-ε-Linien für Beton für die Querschnittsbemessung ge-normt. Die Grenzwerte für die Verformungen sind abhängig von der Betonfestigkeitsklasse. Grundsätzlich kann gesagt werden, daß mit steigender Festigkeit die Homogenität des Betons und damit seine Sprödigkeit zunehmen, was eine Abnahme der Verformungen zur Folge hat. Weiterhin soll erwähnt werden, daß Beton kriecht, d. h. sich unter Dauerlasten zeitabhängig plastisch verformt.

Parabel-Rechteck-Diagramm Bilineares Diagramm Rechteckblock

cc f ( )= c = fcd

fcd

xk x

2

1 1n

cc cd

c

f εσε

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Abbildung 11: σ-ε-Linien für Beton nach [11]

fck ≤ 50 N/mm²: 0,95 und 0,80kχ ≈ =

fck > 50 N/mm²: 1,05 und 1

500 250ck ckf fkχ = − = −

9.1.6


40

Die allgemein gültigen Kennwerte εci sind DIN 1045-1, Tabelle 9 – Normalbeton – bzw. Ta-belle 10 – Leichtbeton – zu entnehmen; für Normalbeton siehe Tabelle 7. Zeile Spalte ... 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15 16

Kenn-größe Festigkeitsklassen

1 fck ... 16 20 25 3 35 40 45 50 ... 100 [N/mm²] 2 fck,cube ... 20 25 30 37 45 50 55 60 ... 115 [N/mm²] 3 fcm ... 24 28 33 38 43 48 53 58 ... 108 [N/mm²] 4 fctm ... 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 ... 5,2 [N/mm²] 5 fctk;0,05 ... 1,3 1,5 1,8 2 2,2 2,5 2,7 2,9 ... 3,7 [N/mm²] 6 fctk;0,95 ... 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 ... 6,8 [N/mm²] 7 Ecm ... 27,4 28,8 30,5 31,9 33,3 34,5 35,7 36,8 ... 45,2 [kN/mm²]... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10 n 2 ... 1,55 [-] 11 εc2 -2 ... -2,2 [‰]

12 εc2u -3,5 ... -2,2 [‰]

13 εc3 -1,35 -1,7 [‰]

14 εc3u -3,5 -2,2 [‰]

Tabelle 7 Materialkennwerte von Normalbeton, Auszug aus DIN 1045-1 [10]

In den Zeilen 4 ... 6 in Tabelle 7 sind die mittlere zentrische Zugfestigkeit und zwei Quantilwerte der Zugfestigkeit angegeben. Letztere werden in Kapitel 4 näher erläutert. Wie leicht zu erkennen ist, ist der Unterschied zwischen Druck- und Zugfestigkeit beachtlich. Deshalb und wegen der erheblichen Streuungen, die bei Zugversuchen auftreten, wird bei der Bemessung die Zugfestigkeit von Beton in der Regel nicht angesetzt. Bei der Verankerung der Bewehrung und bei der Problematik der Rißbildung kann man die Zugfestigkeit aber nicht vernachlässigen.

Die zentrische Zugfestigkeit fct stellt annähernd den Wert der tatsächlichen Zugfestigkeit des Betons dar. Die zuverlässige Bestimmung dieses Kennwertes in Versuchen ist aber schwierig, da schon eine geringe Exzentrizität in der Lasteinleitung zu stark abweichenden Ergebnissen führt. Die Zugfestigkeit ist u. a. abhängig von der Art der Zuschläge und der Betonzusammen-setzung, vom Betonalter, von den Erhärtungsbedingungen (Problematik Schwindrisse, siehe unten und Abschnitt 10.3.1), von der Prüfkörpergröße und –geometrie und den Umgebungs-bedingungen wie Temperatur und Feuchte.

Außer der zentrischen Zugfestigkeit sind noch die Spaltzugfestigkeit und die Biegezugfestig-keit zu erwähnen. Die Spaltzugfestigkeit fct,sp ist eine Größe, die direkt bei der Bemessung nicht benötigt wird, sie kann aber versuchstechnisch relativ einfach ermittelt werden. Sie ist nur geringfügig größer als die zentrische Zugfestigkeit.

Die Biegezugfestigkeit fct,fl ist die maximal aufnehmbare Zugspannung am Zugrand eines Biegebalkens. Sie ist größer als die Spaltzugfestigkeit und die zentrische Zugfestigkeit. Be-sonderen Einfluß auf das Versuchsergebnis hat die Höhe des Biegebalkens h. Je höher der Balken ist, desto niedriger ist die Biegezugfestigkeit. Bei der Ermittlung der Biegezug-festigkeit unterscheidet man zwischen Dreipunkt- und Vierpunktversuch. Bei der zuerst ge-nannten Versuchsanordnung ergeben sich um 10 ... 30 % höhere Werte, [24] und [26].

In Abbildung 12 sind mögliche Versuchsanordnungen zur Ermittlung der verschiedenen Zug-festigkeiten zu sehen.

9.1.7

Tab. 9

SCHEERER PROSKE

41

Z Z

15

6030

9

zentrische Zugfestigkeit

= Fu

15

Spaltzugfestigkeit

F /2u F /2u

l/3 l/3 l/360

15

Biegezugfestigkeit (4-Punkt-Biegeversuch)

Abbildung 12: Versuchsanordnungen zur Ermittlung von Zugfestigkeiten

Die bekannten mathematischen Beziehungen zwischen den verschiedenen Zugfestigkeiten sind i. d. R. auf empirischem Wege gefunden und können sehr unterschiedlich sein. An dieser Stelle soll sich auf REINHARDT und HILSDORF [26] bezogen werden.

Spaltzugfestigkeit fct,sp aus Versuchswerten: ,2 u

ct spFfd lπ⋅=⋅ ⋅

(23)

Zugfestigkeit fctm aus fct,sp berechnet: ,0,9ctm ct spf f= ⋅ (24)

Zugfestigkeit fctm aus fct,fl berechnet:

0,7

, 0,7

1,5100 mm

1 1,5100 mm

b

ctm ct flb

h

f fh

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠= ⋅⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(25)

Eine Besonderheit des Betons sind die zeitabhängigen Verformungen. Hauptsächlich sind hier Schwinden und Kriechen zu nennen.

Unter Schwinden versteht man die bedingt zeitabhängige und lastunabhängige Verkürzung von Beton. Es findet zum größten Teil in den ersten drei bis vier Jahren nach der Herstellung statt. Schwinden beruht auf Änderungen im Feuchtigkeitshaushalt des Zementgels, da mit der Zeit das chemisch nicht gebundene Wasser verdunstet und damit der Zementstein schrumpft. Schwinden ist teilweise reversibel. Es ist vor allem von folgenden Faktoren abhängig:

• Wasser- und Zementgehalt des Betons • Feuchte und Temperatur der umgebenden Luft • Bauteilabmessungen.

Das Gegenteil von Schwinden ist Quellen. Quellen kann bei hoher Umgebungsfeuchte oder Wasserlagerung auftreten. Unter Kriechen versteht man die zeit- und lastabhängige Zunahme von Verformungen, der Beton entzieht sich quasi einer aufgezwungenen Dauerbelastung. Beim Kriechen wird che-misch nicht gebundene Wasser aus den Mikroporen des Zementgels in die Kapillarporen ge-preßt, wo es verdunsten kann. Das Kriechen wird mit zunehmendem Betonalter schwächer, nach [24] kommt es aber erst nach sehr langer Zeit, zum Beispiel nach bis zu 20 Jahren bei Bauten im Freien, zum Stillstand. Kriechen ist vor allem von folgenden Faktoren abhängig:

• Umgebungsfeuchte • Betonzusammensetzung • Bauteilabmessungen • Erhärtungsgrad des Betons zu Beginn der Belastung • Dauer und Größe der Last.

Auch Kriechverformungen sind teilweise reversibel. Kriechen kann bei jeder Beanspru-chungsart auftreten, am häufigsten ist es bei Druckbelastung, z. B. bei vorgespannten Bautei-

9.1.2

(59)


42

len und Stützen, zu beobachten und bei der Bemessung zu berücksichtigen. Nimmt eine auf-gebrachte Spannung bei gleichbleibender Länge des Bauteils ab, spricht man von Relaxation.

3.3 Stahl

Da der Beton keine zuverlässig nutzbare Zugfestigkeit aufweist, ist zur Aufnahme von Zug-kräften ein anderes Material erforderlich, Stahl hat sich als besonders geeignet erwiesen. Bei den Betonstählen handelt es sich um Produkte, die gezielt für die Verwendung im Stahlbeton hergestellt werden. Sie sind dadurch gekennzeichnet, daß sie eine Optimierung hinsichtlich der notwendigen Gebrauchseigenschaften erfahren haben, z. B. bzgl.

• Festigkeit • Oberflächengestaltung zur Optimierung des Verbundes • Verformbarkeit (große Bruchdehnung, Duktilität) • Schweißeignung.

Als Betonstahl ist heute grundsätzlich nur noch gerippter Stahl zugelassen, der schweißgeeig-net sein muß. In der Regel wird zwischen Stabstahl und Betonstahlmatten unterschieden. Die wichtigsten Kennwerte für Betonstahl sind in Tabelle 8 zusammengestellt. Die Streckgrenze fyk ist mit 500 N/mm², der E-Modul Es mit 200.000 N/mm² festgelegt.

Benennung BSt 500 S(A) BSt 500 M(A) BSt 500 S(B) BSt 500 M(B) Erzeugnisform Betonstahl Betonstahlmatten Betonstahl Betonstahlmatten Duktilität normal hoch fyk [N/mm²] 500 (ft/fyk) ≥ 1,05 ≥ 1,08

εuk [‰] 25 50

Tabelle 8 Kenngrößen für Betonstahl, Auszug aus DIN 1045-1 [11]

Der Grenzwert für die maximal zugelassene Stahldehnung ergibt sich aus der Forderung, die Rißbreiten und die Durchbiegung zu beschränken. Im Zuge der neuen DIN 1045-1 wurde der bisherige Maximalwert von 5 ‰ auf εsu = 25 ‰ für die Querschnittsbemessung angehoben und damit an die europäische Normung angepaßt. Die σ-ε-Linie für die Querschnittsbemes-sung zeigt Abbildung 13.

arctan Es

idealisierter Verlauf Verlauf für die Bemessung vereinfachte Annahme

= 25 ‰2,172,5

Abbildung 13: σ-ε-Linien für Betonstahl, Querschnittsbemessung (fyd mit γs = 1,15 berechnet)

Abbildung 14 zeigt beispielhaft die σ-ε-Linien zweier verschiedener Stahlsorten, die in Ver-suchen ermittelt wurden. Es wird deutlich, daß die realen Werte von Bruchlast und Bruch-verformung von Stahl viel größer sind, als sie laut DIN 1045-1 zugelassen werden. Allerdings geht die Verfestigung nach Überschreiten der Streckgrenze mit sehr großen Verformungen einher, was die Gebrauchstauglichkeit eines Stahlbetonbauteils erheblich beeinflussen würde.

9.2.2

Tab. 11

9.2

9.2.4

SCHEERER PROSKE

43

Torstahl 60, kaltverformt = 738 N/mm² = = 600 N/mm² = 11,8 %

02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 2400

[N/mm²]

BSt III, naturhart = 664 N/mm² = 420 N/mm² = 24,1 %

= 25 ‰Bruchdehnung nach DIN 1045-1

Meßwerte600500400300200100

[‰] Abbildung 14: σ-ε-Linien für Betonstahl, Meßwerte zweier verschiedener Stahlsorten

3.4 Zusammenwirken von Stahl und Beton Für das Zusammenwirken von Stahl und Beton ist Voraussetzung, daß beide Baustoffe unter äußerer Beanspruchung möglichst gleiche Verformungen erleiden. Das tritt nur ein, wenn zwischen beiden Baustoffen Kräfte übertragen werden können, siehe Abbildung 15. Diese Kräfte müssen an der Oberfläche des Stahls wirken, die in direkter Verbindung mit dem Be-ton steht.

Detail A:

Stab

läng

e l

Detail A

ss

ll

=⋅

ii

ll

=⋅

cc

ll

=⋅

(a) belasteter Stahlbetonstab (b) Verformung von Stahl und Beton,

bei Verbund: = =i c sl l l∆ ∆ ∆

kein Verbund: >c sl l∆ ∆

(c) Verbundwirkung am profilier-ten Stab: Über Profilierung oder Haftung zusätzlich in den Stahl eingetragene Druckkräfte erzwin-gen die gleiche Verformung wie im umgebenden Beton.

Abbildung 15: Beispiel zur Erläuterung der Verbundwirkung zwischen Stahl und Beton

Unter Abbildung 15 (a) ist ein nicht knickgefährdeter Stahlbetonstab dargestellt, der auf Druck beansprucht wird. Entsprechend Gleichung (26)

Eσ ε= ⋅ (26)

ist mit der Beanspruchung σ eine Verformung ε verbunden, die bei Druck zu einer Stauchung, also Verkürzung, des Stabes führt. Wegen der unterschiedlichen E-Module von Stahl und Be-ton ergäben sich die unter (b) dargestellten unterschiedlichen Verformungen D∆lc > ∆ls, wenn sich beide Baustoffe unabhängig voneinander verformen könnten, denn jeder würde nur den Lastanteil aufnehmen, der direkt auf seine Querschnittsfläche entfällt und sich entsprechend seiner spezifischen Materialeigenschaften verformen. Bei einem Bewehrungsanteil As von z. B. 1 % · Ac entfiele dann auch nur 1 % der Last auf den Bewehrungsstahl, der dann aber die


44

gleiche Spannung aufweisen würde wie der umgebende Beton. Das führt aber nach Gleichung (26) zu den schon in Abbildung 15 (b) dargestellten unterschiedlichen Verformungen im Kurzzeitversuch. Bei einem Beton der Festigkeitsklasse C 30/37 würden sich also die Verfor-mungen zwischen Beton und Stahlstab um den Faktor 6,3 unterscheiden (Gleichung (27)). Schwinden und Kriechen des Betons würden die Verformungsdifferenzen noch vergrößern.

200000 6,331900

= ⋅ = ⋅ ≈ ⋅sc s s s

c

EE

ε ε ε ε (27)

Der Verbund, dessen Wirkungsweise für den Rippenstahl unter Abbildung 15 (c) veranschau-licht wird, verhindert nun solche Verformungsdifferenzen und erzwingt die gleiche Verfor-mung beider Baustoffe in Querschnittsfasern, die den gleichen Abstand von der Dehnungs-nullinie haben. Das wird zuerst erreicht durch den Haftverbund in der Berührungsfläche zwischen Beton und Stahl. Nach dessen Versagen wirkt der Reibungswiderstand, bei profilierten Stählen (Rippenstählen) auch der Scherwiderstand der Betonkonsolen zwischen den Rippen der Bewehrungsstähle. Die sich dabei einstellende Verformung εi erhält man aus folgender Beziehung:

1=

+ ⋅c

iln

εερ

(28)

(29) mit: n Verhältnis der E-Module beider Baustoffe, s

c

EnE

=

ρl geometrischer Bewehrungsgrad, sl

c

AA

ρ = (30)

In Zugstäben und in Zugbereichen von Biegeträgern kommt es bei Überschreitung der Beton-zugfestigkeit zur Rißbildung. Im Riß selber muß der Bewehrungsstahl die ganze Zugkraft allein übertragen, zwischen den Rissen wird durch den Verbund der Beton zur Mitwirkung gezwungen, bis er wieder seine Zugfestigkeit erreicht und erneut reißt. In diesem Zusammen-hang wird von Erstrißbildung und von abgeschlossener Rißbildung gesprochen. Einzelheiten dazu können SCHIESSL [31] und Abschnitt 10.3 entnommen werden.

In DIN 1045-1 sind in Bild 30 alle für die Bemessung zulässigen Dehnungsverteilungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit geregelt, siehe Abbildung 16. Dargestellt sind links der Linie 0 – 0 die Dehnungen des Betonstahls As1 (untere Bewehrungslage) und As2 (oben liegend) und rechts der Linie 0 – 0 die Betonstauchungen am oberen und unteren Rand des Querschnitts.

As2

As1

3 ‰

2

1a

b c

2

1

d

(*)

max = s2 max = 25 ‰s1

2,175 ‰ -2 ‰

e

C

0

s = c = 0 ‰

h d

Abbildung 16: Mögliche Dehnungsverteilungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit für

Stahlbetonbauteile nach DIN 1045-1 [11]

Im folgenden soll erläutert werden, welche verschiedenen Belastungskombination durch die einzelnen Bereiche gekennzeichnet werden, siehe auch [24].

10.2

B. (30)

SCHEERER PROSKE

45

• Bereich zwischen a und b Im Querschnitt treten nur Zugdehnungen mit max. εs = 25 ‰ auf. Es handelt sich um Zugstäbe unter zentrischer Zugbeanspruchung oder unter Längszug mit geringem außermittigen Lastangriff. Als Bauteilwiderstand wirkt nur der Bewehrungsstahl, dessen Versagen gleichzeitig die Bruchursache ist.

• Bereich zwischen b und c Eine solche Dehnungsverteilung tritt bei reiner Biegung oder bei Biegung mit Längskraft mit großer oder mittlerer Ausmitte auf. Bei der Längskraft kann es sich sowohl um Druck als auch um Zug handeln. Am oberen Querschnittsrand variiert die Betonstauchung zwischen 0 und εc2u, der Stahl ist mit ei-ner Dehnung von εs1 = εuk = 25 ‰ maximal ausgelastet. Bruchursache ist das Versa-gen des Bewehrungsstahls.

• Bereich zwischen c und d Es handelt sich wie zuvor um reine Biegung oder Biegung mit Längskraft mit großer oder mittlerer Ausmitte. Am oberen Quer-schnittsrand ist der Beton mit der maximal zulässigen Stauchung εc2u gedrückt – bei normalfestem Beton 3,5 ‰, sonst geringer –, die

Stahlspannung εs1 variiert im linken Teil von + 25 ‰ ... 3 ‰. Das heißt, es ist "zuviel" Stahl eingelegt, welcher nicht voll ausgenutzt wird. Versagen wird hier der Beton, nachdem der Stahl über die Streckgrenze hinaus gedehnt wurde. Der Bereich ab 3 ‰ und kleiner steht für Biegung mit Längsdruckkraft mit mittlerer und kleiner Ausmitte. Die Bewehrung ist nicht ausgenutzt, der Beton ist jedoch immer noch maximal gestaucht. Der Bruch wird infolge Betonversagens eintreten, bevor der Bewehrungs-stahl seine Streckgrenze erreichen konnte. Die Linie (*) kennzeichnet die Kombina-tion volle Auslastung des Betons und Auslastung des Stahl lediglich bis zur Streck-grenze (εs = 2,175 ‰).

• Bereich zwischen d und e Der Querschnitt weist nur Druckspannungen auf. Es handelt sich um Be-anspruchungskombinationen von Längsdruckkraft mit kleiner Ausmitte bis zu zentrischer Druckbeanspruchung. Dabei muß mit kleiner werdender Ausmitte, also mit zunehmender Stauchung am oberen Rand die zulässige Verformung am oberen Rand vermindert werden. Die zulässigen Span-nungs-Dehnungs-Linien drehen sich um den Punkt C. Unter zentrischem

Druck beträgt die maximal zulässige Stauchung εc2, also bei normalfestem Beton 2,0 ‰. Bruchursache ist das Versagen des Betons. Anmerkung: Bei geringen Ausmitten bis ed/h ≤ 0,1 darf bei Normalbeton der Grenz-wert von 2,0 auf 2,2 ‰ angehoben werden.

3.5 Andere Bewehrungsmaterialien Als Bewehrung sind grundsätzlich alle zugfesten Baustoffe geeignet, die mit dem Beton einen Verbund eingehen können, mit diesem chemisch verträglich sind und annähernd die gleiche Wärmeausdehnung haben. Besonders aus wirtschaftlichen Gründen ist jedoch Stahl das heute vorwiegend eingesetzte Material für diesen Zweck. In Ländern mit entsprechenden Vorkom-men wurde schon Bambus als Bewehrung eingesetzt, verstärkt wird auch daran gearbeitet, Holz als Bewehrung zu verwenden. Die Anfälligkeit gegen Schädlinge und die Liefermög-lichkeiten setzen hierbei aber noch enge Grenzen.

Z Z

p

D

D

p


46

Bedeutender erscheint da der Einsatz von Glas- und Kohlefasern. Während Kurzfasern schon verhältnismäßig verbreitet sind, auch Kurzfasern aus Stahl, steht der Einsatz textiler Struktu-ren erst am Anfang der Entwicklung, siehe u. a. CURBACH [7]. Mit textilen Strukturen lassen sich gegenüber dem Einsatz von Kurzfasern erhebliche Materialeinsparungen erzielen, weil textile Bewehrungen in ihrer Lage der Zugrichtung angepaßt werden können, während Kurz-fasern meist ungerichtet im Beton liegen. Wenn textile Strukturen preiswert angeboten wer-den können und die technologischen Probleme, die mit dem Einbau solcher Bewehrungen noch verbunden sind, erfolgreich bewältigt werden können, ist mit einem verstärkten Einsatz dieser Bewehrungselemente zu rechnen. Ein vollständiger Ersatz der Stahlbewehrung durch textile Bewehrung ist jedoch nicht zu erwarten, vielmehr können neue Anwendungsmög-lichkeiten für bewehrten Beton erschlossen werden, z. B. bei extrem dünnwandigen Bauteilen, die bisher wegen der Mindestdicken zur Gewährleistung des Korrosionsschutzes nicht denk-bar waren.

Eine weitere Alternative zu den herkömmlichen Verbundbaustoffen ist durch die Verwendung von Glasfaserkabeln gegeben, die vor allem als Spannglieder eingesetzt werden können. Aber auch auf diesem Gebiet muß noch viel getan werden, um einen allgemeinen und wirtschaft-lichen Einsatz zu ermöglichen.

Bzgl. der Materialeigenschaften sind Kohlefasern noch besser geeignet als Glasfasern, aber deren derzeitiger Preis läßt einen wirtschaftlichen Einsatz auf breiter Basis noch nicht zu.

3.6 Anforderungen an die Dauerhaftigkeit

3.6.1 Expositionsklassen

Bei der Bemessung eines Tragwerkes werden grundsätzlich Nachweise in den Grenzzustän-den der Tragfähigkeit und der Gebrauchsfähigkeit geführt. Gleichzeitig ist aber auch auf eine ausreichende Dauerhaftigkeit der Konstruktion zu achten, d. h. das Bauteil bzw. das Bauwerk muß innerhalb des vorgesehenen Nutzungszeitraumes die Anforderungen an die Tragfähigkeit und die geplante Nutzung erfüllen. Beispiele für dem Entwurf zugrunde liegende Lebensdau-ern von Tragwerken sind in Tabelle 9 zusammengestellt.

Entwurfs-Lebensdauer in [a] Beispiele

1 ... 10 Tragwerke mit befristeter Standzeit 10 ... 25 Austauschbare Teile wie Kranbahnträger und Lager 15 ... 30 Landwirtschaftlich genutzte Tragwerke

50 Hochbauten und andere gebräuchliche Tragwerke 100 monumentale Hochbauten, Brücken und andere Ingenieurbauwerke

Tabelle 9 Entwurfs-Lebensdauern nach [15]

Die Nachweise zur Sicherung der Gebrauchstauglichkeit und der Dauerhaftigkeit können oft nicht voneinander getrennt werden, z. B. dient die Beschränkung der Rißbreite sowohl der Sicherstellung einer ansprechenden Optik als auch der Gewährleistung eines ausreichenden Korrosionsschutzes. Einschränkungen bzgl. der Nutzungseigenschaften können nicht grund-sätzlich vermieden werden, der Instandhaltungsaufwand sollte sich aber in angemessenen Grenzen bewegen.

Die Umgebungsbedingungen werden in der in DIN 1045-1 aufgrund von chemischen und physikalischen Einwirkungen differenziert. Einflüsse auf die Dauerhaftigkeit können z. B. Zwangsbeanspruchungen aus behinderter Verformung oder auch das Einwirken aggressiver

6.2

SCHEERER PROSKE

47

Medien wie Tausalz oder Salzwasser oder das Vorhandensein einer ständigen hohen Luft-feuchtigkeit sein.

Jedes Bauteil ist entsprechend der Umgebungsbedingungen, die direkt einwirken, in Exposi-tionsklassen einzuordnen. In Abhängigkeit davon wird eine Mindestbetonfestigkeitsklasse festgelegt, die nicht unterschritten werden darf. Für ein Bauteil können natürlich auch mehre-re Expositionsklassen zutreffen. Maßgebend wird dann immer die höchste Mindestbetonfes-tigkeitsklasse. Die Expositionsklassen sind im Anhang, Kapitel 14.3 tabelliert.

Zur Sicherstellung der Dauerhaftigkeit müssen auch noch weitere Anforderungen, z. B. an die Betonzusammensetzung, erfüllt werden, nähere Angaben können DIN EN 206 [14] und DIN 1045-2 [12] entnommen werden.

3.6.2 Betondeckung Die wichtigsten Aufgaben der Betondeckung sind der Schutz der Bewehrung vor Korrosion und die Sicherstellung eines guten Verbundes zwischen Stahleinlagen und Beton. DIN 1045-1 schreibt Mindestwerte cmin für die Betondeckung in Abhängigkeit von der Expositionsklasse vor, die nicht unterschritten werden dürfen, siehe Tabelle 10.

Karbonatisierungsinduzierte Korrosion

Chloridinduzierte Korrosion

Chloridinduzierte Korro-sion aus Meerwasser

Anforderungen an die Betondeckung [mm]

XC 1 XC 2 XC 3 XC 4 XD 1 XD 2 XD 3 XS 1 XS 2 XS 3 Betonstahl allgemein cmin ≥ ds bzw. dsV cmin 1) 2) 10 20 25 40

∆c (Vorhaltemaß) 10 15 1) Zusätzlich für Leichtbeton: cmin ≥ dg + 5 mm (außer XC 1) 2) Bei Verschleißangriff: XM 1: cmin + 5 mm; XM 2: cmin + 10 mm; XM 3: cmin + 15 mm

Tabelle 10 Mindestbetondeckung cmin und Vorhaltemaß ∆c, Auszug aus DIN 1045-1 [11]

Der Mindestwert cmin muß um das Vorhaltemaß ∆c vergrößert werden. Dadurch sollen un-planmäßige Abweichungen vom Sollwert, z. B. durch nicht korrekt verlegte Bewehrung oder Fehler beim Einbau von Abstandhaltern, berücksichtigt werden. Das Vorhaltemaß ∆c darf um 0,5 cm verringert werden, wenn eine ständige Qualitätskontrolle von der Planung bis zur Bauausführung dies rechtfertigt. Wird auf unebene Flächen oder direkt auf den Baugrund betoniert, muß ∆c um mindestens 20 mm ... 50 mm erhöht werden.

Das Nennmaß der Betondeckung cnom ergibt sich als Summe aus Mindestbetondeckung cmin und Vorhaltemaß ∆c.

minnomc c c∆= + (31)

6.3

Tab. 4

6.3


48

4 Sicherheitskonzept

4.1 Allgemeines Bauwerke haben im Sinne der Bauordnungen sicher zu sein, d. h. die öffentliche Sicherheit und Ordnung, insbesondere Leben und Gesundheit nicht zu gefährden. Sicherheit ist die Fä-higkeit eines Tragwerkes, Einwirkungen zu widerstehen. Die Zuverlässigkeit eines Tragwer-kes ist ein Maß für die Sicherstellung dieser Fähigkeiten. Die Zuverlässigkeit wird im gegen-wärtig vorliegenden Bauvorschriftenwerk als Wahrscheinlichkeit interpretiert. Zusätzlich wird bei außergewöhnlichen Einwirkungen gestattet, ein Restrisiko zu akzeptieren. Damit wird neben der Wahrscheinlichkeit des Versagens auch die Konsequenz des Versagens des Tragwerkes berücksichtigt. Dieses Maß erlaubt die Einordnung der Gefährdung durch Bau-werke im Vergleich zu anderen natürlichen und technischen Risiken.

E

R

f

Versagen

Abbildung 17: Darstellung der Zuverlässigkeit als Wahrscheinlichkeit der Übertretung eines Grenzzustandes, der eine Funktion der Einwirkung E und des Widerstandes R eines Tragwerkes ist. Die Unsicherheiten der beiden Größen folgen statisti-schen Verteilungsfunktionen.

Die Zielwerte für die Versagenswahrscheinlichkeit liegen bei Nachweisen der Tragfähigkeit bei ca. 10-6 pro Jahr und beim Nachweis der Gebrauchstauglichkeit bei ca. 10-3 pro Jahr. Grundlage für die Wahl einer Wahrscheinlichkeit als Zuverlässigkeitsmaß ist eine statistische Beschreibung der Eingangsgrößen für die Nachweise. Dieser Grundsatz spiegelt sich auch in dem Sicherheitskonzept wider, das der DIN 1045-1 zugrunde liegt, da hier charakteristische Werte für die Eingangsgrößen gewählt wurden. Diese sind als Quantilwerte festgelegt. Ein Quantil ist ein beliebiger Wert einer Zufallsgröße, der mit einer bestimmten Wahrscheinlich-keit erreicht oder überschritten wird.

Damit wird implizit vorausgesetzt, daß zum einen genügend Informationen über die Zufalls-größe vorhanden sind und daß in der Tat die veränderlichen Einwirkungen oder die Eigen-schaften von Materialien zufälligen Schwankungen unterliegen. Systematische Fehler können also durch diesen Ansatz nicht berücksichtigt werden. Um systematische Fehler auszuschlie-ßen, werden grundlegende Forderungen erhoben, die sich sowohl auf die Bauplanung als auch auf die Ausführung beziehen.

Es ist sinnvoll, ein Sicherheitskonzept prinzipiell für alle Bauwerke zu entwickeln, unabhän-gig von der Art des Baumaterials. Dieser Überlegung folgt die DIN 1045-1 [11], deren Sicherheitskonzept auf der baustoffunabhängigen DIN 1055-100 [13] basiert. Durch diese neu erarbeitete Norm gelten grundsätzlich für alle in Deutschland errichteten Bauwerke die gleichen Sicherheitsanforderungen.

5

SCHEERER PROSKE

49

Ziel aller rechnerischen Nachweise ist es nachzuweisen, daß • eine ausreichende Tragfähigkeit, auch als Bruchsicherheit bezeichnet, • eine gute Gebrauchsfähigkeit und • eine ausreichende Dauerhaftigkeit

für die untersuchten Konstruktionen oder Bauteile gewährleistet werden kann. Die rechnerischen Nachweise erfolgen für alle Bemessungssituationen durch folgenden Ver-gleich:

einwirkenden Größe = auftretende Beanspruchungen ⇔

Grenze von Beanspruchbarkeit, Auf-nahmekapazität, Bauteilwiderstand oder maßgebender Wert einer bestimmten Bauteileigenschaft

Allgemein ist nachzuweisen:

(32)

(33)

(34)

bzw. d d d dE R E C≤ ≤

mit: Ed Bemessungswert einer Beanspruchung ( ),...,,...,,,...,, 212121 ddddddd XXaaFFE = Fd Bemessungswert einer Einwirkung , , ...dF G Pγ γ γ= ⋅ ⋅ ⋅ ad Bemessungswert einer geometrischen Größe Rd Bemessungswert des Tragwiderstandes ( ),...,,,...,, 2121 ddddd aaXXR = Xd Bemessungswert einer Baustoffeigenschaft Cd Bemessungswert des Gebrauchstauglichkeitskriteriums

(35)

Dabei werden die Bemessungswerte immer aus charakteristischen Werten gebildet, die um einen Sicherheitsfaktor erhöht wurden.

In den folgenden Abschnitten sollen nun die einzelnen Bestandteile des Nachweises entsprechend Gleichung (32) erläutert werden.

4.2 Grenzzustände der Beanspruchbarkeit

Die Sicherheit gilt als erbracht, wenn die Eigenschaften des Tragwerkes die Anforderungen aus Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit erfüllen. Wie schon erwähnt, sind entsprechend der Anforderungen hinsichtlich des vorgesehenen Nutzungszweckes während der geplanten Nutzungsdauer Nachweise für Tragwerke und Tragwerksteile in unterschiedlich definierten Grenzzuständen durchzuführen.

Man unterscheidet zwei Gruppen von Grenzen bzw. Grenzzuständen: • Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT):

Die Grenzzustände der Tragfähigkeit bezeichnen diejenigen Zustände, bei deren un-mittelbarer Überschreitung ein Einsturz oder eine andere Form des Versagens eintritt; gekennzeichnet sind sie durch einen der nachfolgend genannten Fälle: - Bruch oder Versagen eines Querschnittes - starke örtliche Verformungen - Ausbildung einer Gelenkkette - Umkippen des Tragwerks - Knicken oder Beulen (Stabilitätsversagen).


50

• Grenzzustand der Gebrauchtauglichkeit (GZG): Die Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit stellen die Nut-zungsbedingungen und Gebrauchseigenschaften, z. B. hinsichtlich der Bauteilverfor-mung, sicher. Diese Nachweise dürfen z. T. durch Einhalten von konstruktiven Regeln geführt werden. Die Überschreitung der Grenzzustände der Gebrauchtauglichkeit sind gekennzeichnet durch einen der nachfolgend genannten Fälle (Beispiele): - übermäßige Formänderungen, besonders Durchbiegungen, die die Nutzung behin- dern oder Einbauteile schädigen - übermäßige Rißbildung oder zu große Rißweiten - zu große (spürbare) Schwingungen - Eindringen von Wasser oder Feuchtigkeit - Korrosion der Bewehrung.

Eine ausreichende Dauerhaftigkeit des Tragwerkes darf bei Einhaltung bestimmter konstruk-tiver Regeln und bei einer regelgerechten Nachweisführung in den Grenzzuständen der Trag-fähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit als sichergestellt angesehen werden, Kapitel 3.6.

4.3 Beanspruchungen Als Beanspruchungen können auftreten:

• Lasten: - Eigenlast → sind verhältnismäßig gut bekannt - Nutz- oder Verkehrslasten mit deutlich größeren Streuungen als die Eigenlasten Angaben dazu in DIN 1055 [13], Teil 1 (Eigenlasten) und Teil 3 (Verkehrslasten).

• klimatische Einwirkungen: - Wind - Schnee - Temperatur Klimatische Einwirkungen werden durch wahrscheinlichkeitstheoretische Untersu-chungen aus 3-, 10- oder 100-Jahres-Zyklen (Meßwerten) ermittelt. Angaben dazu sind in DIN 1055, Teil 4 (Windlasten) und Teil 5 (Schnee- und Eislast) zu finden.

• Zwang: - innerer Zwang, z. B. infolge von unterschiedlichen Temperaturbeanspruchungen

über die Querschnittsdicke oder bei Behinderung der Formänderungen infolge von Temperaturänderungen oder von Schwinden in statisch unbestimmt gelagerten Kons-truktionen.

- äußerer Zwang, z. B. infolge unterschiedlicher Fundamentsetzungen Bei den Beanspruchungen sind noch folgende Begriffe zu beachten:

• Gebrauchslast: Dabei handelt es sich um die tatsächliche oder die wahrscheinlich zu erwartende Bean-spruchung.

• Traglast: Bruchlast oder Tragfähigkeit. Dabei handelt es sich um einen Rechenwert, meist um die mit einem Last- oder Sicherheitsfaktor vergrößerte Gebrauchlast.

4.4 Charakteristische und andere repräsentative Werte Sowohl Beanspruchungen als auch Beanspruchbarkeiten unterliegen Streuungen, die im allge-meinen durch die GAUß'sche Normalverteilung entsprechend Gleichung (36) ausreichend

SCHEERER PROSKE

51

angenähert werden können. Die Verteilung der Probenhäufigkeit ϕ(x), ausgehend vom Mittel-wert βWm, folgt der Beziehung:

( ) 2212

x

x e σϕσ π

−⋅= ⋅

⋅ ⋅ mit: ( ) Wmx xβ β= − (36)

Abbildung 18 zeigt zwei Verteilungskurven für den gleichen Mittelwert βWm. Diese beiden Betone sind aber hinsichtlich der Sicherheit nicht gleichwertig, da dafür die maßgebenden oder charakteristischen Festigkeitswerte – die sogenannten 5-%-Quantilwerte – übereinstim-men müßten, wie in Abbildung 19 gezeigt wird. Daraus ist zu erkennen, daß bei größeren Streuungen (größere Standardabweichung σ) auch ein größerer Mittelwert erreicht werden muß, um die gleiche Sicherheit zu erzielen, wie bei geringerer Streuung. Für die Wirtschaft-lichkeit bei der Fertigung ist es also z. B. wichtig, die Streuungen der Materialkennwerte möglichst gering zu halten. Nun wird auch verständlich, daß in der Norm charakteristische Werte und keine Mittelwerte als Grundlage für die Dimensionierung festgelegt sind.

050

100150200250300350400450500

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5x = β (x) - β Wm

Prob

enan

zahl

σ = Standardabweichungβ Wm = mittlere Festigkeit aller Proben*) charakteristischer Wert

σ / β Wm = 1/12 = 0,0833

σ / β Wm = 1/6 = 0,167

β Wm =0

*)

*)

Abbildung 18: Normalverteilungen bei gleichem Mittelwert βWm aber unterschiedlicher Standardabweichung σ

050

100150200250300350400450500

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5x = β (x) - β Wm

Prob

enan

zahl

σ = Standardabweichungβ Wm = mittlere Festigkeit aller Proben*) charakteristische Festigkeit = 0,83 β Wm,1

σ / β Wm,1 = 1/12 = 0,0833

σ / β Wm,2 = 1/6 = 0,167

β Wm =0

*)

β Wm,2 = 1,13 β Wm,1

β Wm,1 =

Abbildung 19: Normalverteilungen für gleichwertige Betone mit unterschiedlichen Standardabweichungen σ


52

Der charakteristische Wert einer Einwirkung wird entweder als Mittelwert einer statistischen Verteilung als oberer oder unterer Wert oder als Nennwert beschrieben. Die Eigenlasten eines Tragwerkes dürfen in den meisten Fällen durch einen einzigen charakteristischen Wert unter Berücksichtigung der Geometrie und der Durchschnittswichte nach DIN 1055-1 angegeben werden.

Bei einer veränderlichen Einwirkung entspricht der charakteristische Wert Qk entweder • einem oberen Wert, der während der festgelegten Bezugsdauer mit einer vorgegeben-

en Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird oder • einem festgelegten Nennwert, wenn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung unbekannt ist.

Bei veränderlichen Einwirkungen wird unterschieden, wie häufig mit deren Eintreten zu rech-nen ist. Einen Überblick über die Varianten gibt Abbildung 20.

Seltener Wert

Charakteristischer Wert

Bemessungswert

Häufiger Wert

Quasi-ständigerWert

98 % für Frep

90 % für FD

v+ = 300 bzw.95 % für Frep

50 % für Frep

t

F

Abbildung 20: Repräsentative Werte und Bemessungswerte einer veränderlichen Einwir-kung

Der charakteristische Wert Fk einer zeitabhängigen veränderlichen Einwirkung soll in der Re-gel so gewählt werden, daß er während eines Jahres mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % nicht erreicht bzw. nicht häufiger als im Mittel einmal in 50 Jahren überschritten wird.

Für außergewöhnliche Lasten werden üblicherweise keine charakteristischen Lasten sondern sofort Bemessungswerte bereitgestellt.

Bei häufigen Werten ψ1 · Fk ist davon auszugehen, daß der repräsentative Wert im Mittel 300mal pro Jahr überschritten wird bzw. die Überschreitungswahrscheinlichkeit im Mittel 5 % beträgt. „ψι“ ist ein Kombinationsbeiwert, siehe Abschnitt 4.5.3.

Der quasi-ständige Wert ψ2 · Fk einer veränderlichen Einwirkung steht für das zeitliche Mittel. Er wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % über- bzw. unterschritten.

4.5 Sicherheitsbeiwerte

4.5.1 Allgemeines

Wie schon erläutert, werden für die Bemessung die charakteristischen Werte von Einwirkun-gen und Bauteilwiderständen um Sicherheitsfaktoren erhöht. Im folgenden soll erläutert werden, wovon die Größe eines Sicherheitsfaktors abhängen kann.

In Abbildung 21 wird die Streuung einer Belastung, z. B. einer durch ein Moment erzeugten Spannung, der Streuung der Festigkeit in dem beanspruchten Bauteil gegenübergestellt.

SCHEERER PROSKE

53

0

50

100

150

200

250

300

-0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5x = σ (x) - σ m = β (x) - β Wm + 0,75

Häu

figke

it

= σ m

5)

= β Wm

2)

3)

4)

1)

1) char. Wert der Beanspruchung2) char. Wert der Festigkeit3) Bereich möglichen Versagens (Über- schneidung der beiden Verteilungskurven)4) Sicherheitsabstand der char. Werte5) Sicherheitsabstand der Mittelwerte

BelastungFestigkeit

Abbildung 21: Gegenüberstellung von Beanspruchung und Festigkeit, Beispiel

Es ist zu erkennen, daß es keine absolute Sicherheit gibt, sondern nur eine gewisse Wahr-scheinlichkeit, daß kein Versagen einritt. Zone 3), Abbildung 21, kennzeichnet den Bereich der Versagenswahrscheinlichkeit. Sie kann verringert werden, indem der Sicherheitsabstand zwischen Beanspruchung und Widerstand (Festigkeit) vergrößert wird. Dem sind aber Gren-zen gesetzt:

• Aus wirtschaftlichen Gründen kann der Sicherheitsabstand nicht beliebig groß gewählt werden.

• Selbst bei sehr großem Sicherheitsabstand verbleiben Überschneidungsbereiche. Der in größeren Abständen herausgegebene Bauschadensbericht der Bundesregierung [1] be-weist, daß es immer wieder zu Störfällen und zum Versagen von Konstruktionen kommt. Da sich jeder Ingenieur seiner Unzulänglichkeiten und derer anderer Mitwirkender bewußt sein muß, sollen an dieser Stelle einzelne Einflüsse ausführlich dargelegt werden. Dabei soll durch die Kennzeichnung „E“ für Einwirkung, Schnittgröße, Beanspruchung und Belastung (effect) bzw. „R“ (resistance) für Widerstand und Festigkeit deutlich gemacht werden, wo sich die genannten Unsicherheiten besonders auswirken. Es sollen nur die wichtigsten Einflüsse be-nannt werden. In Tabelle 11 werden Beispiele für Unsicherheiten angegeben.

1. E Ungenauigkeiten bei den Lastannahmen 2. E mangelhafte Erfassung der tatsächlichen Spannungen, weil unsere Gleichungen ein Modell der

Wirklichkeit beschreiben, nicht jedoch die Wirklichkeit selbst 3. E, R Abweichungen vom angenommenen statischen System 4. R Abweichungen der Baustoffeigenschaften von den angenommenen Werten 5. E, R Vernachlässigung der räumlichen Wirkung der Konstruktionen und Bauwerke 6. E, R Rechenungenauigkeiten und kleinere Rechenfehler 7. E, R Nichterkennen von Schnitten, die für die Bemessung maßgebend werden 8. E vernachlässigte Einwirkung, z. B. Zwang 9. R Fehler in der Bauausführung 10. R Mängel in der Festigkeit der Baustoffe, z. T. örtlich begrenzt 11. R falsche Lage der Bewehrung 12. R Korrosionseinflüsse

Tabelle 11 Zusammenstellung von Unsicherheiten


54

Jeder dieser Einflüsse müßte nun hinsichtlich seiner Eintretenswahrscheinlichkeit beurteilt werden und einen eigenen Faktor zugeteilt bekommen. Diese einzelnen Faktoren müßten dann getrennt betrachtet oder in geeigneter Weise zusammengefaßt werden. Die Verwendung solcher einzelner Faktoren wäre für eine normale Bemessung viel zu aufwendig und kom-pliziert. Auch ist es unwahrscheinlich, daß alle Einflüsse immer und gleichzeitig auftreten werden. Es muß also eine geeignete Zusammenfassung erfolgen, um eine praktikable Anwen-dung zu ermöglichen. Es dürfte aber deutlich geworden sein, daß ein ausreichend hoher Si-cherheitsbeiwert erforderlich wird. Weiterhin ist zu bedenken, daß es eine absolute Sicherheit nicht gibt, daß immer ein Rest an Unsicherheit (Versagenswahrscheinlichkeit) verbleibt.

Die Grenzzustände der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit unterscheiden sich insbe-sondere durch die für den jeweiligen Nachweis geforderte Sicherheit (Zuverlässigkeit). Die DIN 1055-100 [13] verwendet für die Nachweise in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit das Konzept der Teilsicherheitsbeiwerte. Teilsicherheitsbeiwerte sind Sicherheitsfaktoren, die einer Belastungs- oder Widerstandsgröße zugeordnet werden.

Die Belastungs- und Widerstandsgrößen sind repräsentative Werte. Der wichtigste repräsenta-tive Wert ist der charakteristische Wert (Gk, Qk, fck, ...). Zusätzlich werden beim repräsentati-ven Wert auch Kombinationsfaktoren ψ berücksichtigt, die die geringe Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens mehrerer extremaler Belastungen bei unabhängigen, zeitlich veränderlichen Lasten erfassen.

Mit Teilsicherheitsbeiwerten γ gewichtete repräsentative Größen werden als Bemessungswerte (Gd, Qd, fcd, ...) bezeichnet. Bemessungswerte einer Größe sind diejenigen Werte, bei denen mit größter Wahrscheinlichkeit ein Überschreiten des Grenzzustandes zu erwarten ist.

Durch diese Aufteilung in material- und einwirkungsabhängige Sicherheitsanteile können die unterschiedlichen Streuungen der einzelnen Kenngrößen genauer berücksichtigt werden. Die Bemessungswerte der Widerstandsgrößen – in Gleichung (37) für Beton und Stahl - werden allgemein wie folgt formuliert:

; ykckd

c s

ffR R αγ γ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (37)

4.5.2 Teilsicherheitsbeiwerte

Die Teilsicherheitsbeiwerte für die Bestimmung des Tragwiderstandes sind Tabelle 12 zu ent-nehmen.

Spalte 1 2 Zeile

Bemessungssituation Beton γc 1), 2) Betonstahl γs

1 Ständige und vorübergehende Bemessungssituation 1,5 1,15

2 Außergewöhnliche Bemessungssituation 1,3 1,0

1) für Beton ab C 55/67 siehe (26) 2) für unbewehrte Bauteile Erhöhung auf γc = 1,8 für die ständige und vorübergehende Bemessungssituation und auf γc = 1,55 für die außergewöhnliche Bemessungssituation

Tabelle 12 Teilsicherheitsbeiwerte für die Bestimmung des Tragwiderstandes

Die Teilsicherheitsbeiwerte für die Einwirkungen sind in DIN 1045-1, Tabelle 1, zusammen-gefaßt, Auszüge sind in Tabelle 13 zu sehen. Es ist anzumerken, daß im üblichen Hochbau ständige Lasten nicht günstig angesetzt werden brauchen und der Teilsicherheitsbeiwert auch bei durchlaufenden Bauteilen für alle Felder konstant angenommen werden darf.

5.2

(1)

5.3.3

Tab. (2)

SCHEERER PROSKE

55

Auswirkung Ständige Einwirkung γG Veränderliche Einwirkung γQ günstig 1,0 0

ungünstig 1,35 1,5

Tabelle 13 Teilsicherheitsbeiwerte für die Einwirkungen auf Tragwerke im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Die Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit werden in der Regel ohne Verwendung von Teilsicherheitsbeiwerten durchgeführt.

Durch das Konzept der Teilsicherheitsbeiwerte unterscheidet sich die DIN 1045-1 [11] deut-lich von der bisherigen Vorgehensweise nach DIN 1045 (07/1988) [10]. Dort und auch in der ETV Beton [16] wurde noch mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ gerechnet. Allgemein war nachzuweisen:

Widerstand Einwirkung oder Einwirkung Widerstand RE E Rγγ

≤ ⋅ ≤ (38)

Für den globalen Sicherheitsbeiwert galt 1,75 ≤ γ ≤ 2,10, wobei • der kleinere Wert für durch intensive Rißbildung vorangekündigtes Versagen (über-

wiegende Biegebeanspruchung), • der größere Wert für Versagen ohne Vorankündigung (sprödes Betonversagen, z. B.

bei völlig überdrückten Querschnitten) stand.

4.5.3 Kombinationsbeiwerte Wie in 4.5.1 erwähnt, wird mit Hilfe von Kombinationsfaktoren der Tatsache Rechnung getragen, daß es oft nur wenig wahrscheinlich ist, daß mehrere extremale Belastungen bei unabhängigen, zeitlich veränderlichen Lasten gleichzeitig auftreten.

In Abhängigkeit von der Bemessungssituation wird unterschieden zwischen: • seltener Wert: i. a. Produkt aus ψ0 ⋅ Qk • häufiger Wert: i. a. Produkt aus ψ1 ⋅ Qk • quasi-ständiger Wert: i. a. Produkt aus ψ2 ⋅ Qk.

In Tabelle 14 sind beispielhaft Kombinationsbeiwerte nach DIN 1055-100 [13] zusammenge-stellt. Bei mehreren gleichzeitig auftretenden Nutz- oder Verkehrslasten ist der jeweils größte Beiwert ψ zu verwenden. Einwirkung ψ0 ψ1 ψ2 Nutzlasten a Kategorie A Wohn- und Aufenthaltsräume 0,7 0,5 0,3

Kategorie B Büros 0,7 0,5 0,3 Kategorie C Versammlungsräume 0,7 0,7 0,6 Kategorie E Lagerräume 1,0 0,9 0,8 Verkehrslasten Kategorie H Dächer 0 0 0

Schnee- und Eislasten Orte bis + 1000 m ü. NN 0,5 0,2 0

Orte ab + 1000 m ü. NN 0,7 0,5 0,2 a Abminderungswerte für mehrgeschossige Hochbauten siehe DIN 1055-3

Tabelle 14 Bemessungswerte unabhängiger Einwirkungen im GZG

5.3.3

Tab. (1)


56

4.5.4 Einwirkungskombinationen

4.5.4.1 Grenzzustände der Tragfähigkeit

Die Nachweise für die Bemessung im GZT werden mit den Bemessungswerten der Bauteilwi-derstände Rd und den Bemessungswerten der Einwirkungen Ed unter Ansatz zusätzlicher, ma-terial- bzw. einwirkungsabhängiger Teilsicherheitsbeiwerte geführt. Für die Kombination der anzusetzenden Einwirkungen sind in den GZT drei unterschiedliche Bemessungssituationen zu unterscheiden:

Ständige und vorübergehende Bemessungssituation (nicht für Materialermüdung):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅⊕⋅⊕⋅⊕⋅= ∑∑>≥ 1

,,0,1,1,1

,,i

ikiiQkQkPj

jkjGd QQPGEE ψγγγγ (39)

Außergewöhnliche Bemessungssituation:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⊕⋅⊕⊕⋅⊕⋅= ∑∑>≥ 1

,,21,1,11

,,i

ikikdkPAj

jkjGAdA QQAPGEE ψψγγ (40)

Bemessungssituation infolge Erdbeben:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⊕⋅⊕⊕= ∑∑>≥ 1

,,21

,i

ikiEdlkj

jkdAE QAPGEE ψγ (41)

mit: ⊕ „in Kombination mit“ Ed Bemessungswert der Beanspruchung Gk charakteristischer Wert der ständigen Einwirkung Pk charakteristischer Wert der Vorspannung Qk charakteristischer Wert der veränderlichen Einwirkung Qk,1 Leitwert der veränderlichen Einwirkungen Ad Bemessungswert der außergewöhnlichen Einwirkungen AEd Bemessungswert infolge Erdbebens γG, γQ, γP, γPA Teilsicherheitsbeiwerte ψ0, ψ1, ψ2 Kombinationsbeiwerte γl Wichtungsfaktor (siehe DIN 1055-100 und Entwurf DIN 4149)

Unter den ständigen und vorübergehenden Bemessungssituationen werden alle während der Nutzungsdauer des Bauwerkes und im Bau- und Reparaturzustand des Bauwerkes planmäßig zu erwartenden Zustände verstanden. Eine außergewöhnliche Bemessungssituation bezeichnet einen Zustand während oder nach einer außergewöhnlichen Einwirkung wie Anprall oder Ex-plosion.

4.5.4.2 Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit

Die einzelnen Nachweise in den GZG sind in der Regel mit den folgenden Einwirkungskom-binationen, die sich durch den zu berücksichtigenden Anteil der veränderlichen Einwirkungen unterscheiden, zu führen. In diesen Einwirkungskombinationen werden die ständigen Einwir-kungen und die Vorspannung mit ihren charakteristischen Werten Gk bzw. Pk und der verän-derlichen Einwirkungen mit den maßgebenden Kombinationsbeiwerten berücksichtigt.

SCHEERER PROSKE

57

Seltene Einwirkungskombination:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⊕⊕⊕= ∑ ∑≥ >1 1

,,01,,,j i

ikikkjkrared QQPGEE ψ (42)

Häufige Einwirkungskombination:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⊕⋅⊕⊕= ∑ ∑≥ >1 1

,,21,1,1,,j i

ikikkjkfrequd QQPGEE ψψ (43)

Quasi-ständige Einwirkungskombination:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⊕⊕= ∑ ∑≥ >1 1

,,2,,j i

ikikjkpermd QPGEE ψ (44)

4.5.4.3 Vereinfachte Kombinationen für den Hochbau Um die Arbeit mit dem Konzept der Teilsicherheitsbeiwerte zu erleichtern, wurden verein-fachte Kombinationen für den Hochbau entwickelt. Es hat sich allerdings herausgestellt, daß die Erleichterung in vielen Fällen nur gering ist und zudem die berechneten Werte u. U. auf der unsicheren Seite liegen können. Darum wurden die vereinfachten Kombinationen bau-aufsichtlich nicht eingeführt, obwohl sie in der DIN 1055-100 zu finden sind. Auf die Vorstel-lung dieses Verfahrens wird hier verzichtet.


58

5 Biegebemessung

5.1 Allgemeines Die Bemessung soll einen ausreichenden Sicherheitsabstand zwischen Gebrauchslast und rechnerischer Bruchlast gewährleisten.

Die Stahlbetonbemessung beruht auf den Erkenntnissen über die Festigkeitseigenschaften der eingesetzten Baustoffe und ist bzgl. der theoretischen Grundlagen weitgehend unabhängig von den aktuellen Vorschriften. Die Grundlagen, die dafür erarbeitet wurden, können u. a. in [18], [19] und [24] nachgelesen werden. Ziel der Bemessung ist es, einen ausreichenden Si-cherheitsabstand zwischen Gebrauchslast und rechnerischer Bruchlast zu gewährleisten.

Bei der Biegebemessung muß nachgewiesen werden, ob einer äußeren Belastung – also einem Biegemoment – ein ausreichend großer innerer Widerstand – hier ein inneres Moment – ent-gegengesetzt werden kann. Der Sachverhalt ist in Abbildung 22 dargestellt.

q

Momentenlinieinfolge q

Balken verformt, Oberseite: Druck Unterseite: Zug

Balkenunverformt

MEd

+

Dc

Zs

Querschnitt mitresultierenden

Bauteilwiderständen:

Abbildung 22: Grundlagen der Biegebemessung

Der Balken wird in Trägermitte maximal durch ein äußeres Moment belastet. Der Balken biegt sich nach unten durch, an der Oberseite entstehen Druckspannungen, an der Unterseite Zugspannungen. Das Bauteil kann dieser Belastung an der Oberseite die Betondruckfestigkeit entgegensetzen, an der Unterseite müssen Stahleinlagen die Zugspannungen aufnehmen. Das Kräftepaar aus Betondruckkraft und Stahlzugkraft bildet das innere Moment. Sind die inneren Kräfte nach Lage und Größe bekannt, kann eine Aussage über die zulässige Belastung des Bauteils getroffen werden.

Diese Bauteilwiderstände sind resultierende Kräfte. Größe und Lage der Resultierenden sind von den Materialeigenschaften (druck- und zugfest oder nur druckfest; ideal elastisch, elastisch-plastisch oder nichtlinear elastisch) abhängig. Mögliche Grenzfälle werden in den nächsten beiden Abschnitten für den Rechteckquerschnitt besprochen. Dabei werden folgende Vereinbarungen getroffen:

• Es wird ein linearer Dehnungsverlauf über die Querschnittshöhe vorausgesetzt (Hypo-these von BERNOULLI vom Ebenbleiben der Querschnitte).

• Die Zugfestigkeit von Beton wird nicht angerechnet. Es wird von Zustand II – gerisse-ner Betonquerschnitt – ausgegangen.

• Es wird voller Verbund zwischen Stahleinlagen und Beton vorausgesetzt, d. h. es gilt in Höhe der Stahleinlagen εs = εc.

10.2

SCHEERER PROSKE

59

5.2 Spannungs- und Verformungszustände am statisch bestimmt gelagerten Biegebal-ken

Im Stahlbetonbau wird grundsätzlich zwischen zwei Zuständen unterschieden: • Zustand I: Der Beton ist auch in der Zugzone ungerissen. • Zustand II: Der Beton ist gerissen, Zugkräfte können nur noch vom Stahl aufge-

nommen werden. Zur Erläuterung soll der Balken aus dem vorigen Bild dienen. Solange die untere Randspan-nung unter der Biegezugfestigkeit fct,fl des Betons bleibt, ist der Querschnitt ungerissen, das Bauteil befindet sich im Zustand I, siehe Abbildung 23 links. Die Spannungsnullinie liegt bei Rechteckquerschnitten in der Schwerelinie des Bauteils.

MEd

Nullinie

Druck,Stauchung

Nullinie

Zug,Dehnung

ZUSTAND I ZUSTAND II

Bewehrungs-stahl As1

Betonquerschnitt Ac

b

h

2

Abbildung 23: Gegenüberstellung von Zustand I und Zustand II

Im Zustand I gilt für den Beton: ,c ct flfσ ≤ (45)

Im Zustand I gilt für den Stahl: * * = * ** *

* *

c c c s s s

c s

ss c

c

E E

EE

σ ε σ εε ε

σ σ

= ⋅ = ⋅=

= ⋅

(46)

mit: * Querschnittsfaser, in der die Stahleinlagen in den Beton eingebettet sind

Wird die Last weiter gesteigert, vergrößern sich die Verformungen, bis die Zugfestigkeit des Betons an der Unterseite des Balkens überschritten wird. Der Querschnitt beginnt an der ma-ximal beanspruchten Stelle oder an Stellen mit lokalen Schwachstellen zu reißen, das Bauteil geht in den Zustand II über, siehe Abbildung 23 rechts. Der wirksame Querschnitt besteht nur noch aus der Biegedruckzone und den Stahleinlagen.

5.3 Schnittgrößen und Gleichgewichtsbedingungen

5.3.1 Innere und äußere Kräfte

Bei der Biegebemessung werden Normalkräfte und Momente berücksichtigt. Als Bezugsach-se dient die Schwerachse des ungerissenen Betonquerschnitts.

Die Bemessungsgleichungen sollen an einem einfach bewehrten Rechteckquerschnitt herge-leitet werden, der entsprechend Abbildung 24 durch ein äußeres Moment MEd und eine äußere Normalkraft NEd beansprucht wird. MEd und NEd können durch eine außermittige Lage der Normalkraft N ersetzt werden. Fall a) zeigt eine exzentrische Zugkraft, Fall b) eine exzentri-sche Druckkraft. In Fall c) ist dargestellt, wie die äußeren Schnittgrößen auf die Schwerachse des Bewehrungsstahls bezogen werden, was für die Bemessung zweckmäßig ist.


60

MEd

b

h

N - als Zugkraft positiv, Fall a)

N - als Druckkraft negativ, Fall b)e

e

-

+

e M N = /Ed Ed

ys1

NEd

MEds = M N yEd Ed s - 1

N NEds Ed =

=Fall c)

=

Abbildung 24: Äußere Kräfte am einfach bewehrten Stahlbetonquerschnitt

Das Moment um den Schwerpunkt der Stahleinlagen MEds (Fall c)) besteht dann aus dem äußeren Moment MEd und einem Versatzmoment infolge des Verschiebens der Normalkraft in den Schwerpunkt der Stahleinlagen.

Allgemein gelten folgende Vorzeichenregeln: • Moment M: Absolutwert • Längskraft N: positiv = Zugkraft, negativ = Druckkraft • Querschnittswerte, z. B. ys1, d: Absolutwert

Die äußeren Kräfte sind durch Lastannahmen und Schnittgrößenermittlung bekannt.

Die inneren Kräfte werden durch die Bauteilwiderstände aktiviert. Sie stehen mit den äußeren Kräften im Gleichgewicht. Beim einfach bewehrten Balken setzt sich die Summe der inneren Kräfte aus der Betondruckkraft DEd,c und der Stahlzugkraft ZEd,s1 zusammen, Abbildung 25.

s cZ D= (47)

fyd

DEd,c

ZEd,s1b

h dz

x

Abbildung 25: Innere Kräfte am einfach be-

wehrten Stahlbetonquerschnitt

Begriffsbestimmungen und Erläuterungen zur Abbildung 25: • h Gesamthöhe des Querschnittes • b Breite des Querschnittes • d statische Nutzhöhe. Die statische Nutzhöhe d ist der

Abstand vom Schwerpunkt der Stahleinlagen zum meistgedrückten Rand. Sie ist kleiner als die Bau-teildicke h, da der Bewehrungsstahl von Beton über-deckt ist.

• b · d Nutzquerschnitt • x Druckzonenhöhe = Höhe der durch Druckspannungen beanspruchten Betonquer-

schnittsfläche. Sie kann mittels des Beiwertes ξ in Abhängigkeit von d angege-ben werden. x dξ= ⋅ (48)

• z Hebelarm der inneren Kräfte. Der Hebelarm z der inneren Kräfte ist der Abstand vom Schwerpunkt der Stahleinlagen zur resultierenden Druckkraft DEd,c und kann mittels des Beiwertes ζ in Abhängigkeit von d angegeben werden.

d

b

h

≥ cnom,büds,bü ≥ cnom,sl

SCHEERER PROSKE

61

z dς= ⋅ (49)

Für die Angabe der inneren Kräfte sollen folgende Vorzeichenregeln gelten: • allgemein: Zug = positiv; Druck = negativ • εc und σc: als Absolutwert • εs und σs: als Absolutwert • innere Kräfte wie DEd,c und ZEd,s1: als Absolutwert, Kraftrichtung entsprechend ihrer

Wirkung als Druck- oder Zugkraft.

5.3.2 Lage und Größe der Stahlzugkraft Resultierende Kräfte erhält man grundsätzlich durch Integration der materialspezifischen Spannungsverteilung über die jeweils beanspruchte Querschnittsfläche, beim Stahl also über den Bewehrungsquerschnitt As1, beim Beton über die gedrückte Betonfläche.

Beim Bewehrungsstahl ist die resultierende Zugkraft einfach zu ermitteln, da die Spannungs-verteilung linear ist. Die Stahlzugkraft kann also mit Hilfe der Stahlspannung in der Schwer-achse des Stahles bestimmt werden, wenn die Stahldehnung bekannt ist. Die Lage der Stahl-zugkraft ist durch die Wahl der Betondeckung festgelegt. Die innere Zugkraft kann wie folgt angegeben werden:

, 1 1Ed s s s l sZ A b dσ ρ σ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (50)

(30)

mit: As1 Stahlfläche σs Spannung in der Schwerachse des Bewehrungsstahls

ρl auf den Nutzquerschnitt bezogener Bewehrungsgehalt, 1sl

Ab d

ρ =⋅

.

Der geometrische Längsbewehrungsgrad ρl steht für das Verhältnis zwischen der Fläche des Bewehrungsstahles und der Fläche des Nutzquerschnittes b ⋅ d.

5.3.3 Lage und Größe der Betondruckkraft Die Berechnung der Druckkraft ist aufgrund der i. d. R. nichtlinearen Spannungsverteilung in der Druckzone schwieriger. Die durchzuführende Integration über die Betonspannungsvertei-lung und die gedrückte Fläche ist allgemein in Abbildung 26 und Gleichung (51) formuliert.

Dc

Zs

z x

a

z

b

Abbildung 26: Resultierende Druckkraft bei konstanter Querschnittsbreite

0

z x

c cz

D b dzσ=

=

= ⋅ ∫ (51)


62

In der DIN 1045-1 ist der Verlauf des nichtlinearen Anteil der σ-ε-Linie von Beton entspre-chend Gleichung (52) vorgegeben, siehe auch in Abbildung 11 in Abschnitt 3.2. Für normal-festen Beton gilt n = 2. Mit dieser Spannungsverteilung sind Lage und Größe der Betondruck-kraft eindeutig bestimmbar.

2

1 1⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

n

cc cd

c

f εσε

(52)

Dieser Festlegung gingen aber viele Forschungsarbeiten und Diskussionen voraus, da die An-sichten über die Druckspannungsverteilung im Beton sehr weit auseinander gehen und vom Dreieck bis zum Rechteck reichen. Auf die aus Versuchen gewonnenen Spannungsverteilun-gen wurde schon im Abschnitt 3.2 kurz hingewiesen und festgestellt, daß sich daraus keine allgemein gültige Spannungsverteilung ableiten läßt. Für die praktische Bemessung mußte daher eine idealisierte Spannungsverteilung festgelegt werden, die die wirklich vorhandene, unbekannte, beliebige Spannungsverteilung zufriedenstellend ersetzen kann. In ersten Trag-lastverfahren wurde die quadratische Parabel als Spannungsverteilung angenommen, während die Bemessungsverfahren nach [16] und [27] von einer rechteckigen Spannungsverteilung in der Betondruckzone ausgingen. Die nun in DIN 1045-1 [11] vorgestellte Formulierung stimmt mit den Annahmen in der alten DIN 1045 [10] überein.

Die Betondruckkraft kann abweichend von Gleichung (51) auch wie folgt angegeben werden. Dabei wird die Nichtlinearität im Völligkeitsbeiwert α berücksichtigt.

,= ⋅ ⋅ ⋅c c RandD b x α σ (53)

mit: σc,Rand Randspannung für Beton α Beiwert zur Beschreibung der Völligkeit der Spannungsverteilung

in der Betondruckzone, 0 1α≤ ≤

Als maximal zulässige Betonrandspannung σc wird der Bemessungswert der Betondruckkraft fcd, Gleichung (20), der Bemessung zugrunde gelegt.

Die maximale Druckkraft, die ein Betonquerschnitt aufnehmen kann, ist die mittige Druck-kraft. In diesem Fall liegt in der Betondruckzone eine rechteckförmige Spannungsverteilung vor, d. h. der Beton wird in der gesamten Druckzone mit der maximal möglichen Stauchung ausgenutzt. Die Spannungsverteilung weist demzufolge ihre größtmögliche Völligkeit auf, es gilt α = 1,0. Die daraus resultierende maximale Betondruckkraft des Nutzquerschnitts b ⋅ d wird mit DEd,0 bezeichnet und wird mit Gleichung (53) bestimmt. DEd,0 greift in diesem Spe-zialfall im geometrischen Schwerpunkt des Querschnitts an.

,0Ed cdD b d f= ⋅ ⋅ . (54)

α ist also ein Kennwert für die Auslastung der Betondruckzone. In Tabelle 15 sind verschie-dene Spannungsverteilungen mit den dazugehörigen Völligkeitsbeiwerten zusammengestellt. Für die genaue Bestimmung der Lage von DEd,c wird außerdem der Abstand a, siehe Abbil-dung 26, der Resultierenden vom meistgedrückten Rand definiert, der mittels des Höhenbei-wertes ka unabhängig von der statischen Nutzhöhe d angegeben werden kann.

aa k x= ⋅ (55)

Alle in Tabelle 15 dargestellten Spannungsverteilungen lassen sich durch gleichwertige recht-eckförmige Spannungsverteilungen ersetzen, wobei die Bedingung der gleichbleibenden Schwerpunktslage zu einer verringerten Randspannung σc,R führt. Mit dieser Substitution er-hält man eine rechteckförmige Spannungsverteilung, die für die Biegebemessung besonders leicht zu handhaben ist.

SCHEERER PROSKE

63

dreieckförmig quadratische Halbparabel

Parabel-Rechteck-Verteilung rechteckförmig a)

Spannungsverteilung

4/7

3/7

Völligkeitsbeiwert α 1/2 2/3 17/21 1

Schwerpunktabstand ka 1/3 3/8 99/238 1/2

Spannung für ein gleichwertiges Spannungsrechteck

,

2c R

c akσ ασ

=⋅

3/4 8/9 289/297 = 0,73 1

a) entspricht einem vollständig plastifizierten Querschnitt

Tabelle 15 Beispiele für die Völligkeit der Betondruckzone bei unterschiedlicher Span-nungsverteilung

Es treten aber auch gering ausgelastete Querschnitte auf, für die max σc < fcd bleibt. Um ne-ben der Völligkeit auch diesen Einfluß zu erfassen, kann α in α' überführt werden.

' c

cdfσα α= ⋅ (56)

Für σc = fcd wird α' = α.

Es soll noch die Beziehung

1'α ξ ω⋅ = (57)

eingeführt werden. Der Wert ω1 ist sehr gut als Leitwert für Bemessungstafeln zu verwenden, da er angibt, welcher Bruchteil der Nutzhöhe d zur Übertragung der durch die vorhandene Be-lastung hervorgerufenen Druckkraft bei Ansatz einer gleichmäßigen Betonspannung fcd erfor-derlich ist. Die Gleichungen (53) und (54) lauten somit:

,

1

1 ,0

'

Ed c c cd

cd

Ed

D b x b d fb d f

D

α σ ξ αω

ω

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅

(58)

5.3.4 Einführung der Verformungsbedingungen, Festlegung der kritischen Zustände Die Betondruckkraft kann nun nach Lage und Größe bestimmt werden, allerdings nur, wenn der Verformungszustand bekannt ist. Mit der Annahme einer ideellen rechteckförmigen Span-nungsverteilung in der Betondruckzone kann zwar ein brauchbares Bemessungsverfahren aufgestellt werden, es sind aber Aussagen zu α' und ka zu treffen, wenn der Beton in seiner Tragfähigkeit nicht voll ausgeschöpft wird, wozu wiederum der Begriff „volle Ausnutzung der Tragfähigkeit“ definiert werden muß.

Außerdem ist zu beachten, daß auch die Spannung im Bewehrungsstahl deutlich sinkt, wenn dessen Belastung unter die Streckgrenze abfällt.


64

Diese Forderungen können durch die Einführung von Formänderungsbedingungen erfüllt werden, die allerdings auch Näherungen darstellen, weil die aus Versuchen gefundenen Grenzwerte stark streuen. Die Querschnittsverformung kann auf Grund zahlreicher Versuche näherungsweise bis zum Erschöpfungszustand als geradlinig über den Querschnitt verteilt angenommen werden (Ebenbleiben der Querschnitte - Hypothese von BERNOULLI und NAVIER). Eine Mitwirkung des Betons auf Zug wird wiederum vernachlässigt. Die Formände-rungsbedingung kann entsprechend Abbildung 27 angegeben werden.

2

1 2

c

s c

x hd d

εξε ε

−= = ≤−

(59) x d =

2

1

d

Stauchung Dehnung

Abbildung 27: Formänderungsbedingungen für Stahlbeton-querschnitte

Sind Verformungsgrenzwerte festzulegen, muß überlegt werden, was dadurch erreicht werden soll. Zum Beispiel darf ein Bauwerk oder Bauteil während seiner Nutzungszeit in seiner Ver-wendungsfähigkeit nicht beeinträchtigt werden. Eine solche Beeinträchtigung kann durch mancherlei Ursachen entstehen, das Erreichen der Bruchlast ist nur einer der möglichen Grenzfälle, noch dazu ein recht unwahrscheinlicher. Meist wird ein Bauwerk oder Bauteil lan-ge vor der Bruchlast seine Gebrauchsfähigkeit verlieren.

Im Zusammenhang mit der Bemessung interessiert in erster Linie der Grenzzustand, der durch Grenzwerte für die Randverformungen εs und/oder εc im Erschöpfungszustand (Bruch-zustand) bestimmt wird. Unter Gebrauchslast können zudem Grenzzustände bzgl. der Rißbrei-te, der Durchbiegung oder der Stahlspannung bei Ermüdungsbeanspruchung auftreten.

Der Grenzwert für die größte Stahldehnung max εs = 25 ‰ ergibt sich aus der Forderung, die zulässigen Rißbreiten und die Durchbiegung zu beschränken, was der bisherigen europäischen Normung entspricht. Der Grenzwert gilt einheitlich für den in der DIN 1045-1 [11] genormten Betonstahl. In der alten DIN 1045 [10] war diese Grenze mit 5 ‰ festgelegt, was bei der Verwendung von alten Bemessungstafeln unbedingt berücksichtigt werden muß.

Die Festlegung einer Grenzstauchung für Beton ist wesentlich schwieriger. Die maximale Be-tonstauchung kann in Abhängigkeit von Querschnittsform, Belastungsgeschwindigkeit und Belastungsdauer zwischen 2 ... 5 ‰ für normalfesten Normalbeton schwanken, siehe auch 3.2. Für mittige Druckbeanspruchung kann z. B. auf Grund der Versuchsergebnisse von GRAF und RÜSCH im DAfStb-Heft 198 eine Bruchstauchung von 2 ‰ als feststehend angenommen werden. Dabei versagen sämtliche Fasern des Querschnitts unter Bruchlast gleichzeitig.

Bei Biegung tritt dagegen zuerst nur in der Randfaser der Biegedruckzone eine Erschöpfung der Tragfähigkeit ein. Es findet eine Kräfteumlagerung nach innen statt, da in der Randfaser Gefügelockerungen auftreten. Die Nullinie verlagert sich in Richtung auf den gezogenen Rand, und die Ausnutzbarkeit der Betondruckzone steigt, indem die weiter innen liegenden Bereiche aktiviert werden. Ausgehend von dieser Erkenntnis hat sich für die Biegebeanspru-chung allgemein die Annahme von εc2u = − 3,5 ‰ als kritische Randstauchung für normal-festen Normalbeton bis zu einer Festigkeitsklasse C 50/60 durchgesetzt, wobei die Span-nungen entsprechend den Angaben in Abbildung 11 den Stauchungen zugeordnet werden.

Wenn die Dehnungsnullinie den Querschnitt verläßt (Druckkraft mit kleiner Exzentrizität), sinkt die kritische Randstauchung am höher beanspruchten Rand von 3,5 ‰ auf den für mit-tige Druckbeanspruchung feststehenden Wert von 2 ‰ ab. Für Normalbeton darf bei kleiner Exzentrizität bis ed/h ≤ 0,1 εc2 = -2,2 ‰ gesetzt werden.

SCHEERER PROSKE

65

Bei höherer Betondruckfestigkeit sinkt die zulässige Bruchstauchung.

Bei Biegung wird der Bruchzustand dadurch bestimmt, daß an einem Querschnittsrand die Betonstauchung εc = − 3,5 ‰ (Normalbeton bis C 50/60, sonst geringer) oder in der Zugbe-wehrung die maximale Stahldehnung von εs = 25 ‰ erreicht wird. Beide Grenzwerte können auch gleichzeitig auftreten.

Mit den Angaben der Abbildung 11 und der Abbildung 27 liegen auch die Verformungs- und Spannungswerte bei Nichtausnutzung der Tragfähigkeit der Betondruckzone bzw. der Beweh-rung fest. Mit diesen Angaben lassen sich alle Verformungen in Abhängigkeit von ω1 errech-nen, so daß mit ω1 als Leitwert Bemessungstafeln aufgestellt werden können.

5.3.5 Gleichgewichtsbedingungen, bezogene Größen und Bemessungsgleichungen Um die Bemessung durchführen zu können, müssen die inneren Kräfte mit den Schnittgrößen infolge äußerer Belastung im Gleichgewicht stehen. Es gilt:

Momentengleichgewicht: (ΣM)s = 0 1 ,

,0Eds Ed Ed s Ed c

Eds Ed c

M M N y D zM D z

= − ⋅ = ⋅= − ⋅

(60)

Normalkraftgleichgewicht: ΣΗ = 0 , ,

, ,0Ed Ed s Ed c

Ed s Ed c Ed

N Z DZ D N= −

= − −

(61)

Für den Sonderfall reine Biegung vereinfachen sich die Gleichungen wie folgt:

Momentengleichgewicht: (ΣM)s = 0 ,

2

21

'

Eds Ed Ed c

cd

cd

M M D z

b d f

b d f

ξ α ςω ς

= = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(62)

Normalkraftgleichgewicht: ΣΗ = 0 , ,

'Ed s Ed c

l s cd

Z Db d b d fρ σ ξ α

=⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(63)

MEds ist das Moment um den Schwerpunkt der Stahleinlagen. Setzt man voraus, daß die äuße-ren Schnittgrößen, die Baustoffe und die Geometrie des Trägers bekannt sind, verbleiben als einzige Unbekannte Größe und Lage der Betondruckkraft DEd,c. Mittels einer guten Schätzung der Dehnungsverteilung über die Trägerhöhe können alle unbekannten Größen berechnet wer-den. Allerdings ist keine geschlossene Lösung möglich.

Den einfachsten Lösungsweg stellen Bemessungstafeln oder -diagramme dar. Um diese zu er-zeugen, sind innerhalb der zulässigen Verformungsgrenzen für verschiedene Dehnungsver-teilungen die aufnehmbaren Bruchschnittgrößen zu ermitteln und tabellarisch oder grafisch zusammenzufassen. Um die Bemessungshilfsmittel weitgehend unabhängig von Querschnitts-dimensionen und Materialkennwerten handhaben zu können, werden dimensionslose Größen eingeführt.

bezogene Normalkraft: ydEdl

cd cd

fNnf b d f

α ξ ρ= = ⋅ = ⋅⋅ ⋅

(64)

bezogenes Moment: 12 'EdsEds

cd

Mb d f

µ ω ς ξ ς α= = ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅

(65)

Mit bezogenen Schnittgrößen erhält man von Randspannungen und Querschnittsabmessungen unabhängige Gleichungen. Bezogene Schnittgrößen entsprechen damit denjenigen am Einheitsquerschnitt. Als Einheitsquerschnitt bezeichnet man einen Querschnitt mit den Ab-messungen b = d = 1 m und der Betonfestigkeit fcd = 1 MN/m². Gleichung (65) gilt für alle


66

Belastungsfälle von der reinen Biegung (NEd = 0, MEd = MEds) bis zur mittigen Druckkraft (MEd = 0, MEds = − NEd ⋅ ys1) und ist die allgemeinste, von allen Baustoffeigenschaften unab-hängige Darstellung des Momentengleichgewichts.

Bisher bezogen sich alle Ausführungen auf den Rechteckquerschnitt. Für Kreis-, Kreisring- und Dreieckquerschnitte lassen sich die erforderlichen Bemessungsgleichungen in gleicher Weise ableiten, ebenso für Querschnitte mit Druckbewehrung (Kapitel 5.4.2).

5.3.6 Grenzen Eine untere Grenze für die Biegebemessung gibt es quasi nicht. Eine Mindestbewehrungs-menge dient der Sicherstellung der Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit, was näher in Kapitel 10 behandelt wird.

Eine obere Grenze für die Beanspruchung eines Biegebauteils entsteht durch die Forderung der Sicherstellung einer ausreichenden Duktilität, um einem plötzlichen, spröden Bauteilver-sagen vorzubeugen. Die Gefahr eines Sprödbruches besteht, wenn die Ausnutzung des Quer-schnittes extrem hoch ist, d. h. die Betondruckzone sehr groß ist. Die Spannungsnullinie ver-schiebt sich zum weniger gedrückten Rand hin, die Auslastung des Bewehrungsstahls wird unwirtschaftlich, da sie unter die Streckgrenze sinkt. Um diesem Fall vorzubeugen, wird z. B. der gesamte Querschnitt vergrößert, eine höhere Betonfestigkeitsklasse gewählt oder die Tragfähigkeit der Druckzone durch Bewehrungsstahl erhöht, man spricht dann von doppelter oder von Druckbewehrung, siehe Kapitel 5.4.2.

Wird nach linear-elastischer Ermittlung der Schnittgrößen die Druckzonenhöhe wie folgt be-grenzt, können diese Maßnahmen entfallen, eine ausreichende Verformungsfähigkeit gilt als sichergestellt.

(66)(a) 0, 45 bis C 50/60

0,35 ab C 55/67

xdxd

ξ

ξ

= =

= =

(66)(b)

Nach DIN 1045-1 gelten diese Grenzen ausdrücklich für: • Durchlaufträger, deren Stützweiten sich maximal um den Faktor 2 voneinander unter-

scheiden • vorwiegend auf Biegung beanspruchte Riegel von Rahmen o. ä. Bauteile • durchlaufende, in Querrichtung kontinuierlich gestützte Platten.

Werden diese Grenzen überschritten, kann z. B. über den Nachweis der Rotationsfähigkeit ein ausreichendes plastisches Verformungsvermögen nachgewiesen werden. Der Nachweis der Rotationsfähigkeit ist nicht Bestandteil dieses Buches. Weiterhin besteht die Möglichkeit, durch geeignete konstruktive Maßnahmen die Verformungsfähigkeit des Betons zu steigern, z. B. durch eine enge Verbügelung der Druckzone.

5.4 Ausgewählte Bemessungsverfahren

5.4.1 Einfach bewehrte Rechteckquerschnitte

Beim sogenannten ω1-Verfahren handelt es sich um ein dimensionsloses Verfahren. Als Ein-gangswerte für die Berechnung müssen folgende Größen bekannt sein:

• Bemessungswerte der Schnittgrößen infolge äußerer Belastung (NEd und MEd) • Querschnittsgeometrie (b und d) • Materialkennwerte (fcd und fyd)

8.2

(3)

SCHEERER PROSKE

67

Die Bemessungstafeln sind analog zu Tabelle 16 aufgebaut, ausführlichere Tabellen befinden sich im Anhang, Abschnitt 14.4. Es ist unbedingt zu beachten, daß ab einer Festigkeitsklasse von C 55/67 für jede Betonklasse extra Diagramme bzw. Tafeln verwendet werden müssen, da sich ab dort die zulässigen Verformungen je Festigkeitsklasse ändern.

C 12/15 ... C 50/60 1Eds Ed Ed sM M N y= − ⋅ (60)

Edsµ [-]

1ω [-]

/x dξ = [-]

/z dζ = [-]

1sε[‰]

2cε[‰]

1sσ [N/mm²]

0,01 0,0096 0,0300 0,9896 25,00 -0,77 456,5 2Eds

Edscd

Mb d f

µ =⋅ ⋅

(65)

0,02 0,0193 0,0438 0,9845 25,00 -1,15 456,5

... ... ... ... ... ... ...

0,44 2,0434 0,8303 0,6546 0,72 -3,50 143,0

0,45 3,0080 0,8726 0,6370 0,51 -3,50 102,1

1 11 1

cd Eds

s s

f NA b dωσ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ + (67)

Tabelle 16 Tafel für die Biegebemessung von Rechteckquerschnitten bei einfacher Be-wehrung für Betone bis zu einer Festigkeitsklasse C 50/60, Auszug

Bei der Bemessung wird zweckmäßigerweise folgendermaßen vorgegangen:

(1) Ermittlung des auf den Bewehrungsschwerpunkt bezogenen Momentes MEds nach Glei-chung (60). Druckkräfte sind negativ, Zugkräfte positiv einzusetzen.

(2) Bildung des bezogenen Momentes µEds nach Gleichung (65).

(3) Ablesen der Beiwerte: ω1 zur Ermittlung der Bewehrung ξ zur Überprüfung der Druckzonenhöhe bei Plattenbalken ζ zur Berechnung des inneren Hebelarms, z. B. für die Querkraftbemessung Zwischenwerte dürfen linear interpoliert werden.

(4) Ermittlung der Bewehrung nach Gleichung (67).

(5) Wahl der Bewehrung unter Beachtung der statischen und konstruktiven Erfordernisse. Es sind z. B. minimale und maximale Stababstände zu beachten, Platz für Rüttellücken vor-zusehen und die Einhaltung der Betondeckung sicherzustellen.

Hinweis bezüglich der zu verwendenden Einheiten:

Da die Bemessungsgrundwerte µEds, ω1, ξ, ζ und ρl frei von Einheiten sind, muß bei der Be-messung nach Tafeln mit einander entsprechenden Einheiten gearbeitet werden. Im Hinblick darauf, daß die Festigkeiten fcd und fyd i. d. R. in N/mm² (entspricht MN/m²) angegeben wer-den, empfiehlt es sich, diese Einheiten soweit wie möglich aufzunehmen. Daher sind

• Spannungen in [MN/m²] bzw. [N/mm²] • Momente in [MNm] • Längen in [m]

einzuführen. Da aber As1 in cm² erhalten werden soll, sind in Gleichung (67) b und d in cm einzusetzen bzw. zur Umrechnung von m² in cm² der Faktor 104 einzuführen.

5.4.2 Doppelt bewehrte Rechteckquerschnitte Bei sehr hoch beanspruchten Bauteilen kann es vorkommen, daß die Tragfähigkeit des Betons nicht ausreicht, um die Biegedruckkraft aufzunehmen. Das bezogene Moment ist sehr groß, die Biegezugbewehrung As1 ist mit Werten unterhalb des Bemessungswertes der Streckgrenze fyd nur gering ausgelastet. Damit wird die Konstruktion unwirtschaftlich. In einem solchen


68

Fall ist es möglich, die Tragfähigkeit der Druckzone durch das Einlegen von Bewehrungsstahl zu erhöhen. Der Querschnitt erhält eine Druckbewehrung oder auch doppelte Bewehrung.

Die Anordnung von Druckbewehrung erhöht die Kosten und den Arbeitsaufwand und er-schwert das Betonieren. Die Druckbewehrung muß sorgfältig durch Bügel gegen Ausknicken gesichert werden. Grundsätzlich sollte man bei reiner Biegung Druckbewehrung vermeiden. Ausnahmen sind besonders hoch beanspruchten Bereiche, z. B. lokale Querschnittseineng-ungen durch Öffnungen etc. Bei Biegung mit Längsdruckkraft und kleiner Exzentrizität ist Druckbewehrung jedoch erforderlich.

Bemessungsgleichungen können analog zum einfach bewehrten Querschnitt hergeleitet wer-den. Abbildung 28 verdeutlicht die Kräfteverteilung im Querschnitt. Zur Unterscheidung werden die beiden Bewehrungslagen mit As1 (Zugbewehrung) und As2 (Druckbewehrung) ge-kennzeichnet.

ys1

ys2

d1

d2

z d ds2 2= -

fcd

DEd,c

ZEd,s1

+MEd

1s

2s

+NEdx d= d

b

h

2c u

z d=

ZEd,s s1( 2)

DEd,As2

Abbildung 28: Kräfte und Bezeichnungen am doppelt bewehrten Stahlbetonquerschnitt

Die Stahlzugkraft ZEd,s1 entspricht der bisherigen Größe ZEd,s und steht im Gleichgewicht zur Betondruckkraft und der eventuell vorhandenen äußeren Normalkraft NEd. Zusätzlich muß von der unteren Bewehrungslage noch die Zugkraft ZEd,s1(s2) aufgenommen werden, die in ih-rem Betrag der Stahldruckkraft in der Druckbewehrung DEd,As2 entspricht. Das Normalkraft-gleichgewicht nach Gleichung (61) ist wie folgt zu erweitern:

(68)

Normalkraftgleichgewicht: ΣΗ = 0 Ed Ed EdN Z D= −

mit: , , 1 , 1( 2)Ed Ed s Ed s Ed s sZ Z Z Z= = + , , 2Ed Ed c Ed AsD D D= + und: , 1 ,Ed s Ed Ed cZ N D= +

, 1( 2) , 2Ed s s Ed AsZ D=

Das Momentengleichgewicht nach Gleichung (60) wird erweitert zu:

Momentengleichgewicht: (ΣM)s = 0 1

, , 2 2 Eds Ed Ed s

Ed c Ed As s

M M N yD z D z

= − ⋅= ⋅ + ⋅

(69)

Die Berechnung wird folgendermaßen durchgeführt: (1) Bildung des bezogenen Momentes µEds nach Gleichung (65).

2Eds

Edscd

Mb d f

µ =⋅ ⋅

(65)

(2) Überprüfen, ob Druckbewehrung erforderlich ist: µEds > µ*Eds ?

Das Grenzmoment µ*Eds entspricht dem Moment, was bei einer Dehnungsverteilung von

εc2 = -3,5 ‰ für die Betonstauchung und εs1 = 2,175 ‰ für die Dehnung des Betonstahles an der Streckgrenze vom Querschnitt aufgenommen werden kann.

SCHEERER PROSKE

69

wenn ja, dann gilt *Eds Eds Edsµ µ ∆µ= +

bzw. *EdsEds EdsM M M∆= +

(70)

(3) Berechnung für den Anteil µ*Eds (bzw. M*

Eds):

Für diesen Wert kann der erste Teil der Bewehrung As1 berechnet werden. Dazu können direkt die Kennwerte aus den Tafeln für einfache Bewehrung übernommen werden. Die Menge der Druckbewehrung ist am geringsten, wenn die Betondruckzone innerhalb der zulässigen Grenzen maximal ausgenutzt wird, d. h. die Grenzen nach Gleichung (66) die Größe von µ*

Eds bestimmen.

1 11 1

cd Eds

s s

f NA b dωσ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ + (67)

(4) Berechnung für den Anteil ∆µEds (bzw. ∆MEds):

Die Differenz ∆µEds muß durch ein zusätzliches Kräftepaar aufgenommen werden. Da die Drucktragfähigkeit des Betons schon mit der Aufnahme von µ*

Eds ausgenutzt wurde, muß eine Druckbewehrung eingelegt werden, die das Restmoment ∆MEds aufnehmen kann. Es gilt:

(71) , 2 2Eds Ed As sM D z∆ = ⋅ (siehe auch Abbildung 28) und , 1( 2) , 2Ed s s Ed AsZ D= (68)

Die durch den Bewehrungsstahl aufnehmbaren Kräfte sind von der vorhandenen Stahl-dehnung abhängig. Für As1 ist diese mit εs1 = 2,175 ‰ fest vorgegeben. Für As2 kann sie wie folgt berechnet werden, wenn der Abstand der Druckbewehrung vom meist gedrück-ten Rand d2 festgelegt wurde:

s1

x ∗= d·

c2

s2d2

(a) Dehnung εs2:

2

2 2c s

x x dε ε

−=

2

22 2 21s c c

dd d ddd d

ξε ε ε

ξ ξ

⋅ − ⎛ ⎞= ⋅ = − ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

(72)

(b) Anrechenbare Stahlspannung σ's2:

Die Stahlspannung in der Bewehrung ist abhängig von der Dehnung. Wenn die Dehnung bekannt ist, kann die Spannung direkt berechnet werden. Dabei ist aller-dings zu beachten, daß im Bereich der Druckbewehrung die Betondruckspannung schon zur Aufnahme von µ*

Eds angesetzt wurde. Deshalb ist dieser Wert von der Stahlspannung σs2, Abbildung 29, abzuziehen. Wird die Druckbewehrung in der Nähe des meistgedrückten Randes angeordnet, ist die volle Betondruckspannung fcd abzuziehen. Liegt der Stahl weiter davon entfernt, muß überprüft werden, ob die Betonspannung in dieser Querschnittsfaser kleiner als fcd ist. Deshalb wird der Bei-wert φ eingeführt, der angibt, inwieweit die Betondruckspannung in Höhe der Druckbewehrung ausgenutzt wird, Gleichung (73).


70

z ∗= d·

’s2

z d dd d d

s2 2

2

= - = (1 - / )

fcd

DEd,c

ZEd,s1 1s

2s

ZEd,s s1( 2)

DEd,As2

s2 2c u

εs2 > εc2: 2

2

1 1n

s

c

εφε

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

εs2 < εc2: 1φ = (73)

Abbildung 29: Anrechenbare Stahlspannung für Druckbewehrung

Somit ergibt sich die anrechenbare Stahlspannung zu: '2 2s s cdfσ σ φ= − ⋅ (74)

(c) Berechnung der erf. Druckbewehrung As2, Einführung des Beiwertes ω2:

22 2

, 2 12 2 2

1s sEd As sEds

Edscd cd cd

dA dD yM db d f b d f b d f

σ∆∆µ

⎛ ⎞′⋅ ⋅ −⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(75)

2

2 222 2 2

2 11

Eds cd Eds cd cds

s cd s cds

b d f b d f fA b ddd f fddd

∆µ ∆µ ωσ φ σ φσ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ − ⋅⎛ ⎞ −′ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(76)

mit: 221

Eds

dd

∆µω =−

(77)

(d) Berechnung von As1(s2): Es gilt folgendes Kräftegleichgewicht:

, 2 2 2 1( 2) 1 , 1( 2)'Ed As s s s s s Ed s sD A A Zσ σ= ⋅ = ⋅ = (78)

2 21( 2) 2 2 2

1 2 1 1

' 's cd s cds s s

s s cd s s

f fA A b d b df

σ σω ωσ σ φ σ σ

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅− ⋅

(79)

(5) Zusammenfassung aller erforderlichen Bewehrungsmengen:

Druckbewehrung: 2 22

cds

s cd

fA b df

ωσ φ

= ⋅ ⋅ ⋅− ⋅

(80)

Zugbewehrung: 1 1, 1,1 1

cd Eds ges ges

s s

f NA b dω ωσ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ , mit: 1, 1 2gesω ω ω= + (81)

(6) Formeln ohne Berücksichtigung der Abminderung der Stahlspannung σs2 auf den anre-chenbaren Wert σ's2. In Tafeln erscheint dann nur noch der Beiwert ω1.

Druckbewehrung: 2 22

cds

s

fA b dωσ

= ⋅ ⋅ ⋅ (82)

Zugbewehrung: 1 1 11 1

cd Eds

s s

f NA b dω ωσ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ (83)

SCHEERER PROSKE

71

5.4.3 Bemessung mit Hilfe der rechteckförmigen Spannungsverteilung Nach Tabelle 15 in Abschnitt 5.3.3 läßt sich jede beliebige für die Betondruckzone angenom-mene Spannungsverteilung in ein gleichwertiges Rechteck mit gleicher Größe und gleicher Lage der Resultierenden umwandeln. Die DIN 1045-1 erlaubt die Anwendung einer konstan-ten Spannungsverteilung für die Querschnittsbemessung, wenn sowohl die zulässige Beton-bruchspannung fcd als auch die Höhe der Druckzone x abgemindert werden, Abbildung 30.

(84) a

(85) a

(84) b

2c u

1s

⋅ fcd

x k x⋅ DEd,c

ZEd,s1

d

MEd

b

h

fck ≤ 50 N/mm²: k = 0,8 χ = 0,95

fck > 50 N/mm²: k = 1 - fck / 250 χ = 1,05 - fck / 500 (85) b

Abbildung 30: Rechteckförmige Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Beton

Durch diese Vereinfachung ist mit den folgenden Formeln eine Bemessung ohne Bemes-sungstafeln möglich. Der Index "R" soll für "rechteckige Spannungsverteilung" stehen.

zulässige Betondruckkraft: , ,Ed c cd cd R RD b f k x b f xχ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (86)

zulässige Stahlzugkraft: , 1 1Ed s s ydZ A f= ⋅ (87)

(88) Gleichgewicht: , ,

, , 1 , 1

(I) 2

(II)

REds Ed c cd R R

Ed c Ed s cd R R s yd

xM D z b f x d

D Z b f x A f

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= = ⋅ ⋅ = ⋅

(89)

aus (I): 2

2

, ,

2,1/ 2

,

0 22

2

= ⋅ − → = − ⋅ +⋅ ⋅

= ± −⋅

Eds EdsRR R R

cd R cd R

EdsR

cd R

M Mxd x x d xb f b f

Mx d db f

(90)

mit: 1 1,0RR

xd

ω = ≤ (91) und , 2,

EdsEds R

cd R

Mb d f

µ =⋅ ⋅

(92)

ergibt sich: 1 ,1 1 2R Eds Rω µ= − − ⋅ (93)

aus (II): , 1 , 1 , , 1= → ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅Ed s Ed c s yd cd R R cd R RZ D A f b f x b f d ω

ergibt sich: ,1 1= ⋅ ⋅ ⋅ cd R

s Ryd

fA d b

fω (94)

Durch Umstellen erhält man außerdem die Bestimmungsgleichung für den Hebelarm der in-neren Kräfte, (95).

R Rz dζ= ⋅ (95)

mit: 112

RR

ωζ = − (96)


72

Auch bei diesem Verfahren ist auf die Einhaltung der Grenzwerte für das Verhältnis x/d zu achten. Wird eine doppelte Bewehrung erforderlich, ist sinngemäß nach Abschnitt 5.4.2 zu verfahren.

5.4.4 Vergleich des genauen ω1-Verfahrens mit der Näherung mittels Rechteckblock

Im folgenden sollen das ω1-Verfahren und das Näherungsverfahren mit rechteckförmiger Spannungsverteilung (ω1R-Verfahren) miteinander verglichen werden. Die Bewehrung soll je-weils für ein relativ niedriges (Querschnitt schlecht ausgelastet) und ein relativ hohes Moment (Querschnitt stark ausgelastet) ermittelt werden.

gegeben:

Schnittgrößen: Beispiel 1: MEds = 86 kNm Beispiel 2: MEds = 256 kNm

Geometrie: d = 40 cm b = 30 cm

Material: Stahl BSt 500 S(A) → fyd = 500/1,15 = 434,8 N/mm²

Beton C 35/45 → 350,85 19,8 N/mm²1,5

ckcd

c

ff αγ

= ⋅ = ⋅ =

gesucht:

erforderliche Bewehrungsmenge (a) mit Tafeln (ω1-Verfahren) (b) ω1R-Verfahren

Lösung: Beispiel 1 nach Tafeln, ω1-Verfahren ω1R-Verfahren

bezogenes Moment:

2

2

0,086 MNm 0,0900,3 0, 4 m³ 19,8 MN/m²

EdsEds

cd

Mb d f

µ =⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

, 2

,

2

0,086 MNm 0,0950,3 0, 4 m³ 0,95 19,8 MN/m²

=⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ ⋅

EdsEds R

cd R

Mb d f

µ

Beiwerte: ω1 = 0,0901 ξ = x/d = 0,1181 x = 4,7 cm ζ = z/d = 0,9512 z = 38,0 cm

1 ,

1

1

1 1 2 1 1 2 0,095 0,1001

0,1001 40 cm 4,0 cm0,10011 1 0,9499 38,0 cm

2 2

R Eds R

R R

RR

x d

z

ω µω

ως

= − − ⋅ = − − ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= − = − = → =

Erforderli-che Beweh-rung:

1 1

19,8 N/mm² 0,0901 30 40 cm²434,8 N/mm²

4,93 cm²

cds

yd

fA b df

ω= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

=

,1 1

0,95 19,8 N/mm² 0,1001 30 40 cm²434,8 N/mm²

5, 21 cm²

cd Rs R

yd

fA b d

fω= ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅

=

Vergleich: 100,0 % 105,5 %

Vergleich der Span-nungsver-teilungen:

εs1 = 25,00 ‰ εc2 = -3,35 ‰ σs1 = 456,5 = 525/1,15 N/mm²

εs1 = 25,00 ‰ εc2 = -3,50 ‰ σs1 = 434,8 N/mm²

SCHEERER PROSKE

73

Beispiel 2 nach Tafeln, ω1-Verfahren ω1R-Verfahren

bezogenes Moment: 2 0,270Eds

Edscd

Mb d f

µ = =⋅ ⋅

, 2

,

0, 284EdsEds R

cd R

Mb d f

µ = =⋅ ⋅

Beiwerte: ω1 = 0,3217 ξ = x/d = 0,4001 x = 16,0 cm ζ = z/d = 0,8336 z = 33,3 cm

1 ,

1

1

1 1 2 0,3430

13,7 cm

1 0,8285 33,1 cm2

R Eds R

R R

RR

x d

z

ω µω

ως

= − − ⋅ =

= ⋅ =

= − = → =

Erforderli-che Beweh-rung:

1 1 17,61 cm²cds

yd

fA b df

ω= ⋅ ⋅ ⋅ = ,1 1 17,84 cm²cd R

s Ryd

fA b d

fω= ⋅ ⋅ ⋅ =

Vergleich: 100,0 % 101,3 %

Vergleich der Span-nungsver-teilungen:

εs1 = 25 ‰ εc2 = -3,50 ‰ σs1 = 456,5 = 525/1,15 N/mm²

εs1 = 25,00 ‰ εc2 = -3,50‰ σs1 = 434,8 N/mm²

Grundsätzlich kann festgestellt werden, daß mit dem Näherungsverfahren eine größere Be-wehrungsmenge ermittelt wird als mit der genauen Variante, das ω1R-Verfahren liegt somit auf der sicheren Seite. Für den gering ausgelasteten Querschnitt (Beispiel 1) ist die Abwei-chung relativ hoch, sie wird mit steigender Beanspruchung kleiner. Die Unterschiede resultie-ren zum einen aus der geringeren Auslastung des Bewehrungsstahles, da beim Näherungsver-fahren mit einer konstanten Spannung fyd = 500/1,15 = 434,8 N/mm² gerechnet wird. Zum anderen ist der Rechteckblock eine gute Näherung für das voll ausgebildete Parabel-Recht-eck-Diagramm, also bei hoher Auslastung der Druckzone. Im Beispiel 1 - geringe Auslastung der Druckzone - ist dann die Abweichung bezüglich der Lage der Resultierenden und damit der Größe des inneren Hebelarmes schon recht beachtlich.

5.5 Bewehrungsführung und Konstruktionsregeln

5.5.1 Bewehrungsführung

5.5.1.1 Allgemeines

Im üblichen Hochbau kommen vor allem gerade Stäbe mit und ohne Endhaken, aufgebogene Stäbe und Bügel zum Einsatz. Bei flächigen Bauteilen werden vorgefertigte Betonstahlmatten verwendet.

Stahleinlagen sollen Zugkräfte aufnehmen. Insbesondere sollen sie bzgl. ihrer Lage und Ausrichtung den realen Zugspannungsverläufen im Bauteil entsprechen. Leonhardt [24] em-pfiehlt, maximal 20° Richtungsabweichung zwischen Hauptbewehrung und Hauptzugspan-nungen zuzulassen. Die Bewehrungsmenge sollte proportional zur Größe der Zugspannungen sein und kann bei Bedarf abgestuft werden.

Für das Tragverhalten sind dünnere Stäbe mit kleineren Stababständen günstiger als wenige Stäbe mit großem Durchmesser (theoretische Hintergründe siehe Kapitel 10).

Beim Einbau der Bewehrung muß sichergestellt werden, daß sie während des Betoniervor-gangs exakt in ihrer Lage bleibt. Zu diesem Zweck müssen die Stäbe mit Rödeldraht mitein-ander verbunden werden. Löten und Punktschweißen ist ebenfalls möglich, auf der Baustelle aber sehr unpraktisch. Bei Fertigteilen kommen dieses Verfahren aber häufiger zur Anwen-dung. Geschweißte Bewehrungskörbe können auch vorgefertigt und komplett auf die Bau-


74

stelle geliefert und dort eingebaut werden. Um die Betondeckung zu gewährleisten, werden Abstandhalter eingebaut. In Abbildung 43 sind einige Varianten zu sehen.

Zementklötze Kunststoffhalter Ständer für obere Bewehrungslage, Abstandshalter

Abbildung 31: Abstandhalter, Beispiele

Werden Stäbe gebogen, erhöht sich die Beanspruchung des Stahls und des Betons.

Stahl: Der Stab wird plastisch verformt, am Rand wird die Streckgrenze erreicht. Nach dem Biegen bleiben Gefügeveränderungen und Eigenspannungen im Stab erhalten. Ein Rück-biegen muß grundsätzlich möglich sein, allerdings werden die Gefügeveränderungen da-durch nicht aufgehoben. Niedrige Temperaturen und hohe Biegegeschwindigkeit mindern die Biegefähigkeit.

+

+ds+ +

(a) (b)

Abbildung 32: Spannungen in Bewehrungsstahl beim Biegen, nach [38]; (a) unter Wirkung des erforderlichen Biegemomentes; (b) Eigenspannungen nach dem Biegen

Beton: Bei gekrümmten Stäben entstehen zusätzliche Spannungen im umgebenden Beton, siehe Abbildung 33. Je kleiner der Krümmungsradius ist, desto größer werden diese Spannun-gen. Sie können leicht die einaxiale Festigkeit des Betons überschreiten. Zs

Zsdbr

12

dcu

Zs

ZsDcu ZH ZH

AußenkanteBeton

mit: dcu Umlenkkräfte entlang der Stabkrümmung

Dcu resultierende Umlenkkraft im Beton ZH horizontale Zugkräfte infolge pu, Achtung: es können lokale Abplatzungen in der Nähe von Bauteilrändern entstehen!

Abbildung 33: Beanspruchungen bei gekrümmten Stäben, nach [38]

Deshalb sind Mindestbiegerollendurchmesser dbr vorgeschrieben, die Eigenspannungen im Stahl und die Belastung des Betons zu begrenzen. Die seitlich entstehenden Spaltzugkräfte erfordern außerdem eine ausreichende Betonüberdeckung oder eine Querbewehrung. Die Be-stimmungen sind Tabelle 17 zu entnehmen.

SCHEERER PROSKE

75

Haken, Winkelhaken, Schlaufen Schrägstäbe oder andere gebogene Stäbe

Stabdurchmesser Mindestwerte der Betondeckung rechtwinklig zur Biegebene

ds < 20 mm ds ≥ 20 mm > 100 mm und > 7 · ds > 50 mm und > 3 · ds > 50 mm oder > 3 · ds

4 · ds 7 · ds 10 · ds 15 · ds 20 · ds

Tabelle 17 Mindestbiegerollendurchmesser dbr

Für nach einem Schweißvorgang zu biegende Bewehrung oder Bewehrungsmatte sind zusätz-lich die Werte aus Tabelle 18 einzuhalten.

vorwiegend ruhende Belastung vorwiegend nicht ruhende Belastung

Schweißung außerhalb des

Biegebereiches

Schweißung innerhalb des

Biegebereiches

Schweißung auf der Außenseite der Biegung

Schweißung auf der Innenseite der Biegung

a < 4 · ds 20 · ds

a ≥ 4 · ds wie Tabelle 17 20 · ds 100 · ds 500 · ds

Tabelle 18 Mindestbiegerollendurchmesser dbr bei Biegen nach dem Schweißen

In der DIN 1045-1 sind zusätzliche Bestimmungen für Stäbe enthalten, die Hin- und Zurück-gebogen werden. Darauf soll aber nicht näher eingegangen werden.

5.5.1.2 Bewehren mit Stabstahl Der übliche maximale Stabdurchmesser beträgt 28 mm. Stäbe mit ds > 32 mm dürfen nur in Bauteile mit einer Mindestdicke von 15 · ds eingebaut werden.

Stabstahl wird in der Regel in Längen von 12,0 m hergestellt und geliefert. Für die Breite von vorgefertigten Biegeformen oder Matten ist bei Transport auf der Straße 2,45 m die Grenze, auf der Schiene 2,65 m.

Allgemein sind folgende Mindestabstände beim Verlegen von Stabstahl einzuhalten. Damit soll ein ordnungsgemäßes Einbringen und Verdichten des Betons sowie ein möglichst guter Verbund gewährleistet werden.

20 mm 2

5 mm

⎧⎪≥ ⋅⎨⎪ +⎩

n s

g

s dd

mit: sn lichter Abstand zwischen zwei Stäben dg Größtkorndurchmesser des Betons

(97)

Außerdem muß in gewissen Abständen Rüttellücken für einen Innenrüttler gelassen werden (mind. 8 cm).

In Abhängigkeit von der Art des Bauteils und dessen Beanspruchung sind auch Maximalab-stände für Bewehrung einzuhalten. Die entsprechenden Bestimmungen sind dann im jeweili-gen Abschnitt dieses Skripts zu entnehmen, für biegebeanspruchte Bauteile z. B. Kapitel 5.5.2 für vorwiegend biegebeanspruchte Bauteile oder 7.5 für die Querkraftbewehrung.

5.5.1.3 Bewehren mit Betonstahlmatten Betonstahlmatten bestehen aus rechtwinklig zusammengeschweißten Rippenstählen. Die Ver-bindung erfolgt durch Punktschweißen. Die Stabdurchmesser betragen maximal 12 mm.

12.2

12.1

12.3.1

Tab. 23

12.3.1

Tab. 24


76

Man unterscheidet zwischen Lager- und Listenmatten. Lagermatten werden aus häufig ver-langten Stahlquerschnitten vorgefertigt und im Lager vorgehalten. Sie haben Standardabmaße von 5,00 × 2,15 m oder auch 6,00 × 2,15 m bei großen Stabdurchmessern. Bei Listenmatten kann der Auftraggeber die Stabdurchmesser und Abstände weitgehend selber bestimmen.

Der Aufbau von Matten und ihre Bezeichnung werden in der folgenden Abbildung erläutert. Durchmesser und Stababstände in der Längsrichtung der Matte werden vor (über) dem Bruch-strich angegeben, für die Querrichtung danach (darunter). Die Buchstaben „d“ oder „D“ kenn-zeichnen einen Doppelstab. Doppelstäbe kommen bei Lagermatten nur in der Längsrichtung vor.

L

B

Längsschnitt:

s l

sqül

ü q

Querstab mit dsq

sq

Längsstab mit dsl

s l

Quer-schnitt:

, Doppelstäbemöglich

, Einfachstäbeim Stoßbereich

Grundriß:

dsl1

dsl2

dsq1dsq2

Darstellung in einer Bewehrungszeichnung:

3 R 377

L

Bl ü

mit: L Mattenlänge B Mattenbreite sl Abstand der Längsstäbe sq Abstand der Querstäbe

ül Überstand der Längsstäbe üq Überstand der Querstäbe dsl Durchmesser der Längsstäbe dsq Durchmesser der Querstäbe

Bezeichnung: s d d n nl sl1 sl2 li re / - /·s d d m mq sq1 sq2 An En / - /·

BSt 500 M(A)

mit: m, n Anzahl der Stäbe mit dsl1 bzw. dsq2

Index 1, 2 Regeldurchmesser bzw. Durchmesser am Mattenrand

Index li, re links bzw. rechts Index An, En Anfang bzw. Ende

Beispiel 1: 150 6,0 /6,0 - 2/2· d250 6,0·

BSt 500 M(A)

→ Längsrichtung: links und rechts 2 Einzelstäbe Ø 6, sonst Doppelstäbe Ø 6, Stababstand 150 mm → Querrichtung: Ø 6 alle 250 mm

Kurzbezeichnung der Lagermatte: R377 A

Beispiel 2: 150 6,0 /6,0 - 4/4d·100 7,0·

BSt 500 M(A)

→ Längsrichtung: links und rechts 4 Einzelstäbe Ø 6, sonst Doppelstäbe Ø 6, Stababstand 150 mm → Querrichtung: Ø 8,5 alle 150 mm

Kurzbezeichnung der Lagermatte: Q377 A

Abbildung 34: Aufbau und Kennzeichnung von Betonstahlmatten, nach [32], [38]

Matten werden in der Kurzbezeichnung durch „R“ und „Q“ unterschieden. Q-Matten haben in beiden Tragrichtungen etwa den selben Bewehrungsquerschnitt, eignen sich dadurch z. B. zum Bewehren zweiachsig gespannter Decken. R-Matten besitzen in der Nebentragrichtung (Querrichtung) nur mindestens 20 % der Tragfähigkeit der Längsrichtung. Sie werden also in

SCHEERER PROSKE

77

einachsig gespannten Konstruktionen eingebaut. Die Zahl in der Kurzbeschreibung gibt den 100fachen Bewehrungsquerschnitt in [cm²] in der Mattenlängsrichtung an. Das Lieferpro-gramm für Lagermatten ist im Anhang, Kapitel 14.7 zu finden.

5.5.1.4 Darstellung von Bewehrung Die folgenden Ausführungen beruhen vor allem auf GOLDAU [17] und WOMMELSDORFF [38].

Bei flächigen Bauteilen ist die untere und wenn vorhanden die obere Bewehrungslage im Grundriß in je einer Zeichnung darzustellen. Ebenfalls ist die Darstellung eines oder gegeben-enfalls mehrerer Schnitte erforderlich. Bei stabförmigen Bauteilen sind Längs- und Quer-schnitt zu zeichnen.

Bewehrungspläne sollten im Maßstab M 1 : 50 oder größer dargestellt werden. Bei Platten, Balken oder Stützen ist oft sogar M 1 : 25 zweckmäßig. Ecken, Knoten oder sonstige Berei-che mit konzentrierter und komplizierter Bewehrungsführung sind als Detail im Maßstab M 1 : 5 oder 1 : 10 darzustellen. Dies gilt z. B. für die Durchdringung von Stützen durch Un-terzüge.

Aus der Zeichnung müssen Stabform und Biegemaße eindeutig hervorgehen. Dazu ist ein Stahlauszug anzufertigen.

In der folgenden Tabelle sind Beispiele für verschiedene Linienarten und deren wichtigsten Anwendungen aufgeführt.

Linienart (Beispiele) Anwendung (Beispiele)

Vollinie

breit Begrenzung der Flächen geschnittener Bauteile; Bewehrungsstab

mittel sichtbare Kanten, kleine geschnittene Flächen, Bewehrungsmatte

dünn Raster-, Maß-, Hinweislinien, Pfeile, Schraffuren

Strichlinie

mittel unsichtbare Kanten von Bauteilen

dünn Nebenrasterlinien

Strichpunktlinie

breit Kennzeichnung von Schnittebenen

mittel Stoff-, Symmetrieachsen

Tabelle 19 Verwendung von Linienarten und -stärken

In Tabelle 22 sind einige der wichtigsten Zeichen, Symbole und Biegeformen für Beweh-rungszeichnungen dargestellt.

Darstellung in der Bewehrungsskizze Ø 8 – 10,0

Ø 8 s = 10

Ø 8 / 10 Stabdurchmesser 8 mm, alle 10 cm verlegt

7 ; 7 Positionsnummer Stabstahl; Bewehrungsmatte

gerader Stab

Tabelle 20 Elemente einer Bewehrungszeichnung, Beispiele


78

7

7

Matte; oben: im Grundriß, unten: im Schnitt

Bügel; links und Mitte: offen biegen, rechts: geschlossen biegen (z. B. Stützen)

3

1 2

Bezeichnung von Stäben in der Bewehrungszeichnung

Stahlauszug

10 230 10

7 3 10/20 L = 230Ø

Stab mit Winkelhaken

Positionsnummer: 7, Anzahl: 3, Durchmesser: 10 mm, Länge: 2,30 m, Länge der Winkelhaken: 10 cm

10

10 10 cm Winkelhaken, oben: Ansicht, unten: Draufsicht

15 15 cm Haken

d = 35 cmbr

35 cm Biegerollendurchmesser

d = 35 cmbr

5

20 60

401020 20

45° 45°

mit 45° aufgebogener Stab mit Winkelhaken, Biegerollendurchmesser der Aufbiegungen: 35 cm, Biegerollendurchmesser Winkelhaken: 5 ds

oben: Ansicht; unten: Draufsicht im Grundriß

1 :5 Kröpfung im Verhältnis 1 : 5 (z. B. Anschlußstäbe bei Stützen)

Fortsetzung Tabelle 20 Elemente einer Bewehrungszeichnung, Beispiele

Positionsnummern von Stabstahl werden in Kreisen, von Matten in Rechtecken dargestellt. Jede Biege- und jede Mattenform erhält eine eigene Positionsnummer. Verschiedene Stab-durchmesser bei gleichen Biegeformen müssen ebenfalls unterschiedlich bezeichnet werden. Die Stäbe und Matten werden jeweils durchgehend numeriert.

Es werden folgende Stabmaße unterschieden:

(A) Schnittlänge - am gerade Stab gemessen, in [cm] angeben

(B) Biegelänge - in der Stabachse gemessen, in [cm] angeben

(C) Einbaulänge - Stabaußenmaß im gebogenen Zustand

(D) Paßlänge - Schalungsmaß minus Betondeckung

(E) Hakenmaß - außen bis außen gemessen.

Beispiele für die Anwendung sind in Abbildung 35 dargestellt.

Ads

Dds

D

dsBB

E C

E

Abbildung 35: Stabmaße

SCHEERER PROSKE

79

In Bewehrungszeichnungen werden nur die Hauptmaße der Schalung übertragen, Längen über 1 m in [m], darunter in [cm].

Für die Bewehrung sind folgende Maßeinheiten zu verwenden: • Biegemaße: cm • Schnittlängen: cm – bei gebogenen Stäben = Σ der Teilmaße = Achsmaße ai in

Abbildung 36) • Stabdurchmesser: mm • Biegewinkel: ° • Mattengrößen: cm, Länge/Breite (Mattenlänge = Haupttragrichtung)

Die Höhen von Bügeln, Aufbiegungen u. ä. sind als Einbaumaße, also auf die Stabaußenkante bezogen, anzugeben, siehe Abbildung 36.

40

406253

ds

ds53a

2

a1

a3

h b c = - 2 nomv d c = - 2 nom

b

cnom

dd br

cnom

c nom

c nom

h

v v

h

Abbildung 36: Maße bei Bügeln und Aufbiegungen (nicht maßstäblich!)

Im nächsten Bild wird erläutert, wie die einzelnen Maße berechnet werden können. 2,54 15

2,69

35

25

1

51

2

1 a

c

d b

2 a

c

c b

a = Schalmaß (2,69 m) – 2 · cnom

b = Schalmaß (2,69 m) – 2 · cnom

c = Verankerungsmaß, siehe Abschnitt 9 (Stab 2: c = 15 cm + l1)

d = Hakenmaße, siehe Abschnitt 9

Abbildung 37: Maße bei Bügeln und Aufbiegungen (nicht maßstäblich!)

In den folgenden Bildern werden einige Beispiele für Bewehrungszeichnungen gezeigt.

6,86

9,20

24 80 1,30

24 3,40 1,00 24 4,08

9,20

5,00

4,02

49

3,50

2424

2450

1,26

1,26

6660

1,50

d = 0,16 m

10.1

24

49

10.2

Abbildung 38: Bsp. Schal- und Positionszahl einer Decke, aus [17]


80

1,10

5 3 6, L=1,10 m

11 11

11 11

1111

R 1

88

12 R 188

2 5

4

4

10 R

188

Obe

re L

age

10

14 R

188

13 R

188

2

2

5

4

4

5

1

4

22

20 21 6

Unt

ere

Lag

e

Schnitt 2-2 Schnitt 1-1

1

4

2 2

31

31

13

3,40

3 2 2=4 10, L=3,40 m

1,55

m

23

2+3

=9

6, L

=1,5

5 m

36 R 257

1 2+5=7 10, L=4,90 m

4,90 m

57 57

4 R 257

5

5 R 25

7

32

4 R 2579 R

221

8 R 221

1

2

1

1 R 2217 R 221

Abbildung 39: Bewehrungsplan zu Abbildung 38, aus [17]

SCHEERER PROSKE

81

Abbildung 40: Beispiel Balken, aus [17]


82

Abbildung 41: Beispiel Fundament

SCHEERER PROSKE

83

Abbildung 42: Beispiel Fertigteilstütze, aus [17]


84

5.5.2 Konstruktionsregeln für überwiegend biegebeanspruchter Bauteile

5.5.2.1 Mindest- und Höchstbewehrung überwiegend biegebeanspruchter Bauteile

Den Bestimmungen zur Mindestbewehrung zur Sicherung eines duktilen Bauteilverhaltens liegt zugrunde, daß das Versagen eines Bauteils ohne Vorankündigung bei der Erstrißbildung verhindert werden muß. Für Stahlbetonbauteile gilt diese Bedingung als erfüllt, wenn die Grundsätze zur Mindestbewehrung nach DIN 1045-1, Abschnitt 13.1.1 eingehalten werden. Die Mindestbewehrung ist für das Rißmoment mit dem Mittelwert der Zugfestigkeit fctm zu ermitteln, die Stahlspannung darf zu σs = fyk angenommen werden. Die Ermittlung der Riß-schnittgrößen wird ausführlich in Kapitel 10.3 behandelt. An dieser Stelle sollen der Vollstän-digkeit halber nur die Berechnungsformeln angegeben werden. Dieser Nachweis des duktilen Bauteilverhaltens entspricht sinngemäß dem unteren Grenzwert min ω1, der beim ω1-Verfah-ren nach alter DIN 1045 [10] zu beachten war.

Rißmoment im Zustand I kurz vor dem Erstriß: 2

6R ct ctmb hM f W f ⋅= ⋅ = ⋅ (98)

mit: W Widerstandsmoment des Querschnitts im Zustand I

2

6b hW ⋅= für einen Rechteckquerschnitt

fct = fctm, Mittelwert der Zugfestigkeit

Rißmoment im Zustand II: 0,8R s sRM A hσ= ⋅ ⋅ ⋅ (99)

mit: σsR = fyk

Durch Gleichsetzen der beiden Formeln ergibt sich die erforderliche Mindestbewehrung für das Rißmoment zu

2

erf 6 0,8 4,8

ctm ctms

yk yk

f b h f b hAf h f

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅⋅ ⋅ ⋅

. (100)

Folgende grundsätzliche Regeln müssen berücksichtigt werden: • Die Mindestbewehrung ist gleichmäßig über die Breite und anteilig über die Höhe der

Zugzone zu verteilen. • Die im Feld einzulegende Mindestbewehrung ist grundsätzlich zwischen den Aufla-

gern durchzuführen, unabhängig von den Regelungen der Zugkraftdeckung, Kapitel 8. • Über den Innenauflagern durchlaufender Konstruktionen ist die oben liegende Min-

destbewehrung in beiden anschließenden Feldern mindestens über eine Länge von ¼ der Stützweite einzulegen, bei Kragarmen über die gesamte Kraglänge.

• Die Mindestbewehrung ist an den End- und Zwischenauflagern mit der Mindestveran-kerungslänge zu verankern, siehe Abschnitt 9.4 sowie Gleichung (157) und (158).

Bei hochbewehrten Balken, bei denen das Verhältnis x/d = 0,45 (bis zu einer Festigkeitsklasse von C 50/60) überschritten wurde, ist eine Umschnürung der Biegedruckzone anzuordnen. Bei Verwendung von Bügeln hierzu gilt:

10 mmsd ≥ und smax entsprechend Tabelle 22, unterste Zeile (101)

Schließlich gibt es noch eine obere Grenze für den Bewehrungsgehalt in einem Querschnitt, der auch im Bereich von Übergreifungsstößen nicht überschritten werden darf.

max 0,08s cA A= ⋅ (102)

13.1.1

13.1.1

(1)

13.1.1

(3)

13.1.1

(5)

13.1.1

(4)

SCHEERER PROSKE

85

5.5.2.2 Balken und Plattenbalken Oft werden bei der Idealisierung der Tragwerke real vorhandene Randeinspannungen rech-nerisch nicht erfaßt. Das ist z. B. der Fall, wenn an den Endauflagern ein Gelenk und damit eine freie Verdrehbarkeit des Balkens angenommen wird, obwohl durch aufgehende Wände die Verformungsfähigkeit eingeschränkt ist, siehe auch Tabelle 1, Zeile 2. In einem solchen Fall sind die Endauflager für folgendes Stützmoment zu bemessen.

0, 25Endauflager FeldM M≥ ⋅ (103)

Die ermittelte Bewehrung muß vom Auflagerrand aus mindestens über ¼ der Länge des End-feldes eingelegt werden.

Bei Verwendung von Einzelstäben oder Stabbündeln mit ds (bzw. dsV) > 32 mm ist eine Haut-bewehrung anzuordnen. Die Bestimmungen sind in DIN 1045-1, Kapitel 13.2.4 nachzulesen.

5.5.2.3 Platten Die folgenden Bestimmungen gelten für Ortbeton-Vollplatten mit einer Bereite b ≥ 4 · h.

Für die Biegezugbewehrung bei Platten gelten folgende Grundsätze: • maximaler Stababstand s, Längsbewehrung (Zwischenwerte linear interpolieren):

max s = 250 mm bei h ≥ 250 mm max s = 150 mm bei h ≤ 150 mm

• maximaler Stababstand s, Querbewehrung: s ≤ 250 mm • freie ungestützte Ränder sind durch Steckbügel einzufassen,

außer bei Fundamenten oder innenliegenden Bauteilen des üb-lichen Hochbaus

• konstruktive Einspannbewehrung wie bei Balken, siehe oben • Querbewehrung as,quer einachsig gespannter Platten:

as,quer ≥ 20 % der Längsbewehrung as,längs ds,quer ≥ 5 mm bei Matten

Ansonsten sind sinngemäß die Bestimmungen für Balken und Plattenbalken einzuhalten. Weiterhin ist folgende konstruktive Regelung zu beachten:

Mindestdicke:

Vollplatten allgemein: 7 cm mit Querkraftbewehrung (Aufbiegungen): 16 cm mit Querkraftbügelbewehrung: 20 cm

h≥ 2 h

13.2.1

(1)

13.3

13.2


86

6 Plattenbalken

6.1 Tragverhalten Unter einem Plattenbalken versteht man einen Balken, der monolithisch mit einer Platte ver-bunden ist. Man unterscheidet zwischen ein- und beidseitigen Plattenbalken (Abbildung 43). Ein auf Biegung beanspruchter Plattenbalken stellt ein hinsichtlich des Baustoffes Stahlbeton optimiertes Bauteil dar, wenn sich die Platte in der Druckzone befindet. Der "verbreiterte" Balken kann sehr hohe Druckkräfte übertragen, in dem schmaleren Steg kann die Bewehrung zur Abtragung der Querkräfte und die Biegezugbewehrung untergebracht werden. Da Beton (fast) keine Zugkräfte aufnehmen kann, kann er in der Biegezugzone eingespart werden, das Eigengewicht wird verringert.

Druckplatte

As

Steg

Druckplatte

As

Steg

Abbildung 43: Plattenbalken, links: beidseitig; rechts: einseitig

Bei einem Plattenbalkenquerschnitt ergibt sich in der Mehrzahl der Fälle eine veränderliche Randspannung über die Querschnittsbreite. Abbildung 44 verdeutlicht, daß sich die gesamte Querschnittsbreite b = b1 + bw + b2 an der Spannungsübertragung beteiligt, nur mit abnehmen-der Wirksamkeit mit zunehmender Entfernung vom Steg. Aus diesem veränderlichen Span-nungskörper wird unter Beachtung der Biegesteifigkeit der Platte ein ideeller Spannungs-körper mit konstanter Randspannung und der ideellen Breite beff = beff,1 + bw +beff,2 ermittelt. Diese ideelle Breite wird "mitwirkende Plattenbreite" genannt.

wirklicher Spannungskörperideeller Spannungskörper

wirkliche Nullinie

ideelle Nullinie

bw

beff,2

beff,1

b2

b1

Abbildung 44: Spannungskörper in der Druckzone eines T-Querschnitts

Die mitwirkende Plattenbreite ist eine Ersatzgröße für die Berechnung. Die resultierende Be-tondruckkraft infolge der realen Spannungsverteilung über die gesamte Querschnittsbreite entspricht der resultierenden Druckkraft aus dem ideellen Spannungskörper mit der Breite beff. Dabei bleibt die Lage der Nullinie im Steg unverändert, wie auch der oben stehenden Skizze entnommen werden kann. Die Lage der resultierenden Druckkraft verschiebt sich bei der

SCHEERER PROSKE

87

ideellen Spannungsverteilung etwas vom meistgedrückten Rand weg, d. h. der Hebelarm wird kleiner, die damit berechnete Stahlmenge geringfügig größer. Die mitwirkenden Plattenbreite ist z. B. abhängig von der Art der Belastung, den Lagerungsbedingungen, der Anzahl der Fel-der eines Trägers, der Stützweite und vom Steifigkeitsverhältnis zwischen Steg und Platte. Die mitwirkende Plattenbreite kann für biegebeanspruchte Plattenbalken unter gleichmäßiger Belastung nach DIN 1045-1 [11] näherungsweise wie folgt ermittelt werden:

,eff eff i wb b b= +∑

0, 0

0, 2mit: 0, 2 0,1

≤ ⋅⎧

= ⋅ + ⋅ ⎨≤⎩eff i i

i

lb b l

b

bi tatsächlich vorhandene Gurtbreite l0 wirksame Stützweite bw Stegbreite

(104)

Die wirksame Stützweite l0 entspricht dem Abstand der Momentennullpunkte. Bei gleichmä-ßig verteilten Einwirkungen und ungefähr gleichen Steifigkeitsverhältnissen des Trägers in den verschiedenen Feldern darf l0 nach Abbildung 45 ermittelt werden.

0,85 leff,1l0 = 0,7 leff,2

1,5 leff,3


( )*

( )* l0 = 0,15 (l leff, eff,1 2 + )

Abbildung 45: Wirksame Stützweite nach DIN 1045-1 [11]

Damit kann ein Plattenbalken wie ein Rechteckquerschnitt der Breite beff (Platte in der Druck-zone) bemessen werden, solange die Nullinie in der Platte bleibt, d. h. der Querschnitt über die gesamte mitwirkende Breite beff gedrückt ist. Befindet sich die Platte in der Zugzone, ist bw für die Breite der Druckzone anzusetzen.

6.2 Berücksichtigung von Stegspannungen Liegt die Nullinie im Steg, muß der Steganteil besonders berücksichtigt werden, da bei den bisher angegebenen Gleichungen für die Biegebemessung immer von einem konstanten Rechteckquerschnitt ausgegangen wurde. Näherungsweise kann dieser Fall durch folgende Beziehung abgegrenzt werden

1 1 bzw. Rhd

ω ω ϕ≤ = , (105)

weil im Bereich ξ > ϕ, aber ω1 ≤ ϕ die gleichen Bewehrungsflächen As1 ermittelt werden wie mit einer exakten Berechnung unter Berücksichtigung der Stegspannungen. Ist die Bedingung nach Gleichung (105) nicht mehr eingehalten, müssen die Stegspannungen berücksichtigt werden. Das kann z. B. nach LÖSER ET AL. [25], Abschnitt 7.4 erfolgen. Hier soll kurz das Verfahren bei Ansatz einer rechteckförmigen Spannungsverteilung vorgestellt werden.

Der Plattenbalkenquerschnitt wird in zwei Teile aufgeteilt, den Platten- und den Steganteil. Die Platte hat die Breite bPl nach Gleichung (106).

Pl eff wb b b= − (106)

Nun kann berechnet werden, welches Moment allein der voll gedrückte Plattenanteil aufneh-men kann, die Differenz muß dann der Steg übernehmen.

7.3.1

(8), (9)

B. (2)

7.3.1

B. (3)

beff,1 beff,2

b1 b2bw


88

Plattenanteil: , , , 2Pl

Eds Pl Ed Pl Pl Pl Pl cd RhM D z b h f d⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (107)

mit: ,1 ,2Pl eff effb b b= + (108)

Steganteil: , ,Eds St Eds Eds PlM M M= − (109)

Die Bewehrung kann dann ebenfalls für beide Anteile getrennt ermittelt werden, zum Schluß wird sie addiert und insgesamt in den Steg eingelegt.

(110) Plattenanteil: , ,

, 1,

,1,

Ed Pl Ed Pl

Pl Pl cd R s Pl yd

Pl Pl cd Rs Pl

yd

D Zb h f A f

b h fA

f

=⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅=

(111)

(112)

Steganteil:

,, , 2

,

1 , , ,

,1, 1 ,

1 1 2

Eds StEds R St

w cd R

R St Eds R St

cd Rs St R St w

yd

Mb d f

fA d b

f

µ

ω µ

ω

=⋅ ⋅

= − − ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

(113)

gesamt: 1 1, 1,s s Pl s StA A A= + (114)

6.3 Anordnung der Bewehrung Bei Plattenbalken geht man davon aus, daß sich Anteile der gedrückten Platte an der Abtra-gung des Biegemomentes beteiligen. Liegt die Platte im Biegezugbereich, müßte sie sich also ebenfalls an der Lastableitung beteiligen. Das wird durch das Auslagern der Bewehrung vom Bereich über dem Steg in die Platte erreicht. Laut DIN 1045-1 darf die Biegezugbewehrung maximal über die halbe mitwirkende Plattenbreite verteilt werden.

Zum besseren Verständnis, welche Bewehrungen in Plattenbalken eingebaut werden müssen, dient die folgenden Darstellung.

300

25 254 585

8590

220

164150

35

165165

185

1068

68 8 8

Abbildung 46: Beispiel für die Anordnung von Bewehrung in einem Plattenbalken

Plattenanteil

Steganteil

13.2.1

(2)

SCHEERER PROSKE

89


90

7 Querkraftbemessung

7.1 Zum Tragverhalten Wie Abbildung 47 zeigt, existiert in einem biegebeanspruchten Bauteil ein System aus schrä-gen Hauptzug- und -druckspannungen, gegen die die Tragfähigkeit des Bauteils nachgewiesen werden muß. In der Höhe der Schwerachse sind die Spannungen in einem Winkel von 45° bzw. 135° gegen die Schwerachse geneigt.

45°

45°

: Hauptzugspannung: Hauptdruckspannung

Abbildung 47: Hauptspannungen bei einem Einfeldbalken unter Gleichlast

Ein charakteristisches Rißbild für einen schlanken Biegeträger ist in Abbildung 48 zu sehen (Darstellung überhöht). In Trägermitte verlaufen die Hauptzugspannungen nahezu horizontal, die Risse demzufolge senkrecht in Richtung der Druckspannungstrajektorien. Zu den Aufla-gern hin vergrößert sich die Neigung der Risse, sie können sogar flacher als 45° werden. Man spricht dort von Schubrissen.

Abbildung 48: Rißbild eines Einfeldbalkens unter Gleichlast

In Abbildung 49 sind historische Aufnahmen von Bruchbildern von Stahlbetonbalken aus dem Jahre 1908 von RITTER [29] zu sehen. Ritter entwickelte anhand dieser Versuche erste Modellvorstellungen über die Lastabtragung in Balken durch Fachwerkmodelle.

Abbildung 49: Bruchbilder von Stahlbetonbalken nach RITTER [29]

Die Hauptspannungen können bei Annahme eines ungerissenen Querschnittes mit den Glei-chungen (115) bis (118) berechnet werden:

SCHEERER PROSKE

91

(115)

(116)

(117)

Biegespannung:

Schubspannung:

x

xz zx

MW

V SI b

σ

τ τ τ

= ±

⋅= = =⋅

( )

( )

22

22

Hauptzugspannung: 2 4

Hauptdruckspannung: 2 4

x zx zI

x zx zII

σ σσ σσ τ

σ σσ σσ τ

−+= + +

−+= − +

(118)

Der Winkel zur Horizontalen kann nach Gleichung (119) berechnet werden. 2tan 2

x

τασ⋅= (119)

Die Größen τ, σx und σz sind Rechenhilfswerte. Real existieren nur die Hauptspannungen σI und σII. Die senkrecht zur Balkenachse wirkenden Spannungen σz sind in der Regel so klein, daß sie vernachlässigt werden können. Eine Ausnahme bilden Bereiche mit lokaler Lasteinlei-tung wie z. B. an Auflagern oder unter vertikalen Einzellasten. Durch die Biegebemessung wurden bisher nur horizontale Druck- und Zugspannungen abgedeckt. Vertikale bzw. schräge Zugspannungen werden bei der Querkraftbemessung betrachtet. Wenn von einer Querkraft- oder Schubbewehrung gesprochen wird, ist in Wirklichkeit eine Bewehrung gemeint, die die Hauptzugspannungen in der Nähe der Auflagerpunkte aufnehmen soll. Die größten Haupt-zugspannungen entstehen bei reiner Biegung in der Schwerelinie an der Stelle, wo die Biege-spannungen gleich Null sind – also am Auflager. Sie sind betragsmäßig gleich den Schub-spannungen. So ist die eigentlich falsche Bezeichnung entstanden.

7.2 Versagensszenarien

Bisher wurde vom ungerissenen Querschnitt ausgegangen. Wann und auf welche Art und Weise ein Stahlbetonbauteil, welches auf Biegung und Querkraft beansprucht wird, versagt, hängt u. a. von folgenden Faktoren ab:

• Geometrie des Bauteils • Bewehrungsgrad, -durchmesser und -anordnung • Betonfestigkeit • Art der Belastung.

Aus Bruchbildern kann die Ursache des Versagens abgeleitet werden. Biegebruch (V ≈ 0): a) Die Streckgrenze des Stahles wird erreicht, es entstehen Risse

in der Zugzone. Bei Laststeigerung wandern die Risse höher, die Druckzone wird stark eingeschnürt, bis sie versagt.

b) Bei hohem Bewehrungsgrad versagt der horizontale Druck-gurt plötzlich, bevor der Stahl die Fließgrenze erreicht hat.

MM

Schubbiegebruch: In Bereichen großer Querkräfte entwickeln sich aus Biegerissen Schubrisse in Richtung der Druckspannungstrajektorien, bis die Druckzone so stark eingeschnürt ist, daß sie versagt. Diese Ver-sagensart wird bei Bauteilen ohne Schubbewehrung, z. B. Plat-ten, oder bei sehr gering bewehrten Bauteilen beobachtet.

M

V


92

Schubzugbruch: Versagensart bei normaler Querkraftbewehrung. Risse bilden sich analog zum Fachwerkmodell, es versagen entweder die Bü-gel oder die Biegedruckzone.

M

V

Stegdruckbruch: Bei sehr hoher Steg- und Biegezugbewehrung versagen die schrägen Druckstreben (Hauptdruckspannungen!). Diese Art des Versagens kommt vor allem bei Trägern mit dünnen Stegen und abstehenden Flanschen vor.

M

V

Verankerungsbruch (Zugbewehrung): Wenn die Verankerungslänge nicht ausreicht, kommt es zum Gleiten der Biegezugbewehrung am Auflager. Der Träger ver-sagt schlagartig.

M

V

7.3 Modelle für die Lastabtragung Das von MÖRSCH entwickelte Modell zur Abtragung einer kombinierten Querkraft- und Biegebeanspruchung wird i. a. als "Klassische Fachwerkanalogie" bezeichnet. Das Modell be-steht im wesentlichen aus parallelen, horizontalen Druck- und Zuggurten, aus in beliebigem Winkel α geneigten Zugstäben und um Θ = 45° geneigten Druckstreben. Das Modell wurde aus Bruchbildern von Versuchen an Balken abgeleitet und orientiert sich am Hauptspannungs-bild, siehe Abbildung 47. In Abbildung 50 sind verschiedene Modelle zusammengestellt. a) parallelgurtiges Pfostenfachwerk mit senkrechten Zugstäben (Bügel) und Druckstreben unter 45°

= 45° = 90°

M

V

b) parallelgurtiges Strebenfachwerk (Aufbiegungen, Schrägbügel oder Schubzulagen)

= 45° = 45°

M

V

c) Bogen mit Zugband bzw. Sprengwerk als Modelle für Platten ohne Querkraftbewehrung

ZugstabDruckstab

Abbildung 50: Fachwerkmodelle für kombinierte Beanspruchung aus Biegemoment und Querkraft

Aus dem allgemeinen Modell, Abbildung 51, können auf einfache Art und Weise die Stab-kräfte und damit die erforderliche Bewehrungsmenge ermittelt werden. Die horizontalen Stä-be wurden schon bei der Biegebemessung nachgewiesen. Den geneigten, über die gesamte Querschnittsbreite aufgeweiteten Betondruckstreben wirkt die Betonfestigkeit entgegen. Die geneigten Hauptzugkräfte müssen durch Bewehrung aufgenommen werden. Werden Modelle mit schrägen Zugstäben genutzt, müssen entsprechend Schrägbügel oder Längsstäbe mit Auf-

SCHEERER PROSKE

93

biegungen eingebaut werden. Baupraktisch am günstigsten sind allerdings senkrechte Bügel, die vertikale Zugstäbe abdecken können.

VZ

D

z

s

A V =

"A"

"B"

A V= DV

Knoten "A":

Z1

ZV

D1

DV

Knoten "B":

Abbildung 51: Allgemeines Fachwerkmodell für Querkraftbeanspruchung

Stabkräfte und Bewehrung ergeben sich wie folgt.

( )cot cottan tan

z zs z α Θα Θ

= + = ⋅ +

sinV

VD

Θ = → 1sinVD V

Θ= ⋅

sinV

VZ

α = → 1sinVZ V

α= ⋅

Zugkraft ZV auf die Länge s bezogen: ( )1'

sin cot cotV

VZ VZs z α α Θ

= = ⋅⋅ +

erforderliche Bewehrung: ( )' 1erf

zul zul sin cot cotV

sws s

Z Vazσ σ α α Θ

= = ⋅⋅ ⋅ +

Werden bestimmte feste Werte für die Neigungswinkel angenommen, vereinfachen sich die oben hergeleiteten Formeln:

• schräge Druckstreben unter Θ = 45°, Zugstäbe mit α = beliebig: tan tan 45 1, cot cot 45 1Θ Θ= ° = = ° =

( )cot 1s z α= ⋅ + , 1sinVZ V

α= ⋅ , ( )

1 1'sin cot 1 cos sinV

V VZz zα α α α

= ⋅ = ⋅⋅ + +

erforderliche Bewehrung: 1erf [cm²/m]zul sin cos

= ⋅⋅ +sw

s

Vazσ α α

• vertikale Zugstäbe mit α = 90°, Druckstreben Θ = beliebig: sin sin 45 1, tan tan 45 , cot cot 45 0α α α= ° = = ° = ∞ = ° =

cots z Θ= ⋅ , VZ V= , 1'cotV

VZz Θ

= ⋅

erforderliche Bewehrung: 1erf [cm²/m]zul cot

= ⋅⋅sw

s

Vazσ Θ

• Druckstäbe unter 45° und vertikale Zugstäbe:


94

sin 1, tan , cot 0, tan 1, cot 1α α α Θ Θ= = ∞ = = =

s z= , VZ V= , 'VVZz

=

erforderliche Bewehrung: erf [cm²/m]zulsw

s

Vazσ

=⋅

Für den Spezialfall Druckstäbe unter 45° und vertikale Zugstäbe sollen in Abbildung 52 auch noch die restlichen Stabkräfte angegeben werden. Konkret Fall wurde ein Einfeldbalken mit einer mittigen Einzellast ausgewählt. Für diesen Fall gilt:

• konstanter Verlauf der Querkraft → konstante Größe der vertikalen Zugkräfte • demzufolge konstante Größe der schrägen Druckstäbe • veränderliche Kräfte in den horizontalen Gurten, was dem veränderlichen Momenten-

verlauf entspricht beachte: entsprechend dem Fachwerkmodell ist die Zugkraft am Auflager ≠ 0, auch wenn das Moment = 0 ist!

F

F/2

F

D1 D2 D3

Z1 Z2 Z3 Z4

D s1 D s2 D s3 D s4

Z V1

Z V2

Z V3

A F = /2

A D = 1

2 = A D2

3 = A D3

A Z = 1

2 = A Z2

3 = A Z34 = A Z4

Kräfte imDruckgurt

Kräfte imZuggurt

V

M

V F = + /2

- /F 2

+

+

-

Z FVi = konstant = = /2VD Fsi = konstant = /2 · 21/2

Abbildung 52: Klassische Fachwerk-analogie nach MÖRSCH

Mit dem vorgestellten Modell ließen sich die Grundsätze der Bemessung für Querkräfte gut erklären. Die Annahmen dieses vereinfachten Modells sind aber in vielen Fällen nicht zutref-fend bzw. ausreichend. Eine Verbesserung kann schon damit erreicht werden, daß verschiede-ne Fachwerke überlagert werden, womit eine bessere Anpassung an veränderliche Schnitt-kraftverläufe erreicht werden kann. Solche Modelle werden auch als "Netzfachwerke" be-zeichnet, siehe Abbildung 53 a). Sie sind i. d. R. mehrfach statisch unbestimmt. Der Verlauf der Druck- und Zugkraftlinie wird begradigt und dem Momentenverlauf angepaßt. Allerdings sind beide Linien am Auflager um ein Versatzmaß al versetzt. Im Falle des dargestellten Ein-feldträgers ist die Druckkraft am Auflager noch null, die Zugkraft besitzt aber schon einen bestimmten Betrag. Für diese Kraft muß die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung aus-gelegt werden.

SCHEERER PROSKE

95

b) geneigter Obergurt und veränderliche Druckstrebenneigung in Abhängigkeit von der Größe der Quer-kraft

a) Überlagerung mehrerer Fachwerkmodelle F

A F = /2 Druckkraftlinie

Zugkraftlinie+Z ( )1 cot2

M Vz Θ= ⋅ −

LinieMz −

LinieMz −

al

= Versatzmaß

einfaches Fachwerkzweifaches Fachwerk

Netzfachwerk

al

( )1 cot2z Θal = ⋅ −

( )1 cot2M Vz Θ= − ⋅ −D

c) direkte Ableitung einer auflagernahen Einzellast

Abbildung 53: Modifizierungen von Fachwerkmodellen

Weiterhin haben Versuche gezeigt, daß in vielen Fällen der Druckgurt nicht horizontal ver-läuft, sondern besonders in der Nähe der Auflager geneigt ist. Damit trägt er einen Teil der Querkraft, die sonst über den Steg abgeleitet werden müßte, in das Auflager ab. Damit geht eine Entlastung der Stegkräfte einher, Abbildung 53 b).

Außerdem kann beobachtet werden, daß sich bei auflagernahen Lasten ein direkter Kraftfluß von der Lasteinleitungsstelle zum Auflager ausbildet. Vor allem aber haben Versuche gezeigt, daß diese Druckstreben oft flacher als 45° geneigt sind. Das hat zur Folge, daß die Stegzug-kräfte kleiner werden, die schrägen Stegdruckkräfte und die Kräfte im horizontalen Zuggurt aber zunehmen, was sich zum Beispiel auf die Verankerungslänge der Biegezugbewehrung auswirkt, Abbildung 53 c).

Das Tragverhalten von Platten kann am zutreffendsten mit den Modellen "Bogen mit Zug-band" oder "Sprengwerk mit Zugband" abgebildet werden, siehe Abbildung 50. Durch die ge-ringen Abmessungen kann sich keine Fachwerktragwirkung wie bei Balken einstellen. Leon-hard [24] erklärt die Tragwirkung wie folgt. Geht eine Platte in den Zustand II über, bilden sich auch im Querkraftbereich zunächst Biegerisse. Die Betonzähne zwischen den Rissen werden auf Biegung beansprucht, die Biegeverformung der Zähne wird aber durch die Korn-verzahnung in den Rißflächen (Rißrauhigkeit) und durch die Dübelwirkung der Bewehrung behindert. Dadurch können Kräfte über die Rißufer hinweg übertragen werden. Die Risse setzen sich erst wieder stärker fort, wenn die beschriebenen Behinderungen infolge stärkerer Dehnung der Biegezugbewehrung aufgehoben werden. Die Biegedruckzone wird zunehmend eingeschnürt, es bildet sich ein Druckgewölbe aus. Die Querkrafttragfähigkeit ist also stark von der Dehnsteifigkeit des Zugbandes abhängig. Im Verhältnis zur Plattendicke ist der Effekt der Kornverzahnung bei dünnen Platten deutlich größer als bei dicken.


96

7.4 Bemessung

7.4.1 Grundlagen

Grundsätzlich ist nachzuweisen:

Ed RdV V≤ (120)

Der Bemessungswert der Querkraft VEd darf wie folgt angenommen werden: • Gleichlast + direkte Lagerung:

Wert im Abstand von 1 · d vom Auflagerrand → ABER: dies gilt nicht für den Nach-weis der Druckstrebe!

• indirekte Lagerung: Wert am Auflagerrand für ALLE Nachweise.

direkte Lagerung: ( )1 2 2h h h− ≥ (121)h2

h1

stützendes Bauteilgestütztes Bauteil

indirekte Lagerung: ( )1 2 2h h h− < (122)

Abbildung 54: Abgrenzung von direkter und indirekter Lagerung

Weiterhin gibt es Zusatzregelungen für auflagernahe Einzellasten, geneigte Ober- und Unter-gurte von Trägern sowie für Spannglieder.

Die Widerstandsseite setzt sich im wesentlichen aus 3 Größen zusammen: • VRd,ct aufnehmbare Querkraft für ein Bauteil ohne Querkraftbewehrung • VRd,sy durch die Tragfähigkeit der Querkraftbewehrung begrenzte aufnehmbare

Querkraft • VRd,max infolge der Druckstrebentragfähigkeit begrenzte aufnehmbare Querkraft.

Es gilt:

,Ed Rd ctV V≤ → rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich (123)

,Ed Rd syV V≤ → Querkraftbewehrung erforderlich (124)

,maxEd RdV V≤ → muß in allen Querschnittsbereichen erfüllt sein (125)

7.4.2 Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

Das Bemessungskonzept beruht auf den Modellvorstellungen der Rißverzahnung zwischen den Betonzähnen, die beim Übergang in den Zustand II entstehen, Abbildung 55.

Fk2Fk1

F1 F2

FDü2FDü1

fct

FF

k,i

Dü,i

: Kräfte infolge Kornverzahnung: Kräfte infolge Dübelwirkung

Abbildung 55: Am Betonzahn angreifende Kräfte nach [39]

Das Bauteilversagen tritt letztendlich durch Überschreiten der Zugfestigkeit des Betons an der Einspannung am Ende der Betonzähne in Verbindung mit dem Ausfall der Rißverzahnung

7.3.1

B. (8)

10.3

10.3.1

10.3.2

10.3.3

SCHEERER PROSKE

97

ein. In [39] werden diese Modelle als "Zahnmodelle" bezeichnet. Dadurch wird eine bessere Anpassung an Versuchsergebnisse erreicht als nur durch eine Variation der Druckstrebennei-gung im Fachwerkmodell. Die aus Versuchen abgeleitete Gleichung, die den Einfluß der Betonzugfestigkeit und der Kornverzahnung im Riß berücksichtigt, lautet:

( )1/3, 10,10 100 0,12Rd ct l ck cd wV f b dκ η ρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ (126)

κ 2001 2= + ≤d

κ , Berücksichtigung der Tatsache, daß dünnere Bau-

teile bei gleicher Last bezogen auf die Bauteildicke eine höhere Querkrafttragfähigkeit aufweisen

η1 = 1 für Normalbeton, für Leichtbeton geringer

ρl 0,02sll

w

Ab d

ρ = ≤⋅

, Längsbewehrungsgrad

Asl Fläche der Biegezugbewehrung, die mindestens um d + Verankerungslänge (siehe Skizze) über den betrachteten Schnitt hinausreicht

σcd Edcd

c

NA

σ = , Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des

Schwerpunkts des Querschnitts

NEd Bemessungswert der Längskraft im Querschnitt infolge äußerer Lasten (Druck negativ; Eine Druckkraft verzö-gert die Rißbildung, verringert die Rißbreiten und erhöht demzufolge die Querkrafttragfähigkeit.)

mit:

bw kleinste Querschnittbreite innerhalb der Zugzone

Ist VEd ≤ VRd,ct (123), ist rechnerisch keine Querkraftbewehrung erforderlich. Auf eine Quer-kraftbewehrung darf bei folgenden Bauteilen verzichtet werden:

• Platten und plattenförmige Bauteile mit b/h < 5 • Rippen- und Kassettendecken,

es muß aber an jeder Querschnittsstelle die Einhaltung von VRd,max gewährleistet sein, was bei Platten aber i. d. R. nur bei großen Längskräften kritisch werden dürfte. In allen anderen Fäl-len, also z. B. bei Balken und Plattenbalken, ist stets eine Mindestschubbewehrung anzuord-nen. Folgender Mindestbewehrungsgrad ist einzuhalten:

(127)Bewehrungsgrad allgemein: sin

sww

w w

As b

ρα

=⋅ ⋅

Mindestbewehrungsgrad: min wρ ρ= mit ρ nach Tabelle 21 (128)

fck [N/mm²] 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55

ρ [‰] 0,51 0,61 0,70 0,93 0,93 1,02 1,12 1,21 1,31 1,34

Tabelle 21 Grundwerte ρ für die Ermittlung der Mindestbewehrung

Das Nachweiskonzept der alten DIN 1045 [10] beruhte auf der Berechnung von Schubspan-nungen τ. Den entsprechenden Wert erhält man, indem man die Schubkraft auf die schubüber-tragende Fläche bezieht.

10.3.3

Gl. (70)

Gl. (71)


98

( )1/3,, 1 1

10,10 100 0,12Rd ctRd ct ck cd

w

Vf

b dτ κ η ρ σ

ζ⎡ ⎤= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎣ ⎦⋅

(129)

7.4.3 Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

Für die Fälle, bei denen VRd,ct < VEd ≤ VRd,max ist, muß sowohl eine erforderliche Querkraftbe-wehrung ausgerechnet als auch die Tragfähigkeit der Betondruckstrebe nachgewiesen werden. Die Begrenzung der maximal aufnehmbaren Querkraft durch VRd,max entspricht im Prinzip dem Grenzwert τ03 in der alten DIN 1045 [10]. Die maximal beanspruchte Druckstrebe wird immer am Auflagerrand nachgewiesen, eine Abminderung nach Abschnitt 7.4.1 ist nicht zu-lässig.

Zur Ermittlung von VRd,max darf die Neigung der Druckstreben in bestimmten Grenzen frei gewählt werden. Als obere Grenze für den Druckstrebenwinkel wird 45° empfohlen. In be-gründeten Spezialfällen darf dieser Wert überschritten werden, als absolute obere Begrenzung ist Gleichung (130) einzuhalten.

0,58 cot≤ Θ entspricht 59,9° (130)

Die untere Grenze für den Neigungswinkel der Druckstrebe lautet:

,

1, 2 1,4 3,0 (entspricht 18, 4 ) für Normalbeton

cot 2,0 (entspricht 26,6 ) für Leichtbeton1

− ⋅°⎧

≤ ≤ ⎨ °⎩−

cd

cd

Rd c

Ed

fVV

σ

Θ (131)

In dieser Gleichung ist der Betontraganteil VRd,c enthalten, der wie folgt ermittelt werden kann (zuvor erläuterte Variablen werden nicht noch einmal aufgeführt):

1/3, 10,1 1 1, 2

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠cd

Rd c ct ck wcd

V f b zf

σβ η (132)

mit: βct = 2,4 → entspricht dem Rauhigkeitsbeiwert für verzahnte Fugen

z Hebelarm der inneren Kräfte, wird entweder aus der Biegebemessung übernommen oder mit der Näherung 0,9z d= ⋅ berechnet. beachte:

2 nomz d c≤ − ⋅

cnom Wert bzgl. der Längsbewehrung in der Druckzone

Der Betontraganteil berücksichtigt den über einen Querriß hinweg übertragbaren Anteil der Querkraft. Konkret handelt es sich um den vertikalen Anteil der Rißreibungskraft unter der Annahme, daß der Riß um 40° geneigt ist, [39]. Ergibt sich für VRd,ct ein größerer Wert als die einwirkende Querkraft VEd, sind die unteren Grenzwerte für den Druckstrebenwinkel anzuset-zen. Ist die Neigung der Druckstrebe festgelegt, kann sowohl der Nachweis der Tragfähigkeit der Druckstrebe durch die Ermittlung von VRd,max geführt als auch die erforderliche Beweh-rung durch die Ermittlung von VRd,sy bestimmt werden. Hierzu können verschiedene Fälle differenziert werden.

Ist der Winkel Θ bekannt, können der Bemessungswert der durch die Tragfähigkeit der Quer-kraftbewehrung begrenzten aufnehmbaren Querkraft VRd,sy und der Bemessungswert der durch die Druckstrebentragfähigkeit begrenzten maximal aufnehmbaren Querkraft VRd,max bestimmt werden.

10.3.4

10.3.4

Gl. (73)

10.3.4

Gl. (74)

10.3.4

(2)

SCHEERER PROSKE

99

Allgemeiner Fall, Normalbeton:

In diesem Fall ist der Neigungswinkel α zwischen Querkraftbewehrung und Bauteillängsach-se zu berücksichtigen.

(133)

(134)

(135)

( ), cot cot sinswRd sy yd

w

AV f zs

Θ α α= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

( ),

cot cot sin⋅

=⋅ ⋅ + ⋅

w Rd sysw

yd

s VA

f z Θ α α in [cm²]

( ),

cot cot sin=

⋅ ⋅ + ⋅Rd sy

swyd

Va

f z Θ α α in [cm²/m]

,max 2

cot cot1 cotRd w c cdV b z f Θ αα

Θ+= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ (136)

Bauteile mit Querkraftbewehrung rechtwinklig zur Bauteilachse

Für Querkraftbewehrung, die rechtwinklig zur Bauteilachse eingebaut wird – was der Regel-fall sein sollte – können die Bemessungsgleichungen vereinfacht werden. Es gilt α = 90° und damit sin α = sin 90° = 1 und cot α = cot 90° = 0.

(137)

(138)

, cotswRd sy yd

w

AV f zs

Θ= ⋅ ⋅ ⋅

,

cot⋅

=⋅ ⋅

w Rd sysw

yd

s VA

f z Θ in [cm²]

,

cot=

⋅ ⋅Rd sy

swyd

Va

f z Θ in [cm²/m] (139)

Für cot Θ dürfen auch folgende Näherungen verwendet werden: • reine Biegung: cot Θ = 1,2 • Biegung + Längsdruck: cot Θ = 1,2 • Biegung + Längszug: cot Θ = 1,0.

,max cot tanw c cd

Rdb z fV α

Θ Θ⋅ ⋅ ⋅=

+ (140)

mit: αc 10,75cα η= ⋅ , Abminderungsbeiwert für die Druckstrebentragfähigkeit

Rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung bei senkrechten Bügeln und Druckstreben un-ter 45°, Normalbeton:

Es gilt α = 90° (sin 90° = 1, cot 90° = 0) und Θ = 45° (tan 45° = 1, cot 45° = 1).

(141)

(142)

, = ⋅ ⋅Rd sy sw ydV a f z

⋅=⋅

w Edsw

yd

s VAf z

in [cm²]

=⋅

Edsw

yd

Vaf z

in [cm²] (143)

10.3.4

(5)

10.3.4

Gl. (76)

10.3.4

Gl. (77)

Gl. (78)

10.3.4

Gl. (75)


100

7.5 Anordnung der Querkraftbewehrung

7.5.1 Grundsätze

Die Querkraftbewehrung soll sich an den in Kapitel 7.1 vorgestellten Tragmodellen orientie-ren. Demzufolge sollten Platten ohne Querkraftbewehrung ausgeführt werden. Ausnahmen sind sehr hoch beanspruchte Platten, was z. B. im Brückenbau der Fall sein kann. Bei Balken wird im Idealfall die Schubbewehrung analog der Richtung der schiefen Hauptzugspannungen angeordnet, was allerdings baupraktisch schwierig zu realisieren ist. Möglich sind folgende Formen der Querkraftbewehrung, die auch kombiniert werden können.

Bügel SchubzulagenAufbiegung

Abbildung 56: Formen der Querkraftbewehrung

Bügel sind die gebräuchlichste Form. Sie nehmen die Stegzugkräfte auf und müssen entspre-chend des Modells in Abbildung 57 die Zugbewehrung einschließen und möglichst die ge-samte Druckzone umfassen. Bügel müssen geschlossen werden, um den Kraftfluß zu gewähr-leisten. Auch die horizontalen Bügelschenkel erhalten nicht zu vernachlässigende Zugkräfte, da sich die Druckstreben allein auf die Bügelecken abstützen können, da nur dort Vertikal-komponenten aufgenommen werden können. Deshalb müssen bei breiten Trägern mehrschnit-tige Bügel eingesetzt werden, siehe Abbildung 56 rechts und Tabelle 22, wo die Grenzwerte für die maximal zulässigen Bügelschenkelabstände aufgeführt sind. Ein Bügel mit zwei Bü-gelschenkeln wird als zweischnittig bezeichnet, je nach Anordnung von zusätzlichen Schub-zulagen oder Zulagebügeln spricht man entsprechend von dreischnittig, vierschnittig usw.

Z

D

Z

D

DDZ

Z

D D

Abbildung 57: Fachwerkmodell zur Wirkungsweise von Bügeln

Obwohl für die Verankerung von Bügeln in der Regel nur wenig Platz zur Verfügung steht, muß für eine ausreichende Verankerung sowohl im Druck- als auch im Zuggurt gesorgt wer-den. Als Verankerungselemente kommen daher bevorzugt Haken und Winkelhaken zum Ein-satz, siehe Abbildung 58, es sind aber auch angeschweißte Querstäbe möglich (DIN 1045-1, Abbildung 56).

≥ 5 ds·

ds ds

≥ 10·ds

Abbildung 58: Ausbildung von Haken und Winkelhaken

bei Bügeln

Außerdem ist zu unterscheiden, ob der Bügel in der Druck- oder in der Zugzone des Bauteils geschlossen wird. Beim Schließen in der Zugzone muß die Übergreifungslänge ls entspre-chend Abbildung 59 gewährleistet werden. Bei Plattenbalken kann die durchgehende Quer-

12.7

B. (56)

12.7

SCHEERER PROSKE

101

bewehrung der Platte zum Schließen der Bügel herangezogen werden, Abbildung 59 rechts. Dabei darf aber der Bemessungswert der Querkraft VEd maximal 2/3 der maximalen Quer-krafttragfähigkeit VRd,max betragen.

ls

≥ 10

·ds

ls

Abbildung 59: Schließen von Bügeln; links: in der Zugzone; Mitte: in der Druckzone; rechts:

bei Plattenbalken Bei Fertigteilträgern mit extrem dünnen Stegen (bw ≤ 80 mm) dürfen einschnittige Schubzula-gen als alleinige Querkraftbewehrung verwendet werden, wenn die Druckzone und die Biege-zugbewehrung gesondert durch Bügel umschlossen werden, z. B. bei Fertigteilbindern mit Doppel-T-Querschnitt.

7.5.2 Zur konstruktiven Durchbildung von Balken und Plattenbalken

Die Bestimmungen zur Mindestbewehrung, siehe Abschnitt 7.4.2, sind immer einzuhalten. Ansonsten sind folgende Punkte zu beachten:

• Bei Endauflagern muß mindestens ein Bügel hinter der rechnerischen Auflagerlinie liegen.

• Jede Bügelecke muß durch einen Längsstab gesichert werden. • Folgende Maximalwerte der Längs- und Querabstände der Bügelschenkel dürfen nicht

überschritten werden: Festigkeitsklasse

≤ C 50/60 > C 50/60 ≤ C 50/60 > C 50/60 Querkraftausnutzung a)

Längsabstand Querabstand

VEd ≤ 0,30 VRd,max 0,7·h bzw.

300 mm 0,7·h bzw.

200 mm h bzw. 800 mm

h bzw. 600 mm

0,30 VRd,max < VEd ≤ 0,60 VRd,max 0,5·h bzw.

300 mm 0,5·h bzw.

200 mm VEd > 0,60 VRd,max 0,5·h bzw. 200 mm

h bzw. 600 mm

h bzw. 400 mm

a) VEd und VRd,max wie in Abschnitt 7.4, näherungsweise darf VRd,max mit Θ = 40° berechnet werden.

Tabelle 22 Größte Längs- und Querabstände smax von Bügelschenkeln und Quer-kraftzulagen

• Die Querkraftbewehrung entlang der Bauteillängsachse muß an jeder Stelle den Be-messungswert der Querkraft VEd abdecken; bei Tragwerken des üblichen Hochbaus darf entsprechend Abbildung 60 vereinfacht werden.

Es gilt: E AA A≤ (144)

VRd,sy

VEd

lA lE

AA

AE

d

mit: AA Auftragsfläche AE Einschnittsfläche

2Adl ≤ und

2Edl ≤

Abbildung 60: Einschneiden der Querkraftlinie

12.7

B. (56)

13.2.3

13.2.3

Tab. (31)

13.2.3

B. (68)


102

7.5.3 Zur konstruktiven Durchbildung von Ortbetonplatten Bei Platten mit b/h > 5 ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung braucht keine Mindestquerkraftbewehrung angeordnet werden. Bauteile mit b/h < 4 sind als Balken zu behandeln, Zwischenbereiche sind nach DIN 1045-1, 13.3.3 (2) zu interpolieren. Muß eine Querkraftbewehrung eingelegt werden, sind die Stababstände nach DIN 1045-1, 13.3.3 (3) festzulegen.

7.6 Anschluß von Gurten Der Anschluß von Gurten muß bei gegliederten Querschnitten wie Hohlkästen bei Brücken oder Plattenbalken im Hochbau nachgewiesen werden. Das Tragmodell wird am besten an-hand der Abbildung 61 erläutert. Dargestellt ist ein Plattenbalken mit der Platte in der Druck-zone. Dieses Beispiel soll ausführlicher erläutert werden, bei Zugflanschen ist dann entspre-chend zu verfahren. Der Lastabtrag in Längsrichtung kann wie bei einem einfachen Balken durch ein Fachwerkmodell verdeutlicht werden. Der Unterschied zum einfachen Balken be-steht darin, daß sich das Druckspannungsfeld in der Platte aufweiten kann. Der Kraftfluß im Druckgurt kann wiederum mit einem Stabwerkmodell gezeigt werden, Abbildung 61 unten.

M

V

D/2

D/2

A

A/2

A/2

Abbildung 61: Anschluß von Druckgurten

Schräge Druckstreben bewirken die Verteilung der Druckspannungen über die Breite des Gur-tes, dabei entstehen senkrecht zur Bauteilachse Zugspannungen, die durch die sogenannte An-schlußbewehrung aufgenommen werden müssen. Allerdings muß nicht die volle Druckkraft im Anschnitt zwischen Steg und Platte übertragen werden, sondern nur der Plattenanteil, da ein Teil der Druckkraft ja direkt im Steg verbleibt. Das Fachwerkmodell im Flansch ent-spricht dem Modell für die Querkraft im Steg, es ist lediglich horizontal ausgerichtet. Der Druckstrebenwinkel Θ darf vereinfacht nach Gleichung (145) bzw. (146) angesetzt werden.

Druckflansch: cot 1,2Θ = → 50,2Θ = ° (145)

Zugflansch: cot 1,0Θ = → 45Θ = ° (146)

Der horizontale Druckgurt wird durch die Druckkraft, die im Flansch übertragen werden soll, gebildet. Er befindet sich in etwa im Schwerpunkt der Fläche hf · beff,i, Abbildung 62. Die ver-tikalen Zugstäbe müssen durch die Anschlußbewehrung gebildet werden. Da die Druckkraft i. d. R. über die Plattendicke verteilt mit der Resultierenden in Plattenmitte wirkt, muß also auch die Bewehrung gleichmäßig an Ober- und Unterseite der Platte verteilt werden.

13.3.3

10.3.5

10.3.5

(3)

SCHEERER PROSKE

103

Die anzuschließende Druckgurtkraft verändert sich über die Trägerlänge, wenn die Querkraft V veränderlich ist. Der Nachweis ist dann, nicht mit der maximal zu übertragenden Gurtkraft Fd,max zu führen, sondern mit dem Schubfluß vEd, der auf die Länge av bezogen wird, siehe [39], Abbildung 62 und Gleichung (147). Handelt es sich um einen Zugflansch, muß die An-schlußbewehrung für die in der ausgelagerten Bewehrung übertragenen Kräfte bemessen wer-den.

av

hf

Fd

Fd

F Fd d+

F Fd d +

beff,1

beff,2bw

sf

Asf

beffbeff beff

anzuschließendeBereiche

Abbildung 62: Fachwerkmodell für den Anschluß von Gurtplatten

, ,,max

, ,max

f Rd sydEd

f Rdv

vFv

va⎧

= ≤ ⎨⎩

(147)

mit: av Bezugslänge, über die die Gurtkraftdifferenz ∆Fd als konstant angese-hen werden kann

av ≤ ½ des Abstandes der Momentennullpunkte bei relativ konstan-tem Schubfluß

av ≤ Abstand des Querkraftsprunges bei großen Einzellasten

Bei der Bestimmung der Querkraftwiderstände in Gleichung (147) müssen im Vergleich zur regulären Querkraftbemessung folgende Größen ersetzt werden:

bw durch hf

z durch av

σcd durch die mittlere Betonlängsspannung im anzuschließenden Gurtabschnitt mit der Länge av

Wie aus dem Fachwerkmodell deutlich wird, muß die ermittelte Anschlußbewehrung af,sw je zur Hälfte an der Ober- und an der Unterseite der Platte angeordnet werden. Laut DIN 1045-1 ist es zulässig, bei kombinierter Beanspruchung von Querbiegung in der Platte und Schubbe-anspruchung zwischen Flansch und Steg – das ist der Regelfall bei Plattenbalken, lediglich den größeren der beiden erforderlichen Bewehrungsquerschnitte einzulegen. Es gilt also:

• ½ af,sw > asl,Platte → an Ober- und Unterseite je ½ af,sw einlegen. • ½ af,sw < asl,Platte → an der Oberseite asl,Platte und an der Unterseite ½ af,sw einlegen.

Bei dieser Regelung ist allerdings zu beachten, daß bei einem System aus Platten und Unter-zügen die Querbiegung in der Platte und die Querkraft im Unterzug mit dem jeweiligen Maxi-malwert durchaus an der selben Stelle auftreten können. Wenn kein genauerer Nachweis geführt wird, sollten in diesem Fall also die beiden Bewehrungen asl,Platte und af,sw addiert statt aufeinander angerechnet werden.

Weiterhin gilt natürlich, daß bei durchgehender unterer Bewehrung in der Platte diese voll auf den unten einzulegenden Anteil von af,sw angerechnet werden darf, da diese Bewehrung i. d. R. nicht durch Traglasten beansprucht wird, sondern nur konstruktiv über den Zwischen-auflagern durchgeführt wird.

10.3.5

B. (34)

10.3.5

(4)


104

8 Zugkraftdeckung

8.1 Grafisches Verfahren Bisher wurde die erforderliche Biegezugbewehrung im Bereich der maximalen Momente ermittelt. Aber genau wie bei der Querkraftbewehrung, die abschnittsweise abgestuft werden darf, kann dies auch für die Biegebewehrung erfolgen. Der Einbau von Eisen, die für das maximale Moment dimensioniert wurden, über die gesamte Länge des Trägers wäre eine un-wirtschaftliche Lösung, Abbildung 63. Die Ermittlung der statisch notwendigen Menge der Biegezugbewehrung bezogen auf die Längsachse des Biegebauteils erfolgt durch die Zug-kraftdeckung. Warum der Nachweis der Zugkraftdeckung als Abschluß der Biegebeweh-rungsermittlung im Rechengang erst nach der Ermittlung der Querkraftbewehrung stattfindet und woher der Begriff „Zugkraftdeckung“ kommt, wird im folgenden erläutert.

gq

MS

MF

l l

MF As

As?

As

As

As aus Biegebemessung bekannt (für das maximale Feldmoment und das minimale Stützenmoment ermittelt) As? Beanspruchung ist geringer als bei max MFeld und min MStütze, wieviel Bewehrung ist hier erforderlich, wie lang muß diese sein?

Abbildung 63: Beispiel eines statischen Systems mit Momentengrenzlinie

Bei der Zugkraftdeckung wird in drei Schritten aus der Momentengrenzlinie die Zugkraftlinie und daraus die Zugkraftdeckungslinie in Abhängigkeit von der vorhandenen Bewehrung er-stellt. Diese Schritte können grafisch oder rechnerisch durchgeführt werden. Dazu gehören:

1. Erstellen der Momentenlinie über die Trägerlänge: Dieser Schritt erfolgte normalerweise bereits bei der Ermittlung der maßgebenden Schnitt-größen, also auch des maßgebenden Momentenbildes. Das Ergebnis ist i. A. ein Längen-Momenten-Diagramm, siehe Abbildung 64 links.

gq

MS

MF

5,0 m 5,0 m

Statisches System und Momentenbild

MStütze

s,Stütze

[kNm] bzw.Z [kN]

0 1 2 3 4 5 m

MFeld

s,Feld

[kNm] bzw.Z [kN]

Linkes Feld des Zweifeldträgers, Momenten- und Zugkraft-Diagramm

Abbildung 64: Beispiel eines Momenten-Zugkraft-Diagramms

2. Erstellen der Zugkraftlinie: Das Moment M kann über den Hebelarm der inneren Kräfte z in eine zugehörige Stahlzug-kraft Zs umgerechnet werden, Gleichung (148). Der Hebelarm der inneren Kräfte wurde bei der Biegebemessung für die jeweils maßgebenden Momente ermittelt. Die Umrech-nung vom Momentenbild in ein Zugkraftbild erzeugt kein wirklich neues Diagramm, es

13.2.2

SCHEERER PROSKE

105

ändert sich nur die Einheit der y-Achse des unter Punkt 1. erstellten Diagramms, da sich Zugkraft und Moment direkt proportional verhalten, siehe Abbildung 64 rechts.

Ed Eds

M MZz dς

= =⋅

(148)

3. Berechnung der infolge Zs erforderlichen Bewehrungsmenge:

Im dritten Schritt berechnet man aus der Zugkraft eine erforderliche Bewehrungsmenge, die dann mit der vorhandenen Bewehrungsmenge verglichen werden kann. Würde man die Linie der erforderlichen Stahlmenge ebenfalls in das Diagramm aus Abbildung 64 eintra-gen, würde sie die gleiche Gestalt wie die Momenten- und die Zugkraftlinie haben, da As linear abhängig von der abzudeckenden Zugkraft und damit vom Moment ist.

ss

yd

ZAf

= (149)

Die bisher berechneten und dargestellten Größen hatten immer nur einen Bezug zu erforder-lichen Werten. Wir haben ein Momentenbild, welches abgedeckt werden muß, wir kennen ein Zugkraftbild, welches wir abdecken müssen und wir haben eine erforderliche Stahlfläche, die wir mindestens einlegen müssen. Eine vorhandene Bewehrung kann nun ohne große Proble-me ebenfalls in dieses Diagramm eingetragen werden, Abbildung 65. Visuell wird damit so-fort deutlich, ob die vorhandenen Werte die Erfordernisse erfüllen.

2 Stäbe3 Stäbe

0 1 2 3 4 5 mMFeld

s,Feld

[kNm] bzw.Z [kN] bzw.

[cm²]erf As

vorh As bei abgestufter Bewehrung

1 Stab

Abbildung 65: Prinzipskizze abgestufte Bewehrung

Die Fragen vom Anfang sind aber noch offen: Warum heißt das gesuchte Diagramm nicht Momenten- oder Biegebewehrungsdeckungsdiagramm sondern Zugkraftdeckungslinie und warum muß die Querkraftbewehrung vor der Zugkraftdeckung berechnet werden. Beide Fra-gen haben eine gemeinsame Lösung. Bei der Ermittlung der Querkraftbewehrung wurde das Fachwerkmodell eingeführt. Dieses Modell beschreibt den Abtrag der Schnittgröße Querkraft auf eine deutlich andere Art und Weise als das Modell für das Biegemoment bei der Schnitt-größe Moment. Beide Schnittgrößen treten aber gleichzeitig auf, also müssen auch beide Modelle gleichzeitig wirksam sein. Neben den Zugkräften aus dem Biegemoment treten dann auch Zugkräfte aus dem Fachwerkmodell für die Querkraft auf, und diese sind nicht vernach-lässigbar. Während in Auflagernähe eines Einfeldträgers das Moment nahezu 0 ist und damit aus dieser Schnittgröße keine Zugkraft resultiert, ergibt das Fachwerkmodell für den Quer-kraftabtrag durchaus in diesem Bereich an der Unterseite des Biegeträgers eine horizontale Zugkraft, siehe auch Abbildung 50 bis Abbildung 52 zu den Fachwerkmodellen. Dieser Zug-kraftanteil aus dem Fachwerkmodell muß zu dem Zugkraftanteil aus Biegung addiert werden.

Heutzutage wäre durch den Einsatz eines Computers für jeden Abschnitt eines Trägers die Addition dieser beiden Anteile sofort möglich. Vereinfacht kann aber auch auf grafischem Wege anstelle der Addition der beiden Anteile die Momentenlinie einfach um das Versatzmaß al von den Maximalwerten weg hin zu den Auflagern verschoben werden. Das Versatzmaß ist abhängig von der Größe des inneren Hebelarms und von der Neigung der Streben im Fach-werkmodell. Es wird mit Gleichung (150) berechnet.


106

( )cot cot 02

= ⋅ − ≥lza Θ α (150)

mit: Θ, α entsprechend Querkraftbemessung z entsprechend Biegebemessung oder allgemein 0,9z d= ⋅

Das Verschieben der Zugkraftlinie wird in Abbildung 66 demonstriert. Betrachtet man die Lage eines Punktes auf dem Längen-Zugkraft-Diagramm, erkennt man deutlich, daß sich die Zugkraftwerte an der entsprechenden Stelle x erhöht haben. In anderen Worten: die Verschie-bung der Momenten- bzw. Zugkraftbilder entspricht der Erhöhung der Zugkraftwerte an einer definierten Stelle. Damit wird der Anteil aus dem Querkraftmodell den Zugkräften infolge des Biegemomentes hinzugerechnet. M [kNm]

bzw.Zs [kN]

0

0

M [kNm]bzw.

Zs [kN]

0 1 2 3 4 5 [m]x

0

M [kNm]bzw.

Zs [kN]

0 1 2 3 4 5 [m]x

0

M [kNm]bzw.

Zs [kN]

Versatzmaß al

a al l x1

Z M x xs inf. an = 1

Z V x xs inf. an = 1

Erhöhung der Zugkraft Zs,x1 an x = x1 vom Anteil infolge des Momentes Zs,M auf Zs,x1 = Zs,M,x1 + Zs,V,x1 (Zs,V,x1 ist der Anteil infolge des Fachwerkmodells für die Querkraft)

Abbildung 66: Versetzen der Zugkraftlinie um das Versatzmaß al

In Abhängigkeit von der Größe der Querkraft unterscheiden sich die Fachwerkmodelle, was wiederum zu verschiedenen Beträgen der Zugkräfte in den Fachwerken führt. Diese unter-schiedlichen Modelle müssen auch bei der Zugkraftdeckung berücksichtigt werden, da der Betrag der Verschiebung al vom Querkraftmodell ab hängt. Da wir gezeigt haben, daß die Verschiebung einer Erhöhung des Zugkraftdeckungswertes entspricht, bestimmt der Betrag der Verschiebung auch den Betrag der Erhöhung der Zugkraft.

Die so erstellte versetzte Zugkraftlinie muß abschließend durch Bewehrung abgedeckt wer-den. Da die Bewehrung aber nicht kontinuierlich an die Momentenlinie angepaßt werden kann, wird die Linie der aufnehmbaren Zugkraft im Gegensatz zur Linie der aufzunehmenden Zugkraft stufenförmig verlaufen, wie schon in Abbildung 65 angedeutet wurde. Die waage-rechten Linien der Zugkraftdeckungslinie bezeichnet man als Bewehrungshorizonte. Diese Bewehrungshorizonte müssen vom Betrag her immer über den Linien für die erforderliche Bewehrung liegen, die ja konform zum Zugkraftbild sind. Das Eintragen der Bewehrungshori-zonte ist in der folgenden Skizze dargestellt.

13.2.2

Gl. (147)

SCHEERER PROSKE

107

Diese Zugkraft muß mindestensaufgenommen werden! Bewehrungshorizonte

0 1 2 3 4 5 [m]x

M [kNm]bzw.

Zs [kN]5 Bewehrungseisen4 Bewehrungseisen3 Bewehrungseisen2 Bewehrungseisen1 Bewehrungseisen

1 Bewehrungseisen2 Bewehrungseisen3 Bewehrungseisen4 Bewehrungseisen

Abbildung 67: Eintragen von Bewehrungshorizonten, Beispiel

Durch das Eintragen von Bewehrungshorizonten ist der Vergleich zwischen der zwingend er-forderlichen Bewehrung und der nach der Biegebemessung vorgesehenen Bewehrung mög-lich. Die gewählte Bewehrung muß immer größer oder gleich der statisch erforderlichen sein, d. h. die gewählten Bewehrungshorizonte müssen vom Betrag her höher oder identisch mit der Zugkraftlinie sein. Die Staffelung der Durchmesser als auch die Durchmesser selbst kön-nen frei gewählt werden. Dabei sollte das Verhältnis zwischen Materialeinsparung und erhöh-tem Arbeits- und Planungsaufwand beachtet werden.

Die Vorgehensweise wird in Abbildung 68 verdeutlicht. Vom Schnittpunkt der Zugkraftlinie mit dem Bewehrungshorizont wird eine Hilfslinie in Richtung des höheren Betrages der Zug-kraft gezeichnet (linkes Bild). Am Schnittpunkt mit der nächsthöheren Bewehrungslage kann die höhere Lage auf eben diese Länge gekürzt werden. In DIN 1045-1 wird dieser Schnitt-punkt mit E bezeichnet, was „rechnerischer Endpunkt“ der Bewehrung bedeutet. Dadurch erhält man die Grundlänge dieses Biegewehrungseisens, also noch ohne die erforderliche Ver-ankerungslänge (Kapitel 9). Kürzt man alle Bewehrungshorizonte auf das erforderliche Maß (ohne Verankerungslängen), erhält man die stufenförmige Zugkraftdeckungslinie (rechts im Bild).

0 1 2 3 4 5 [m]x

Zs5 Stäbe4 Stäbe3 Stäbe2 Stäbe1 Stab

1 Stab2 Stäbe3 Stäbe

Hilfslinien, kürzen bis hier

0 1 2 3 4 5 x

Zugkraftdeckungslinie EE

EE

E

E

Abbildung 68: Vorgehensweise bei der Ermittlung der abgestuften Bewehrung

In Abbildung 69 ist dargestellt, wie die ermittelten Längen später auf den Bewehrungszeich-nungen wiederzufinden sind. Allerdings fehlt immer noch die jeweils erforderliche Veranke-rungslänge. Wie diese berechnet wird, ist in Kapitel 9 nachzulesen.


108

Bewehrungs-skizze

Pos. 1: = ... ml Pos. 2: = ... ml Pos. 3: = ... ml Pos. 4: = ... ml Pos. 5: = ... ml

Pos. 6: = ... ml Pos. 7: = ... ml Pos. 8: = ... ml

0 1 2 3 4 5 x

Zs

Abbildung 69: Darstellung der verschiedenen Positionen in einer Bewehrungsskizze (Anga-ben bzgl. der genauen Lage der Stäbe, Durchmesser, Länge, Positionsnum-mern etc. sind zu ergänzen!)

An dieser Stelle wird die Bezeichnung Zugkraftdeckungslinie verständlich. Die eingelegte Bewehrung muß mindestens soviel Zugkraft aufnehmen, wie im Bauteil infolge Moment (und Querkraft) vorhanden ist.

Zusammenfassend sollen noch einmal alle notwendigen Arbeitsschritte aufgeführt werden: (1) Momentenlinie erstellen (dabei Maßstab für die Darstellung der Momente und

Längen wählen) (2) Zugkraftbild aus Momentenbild ableiten (neuen Maßstab für Kräfte errechnen) (3) Versatzmaß in Abhängigkeit vom Querkraftmodell ermitteln (4) Zugkraftbild um den Betrag des Versatzmaßes verschieben (5) Bewehrungshorizonte wählen und eintragen (6) erforderliche Bewehrungslänge festlegen

Die Zugkraftdeckung ist ein graphisches Verfahren. Die Momente, Kräfte und Längen dürfen aus dem Diagramm abgemessen werden. Es empfiehlt sich deshalb, z. B. mit Millimeterpa-pier zu arbeiten. Geringe Ableseungenauigkeiten oder Skizzierfehlern sind akzeptabel.

Noch einige Bemerkungen zur Anwendung. Die Berechnung der Zugkraftdeckung erfolgt heutzutage in der Praxis nur noch rechnergesteuert. Insgesamt ist die Staffelung der Beweh-rung, insbesondere im Hochbau, durch die Zugkraftdeckungslinie nicht mehr so intensiv zu finden, wie z. B. noch vor einigen Jahren. Während damals die Einsparung von Stahl im Vor-dergrund stand, sind heute im wesentlichen die Kosten der Ingenieurstunden und die Kosten der Stahlliste entscheidend. Außerdem ist der Verlegeaufwand bei vielen verschiedenen Positionen höher, da mehr Lagerplatz auf der Baustelle bereitgestellt werden muß und die Zu-ordnung und exakte Ausrichtung der verschiedenen Eisen länger dauert, als wenn nur eine Art Eisen eingebaut werden soll. Letztlich ist auch das Risiko von Fehlern größer, da Stähle in der falschen Lage eingebaut werden können. Sinnvolle Anwendungsgebiete sind der Brücken- und Fertigteilbau.

SCHEERER PROSKE

109

8.2 Konstruktive Regeln

Platten: • Mindestens ½ der Feldbewehrung ist ins Auflager zu führen und dort zu verankern. • Bei Platten ohne Querkraftbewehrung gilt al = 1,0 · d.

Balken: • Mindestens ¼ der Feldbewehrung ist ins Endauflager zu führen und dort zu verankern. • Mindestens ¼ der Feldbewehrung ist um 6 ds übers Zwischenauflager zu führen. • Zur Aufnahme positiver Momente an Zwischenstützen, z. B. infolge Baugrundsetzun-

gen, sollte die Bewehrung durchlaufen.

13.2.2

(6), (9), (10)

13.3.2

(1)


110

9 Verankerung von Bewehrung

9.1 Allgemeines Wie in Abschnitt 3.4 erläutert, ist Stahlbeton ein Verbundbaustoff. Der Verbund gewährleis-tet, daß in Stahl und Beton gleiche Dehnungen vorhanden sind und Kräfte von einem Baustoff auf den anderen übertragen werden können. Werden Stäbe zur Kraftübertragung nicht mehr benötigt, müssen sie kraftschlüssig im Beton verankert werden. Verankerungen sind zum Bei-spiel auch nötig bei komplizierten Bewehrungsführungen. Außerdem müssen Stäbe in vielen Fällen gestoßen werden, dann muß ebenfalls über den Verbund die Kraftweiterleitung ge-währleistet werden.

9.2 Eigenschaften des Verbundes

Von der Güte des Verbundes hängt die Wirksamkeit von Verankerungen ab. Die Verbund-wirkung entsteht durch das Zusammenwirken mehrerer Mechanismen. LEONHARDT [24] un-terscheidet zwischen:

• Haftverbund • Reibungsverbund • Scherverbund.

Die Qualität des Verbundes ist von vielen Faktoren abhängig, zum Beispiel von: • Betongüte, Betonzusammensetzung und Konsistenz • Profilierung und Durchmesser des Bewehrungsstahles • der Lage des Stahles beim Betonieren • der Größe der Betondeckung.

Lage des Stahles beim Betonieren:

Wesentlich ist, ob der Stab beim Einbringen des Betons waagerecht, geneigt oder senkrecht liegt und wie hoch er bzgl. des Schalungsbodens eingebaut wurde.

Beim Erhärten setzt sich der Frischbeton etwas und es sammelt sich Wasser unter den Stäben an, was später verdunstet. Wenn die Bewehrung also hoch über dem Boden liegt, können Hohlräume oder Porenansammlungen entstehen, siehe Abbildung 70. Die im Verbund liegen-de Mantelfläche des Stahles kann sich dann bis auf die Hälfte reduzieren.

Hohlraum Poren

Abbildung 70: Bildung von Hohlräumen und Poren unter waagerechten Bewehrungsstäben

In DIN 1045-1 wird deshalb zwischen "guten" und "mäßigen" Verbundbedingungen unter-schieden. Die entsprechenden Kriterien sind in Abbildung 71 zusammengefaßt. Dargestellt sind die Bedingungen für "guten" Verbund, in allen anderen Fällen ist von mäßigem Verbund auszugehen.

12.6 ff.

12.4

SCHEERER PROSKE

111

h 30 cm≤

hbeliebig

= 45...90°h 30 cm≤ = 0...45°

h > 30 cm≤ 30 cm h > 30 cm

≥ 30 cm

Beto

nier

richt

ung

Abbildung 71: Bedingungen für "guten" Verbund nach DIN 1045-1

Betongüte, Betonzusammensetzung und Konsistenz:

Grundsätzlich steigt die Verbundfestigkeit mit der Betonfestigkeit.

Betone mit niedrigerem Feinkornanteil weisen bessere Verbundeigenschaften auf, die Absetz-erscheinungen sind geringer. Bei steiferer Konsistenz verringern sich die Wasserablagerun-gen, die Matrix wird insgesamt dichter, fester und weniger anfällig gegenüber Verformungen.

Größe der Betondeckung:

Wie in Abbildung 72 gut zu sehen ist, entstehen durch die Druckbeanspruchung der Beton-konsolen an den Rippen Ringzugspannungen um den Bewehrungsstab herum. Je geringer die Betondeckung ist, desto mehr müssen die Druckstreben umgelenkt werden und desto höher fallen die Zugspannungen und damit die Beanspruchung des Verbundes aus. Wird die Zugfes-tigkeit des Betons überschritten, können Längsrisse entlang des Stahles entstehen, die Ver-bundfestigkeit wird geringer. Bei hoher Konzentration von Stößen oder Verankerungen muß deshalb unter Umständen eine Querbewehrung vorgesehen werden.

Drucktra-jektorien

Zugtra-jektorien

Stahl-zugkraft

Kraftfluß Stabwerkmodell

Zugring

Abbildung 72: Spannungen am Bewehrungsstab

9.3 Verbundspannung Zur Erläuterung der Verbundspannungen soll ein zentrisch gezogener Stahlbetonstab wie in Abbildung 73 herangezogen werden. Am Ende des Stahlstabes beträgt die Kraft im Stahl Zs = Z, entsprechend die Stahlspannung σs0 = Zs/As und die Stahldehnung εs0 = σs0/Es. Ab der Stelle, an der der Stahl in den Beton einbindet, werden über den Verbund Anteile der Zugkraft Zs = Z auf den Beton übertragen. Die Beanspruchung im Stahlstab sinkt, die des Betons steigt. Dem Beton wird eine Zugverformung aufgezwungen. Nach einer gewissen Einleitungslänge lE sind die Dehnungen von Beton und Stahl gleich, es gilt εs = εc. Innerhalb der Eintragungs-

12.4

B. (54)


112

länge lE wirken an der Oberfläche des Stahlstabes die Verbundspannungen fbd. Sie sind im Be-reich der Enden des Stahlbetonstabes maximal und 0, wenn der Verbund vollständig wirkt. Z Z

s0

fbd

+

+

+-

lE s c = n ⋅ , = , = 0c s cflE

fbd,m

Abbildung 73: Verbundspannungen am zentrisch gezo-genen, ungerissenen Zugstab

Wird ein Bewehrungsstab verankert, ist er also erst in einem bestimmten Abstand von seinem Ende aus voll wirksam und kann Lasten abtragen. Deshalb muß die Stablänge um eine ent-sprechende Verankerungslänge vergrößert werden. Die Verankerungslängen werden unter Verwendung eines über die Verankerungslänge konstanten Mittelwertes der Verbundspan-nung fbd berechnet. fbd kann mit den Gleichungen (151) bis (154) berechnet oder aus Tabel-le 23 abgelesen werden. Tabelle 23 gilt für gute Verbundbedingungen und Stabdurchmesser bis 32 mm, in allen anderen Fällen sind die Werte mit den Faktoren analog den Gleichungen (152) bis (154) zu multiplizieren.

guter Verbund und ds ≤ 32 mm: ;0,052, 25 ctkbd

c

ff

γ= ⋅

mäßiger Verbund: Abminderung mit dem Faktor 0,7

ds > 32 mm: Abminderung mit dem Faktor 132100

sd−

Querzug *): Abminderung mit dem Faktor 13

(151)

(152)

(153)

(154) *) Diese Bestimmung gilt für Querzug rechtwinklig zur Bewehrungsebene, wenn Risse

parallel zu den Stäben erwartet werden müssen. Auf die Abminderung kann bei einer Begrenzung der Weite dieser Risse auf maximal 0,2 mm und vorwiegend ruhender Belastung verzichtet werden.

charakteristische Betondruckfestigkeit fck in N/mm²

12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 fbd in [N/mm²] 1,6 2,0 2,3 2,7 3,0 3,4 3,7 4,0 4,3 4,4

Tabelle 23 Bemessungswerte der Verbundspannung fbd für Betonstahl bei gutem Verbund und ds ≤ 32 mm nach DIN 1045-1 (Auszug)

Die DIN 1045-1 erlaubt eine Erhöhung der Verbundspannung in folgenden Fällen: • Es ist rechtwinklig zur Bewehrungsebene ein Querdruck p vorhanden (mittlerer Quer-

druck im Verankerungs- oder Übergreifungsbereich in N/mm²).

→ Erhöhung um 1 1,51 0,04 p

≤− ⋅

• Allseitig ist eine durch Bewehrung gesicherte Betondeckung von mindestens10 · ds vorhanden (Übergreifungsstöße: ein Achsabstand der Stöße von mehr als 10 · ds). → Erhöhung um 50 %.

12.5

(2) – (6)

Gl. (139)

12.5

Tab. (25)

12.5

(5)

SCHEERER PROSKE

113

9.4 Verankerung von Stäben

Das Grundmaß der Verankerungslänge lb wird nach Gleichung (155) bestimmt

4yds

bbd

fdlf

= ⋅ , (155)

die erforderliche Verankerungslänge lb,net beträgt nach Gleichung (156)

,, ,min

,

s erfb net a b b

s vorh

Al l l

Aα= ⋅ ≥ . (156)

mit: As,erf, As,vorh rechnerisch erforderliche bzw. vorhandene Längsbewehrung lb,min Mindestwert der Verankerungslänge Zugstäbe: ,min 0,3 10b a b sl l dα= ⋅ ⋅ ≥ ⋅ Druckstäbe: ,min 0,6 10b b sl l d= ⋅ ≥ ⋅ αa Beiwert in Abhängigkeit von der Verankerungsart nach Tabelle 24

Diese Verankerungslänge gilt grundsätzlich für Stäbe, die außerhalb von Auflagern verankert werden.

Die erforderliche Verankerungslänge kann durch verschiedene Arten der Ausbildung der En-den der zu verankernden Stäbe verkürzt werden. Bei liegenden Stäben bedingt das gerade Stabende die größte Verankerungslänge, Haken, Winkelhaken und Schlaufen verkürzen diese. Bei angeschweißten Querstäben wirken der Verbund des Längs- und des Querstabes zusam-men. Die Tragfähigkeit des Querstabes wird von der Festigkeit des Schweißknotens bestimmt, diese ist beim einbetonierten Stab deutlich höher als beim nackten Stahl, was Versuche nach [24] ergaben. Bei stehenden Stäben, z. B. in Stützen, bewirken Abbiegungen hingegen keine Verkürzung der Verankerungslänge.

Beiwert αa c

Art und Ausbildung der Verankerung Zug-stäbe a

Druck-stäbe

a) Gerade Stabenden lb,net

d s

1,0 1,0

b) Haken c) Winkelhaken d) Schlaufen

dbr

lb,net

d s150°

≥ 5ds

dbr

lb,net

d s≥ 5d

s

90° ..

. 150

°

dbr

lb,net

d s

0,7 b (1,0)

-

e) Gerade Stabenden mit mindestens einem angeschweißten Stab innerhalb von lb,net lb,net

d s

0,7 0,7

Tabelle 24 Zulässige Verankerungsarten nach DIN 1045-1

12.6.2

(1) + (2)

Gl. (140)

12.6.3 (3)

Gl. (141)

12.6

Tab. (26)


114

Beiwert αa c

Art und Ausbildung der Verankerung Zug-stäbe a

Druck-stäbe

f) Haken g) Winkelhaken h) Schlaufen (Draufsicht)

dbr

lb,net

d s150°

≥ 5ds

dbr

lb,net

d s≥ 5d

s

90° ..

. 150

°

dbr

lb,net

d s

mit jeweils einem angeschweißtem Stab innerhalb von lb,net

0,5 b (0,7)

-

i) Gerade Stabenden mit mindestens zwei angeschweißten Stäben innerhalb von lb,net mit s < 100 mm und ≥ 5 ds und ≥ 50 mm; nur zulässig bei Einzelstäben mit ds ≤ 16 mm und bei Doppelstäben mit ds ≤ 12 mm

lb,net

d ss

0,5 0,5

a Werte in Klammern gelten, wenn - im Krümmungsbereich rechtwinklig zur Krümmungsebene die Betondeckung kleiner als 3 ds beträgt - kein Querdruck vorhanden ist - keine enge Verbügelung vorhanden ist. b Bei Schlaufenverankerungen mit Biegerollendurchmesser dbr ≥ 15 ds darf αa auf 0,5 reduziert werden. c Für angeschweißte Querstäbe gilt ds,quer/dsl ≥ 0,7. Die Verbindungen sind als tragende Verbindungen auszu-

führen.

Fortsetzung Tabelle 24 Zulässige Verankerungsarten nach DIN 1045-1

Zusätzliche Bestimmungen sind bei Verwendung von Stäben mit ds > 32 mm einzuhalten. Da diese Stabdurchmesser im normalen Hochbau nicht üblich sind, soll an dieser Stelle auf eine Erläuterung verzichtet werden. Angaben zur Querbewehrung bei Verankerungen sind in DIN 1045-1, Kapitel 12.6.3 nachzulesen. Im Kapitel 12.8.3 der DIN 1045-1 finden sich An-gaben zur Querbewehrung bei Übergreifungen.

Werden Bewehrungsstäbe im Bereich von Auflagern verankert, kann die erforderliche Veran-kerungslänge lb,net verringert werden. Es gilt:

• am Endauflager

direktes Auflager: , ,2 63b dir b net sll l d= ⋅ ≥ ⋅ (157)

indirektes Auflager: , , 10b ind b net sll l d= ≥ ⋅ (158)

Die Verankerung muß mindestens die Zugkraft Fsd entsprechend (159) aufnehmen können.

2= ⋅ + ≥l Ed

sd Ed Eda VF V Nz

(159)

• an Zwischenauflagern durchlaufender Bauteile: Die Bewehrung ist um mindestens 6 ds hinter die Auflagervorderkante zu führen.

Druckstäbe dürfen nicht mit Haken, Winkelhaken oder Schlaufen verankert werden. Krüm-mungen erzeugen eine Biegebeanspruchung im Stab und erhöhen die Gefahr des Ausknickens und damit von Betonabplatzungen, siehe Abbildung 74. Besonders bei großen Stabdurchmes-sern ist auf eine ausreichende Querbewehrung zu achten, da durch den Spitzendruck wiede-rum Querzug im Beton erzeugt wird.

13.2.2 (8)

Gl. (149)

Gl. (150)

13.2.2 (7)

Gl. (148)

13.2.2 (9)

SCHEERER PROSKE

115

Abbildung 74: Schädigung der Betondeckung bei abge-

bogenen Stabenden bei Druckstäben

Auf die Verankerung von Bügeln wurde in Abschnitt 7.5 eingegangen.

9.5 Stöße von Bewehrungsstäben Stöße können indirekt unter Mitwirkung des Betons – Übergreifungsstöße – oder direkt – Schweißen, Muffen – ausgeführt werden, wobei Übergreifungsstöße die übliche Variante dar-stellen. Bei Stäben mit ds > 32 mm sind Übergreifungsstöße nur bedingt anwendbar. Sie soll-ten versetzt angeordnet werden, um die Konzentration von Querzugspannungen zu minimie-ren. Die konstruktiven Regeln nach Abbildung 75 sind einzuhalten. (a)

≤ 4 ds

Bauteilkante

≥ 2≥

ds

20 mm

≥ ≥

ds

20 mmds

(b)

Bauteilkante

≥ 1,3 ls

s

s0

Abbildung 75: Querabstand (a) und Längsversatz (b) von Bewehrungsstäben im Stoßbe-reich

Die Übergreifungslänge ls wird nach Gleichung (160) bestimmt.

, 1 ,mins b net sl l lα= ⋅ ≥ (160)

mit: ls,min Mindestwert der Übergreifungslänge

,min 1

15 0,3

200 mm≥ ⋅⎧

= ⋅ ⋅ ⋅ ⎨≥⎩s

s a b

dl lα α

α1 Beiwert für die Übergreifungslänge nach Tabelle 25 αa analog Tabelle 24, aber ohne Berücksichtigung von angeschweißten Querstäben

Anteil der ohne Längsversatz gestoßenen Stäbe am Querschnitt einer Bewehrungslage

≤ 30 % > 30 %

s ≥ 10 ds und s0 ≥ 5 ds 1,0 1,0

ds < 16 mm s < 10 ds und s0 < 5 ds 1,2 1,4

s ≥ 10 ds und s0 ≥ 5 ds 1,0 1,4 Zugstoß

ds ≥ 16 mm s < 10 ds und s0 < 5 ds 1,4 2,0

Druckstoß 1,0

Tabelle 25 Beiwerte α1 für die Übergreifungslänge nach DIN 1045-1

12.8

12.8.1

B. (57)

12.8.2

Gl. (144)

12.8.2

Tab. (27)


116

Wie schon bei der Verankerung von Bewehrungsstäben muß auch bei Übergreifungsstößen eine Querbewehrung angeordnet werden. Es gelten folgende Grundsätze:

• Gesamtfläche der Querbewehrung ΣASt ≥ Querschnittsfläche As eines Stabes • wenn s ≤ 10 ds, dann muß die Querbewehrung in vorwiegend biegebeanspruchten

Bauteilen bügelartig ausgebildet sein • Verteilung der Querbewehrung entsprechend Abbildung 76

je ½ ASt

ls

ls/3 ls/3

≤ 150Fsd Fsd

je ½ ASt

ls

ls/3 ls/3

≤ 150Fsd Fsd

≤ 4 ≤

ds

50 mm

Abbildung 76: Verteilung der Querbewehrung bei Übergreifungsstößen

Wenn die in Abschnitt 13 der DIN 1045-1 [11] festgelegten Konstruktionsregeln eingehalten werden, darf bei Stäben mit ds < 16 mm bis zu einer Festigkeitsklasse von C 55/67 auf eine zusätzliche Querbewehrung im Bereich von Übergreifungsstößen verzichtet werden. Gleiches gilt für Stäbe kleiner 12 mm für Betone ab C 60/75 oder wenn grundsätzlich in einem beliebi-gen Querschnitt höchstens 20 % der Stäbe gestoßen werden.

Übergreifungsstöße sind durch Bügel zu umschließen, wenn bei mehrlagigen Bewehrungen mehr als 50 % der Stäbe einer Lage in einem Schnitt gestoßen werden.

9.6 Stöße von Matten in zwei Ebenen Beträgt der Bewehrungsquerschnitt as maximal 12 cm²/m, dürfen Matten ohne Längsversatz gestoßen werden, bei größeren Querschnitten dürfen Vollstöße nur in der inneren Lage erfol-gen, wenn der gestoßene Anteil nicht mehr als 60 % des erforderlichen Betrags von as beträgt.

Die Übergreifungslänge von Matten ermittelt man mit Gleichung (161).

,2 ,min

,

s erfs b s

s vorh

al l l

aα= ⋅ ⋅ ≥ (161)

mit: ls,min Mindestwert der Übergreifungslänge

,min 2

0,3

200 mmq

s b

sl lα

≥⎧= ⋅ ⋅ ⎨≥⎩

α2 Beiwert für die Berücksichtigung des Mattenquerschnitts

,2

1,00,4

2,08s vorha

α≥⎧

= + ⎨≤⎩

sq Abstand der geschweißten Mattenstäbe

Weiterhin ist zu beachten, daß bei mehrlagiger Bewehrung die Stöße um mindestens 1/3 ls in Längsrichtung versetzt werden müssen. Im Gegensatz zu Einzelstäben ist keine zusätzliche Querbewehrung im Stoßbereich erforderlich. Die Querbewehrung von einachsig gespannten Platten und von Wänden darf an einer Stelle gestoßen werden, die Übergreifungslänge richtet sich nach Tabelle 26. Weiterhin müssen mindestens 2 Längsstäbe innerhalb von ls entspre-chend Abbildung 77 angeordnet sein.

Stabdurchmesser der Querstäbe

ds ≤ 6 mm 6 mm < ds ≤ 8,5 mm 8,5 mm < ds ≤ 12 mm ds > 12 mm

12.8.3

12.8.3

B. (59)

12.8.4

12.8.4

Gl. (145)

12.8.3

Tab. (28)

SCHEERER PROSKE

117

Mindestübergreifungs-längen der Querstäbe

≥ sl

≥ 150 mm

≥ sl

≥ 250 mm ≥ sl

≥ 350 mm ≥ sl

≥ 500 mm mit sl = Stababstand der Längsstäbe

Tabelle 26 Mindestübergreifungslängen der Querstäbe

ls

FsdFsd

ls

FsdFsd

≥ 5≥

ds

50 mm

Abbildung 77: Übergreifungsstöße von Betonstahlmatten

12.8.3

B. (60)


118

10 Gebrauchstauglichkeit

10.1 Allgemeines Bei der Stahlbetonbemessung wird zwischen den Grenzzuständen der Tragfähigkeit und den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit unterschieden. Beispiele dafür, wodurch die Ge-brauchsfähigkeit eingeschränkt werden kann, sind in Abschnitt 4.2 aufgeführt. Solche Mängel können z. B. durch fehlerhafte Berechnung oder mangelhafte Bauausführung aber auch durch zweckentfremdete Nutzung entstehen. Die Sicherstellung der Gebrauchtauglichkeit eines Bauwerkes während des vorgesehenen Nutzungszeitraumes ist eng an die Sicherstellung der Dauerhaftigkeit des Tragwerkes gekoppelt. Die Dauerhaftigkeit kann zum Beispiel durch große Rißweiten, die die Korrosion der Bewehrung ermöglichen, negativ beeinflußt werden.

Nach DIN 1045-1 müssen im Rahmen der Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchs-tauglichkeit folgende Nachweise geführt werden:

• Begrenzung von Spannungen • Begrenzung der Rißbreiten und Nachweis der Dekompression • Begrenzung der Verformungen.

10.2 Spannungsbegrenzung

Spannungsbegrenzungen können notwendig werden, um nichtelastische Verformungen zu vermeiden oder zu begrenzen oder um einer übermäßigen Schädigung des Betongefüges ent-gegenzuwirken. Negative Auswirkungen auf die Gebrauchstauglichkeit können zum Beispiel durch übermäßig große Kriechverformungen entstehen, weshalb sich die Notwendigkeit der Begrenzung der Betondruckspannungen unter quasi-ständigen Einwirkungen ergeben kann.

Nachweise für Spannungsbegrenzungen sind gegebenenfalls sowohl im Bauzustand als auch im Endzustand zu führen. Die Nachweise dürfen entfallen, wenn es sich um nicht vorgespann-te Bauwerke des üblichen Hochbaus handelt und

• die Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie mit maximal 15prozentiger Umlagerung im GZT ermittelt wurden

• die bauliche Durchbildung den Konstruktionsregeln aus DIN 1045-1, Kapitel 13 ent-spricht.

Deshalb soll im Rahmen dieses Buches diese Problematik nicht vertieft werden.

10.3 Begrenzung der Rißbreiten

10.3.1 Grundlagen der Rißbildung

Grundsätzlich kann eine Bewehrung die Rißbildung in Stahlbetonbauteilen nicht verhindern sondern nur einschränken und Rißbreiten und Rißabstände beeinflussen. Da Beton nur eine geringe Zugfestigkeit besitzt, treten schon bei kleinen Zugspannungen Risse auf. Die Zug-spannungen können durch Lasten oder durch Zwang entstehen. Risse infolge Eigenspannun-gen treten z. B. vor allem in den ersten zwei Tagen nach dem Betonieren auf. Der junge Beton besitzt noch nahezu keine Zugfestigkeit, ist aber hohen Spannungen infolge Temperaturunter-schieden ausgesetzt, siehe Abbildung 78. Ursache hierfür ist das Entstehen von Wärme während der Hydratation und das gleichzeitige Abkühlen außenliegender Bereiche, z. B. bei frühem Ausschalen. Besonders gefährdet sind Bauteile mit großen Abmessungen, wie große Fundamente oder Staumauern, da hier die Unterschiede zwischen den sich abkühlenden äußeren Schichten und dem warmen Bauteilinneren besonders groß werden können. Zwang

11

11.1

11.2

SCHEERER PROSKE

119

entsteht auch, wenn ein neues Bauteil an ein altes anbetoniert wird, ein typisches Beispiel da-für ist eine Wand, die auf einem zuvor hergestellten Fundament errichtet wird, Abbildung 79.

Zugfestigkeit fct

frühe Rißbildungdurch Zwang

Zwansgsspannung beim Abkühlenc,t

~ 10 h Erhärtungszeit

c,t

ct

fun

d

Abbildung 78: Entwicklung von Betonzugfestigkeit und Zwang infolge ∆T nach [24]

Wand, junger Beton

Fundament, älterer Beton

Risse

Abbildung 79: Beispiel für Rißbildung bei Verbindung Alt- und Neubeton nach [24]

Forschungen ergaben, daß bis zu einer Rißweite von ca. 0,4 mm keine erhöhte Korrosionsge-fahr für den Betonstahl besteht. Die Bewehrung soll Risse auf ein "erträgliches" optisches Maß beschränken. Risse nahezu vermeiden kann man nur, wenn man mögliche Zugspannun-gen sehr gering hält oder dauerhaft überdrückt, was in der Regel unwirtschaftlich bzw. bei Stahlbeton unsinnig ist.

Die Rißbildung im jungen Beton kann durch geeignete Maßnahmen beeinflußt werden: • Zementgehalt begrenzen, damit ist eine niedrigere Hydratationswärme zu erwarten • langsam erhärtende Zementsorte wählen • niedriger w/z-Wert • sorgfältige Nachbehandlung.

Es gibt verschiedene Arten von Rissen, hier sollen einige Beispiele aufgeführt werden: • Mikrorisse und Gefügerisse

Diese sehr feinen und i. d. R. kurzen Risse treten innerhalb des Betongefüges auf und sind mit dem bloßen Auge oft gar nicht zu erkennen. Sie entstehen meist durch Eigen-spannungen oder Spannungsumlenkungen z. B. an harten Zuschlagkörnern. Sie vermindern die Zugfestigkeit besonders in Betonierrichtung und tragen somit zu den großen Streuungen der Zugfestigkeit bei.

• Trennrisse Der Riß durchtrennt den ganzen Querschnitt infol-ge zentrischer Zugbeanspruchung oder bei Zug mit geringer Ausmitte.

• Biegerisse entstehen infolge Biegung und reichen vom äuße-ren Rand der Zugzone maximal bis zur Spannungs-nullinie.

MM

ZZ


120

• Sammelrisse entstehen zum Beispiel bei hohen oder stark be-wehrten Biegebauteilen. Es bilden sich zwar an der Unterseite viele kleinere Risse, die aber nicht weit in den Querschnitt hinein reichen. Diese kleineren Risse können sich zu Sammelrissen vereinigen, die wiederum die Spannungsnullinie erreichen können.

• Schubrisse entstehen durch hohe schiefe Hauptzugspannungen infolge Querkraft oder Torsion. In ihrer Richtung orientieren sie sich am Verlauf der Hauptzugspannungstrajektorien, sie-he auch Abbildung 47 und Abbildung 48 im Kapitel Querkraftbemessung.

• Längsrisse entlang von Bewehrungsstäben werden häufig durch das Setzen des Frischbetons erzeugt, sie können aber auch infol-ge Volumenvergrößerung des Bewehrungsstabes entstehen, wenn dieser korrodiert. Eine weitere Ursache kann das Überschreiten der ertragbaren Verbundspannung sein. Diese Risse können bis zur Bauteilaußenkante vordringen oder zu Betonabplatzungen führen.

• Oberflächen- / Netzrisse entstehen durch Eigenspannungen z. B. infolge Schwindens. Sie kön-nen ungerichtet sein, wenn die Zwangsspannung ungerichtet ist, oder sich an einer vorherrschenden Zugrichtung orientieren. Solche Risse sind meist nicht tief sondern nur nahe der Oberflächen zu finden. Sie können in der Regel nicht durch Bewehrung beeinflußt werden.

Ein besonderer Effekt im Zusammenhang mit der Rißbildung in Stahlbetonbauwerken ist bei Konstruktionen zu beobachten, die eigentlich wasserundurchlässig sein sollten. Es handelt sich um die Selbstheilung. Dieser Effekt tritt bei Trennrissen aus kurzzeitigem frühem Zwang auf, in denen sich freier Kalk aus nichtgebundenem Zement anlagert. In Verbindung mit Wasser reagiert der Zement und die Risse werden verschlossen.

Die Rißweite wurde in der alten DIN 1045 entsprechend Abbildung 80 definiert (Anmerkung: Im Augenblick ist die Regelung nicht eindeutig. Es wird auf das DAfStb-Heft 525 verwiesen, welches bei Redaktionsschluß noch in Bearbeitung war: geplanter Erscheinungstermin Okto-ber 2003). Im Bild erkennt man klar, daß die Rißweite direkt am Bewehrungsstab deutlich kleiner als an der Bauteiloberfläche ist. Diese Tatsache ist u. a. wichtig für den Korrosions-schutz. Die Rippen am Bewehrungsstab erzeugen einen Scherverbund, der dem ungehinderten Öffnen des Risses entgegenwirkt. Mit wachsendem Abstand von diesen Betonzähnen wächst die Rißweite, sowohl in Richtung auf die Außenseite des Bauteils als auch bzgl. des seitlichen Abstandes des Risses vom Bewehrungsstab. Daraus kann geschlußfolgert werden, daß über den Stababstand die sichtbare Rißbreite beeinflußt werden kann.

sichtbare Rißweite wk

innere Risse

gestörter Verbund

Abbildung 80: Definition der Rißweite w nach [24]

MM

SCHEERER PROSKE

121

In Abbildung 81 ist ein zentrisch gezogener Betonstab zu sehen. Unter der Annahme, daß in-folge idealen Verbundes die Dehnungen von Beton und Stahl gleich sind, kann man folgende Spannungen im Querschnitt ableiten:

AAZZ

b

h

cs

sc s = n· cc

+ +

Abbildung 81: Zentrischer Zugstab im Zustand I

s cs c

s cE Eσ σε ε= = = (162)

cs s c

c

E nEσσ σ= ⋅ = ⋅ (163)

mit: s

c

EnE

= (29)

Die Zugkraft Z wird sowohl vom Stahl als auch vom Beton aufgenommen:

,c c netto s sA A Zσ σ⋅ + ⋅ = (164)

mit: ,c netto c sA A A= − (165)

( )[ ]

( )1

c c s c s

c c s s

c c s

Z A A n A

Z A A n A

Z A A n

σ σσ

σ

= ⋅ − + ⋅ ⋅

= ⋅ − + ⋅

⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ −⎣ ⎦

(166)

( )1cc s

ZA A n

σ =+ ⋅ −

und s cnσ σ= ⋅ (167)

Bei Verbundbaustoffen ist es zweckmäßig, mit ideellen Querschnittswerten zu arbeiten. Die einzelnen Anteile werden entsprechend ihres E-Moduls gewichtet und zusammengerechnet. Damit kann dann der Verbundquerschnitt so betrachtet werden, wie wenn er aus einem homo-genen Material bestehen würde.

( )1i c sA A n A= + − ⋅ (168)

ci

ZA

σ = (169)

Wird bei weiterer Steigerung der Zugkraft Z an einer Stelle des Querschnitts die Betonzugfes-tigkeit erreicht, kommt es zum ersten Riß. Die genaue Stelle, an der der Erstriß auftritt, kann i. d. R. nicht vorhergesagt werden. Die zuvor über den gesamten Verbundquerschnitt verteilte Zugkraft Z muß nun allein vom Bewehrungsstahl aufgenommen werden, wodurch dieser an der Stelle des Risses einen plötzlichen Spannungszuwachs erfährt, siehe Abbildung 82.


122

ZZAcAs

0 n · c,s

= 0lElE

0

fbd

b) Spannungen : Stahlspannung : Betonspannung in Höhe des Stahles

c) Verbundspannung

s

c,s

bdf

a) Dehnungen : Stahldehnung : Betondehnung in Höhe des Stahles

s

c,s

Abbildung 82: Erstrißbildung am zentrisch gezogenen Stab, nach [38]

Eine Bewehrung muß also außer den Anforderungen der Tragfähigkeit auch denen der Rißbil-dung entsprechen können. Die Spannungen im Stahl kurz vor bzw. kurz nach dem ersten Riß können wie folgt angegeben werden.

kurz vor dem Erstriß: *s ctn fσ = ⋅ (170)

kurz nach dem Erstriß: = RsR

s

ZA

σ >> *sσ (171)

Die Rißschnittgröße ZR kann nach Gleichung (172) berechnet werden.

( )( )1R ct i ct c sZ f A f A n A= ⋅ = ⋅ + − ⋅ (172)

Die Stahlspannung beim Auftreten des ersten Risses σsR ergibt sich zu

( )1

1

⎡ ⎤⋅ + − ⋅⎣ ⎦=

⎛ ⎞= ⋅ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

ct c ssR

s

cct

s

f A n AA

Af nA

σ

(173)

Üblich ist auch folgende Schreibweise:

( )

1 1

1 1

⎛ ⎞= ⋅ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ −⎣ ⎦

sR ctl

ctl

l

f n

f n

σρ

ρρ

(174)

mit: ρl auf den Nutzquerschnitt b·d bezogener Bewehrungsgehalt, 1sl

Ab d

ρ =⋅

(30)

Wird der Einfluß der Bewehrung bei der Ermittlung des ideellen Querschnitts vernachlässigt, vereinfacht sich Gleichung (174) entsprechend (175).

ctsR

l

fσρ

= (175)

Bei Biegebeanspruchung gelten die gleichen Grundsätze wie bei zentrischem Zug, nur daß die Stelle des Erstrisses im Bereich des maximalen Momentes vermutet werden kann. Im Augen-

SCHEERER PROSKE

123

blick der Rißbildung wirkt das Rißmoment MR, die zugehörige Zugkraft muß wiederum von der Bewehrung aufgenommen werden. Für Rechteckquerschnitte gilt bei reiner Biegung und Querschnitt im Zustand I (ungerissen) folgende Beziehung:

2

6R Rct

M MfW b h

⋅= =⋅

2

6R ctb hM f ⋅= ⋅ (98)

Im Zustand II gilt unmittelbar nach der Rißbildung:

Moment Kraft Hebelarm s sZ d A dσ= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ (176)

vereinfachte Annahmen: 0,95d h≈ ⋅

0,85z d≈ ⋅ → 0,95 0,85 0,80z d d≈ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ (177)

0,8R s sRM A hσ= ⋅ ⋅ ⋅ (99)

Setzt man (98) und (99) gleich, ergibt sich eine Bestimmungsgleichung für die Stahlspannung beim Auftreten des Erstrisses σsR, Gleichung (178).

2

0,86R s sR ct

b hM A h fσ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

0, 26 0,8sR ct ct

s s

b h b hf fA A

σ ⋅ ⋅= ⋅ ≈ ⋅ ⋅⋅ ⋅

0,2 ctsR

l

fσρ

≈ ⋅ (178)

Vergleicht man die Gleichungen (175) und (178), kann man schlußfolgern, daß die beim Auf-treten des Erstrisses plötzlich auf σsR ansteigende Stahlspannung abhängig von der Art der Belastung (M, N oder Kombination), dem Bewehrungsgrad ρl und der Betonzugfestigkeit fct ist.

Sind erst wenige Risse entstanden, ist der Rißabstand groß. Zwischen den Rissen verbleiben Bereiche, in denen Stahl und Beton die gleichen Dehnungen aufweisen. In diesen bereichen befindet sich der Stab also noch im Zustand I ist. Risse zwischen den schon vorhandenen kön-nen erst entstehen, wenn über den Verbund zwischen Beton und Bewehrung wieder genügend Zugspannungen vom Stahl auf den umgebenden Beton übertragen werden, damit die Bean-spruchung des Betons dessen Zugfestigkeit erreichen kann. Für den Rißabstand a gilt allge-mein:

( )0 02E El v a l v+ ≤ < ⋅ + (179)

mit: lE Lasteintragungslänge, Bedeutung siehe auch Kapitel 9.3

v0 kleiner Bereich unmittelbar neben dem Riß, in dem der Haftverbund verlorengeht und der Scherverbund gestört oder nicht vorhanden ist (siehe Abbildung 80)

Nach [24] kann die Eintragungslänge nach Gleichung (180) berechnet werden.


124

ct ctE

c

f Alf u

⋅=⋅∑

(180)

mit: Σu Summe der Umfänge der Bewehrungsstäbe

Act gezogene Betonfläche im Zustand I zentrischer Zug: ctA b h= ⋅

Biegung: 12ctA b h= ⋅ ⋅

fct Zugfestigkeit von Beton. bei Biegung darf die Biegezugfestigkeit fct,fl angesetzt werden. Zur Größenordnung von fct,fl siehe Abschnitt 3.2 und Gleichung (25). In [24] ist pauschal der Faktor 1,25 angegeben.

Die Rißbildung setzt sich solange fort, bis in keinem Bereich des Bauteils mehr die Zugspan-nungen im Beton dessen Zugfestigkeit fct überschreiten. Man spricht dann von abgeschlos-sener Rißbildung. Die Dehnungen und Spannungen von Beton und Stahl sind sowohl für den Erstriß als auch für das abgeschlossene Rißbild in Abbildung 83 dargestellt.

As

M M1.2. 3.

M M1. 5.2. 4. 3.

0lElElE lE

(a)

0n · c,s (b)

(a)

n · c,s0 (b)

oben: Erstriß 2. und 3. Riß

(a) Dehnungen : Stahldehnung : Betondehnung in Höhe des Stahles

: Stahlspannung : Betonspannung in Höhe des Stahles

s

c,s

s

c,s

(b) Spannungen

Erstrißbildung:

Abgeschlossene Rißbildung:

Abbildung 83: Rißbildung beim Biegebalken, nach [38]

Der Zusammenhang zwischen der Verformung am Bauteilrand und den Rißschnittgrößen ist in Abbildung 84 dargestellt. Anfangs wachsen die Dehnungen linear mit steigender Belas-tung. Nach Erreichen des Rißmomentes entstehen bei nur geringer Laststeigerung schnell weitere Risse, was die Ursache für ein sprunghaftes Anwachsen der Verformungen ist. Nach Abschluß der Rißbildung steigen die Verformungen wieder annähernd linear an, da nur noch geringfügige Steifigkeitsänderungen auftreten. Zwischen den Rissen wirkt der Beton immer noch teilweise der Zugbeanspruchung entgegen, weshalb die ohne eine solche Mitwirkung be-rechnete Momenten-Verformungs-Beziehung bei gleicher Belastung q höhere Dehnungen ε aufweist.

SCHEERER PROSKE

125

Zusta

nd I

Reiner

Zust

and I

I

MI,II

MI

M

Mftk

(a) abgeschlossene Rißbildung(b) Erstrißbildung

Einfluß der Mitwirkung desBetons zwischen den Rissen

System:q

M

εI, MI Moment und Dehnung bei Erstrißbildung (Rißlast)

εI,II, MI,II Moment und Dehnung beim Übergang von der Erstrißbil-dung zum abgeschlossenen Rißbild

εftk, Mftk Moment und Dehnung bei Er-reichen der Streckgrenze des Bewehrungsstahles

Abbildung 84: Zusammenhang zwischen Biegung und Dehnung bei ansteigender Bean-spruchung q, nach [38]

Bei der Aufzählung verschiedener Rißarten wurden auch die Sammelrisse beschrieben und skizziert. Im Bereich der Biegezugbewehrung sind viele gut verteilte Risse zu sehen, die sich im schwach bewehrten Steg (die Stegbewehrung wurde in der entsprechenden Skizze nicht dargestellt) zu wenigen breiten Sammelrissen vereinigen. Man kann schlußfolgern, daß sich die Wirkung der Bewehrung auf den Beton nur bis zu einer gewissen Entfernung vom Stahl-stab erstreckt, man spricht von der "Wirkungszone der Bewehrung", siehe u. a. [24] und [38]. In größerer Entfernung hat also der Verbund keinen Einfluß mehr auf den umgebenden Beton. Daraus kann man schlußfolgern, daß die Stahlstäbe einen genügend kleinen Abstand zuein-ander aufweisen müssen, um Rißweiten und Abstände wirkungsvoll begrenzen zu können. In DIN 1045-1 sind folgende Ansätze zur Abschätzung der Wirkungszone Ac,eff angegeben. Balken Platte zugbeanspruchtes Bauteil

d 12,

5 d 1

d 1

2,5

d 1

0,5

( -

)≤

hx

h

d1

2,5 d1 0,5 ≤ h

h Schwerachse der Bewehrung Wirkungsbereich Ac,eff

x = Höhe der Druckzone im Zustand I Abbildung 85: Wirkungszone Ac,eff der Bewehrung, nach [11]

10.3.2 Nachweise nach DIN 1045-1

10.3.2.1 Grundsätze

In der DIN 1045-1 wird ausdrücklich darauf hingewiesen, daß • die Rißbildung "nahezu" unvermeidbar ist. • die Rißbreite bzgl. der Anforderungen von Ästhetik und Dauerhaftigkeit zu beschrän-

ken ist. • bestimmte Einflüsse, wie z. B. chemisches Schwinden, in den angegebenen Rechen-

verfahren nicht erfaßt werden. • zwischen Einzelrißbildung und abgeschlossenem Rißbild zu unterscheiden ist. • mit den angegebenen Verfahren nur Anhaltswerte berechnet werden können. • sich die Formeln auf die Wirkungszone der Bewehrung beziehen.

11.2.3

B. (53)

11.2


126

Die DIN 1045-1 eine Unterteilung der Bauwerke in Mindestanforderungsklassen A ... F als Grundlage für die Berechnung vor. Von der Anforderungsklasse hängt ab, welche Lastkombi-nation man den Nachweisen zur Rißbreitenbegrenzung zugrunde legen muß.

Mindestanforderungsklasse Vorspannart

Expositionsklasse

.... Stahlbetonbauteile XC1 ... F XC2, XC3, XC4 ... E XD1...3, XS1...3 ... E

Tabelle 27 Mindestanforderungsklassen in Abh. von der Expositionsklasse, Auszug [11]

Anforderungs-klasse

Dekom-pression

Rißbreiten-begrenzung

Rechenwert der Rißbreite wk in mm

A selten - B häufig selten C quasi-ständig D

häufig 0,2

E 0,3 F

- quasi-ständig

0,4

Tabelle 28 Anforderungen bzgl. Dekompression und Rißbreitenbegrenzung

Als Mindestanforderungsklasse für Stahlbetonbauteile ist grundsätzlich die Klasse F bei XC 1 und E bei allen anderen Expositionsklassen zu wählen. Erläuterungen zu den Anforderungs-klassen sind im Anhang in Tabelle 40 nachzulesen.

Bei den Nachweisen zur Begrenzung der Rißbreite ist grundsätzlich zwischen Lasteinwirkung und Zwangseinwirkung zu differenzieren. Die Nachweise umfassen den Nachweis der Min-destbewehrung und den Nachweis der Begrenzung der Rißbreite unter der maßgebenden Ein-wirkungskombination. Bei Zwangseinwirkung muß eine ausreichende Mindestbewehrung eingelegt werden, damit die Risse gut verteilt auftreten und eine gewisse Breite nicht über-schreiten. Risse, die infolge Lasteinwirkung entstehen, sind nach [39] vor allem von der vor-handenen Stahlspannung und der Bewehrungsanordnung abhängig. Der Nachweis kann hier vereinfacht über zulässige Stabdurchmesser oder Stababstände in Abhängigkeit von der Stahlspannung geführt werden.

Für Platten in der Expositionsklasse XC 1, die im wesentlichen durch Biegung beansprucht werden und nicht dicker als 20 cm sind, dürfen die Nachweise entfallen, wenn die Beweh-rungsregeln nach DIN 1045-1, 13.3 eingehalten werden.

10.3.2.2 Mindestbewehrung zur Aufnahme von Zwangs- und Eigenspannungen Zur Aufnahme von Zwangseinwirkungen und Eigenspannungen wird eine Mindestbewehrung eingelegt. Sie ist für die Erstrißbildung auszulegen, d. h. die Bewehrungsmenge muß so groß sein, daß das mit der Erstrißbildung einhergehende plötzliche Ansteigen der Stahlspannung ohne kritische Verformungen oder Versagen des Stahles aufgenommen werden kann. Die Stahlspannung soll dabei noch unterhalb der Streckgrenze liegen, da andernfalls der Steifig-keitsabfall im Bauteil beim ersten Riß so stark sein würde, daß dieser eine Riß immer weiter auseinanderklaffen und es nicht zur Bildung weiterer Risse kommen würde, [39].

Bis zum Abschluß der Erstrißbildung wird die Rißschnittgröße nicht nennenswert überschrit-ten, siehe auch Abbildung 84, weshalb die Schnittgröße, die zum Erstriß führt, Grundlage für

11.2.1

Tab. (19)

11.2.1

Tab. (18)

11.2.2

SCHEERER PROSKE

127

die Berechnung sein darf. Sind bei Stahlbetonbauteilen die Zwangsschnittgrößen kleiner als die Rißschnittgrößen, darf die Mindestbewehrung für erstere ausgelegt werden. Bei geglieder-ten Querschnitten, z. B. Plattenbalken, ist die Rißbreitenbeschränkung für jeden Teilquer-schnitt extra durchzuführen. Der mindestens erforderliche Stahlquerschnitt As,min kann über-schlägig nach Gleichung (181) bestimmt werden.

,min ,ct

s c ct effs

AA k k fσ

= ⋅ ⋅ ⋅ (181)

mit: As,min Mindestbewehrung; in der Zugzone des betrachteten Querschnittes, am gezogenen Rand und zur Vermeidung breiter Sammelrisse anzu-ordnen

Act siehe Gleichung (180)

fct,eff wirksame Zugfestigkeit des Betons zum betrachteten Zeitpunkt. Es ist der Mittelwert der Zugfestigkeit fctm der Betonklasse anzusetzen, die zum Zeitpunkt des Entstehens der Risse erwartet wird. Dabei ist besonders zu beachten, daß oft eine höhere Betonfestigkeit geliefert wird, als im Entwurf vorgesehen wurde. Bei Rißbildung infolge frühzeitigem Zwang, z. B. bei abfließender Hydratationswärme, ist fctm,28d zu halbieren. Wenn die Risse nicht sicher vor 28 d eintreten, muß eine Mindestzugfestigkeit von 3,0 N/mm² angesetzt werden.

kc Beiwert zur Berücksichtigung der Zugspannungsverteilung im Zu-stand I und der Änderung von d bei Übergang in den Zustand II

1 ,

0, 4 1 1cc

ct eff

kk f

σ⎡ ⎤= ⋅ + ≤⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

k1 1,5 / für eine Drucknormalkraft

2 / 3 für eine Zugnormalkraft

h h′⋅⎧= ⎨⎩

h Höhe des Teil-/Querschnitts

h' für 1 m

1 m für 1 mh h

h<⎧

= ⎨ ≥⎩

σc Betonspannung in Höhe der Schwerelinie des Teil-/ Querschnitts im Zustand I unter der beim Gesamtquer-schnitt zur Erstrißbildung führenden Einwirkungskom-bination, σc < 0 bei Druckspannungen, σc = 0 bei reiner Biegung

k Beiwert zur Berücksichtigung nichtlinear verteilter Betonzugspan-nungen (a) Zug infolge im Bauteilinnern hervorgerufenen Zwangs:

0,8 für 0,3 m0,5 für 0,8 m

hk

h≤⎧

= ⎨ ≥⎩

Zwischenwerte linear interpolieren h: kleinerer Wert von Höhe oder Dicke des Teil-/Querschnitts (b) Zug infolge außerhalb des Bauteils hervorgerufenen Zwangs: k = 1

σs zulässige Betonstahlspannung nach Tabelle 29 in Abhängigkeit vom Grenzdurchmesser ds

*

11.2.2

Gl. (127)


128

Ist die erforderliche Mindestbewehrung bekannt, kann die Rißweite indirekt über die geeig-nete Wahl des Stabdurchmessers entsprechend Gleichung (182) bestimmt werden. Dabei wird die Stahlspannung aus den schon erwähnten Gründen auf die Streckgrenze fyk = 500 N/mm² begrenzt. Außerdem ist der Grenzdurchmesser von der vorhanden Stahlspannung σs abhängig.

( )* *, ,

,0 ,04ct eff ct effc t

s s sct ct

f fk k hd d dh d f f⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ≥ ⋅

⋅ − (182)

mit: ds modifizierter Grenzdurchmesser für Zwangsbeanspruchung ds

* Grenzdurchmesser nach Tabelle 29 fct,0 = 3,0 N/mm², siehe auch Tabelle 29 ht Höhe der Zugzone des Teil-/Querschnitts im Zustand I

Grenzdurchmesser ds* der Stäbe in [mm] in

Abhängigkeit vom Rechenwert der Rißbreite wk Stahlspannung σs in N/mm²

wk = 0,4 mm wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm 160 56 42 28 200 36 28 18 240 25 19 13 280 18 14 9 320 14 11 7 360 11 8 6 400 9 7 5 450 7 5 4

Tabelle 29 Grenzdurchmesser ds* für Betonstahl nach DIN 1045-1 [11], bezogen auf die

Betonzugfestigkeit fct,0 = 3,0 N/mm²

Für den Stabdurchmesser gelten weiterhin folgende Ansätze:

• 2

sism

si

dd

d= ∑∑

bei unterschiedlichen Stabdurchmessern

• sV sd n d= ⋅ Vergleichsdurchmesser bei Stabbündeln

• ds des Einzelstabes bei Bewehrungsmatten (mit Doppelstäben) Beim vereinfachten Nachweis der Rißbreite infolge Zwangsbeanspruchung wird nachgewie-sen, daß die erforderliche Mindestbewehrungsmenge eingelegt und der entsprechende Grenz-durchmesser ds

* eingehalten wurde. Es kann folgendermaßen vorgegangen werden. In Ab-hängigkeit von der zulässigen Rißbreite wk wird in Tabelle 29 eine zweckmäßige Stahl-spannung σs gewählt. Mit dieser wird die Mindestbewehrungsmenge As,min nach Gleichung (181) ermittelt, die Bewehrung wird festgelegt. Mit dem zu der gewählten Stahlspannung σs gehörenden Grenzdurchmesser ds

* (nach Tabelle 29) wird überprüft, ob der gewählte Stab-durchmesser zulässig ist, Gleichung (182).

10.3.2.3 Beschränkung der Rißbreite bei Lastbeanspruchung Auch für diesen Fall ist in der DIN 1045-1 ein Näherungsverfahren mit vereinfachten Annah-men angegeben. Wie schon bei der Beschränkung der Rißbreiten unter Zwangsbeanspruchung ist es möglich, durch Einhalten konstruktiver Regeln die Rißbreiten in Abhängigkeit von der Stahlspannung auf ein zulässiges Maß zu begrenzen. Es gibt zwei Möglichkeiten, den Nach-weis zu führen. Es können wiederum die Stabdurchmesser mit Hilfe von Tabelle 29 begrenzt werden, es kann aber auch ein maximaler Stababstand nach Tabelle 30 festgelegt werden.

11.2.3

Tab. (20)

11.2.3

Gl. (129)

11.2.3

SCHEERER PROSKE

129

Beide Verfahren sind gleichberechtigt. Auch wenn nur eine von beiden Bedingungen erfüllt ist, gilt der Nachweis als erfüllt. Zum Beispiel werden bei Balken die Bestimmungen des Grenzdurchmessers oft nicht eingehalten, die Stababstände liegen aber im zulässigen Bereich.

Höchstwerte der Stababstände in [mm] in Ab-hängigkeit vom Rechenwert der Rißbreite wk Stahlspannung

σs in N/mm² wk = 0,4 mm wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm 160 300 300 200 200 300 250 150 240 250 200 100 280 200 150 50 320 150 100 - 360 100 50 -

Tabelle 30 Maximale Stababstände für Betonstahl nach DIN 1045-1 [11]

Im Gegensatz zu Abschnitt 10.3.2.2 wird die Stahlspannung σs nicht gewählt, sondern ist für den gerissenen Querschnitt für die maßgebende Beanspruchungskombination entsprechend Tabelle 28 zu berechnen. Auch muß ähnlich Gleichung (182) der Grenzdurchmesser bei An-wendung von Tabelle 30 nachgewiesen werden, allerdings ist bei Lastbeanspruchung Glei-chung (183) zu verwenden.

( )* * ,

,0 ,0

14

ct effs ss s s

ct ct

fAd d dh d b f f

σ ⋅= ⋅ ⋅ ≥ ⋅⋅ − ⋅

(183)

mit σs Stahlspannung im Zustand II b Breite der Zugzone

Der Nachweis wird also geführt, indem zuerst die von der Anforderungsklasse abhängige Lastkombination herausgesucht wird. Mit diesen Schnittgrößen wird die Stahlspannung in der bei der Bemessung festgelegten Bewehrung berechnet. Bei Variante 1 wird aus Tabelle 29 der zugehörige Grenzdurchmesser ds

* in Anhängigkeit von der kalkulierten Rißbreite wk abgele-sen und mit Gleichung (183) überprüft, ob der vorgesehene Durchmesser ds zulässig ist. Bei Variante 2 wird aus Tabelle 30 der zulässige Stababstand lim sl in Abhängigkeit von der berechneten Stahlspannung σs und der zulässigen Rißbreite wk abgelesen und mit dem vorge-sehenen Bewehrungskonzept verglichen.

Nach [39] wurde mit 4,0 cm für d1 in Abbildung 85 bei der Ermittlung der zulässigen Stab-abstände gerechnet. Diese Annahme ist für Platten üblich, aber bei Balken und mehrlagiger Bewehrung auf der unsicheren Seite. Deshalb sollte in diesen Fällen der Nachweis über den Grenzdurchmesser vorgezogen werden.

10.3.2.4 Berechnung der Rißbreite – genaues Verfahren nach DIN 1045-1

Die Berechnung von zu erwartenden Rißbreiten ist kompliziert. Deshalb ist in der Norm DIN 1045-1 ein Näherungsverfahren mit vereinfachten Annahmen entwickelt worden. Damit ist es möglich ist, Rißbreiten explizit zu berechnen. Das Verfahren beruht nach [39] auf For-schungen von KÖNIG und TUE und wurde auf überwiegend mechanischer Basis hergeleitet. Im Rahmen dieses Buches soll allerdings nicht näher darauf eingegangen werden.

10.4 Begrenzung der Verformungen Verformungen im Gebrauchszustand müssen begrenzt werden, damit die ordnungsgemäße Funktion des Bauteils oder von Maschinen und Geräten, die sich auf dem Tragwerk befinden,

11.2.3

Tab. (21)

11.2.3

Gl. (131)

11.2.4

11.3


130

sichergestellt werden kann und das Erscheinungsbild des Bauteils selbst oder angrenzender Konstruktionen wie Verglasungen und leichte Trennwände nicht beeinträchtigt wird. In der DIN 1045-1, Kapitel 11.3 werden ausschließlich vertikale Verformungen infolge statischer Einwirkungen betrachtet.

In der DIN 1045-1 sind Richtwerte für zulässige Verformungen angegeben. Gegebenenfalls können die Anforderungen vermindert oder erhöht werden, natürlich müssen hierbei auch die Wünsche des Bauherrn beachtet werden. Bei Bürogebäuden, Wohnhäusern und anderen Bauwerken des allgemeinen Hochbaus sind die Richtwerte akzeptabel.

Für die quasi-ständige Einwirkungskombination gilt für den maximalen Durchhang f:

250lf ≤ für Balken, Platten oder Kragbalken (184)

Überhöhungen bei der Fertigung, um den erwarteten Durchhang ganz oder teilweise auszu-gleichen, sollten den Wert l/250 nicht überschreiten.

Um Schäden an angrenzenden Bauteilen zu vermeiden, sollte die Bestimmung von Gleichung (184) von l/250 auf l/500 verschärft werden, wenn diese angrenzenden Bauteile größere Durchbiegungen nicht ohne Schaden aufnehmen können.

Der Nachweis der Verformungen kann vereinfachend durch die Begrenzung der Biege-schlankheit erfolgen. Es gilt für Normalbeton:

Allgemein im üblichen Hochbau: 35ild

≤ (185)

Deckenplatten mit erhöhten Anforderungen: 2

150ild

≤ (186)

mit: li Ersatzstützweite bei vorwiegender Biegebeanspruchung; bei linienförmig gelagerten Rechteckplatten ist die kleinere der beiden Ersatzstütz-weiten zu verwenden

i effl lα= ⋅

α nach Tabelle 31

leff siehe Schnittgrößenermittlung, Gleichung (1) und Tabelle 1

Statisches System Beiwert α

leff 1,0

leff 0,8

leff 0,6

leff 2,4

Tabelle 31 Beiwert α zur Bestimmung der Ersatzstützweite, nach [11]

11.3.1 (8)

11.3.2 (2)

11.3.2

Tab. (22)

SCHEERER PROSKE

131


132

11 Bemessung von Druckgliedern

11.1 Tragverhalten druckbeanspruchter Bauteile Typische druckbeanspruchte Bauteile sind Stützen und Wände. Es können folgende Bean-spruchungskombinationen unterschieden werden:

N

(a)

N

H M

(b)

e N

(c)

NHy

Hx

(d)

(a) zentrische (mittige) Druckkraft

(b) mittige Druckkraft und Horizontalkraft mit/ohne Moment (einachsige Biegung)

(c) außermittige Druckkraft

(d) Druckkraft und zweiachsige Biegung

Abbildung 86: Beanspruchung von Druckgliedern

Bei der Biegebemessung wurden die Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung ermittelt, d. h. am unverformten System. Dabei werden Durchbiegungen und ungewollte Lastausmitten nicht berücksichtigt. Allerdings müssen Verformungen bei der Schnittgrößenermittlung immer dann berücksichtigt werden, wenn sie merklichen Einfluß auf die Schnittgrößen und auf die Tragfähigkeit eines Bauteils haben. Man spricht dann von Theorie II. Ordnung. Dabei wird aber vorausgesetzt, daß die auftretenden Verformungen klein sind. Bei Druckgliedern muß nachgewiesen werden, daß die Bruchschnittgrößen nicht überschritten werden und daß das Tragwerk auch bei einer Verformung im stabilen Gleichgewicht bleibt. Theorie I. Ordnung:

auf Biegung beanspruchter Balken → Schnittgrößen werden durch die Verformungen nicht beeinflußt

v

P << l l

l

max = = · / 2M M P lI

Theorie II. Ordnung:

exzentrisch belastetes Druckglied → das Mo-ment in der Mitte der Stütze wird durch die Verformung vergrößert

P

v e

P

M P e I = · max = M M II

= · ( + )P e v

Abbildung 87: Unterschied zwischen Theorie I. und II. Ordnung

Das Versagen von Druckgliedern kann in Spannungsprobleme (Überschreiten der zulässigen Spannungen) und Stabilitätsprobleme (Verlust der Standsicherheit, z. B. seitliches Ausknik-ken) unterteilt werden. Die Versagensart ist stark von der Schlankheit des Druckgliedes ab-hängig. Je gedrungener das Bauteil ist, desto eher wird ein Versagen infolge Überschreitens der zulässigen Spannungen eintreten, und je schlanker es ist, desto eher wird es ausknicken. In der alten DIN 1045 [10] wurden Druckglieder in Schlankheitsgruppen unterteilt, denen man folgende Versagensmechanismen zuordnen konnte. Druckglieder mit geringer Schlankheit versagen durch Erreichen der Bruchschnittgrößen Nu und Mu (siehe Fall 1 in Abbildung 88). Man spricht von einem Spannungsproblem nach Theorie I. Ordnung (Materialversagen). Bei Druckgliedern mit mäßiger Schlankheit (Fall 2 in Abbildung 88) können die auftretenden

8.6

SCHEERER PROSKE

133

Verformungen nicht mehr vernachlässigt werden. Die aufnehmbare Vertikallast wird kleiner, gleichzeitig vergrößert sich das Moment infolge anwachsender Exzentrizität. Letztendlich versagt das Druckglied wieder durch das Überschreiten zulässiger Spannungen, es handelt sich nun aber um ein Spannungsproblem nach Theorie II. Ordnung (Materialversagen). Die dritte Gruppe stellten Druckglieder mit hoher Schlankheit dar. Bei einer Laststeigerung neh-men die Verformungen übermäßig zu, der Stab wird instabil, bevor die Bruchschnittgrößen erreicht werden, es tritt Stabilitätsversagen ein.

N Mkr kr3 3, N Mu u

3 3,

N Mkr kr2 2, N Mu u

2 2, N Mu u

1 1,

e·N v·N

e·N v·N

Mu

Nu

1 2

3

Materialversagen

N1 N2

v e

N3

Fälle:

N Mu u, : Bruchschnittgrößen infolge Materialversagens, : Bruchschnittgrößen infolge StabilitätsversagensN Mkr kr

Nu und Nu undM N eu = · M N e vu = · ( + )

Nkr undM N e vkr = · ( + )

Abbildung 88: Versagensmöglichkeiten von Druckgliedern nach [24]

Bezüglich der Stabilität können drei Gleichgewichtslagen unterschieden werden: (a) stabil: Kugel rollt nach einer Auslenkung wieder in die Aus-

gangslage zurück (b) labil: Kugel entfernt sich nach einer Auslenkung von ihrer

Ausgangslage (c) indifferent: Kugel bleibt liegen, wohin sie bewegt wurde, die ge-

ringste Störung würde zu einer weiteren Fortbewegung führen. Dies ist auch der Fall, wenn ein Tragwerk genau mit seiner Knicklast Fki belastet wird. Es ist dann gerade noch das Kräftegleichge-wicht am verformten System erfüllt. Eine weitere Laststeigerung würde ein Ausknicken und damit ein Versagen zur Folge haben. Die Verfor-mung, die das Tragwerk bei Belastung mit der Knicklast Fki aufweist, wird auch Knickfigur genannt.

Der Verbundbaustoff Stahlbeton besitzt einige Besonderheiten, die bei Stabilitätsuntersuchun-gen beachtet werden müssen, z. B.:

• keine lineare σ-ε-Beziehung • durch Rißbildung wird der wirksame Betonquerschnitt und damit die Biegesteifigkeit

verringert, die Durchbiegung dementsprechend erhöht • großer Unterschied zwischen Druck- und Zugfestigkeit des Betons • die zeitabhängigen Verformungen des Betons können sich negativ auswirken • die Mitwirkung von Beton auf Zug zwischen den Rissen wird vernachlässigt.

11.2 Knicklängen

Die Drucktragfähigkeit eines Stabes hängt u. a. stark von seiner Knicklänge – in DIN 1045-1 Ersatzlänge l0 genannt - ab. Die Knicklänge ist die Länge, über die ein gedrücktes Bauteil frei ausknicken kann. Allgemein kann gesagt werden, daß die Knick- bzw. Ersatzlänge der Ab-stand der Wendepunkte der Knickfigur des Systems ist. Die allgemeine Berechnungsformel ist in (187) angegeben, Beispiele für Knicklängen sind in Abbildung 89 zu aufgeführt.


134

0 coll lβ= ⋅ (187)

mit: l0 Ersatzlänge von Einzeldruckgliedern β Knicklängenbeiwert lcol Länge des Stabes zwischen den idealisierten Einspannstellen

l0lcol

l0

lcoll0lcollcol = l0

= 1,0 = 0,5 = 1,0= 0,7 l0

(1) (2) (3) (4) (5)

l0lcol

= 2,0

Abbildung 89: Beispiele für Knicklängen

Die Knicklänge ist von den Lagerungsbedingungen des Stabes und von der Aussteifung des Systems abhängig, vergleiche z. B. den beidseitig gelenkig gelagerten Stab und den beidseitig eingespannten Stab in Abbildung 89. Eine Einspannung an beiden Enden bewirkt eine Halbie-rung der Knicklänge gegenüber der gelenkigen Lagerung. Den selben Effekt können Ausstei-fungen oder horizontale Festhaltungen erzielen. Beispiel (5) ist ein verschiebliches System, wodurch die Knicklänge doppelt so groß wie die in Beispiel (4) ist, obwohl es sich in beiden Fällen um beidseitig eingespannte Stäbe handelt. Den Unterschied zwischen einem verschieb-lichen und einem unverschieblichen Rahmen zeigt Abbildung 90.

= 1,0 = 0,5 Abbildung 90: Knicklängen für Rahmen

Im Stahlbetonbau können allerdings oftmals die Lagerungsbedingungen nicht so eindeutig de-finiert werden, in der Regel liegen elastische Einspannungen vor. Die Knicklänge ist dann vom Grad der Einspannung abhängig, siehe Abbildung 91, an dieser Stelle soll aber nicht auf mögliche Näherungsverfahren eingegangen werden. Erläuterungen zu diesem Thema finden sich u. a. in [8] oder [38].

volle Einspannung, = 0,5gelenkige Lagerung, = 1,0elastische Einspannung, 0,5 < < 1,0

Abbildung 91: Einfluß des Einspanngrades

8.6.2 (4)

SCHEERER PROSKE

135

11.3 Bemessung

11.3.1 Allgemeines

Grundsätzlich müssen Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden, wenn durch diese die Tragfähigkeit um mehr 10 % vermindert wird. Die Bemessungswerte sind un-ter Berücksichtigung von Maßungenauigkeiten und Unsicherheiten bzgl. Lage und Richtung der Lasten zu ermitteln, z. B. durch geometrische Imperfektionen. Für Einzeldruckglieder dür-fen die geometrischen Ersatzimperfektionen durch Ansatz einer zusätzlichen ungewollten Ausmitte der Längskräfte ea in ungünstigster Richtung berücksichtigt werden. Die Imperfek-tionen brauchen natürlich nur bei Berücksichtigung von Einflüssen nach Theorie II. Ordnung angesetzt werden.

01 2a a

le α= ⋅ (188)

mit: αa1 Winkel der Schiefstellung gegen die Sollachse (im Bogenmaß)

11 1

200100 [m]acoll

α = ≤⋅

(189)

Die σ-ε-Linien für Beton und Betonstahl wurden in den Abschnitten 3.2 und 3.3 vorgestellt und sind auch für Druckglieder gültig. Bei vollständig überdrückten Querschnitten darf die Dehnung im Punkt C in Abbildung 16 aus Kapitel 3.4 (im folgenden noch einmal dargestellt) den Wert εc2 nicht überschreiten. Für normalfesten Beton beträgt diese Grenze also 2,0 ‰, was auch den Bestimmungen der alten DIN 1045 entspricht.

A s2

A s1

3 ‰

s2

s1a

b c

c2

c1

d

(*)

max = s2 max = 25 ‰s1

2,175 ‰ -2 ‰

e

C

0

= = 0 ‰

h d

Abbildung 16: Mögliche Dehnungsverteilungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit für Stahlbetonbauteile nach DIN 1045-1

11.3.2 Einteilung der Tragwerke und Bauteile Druckbeanspruchte Systeme und Bauteile müssen nach ihrer Verschieblichkeit in verschieb-lich und unverschieblich eingeteilt werden (vergleiche auch die Betrachtungen zur Knicklän-ge). Eine Abschätzung, ob ein ausgesteiftes Tragwerk als unverschieblich angesehen werden kann, erlaubt Absatz (5) in 8.6.2 der DIN 1045-1. Auf dieses Kriterium soll aber an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden.

11.3.3 Nachweisverfahren Nach der Schlankheit des Druckgliedes und der Art der Belastung richtet sich die Form des Nachweises. Deshalb muß zunächst der Schlankheitsgrad λ ermittelt werden.

8.6.1 (1)

8.6.1

8.6.4 (1)

8.6.4

Gl. (33)

7.2

Gl. (4)

10.2

B. (30)


136

0li

λ = (190)

mit: i Trägheitsradius (des reinen Betonquerschnitts)

c

c

IiA

= , für Rechteckquerschnitte gilt 0, 289i b= ⋅

Grundsätzlich muß zwischen schlanken und nicht schlanken Einzeldruckgliedern unterschie-den werden. Die Grenzschlankheiten werden nach Gleichung (191) bis (194) ermittelt. Wer-den die Grenzwerte nicht überschritten, müssen keine Auswirkungen nach Theorie II. Ord-nung berücksichtigt werden.

(191)

(192)

(193)

• allgemein für verschiebliche oder unverschiebliche Einzeldruckglieder:

max

25 für 0, 4116 für 0, 41

Ed

EdEd

v

vv

λ⎧ ≥⎪= ⎨ <⎪⎩

mit: vEd EdEd

c cd

NvA f

=⋅

NEd Bemessungswert der mittleren Längsdruckkraft des Einzel-druckgliedes

Ac Querschnittsfläche des Druckgliedes

(194)

• für Einzeldruckglieder in unverschieblichen ausgesteiften Tragwerken, wenn zwischen den Enden keine Querlasten oder Lastmomente auftreten und die Längskraft über die Stützenlänge konstant ist – gilt also nur für "echte" Pen-delstützen:

01

02

25 2 für 0, 41

25 für beidseitig gelenkig gelagerte Stützen

⎧ ⎛ ⎞= ⋅ − ≥⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪=⎩

λ Edcrit

e ve

mit: e01/e02 Verhältnis der Lastausmitten der Längskraft an den Stützenen- den mit |e01| ≤ |e02|, siehe auch Abbildung 92

e0

NEd

NEd

e02 e02

NEd NEd

NEd NEd

e01 e01

Abbildung 92: Definition von e01 und e02

Kommt Gleichung (194) zur Anwendung, sind die Stützenenden aber mindestens für eine Be-lastung nach Gleichung (195) zu bemessen.

20Rd EdhM N≥ ⋅ und Rd EdN N≥ (195)

mit: h Abmessung der Stütze in der betrachteten Richtung

8.6.2 (4)

8.6.3

Gl. (27) – (Gl. 29)

8.6.3

Gl. (30)

8.6.3

B. (13)

8.6.3

Gl. (31), Gl. (32)

8.6.3 (9)

SCHEERER PROSKE

137

Kriechen darf i. d. R. vernachlässigt werden, wenn die Stützen an beiden Enden monolithisch mit den lastabtragenden Bauteilen verbunden sind oder bei verschieblichen Tragwerken für das Einzeldruckglied λ < 50 und e0/h < 2 gilt.

Für schlanke Einzeldruckglieder dürfen die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung vereinfa-chend nach dem Modellstützenverfahren ermittelt werden, Kapitel 11.3.4.

11.3.4 Modellstützenverfahren Das Verfahren wird bei folgenden Randbedingungen empfohlen (in anderen Fällen sind ande-re Verfahren geeigneter):

• runder oder rechteckiger Stützenquerschnitt • für die Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung

gilt e0 < 0,1·h (es ist auch grundsätzlich für kleinere Ausmitten anwendbar, die auf der si-cheren Seite liegenden Abweichungen wach-sen dann aber stark an, siehe [22])

Definition einer Modellstütze: • Kragstütze mit einer Länge von l = ½ · l0 • Stützenfuß eingespannt, Stützenkopf frei ver-

schieblich • Biegelinie entsprechend der Skizze rechts • Die Nachweisstelle ist der Stützenfuß, da sich dort die maßgebende Kombination von

Längskraft und maximalem Moment ergibt (Theorie II. Ordnung). Die Gesamtausmitte etot bei konstant durchgehenden Stützenquerschnitten wird wie folgt be-rechnet.

1 2 0 2tot ae e e e e e= + = + + (196)

mit: ea ungewollte zusätzliche Ausmitte, siehe Gleichung (188)

e0 planmäßige Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung 0

0 = Ed

Ed

MeN

bei linear veränderlichem Momentenverlauf über die Stützenlänge in unverschieblichen Rahmentragwerken gilt:

02 010

02

0,6 0, 4max

0, 4 ⋅ + ⋅⎧

= ⎨ ⋅⎩

e ee

e

MEd0 Bemessungsbiegemoment nach Theorie I. Ordnung

e01, e02 siehe Abbildung 92

e2 zusätzliche Lastausmitte nach Theorie II. Ordnung, vereinfacht:

20

2 11

10le K

r= ⋅ ⋅

12,5 für 25 35

101 für 35

Kλ λ

λ

⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩

e1

ll

= 2

0

NEd

HEd

e2

etot

Wirkungslinie derResultierendenvon und N HEd Ed

M1M2

Mtot

8.6.3 (5)

8.6.3 (6)

8.6.5

8.6.5

B. (12)

8.6.5

Gl. (34) - Gl. (40)

8.6.5 (3)


138

1/r Stabkrümmung im maßgebenden Schnitt, vereinfacht:

21 2

0,9ydK

r dε

= ⋅ ⋅⋅

K2 Beiwert zur Berücksichtigung der Krümmungsab-nahme beim Anstieg der Längsdruckkräfte

2 1ud Ed

ud bal

N NKN N

−= ≤−

Nud Bemessungswert der Grenztragfähigkeit des

Querschnitts unter zentrischem Druck ( )ud cd c yd sN f A f A= − ⋅ + ⋅

NEd Bemessungswert der aufzunehmenden Längs-kraft (Druck negativ)

Nbal aufnehmbare Längsdruckkraft bei maximaler Momententragfähigkeit des Querschnitts; ver-einfacht für symmetrisch bewehrte Rechteck-querschnitte: ( )0,4bal cd cN f A= − ⋅ ⋅

εyd = fyd/Es

Anmerkung: K2 = 1 liegt immer auf der sicheren Seite!

Zu bemessen ist die Stütze dann für die einwirkende Normalkraft NEd und das Gesamtmoment Mtot nach Theorie II. Ordnung.

( )0 2= ⋅ + + = ⋅tot Ed a Ed totM N e e e N e (197)

Die Gleichung für e2 kann vereinfacht werden, wenn allgemein von der Verwendung von Be-tonstahl BSt 500 ausgegangen wird und K2 = 1 gesetzt wird. Es gilt:

500 N/mm²/1,15200000 N/mm²ydε = (198)

20

2 11

2070= ⋅ ⋅le K

d (199)

11.3.5 Unbewehrte Druckglieder Unbewehrte Druckglieder kommen besonders in Form von Wänden und gedrungenen Stützen mit geringer Momentenbeanspruchung vor. Grundsätzlich muß das Versagen eines Bauteils bei Erstrißbildung ohne Vorankündigung vermieden werden. Für stabförmige unbewehrte Druckglieder ist diese Bedingung erfüllt, wenn ed/h < 0,4 eingehalten wird (ed = Ausmitte der Längskraft).

Weiterhin ist zu beachten, daß wegen der geringeren Verformungsfähigkeit von unbewehrten Bauteilen gegenüber bewehrten der Sicherheitsfaktor für Beton γc vergrößert werden muß:

1,8cγ = für ständige und vorübergehende Bemessungssituationen (bewehrt: 1,5) 1,55cγ = für eine außergewöhnliche Bemessungssituation (bewehrt: 1,3) (200)

8.6.7

5.3.3 (8)

SCHEERER PROSKE

139

Nach DIN 1045-1 sind unbewehrte Druckglieder grundsätzlich als schlanke Bauteile anzuse-hen, unabhängig vom eigentlichen Schlankheitsgrad. Gilt lcol/h < 2,5, brauchen allerdings kei-ne Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung berechnet werden. Die Schlankheit am Einbauort sollte 85 nicht überschreiten.

Für die Bemessung gelten folgende Grundsätze: • Ebenbleiben der Querschnitte • Betonzugspannungen dürfen nicht angesetzt werden • σ-ε-Linie von Beton siehe Kapitel 3.2 • rechnerisch darf maximal die Betonfestigkeitsklasse C 35/45 angesetzt werden.

Die von einem schlanken unbewehrten Bauteil aufnehmbare Längsdruckkraft kann wie folgt berechnet werden.

( )Rd cdN b h f ϕ= − ⋅ ⋅ ⋅ (201)

mit: NRd Bemessungswert der aufnehmbaren Längsdruckkraft

b, h Abmessungen des Querschnitts

ϕ Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkungen nach Theorie II. Ord-nung auf die Tragfähigkeit von unbewehrten Druckglieder in unver-schieblich ausgesteiften Tragwerken

01,14 1 2 0,02tote lh h

ϕ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

und 0 1 2 toteh

ϕ≤ ≤ − ⋅

0tot ae e e eϕ= + +

e0 Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung, nach Erfordernis unter Berücksichtigung der Einwirkungen aus anschlie-ßenden Decken sowie aus horizontalen Windlasten

ea ungewollte Zusatzausmitte infolge geometrischer Im-perfektionen; bei fehlenden genaueren Angaben gilt:

00,5200

= ⋅ale

eϕ Ausmitte infolge Kriechen, i. a. vernachlässigbar

Für weitergehende Erläuterungen verweist die DIN 1045-1 auf das DAfStb-Heft 525, welches bei Redaktionsschluß noch in Bearbeitung war (geplanter Erscheinungstermin Oktober 2003).

11.4 Konstruktive Regeln für Stützen und andere druckbeanspruchte Bauteile Die hier angeführten konstruktiven Regeln sind der DIN 1045-1 entnommen. Allerdings sind die Regelungen nicht mehr so ausführlich wie in der bisher gültigen Norm. Deshalb wird teil-weise auf bisher gültige, sinnvolle Konstruktionsregeln zurückgegriffen bzw. auf die Angaben in der 15. Ausgabe der Schneider-Bautabellen [32].

Stützengeometrie:

• allgemein: Verhältnis der größeren zur kleineren Querschnittsabmessung b/h < 4

• Mindestmaße: (stehend) vor Ort betoniert: 20 cm waagerecht betonierte Fertigteile: 12 cm

8.6.7

Gl. (44)

8.6.7

Gl. (45)

13.5


140

Längsbewehrung: • Mindestdurchmesser: 12 mm • je Ecke mindestens 1 Stab

mindestens 6 Stäbe bei Kreisquerschnitten • maximaler Stababstand: 300 mm

bei h ≤ b ≤ 400 mm genügt 1 Stab je Ecke Längsbewehrungsgrad

• mindestens 15 % der Längsdruckkraft soll vom Bewehrungsstahl aufgenommen wer-den können

Mindestbewehrung: ,min10,15s Edyd

A Nf

= ⋅ ⋅ (202)

• die Längsbewehrung darf auch im Bereich von Stößen maximal 9 % des Betonquer-schnitts betragen Höchstbewehrung: ,max 0,09s cA A= ⋅ (203)

Bügelbewehrung • durch Bügel können maximal 5 Längsstäbe am Ausknicken gehindert werden, für wei-

tere Stäbe sind Zusatzbügel erforderlich, siehe Abbildung 93

≤ 15 dsbü

≤ 15 dsbü

min h

sbü

Abbildung 93: Konstruktionsregeln für Stützen, Zwischenbügel

• Mindestdurchmesser: 6 mm bei Stabstahl5 mm bei Matten

/ 4 sbü

sl

dd

⎧⎪≥ ⎨⎪⎩

• Bügelabstand: 12min30mm

sl

bü

ds h

⋅⎧⎪≤ ⎨⎪⎩

• Bügelabstand bei Zusatzbügeln: maximal 2 · sbü Wände:

• Verhältnis der größeren zur kleineren Querschnittsabmessung b/h ≥ 4

• bei überwiegender Biegebeanspruchung sind die Bestimmungen für Platten einzuhal-ten

• minimaler lotrechter Bewehrungsgehalt: As ≥ 0,0015· Ac minimaler lotrechter Bewehrungsgehalt bei schlanken Wänden: As ≥ 0,003· Ac maximaler lotrechter Bewehrungsgehalt: As ≤ 0,04· Ac

≤ 300 mm

b

h

13.7

SCHEERER PROSKE

141

• minimale Querbewehrung: ≥ 20 % der lotrechten Bewehrung minimale Querbewehrung bei schlanken Wänden: ≥ 50 % der lotrechten Bewehrung minimale Querbewehrung bei |NEd| ≥ 0,3 · fcd ·Ac: ≥ 50 % der lotrechten Bewehrung

• ds,Querbewehrung ≥ ¼ ds,lotrecht

• max s = 350 mm bei benachbarten waagerechten Stäben

• Umschließung der lastabtragenden lotrechten Bewehrung durch Bügel, wenn diese ≥ 0,02 Ac ist

• Umschließung der freien Ränder von Wänden durch Steckbügel, wenn As ≥ 0,003 Ac

• Sicherung der vertikalen Stäbe durch S-Haken

• Mindestwanddicken in [cm]: unbewehrt bewehrt

Decken über Wände Decken über Wände Betonfestig-keitsklasse Herstellung

nicht durch-laufend durchlaufend nicht durch-

laufend durchlaufend

< C 12/15 Ortbeton 20 14 - - Ortbeton 14 12 12 10

≥ C 16/20 Fertigteil 12 10 10 8

Tabelle 32 Mindestwanddicken

13.7

Tab. (32)


142

12 Fundamente

12.1 Allgemeines Fundamente müssen alle Lasten aus dem Bauwerk in den Boden abtragen. Dabei darf weder die Tragfähigkeit des Bauteils noch die des Bodens überschritten werden. Die Standsicherheit eines Bauwerks ist also nicht nur abhängig von der Tragfähigkeit des Fundamentes, es muß also auch gegen viele Versagensmöglichkeiten des Baugrundes abgesichert werden, z. B. Grundbruch, Kippen, Gleiten, zu große und ungleichmäßige Setzungen.

Grundsätzlich kann man Gründungen in Flach- und Tiefgründungen unterteilen: • Flachgründungen:

Einzelfundamente (unter Stützen), Streifenfundamente (unter Wänden), Fundament-platten

• Tiefgründungen: Pfahlgründungen (z. B. Bohr- oder Rammpfähle), Schlitzwände, Brunnengründungen, Senkkästen

Flachgründungen werden bei dichtgelagertem und tragfähigem Baugrund angewendet, sie sind i. d. R. preisgünstiger als Tiefgründungen. Letztere werden notwendig, wenn der Bau-grund weniger gut bzw. schlecht tragfähig ist oder extrem hohe Lasten in den Boden eingelei-tet werden müssen. Außerdem können mit Tiefgründungen gegebenenfalls Zugkräfte in den Baugrund abgetragen werden. Im Rahmen dieses Buches sollen lediglich Flachgründungen behandelt werden.

Flachgründungen sind mindestens 80 cm tief zu gründen, da die Gründungssohle forstfrei lie-gen muß. Wenn man ein Fundament entwirft, sind im Vorfeld noch weitere Fragen zu beant-worten:

• Welche Bodenpressungen sind zulässig? • Wie ist die Spannungsverteilung im Baugrund, da bei Flachgründungen grundsätzlich

keine Zugspannungen in den Boden übertragen werden können? • Soll das Fundament bewehrt oder unbewehrt ausgeführt werden? • Mit welchen Verfahren sollen die Schnittgrößen ermittelt werden?

12.2 Bodenpressungen und Wahl der Fundamentgröße

Die Verteilung der Pressungen im Boden ist stark abhängig von dessen Steifigkeit und von der des Fundamentkörpers sowie von der Höhe der Auflast.

In Abbildung 94 sind verschiedene Beispiele für Sohlspannungsverteilungen unter starren Gründungskörpern zu sehen (nach [24]). Bild (a) zeigt grundsätzlich die Abhängigkeit der Verteilung infolge unterschiedlich hoher Auflasten. Die Last F1 ist relativ gering, die Sicher-heit gegen Grundbruch ist hoch. Die Sohlspannungsverteilung ist relativ gleichmäßig, nur an den Fundamenträndern sind Spannungsspitzen zu sehen. Wird die Last F1 auf den deutlich höheren Wert F2 gesteigert, konzentriert sich die maximale Spannung immer mehr in Rich-tung Fundamentmitte, die Grundbruchgefahr steigt erheblich an. Ähnliche Unterschiede be-stehen auch in Abhängigkeit von der Steifigkeit des anstehenden Bodens. In den Bildern (b) und (c) sind Spannungsverteilungen bei gleichen Lasten Fi und unterschiedlich steifen Böden dargestellt. Ist der Boden steif, treten Spannungsspitzen an den Fundamenträndern auf, siehe (b), ist der Boden weich, ist die Spannungsverteilung eher gleichmäßig und konzentriert sich in der Mitte, siehe (c).

SCHEERER PROSKE

143

(a)

0,1

Fi

0,2 (b) 0

Fi

(c) 0

Fi

Abbildung 94: Verteilung der Bodenpressung σ0 unter starren Fundamenten

Bei einem biegeweichen Fundament, Abbildung 95, verformt sich die Fundamentplatte unter Belastung, (a), was zu einer homogeneren Belastung des Bodens führt, Spannungsspitzen sind weniger ausgeprägt. Bei einem steifen Boden konzentriert sich die Last direkt unter der Stüt-ze, (b), bei einem weichen Boden verteilen sich die Sohlpressungen relativ konstant unter der Fundamentplatte, (c).

(a)

Fi

(b) 0

Fi

(c) 0

Fi

Abbildung 95: Verteilung der Bodenpressung σ0 unter biegeweichen Fundamenten

Beim Nachweis der Bodenpressungen darf näherungsweise ein konstanter Verlauf angenom-men werden. Bei einem mittig belasteten Fundament kann demzufolge die gesamte Funda-mentfläche angesetzt werden, bei einem exzentrisch beanspruchten Fundament (in der Skizze mit Exzentrizität in x-Richtung)) verkleinert sich die Fundamentfläche AF auf AF', siehe Ab-bildung 96.

0

Fi

bx

bx/2 b /2x

F x yA b b= ⋅

0

Fi

2e b e/-2x

ex

bx ( )2F x x yA b e b′ = − ⋅ ⋅

Abbildung 96: Anrechenbare Fundamentfläche beim Nachweis der Sohlspannungen

Für die Bemessung von Einzel- und Streifenfundamenten darf ein linearer Verlauf der Boden-pressungen angenommen werden. Die Ermittlung der Spannungsverteilung in der Fundament-sohle bei einachsiger Ausmitte wird im folgenden erläutert.

Die Vertikalkomponente R der Resultierenden in der Sohlfuge ergibt sich entsprechend Glei-chung (204) aus dem Eigengewicht des Fundamentes GF und allen Auflasten ΣN aus Stützen, Wänden, Boden (z. B. Auffüllungen) und anderen Vertikallasten, z. B. Auftrieb infolge Grundwasser (beachte Vorzeichen!).

0V =∑ → FR G N= +∑ (204)

Den Angriffspunkt dieser Resultierenden mit der Ausmitte ex erhält man, indem man in der Sohlfuge das Momentengleichgewicht um den Punkt m (ΣM)m bildet.


144

N a

bx

M

GF

m ex

R

H

hSohlfuge

Fundament

(I): ( ) xmM R e= ⋅∑

(II): ( )mM M H d N a= + ⋅ − ⋅∑

xR e M H d N a⋅ = + ⋅ − ⋅

mx

M M H d N aeR R

+ ⋅ − ⋅= = (205)

Bei der Berechnung der Randspannungen muß unterschieden werden, ob die Resultierende innerhalb oder außerhalb einer der beiden Kernflächen angreift. Die Kernflächen sind in Ab-bildung 97 definiert.

r r1 = 0,25 r r2 = 0,59

r1 r2

r

bx

by

3 × by/6

3 × bx/6

ey

ex

R1. Kernfläche2. Kernfläche

Abbildung 97: Definition der Kernflächen

Gilt 6x

xbe ≤ , (206)

dann greift R innerhalb der Kernfläche an, d. h. daß die Randspannung am weniger gedrück-ten Rand zwar 0 werden kann, dort aber gerade noch keine Zugspannungen auftreten, die Sohlfuge also über die gesamte Fundamentfläche mit Druckspannungen belastet wird. Bei der ständigen Bemessungssituation muß die Resultierende immer innerhalb der ersten Kernfläche angreifen. Dann kann vorausgesetzt werden, daß die Standsicherheit des Bauwerks nicht durch Kriechverformungen des Baugrundes beeinflußt wird. Die Spannungen an den Funda-menträndern können in diesem Fall mit Hilfe der Gleichungen (207) und (208) einfach be-rechnet werden.

Lastangriff innerhalb der ersten Kernfläche

1/ 2F F

R MA W

σ = ± (207)

mit: AF Fundamentfläche; Rechteck: F x yA b b= ⋅

WF Widerstandsmoment; Rechteck: 2

6x

F ybW b= ⋅

R Summe der Vertikallasten M Summe der Momente in der Sohlfuge: = ⋅ xM R e

1/ 261

⎛ ⎞⋅= ±⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠x

x y x

eRb b b

σ (208)

Beim Sonderfall des Lastangriffs auf der Grenze der Kernfläche vereinfachen sich die For-meln wie folgt:

Lastangriff auf der Grenze der ersten Kernfläche

1 0σ = 2 2x y

Rb b

σ = ⋅⋅

(209)

SCHEERER PROSKE

145

Gilt 6x

xbe > , (210)

dann ist nur noch ein Teil der Fundamentsohle überdrückt, es entsteht eine klaffende Sohl-fuge. Damit verändern sich auch die Formeln zur Berechnung der Randspannungen, da keine Zugspannungen übertragen werden können, dieser Anteil also nicht in das Kräftegleichge-wicht eingehen kann.

Lastangriff innerhalb der zweiten Kernfläche

1 0σ = 2 23 y

Rc b

σ = ⋅⋅ ⋅

(211)

Die Grenze der zweiten Kernfläche wird mit dem Klaffen der Sohlfuge bis zur Mitte der Sohl-fläche festgelegt, was einer Exzentrizität von

3x

xbe = (212)

entspricht. Auch unter Einfluß von Verkehrslasten darf die Exzentrizität keinen größeren Wert annehmen. Die Randspannungen ergeben sich wie folgt:

Lastangriff auf der Grenze der zweiten Kernfläche

1 0σ = 2 4x y

Rb b

σ = ⋅⋅

(213)

In Abbildung 98 sind noch einmal alle zuvor besprochenen Fälle zusammengefaßt.

1

e bx x < 1/6

R 2

bx

R greift innerhalb der ersten Kernfläche an

6x

xbe <

bx

0

e bx x = 1/6

R 2

R greift auf der Grenze der ersten Kernfläche an

6x

xbe =

bx

2 c

R 2

c exklaffen-

de Fuge

R greift innerhalb der zweiten Kernfläche an

6 3x x

xb be< <

bx

2 = 1/3 = c b ex x

R 2

c b = 1/6 x

R greift auf der Grenze der zweiten Kernfläche an

3x

xbe =

Abbildung 98: Berechnung der Sohlspannungen bei einachsiger Ausmitte ex

Die Spannungen bei zweiachsiger Ausmitte und Angriff innerhalb der ersten Kernfläche – keine klaffende Sohlfuge – können nach Gleichung (214) ermittelt werden. Für den Fall klaf-fende Sohlfuge wäre die Berechnung ungleich komplizierter, hier sollte auf Tabellenwerke zurückgegriffen werden.

yx

x y y x

MMRb b W W

σ = ± ±⋅

(214)

Auf der Grundlage der Angaben zur Berechnung der Sohlspannungsverteilung ist es nun ein-fach, ein Fundament überschlägig zu dimensionieren. Über den Nachweis der zulässigen Sohlspannung kann zunächst die erforderliche Größe der Grundfläche des Fundamentes berechnet werden. Weiterhin muß beachtet werden, daß unter ständigen Lasten die Resul-tierende die Sohlfuge innerhalb der ersten Kernfläche schneiden muß, unter Verkehrslasten innerhalb der zweiten Kernfläche.


146

12.3 Schnittgrößenermittlung bei Flachgründungen Bei Streifenfundamenten können die Schnittgrößen wie bei einem Balken ermittelt werden. In Abbildung 99 ist ein Beispiel dargestellt, das zugehörige statische System ist ein Balken auf zwei Stützen mit Kragarmen. Fundament: Statisches System und Belastung:

0

F F

F F

0

Abbildung 99: Schnittgrößenermittlung bei Streifenfundamenten

Bei Einzelfundamenten ist ein Näherungsverfahren unter Berücksichtigung der veränderli-chen Momentenverteilung in der Fundamentplatte üblich. Das statische System ist ein beid-seitiger Kragarm. Als Belastung wird die durch die Auflast erzeugte geradlinige Bodenpres-sung angesetzt. Dabei ist zu beachten, daß die Eigenlast des Fundamentes und eine eventuell vorhandene gleichmäßig verteilte Auflast keine Biegung in der Fundamentplatte hervorrufen. Es müssen Momente in beide Richtungen, also Mx und My, betrachtet werden.

Die Berechnung der Momentenverteilung soll hier am Beispiel einer konstanten Bodenpres-sung σ0 und des Momentes My vorgestellt werden.

Das maximale Stützenmoment ergibt sich entsprechend Gleichung (215).

0 [kN/m²]x y

Nb b

σ =⋅

oder 0 0 [kN/m]y xbσ σ′ = ⋅

2

0max2 4 8

8

y y yy y x

y x

y

b b bNM bb b

bN

σ ′= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

= ⋅

(215)

Wie schon im Kapitel 2.6.1 erläutert, kann das Stützenmoment bei flächiger Lagerung abge-mindert werden. Mit Gleichung (216) wird entsprechend der Ausführungen in [32] das Mo-ment an der Stütze ausgerundet, was einem nicht monolithischen Anschluß entspricht. Dieses Vorgehen kann damit begründet werden, daß der Boden nachgiebig ist und somit mit einem ausgerundeten Moment der wirkliche Schnittgrößenverlauf besser wiedergegeben werden kann. Andere Autoren, z. B. [9], [32] oder [38], favorisieren die Abminderung analog dem Vorgehen bei einem biegesteifen Anschluß, wenn Stütze oder Wand monolithisch in das Fun-dament einbinden, Gleichung (217). An dieser Stelle soll freigestellt werden, ob grundsätzlich mit der Abminderung nach (216) oder (217) gearbeitet wird.

max 18 8

y y yy y

y

c b cM M N N

b⎛ ⎞

= − ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

18

x xx

x

b cM Nb

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(216) 0

Ncyby

My

SCHEERER PROSKE

147

( ) ( )2 2 2

0 18 8 8

y y y y y yy x x

x y y

b c b c N b cNM b bb b b

σ− − ⎛ ⎞⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

2

18

x xx

x

N b cMb

⎛ ⎞⋅= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(217)

Die nach (216) oder (217) ermittelten Bemessungsmomente müssen nun noch über die Quer-schnittsbreite verteilt werden. Das Verfahren ist in Abbildung 100 dargestellt. Die Funda-mentfläche wird in Streifen aufgeteilt und jedem Streifen wird ein prozentualer Anteil des Gesamtmomentes Mx oder My zugeteilt. Die Summe der Momente der Einzelstreifen muß na-türlich wieder 100 % ergeben. Üblich ist es, mit insgesamt 4 (z. B. [38]) oder 8 (z. B. [32]) Streifen zu arbeiten.

0

N

bx

N

4 × bx/8

cy

cx

max My

My,Ed

MomentenlinieZugkraftlinie

Versatzmaß a1

by

Querverteilung: My× z. B.: Streifen 1 - 8 % von

Streifen 2 - 10 % von Streifen 3 - 14 % von Streifen 4 - 18 % von

MMMM

y

y

y

y

1 2 3 4

Abbildung 100: Querverteilung des Biegemomentes My – Verfahren mit 8 Streifen

,y

y ix

MM

bα= ⋅ bzw. ,

xx i

y

MMb

α= ⋅ (218)

mit: i Nummer des Streifens, i = 1, 2, 3, 4 α Beiwert nach Tabelle 33 in Abhängigkeit vom Verhältnis ci/bi

ci/bi = Streifen-Nr. (siehe Abbildung 100) 0,1 0,2 0,3

1 7 8 9 2 10 10 11 3 14 14 14 4 19 18 16

Tabelle 33 Faktoren α für die Verteilung des Gesamtmomentes auf die einzelnen Streifen

Die Schnittgrößenermittlung bei Fundamentplatten ist komplizierter, i. d. R. kommen das Bet-tungsmodulverfahren oder FEM-Berechnungen unter Verwendung von Rechentechnik zum Einsatz.

Ncyby

0

My


148

12.4 Unbewehrte Fundamente Unbewehrte Fundamente werden in der Regel nur bei geringen Lasten ausgeführt, häufig als Streifenfundamente unter Wänden. Bei hohen Lasten und/oder geringer Tragfähigkeit des Bodens würden die Fundamente unnötig groß und damit unwirtschaftlich werden. Das Eigen-gewicht kann durch Abtreppen verringert werden, was aber einen erhöhten Arbeitsaufwand bedeutet.

In einem unbewehrten Fundament breiten sich die Druckspannungen allseitig aus, die dabei auftretenden Querzugspannungen müssen vom Beton aufgenommen werden. Deshalb ist der Lastausbreitungswinkel α in Abhängigkeit von der Betonklasse zu begrenzen. Allgemein gilt, daß mit steigender Betonfestigkeit auch die Biegezugfestigkeit des Betons größer wird, der Lastausbreitungswinkel α also flacher und die Fundamentdicke geringer werden kann.

In Tabelle 34 sind die zulässigen Lastausbreitungswinkel in Form des Verhältnisses 1 : n an-gegeben. Bodenpressung σ0 [kN/m²] ≤ 100 200 300 400 500

C 8/10 1,1 1,6 2,0 2,0 2,0 C 12/15 1,0 1,3 1,6 1,8 2,0 C 20/25 1,0 1,0 1,2 1,4 1,6

Bet

onfe

stig

-ke

itskl

asse

C 30/37 1,0 1,0 1,0 1,2 1,3

Tabelle 34 Verhältnisse 1 : n der zulässigen Lastausbreitungswinkel bei unbewehrten Fundamenten

Die erforderliche Fundamenthöhe ergibt sich dann entsprechend Gleichung (219).

d ü zul n≥ ⋅ (219)

F

bx

h

ü ücx

Abbildung 101: Bezeichnungen am unbewehrten Fundament

Die Auslegung eines unbewehrten quadratischen Fundamentes kann wie folgt durchgeführt werden, bei rechteckigem Grundriß ist analog zu verfahren.

0q Gzulσ σ σ= −

xq

qerf bσ

=

( )1 2 x xü erf b c= −

erf d ü zul n≥ ⋅

mit: σG geschätzte Fundamenteigenlast σq Bodenpressung, die für alle anderen Lasten genutzt werden kann ü Überstand, siehe Abbildung 101

Nun sind mit den gewählten Fundamentabmessungen die Nachweise der zulässigen Boden-pressung und der Einhaltung des zulässigen Lastausbreitungswinkels zu führen. Gegebenen-falls sind die Abmessungen anzupassen.

SCHEERER PROSKE

149

12.5 Bewehrte Fundamente

12.5.1 Allgemeines

Bewehrte Fundamente sind überall dort anzuordnen, wo unbewehrte Fundamente unwirt-schaftlich wären. Bewehrte Fundamente werden auf einer Sauberkeitsschicht betoniert. Die 5 bis 10 cm dicke Sauberkeitsschicht ist aus Beton einer niedrigen Festigkeitsklasse, z. B C 8/10. Sie dient als saubere und ebene Unterlage zum Verlegen der Bewehrung und zum Aufstellen der seitlichen Schalung. Wenn bewehrte Fundamente im Grundwasserbereich an-geordnet werden müssen, ist zu prüfen, ob das anstehende Wasser aggressiv ist. Eventuell ist dann eine schärfere Rißbreitenbeschränkung nötig oder die Wahl eines Spezialzementes.

Die Grundfläche ist wieder so groß zu wählen, daß die Bodenpressungen σ0 die zulässigen Werte nicht überschreiten, die Fundamentdicke kann allerdings geringer gewählt werden. Da-für sind Nachweise für Biegung und Durchstanzen erforderlich.

12.5.2 Biegebemessung Die Schnittgrößen werden wie unter 12.3 erläutert berechnet und in Querrichtung verteilt. Die Biegebemessung kann mit den bekannten Verfahren durchgeführt werden. Dabei sollte die größere statische Höhe für das höhere Bemessungsmoment vorgesehen werden. Der Vollstän-digkeit halber sollen hier die Formeln noch einmal für die Bemessung in y-Richtung angege-ben werden, für die x-Richtung ist analog zu verfahren. Die Berechnung erfolgt zweckmäßi-gerweise tabellarisch.

Zunächst wird für jeden Streifen i das bezogene Bemessungsmoment gebildet.

, ,, , 2

,

Eds y iEds y i

x i y cd

Mb d f

µ =⋅ ⋅

(220)

Aus den Tafeln (Biegebemessung) werden die benötigten Beiwerte entnommen und die erfor-derliche Stahlmenge je Streifen ermittelt.

1, , 1, ,1

cds y i i x i y

s

fA b dωσ

= ⋅ ⋅ ⋅

(221)

An dieser Stelle wird klar, daß das Streifenverfahren eine aufwendig zu verlegende Beweh-rung ergibt. In [38] wird ein weiteres Näherungsverfahren vorgestellt. Man verzichtet zu-nächst auf die Aufteilung des Gesamtmomentes M und berechnet für dieses die Gesamtbe-wehrung As1. Dann verteilt man As1 so, daß in einem mittleren Streifen mit einer Breite von bi/2 insgesamt 2/3 von As1 und in den beiden Randstreifen der Breite bi/4 jeweils 1/6 der Gesamtbewehrung eingelegt wird. Bei Verwendung von lediglich einem Stabdurchmesser sind nun nur noch zwei verschiedene Stababstände zu beachten.

Mindestmomente:

Nach DIN 1045-1 sind Platten im Bereich von Stützen für Mindestmomente mEd zu bemessen, um die Querkrafttragfähigkeit sicherzustellen. Diese Bestimmung kommt dann zum Tragen, wenn die bei der Schnittgrößenermittlung bestimmten Momente kleiner als die Werte nach Gleichung (222) sind. Dies Bedingung sollte immer vor dem Durchstanznachweis geprüft werden, da in diesen der Biegebewehrungsgehalt eingeht.

,Ed x x Edm Vη= ⋅ bzw. ,Ed y y Edm Vη= ⋅ (222)

mit: ηx, ηy Momentenbeiwerte nach Tabelle 35 VEd aufzunehmende Querkraft

10.5.6


150

Die Mindestmomente sollen entsprechend Abbildung 102 auf die in Tabelle 35 festgelegten Breiten verteilt werden.

ηx

Zug an der

ηy

Zug an der

Lage der Stütze

Platten-oberseite b)

Platten-unterseite b)

anzusetzende Breite b a)

Platten-oberseite b)

Platten-unterseite b)

anzusetzende Breite b a)

Innenstütze 0,125 0 0,3 ly 0,125 0 0,3 lx

Randstütze, Rand "x" a)

0,25 0 0,15 ly 0,125 0,125 je [m] Plat-tenbreite

Randstütze, Rand "y" a)

0,125 0,125 je [m] Plat-tenbreite

0,25 0 0,15 lx

Eckstütze 0,5 0,5 je [m] Plat-tenbreite

0,5 0,5 je [m] Plat-tenbreite

a) Definitionen siehe Abbildung 102 b) Plattenoberseite = die der Lasteinleitungsfläche gegenüberliegende Seite, Plattenunterseite = Seite, auf der die Lasteinleitungsfläche liegt

Tabelle 35 Momentenbeiwerte η und Verteilungsbreiten der Momente

lx

0,15 lx 0,30 lx

l y

0,15

l y0,

30 l y

mEd,y x

mEd,x

y

Abbildung 102: Bereich für den Ansatz der Mindestbiegemomente

12.5.3 Durchstanzen

12.5.3.1 Allgemeines Bei Bruchversuchen an dünnen Platten kann folgendes Bruchbild beobachtet werden.

Abbildung 103: Durchstanzkegel bei einem Fundament

Durch konzentriert eingeleitete Einzellasten, die auf einer relativ kleinen Fläche wirken, wird ein kegelförmiger Stumpf aus der Platte herausgebrochen. Diese Versagensart kann sowohl bei dünnen Deckenplatten als auch bei Fundamenten unter hohen Stützenlasten auftreten. Beim Durchstanzen handelt es sich grundsätzlich um ein Querkraftproblem. Die Nachweise sind entlang genau definierter Nachweisschnitte – den kritischen Rundschnitten - zu führen.

10.5

10.5.6

Tab. (14)

SCHEERER PROSKE

151

Mit Aload wird die Lasteinleitungsfläche bezeichnet. Für diese gelten folgende Bestimmungen: • kreisförmig: ∅ ≤ 3,5 d • rechteckig: Umfang u ≤ 11 d und 0,5 ≤ cx : cy ≤ 2

Dabei ist d die mittlere statische Nutzhöhe. Bei Flächen mit beliebigem Grundriß ist sinnge-mäß zu verfahren.

Die kritischen Rundschnitte sind entsprechend Abbildung 104 zu führen. Die Rundschnitte benachbarter Lasteinleitungsflächen dürfen sich nicht überschneiden. Die kritische Fläche Acrit ist parallel zur Lasteinleitungsfläche anzunehmen.

r1,5 d

Lasteinleitungsfläche kritische Fläche Umfang des kritischen Rundschnittes kritischer Radius

AA

ur

load

crit

crit

crit

kritischer Rundschnitt

1,5 d

(a)

r 1,5 d

rcrit

(b)

1,5 d

1,5

d

≤ 6 d l l1 2≤

l2

(c)

1,5 d

a1/2

b1/2

a b 2 ≥

b1/2

b1

a1/2

(d)

1,5 d

1,5

d

(e)

≤ 3 d

1,5 d 1,5 d≤ 3 d

zu (a), (d): zu (b): zu (c): zu (e):

kritische Rundschnitte nicht in der Nähe eines freien Randes kritische Rundschnitte in der Nähe von Öffnungen sind abschnittsweise nicht wirksam, wenn l1 > l2, dann ist l2 durch (l1 · l2)0,5 maßgebende Abschnitte für den kritischen Rundschnitt bei ausgedehnten Auflagerflächen mit

1

1

2 5,6

aa b

d b

⎧⎪≤ ⋅⎨⎪ ⋅ −⎩

und 1

2,8b

bd

⎧≤ ⎨ ⋅⎩

kritische Rundschnitte nahe freien Rändern

Abbildung 104: Kritische Rundschnitte nach DIN 1045-1 [11]

Es sind folgende Nachweise zu führen:

10.5.2

10.5.2

B. (39) … B. (41)


152

• Nachweis der Betondruckstrebe im kritischen Rundschnitt • Bauteile ohne rechnerische Durchstanzbewehrung: Nachweis der Tragfähigkeit im kri-

tischen Rundschnitt • Bauteile mit rechnerischer Durchstanzbewehrung: Dimensionierung der Durchstanz-

bewehrung in einem oder mehreren inneren Rundschnitten und Nachweis im Über-gangsbereich zwischen Durchstanz- und Querkrafttragfähigkeit in einem äußeren Rundschnitt im Abstand von 1,5 · d von der letzten Bewehrungsreihe.

Die Bauteilwiderstände sind wie folgt definiert:

,

,max

, ,

, ,

- Tragfähigkeit eines Bauteils ohne Durchstanzbewehrung - Tragfähigkeit der Druckstrebe

⎧⎪⎪≤ ⎨⎪⎪⎩

Rd ct

RdEd

Rd sy i

Rd ct a

vv

vvv

- Tragfähigkeit der Zugstrebe entlang des inneren Rundschnittes - Tragfähigk. in einem Schnitt außerhalb der Durchstanzbewehrung

i

(223)

Im Gegensatz zur alten Regelung ist der kritische Rundschnitt weiter nach außen gerückt, wodurch der Durchstanzwinkel mit ca. 34° flacher ist als zuvor. Das entspricht besser den Er-gebnissen neuerer Durchstanzversuche. Außerdem wurde insgesamt die Zahl der Bemes-sungsschnitte erhöht.

Der Bemessungswert der Querkraft muß für den Nachweis auf die Länge des Umfangs des kritischen Rundschnittes bezogen werde. Da die Bodenpressung im Bereich des Stanzkegels die Durchstanzgefahr vermindert, kann VEd um 50 % der Resultierenden der Bodenpressung innerhalb des kritischen Rundschnittes abgemindert werden.

EdEd

Vvu

β ⋅= (224)

mit: β Beiwert zur Berücksichtigung einer nicht rotationssymmetrischen Querkraftverteilung im Rundschnitt für unverschiebliche Systeme gilt:

1,00 wenn technisch keine Lastausmitte möglich ist1,05 bei Innenstützen 1, 40 bei Randstützen 1

β =

,50 bei Eckstützen

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Bei verschieblichen Systemen sind genauere Untersuchungen nötig.

VEd gesamte aufzunehmende Querkraft; bei Fundamenten und Bodenplat-ten Abminderung wie oben

u Umfang des betrachteten Rundschnittes

12.5.3.2 Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Durchstanzbewehrung Der Nachweis ist entlang des kritischen Rundschnittes zu führen.

Nachweis: ,Ed Rd ctv v≤ (225)

Der Bauteilwiderstand vRd,ct wird mit Gleichung (226) ermittelt. Die Tragfähigkeit ist gegen-über dem Nachweis für Querkräfte erhöht, hier kommt die Steigerung der Tragfähigkeit von Beton unter mehraxialer Druckbeanspruchung zum Tragen.

( )1/ 3, 10,14 100 0,12Rd ct l ck cdv f dη κ ρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎣ ⎦ (226)

10.5.3 (1)

10.5.3 (3)

10.5.3 (2)

10.5.3 (7)

10.5.4

SCHEERER PROSKE

153

mit: η1 η1 = 1,0 für Normalbeton

κ 2001 2 [mm]d

κ = + ≤&

ρl mittlerer Bewehrungsgrad der Biegezugbewehrung innerhalb des kri-tischen Rundschnittes, die innerhalb des kritischen Rundschnittes im Verbund liegt und außerhalb dessen verankert ist

0, 40

0,02

cd

ydl lx ly

ffρ ρ ρ

⎧ ⋅⎪= ⋅ ≤ ⎨⎪⎩

d mittlere statische Nutzhöhe in [mm], ( )0,5 x yd d d= ⋅ +

σcd Bemessungswert der Betonnormalspannung in [N/mm²]innerhalb des betrachteten Rundschnittes infolge Vorspannung oder sonstigen Ein-wirkungen (N > 0 → Längsdruckkraft)

( ) ,,, ,

, ,

1 12 2

Ed yEd xcd cd x cd y

c x c y

NNA A

σ σ σ⎛ ⎞

= ⋅ + = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

12.5.3.3 Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Durchstanzbewehrung Platten mit Durchstanzbewehrung müssen laut DIN 1045-1 mindestens 20 cm dick sein. Es sind folgende Nachweise zu führen.

Nachweise: ,max

,

, ,

längs des kritischen Rundschnittes in jedem inneren Rundschnitt längs des äußeren Rundschnittes

Rd

Ed Rd sy

Rd ct a

vv v

v

⎧⎪≤ ⎨⎪⎩

(227)

Dem Bemessungsmodell liegt ein Fachwerk zugrunde. Die Zugstreben müssen durch die Durchstanzbewehrung abgedeckt werden, die Nachweise hierzu sind in mehreren Schnitten – den kritischen Rundschnitten - zu führen.

Nachweis von vRd,max

Der Bauteilwiderstand entlang des kritischen Rundschnitts wird in Anlehnung an Versuchser-gebnisse wie folgt ermittelt. Es handelt sch hierbei um die maximale Querkrafttragfähigkeit von Platten mit Durchstanzbewehrung.

,max ,1,5Rd Rd ctv v= ⋅ (228)

Nachweis von vRd,sy

Die folgenden Formulierungen gelten für Durchstanzbewehrung, die rechtwinklig zur Platten-ebene gleichmäßig über den jeweils betrachteten Umfang verteilt wird. Für die erste (innere) Bewehrungsreihe im Abstand von 0,5 · d von der Stütze gilt:

, ,

⋅ ⋅= + s sw yd

Rd sy Rd c

A fv v

uκ

(229)

mit: vRd,c = vRd,ct, Betontraganteil nach Gleichung (226)

10.5.5


154

κs Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der Bauteilhöhe auf die Wirksamkeit der Bewehrung. Die Verankerung der Durchstanzbe-wehrung in dünnen Platten ist nicht so wirksam wie in dicken. Bei Platten mit d ≥ 80 cm wird κs = 1, da angenommen werden kann, daß die Verankerung der Längsbewehrung voll wirksam ist.

0,7 [mm] 4000,7 0,3 1,0400s

dκ≥⎧−= + ⋅ ⎨≤⎩

κs · Asw · fyd Bemessungskraft der Durchstanzbewehrung in Richtung der aufzunehmenden Querkraft für jede Reihe der Bewehrung

u Umfang des Nachweisschnittes

Für alle weiteren Bewehrungsreihen im Abstand von sw ≤ 0,75 · d gilt:

, ,

⋅ ⋅ ⋅= +

⋅s sw yd

Rd sy Rd cw

A f dv v

u sκ

(230)

mit: sw wirksame Breite einer Bewehrungsreihe nach Abbildung 105, sw ≤ 0,75 · d

Der letzte nachzuweisende Schnitt ist derjenige, an dem rechnerisch keine Durchstanzbeweh-rung mehr erforderlich ist, d. h. es gilt dort vEd ≤ vRd,ct.

d/2

VEd

l dw ≤ 1,5

du1

1,5 d

ua

= 45°... 60°

u1 u2 u3 ui ua

sw sw 1,5 dVEd

lw

d/2sw

du1 u2 u3 ui ua

Abbildung 105: Nachweisschnitte für den Nachweis der

Durchstanzbewehrung

Werden Schrägstäbe als Durchstanzbewehrung eingesetzt, müssen diese einen Winkel zwi-schen 45 ... 60° mit der Plattenebene einschließen. Sie müssen spätestens in einem Abstand von 1,5 · d vom Stützenrand entfernt enden. Der Nachweis muß in einem Abstand von 0,5 · d vom Stützenrand erfolgen. Es dürfen nicht mehr als zwei Reihen Schrägstäbe hintereinander angeordnet werden.

, ,

1,3 sin⋅ ⋅ ⋅= + s yd

Rd sy Rd c

A fv v

uα

(231)

mit: α Winkel zwischen Schrägstab und Plattenebene, siehe Abbildung 105 Nachweis von vRd,ct,a Der äußere Rundschnitt liegt 1,5 · d von der letzten Bewehrungsreihe entfernt. Dort ist nun folgender Nachweis der Querkrafttragfähigkeit zu führen.

10.5.5

B. (45)

SCHEERER PROSKE

155

, , ,Rd ct a a Rd ctv vκ= ⋅ (232)

mit: κa Beiwert zur Berücksichtigung des Übergangs zum Plattenbereich, der ohne Querkraftbewehrung tragfähig ist

0, 291 0,713,5

wa

ld

κ ⋅= − ≥⋅

lw Abstand der äußersten Bewehrungsreihe vom Stützenrand oder nach DIN 1045-1 Breite des Bereiches mit Durchstanz-bewehrung außerhalb der Lasteinleitungsfläche, siehe auch Abbildung 105

vRd,ct nach Gleichung (226); es ist der Bewehrungsgehalt ρl im äußeren Rundschnitt zu berücksichtigen!

Mindestwert der Durchstanzbewehrung: Die erforderliche Durchstanzbewehrung der inneren Rundschnitte darf folgenden Wert nicht unterschreiten:

(233) Senkrechte Durchstanzbewehrung: minsww w

w

Au s

ρ ρ= ≥⋅

Schrägstäbe: sin minsw w

w

Au s

αρ ρ⋅= ≥⋅

(234)

mit: sw = d min ρw nach Tabelle 22

12.5.4 Bewehrungsführung Bei bewehrten Fundamenten ist besonders auf die Einhaltung der geforderten Betondeckung zu achten, da im Boden und eventuell im Grundwasser erhöhtes Korrosionsrisiko besteht.

Biegezugebwehrung:

Es wird empfohlen, einen einheitlichen Stabdurchmesser zu wählen und bei Abstufung der Bewehrungsmenge in Querrichtung die Stababstände zu variieren. Dabei sind die maximal zulässigen Stababstände zu beachten. Die Biegezugbewehrung sollte in Längsrichtung i. d. R. nicht abgestuft werden. Die Stabdurchmesser sollten aus Gründen der Gebrauchstauglichkeit möglichst dünn gewählt werden. Die Verankerung erfolgt mit Haken an den Enden.

Durchstanzbewehrung:

Man unterschiedet folgende Arten der Durchstanzbewehrung: • Schrägstäbe in mindestens zwei zueinander senkrechten Tragrichtungen • ringförmig angeordnete Bügel • spezielle Bewehrungselemente, z. B. Bügelleitern

In DIN 1045-1, 13.3.3 sind die Anforderungen für die Durchstanzbewehrung von Platten ge-regelt. Für den Stabdurchmesser gilt:

0,05sd d≤ ⋅ (235)

Ist bei Bügeln rechnerisch nur eine Reihe Durchstanzbewehrung erforderlich, ist eine zweite Bewehrungsreihe mit Mindestbewehrung nach Gleichung (233) mit sw = 0,75 · d anzuordnen. Die Grundsätze der Anordnung der Durchstanzbewehrung sind in Abbildung 106 dargestellt.


156

≤ 3/4 dd/2 d/2 ≤ 3/4 d

≤ 1,5 d

d/2 ≤ d/2 ≤ 1,5 d

≤ 0,25 d≤ 0,25 d

Abbildung 106: Anordnung der Durchstanzbewehrung

SCHEERER PROSKE

157


158

13 Literaturverzeichnis

[1] Bauschadensbericht des Ministeriums für Raumordnung, Bauwesen und Städtebau. Bonn, 2. Bauschadensbericht 1988

[2] Bertram, D.; Bunke, N.: Erläuterungen zu DIN 1045 Beton- und Stahlbetonbau, Ausga-be 07.88. Schriftenreihe des DAfStb, Heft 400, Beuth Verlag Berlin, 1989, S. 3-143

[3] Bonzel, J.; Dahms, J.; Krell, J.: Erläuterungen zur Richtlinie Alkali-Reaktion im Beton. Schriftenreihe des DAfStb, Heft 400, Beuth Verlag Berlin, 1989, S. 187-201

[4] Bonzel, J.; Rendchen, K.: Hinweise für die Verwendung von Zement in Beton. Schrif-tenreihe des DAfStb, Heft 400, Beuth Verlag Berlin, 1989, S. 145-155

[5] Bonzel, J.; Siebel, E.: Erläuterungen zur Richtlinie für Beton mit Fließmitteln und für Fließbeton. Schriftenreihe des DAfStb, Heft 400, Beuth Verlag Berlin, 1989, S. 177-185

[6] CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin d´Information Nr.203, EPF Lausanne, Juli 1991

[7] Curbach, M.: Verwendung von technischen Textilien im Betonbau - Bauen mit Textili-en. Schriftenreihe des Instituts für Tragwerke und Baustoffe der TU Dresden, Heft 5, Jahresmitteilungen 1997, S. 51–57

[8] Curbach, M.; Schlüter, F.-H.: Bemessung im Betonbau (Formeln, Tabellen, Diagram-me). Reihe Bauingenieur-Praxis, Verlag Ernst & Sohn Berlin, 1998

[9] Dieterle, H.; Rostásy, F.-S.: Tragverhalten quadratischer Einzelfundamente aus Stahl-beton. Schriftenreihe des DAfStb, Heft 387, Verlag Ernst & Sohn Berlin, 1987

[10] DIN 1045: Beton und Stahlbeton, Bemessung und Ausführung. Ausgabe Juli 1988, Beuth Bauverlag Berlin, 1989

[11] DIN 1045-1: Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton. Teil 1: Bemessung und Konstruktion. Ausgabe Juli 2002, Beuth Verlag Berlin, 2001

[12] DIN 1045-2: Deutsche Anwendungsregeln zu DIN EN 206-1 Beton – Festlegung, Eigenschaften, Herstellung und Konformität. Ausgabe November 2000, Beuth Verlag Berlin, 2000

[13] DIN 1055: Lastannahmen für Bauten. Teil 1: Wichte und Flächenlasten von Baustoffen, Bauteilen und Lagerstoffen. Ausgabe Juli 2001; Teil 3: Eigen- und Nutzlasten für Hoch-bauten. Ausgabe Januar 2001; Teil 4: Windlasten. Entwurf März 2001; Teil 5: Schnee-last und Eislast. Entwurf März 2001; Teil 100: Grundlagen der Tragwerksplanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln. Ausgabe Dezember 2000; Beuth Verlag Berlin

[14] DIN EN 206-1: Festlegung, Eigenschaften, Herstellung und Konformität. Deutsche Fas-sung, Beuth Verlag Berlin, 2000

[15] Entwurf prEN 1990 Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung. Europäisches Komi-tee für Normung CEN, Brüssel, Januar 2001

SCHEERER PROSKE

159

[16] ETV Beton – Berechnung und bauliche Durchbildung. TGL 33401 ... 33405, Ausgabe 1980

[17] Goldau, R.: Bewehrungszeichnen, Band 1 – 3. Bauverlag GmbH Berlin · Wiesbaden, 1981

[18] Grasser, E.: Bemessung für Biegung mit Längskraft, Schub und Torsion. in: Bemessung der Stahlbetonbauteile. Beton-Kalender 1994, Teil I, Verlag Ernst & Sohn Berlin, S. 377–492 (siehe auch vorhergehende und nachfolgende Jahrgänge)

[19] Grasser, E.; Kordina, K.; Quast, U.: Bemessung von Beton- und Stahlbetonbauteilen nach DIN 1045 - Biegung mit Längskraft, Schub, Torsion und Nachweis der Knick-sicherheit. Schriftenreihe des DAfStb, Heft 220, Verlag Ernst & Sohn Berlin, 1979

[20] Grasser, E.; Thielen, G.: Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgrößen und Formän-derungen von Stahlbetontragwerken nach DIN 1045, Ausgabe Juli 1988. Schriftenreihe des DAfStb, Heft 240, Verlag Ernst & Sohn Berlin, 1991

[21] Hartz, U.: Neues Normenwerk im Betonbau. DIBt-Mitteilungen 1/2002, S. 2-6

[22] Kordina, K.; Quast, U.: Bemessung von schlanken Bauteilen für den durch Tragwerks-verformungen beeinflußten Grenzzustand der Tragfähigkeit – Stabilitätsnachweis. in: Bemessung der Stahlbeton- und Spannbetonbauteile nach DIN 1045-1. Teil II, Beton-Kalender 2001, Teil I, Verlag Ernst & Sohn Berlin, S. 349–416

[23] Kordina, K.; Quast, U.: Bemessung von schlanken Bauteilen – Knicksicherheitsnach-weis. in: Bemessung der Stahlbetonbauteile. Beton-Kalender 1994, Teil I, Verlag Ernst & Sohn Berlin, S. 493–597 (siehe auch vorhergehende und nachfolgende Jahrgänge)

[24] Leonhardt, F. et al.: Vorlesungen über Massivbau. Teil 1: Grundlagen zur Bemessung im Stahlbetonbau. 3. Auflage 1983; Teil 2: Sonderfälle der Bemessung im Stahlbeton-bau. 3. Auflage 1986; Teil 3: Grundlagen zum Bewehren im Stahlbetonbau. 3. Auflage 1977; Teil 4: Nachweis der Gebrauchsfähigkeit. 2. Auflage 1978; Springer-Verlag Ber-lin/Heidelberg/New York

[25] Löser, B.; Löser, H.; Wiese, H.; Stritzke, J.: Bemessungsverfahren für Beton- und Stahl-betonbauteile. Verlag Ernst & Sohn Berlin, 19. Auflage, 1986

[26] Reinhardt, H.-W.; Hilsdorf, H. K.: Beton. in: Betonkalender 2001, Teil 1, Verlag Ernst & Sohn Berlin, 2001, S. 1-144

[27] RGW: Beton- und Stahlbetonkonstruktionen, RGW-Standard ST 119-73: Projek-tierungsgrundlagen RGW-Richtlinie RS 119-73: Leitfaden für die Projektierung

[28] Richtlinie für hochfesten Beton, Ergänzung zur DIN 1045/07.88 für die Festigkeits-klassen B 65 bis B 115. Deutscher Ausschuß für Stahlbeton DAfStb im DIN Deutschen Institut für Normung e.V., August 1995

[29] Ritter, W.: Die Bauweise Hennebique. 4. Auflage des Sonderdrucks aus der Schweize-rischen Bauzeitung, Band 33 (1899), Nr. 5, 6 und 7

[30] Rüsch, H.: Versuche zur Festigkeit der Biegedruckzone. Schriftenreihe des DAfStb, Heft 120, Verlag Ernst & Sohn Berlin, 1955


160

[31] Schießl, P.: Grundlagen der Neuregelung zur Beschränkung der Rißbreite. Schriften-reihe des DAfStb, Heft 400, Beuth Verlag Berlin, 1989, S. 157-175

[32] Schneider, H.-J.: Bautabellen mit Berechnungshinweisen, Beispielen und europäischen Vorschriften. 11. bis 15. Auflage, Werner Verlag Düsseldorf, 1995 bis 2002

[33] Scholz, G.: Theoretische Auswertung von Heft 120 – Festigkeit der Biegedruckzone. Schriftenreihe des DAfStb, Heft 139, Verlag Ernst & Sohn Berlin, 1961

[34] Schorn, H. et al.: Übungen zur Materialtechnologie – Baustoffe, Teil 1 (Stand Oktober 1996) und Teil 2: Fragen und Aufgaben zur Vorlesung (Ausgabe Sommersemester 1998). TU Dresden, Fakultät Bauingenieurwesen, Institut für Tragwerke und Baustoffe, Lehrstuhl für Baustoffe, 1998

[35] Schriftenreihe des DAfStb: Weitere Versuche zu Festigkeits- und Formänderungskenn-werten der Betondruckzone in den Heften 148, 153, 154, 155, 185, 190, 191, 196, 198, 204 und 207, Verlag Ernst & Sohn Berlin, verschiedene Jahre

[36] Straub, H.: Die Geschichte der Bauingenieurkunst. 3. Auflage, Birkhäuser Verlag Basel und Stuttgart, 1975

[37] Wayss-Festschrift: Vom Caementum zum Spannbeton – Beiträge zur Geschichte des Betons. 1. – Teil A: Haegermann, G.: Vom Caementum zum Zement. Teil B: Huber-ti, G.: Die erneuerte Bauweise. Teil C: Möll, H.: Der Spannbeton.; 2. - Deinhard, M.: Massivbrücken gestern und heute.; 3. - Leonhard, A.: Von der Cementware zum kons-truktiven Stahlbetonfertigteil. Bauverlag, Wiesbaden und Berlin, 1964 bzw. 1965

[38] Wommelsdorff, O.: Stahlbetonbau, Bemessung und Konstruktion. Teil 1: Biegebean-spruchte Bauteile. 6. Auflage, 1989; Teil 2: Stützen und Sondergebiete des Stahlbeton-baus. 5. Auflage, 1993; Werner Verlag Düsseldorf

[39] Zilch, K.; Rogge, A.: Bemessung der Stahlbeton- und Spannbetonbauteile nach DIN 1045-1, Teil1. in: Betonkalender 2001, Teil 1, Verlag Ernst & Sohn Berlin, 2001, S. 205-416

SCHEERER PROSKE

161


162

14 Anhang

14.1 Die Geschichte des Stahl- und Spannbetonbaus Die wichtigsten Namen, Ereignisse und Daten zur Geschichte des Stahlbetonbaues (früher Eisenbeton) und Spannbetonbaues sind folgende:

1824 Der Bauunternehmer JOSEF ASPDIN entwickelt in England den sogenannten Portland-zement

1855 Erstes deutsches Portlandzementwerk bei Stettin

In der Mitte des 18. Jahrhunderts ist die Möglichkeit zur Verstärkung von Werk-stücken aus Beton durch Stahleinlagen allgemein bekannt.

1855 LAMBOT (Frankreich) erhält ein Patent für die Herstellung von Booten aus Stahlbeton. Sein erstes Boot aus bewehrtem Mörtel, genannt ,,ferriciment“, baute LAMBOT bereits 1855.

1861 stellt der Gärtner MONIER seine Blumenkübel aus Zementmörtel her, in den er zur Verstärkung ein Gerippe aus Stahldrähten einbettet.

1867 bekommt MONIER sein erstes Patent für Betonkübel mit Stahleinlagen. In den folgen-den Jahren erwirbt er weitere Patente für Röhren, Platten, Brücken und widmet sich mit Ausdauer und Erfolg ihrer Anwendung. Seine Konstruktionen, auf rein empiri-scher Grundlage ermittelt, zeigen, daß ihr Erfinder noch keine klare Vorstellung von der statischen Wirkung der Stahleinlagen im Beton hat.

1877 Veröffentlichung von HYATT (USA) über Versuche mit Eisenbetonkonstruktionen. HYATT erkannte schon klar die Tragwirkung: Bewehrung wurde nur auf der Zugseite eingelegt. Er baute in London ein Haus aus Stahlbeton und machte darin einen Brand-versuch. Das Haus steht heute noch.

1878 Neue grundlegende Patente MONIER's, die die Grundlage für die Einführung des Stahl-betons in anderen Ländern darstellen.

Im folgenden wird nun ein Abriß der Entwicklung des Stahl- und Spannbetonbaus in Deutsch-land gegeben:

1884 kaufen die Firmen Freytag & Heidschuch in Neustadt a. d. H. und Martenstein & Josséaux in Offenbach a. M. von MONIER das deutsche Patent für Süddeutschland und sichern sich das Vorkaufsrecht für das übrige Deutschland.

1886 treten die beiden Firmen das Vorkaufsrecht an den Ingenieur G. A. WAYSS ab. Dieser gründet in Berlin ein Unternehmen für Beton- und Monierbauten. Er führt in größerem Maßstab Versuche an MONIER-Konstruktionen durch, indem er durch Probebelastun-gen zeigt, daß die Anordnung von Stahlstäben im Beton einen wirtschaftlichen Wert hat. Das Ergebnis der Versuche veröffentlicht er

1887 Erscheinen der Broschüre ,,Das System MONIER, Eisengerippe mit Zementumhül-lung“. Reg.-Baumeister MATTHIAS KOENEN, der von der preußischen Regierung zu diesen Versuchen entsandt wird, gibt aufgrund der Versuche in der gleichen Broschüre ein empirisches Berechnungsverfahren für einige MONIERkonstruktionen an. Dieses zeigt, daß er die statische Wirkungsweise der Stahleinlagen klar erkannte. Damit liegt eine technisch richtige Grundlage für die Berechnung der Stahleinlagen vor und die neue Bauweise findet mehr und mehr Anwendung. Die weitere wissenschaftliche Er-forschung des Stahlbetons erfolgt hauptsächlich in Deutschland.

SCHEERER PROSKE

163

1888 DÖHRING, Berlin, meldet ein Patent an, welches zur Minimierung von Rissen gespann-te Drahteinlagen in Platten, Latten und Bälkchen vorsieht.

1898 wird der ,,Deutsche Beton-Verein“ gegründet (durch HÜSER und vor allem EUGEN DYCKERHOFF). Er ist eine Vereinigung der allmählich entstehenden Eisenbetonindus-trie zur Förderung des Betonbaus.

1900 Um die Jahrhundertwende und darüber hinaus ist der Stahlbetonbau noch durch das Nebeneinander von verschiedenen Systemen gekennzeichnet. In den darauffolgenden Jahren setzt sich immer mehr der wissenschaftliche Grundsatz durch, den Baustoff im Ganzen gemäß seinen Eigenschaften und der Kräfteverteilung einzusetzen.

MÖRSCH baut die von KOENEN begonnene Theorie weiter aus und untermauert sie durch zahlreiche Versuche, die anfangs im Auftrag der Fa. Wayss & Freytag, der er angehört, später auf der breiteren Basis des Deutschen Ausschusses für Eisenbeton an der Materialprüfanstalt der TH Stuttgart unter der Leitung von BACH und GRAF durch-geführt werden. Die von MÖRSCH entwickelte Theorie bildet die Grundlage unserer heutigen Stahlbetontheorie.

Weitere sehr tatkräftige Entwicklungsarbeit leisten EMPERGER, SALINGER, MELAN und VISENTINI in Österreich.

1904 bringt der Deutsche Beton-Verein zusammen mit dem Verband Deutscher Architek-ten- und Ingenieur-Vereine die ,,Vorläufigen Leitsätze für die Vorbereitung, Ausfüh-rung und Prüfung von Eisenbetonbauten“ heraus und trägt damit erheblich zur Verwendung des Stahlbetons im Hochbau bei.

1906 LABES fordert für die Deutsche Reichsbahn eine 1,3- bis 2,5fache Sicherheit gegen auftretende Risse, da er glaubte, daß der Rostschutz sonst nicht mehr gewährleistet sei. Die Folge wären unwirtschaftlich dicke Stahlbetonabmessungen gewesen. Um diese Entwicklung zu vermeiden, machte KOENEN im Jahre 1907 den Vorschlag, die Be-wehrung vorzuspannen. In den folgenden Jahren wurden daraufhin in der Materialprü-fungsanstalt Stuttgart Versuche an vorgespannten Balken durchgeführt, über die BACH 1910 berichtete. Damit hat man zwar nachgewiesen, daß die Rißgefahr durch die Vor-spannung bewältigt werden kann. KOENEN und MÖRSCH erkannten jedoch schon 1912, daß durch das Schwinden und Kriechen des Betons die damals geringe Vorspannung mit einer Stahlspannung von 60 N/mm² fast völlig verloren geht.

1907 entwickelt sich aus einem Ausschuß des Deutschen Beton-Vereins der ,,Deutsche Ausschuß für Eisenbeton“ (später Deutscher Ausschuß für Stahlbeton), der die weitere Erforschung der Stahlbetonbauweisen mit Geldern des Staates, der Vereine und der In-dustrie durchführt. Seine Arbeiten und Versuchsergebnisse veröffentlicht er in beson-deren Heften, von denen bisher mehr als 500 erschienen sind.

1916 gibt dieser Ausschuß die ,,Bestimmungen für Ausführung von Bauwerken aus Eisen-beton“ heraus.

Außer den bereits erwähnten Forschern und Institutionen haben in Deutschland die Baufirmen Beton- und Monierbau, Dyckerhoff & Widmann, Wayss & Freytag sowie Züblin durch For-schung und Entwicklung neuer Konstruktionen wesentlich zum Ausbau der Stahl- und Spann-betonbauweise beigetragen. Diese Firmen haben Spitzenleistungen im Brückenbau, Hallenbau usw. hervorgebracht.

1928 FREYSSINET (Frankreich) wendet zuerst die Vorspannung nur zum Beseitigen der Deh-nung von Zugbändern an. Er erfaßt aber rasch ihre viel größere Bedeutung. FREYS-SINET beschäftigt sich beharrlich mit dem Kriechen des Betons und dem daraus resul-tierenden Abbau der Spannkraft. Er erkennt, daß man die dauerhafte Wirkung der Vor-


164

spannung nur durch Verwendung von hochfestem Stahl sicherstellen kann und meldet mehrere Patente an. FREYSSINET wendet die Vorspannung nicht nur für Bauwerke an, sondern auch für Maste, Pfähle und die Rahmen schwerer Maschinen.

DISCHINGER, Berlin, meldet ein Patent für nach Art eines Hängewerks geführte Spann-glieder an, die außerhalb des Betonquerschnitts, jedoch innerhalb der Bauhöhe des Tragwerkes liegen (Spannbeton ohne Verbund). Die Kriech- und Schwindverluste sol-len durch Nachspannen ausgeglichen werden. Er hat damit als erster die Bedeutung schräg geführter Spannglieder für die Aufnahme der Querkraft erkannt.

In den dreißiger Jahren erfolgt die Umbenennung von Eisenbeton in Stahlbeton, weil alles schmiedbare Eisen die Bezeichnung ,,Stahl“ erhält.

1943–1953 werden in Deutschland die ersten Richtlinien für Spannbeton ausgearbeitet. Die Methode, die Spannglieder innerhalb des Betonquerschnitts in Hüllrohren zu führen, um sie gegen die erhärtete Konstruktion anspannen zu können und den Verbund anschließend durch injizieren herzustellen, setzt sich immer mehr durch und bildet die Grundlage für die Ausführung von weitgespannten Bau-werken.

SCHEERER PROSKE

165

14.2 Auswahl an Lastannahmen nach DIN 1055 [13], Auszüge

14.2.1 1055-1 (01/2001): Einwirkungen auf Tragwerke – Wichten und Flächenlasten von Baustoffen, Bauteilen und Lagerstoffen

Zeile Rohdichteklasse Wichte a in [kN/m³] 1 0,35 5,5 11 1,0 12,0 12 1,2 14,0 12 1,4 16,0 18 2,4 24,0 a einschließlich Fugenmörtel und übliche Feuchte

Tabelle 36 Wichte für Mauerwerk

Zeile Gegenstand Flächenlasten in [kN/m²] 2 Kalk-, Gipskalk-, Gipssand 0,60 3 Gipskalkputz auf Putzträger (30 mm) 0,50 8 Kalkmörtel, Kalkgips, Gipssandmörtel (20 mm) 0,35 9 Kalkzementmörtel (20 mm) 0,40 19 Wärmedämmverbundsystem 0,30 20 Zementmörtel (20 mm) 0,42

Tabelle 37 Flächenlasten für Putze

Zeile Gegenstand Flächenlasten je cm Dicke in [kN/m²] 6 Gipsestrich 0,20 7 Gußasphaltestrich 0,23 9 Kunstharzestrich 0,22 12 Zementestrich 0,22 18 Linoleum 0,13 20 Teppichböden 0,03

Tabelle 38 Fußboden- und Wandbeläge

Zeile Gegenstand Flächenlast in [kN/m²]

7 Bitumen- und Polymerbitumendach-Dichtungsbahn einschl. Klebemasse, je Lage 0,07 7 Bitumen- und Polymerbitumen-Schweißbahn, einschl. Klebemasse, je Lage 0,07 11 Dampfsperren einschl. Klebemasse bzw. Schweißbahn, je Lage 0,07 12 Ausgleichsschicht, lose verlegt 0,03 13 Dach- und Bauwerksabdichtungen aus Kunststoffbahnen, lose verlegt, je Lage 0,02 14 Schwerer Oberflächenschutz – Kiesschüttung, d = 5 cm 1,0

Tabelle 39 Dach- und Bauwerksabdichtungen mit Bitumen- und Kunststoff- sowie Elastomerbahnen in verlegtem Zustand


166

14.2.2 1055-3 (01/2001): Eigen- und Nutzlasten für Hochbauten Lotrechte Nutzlasten (einschließlich Trennwandzuschlag) dürfen für die Lastweiterleitung auf sekundäre Tragglieder, wie z. B. Unterzüge, Stützen, Wände, nach der folgenden Gleichung abgemindert werden:

(236) kAk qq ⋅= α'

mit: qk' abgeminderte Nutzlast qk Nutzlast αA Abminderungsbeiwert

Kategorie A, B, F: 100,5 1,0A Aα = + ≤

Kategorie C – E: 0,1107,0 ≤+=AAα

A Einzugsfläche der Lasten

Zei-le

Kate-gorie Nutzung Definition/Nutzung qk in

[kN/m²] Qk in [kN]

2 A A2 Wohn- und Aufenthaltsräume

Räume mit ausreichender Querverteilung der Lasten; Räume und Flure in Wohngebäuden; Betten- und Stationsräume in Krankenhäu-sern; Hotelzimmer, Küchen, Toiletten

1,5 --

4 B Büro Büroflächen ohne besondere Anforderungen, einschließlich der Flure 2,0 2,0

5 C1 Flächen mit Tischen, z. B. Cafés, Speisesäle, Lesesäle 3,0 4,0

8 C

C4

Räume; Versammlungsräu-me, die der Ansammlung von Personen dienen können (wenn nicht in anderer Kate-gorie festgelegt)

Sport- und Spielflächen, z. B. Tanzsäle, Bühnen, Gymnastikräume 5,0 7,0

13 E1 Flächen in Fabriken a und Werkstätten a mit leichtem Betrieb 5,0 4,0

14 E2 Lagerflächen, einschl. Bibliotheken 6,0 b 7,0

15

E

E3

Fabriken und Werkstätten; Ställe; Flächen, auf denen Anhäufungen von Gütern stattfinden können; Zugänge Flächen in Fabriken a und Werkstätten a mit

mittlerem oder schwerem Betrieb 7,5 b 10,0

16 F Balkone Dachterrassen, Laubengänge, Loggien usw. 4,0 2,0 a Nutzlasten in Fabriken und Werkstätten gelten als vorwiegend ruhend. Im Einzelfall sind sich häufig wiederho-lende Lasten je nach Gegebenheit als nicht vorwiegend ruhende Lasten nach DIN 1055-3, 6.4 einzuordnen. b Bei diesen Werten handelt es sich um Mindestwerte, gegebenenfalls sind höhere Lasten anzusetzen.

Tabelle 40 Lotrechte Nutzlasten für Decken, Treppen und Balkone

Eine Überlagerung der Einwirkungen nach Tabelle 40 mit den Schneelasten ist nicht erforder-lich.

Kategorie Nutzung Dachneigung qka in [kN/m²] Qk in [kN]

≤ 20° 0,75 1,0 H nicht begehbare Dächer, außer für übliche

Erhaltungsmaßnahmen und Reparaturen ≥ 40° 0 1,0 a Zwischenwerte sind linear zu interpolieren.

Tabelle 41 Nutzlasten für Dächer

SCHEERER PROSKE

167

14.2.3 1055-5 (03/2001): Lastannahmen für Bauten, Verkehrslasten – Teil 5: Schneelast und Eislast

Der charakteristische Wert der Schneelast S0 ist als eine unabhängige veränderliche Einwir-kung zu betrachten. Die charakteristischen Werte für die Schneelasten auf dem Boden sind in Abhängigkeit von der Schneezone Z und der Geländehöhe über NN für die mitteleuropäische Region nach (237) zu berechnen. Die Werte können aber auch den entsprechenden Diagram-men in DIN 1055-5, 3.1 abgelesen werden.

(237) ( )( )2

0,13 0,264 0,5 1 in [kN/m²]256

Sk

Hs Z⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⋅ − ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

mit: sk charakteristischer Wert für die Schneelast auf dem Boden Z Intensität der Schneelast, Z = 2 für Dresden HS Geländehöhe über NN in [m]

Die Schneelast auf dem Dach nun ist in Abhängigkeit von der Dachform und sk nach Glei-chung (238) zu ermitteln. Die Last wirkt lotrecht und ist auf die waagerechte Projektion der Dachfläche zu beziehen. Mögliche Lastbilder sind in DIN 1055-5, 3.3 dargestellt.

i ks m sµ= ⋅

mit: mµi Formbeiwert für die Schneelast, siehe DIN 1055-5, 3.3 Bsp.: Flachdach ohne Sprünge oder dergleichen, Formbeiwert: µ1 = 0,8 für 0° ≤ α ≤ 15°

(238)

Die maßgebende Schneelast muß nicht mit der Verkehrslast überlagert werden, da sie den zeitweiligen Aufenthalt von Personen berücksichtigt und nicht zeitgleich wirken kann.

14.3 Expositionsklassen nach DIN 1045-1

Klasse Beschreibung der Umgebung Beispiele für die Zuordnung von Expositionsklassen Mindestbeton-

festigkeitsklasse

1 Kein Korrosions- oder Angriffsrisiko

X 0 Kein Angriffsrisiko Bauteile ohne Bewehrung in nicht betonangreifender Um-gebung, z. B. Fundamente ohne Bewehrung ohne Frost, Innenbauteile ohne Bewehrung

C 12/15 LC 12/13

2 Bewehrungskorrosion, ausgelöst durch Karbonatisierung

XC 1 Trocken oder ständig naß

Bauteile in Innenräumen mit normaler Luftfeuchte (ein-schließlich Küche, Bad und Waschküche in Wohnge-bäuden); Bauteile, die sich ständig unter Wasser befinden

C 16/20 LC 16/18

XC 2 Naß oder selten trocken Teile von Wasserbehältern, Gründungsbauteile C 16/20

LC 16/18

XC 3 Mäßige Feuchte

Bauteile, zu denen die Außenluft häufig oder ständig Zu-gang hat, z. B. offene Hallen; Innenräume mit hoher Luft-feuchte, z. B. in gewerblichen Küchen, Bädern, Wäscherei-en, in Feuchträumen von Hallenbädern und in Viehställen

C 20/25 LC 20/22

XC 4 Wechselnd naß und trocken

Außenbauteile mit direkter Beregnung; Bauteile in Wasser-wechselzonen

C 25/30 LC 25/28

3 Bewehrungskorrosion, ausgelöst durch Chloride, ausgenommen Meerwasser

XD 1 Mäßige Feuchte Bauteile im Sprühnebelbereich von Verkehrsflächen; Ein-zelgaragen

C 30/37 LC 30/33

Tabelle 42 Expositionsklassen


168

Klasse Beschreibung der Umgebung Beispiele für die Zuordnung von Expositionsklassen Mindestbeton-

festigkeitsklasse

XD 2 Naß oder selten trocken

Schwimmbecken und Solebäder; Beiteile, die chloridhalti-gen Industriewässern ausgesetzt sind

C 35/45 LC 35/38

XD 3 Wechselnd naß und trocken

Bauteile im Spritzwasserbereich von taumittelbehandelten Straßen; direkt befahrene Parkdecks

C 35/45 LC 35/38

4 Bewehrungskorrosion, ausgelöst durch Chloride aus Meerwasser

XS 1 Salzhaltig Luft, kein unmittelbarer Kon-takt mit Meerwasser

Außenbauteile in Küstennähe C 30/37 LC 30/33

XS 2 Unter Wasser Bauteile in Hafenanlagen, die ständig unter Wasser liegen C 35/45 LC 35/38

XS 3 Tidebereich, Spritz-wasser- und Sprüh-nebelbereich

Kaimauern in Hafenanlagen C 35/45 LC 35/38

5 Betonangriff durch Frost mit und ohne Taumittel

XF 1 Mäßige Wassersätti-gung ohne Taumittel Außenbauteile C 25/30

LC 25/28

XF 2 Mäßige Wassersätti-gung mit Taumittel oder Meerwasser

Bauteile im Sprühnebel- oder Spritzwasserbereich von tau-mittelbehandelten Verkehrsflächen, soweit nicht XF 4; Bauteile im Sprühnebelbereich von Meerwasser

C 25/30 LC 25/28

XF 3 Hohe Wassersätti-gung ohne Taumittel

Offene Wasserbehälter; Bauteile in der Wasserwechselzone von Süßwasser

C 25/30 LC 25/28

XF 4 Hohe Wassersätti-gung mit Taumittel oder Meerwasser

Bauteile, die mit Taumitteln behandelt werden; Bauteile im Spritzwasserbereich von taumittelbehandelten Verkehrsflä-chen mit überwiegend horizontalen Flächen; direkt befahre-ne Parkdecks; Bauteile in der Wasserwechselzone, Räumer-laufbahnen in Kläranlagen

C 30/37 LC 30/33

6 Betonangriff durch chemischen Angriff der Umgebung

XA 1 Chemisch schwach angreifende Umge-bung

Behälter von Kläranlagen; Güllebehälter C 25/30 LC 25/28

XA 2

Chemisch mäßig an-greifende Umgebung und Meeresbauwer-ke

Bauteile, die mit Meerwasser in Berührung kommen; Bau-teile in betonangreifenden Böden

C 35/45 LC 35/38

XA 3 Chemisch stark an-greifende Umgebung

Industrieabwasseranlagen mit chemisch angreifenden Ab-wässern; Gärfuttersilos und Futtertische der Landwirtschaft; Kühltürme mit Rauchgasableitung

C 35/45 LC 35/38

7 Betonangriff durch Verschleißbeanspruchung

XM 1 Mäßige Verschleiß-beanspruchung

Bauteile von Industrieanlagen mit Beanspruchung durch luftbereifte Fahrzeuge

C 30/37 LC 30/33

XM 2 Schwere Verschleiß-beanspruchung

Bauteile von Industrieanlagen mit Beanspruchung durch luft- oder vollgummibereifte Gabelstapler

C 30/37 LC 30/33

XM 3 Extreme Verschleiß-beanspruchung

Bauteile von Industrieanlagen mit Beanspruchung durch elastomer- oder stahlrollenbereifte Gabelstapler; Wasser-bauwerke in geschiebebelasteten Gewässern, z. B. Tosbek-ken; Bauteile, die häufig mit Kettenfahrzeugen befahren werden

C 35/45 LC 35/38

Fortsetzung Tabelle 42 Expositionsklassen

SCHEERER PROSKE

169

14.4 Tafeln für Biegung ohne Druckbewehrung

ys1

d1

fcd

DEd,c

ZEd,s1

+MEd

1s

+NEd

x d= d

b

h

2c u

z d=

1Eds Ed Ed sM M N y= + ⋅

2Eds

Edscd

Mb d f

µ =⋅ ⋅

1 11 1

cd Edss

s s

f NA b dωσ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ +

C 12/15 ... C 50/60 µEds ω1 ξ = x/d ζ = z/d εs1 εc2 σs1

[‰] [‰] [N/mm²]0,01 0,0096 0,0300 0,9896 25,00 -0,77 456,5 0,02 0,0193 0,0438 0,9845 25,00 -1,15 456,5 0,03 0,0292 0,0553 0,9801 25,00 -1,46 456,5 0,04 0,0390 0,0659 0,9758 25,00 -1,76 456,5 0,05 0,0490 0,0761 0,9713 25,00 -2,06 456,5 0,06 0,0591 0,0864 0,9666 25,00 -2,37 456,5 0,07 0,0693 0,0969 0,9616 25,00 -2,68 456,5 0,08 0,0797 0,1074 0,9565 25,00 -3,01 456,5 0,09 0,0901 0,1181 0,9512 25,00 -3,35 456,5 0,10 0,1011 0,1306 0,9457 23,29 -3,50 454,9 0,11 0,1125 0,1446 0,9399 20,71 -3,50 452,4 0,12 0,1240 0,1587 0,9340 18,55 -3,50 450,4 0,13 0,1358 0,1730 0,9280 16,73 -3,50 448,6 0,14 0,1476 0,1876 0,9220 15,16 -3,50 447,1 0,15 0,1597 0,2023 0,9158 13,80 -3,50 445,9 0,16 0,1720 0,2173 0,9096 12,61 -3,50 444,7 0,17 0,1844 0,2325 0,9033 11,56 -3,50 443,7 0,18 0,1971 0,2479 0,8969 10,62 -3,50 442,8 0,19 0,2099 0,2636 0,8903 9,78 -3,50 442,0 0,20 0,2230 0,2796 0,8837 9,02 -3,50 441,3 0,21 0,2363 0,2958 0,8770 8,33 -3,50 440,6 0,22 0,2498 0,3123 0,8701 7,71 -3,50 440,1 0,23 0,2636 0,3292 0,8631 7,13 -3,50 439,5 0,24 0,2777 0,3464 0,8559 6,60 -3,50 439,0 0,25 0,2921 0,3639 0,8486 6,12 -3,50 438,5 0,26 0,3067 0,3818 0,8412 5,67 -3,50 438,1 0,27 0,3217 0,4001 0,8336 5,25 -3,50 437,7 0,28 0,3371 0,4189 0,8258 4,86 -3,50 437,3 0,29 0,3528 0,4381 0,8178 4,49 -3,50 437,0 0,30 0,3690 0,4577 0,8096 4,15 -3,50 436,7

C 55/67 µEds ω1 ξ = x/d ζ = z/d εs1 εc2 σs1

[‰] [‰] [N/mm²]0,01 0,0096 0,0302 0,9896 25,00 -0,78 456,5 0,02 0,0193 0,0441 0,9844 25,00 -1,15 456,5 0,03 0,0292 0,0556 0,9800 25,00 -1,47 456,5 0,04 0,0390 0,0662 0,9757 25,00 -1,77 456,5 0,05 0,0490 0,0765 0,9712 25,00 -2,07 456,5 0,06 0,0591 0,0868 0,9665 25,00 -2,38 456,5


170

C 55/67, Fortsetzung µEds ω1 ξ = x/d ζ = z/d εs1 εc2 σs1

[‰] [‰] [N/mm²]0,07 0,0693 0,0972 0,9615 25,00 -2,69 456,5 0,08 0,0797 0,1078 0,9564 25,00 -3,02 456,5 0,09 0,0906 0,1211 0,9508 22,50 -3,10 454,1 0,10 0,1019 0,1354 0,9450 19,80 -3,10 451,6 0,11 0,1133 0,1498 0,9392 17,59 -3,10 449,5 0,12 0,1249 0,1645 0,9332 15,75 -3,10 447,7 0,13 0,1366 0,1794 0,9272 14,18 -3,10 446,2 0,14 0,1485 0,1944 0,9210 12,84 -3,10 444,9 0,15 0,1606 0,2097 0,9148 11,68 -3,10 443,8 0,16 0,1729 0,2253 0,9085 10,66 -3,10 442,9 0,17 0,1854 0,2411 0,9021 9,76 -3,10 442,0 0,18 0,1980 0,2571 0,8956 8,96 -3,10 441,2 0,19 0,2109 0,2734 0,8890 8,24 -3,10 440,6 0,20 0,2240 0,2900 0,8822 7,59 -3,10 439,9 0,21 0,2374 0,3069 0,8754 7,00 -3,10 439,4 0,22 0,2510 0,3241 0,8684 6,47 -3,10 438,9 0,23 0,2648 0,3416 0,8613 5,97 -3,10 438,4 0,22 0,2473 0,3194 0,8703 6,60 -3,10 439,0 0,23 0,2606 0,3363 0,8634 6,12 -3,10 438,5 0,24 0,2743 0,3536 0,8564 5,67 -3,10 438,1

14.5 Tafeln für Biegung mit Druckbewehrung

ys1

ys2

d1

d2

DEd,c

ZEd,s1

+MEd

s1

s2

+NEdx d= d

b

h

c u2

z d =

ZEd,s (s )1 2

DEd,As2

’s2

z d dd d d

s2 2

2

= - = (1 - / )

fcd

s2

mit: 2s yd cdf fσ φ′ = − ⋅ 1 2,175sε = ‰ 1s ydfσ =

Dehnungen in [‰], Spannungen in [N/mm²]

1Eds Ed Ed sM M N y= + ⋅

2Eds

Edscd

Mb d f

µ =⋅ ⋅

1 11 1

cd Edss

s s

f NA b dωσ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ +

2 22

cds

s

fA b dωσ

= ⋅ ⋅ ⋅′

C 12/15 ... C 50/60 d2/d = 0,05 d2/d = 0,10 d2/d = 0,15 d2/d = 0,20 d2/d = 0,25 d2/d = 0,30

εs2 = -3,22 εs2 = -2,93 εs2 = -2,65 εs2 = -2,37 εs2 = -2,08 εs2 = -1,80

φc = 1 φc = 1 φc = 1 φc = 1 φc = 1 φc = 0,990

σs2 = 435,8 σs2 = 435,5 σs2 = 435,2 σs2 = 435,0 σs2 = 416,0 σs2 = 359,3

µEds

ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 0,371 0 0,499 0 0,499 0 0,499 0 0,499 0 0,499 0 0,499 0,38 0,009 0,509 0,010 0,509 0,010 0,510 0,011 0,510 0,012 0,511 0,013 0,512 0,39 0,020 0,519 0,021 0,520 0,022 0,521 0,024 0,523 0,025 0,524 0,027 0,526 0,40 0,030 0,530 0,032 0,531 0,034 0,533 0,036 0,535 0,038 0,538 0,041 0,540 0,41 0,041 0,540 0,043 0,542 0,046 0,545 0,049 0,548 0,052 0,551 0,055 0,555 0,42 0,051 0,551 0,054 0,554 0,057 0,557 0,061 0,560 0,065 0,564 0,070 0,569 0,43 0,062 0,561 0,065 0,565 0,069 0,568 0,074 0,573 0,078 0,578 0,084 0,583 0,44 0,072 0,572 0,076 0,576 0,081 0,580 0,086 0,585 0,092 0,591 0,098 0,598 0,45 0,083 0,582 0,088 0,587 0,093 0,592 0,099 0,598 0,105 0,604 0,113 0,612 0,46 0,093 0,593 0,099 0,598 0,104 0,604 0,111 0,610 0,118 0,618 0,127 0,626

SCHEERER PROSKE

171

C 12/15 ... C 50/60, Fortsetzung d2/d = 0,05 d2/d = 0,10 d2/d = 0,15 d2/d = 0,20 d2/d = 0,25 d2/d = 0,30

εs2 = -3,22 εs2 = -2,93 εs2 = -2,65 εs2 = -2,37 εs2 = -2,08 εs2 = -1,80

φc = 1 φc = 1 φc = 1 φc = 1 φc = 1 φc = 0,990

σs2 = 435,8 σs2 = 435,5 σs2 = 435,2 σs2 = 435,0 σs2 = 416,0 σs2 = 359,3

µEds

ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 0,47 0,104 0,603 0,110 0,609 0,116 0,616 0,124 0,623 0,132 0,631 0,141 0,640 0,48 0,115 0,614 0,121 0,620 0,128 0,627 0,136 0,635 0,145 0,644 0,155 0,655 0,49 0,125 0,624 0,132 0,631 0,140 0,639 0,149 0,648 0,158 0,658 0,170 0,669 0,50 0,136 0,635 0,143 0,642 0,152 0,651 0,161 0,660 0,172 0,671 0,184 0,683 0,51 0,146 0,645 0,154 0,654 0,163 0,663 0,174 0,673 0,185 0,684 0,198 0,698 0,52 0,157 0,656 0,165 0,665 0,175 0,674 0,186 0,685 0,198 0,698 0,213 0,712 0,53 0,167 0,666 0,176 0,676 0,187 0,686 0,199 0,698 0,212 0,711 0,227 0,726 0,54 0,178 0,677 0,188 0,687 0,199 0,698 0,211 0,710 0,225 0,724 0,241 0,740 0,55 0,188 0,687 0,199 0,698 0,210 0,710 0,224 0,723 0,238 0,738 0,255 0,755 0,56 0,199 0,698 0,210 0,709 0,222 0,721 0,236 0,735 0,252 0,751 0,270 0,769 0,57 0,209 0,709 0,221 0,720 0,234 0,733 0,249 0,748 0,265 0,764 0,284 0,783 0,58 0,220 0,719 0,232 0,731 0,246 0,745 0,261 0,760 0,278 0,778 0,298 0,798 0,59 0,230 0,730 0,243 0,742 0,257 0,757 0,274 0,773 0,292 0,791 0,313 0,812 0,60 0,241 0,740 0,254 0,754 0,269 0,768 0,286 0,785 0,305 0,804 0,327 0,826

C 55/67

d2/d = 0,05 d2/d = 0,10 d2/d = 0,15 d2/d = 0,20 d2/d = 0,25 d2/d = 0,30 εs2 = -2,84 εs2 = -2,57 εs2 = -2,31 εs2 = -2,05 εs2 = -1,78 εs2 = -1,52

φc = 1 φc = 1 φc = 1 φc = 1 φc = 0,985 φc = 0,936

σs2 = 435,4 σs2 = 435,2 σs2 = 434,9 σs2 = 408,8 σs2 = 356,1 σs2 = 303,3

µEds

ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 ω1 ω2 0,350 0 0,459 0 0,459 0 0,459 0 0,459 0 0,459 0 0,459 0,38 0,032 0,491 0,034 0,493 0,036 0,495 0,038 0,497 0,040 0,500 0,043 0,503 0,39 0,042 0,502 0,045 0,504 0,047 0,507 0,050 0,510 0,054 0,513 0,057 0,517 0,40 0,053 0,512 0,056 0,515 0,059 0,519 0,063 0,522 0,067 0,526 0,072 0,531 0,41 0,063 0,523 0,067 0,526 0,071 0,530 0,075 0,535 0,080 0,540 0,086 0,545 0,42 0,074 0,533 0,078 0,537 0,083 0,542 0,088 0,547 0,094 0,553 0,100 0,560 0,43 0,084 0,544 0,089 0,549 0,094 0,554 0,100 0,560 0,107 0,566 0,115 0,574 0,44 0,095 0,554 0,100 0,560 0,106 0,566 0,113 0,572 0,120 0,580 0,129 0,588 0,45 0,106 0,565 0,111 0,571 0,118 0,577 0,125 0,585 0,134 0,593 0,143 0,603 0,46 0,116 0,575 0,122 0,582 0,130 0,589 0,138 0,597 0,147 0,606 0,157 0,617 0,47 0,127 0,586 0,134 0,593 0,141 0,601 0,150 0,610 0,160 0,620 0,172 0,631 0,48 0,137 0,596 0,145 0,604 0,153 0,613 0,163 0,622 0,174 0,633 0,186 0,645 0,49 0,148 0,607 0,156 0,615 0,165 0,624 0,175 0,635 0,187 0,646 0,200 0,660 0,50 0,158 0,618 0,167 0,626 0,177 0,636 0,188 0,647 0,200 0,660 0,215 0,674 0,51 0,169 0,628 0,178 0,637 0,189 0,648 0,200 0,660 0,214 0,673 0,229 0,688 0,52 0,179 0,639 0,189 0,649 0,200 0,660 0,213 0,672 0,227 0,686 0,243 0,703 0,53 0,190 0,649 0,200 0,660 0,212 0,671 0,225 0,685 0,240 0,700 0,257 0,717 0,54 0,200 0,660 0,211 0,671 0,224 0,683 0,238 0,697 0,254 0,713 0,272 0,731 0,55 0,211 0,670 0,222 0,682 0,236 0,695 0,250 0,710 0,267 0,726 0,286 0,745 0,56 0,221 0,681 0,234 0,693 0,247 0,707 0,263 0,722 0,280 0,740 0,300 0,760 0,57 0,232 0,691 0,245 0,704 0,259 0,719 0,275 0,735 0,294 0,753 0,315 0,774 0,58 0,242 0,702 0,256 0,715 0,271 0,730 0,288 0,747 0,307 0,766 0,329 0,788 0,59 0,253 0,712 0,267 0,726 0,283 0,742 0,300 0,760 0,320 0,780 0,343 0,803 0,60 0,263 0,723 0,278 0,737 0,294 0,754 0,313 0,772 0,334 0,793 0,357 0,817


172

14.6 Tafeln für die Bemessung von Druckgliedern

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,200,15

0,10

s1,0 = 0

0,05

ys1

ys2

d1

d2

DEd,c

ZEd,s1

+MEd

s1

s2

+NEdx d= d

b

h

c u2

z d =

ZEd,s (s )1 2

DEd,As2

’s2

z d dd d d

s2 2

2

= - = (1 - / )

fcd

s2

Für alle CBSt 500 S

/ = 0,05d h1

MEd

fcd b h⋅ ⋅ ² Ed m, =

NEd

fcd b h⋅ ⋅ Ed,0 =

⋅s s s1,0 2,0 1,0 = = 0,045≤[MN/m²]fcd

[MN/m²]100

| | ⋅ ⋅vs s Ed1,0 2,0 ,0= 0,075≥fcd

fyd

A A = = s s s1 2 1,0 ⋅ ⋅b h[cm²] [cm][cm²] [cm]

= s1,0 750 ⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅b h[MN/m²]fcd

[MN/m²]100

[cm] [cm] [cm²/m²] | |NEd [MN]

fyd

[MN/m²]

= 0,4kc

kc = 0,6

kc = 0,7

k c = 0,8

kc = 0,3

kc = 0,5

Abbildung 107: Symmetrisch bewehrter Rechteckquerschnitt, alle Betone, d1/h = 0,05

SCHEERER PROSKE

173

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,20

0,15

0,10 s

1,0 = 0

0,05

ys1

ys2

d1

d2

DEd,c

ZEd,s1

+MEd

s1

s2

+NEdx d= d

b

h

c u2

z d =

ZEd,s (s )1 2

DEd,As2

’s2

z d dd d d

s2 2

2

= - = (1 - / )

fcd

s2


/ = 0,10d h1

MEd


NEd


⋅s s s1,0 2,0 1,0 = = 0,045≤[MN/m²]fcd

[MN/m²]100

| | ⋅ ⋅vs s Ed1,0 2,0 ,0= 0,075≥fcd

fyd


= s1,0 750 ⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅b h[MN/m²]fcd

[MN/m²]100


fyd

[MN/m²]

kc = 0,6

kc = 0,7k c =

0,8

kc = 0,3kc = 0,4kc = 0,5



174

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,20

0,15

0,10

s1,0 = 0

0,05

ys1

ys2

d1

d2

DEd,c

ZEd,s1

+MEd

s1

s2

+NEdx d= d

b

h

c u2

z d =

ZEd,s (s )1 2

DEd,As2

’s2

z d dd d d

s2 2

2

= - = (1 - / )

fcd

s2

kc = 0,6

k c = 0,7

k c = 0,8

kc = 0,3

kc = 0,4kc = 0,5


/ = 0,15d h1

MEd


NEd


⋅s s s1,0 2,0 1,0 = = 0,045≤[MN/m²]fcd

[MN/m²]100

| | ⋅ ⋅vs s Ed1,0 2,0 ,0= 0,075≥fcd

fyd


= s1,0 750 ⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅b h[MN/m²]fcd

[MN/m²]100


fyd

[MN/m²]


SCHEERER PROSKE

175

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,20

0,15

0,10

s1,

0 = 0

0,05

ys1

ys2

d1

d2

DEd,c

ZEd,s1

+MEd

s1

s2

+NEdx d= d

b

h

c u2

z d =

ZEd,s (s )1 2

DEd,As2

’s2

z d dd d d

s2 2

2

= - = (1 - / )

fcd

s2


/ = 0,25d h1

MEd


NEd


⋅s s s1,0 2,0 1,0 = = 0,045≤[MN/m²]fcd

[MN/m²]100

| | ⋅ ⋅vs s Ed1,0 2,0 ,0= 0,075≥fcd

fyd


= s1,0 750 ⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅b h[MN/m²]fcd

[MN/m²]100


fyd

[MN/m²]

kc = 0,3

kc = 0,4

kc = 0,5

kc = 0,6

k c = 0,7

k c = 0,

8



176

14.7 Tafeln für Betonstahlmatten BSt 500 M (A)

Mattenaufbau in Längsrichtung Querrichtung

Quer-schnitte

Gewicht Länge Breite

Stabab-stände

Innen-bereich

Rand-bereich

Anzahl der Längsrandstäbe

längs quer

je Matte

je m²

m Ran

dein

spar

ung

(Län

gsric

htun

g)

Mat

tenb

e-ze

ichn

ung

mm links rechts cm²/m kg

Q188 A 150 · 6,0 150 · 6,0

1,88 1,88 32,4 3,01

Q257 A 150 · 7,0 150 · 7,0

2,57 2,57 44,1 4,10 5,00

2,15 ohne

Q335 A 150 · 8,0 150 · 8,0

3,35 3,35 57,7 5,37

Q337 A 150 · 6,0 d / 6,0 – 4 / 4 150 · 7,0

3,77 3,85 67,6 5,24

6,00 2,15 mit

Q513 A 150 · 7,0 d / 7,0 – 4 / 4 150 · 8,0

5,13 5,03 90,0 6,98

R188 A 150 · 6,0 250 · 6,0

1,88 1,13 26,2 2,44

R257 A 150 · 7,0 250 · 6,0

2,57 1,13 32,2 3,00 5,00

2,15 ohne

R335 A 150 · 8,0 250 · 6,0

3,35 1,13 39,2 3,65

R337 A 150 · 6,0 d / 6,0 – 2 / 2 250 · 6,0

3,77 1,13 46,1 3,57

6,00 2,15 mit

R513 A 150 · 7,0 d / 7,0 – 2 / 2 250 · 6,0

5,13 1,13 58,6 4,54

Der Gewichtsermittlung der Lagermatten liegen folgende Überstände zugrunde:

Q188 A Q377 A R188 A R377 A

- - - -

Q335 A: Q513 A: R335 A: R513 A:

Überstände längs: 100/100 mm Überstände quer: 25/25 mm Überstände längs: 100/100 mm Überstände quer: 25/25 mm Überstände längs: 125/125 mm Überstände quer: 25/25 mm Überstände längs: 125/125 mm Überstände quer: 25/25 mm

„d“ = Doppelstab in Längsrichtung

Randausbildung der Lagermatten:

Q 377 A, Q513 A

R 377 A, R513 A

Doppelstäbe / Einzelstäbe

Tabelle 43 Liste Lagermatten

SCHEERER PROSKE

177

Aufgabe 1: Beispiel eines einfachen Stahlbetongebäudes

Zerlegen Sie das Gebäude in statische Elemente, die Sie berechnen können.

Mauerwerk3 % 3 %+ 14,00

+ 10,00

+ 6,00

± 0,00

dF

6,5

0

4,0

0

4,00

50

7

2

3535

B B

Längsschnitt A - A

7,90 8,00 7,90

1 2 43

30 7,72 35 7,65 3 305 5 7,72 5

1,30

6,0

0

1

,30

1,12

,65

1,

125

5

35

535

BA

A A

CC

Grundriß B - B

Abbildung 111: Längsschnitt und Grundriß


178

Dachgeschoß(DG oder 2. OG)

1. Obergeschoß(1. OG)

Erdgeschoß(EG)

Fundamente

1,30 6,00 1,30

35 35

50

2

270

BelagEstrichWärmedämmung

WarmdachDetail A

Detail B

Detail C

Pos. 2Decke über 1. OGPos. 2.1 DeckenplattePos. 2.2 Deckenbalken

Pos. 1Decke über DachgeschoßPos. 1.1 DachplattePos. 1.2 Dachbalken

Pos. 4Stützen

Pos. 5Fundamente

Pos. 3Decke über EGPos. 3.1 DeckenplattePos. 3.2 Deckenbalken

BASchnitt C - C

BelagEstrichWärmedämmung

Abbildung 112: Querschnitt

24

50

22

72

15

... 5

1 cm

1

5

+ 14,00 m

Putz

600 130 6 cm

35

Gefälle

Putz

i. M

. 45

cm

Detail A 5 cm Kiesschüttung1 cm Dachabdichtung8 cm Dämmplatten16 cm Porenbetonaufmauerung oder Gefällebeton (Variante: Decken- mit 1 cm Feinausgleich/Dampfsperre

platte Gefälle ausbilden)

Abdeckung

Hafter

Bohle, d > 30 cm

Wärme-dämmung

Keil

Abbildung 113: Detail A

SCHEERER PROSKE

179

Holzrahmen

Mörtelbett

FensterbankNaturstein Alu-Abdeckbank

24

50

22

72

+ 10,00 m

Putz

Putz

Belag (Kunststoffboden)5 cm Fließestrich4 cm Trittschalldämmung2 cm Feinausgleich

Detail B

35

600 130 6 cm

Abbildung 114: Detail B

Holzrahmen

Mörtelbett

FensterbankNaturstein Alu-Abdeckbank

35

17,5

50

22

72

+ 6,00 m

Putz

Putz

Belag (Kunststoffboden)5 cm Fließestrich4 cm Trittschalldämmung2 cm Feinausgleich

Detail C

600 130 6 cm

Abbildung 115: Detail C


180

Aufgabe 2: Übung zur Schnittgrößenermittlung bei statisch bestimmten Tragwerken

Zeichnen Sie die Schnittgrößenbilder ein!

Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3

a

P

la

P

l

q

l

q

l/3

M

V

N


l

q

q

l l

aP

M

V

N

SCHEERER PROSKE

181


l/3

q

ll/3

l l

Pl/5

l/3

l

q

M

V

N


l

q

lH

2a

P

a

P

M

V

N


182

Beispiel 13 Beispiel 14

P

a

PH

M

V

N

SCHEERER PROSKE

183

Aufgabe 3: Ermittlung der charakteristischen Einwirkungen

Gegeben ist der Aufbau einer Decke in einem Bürogebäude und der Aufbau eines Daches. Dafür sollen die charakteristischen Flächenlasten ermittelt werden.

TeppichEstrich5

225

25

3

60

I. Eigengewicht g1 Stahlbetonplatte: 23 kN/m256kN/m 25m 25,0 ,=⋅ 2

1 kN/m 25,6=g II. Ausbaulast g2 Teppich 2kN/m03,0 Estrich 23 kN/m10,1kN/m 22m 05,0 =⋅ Trittschalldämmung 2kN/m02,0 Abgehängte Decke 1) 2kN/m50,0 1) Wählt man Gipskartonplatten mit 3 cm Dicke ergibt sich ein Flächengewicht von 0,11 kN/m²/cm ⋅ 3 cm = 0,33 kN/m². Zusätzlich müssen noch Halterungen etc. dazugerechnet werden. Deshalb wurde pauschal der Wert von 0,50 kN/m² gewählt. 2

2 kN/m 65,1=g III. Verkehrslast q Verkehrslast 2

1 kN/m 00,4=q Angesetzt werden Flächen mit fester Bestuhlung (Kategorie C 2) mit q1 = 4,00 kN/m², da in modernen Bürogebäuden heute immer auch Versammlungsräume vorgesehen werden. Zuschlag für leichte Trennwände 2kN/m 800,q =∆ 2kN/m 804,q =


184

KiesSchaumglas8

3

25

25

3

71

34 Plattenbelag

I. Eigengewicht g1

Stahlbetonplatte: 23 kN/m256kN/m 25m 25,0 ,=⋅ 2

1 kN/m 25,6=g II. Ausbaulast g2

Plattenbelag 23 kN/m96,0kN/m 24m 04,0 =⋅ Kies 23 kN/m60,0kN/m 20m 03,0 =⋅ Nach DIN 1055-3, 4, (2) ist Kies eine veränderliche Last, wird hier aber vereinfacht als ständige Last angesetzt.

Schaumglas 23 kN/m08,0kN/m 1m 08,0 =⋅ Gefälleestrich 23 kN/m66,0kN/m 22m 03,0 =⋅ Abdichtung 2kN/m20,0

Laut DIN 1055-1, Tab. 20, Zeile 7-13 liegen die Werte für Abdichtungen zwischen 2kN/m02,0 und

2kN/m07,0 . da genaue Konstruktionsangaben fehlen, wurde ein pauschaler Wert gewählt.

Abgehängte Decke 2kN/m50,0 2

2 kN/m 00,3=g III: Verkehrslast q q = 0,75 kN/m² IV. Schneeslast s (Schneelastzone Z = 2, Alpine Region, Geländehöhe über NN: 500 m)

( )( ) 22

kN/m90,172350015,02638,033,0 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−⋅+=ks

s = 0,8·1,90 = 1,52 kN/m2

Die maßgebende Schneelast muß nicht mit der Verkehrslast (q = 0,75 kN/m²) überlagert werden, da diese den zeitweiligen Aufenthalt von Personen berücksichtigt und nicht zeitgleich wirken kann.

SCHEERER PROSKE

185

Aufgabe 4: Einwirkungskombination

Ein Stahlbetoneinfeldträger, der ein Dachgeschoß überspannt, besitzt eine Spannweite von 8 m. Bestimmt werden soll das Verhältnis zwischen maßgebendem Bemessungsmoment in der ständigen und vorübergehenden Einwirkungskombination im Grenzzustand der Tragfä-higkeit und der quasi-ständigen Einwirkungskombination im Grenzzustand der Gebrauchs-tauglichkeit.

Es sind verschiedene Einwirkungen möglich: Eigenlast und Ausbaulast, Schneelast, Windlast und Nutzlast. Zur Nutzlast zählt neben einer möglichen Personenlast auch die Last aus Kies, der beim Dachaufbau verwendet wird. Gemäß DIN 1055-3 muß der Kies als veränderliche Last angesetzt werden, da er bei Dachumbauarbeiten nicht in allen Feldern vorhanden sein muß.

8,0 m

gk

∆gk

sk

wk

kk

qk

Aus den Einwirkungen, ermittelt auf Grundlage der entsprechenden Normen, soll das maß-gebende Bemessungsmoment für die ständige und vorübergehende Einwirkungskombination im Grenzzustand der Tragfähigkeit und für die quasi-ständige Einwirkungskombination im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit bestimmt werden.

Zunächst werden die charakteristischen Biegemomente in Feldmitte für jede Einwirkung be-rechnet:

Einwirkung Linienlast 2

8k

kp lM ⋅= Norm

Eigenlast kN3,10 mkg = 24,80 kNm

kgM = DIN 1055-1

Ausbaulast kN0,80 mkg∆ = 6, 40 kNm

kgM ∆ = DIN 1055-1

Schneelast kN1,52 mks = 12,16 kNm

ksM = DIN 1055-5

Windlast kN0,64 mkw = − 5,12 kNm

kwM = − DIN 1055-4

Kies kN1,40 mkk = 11,20 kNm

kkM = DIN 1055-3

Personenlast kN0,75 mkq = 6,00 kNm

kqM = DIN 1055-3

Der Ansatz zur Ermittlung des Bemessungsmomentes für die ständige und vorübergehende Einwirkungskombination lautet:


186

01

iEd G k P k Q k Q ki

M G P Q Qγ γ γ γ ψ>

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅∑ ∑

Um das Bemessungsmoment zu ermitteln, werden die Kombinationsfaktoren und die Teil-sicherheitsbeiwerte der Einwirkungen benötigt: 1. Kombinationsbeiwerte

Kategorie H (Dach) 0 0,0ψ = 2 0,0ψ = Schnee 0 0,5ψ = 2 0,0ψ = Wind 0 0,6ψ = 2 0,0ψ = Kies (Sonstige) 0 1,0ψ = 2 1,0ψ = 2. Teilsicherheitsfaktoren Eigen- und Ausbaulasten 1,35Gγ = Veränderliche Einwirkungen 1,5Qγ = Die allgemeine Formel zur Ermittlung eines Bemessungswertes läßt offen, welche veränder-liche Einwirkung, das sind in diesem Fall Wind, Schnee, Nutzlast und Kieslast, die Leitein-wirkung ist. Deshalb müssen im folgenden die Leiteinwirkungen variiert werden.

Leiteinwirkung Personenlast: 1,35 24,8 kNm 1,35 6,4 kNm 1,5 6 kNm

1,5 (1,0 11,2 kNm 0,6 ( 5,12 kNm) 0 0,5 12,16 kNm)77,04 kNm

Ed

Ed

M

M

= ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

=

Leiteinwirkung Schneelast: 1,35 24,8 kNm 1,35 6,4 kNm 1,5 12,16 kNm

1,5 (1,0 11,2 kNm 0,6 ( 5,12 kNm) 0 0 6,0 kNm)77,16 kNm

Ed

Ed

M

M

= ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

=

Leiteinwirkung Kies: 1,35 24,8 kNm 1,35 6,4 kNm 1,5 11,2 kNm

1,5 (0,5 12,16 kNm 0,6 ( 5,12 kNm) 0 0 6,0 kNm)68,04 kNm

Ed

Ed

M

M

= ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

=

Das größte, also maßgebende, Bemessungsmoment ergibt sich bei der Leiteinwirkung Schnee. Insgesamt liegen aber alle Bemessungsmomente relativ nah beieinander.

Der Ansatz zur Ermittlung des Bemessungsmomentes für die quasi-ständige Einwirkungs-kombination lautet:

2Ed k k kM G P Qψ= + + ⋅∑ ∑

SCHEERER PROSKE

187

In dieser Formulierung existiert keine Leiteinwirkung mehr. Deshalb reicht eine Formel aus:

24,8 kNm 6,4 kNm 1,0 11,2 kNm 0,0 ( 5,12 kNm) 0 0,0 12,16 kNm 0,0 6,0 kNm

42,4 kNm

Ed

Ed

M

M

= ++ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

=

Das Verhältnis von 42,4 kNm /77,16 kNm entspricht 55 %.


188

Aufgabe 5: Auswahl von Expositionsklassen

Für die verschiedenen Oberflächenausbildungen direkt befahrener Parkdecks von Parkhäusern sind die Expositionsklassen zu wählen. Die folgende Tabelle zeigt die Lösungen dafür.

SCHEERER PROSKE

189

Aufgabe 6: Ermittlung der erforderlichen Biegebewehrung

Für einen Kragplatte soll die Biegezugbewehrung ermittelt werden. Der Kragarm besitzt eine Länge von 1,9 m und eine Dicke von 0,26 m. Am Kragarm wirkt eine Nutzlast als Linienlast in Querrichtung von 40 kN/m. Die Breite des Kragarmes beträgt 1 m.

1,9 m

0,2

C 20/25

f = 40 kN/m

1,0 m

F = f b

Das Stützmoment an der Einspannung infolge Linienlast beträgt:

1,9 m 0,04 MN 0,076 MNmQM F l= ⋅ = ⋅ = .

Das Stützmoment infolge Eigengewicht des Kragarms ergibt sich zu:

3 1,90 m0,26 m 1 m 25 kN/m 1,90 m 11,7 kNm 0,0117 MNm2 2GlM d b lγ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = .

Für die Biegebemessung wird das Moment unter ständiger und vorübergehender Einwir-kungskombination benötigt. Dafür ergibt sich:

1,35 0,0117 MNm/m 1,5 0,076 MNm/m 0,129 MNm/mEd G G Q QM M Mγ γ= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = .

Weiterhin gilt:

Betonsorte C 20/25 Baustahl BSt 500 Betondeckung 3 cm Bügeldurchmesser ∅ 1 cm Stabdurchmesser ∅ 2 cm

Statische Nutzhöhe: 226 3 1 21 cm2

d = − − − =

Für das bezogene Moment erhält man:

22

0,129 MNm 0,258201 0,21 m³ 0,85 MN/m²1,5

EdsEds

ck

Mfb d

µα

γ

= = =⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

Aus den Bemessungstabellen erhält man in Abhängigkeit vom bezogenen Moment folgende Werte:

C 12/15 ... C 50/60 µEds ω1 ξ = x/d ζ = z/d εs1 εc2 σs1

[‰] [‰] [N/mm²]0,25 0,2921 0,3639 0,8486 6,12 -3,50 438,5 0,26 0,3067 0,3818 0,8412 5,67 -3,50 438,1


190

Damit ergibt sich für die Bewehrung: 2 2

1 11 1

20 MPa m cm0,3038 0,21 m 1,0 m 0,85 0,00166 16,6 1,5 434,8 MPa m m

cd Edss

s s

f Na b dωσ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =⋅

Gemäß folgender Tabelle kann man 16,6 cm2/m durch 6 ∅ 20 mm (18,85 cm2) realisieren.

Durchmesser in mm

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 28 32 40

1 0,28 0,50 0,79 1,13 1,54 2,01 2,54 3,14 3,80 4,52 6,16 8,04 12,57

2 0,57 1,01 1,57 2,26 3,08 4,02 5,09 6,28 7,60 9,05 12,32 16,08 25,13

3 0,85 1,51 2,36 3,39 4,62 6,03 7,63 9,42 11,40 13,57 18,47 24,13 37,70

4 1,13 2,01 3,14 4,52 6,16 8,04 10,18 12,57 15,21 18,10 24,63 32,17 50,27

5 1,41 2,51 3,93 5,65 7,70 10,05 12,72 15,71 19,01 22,62 30,79 40,21 62,83

6 1,70 3,02 4,71 6,79 9,24 12,06 15,27 18,85 22,81 27,14 36,95 48,25 75,40

7 1,98 3,52 5,50 7,92 10,78 14,07 17,81 21,99 26,61 31,67 43,10 56,30 87,96

8 2,26 4,02 6,28 9,05 12,32 16,08 20,36 25,13 30,41 36,19 49,26 64,34 100,53

9 2,54 4,52 7,07 10,18 13,85 18,10 22,90 28,27 34,21 40,72 55,42 72,38 113,10

10 2,83 5,03 7,85 11,31 15,39 20,11 25,45 31,42 38,01 45,24 61,58 80,42 125,66

11 3,11 5,53 8,64 12,44 16,93 22,12 27,99 34,56 41,81 49,76 67,73 88,47 138,23

12 3,39 6,03 9,42 13,57 18,47 24,13 30,54 37,70 45,62 54,29 73,89 96,51 150,80

13 3,68 6,53 10,21 14,70 20,01 26,14 33,08 40,84 49,42 58,81 80,05 104,55 163,36

14 3,96 7,04 11,00 15,83 21,55 28,15 35,63 43,98 53,22 63,33 86,21 112,59 175,93

15 4,24 7,54 11,78 16,96 23,09 30,16 38,17 47,12 57,02 67,86 92,36 120,64 188,50

16 4,52 8,04 12,57 18,10 24,63 32,17 40,72 50,27 60,82 72,38 98,52 128,68 201,06

17 4,81 8,55 13,35 19,23 26,17 34,18 43,26 53,41 64,62 76,91 104,68 136,72 213,63

18 5,09 9,05 14,14 20,36 27,71 36,19 45,80 56,55 68,42 81,43 110,84 144,76 226,19

19 5,37 9,55 14,92 21,49 29,25 38,20 48,35 59,69 72,23 85,95 116,99 152,81 238,76

Anz

ahl S

täbe

20 5,65 10,05 15,71 22,62 30,79 40,21 50,89 62,83 76,03 90,48 123,15 160,85 251,33

SCHEERER PROSKE

191

Aufgabe 7: Bestimmung der mitwirkenden Plattenbreite

Für einen Plattenbalken sei die mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte zu ermitteln. In der fol-genden Abbildung ist das Bauteil dargestellt.

0,5 m 1,1 m0,3

6,0 m

0,2

0,7

m

Für die Ermittlung der mitwirkenden Plattenbreite ist vorab die wirksame Stützweite l0 zu bestimmen. Bei einem Einfeldträger gilt

1,0 1,0 6,0 6,0 m= ⋅ = ⋅ =0 eff,1l l

Die mitwirkende Plattenbreite für einen zweiseitigen Plattenbalken kann folgendermaßen bestimmt werden:

∑ += wieffeff bbb ,

Dabei ist:

⎩⎨⎧

≤⋅≤

⋅+⋅=i

00iieff b

llbb

2,01,02,0,

Man erhält:

,

!

!

0,5 m0,2 0,1 6,0 m 0,65 m2

0, 2 6,0 m 1,20 m

0,5 m 0,50 m

= ⋅ + ⋅ =

≤ ⋅ =

≤ =

eff 1b

,

!

!

1,1 m0,2 0,1 6,0 m 0,71 m2

0, 2 6,0 m 1,20 m

1,1 m 1,10 m

eff 2b = ⋅ + ⋅ =

≤ ⋅ =

≤ =

.

Die jeweils kleinsten Werte sind maßgebend. Man erhält für die mitwirkende Breite:

( ), 0,50 0,71 0,30 1,51 meff eff i wb b b= + = + + =∑ .


192

Aufgabe 8: Bestimmung der zulässigen Einwirkung bei gegebener Biegebewehrung

Auf Grund der Umnutzung eines Gebäudes soll die Tragfähigkeit eines vorhandenen Stahl-betonbalkens neu bestimmt werden. Bekannt sind die Stahllängsbewehrung im Feld und die Betonfestigkeitsklasse. Alle erforderlichen Angaben können der nachfolgenden Skizze ent-nommen werden. Es wird davon ausgegangen, daß die Regelungen der DIN 1045-1 für die Expositionsklassen und die Betondeckung eingehalten wurden.

6,80 m

qk

g g+D

Statisches System Querschnitt (A-A)

0,24

Ø8 0,50

2 Ø20

5 Ø16A

A

Bei den Baustoffen handelt es sich um:

Betonstahl BST 500 S (A) mit

2500 434,8 N/mm1,15

ykyd

S

ff

γ= = =

und mit 5 ∅ 16 um As1 = 10,05 cm2.

Beton C 30/37 mit

2300,85 17 N/mm1,5

ckcd

c

ff αγ

= ⋅ = ⋅ =

Das Eigengewicht des Stahlbetonbauteils ist mit γ = 25 kN/m3 zu ermitteln. Die Ausbaulast beträgt 12,5 kN/m. Die maximale Nutzlast ist zu ermitteln. Es handelt sich um ein Innenbau-teil. Für die Eigen- und Ausbaulast soll ein Teilsicherheitsfaktor von 1,35 und für die ver-änderliche Einwirkung ein Teilsicherheitsfaktor von 1,5 gelten.

Zunächst ist die statische Nutzhöhe zu ermitteln. Dazu sind die Expositionsklassen zu bestim-men.

1. Expositionsklasse für Bewehrungskorrosion: XC 1 mit Mindestfestigkeitsklasse C 16/20

Vorhanden: XC 1 und C30/37

2. Ermittlung der erforderlichen Betondeckung

Infolge XC 1 gilt :

min 10 mm10 mm

cc

=∆ =

10 10 20 mmnomc = + =

SCHEERER PROSKE

193

Infolge Verbund:

Längsstab

min , 16 mmS Lc d= = 10 mmc∆ = 16 10 26 mmnomc = + =

Bügel

min 10 mmc = 10 mmc∆ = 10 10 20 mmnomc = + =

Verlegemaße für die Bewehrung

, 28 mmv lc = , 20 mmv Büc =

Bügel sind maßgebend!

3. Ermittlung der statischen Nutzhöhe:

,, 2

S Lv Bü Bü

dd h c d= − − −

1, 250 2,0 0,8 46,6 cm2

d = − − − =

4. Im folgenden Schritt wird das maximal aufnehmbare Bemessungsmoment in Feldmitte ermittelt.

Gegeben ist die Gleichung für die erforderliche Biegebewehrung:

cds

yd

b d fAf

ω ⋅ ⋅ ⋅=

Diese wird umgeformt:

410,05 10 434,8 0,2298

0,24 0,466 17s yd

cd

A fb d f

ω−⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Aus der Bemessungstafel erhält man damit das zugehörige bezogene Moment

0, 20Edsµ ≅ Die Gleichung für das bezogene Moment kann man ebenfalls umformen:

2Eds

Edscd

Mb d f

µ =⋅ ⋅

2 20, 20 0,24 0,466 17 0,177 MNmEds Eds cdM b d fµ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

5. Im letzten Schritt kann der maximale Anteil der Nutzlast ausgerechnet werden.

5.1 Zusammenstellung der Einwirkungen

Eigengewicht des Balkens γ= ⋅ ⋅G b h

kN25 0,24 0,50 3 m

= ⋅ ⋅ =G

Ausbaulast kN12,5 m

g∆ =

Nutzlast ?q =


194

5.2 Charakteristische Momente

2 2

,

2 2

,

2 22

,

3 6,8 17,34 kNm = 0,01734 MNm8 8

12,5 6,8 72,25 kNm = 0,07225 MNm8 8

6,8 5,78 m8 8

g k

g k

q k

g lM

g lM

q l qM q

∆

⋅ ⋅= = =

∆ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅= = = ⋅

5.3 Bemessungsmoment

, , ,

2

( )

1,35 (17,34 72, 25) 1,5 (5,78 )

120,95 kNm 8,67 m

Ed G g k g k Q q k

Ed

Ed

M M M M

M q

M q

γ γ∆= ⋅ + + ⋅

= ⋅ + + ⋅ ⋅

= + ⋅

5.4 Berechnung von q

1Eds Ed Ed sM M N z= − ⋅

0EdN =

0,177 MNmEds EdM M= =

0,177 0,1201 8,67 q= + ⋅

3 MN kN6,56 10 = 6,56 m m

q −= ⋅

SCHEERER PROSKE

195

Aufgabe 9: Querkraftbemessung (Nachweis der Druckstrebe am Auflager)

Gegeben ist ein Wasserbehälter aus Stahlbeton. Es ist zu prüfen, ob eine Querkraftbewehrung erforderlich ist. Anschließend soll die maximal mögliche Querkrafttragfähigkeit unter der An-nahme, daß Querkraftbewehrung eingelegt werden kann, berechnet werden.

2,8 m

1,5

m1,

5 m

1,5 m1,5 m

0,2

m

0,6

mp

p

A B C

A

A

Für die Ermittlung der Belastung durch den Wasserdruck wird die Wand als Zweifeldträger betrachtet. Für die Berechnung der Schnittgrößen ist ein Auszug aus einer Tabelle für Durch-laufträger wiedergegeben. Das Bauteil darf als Platte betrachtet werden.

Kraft = Tafelwert · pA · l

Lastfall Kraft-größen

l l

p

A B C

A p = 0C

A 0,35

Vbl -0,40 Vbr 0,23

1

lA B C

2

l C -0,02


196

Material Behälter: C 20/25; BSt 500 S(A) Lasten: Wasserfüllung Infolge Eigenlast entsteht eine Normalkraft im Zweifeldträger: am Lager B (Trägermitte): NEd = 8,0 kN/m am Lager A (Behälterfußpunkt): NEd = 16,0 kN/m. Anzurechnende Längsbewehrung: 8 ∅ 12 mm pro Meter Die statische Nutzhöhe darf mit 0,95 d h≈ angenommen werden. Stützweite l = 1,5 m

Teilsicherheitsbeiwerte: 1,5cγ = 1,15sγ = 1,5Qγ = 1,35Gγ =

Baustoffe: 2500 434,8 N/mm1,15

ykyd

s

ff

γ= = =

2200,85 11,3 N/mm1,5

ckcd

c

ff αγ

= ⋅ = ⋅ =

Querschnitte: 29,05 cmslA =

1 mwb = , 0, 20 mh =

0,95 0,20 0,19 md = ⋅ =

Wichte Wasser: 3

kN10 mwγ =

Berechnung von pA 2

kN10 3 30 m

γ= ⋅ = ⋅ =A wp h

Berechnung von VBl,d kN0, 4 0, 4 30 1,5 18 mBl AV P l= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −

,kN1,5 ( 18) 27 mBl d Q BlV Vγ= ⋅ = ⋅ − = −

Berechnung von Vd im Abstand von d

kN0,35 0,35 30 1,5 15,75 mAA P l= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

kN1,5 15,75 23,63 md QA Aγ= ⋅ = ⋅ =

Die Berechnung von Vd erfolgte mittels Strahlensatz 20,6 kNdV =

Zuerst wird geprüft, ob eine Querkraftbewehrung erforderlich wird, d.h. ,d Rd ctV V≤ 1/3

, (0,1 (100 ) 0,12 )Rd ct l l ck cd wV f b dη κ ρ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

mit 1,0lη = für Normalbeton

200 2001 1 1,07 2190d

κ = + = + = ≤ Einfluß der Bauteilhöhe

SCHEERER PROSKE

197

4

39,05 10 4,76 10 0,021 0,19

sll

w

Ab d

ρ−

−⋅= = = ⋅ ≤⋅ ⋅

Längsbewehrungsgrad

2

N20 mmckf =

,2

8 kN40 1 0, 2 m

Ed Bcd

c

NA

σ = = =⋅

3 1/3, (0,1 1,0 1,07 (100 4,76 10 20) 0,12 0,04) 1 0,19 0,04217 MN 42, 2 kNRd ctV −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = =

Nachweis

,20,6 kN 42,2 kNd Rd ctV V= < = Es ist keine Querkraftbewehrung erforderlich.

Im zweiten Schritt soll geprüft werden, wie hoch die maximale Querkrafttragfähigkeit ist. Für die maximale Querkrafttragfähigkeit ist in der Regel das Versagen der Betondruckstrebe am Auflager verantwortlich.

( )

)cot1(cotcot2max, ϑ

αϑα+

+⋅⋅⋅⋅= zbfV wcdcRd

mit 75,00,175,075,0 =⋅=⋅= lc ηα

171,019,09,09,0 =⋅=⋅= dz 2,1cot =ϑ Biegung mit Längsdruck 0cot =α senkrechte Bügel (Annahme)

,max 2

1, 20,75 11,33 1 0,171 0,715 MN 715 kN1 1,2RdV = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

+


198

Aufgabe 11: Rißbreitennachweis I

Für eine Brücke soll der Rißbreitennachweis infolge Last geführt werden. Die Brücke ist in den folgenden Abbildungen dargestellt, wobei die oberen Bilder Ansicht und Schnitt zeigen und die unteren beiden Bilder das FE-Modell.

2003001000

2975450450

5002975 300010350

500625

350 600 150

200150

150

FahrbahnplatteLängsträger Querträger

Bogen bzw. Bodenplatte

Der Nachweis der Rißbreite ist ein Nachweis im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit. In diesem Grenzzustand kennt die DIN 1045-1 bzw. der DIN-Fachbericht verschiedene Einwir-kungskombinationen. Diese sind:

Seltene Einwirkungskombination:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⊕⊕⊕= ∑ ∑≥ >1 1

,,01,,,j i

ikikkjkrared QQPGEE ψ

Nicht-häufige Einwirkungskombination

, , 1,1 ,1 1, ,1 1

d non frequ k j k k i k ij i

E E G P Q Qψ ψ−≥ >

⎧ ⎫= ⊕ ⊕ ⋅ ⊕ ⋅⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑

Häufige Einwirkungskombination:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⊕⋅⊕⊕= ∑ ∑≥ >1 1

,,21,1,1,,j i

ikikkjkfrequd QQPGEE ψψ

Quasi-ständige Einwirkungskombination:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⊕⊕= ∑ ∑≥ >1 1

,,2,,j i

ikikjkpermd QPGEE ψ

SCHEERER PROSKE

199

Für die Durchführung des Rißbreitennachweis ist zunächst die maßgebende Einwirkungs-kombination in Abhängigkeit von der Anforderungsklasse zu wählen. Da es sich um ein Stahl-betonbauwerk handelt, wird die Anforderungsklasse E gewählt. Anforderungs-klasse

Dekom-pression

Rißbreiten-begrenzung

Rechenwert der Rißbreite wk in mm

A selten - B häufig selten C quasi-ständig D

häufig 0,2

E -

quasi-ständig 0,3 Damit ist die quasi-ständige Einwirkungskombinationen für die Ermittlung der maßgebenden Schnittgröße zu verwenden. Die Stahlspannung unter dieser Einwirkungskombination wird mit dem Programm INCA2 berechnet (siehe Bild).

Für die maximale Stahlspannung der maßgebenden Bewehrungseisen ∅ 14 mm erhält man:

, , 240 MPas permσ ∞ = Die zulässige Stahlspannung für den ∅ 14 mm erhält man aus folgender Tabelle, wobei eine Neuberechnung des Grenzdurchmessers im vorliegenden Fall nicht notwendig wird.

Grenzdurchmesser ds* der Stäbe in [mm] in

Abhängigkeit vom Rechenwert der Rißbreite wk Stahlspannung σs in MPa

wk = 0,4 mm wk = 0,3 mm wk = 0,2 mm 160 56 42 28 200 36 28 18 240 25 19 13 280 18 14 9 320 14 11 7 360 11 8 6 400 9 7 5 450 7 5 4

Damit ist der Nachweis erbracht, denn es gilt , , , ,vorh 240 MPa zul 280 MPas perm s permσ σ∞ ∞= < = .


200

Aufgabe 12: Rißbreitennachweis II

Für eine Brücke ist der Nachweis der Rißbreite im frühen Betonalter zu führen. Der Nachweis soll erbracht werden, in dem gezeigt wird, daß die vorhandenen Betonspannungen infolge Temperaturbelastung, Kriechen und Schwinden unter Berücksichtigung des zeitlich veränder-lichen E-Moduls unterhalb der zulässigen Betonspannungen liegen. Die Ermittlung der vor-handenen Zugspannungen erfolgt mit einem FE-Programm. Die folgende Abbildung zeigt für den halben Brückenquerschnitt die Temperatur, die Temperatur-, die Kriech- und die Schwind-dehnungen und die Spannung in x-Richtung.

Spannung in x-Richtung in N/m^2

MN

MX

X

Y

Z

-.150E+07-.120E+07-892643-587466-28229022887328063633240938417.124E+07

Temperatur in °C

MN

MX

X

Y

Z

14.24217.63321.02424.41527.80631.19734.58837.97941.3744.761

Temperaturdehnungen

MN

MX

X

Y

Z

.168E-03

.205E-03

.242E-03

.278E-03

.315E-03

.352E-03

.388E-03

.425E-03

.462E-03

.498E-03

Kriechdehnungen

MN

MX

X

Y

Z

-.125E-04-.819E-05-.387E-05.451E-06.477E-05.910E-05.134E-04.177E-04.221E-04.264E-04

Schwinddehnungen

MNMX

X

Y

Z

-.290E-03-.259E-03-.227E-03-.195E-03-.163E-03-.132E-03-.998E-04-.680E-04-.363E-04-.450E-05

Beachte: E-Modul im Querschnitt unterschiedlich!

Die zulässige Zugspannung des Betons soll nach 70 Stunden 2,1 MPa betragen. Damit erhält man für den Nachweis:

, ,vorh 1,5 MPa zul 2,1 MPac t c tf f= < = .

SCHEERER PROSKE

201

Aufgabe 13: Zugkraftdeckungslinie

Ein Balken wurde für eine konstante Linienlast bemessen. Das maximale Moment von 214 kNm erfordert eine Biegezugbewehrung von 4 ∅ 20. 2 Stäbe werden außerhalb des End-auflagers verankert → POS 2 (siehe Skizze).

ABalken

20 10 10 20

C 30/37BSt 500 S

POS 1 2 20∅

POS 2 2 20∅

B

Weiterhin sind gegeben: Statische Höhe: d = 50 cm Bezogener innerer Hebelarm: z/d = 0,839 Maximal aufzunehmende Stahlzugkraft: max Z = max MEd / z = 511,0 kN Querkraft am Endauflagerrand: VEd = 119,0 kN

Zunächst sind die notwendigen Angaben für die Darstellung der Zugkraftdeckungslinie zu er-mitteln. Anschließend soll die notwendige Stablänge für POS 2 grafisch bestimmt und die Ver-ankerungslänge berechnet werden, um abschließend die Gesamtlänge des Stabes POS 2 an-geben zu können. Abschließend ist die Verankerung am Endauflager für POS 1 nachzuweisen.

Beton C30/37

2200,85 11,3 N/mm1,5

ckcd

c

ff αγ

= ⋅ = ⋅ =

BSt 500 S (A) 4 ∅ 12 mm

2500 434,8 N/mm1,15

ykyd

s

ff

γ= = =

Zuerst werden im folgenden Diagramm die Momenten- und die Zugkraftlinie eingezeichnet. Danach wird die um a1 versetzte Zugkraftlinie eingetragen.

1 (cot cot ) 02za ϑ α= − ≥ Versatzmaß

0,839 0,839 0,5 0,42 mz d= ⋅ = ⋅ = cot 1,2ϑ =

10, 42 1,2 0,252 m

2a = ⋅ =

Für die zeichnerische Darstellung der Zugkraftdeckungslinie wird die Kraft pro Stab benötig.


202

23,14 cmSA = pro Stab

41 434,8 3,14 10 0,1365 MN 136,5 kNs yd sZ f A −= ⋅ = ⋅ ⋅ = = Zugkraft pro Stab

2 273 kNsZ =

3 409,5 kNsZ =

4 546 kNsZ =

Diese Werte können in das folgende Diagramm eingezeichnet werden.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5

Trägerlänge in m

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Zugkraftlinie

Momentenlinie

um versetztea Zugkraftlinie

l

M/z

-Lin

ie in

kN

Bie

gem

omen

t in

kNm

Zugkraft-deckungs-linie

l

Die Grundlänge des Stabes kann nun aus der Zeichnung ausgemessen werden:

Grundlänge 6,15 0,85 5,3 ml = − = Werte aus der Darstellung

Grundmaß der Verankerungslänge bd

ydsb f

fdl ⋅=4

2

N3,0 mmbdf =

20 434,8 724,7 mm 72,5 cm4 3,0bl = ⋅ = ≈

Erforderliche Verankerungslänge min,,

,, bb

vorhs

erfsanetb ll

AA

l ≥⋅⋅= α

0,1=aα

42

,

, =vorhs

erfs

AA

SCHEERER PROSKE

203

,21,0 72,5 36,25 cm4b netl = ⋅ ⋅ =

Mindestverankerungslänge sbb dll ⋅≥⋅= 103,0min,

,min 0,3 72,5 21,75 cm 20 cmbl = ⋅ = ≥

Die Gesamtlänge ergibt sich zu: ,2 5,3 2 0,3625 6,03 mgesamt b netl l l= + ⋅ = + ⋅ =

Die Verankungslänge am Endauflager für Pos 1 wird wie folgt berechnet:

Zu verankernde Zugkraft: 1

2Ed

sd EdVaF V

z= ⋅ ≥

0, 252119 71,4 kN0,42sdF = ⋅ =

Verankerungslänge . ,minerf

vorh α= ⋅ ⋅ ≥s

b net a b bs

Al l lA

erf 71,4 kNvorh 273, 2 kN

=s

s

AA

hier als Verhältnis der Kräfte

,71,41,0 72,5 18,95 cm

273,2b netl = ⋅ ⋅ =

sbb dll ⋅≥⋅= 103,0min,

,min 0,3 72,5 21,75 cm 20 cmbl = ⋅ = ≥

, ,min18,95 cm 21,75 cmb net bl l= < = ist maßgebend!

, ,min 21,75 cmb net bl l= =

, ,2 2 21,75 14,5 cm3 3

6 6 2 12 cm

b dir b net

s

l l

d

≥ ⋅ = ⋅ =

≥ ⋅ = ⋅ =


204

Aufgabe 14: Bemessung einer Innenstütze

Die unten dargestellte Innenstütze eines durch Wände ausreichend ausgesteiften Gebäudes mit einem regelmäßigen Rahmensystem wird durch eine Bemessungsnormalkraft NEd=2450 kN belastet. Das Eigengewicht der Stütze darf vernachlässigt werden. Die Stütze besitzt eine Breite von 50 cm, eine Dicke von 30 cm und eine statische Höhe von 6,00 m. Die Beton-deckung beträgt 2,5 cm. Es sollen ein Beton C 35/45 und ein Baustahl BSt 500 S (A) verwendet werden. Welches Bemessungsmoment ergibt sich für die Stütze bei Verwendung des Modell-stützenverfahrens? Wie hoch ist die erforderliche Bewehrung für dieses Bemessungsmoment.

0,62

m

0,50 m

N = 2450 kN N

AA

0,30 m

N

N

Schnitt A-A:

0,30

m

5,38

m

s = 6

,00

m

30 MPackf =

500 MPaykf =

Auf Grund der Tatsache, daß es sich um einen Innenstütze in einem ausgesteiften Gebäude mit regelmäßigem Rahmensystem handelt, darf die Stütze als oben und unten gelenkig gela-gert angenommen werden. Damit ergibt sich eine Knicklänge von 6,0 m.

SCHEERER PROSKE

205

Die maßgebende Schlankheit ergibt sich für den Stützenrechteckquerschnitt zu:

0λ = li

0 1 6 m 6 mβ= ⋅ = ⋅ =coll l (Ersatzlänge)

33 4

2

3

0,5 0,3 1,125 10 m12

0,5 0,3 0,15 m

1,125 10 0,0867 m0,15

IiA

I

A

i

−

−

=

⋅= = ⋅

= ⋅ =

⋅= =

6 69,20,0867

λ = = .

Die Breite beträgt 0,5 m. Da die Breite bei der Berechnung des Trägheitsmomentes unter dem Bruchstrich steht, ergibt sich bei einer größeren Breite eine geringere Schlankheit. Die ge-ringere Schlankheit wird hier nicht weiter untersucht.

Die maßgebende bezogene Normalkraft ergibt sich zu:

=⋅ ⋅

EdEd

cd

Nvb h f

350,85 19,83 MPa1,5

ckcd

c

ff αγ

= ⋅ = ⋅ = Bemessungswert der Betondruckspannung

2, 45 0,8240,3 0,5 19,83Edν −= =

⋅ ⋅

Eine Untersuchung nach Theorie II. Ordnung kann entfallen, wenn in Abhängigkeit von der bezogenen Normalkraft gilt:

max 25λ ≤ 0,41Edv ≥

max16

Edvλ ≤ 0,41Edv <

Im vorliegenden Fall gilt max 25λ ≤ . Dieser Wert wird überschritten. Einzelstützen in ausge-steiften Systemen dürfen auch dann ohne Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung bemes-sen werden, wenn gilt:

01

02

25 2 ee

λ ⎛ ⎞≤ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Bei gelenkigem Anschluß gilt 25 2 50λ ≤ ⋅ = . Auch dieses Kriterium wird nicht erfüllt:

69,2 50λ = > .

Damit müssen Momente aus Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden. Das Bemessungs-moment ergibt sich gemäß Modellstützenverfahren aus:


206

Ed Ed totM N e= ⋅

0 2tot ae e e e= + + Summe aller Außermittigkeiten

Die Außermitten werden im folgenden ermittelt:

1. Lastausmitten sind auf Grund der Annahme gelenkiger Anschlüsse nicht vorhanden.

0 0Ed

Ed

MeN

= =

2. Ausmitten aus Imperfektionen

0

2α= ⋅a al

le

31

1 1 4,082 10100 100 6a

collα −= = = ⋅

⋅ ⋅ 1/ 200≤

3 64,082 10 0,012 m2ae −= ⋅ ⋅ =

3. Ausmitte aus Theorie II. Ordnung

22 1 0

10,1= ⋅ ⋅ ⋅e K lr

1 1 für 35K λ= >

2210,9

ydKr d

ε⋅ ⋅=

⋅ Stabkrümmung am maßgebenden Querschnitt

ydyd

S

fE

ε = Bemessungswert der Stahldehnung an der Streckgrenze

500 434,7 MPa1,15

ykyd

s

ff

γ= = =

200.000 MPaSE =

3434,7 2,174 10200000ydε −= = ⋅

0,0120,3 0,025 0,008 0,261 m2

d = − − − =

2 1,0ud Ed

ud bal

N NKN N

−= ≤−

( )ud cd c yd sN f A f A= − ⋅ + ⋅ Längskrafttragfähigkeit für MEd = 0

2

4 2

0,15 m

4,52 10 mc

s

A A

A −

≅ =

= ⋅

4(19,83 0,15 434,7 4,52 10 ) 3,17 MNudN −= − ⋅ + ⋅ ⋅ = −

SCHEERER PROSKE

207

0,5bal c cdN A f≈ − ⋅ ⋅ Längskrafttragfähigkeit für MEd = Mmax

0,5 0,15 19,83 1,49 MNbalN = − ⋅ ⋅ = −

23,17 ( 2,45) 0,43 13,17 ( 1,49)

K − − −= = ≤− − −

3

31 2 0, 43 2,174 10 7,96 100,9 0, 261r

−−⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

⋅

2 32 1 0,1 6 7,96 10 0,029 me −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

4. Summe aller Außermittigkeiten

0 0,012 0,029 0,041 mtote = + + =

Das Bemessungsmoment beträgt dann:

2, 45 0,041 0,1 MNmEd Ed totM N e= ⋅ = − ⋅ = −

Für die Verwendung der Bemessungstafeln wird das bezogene Moment gebraucht.

2 2

0,1 0,1120,5 0,3 19,83

EdEd

cd

Mb h f

µ = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Für das Ablesen von totω aus den Bemessungstafeln wird das Verhältnis d1/h benötigt.

1 2,5 0,8 0,6 3,9 cmd = + + =

1 3,9 0,1330

dh

= =

Aus der Bemessungstafel (Anhang 14.6) ergibt sich:

0, 2totω =

und damit:

3 2 2,

0,5 0,3 19,830, 2 1,37 10 m 13,7 cm434,8

cds tot tot

yd

b h fAf

ω −⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Es werden je Seite 8 ∅ 16 gewählt.


208

Documents

3000155236