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Álgebra-Trigonometría y Geometría Analítica

Secciones Cónicas, Sumatorias y Productorias

Integrantes:

Yanncy ilena !ern"nde#

$iana !ernanda eneses

$eisy agaly Pulic%e

Andrea arcela Idrobo

&enner Sinisterra

Código Gru'o: ()*()*+()(

Tutor:

uis !ernando s'ino#a

.ni/ersidad 0acional Abierta y A $istancia .nad

scuela Ciencias 1"sicas, Tecnología e Ingeniería2

Po'ay"n

3)*4

*

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INTRODUCCIÓN

Se denomina sección cónica 5o sim'lemente cónica6 a todas las cur/as resultantes delas di7erentes intersecciones entre un cono y un 'lano8 si dic%o 'lano no 'asa 'or el/9rtice, se obtienen las cónicas 'ro'iamente dic%as2 Se clasi7ican en cuatro ti'os: eli'se,'ar"bola, %i'9rbola y circun7erencia2 5Sección Cónica, n2d262

a sumatoria es auella ue cuando la una suma de t9rminos sigue una ley general de7ormación, esto es, cuando los sumandos se suceden regularmente en el sentido de uesi se conoce un t9rmino se conoce el siguiente , mediante esta ley de 7ormación, elresultado se re'resenta de manera sim'li7icada mediante la notación sumatoria2

l 'roductorio o 'roductoria, tambi9n conocido como multi'licatoria o sim'lemente'roducto 5'or denotarse como una letra 'i may;scula6, es una notación matem"tica ue

re'resenta una multi'licación de una cantidad arbitraria 57inita o in7inita62n el desarrollo de la siguiente acti/idad, a'licamos mediante la solución de los e

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Milena Fernández

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

1.) Demo!rar "#e$ 4 x2+9 y2+24 x+36 y+36=0 e la e%#a%i&n de #na eli'e

de!ermine$

a2 Centro

b2 !ocos

c2 =9rtices

Sol#%i&n$

as cuaciones 'ara ue cum'lan con ecuación de li'se, debe cum'lir con los

siguientes as'ectos ,ue: x2 y y

2

tengan coe7icientes del mismo signo, y ue

num9ricamente sean di7erentes2

4 x2+9 y 2+24 x+36 y+36=0

4 x2+9 y 2+24 x+36 y=−36

Agru'amos t9rminios seme

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4 ( x+3 )2+9 ( y+2 )2=36

Con/ertir 36 en 1

4 ( x+3 )2

36 +9 ( y+2 )2

36 =36

36

4 ( x+3 )2

36+9 ( y+2 )2

36=36

36

elipse horizontal porque su denominador es1

( x+3 )2

9+

( y+2 )2

4=1¿

Modelo de #na E%#a%i&n Eli'e$

( x−h)2

a2 +

( y−k )2

b2

( x−h)2

9+( y−k )2

4=1

a2=9=3

b2=4=2

h=−3

k =−2

c=(h , k )

c=(−3,−2) Centro

c=√ a2−b2

c=√ 9−4

>

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c=√ 5

c=2.23

Coordenada de lo (r!i%e

v1 (−3−3,−2 )=v

1 (−6,−2 )

v2 (−3+3,−2 )=v

2(0,−2 )

Coordenada de lo *o%o

f 1 (−3−2.23,−2 )= f

1(−5,23,−2 )

f 2

(−3+2,23,−2)=f 2 (−0.77,−2 )

Com'ro+a%i&n ,eo+e-ra$

Milena Fernández$

. De la i-#ien!e e%#a%i&n %an&ni%a de la eli'e/ !ran*ormar la e%#a%i&n $

?

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√ ( x−c )2+ y2+√ ( x+c)

2+ y2=2a

En la E%#a%i&n$

x2

a2+

y2

b2=1

Sol#%i&n$

1. Pasamos una raíz al segundo miembro:

√ ( x−c )2+ y2=2a√ ( x−c )

2+ y2

Elevamos al cuadrado los dos miembros:

x2−2cx+c2+ y2=4 a2+ x2+2cx+c2+ y2−4a√ ( x+c)

2+ y2=¿

−4cx−4 a2=−4 a√ ( x+c )2+ y2 =

cx+a2=a√ ( x+c )2+ y2 =

Elevamos de nuevo al cuadrado los dos miembros:

c2 x2+a4+2c a2 x=a2 ( x2+2cx+c2)+ y2

Agrupamos términos

a2

x2

−c2

x2

+a2

y2

=a4

−a2

c2

(a2−c2 ) x2+a2 y2=a2(a2−c2)

Llamando: a2−c2=b2

b2 x

2+a2 y2=a2 b2

Dividimos por: a2 b2

4

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Obtenemos:

x2

a2= y

2

b2=1 Rta

Com'ro+a%i&n ,eo-e+ra$

Mar%ela Idro+o$

0. Demo!rar "#e la e%#a%i&n$ 9 x2−4 y2−54 x+8 y+113=0 re'reen!a #na

i'r+ola.

De!ermine:

a2 Centro

b2 !ocos

c2 =9rtices

Sol#%i&n$

Com'letamos Cuadrados

@

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9 x2−54 x−4 y2+8 y=−113

(3 x−9)2−81−(2 y−2 )2+4=−113

sacamos de 7actor com;n los coe7icientes de x

y y

'ero ele/ados al cuadrado:

9( x−3)2−4 ( y−1 )2=−36

−( x−3 )2

4+

( y−1 )2

9=1

( y−1 )2

32 −

( x−3 )

22 =1

Tenemos una %i'9rbola /ertical

Cen!ro$ (3,1)

a semidistancia 7ocal en una %i'9rbola es:

C =√ a2+b2=√ 32+22=√ 13 Rta

Al ser /ertical la distancia se mide en /ertical desde el centro:

3,1−√ 13 F

1:¿ )

3,1+√ 13 F

2:¿ )

os /9rtices est"n en a=3 distancia a del centro en /ertical:

V 1=(3,1−3 )=(3,−2) Rta

V 2=(3,1+3 )=(1,4) Rta

Mar%ela Idro+o$

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2. Ded#%ir la E%#a%i&n de la 3i'r+ola $

: x

2

a2−

y2

b2=1

A 'ar!ir de la E%#a%i&n$

√ ( x−c )2+ y2−√ ( x−c )2+ y2=±2a

Sol#%i&n$

Por de7inición de la Bi'9rbola: d ( P , F ' )−d ( P , F )=2a

A 'artir de este 'lanteamiento y 'or distancia uclidiana, se 'uede obtener la

ecuación Canónica de la %i'9rbola.

d ( P , F )=( x−c)2+( y−0)2=( x−c)2+ y2

d ( P , F )=( x−(−c))2+( y−0)2=( x+c )2+ y2

Por %i'ótesis

√ ( x+c)2+ y2−√ ( x−c )

2+ y2 ¿2a

Inicialmente se 'lantea la distancia uclidiana y se ele/a al cuadrado, 'ara eliminar radicales2

√ ( x+c)2+ y2=2a+√ ( x−c )

2+ y2=¿

(√ ( x+c)2+ y2 )2

=(2a+√ ( x−c )2+ y2)2

Se sim'li7ica el 'rimer t9rmino y se desarrolla el 'roducto notable del segundo t9rmino2

( x+c)2+ y2=4a2+4a√ ( x−c)2+ y2+( x−c)2+ y2

Se desarrollan los 'roductos notables 'resentes en la ecuación obtenida2

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x2+2 xc+c2 + y

2=4a2+4a√ ( x−c )2+ y2+ x2−2 xc+c2+ y2

Se sim'li7ican t9rminos seme, sim'li7icamos y ele/amos al cuadrado, 'ara eliminarel radical ue se 'resenta allí:

4 xc−4 a2=4 a√ ( x−c )2+ y2 ¿ xc−a

2=a√ ( x−c )2+ y2

( xc−a2 )2 = (a√ ( x−c)2+ y2)2

Desarrollamos las operaciones indicadas:

x2c2−2a2 xc+a4=a2 [( x−c)2+ y2 ] ¿

x2

c2−2a2 xc+a4=a2 x2−2a2 xc+a2c2+a2 y2 ¿

Simplificando

x2

c2+a4=a2 x2+a2 c2+a2 y2 ¿

x2c2−a2 x2−a2 y2=a2 c2−a4

!actori#ando8

x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2(c2−a2)

$i/idimos toda la eD'resión 'or a2(c2−a2) y obtenemos8

x2 (c2−a2 )

a2(c2−a2)

− a

2 y

2

a2(c2−a2)

=a2(c2−a2)

a2(c2−a2)

Sim'li7icando obtenemos8

*)

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x2

a2−

y2

(c2−a2 )=1

Como a E c entonces: c F a ) y c 3 F a 3 )2 $enominamos a c 3 F a 3 H b 32

!inalmente la ecuación ueda de la 7orma:

x2

a2−

y2

b2=1 Rta

Comprobación Geogebra

Dei4 5#li%e$

?2 $emostrar ue la ecuación x2+ y2 10 x+18=0 es una circun7erencia2

De!erminar$

**

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a2 Centro

b2 adio

Sol#%i&n$

a ecuación canónica de la circun7erencia es: ( x−h)2+( y−k )2= R2

$onde (h , k ) esel centro y R el radio

x2+ y2−10 x+18=0

Agru'amos los t9rminos con x y con y=¿

x2−10 x+ y2+18=0

Para sustituirlos como un binomio al cuadrado menos otro al cuadrado

x2+2ax=( x+a)2−a2=¿

( x−5)2−25+ y2+18=0

( x−5)2+ y2=7

Tenemos ue es una circun7erencia con:

Cen!ro$ (5,0 ) Rta

Radio$ √ 7=!2,65 Rta

Com'ro+a%i&n ,eo-e+ra

*3

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Dei4 5#li%e$

6. Demo!rar "#e la e%#a%i&n$ 4 x2

20 x 24 y+97=0 re'reen!a #na 'ará+ola.

De!ermine$

a2 =9rtice

b2 !oco

c2 $irectri#

Sol#%i&n$

Primero debemos e/aluar si la ecuación se 'uede 'oner de la 7orma

( x−h)2=2 p( y−k ) ó ( y−k )2=2 p( x−h)

uego:

4 x2−20 x−24 y+97=0

Tenemos Claro ue la x

es la ue tiene el cuadrado y ue eDistir" /alor 'ara %, distintode cero,y a ue %ay un t9rmino con la D normal2

*(

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A%ora di/idimos todo 'or > 'ara ue la x2

uede con coe7iciente *

x2

−5 x−6 y+97

4 =0

Para obtener el −5 x el segundo t9rmino del binomio de 0eJton ( x+k )= x2+2k +k 2

$ebe ser k −5

2

( x− 52 )2

= x2−5 x+25

4

Si se 'one este binomio al cuadrado se tendr" ue restar25

4 'ara ue uede lo mismo

ue antes

( x−52 )2

−25

4−6 y+

97

4=0

( x−

5

2

)

2

+18−6 y=0

( x− 52 )2

=6 y−18=¿

Tomando P H(

( x− 52 )2

=2"3 ( y−3)

Tenemos ue es una 'ar"bola y se adecua a su ecuación

l /9rtice es el (h , k ) de la 7órmula ( 52 ,3)

l 7oco est" a p

2 del /9rtice en este caso en /ertical y en sentido 'ositi/o 'or ser

p>0

F =(5

2 ,3)+(0,

3

2

)=(5

2 ,

9

2 )

*>

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a directri# es %ori#ontal en este caso y a distancia− p2

y=3−3

2

y=3

2 Rta

Milena Fernández$

7. 3allar la e%#a%i&n de la re%!a ¿ # "#e e 'er'endi%#lar a la re%!a 3 x 2 y+6=0

4 'aa 'or el '#n!o donde la re%!a 5 x+4 y=−8 %or!a el e8e y $

Sol#%i&n$

Se calcula 'rimero la intersección de la recta:

5 x+4 y=−8=¿

Con el e

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ntonces:

3 x−2 y+6=0

Sus 'er'endiculares on de la 7orma:

2 x+3 y+ =0

Como debe 'asar 'or el 'unto (0,2)

2"0+3" (−2 )+ =0

−6+ '=0

=6

uego la ecta es:

2 x+3 y+6=0 Rta


*4

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Mar%ela Idro+o$

9. Cal%#lar la i-#ien!e S#ma!oria$

∑k =1

3

(1 )k +2(2k +3)3

Sol#%i&n$

/aluando (1 )k +2

tenemos ue siem're (1 )k +2=1 'or ser 'arte de un 'roducto

dentro de la sumatoria 'odemos de

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∑k =1

3

(2k +3 )3=(2+3 )3+(4+3 )3+(6+3 )3

∑k =1

3

(2k +3 )3=(5 )

3+(7 )

3+(9 )

3

∑k =1

3

(2k +3 )3=125+343+729

∑k =1

3

(2k +3 )3=1197

∑k =13

(1 )k +2

(2k +3 )3

=1197 Rta


:enner Sini!erra$

;. Cal%#lar la i-#ien!e 5rod#%!oria$

*

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∏i=−1

2

(3i+3 )+4

Sol#%i&n$

l > est" 'or 7uera del multi'licatoria:

¿ (3 (−1 )+3 )" (3"0+3 ) " (3"1+3 )" (3"2+3 )+4

(−3+3)" (0+3 ) " (3"3 )" (6"3 )+4=¿

0"3"6"9"4=¿

0+4=4

4 Rta

CONCLUSIONES

Con el desarrollo de la anterior acti/idad se consolidó la teoria estudiada en launidad tres acerca de la ecuación general de la recta,identi7icación decónicas,secciones cónicas, sumatoria y 'roductoria , asi mismo se identi7icaron las7órmulas 'ara la Bi'9rbola, li'se, mediante la reali#ación de los e

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REFERENCIAS

Documents

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