n 维时不变系统的方程为

系统 (7-10) 的稳定性完全可由特征方程式 (7-11) 的根及其相应的模式来决定。

Ax x (7-10)

特征方程为

0( )0 0 0, ( ) :A t tx e x x t x

0t 0因是定常系统，不失一般性，可令 :

( ) (0)Atx t e x

五、时不变线性系统 的稳定性判据Ax x

det( ) 0 7 11I As （ ）

1. 运动模式及其收敛、发散、有界的条件

11

AA

l

l

l

l

l

l

t

t t

t

e

e e

e

例题 A-1

(7-10) 式中 A 阵的特征值称为模态， ni 重特征值 对应的运动形式可能有 et, tet,…, , 均称为系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现，究竟出现多少项取决于 的几何结构。例如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式：

1in tt el

22

1AA

t t

t t

t

e te

e e

e

l l

l

l

l

l

l

3

2

3

11 2

1 AA

t t t

t t t

t

e te t e

e e te

e

l l l

l l

l

l

l

l

尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等，但却有不同的几何重数：他们分别为 3 、 2 、 1 。

注：

1) 代数重数 ni ：特征式中仅有的因子

2) 几何重数 ： i 对应的线性无关的特征向量的个数，即属于 i 的若当块的块数。 几何重数 可以如下求出：

in

in

( )I Ai in n rank l

( ) inis l

例：若 i 为 6 阶系统的三重根，且由计算得到

6 ( ) 6 3 3I Ai in rank l

则表明 i 有三个线性无关的特征向量。

5

以下几种提法是等价的（参看矩阵论）：对特征值 i

(a) i 是最小多项式的单根 ;

(b) i 的初等因子都是一次的；

(c) 对应的 Ji 是对角形；

(d) 对应的若当块的个数等于代数重数；

(e) 几何重数等于代数重数 .

由以上讨论可以得出的结论是：1) Re < 0 ， 对应的所有运动模式收敛，即随着时

间趋于无穷而趋于零。

2) Re >0, 对应的所有运动模式发散，即随着时间趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散 . 。

3) Re =0, 分两种情况： 若 对应的若当块全是一阶子块，这时 的代数重

数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；

当 的几何重数小于代数重数， 对应的若当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散，但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时 , 一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的形态作出结论。

只要将例题 A-1 中的特征值换为零，就可证实以上结论：

1A1

0 0 0 1 0 0

A 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

te

8

3

2

A3

110 1 0 2

A 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1

t

t t

e t

2A2

0 1 0 1 0

A 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

t

t

e

定理 7-4 ：系统 dx/dt=Ax 的稳定性有以下充分必要条件

1) ( 李氏 ) 稳定： det(sIA) 实部为零的根对应的初等因子是一次 ( 或对应的若当块为一阶子块，或是最小多项式的单根。几何重数等于代数重数。 ) ，且其余根均具负实部。

2) 渐近稳定： det(sIA) 的所有根均具负实部。

3) 不稳定： det(sIA) 有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。

证明：根据定理 7-2 ，我们只要讨论其状态转移矩阵的性质就可以了。

2. 稳定性判据

2 ;m A 1设 的互异特征值分别是 ， ，，

•将 eAt 写成 PeJt P1 ，这里

( )

11

2

1

1

1

( 1)!

i

i

ij

i i i

iij

i

i

i

i i

i ii i ij

ir im

nt t t

ij

tt

t

t

t

te te e

n

tee

e

te

e

J

JJ

JJ J J J

JJ

显然，只要讨论 eJt 的有界性和收敛性即可，而这等价于讨论 eJt 的每个元素的有界性和收敛性。

1) （李氏）稳定当且仅当 特征多项式实部为零的根对应的初等因子是一次，且其余根均具负实部。

1

( 1)!

ij

i i i

i

i

i

i

nt t t

ij

t

t

t

t

te te e

n

te

e

te

e

l l l

l

l

l

l

2) 渐近稳定当且仅当 特征多项式的所有根均具负实部。

3) 不稳定当且仅当 特征多项式有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。 证完。

J i it j tt ke ct e 注意到 的每个元素可以写成 的形式,则s w

渐近稳定 一致渐近稳定指数渐近稳定

讨论：根据定理 7-2 ，

（ 1 ）对于时不变系统稳定一致稳定

这是因为若0( )

0 0( , ) , , 0A AΦ t tt t e N t t e N t t

则 N 必与 t0 无关 ( 参见定理 7-2 ）。

因此，时不变系统按指数渐近稳定、渐近稳定、一致渐近稳定显然也是等价的，即

（ 2 ）总可以将 写成eA

, 0, 0Ae e t l ta t l

指数渐近稳定 稳定

渐近稳定

一致渐近稳定

一致稳定

线性 定常

定常

这是为什么对于时不变系统，通常只说“系统渐近稳定”的原因。

例题 系统方程如下

7 4

0 0 1

1 0 0

a

x x

式中 a 为实常数，写出 x=0 李氏稳定时 a 的取值条件。解 系统的特征方程式为

3 2

7 4

0 1 4 7

1 0

s a

s s as s

s

所以 李氏稳定。7

4a

7

4a 三根在左半平面；

7

4a 有正根 ；

7

4a 有一根为 7/4 , 另两根为 j,+j

3

2

0

1 4

7

4 7

7

s

s a

as

as

劳斯表：

16

a=0 时，劳斯表为：3

2

1 4

0 7

s

s

s

此时可用 (s+3) 乘特征方程，得到3 4 3 2( 4 7)( 3) 3 4 19 21 s s s s s s s

然后再用劳斯判据进行判别。

§7-2 线性时不变系统的稳定性分析

或用复数域表示

系统方程为

( 1)x x u y x A B C A

A ( )

0

A A( )

0

( ) (0) ( )

( ) (0) ( )

tt t

tt t

x t e x e u d

y t e x e u d

t

t

t t

t t

A B

C C B

(A-2)

1 1

1 1

( ) ( I ) (0) ( I ) ( )

( ) ( I ) (0) ( I ) ( ) ( 3)

x s s x s u s

y s s x s u s

A A B

C A C A B A

18

可见 x (t),y (t) 由四部分组成。稳定性问题是 A 的特征值问题，但以四项形式出现，与 B 、 C 阵密切相关，这说明对系统采用状态空间描述时 , 带来了新的稳定性概念，这些稳定性概念又和系统可控性、可观测性密切相关。

A A( )

0

A A( )

0

( ) (0) B ( )

( ) C (0) C B ( )

tt t

tt t

x t e x e u d

y t e x e u d

t

t

t t

t t

I

II

III

IV

等价变换对稳定性的影响：如果对动态方程 (A-1)

一、有界输入、有界状态（ BIBS ）稳定

本节研究：

( 1)x x u y x A B C A

进行等价变换 , 不会改变运动模式的性质，因而也不会改变 (A-2) 式中四项的有界性，即等价变换不改变稳定性。

( )

0

( ) (0) ( )A A Bt

t tx t e x e u dt t t

定义

1) 若 x(0)=0, 及在任意有界输入 u(t) 作用下，均有x(t) 有界 , 则称系统 (A-1) BIBS 稳定。

2) 若对任意的 x(0), 及在任意有界输入 u(t) 作用下 , 均有 x(t) 有界 , 则称系统 (A-1) BIBS 全稳定。

定理 7-6

1) 系统 (A-1)BIBS 稳定系统 (A-1) 全体可控模式收敛；

2) 系统 (A-1)BIBS 全稳定系统 (A-1) 全体可控模式收敛、全体不可控模式不发散。

21

定理 7-6 可以用可控性分解来说明。不妨假定， (A-1) 式中的矩阵 A 、 B 具有可控性分解形式。这时有

11

4

( )11

02

( )(0)( )

(0)00

AA

A

Bt

tt

t

e u dxex t

xe

t t t

当 x(0)=0 时， x(t) 的表达式中只有第二项，这项与不可控模式无关，而

1 1

1 1

( )1 1

0 0

1 10 0

( ) ( )

( )

A A

A A

B B

B B

t tt

t

e u d e u t d

e u t d K e d

t t

t t

t t t t

t t t

这里 K是 u(t) 的界，上式若有界当且仅当 A1 的特征值均具负实部（因可控，输入可激励所有模式，p.49) 。当考虑全稳定时 , A 的所有模式均要计及，故需加上 有界的条件，而这个条件就是 A4 李氏稳定的条件。

4A te

从复数域上的判别：从表达式 (A-3) 可知， BIBS 稳定的条件就是 : (sIA)1B 的极点均具负实部。这是因为不可控模态均已消去，故只要对可控模态提出要求即可。

李氏稳定条件加上了 BIBS 稳定条件就是 BIBS全稳定的条件。

二、有界输入、有界输出（ BIBO ）稳定 本节研究 (A-2) 式中的第三、四项：

定义

1) 若 x (0)=0, 及在任意有界输入u(t) 作用下，均有y(t) 有界 , 则称系统 (A-1) BIBO 稳定 (第 4 项）。

2) 若对任意的 x(0), 及在任意有界输入u(t) 作用下 , 均有 y(t) 有界 , 则称系统 (A-1)BIBO 全稳定 (第3 、 4 项）。

A A( )

0

( ) C (0) C B ( )t

t ty t e x e u d

t t tIII

IV

定理 7-7:

1) 系统 (A-1)BIBO 稳定系统 (A-1) 全体可控可观模式收敛 ;

2) 系统 (A-1) BIBO 全稳定系统 (A-1) 全体可控可观模式收敛、全体可观不可控模式不发散。

证明： 1 ）从 y(s)=C(sIA)1Bu(s) 即可看出。因为此时不可控、不可观的模态均被消去，故必须全体可控、可观模态具负实部。

这也可以从标准分解 (p.73)看出。事实上，若假定系统已有标准分解形式，则易于验证：

25

11 ( )( )1 1

0 0

( ) ( ) ( ) AAC B C Bt t

tty t e u e u

于是系统 BIBO 稳定就等价于 A11 的所有特征值均具负实部（相应的模式收敛）。

从复数域上判别：

BIBO 稳定研究

的极点是否具有负实部，这正是经典控制理论中研究的稳定性。判别 G(s) 的极点是否全在左半平面，可用劳斯或霍尔维兹判据。

1( ) ( )C I A B G s s

2) 只要证明全体可观不可控模式必须不发散就可以了，而这对应于零输入响应（第 3 项）。

考虑可观测性分解。不妨假定 (A-1) 式中的矩阵 A 、 C已具有可观性分解形式。这时有

1

4

1

2

(0)0( ) ,

(0)

t

t

xex t

xe

A

A

1

1

4

11 1 1 1

2

(0)00 0 (0)

(0)

tt

t

xey x e x

xe

AA

AC C C

1A中的模态有且只有两部分：

{可观+可控} {可观+不可控}

定理 A-2 、 A-3 明显地表明 BIBS 稳定、 BIBO 稳定与系统可控性、可观性密切相关。

如前所述，可控可观的模式必须收敛，显然，要使BIBO 全稳定，全体可观不可控模式必须不发散。 证完。

28

1 0 0

1 1 1

1 1

x x u

y x

例：考虑系统

讨论其 BIBS 、 BIBO 及 BIBS 、 BIBO 全稳定。

解：系统是不可控但可观测的，可控模态是 1 。根据定理 7-6 ，系统 BIBS 稳定，但非全稳定。

又系统可控、可观的模态是 1 ，故系统 BIBO稳定。但不可控、可观的模态是 1 ，故系统也非 BIBO 全稳定。

定义 若对任意的 x (0) 及在任意有界输入u(t) 作用下 , 均有 x(t) 、 y(t) 有界 , 则称系统 (A-1) 总体稳定。

一个用状态方程描述的系统，要能够正常工作，总体稳定是先决条件。总体稳定包含了 BIBO 全稳定和 BIBS 全稳定；而 BIBS 全稳定蕴涵 BIBO 全稳定，于是我们有

总体稳定的充分必要条件是 BIBS 全稳定。

三、总体稳定 ( T 稳定 )

(6-1) ( 定理 7-8 ） 若（Ａ，Ｃ）可观，则有 BIBO 稳定 BIBS 稳定

(6-2) （定理 7-9 ）若（Ａ， B ）可控，则有 BIBS 稳定 Rei(A)<0

(6-3) （定理 7-10 ）若（Ａ， B ，Ｃ）可观、可控，则有 BIBO 稳定 Re i(A)<0

容易验证以下命题 (讲义中定理 7-8~7-12 ）成立：

四、稳定性之间的关系

31

(6-4) （定理 7-11 ） BIBS 全稳定 BIBS 稳定 , A 李氏稳定

(6-5) （定理 7-12 ） 若（Ａ，Ｃ）可观，则有 BIBO 全稳定 BIBO 稳定 , A 李氏稳定

命题 (6-1)-(6-5) 分别证明如下：

命题 (6-1) ：若（Ａ，Ｃ）可观，则有 BIBO 稳定 BIBS 稳定

证明： “ ” 显然。下面证 “”：

事实上，假定系统已具有可控性分解：

1 2 11

4 1 1 1

( )1 2

,0 0 ( ) [ ]

s

y s u

G

A A BA B

A C I A B

C C C

则 (A,C) 可观意味子系统 (A1, B1, C1) 是可控可观测的。根据定理 3-8 （ p.101 ）： (A1, B1, C1) 可控、可观测的充分必要条件对应的传函阵 G(s) 的极点多项式与 A1 的特征多项式相等。此时， BIBO 稳定与 G(s) 的极点多项式的根均具负实部等价，从而，与A1 的所有模态 ( 可控模态 !) 均具负实部等价，这恰恰是 BIBS 稳定的充要条件（定理 7-6 ）。 证完。

命题 (6-2) ： 若（Ａ , B ）可控，则有 BIBS 稳定 Rei(A)<0

证明：只需要证 BIBS 稳定 Re i(A)<0 即可。

事实上，根据定理 A-2 ，系统 BIBS 稳定等价于所有可控模态所对应的模式收敛，即可控模态（特征值）具负实部。因为（Ａ , B ）可控，故 A 阵的所有模态（特征值）均为可控模态，此时系统 BIBS 稳定必等价于其所有特征值均具负实部，从而，所有的模式均收敛。

证完。

命题 (6-3) ： 若（Ａ , B, Ｃ）可观、可控，则有 BIBO 稳定 Rei(A)<0

证明：

Re ( ) 0i (A,C) (A,B)

6-1 6-2BIBO BIBS A

可观 可控

命题 命题稳定 稳定

命题 (6-4) ： BIBS 全稳定 BIBS 稳定 , A 李氏稳定

证明：这就是定理 7-6之 (2) 。因 A 的模态及对应的模式只有可控和不可控两种，均包含在 (2) 中了。

命题 (6-5) ：若（Ａ , Ｃ）可观，则有 BIBO 全稳定 BIBO 稳定、 A 李氏稳定

证明：充分性显然。必要性：因 (A, C) 可观测，则所有的模式均可出现在

(0)AC te x

中 (习题 2-14 ）。由于 x0 的任意性，这要求 A 李氏稳定。 证完。推论：若（ A, C ）可观，则 BIBO 全稳定与 BIBS 全稳定等价。证明：由命题 (6-5) ，此时 BIBO 全稳定等价于 BIBO 稳定、 A 李氏稳定；而命题（ 6-1 ）表明系统还是 BIBS 稳定的。故由命题 (6-4)知结论真。 证完。

BIBS 全稳定BIBO 全稳定

BIBO 稳定+ A 稳定BIBO 全稳定

可观 (6-1)可观

(6-5)

BIBS 稳定+ A 稳定BIBS 全稳定

(6-4)

可观(6-1,5 ，推论 )

(6-1) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有 BIBO 稳定 BIBS 稳定(6-5) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有 BIBO 全稳定 BIBO 稳定 ,A 李氏稳定

若（Ａ、Ｃ）可观，则有

BIBO 全稳定 BIBS 全稳定

定理 7-13 若（Ａ， B ，Ｃ）可观、可控，以下事实等价

1. BIBO 稳定 ;

2. BIBS 稳定 ;

3.A 渐近稳定 ;

4.A 的所有特征值具负实部 ;

5.传递函阵极点具负实部 ;

6. 总体稳定

注： 定理中的 5 用到了第三章中的定理 3-8 ： (A,B,C) 可控、可观测的充分必要条件是 G(s) 的极点多项式与 A 的特征多项式相等。

若系统的动态方程描述可控且可观测，则称系统可由传递函数阵完全表征。因此，定理 7-13 说明，此时，系统的总体稳定性仅由传递函数就可以确定而不需考虑系统的动态方程描述。

从工程应用的角度，由于系统参数的不确定性，总要求系统矩阵 A 是渐近稳定的。一般将李氏稳定称为临界稳定。

定理 7-13

总体稳定

传函阵极点负实部

A 特征值负实部

A 渐近稳定

BIBS 稳定 BIBO 稳定

可观可控

可观可控

6-16-2

(6-3) 若（Ａ、 B 、Ｃ）可观、可控，则有 BIBO 稳定 Rei(A)<0

总体稳定

传函阵极点负实部

A 特征值负实部

A 渐近稳定

BIBS 稳定 BIBO 稳定

可观可控

可观可控

A 稳定

时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出 A 的特征值，再对这些特征值的可控、可观性近行研究，再根据定理作判断。因为系统的可控性、可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，直接计算：

BIBS 稳定： (sIA)1B ( 所有极点在左半面）

BIBS 全稳定： (sIA)1 ( 不发散 ) + BIBS 稳定

BIBO 稳定： C(sIA)1B ( 所有极点在左半面）

BIBO 全稳定： C(sIA)1 ( 不发散 ) + BIBO 稳定

由计算的结果判别。

42

1 0 0

1 1 1

1 1

x x u

y x

例：考虑系统

讨论其 BIBS 、 BIBO 及 BIBS 、 BIBO 全稳定。

解：可以从复数域（传递函数）的角度来讨论：

BIBS:

11

01 0 0

( ) 11 1 1

1

ss b u

ss

I A

43

1

1 0 0 1( ) 1 1

1 1 1 1

sg s

s s

BIBO:

BIBS 全稳定：否

1

1 1 0 2 1( ) 1 1

1 1 ( 1)( 1) 1

s sc s

s s s s

I A

11

10

1 0 1( ) (0) (0) (0)

1 11 1( 1)( 1) 1

s ss x x x

ss s s

I A

BIBO 全稳定：否

例题 多变量系统结构图如下图所示，其中 K1 ，和 K2 都是非零常数 ,v1 ， v2 是输入量， y1 ， y2 是输出量。试给出系统总体稳定时参数 K1 ， K2 应满足的条件（只要给出不等式，不要求解出不等式）。

2

1s

3

2s

v1 x1y1

v2

u2 x2K2

_

y2

u1

_

_K1

解 根据图中所给出的关系，列出方程组如下

1 1 1 1 2 2 2 2 2 22( ) , 2 3 x x K u K u x x K u

1 1 1 2 2 1 2, ( ) u v y u v u x

1 1 2 1 2, y x y u x

2

1s

3

2s

v1 x1y1

v2

u2 x2K2

_

y2

u1

_

_K1

消去中间变量 u1 、 u2 ，经整理后不难得到下列系统的状态方程与输出方程：

1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 2 2 2 2 2 2

3 2 3 3 3

1 0 0 0

1 1 1 0

x K K K x K K K v

x K K x K K v

y x v

y x v

B 、 C 矩阵的秩均为 2 ，系统可控、可观测，故根据定理 7-13 ，总体稳定等价于渐近稳定。于是

1 2 2

2 2

21 2 1 2 1 2

1 2 2 2

3 2 3

(3 2 5 ) (2 4 7 6 )

s K K K

K s K

s K K s K K K K

1 2 2

2 2

21 2 1 2 1 2

1 2 2 2

3 2 3

(3 2 5 ) (2 4 7 6 )

s K K K

K s K

s K K s K K K K

上面的多项式的根均在左半面的充要条件为

1 2

1 2 1 2

3 2 5 0

2 4 7 6 0

K K

K K K K

例题 系统状态方程和输出方程如下

1 2

0 0 0

0 0 1 0

0 1

b

x x u

a a

1 0y b x

其中 a1 、 a2 和 b 均为实常数，试分别给出满足下列条件时， a1 、 a2 和 b 的取值范围

1. 李亚普诺夫意义下稳定；

2. 有界输入、有界输出 (BIBO) 稳定。

1 李氏稳定：

1)

特征值一个为 0 ，两个有负实部 ；1 0a 2 0a

2) ,

特征值两个为 0 ，一个有负实部。经验算，零特征值几何重数与代数重数相同，初等因子为一次；

1 0a 2 0a

3)

一个零特征值，一对共轭零实部特征值。 1 0a 2 0a

解：特征多项式为 22 1( ) 0s s a s a

4) a1=0, a2=0 ，系统不稳定。

2 BIBO 稳定：

2 12 2

2 1 2 1

( )( )

( )

ba s ab bs

G ss s a s a s s a s a

1 2

1. 0 ( ) 0, BIBO

2. 0 0 0 ( ) 0, BIBO

b G s

b a a G s

此外， 在 a1 、 a2 的任何其它取值的情形下都不会 BIBO 稳定。

例：考虑动态方程：

0 0 1

5 5 15 5 , 0 0

0 0 0 1

a

x x u y b

讨论当常数 a 、 b 为何值时有

1. 关于零解李氏稳定；

2. 系统 BIBS 稳定；

3. 系统 BIBO 稳定。

解 系统可控性矩阵是：

2

2

1

5 5 15 5

1 0 0

a a

b b b a

A A

0 0

5 5 15 ( 5)( )

0 0

I A由

s a

s s s s s a

s

易见： a>0 ， 三根为 0 ， 5 ， a 李氏稳定 ; a<0 ， 有正根，不稳定； a=0 ，二根为零，一根为 5 ，且

0( ) 1 I A srank s

有两个线性无关的特征向量，零根对应的若当块为两个一阶子块，故李氏稳定。

1. 考察零解的李氏稳定性：

2 系统 BIBS 稳定：只要考察（ sI A)1B 即可：

1

10 0 1

15 1 15

( ) 5( )( 5) 5 ( 5)

1 11

0 0

I A B

s as a

ss a s s s s

ss

这说明不论 a 取何值，均有一个 s=0 是可控的，故 BIBS 不稳定 (a=0 ， s=0 两根中至少有一个不可控，因为可控性矩阵的秩至少为 2 ，所以必有一个 s=0 可控 ) 。

1( ) 0, 0,b

s b as a

3 BIBO c I A B BIBO稳 ： ；定

b=0 、 a 任意， BIBO 稳定。

例题 7—10 系统动态方程为 1 0 0 0

1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

au

s

s

l

l

x x 0 1 0y b x

试分别给出系统满足各种稳定性时，参数 a 、 b 、σ、 ( 均为实数）应满足的充分必要条件。解

1. x =0 李雅普诺夫意义下稳定 : 0 0

2. x =0 渐近稳定： 0 0

1det( ) 由 可知：s jsI A

3 BIBS 稳定：根据定理 7-6: BIBS 稳定等价于所有可控的模式收敛。将 (A,b,c) 分块，考虑 PBH检验：

2 20 0,a b l

s

时其可控部分是由( )决定的，只需 即可；

为 ；任意实数

A

1 1 1 2 2 20 0 1

1

= （ 0时可控）、 （可控）

ab b a b b

a as lA A

的可控性即可。显然， (A2,b2) 总可控、 a0 时 (A1,b1) 可控，从而整个系统可控（ PBH检验）； a=0 时 rank[b1,A1b1]=0 ， A1 的模态全都不可控。故

1det( )0 0 0sa j ss l 时，由 可知，必须 。I A

由于 ，只需分别判断 js l

1

2

0

0

s b

s b1

2

I A

I A

4 BIBS 全稳定：根据定理 7-6: BIBS 全稳定等价于所有可控的模式收敛、所有不可控的模式不发散。故根据 BIBS 稳定性的分析：

2 2,0 0

0

a b

js

l

s

；时其可控部分是由( )决定的，需要

其不可控部分的根均为单根： ，需要 就可以了。

A

1det( )0

0 0

a s j

s l

s

时，系统可控，由 可知，必须 。

I A

5 BIBO 稳定：根据定理 7-7: BIBO 稳定等价于所有可控可观的模式收敛。与可控性的讨论类似，系统的可观测性等价于下列子系统是否可观测：

1 2

1 2

0 1 0(

1

可观） （ 0时可观）c c b

bc c b bs l1 2

= , =A A

显然，0 ,

00 0

ab

a

， 为任意实数第一种情形：

， ， 为任意实数

2 2 2

1 1

0 ( , , )

0 ( , ) ;

b b c

a b

A

A

其中， 不可观，可为任意实数

不可控， 可为任意实数

1 1 10 ( , , ) 0a b c A 可控可观，应考虑 ： 。0 0

00 0 0

ab

a

， ，为任意实数第二种情形：

， ，

2 2 2

1 1

0 ( , , ) 0;

0 ( , ) ;

b b c

a b

A

A

其中， 可控可观，故

不可控， 可为任意实数

1 1 10 ( , , ) 0a b c A 可控可观，应考虑 ： 。

0 0 00

0 0 0

ab

a

第二种情形：

6 BIBO 全稳定：根据定理 7-7: BIBO 全稳定等价于所有可控可观的模式收敛、所有可观不可控模式不发散：

0 0,0

0 0,

ab

a

可为任意实数第一种情形：

可为任意实数

2 2 2

1 1 1

0 ( , , )

0 ( , , ) 0;

b b c

a b c

A

A

其中， 不可观，可为任意实数可观不可控， 必须

1 1 10 ( , , ) 0a b c A 可控可观，应考虑 ： 。

2 2 2

1 1 1

0 ( , , ) 0;

0 ( , , ) 0;

b b c

a b c

A

A

其中， 可控可观，故可观不可控， 必须

1 1 10 ( , , ) 0a b c A 可控可观，应考虑 ： 。