§3 － 2 一维双原子链的晶格振动一、模型与色散关系 设一维晶体由 N 个初基原胞组成，每个初基

原胞有二个质量相等的原子，分别用 A 与 B表示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹性系数也不等。晶格常数为 a 。原子 A 与其右侧 B 原子距离为 d ，弹性系数为 β2 ，与其左侧 B 原子的距离为（ a-d ）弹性系数为β1 ，为确定起见，并设 d< （ a-d ）， β1<β2。

设 U1 （ na ）表示平衡位置为 na 的A 原子

的绝对位移， U2 （ na ）表示平衡位置

为（ na+d ）的 B 原子的绝对位移。 仍采用简谐近似和近邻作用近似，则 运动方程为

m （ na ）＝－ β2[U1(na) － U2(na)] － β1[U1(na) － U2 （ (n-1 ） a ） ]

m (na) ＝ － β2 [U2(na) － U1(na) ] － β1[U2(na) －

U1((n+1)a)]

(3-20) 该方程组有 2N 个方程，应有 2N 个解，

此时该晶体的总自由度数也为 2N 。

1

U

2

U

与一维单原子链比较，这里的近似条件相同，求解方法类似，而前者有式（ 3 － 8 ）解的形式，它启发我们作类似的试探解：

U1(na) ＝ A1ei(qna － ωt)

U2(na) ＝ A2ei[q(na+d) － ωt]

(3-21) 将其代入方程（ 3 － 20 ），并消去公因子 ei(qna-

ωt) 得到

[mω2－（ β1＋ β2） ]A1＋（ β1e-iqa＋ β2） eiqdA2＝ 0

（ β1eiqa＋ β2） e-iqdA1＋ [mω2－（ β1＋ β2） ]A2＝ 0

（ 3 － 22 ）

注意 : 该代数方程组与 n 无关。 A1 、A2 有非零 解的条件是其系数行列式为零： mω2 － (β1＋ β2) (β1e

-iqa＋ β2） eiqd ＝ 0

（ β1eiqa＋ β2） e-iqd mω2－ (β1＋ β2)

解得

ω2 = （ β1＋ β2） /m± (β12＋ β2

2＋

2β1β2cosqa)1/2 /m （ 3 － 23 ）

即有两支 ω ～ q 的色散关系。当取“－”号时， ω 记为 ωA ，称为声学支 取“＋”号时， ω 记为 ω0 ，称为光学支

声学支（ Acousticbranch ）ωA

2= （ β1 ＋ β2 ） /m -(β12 ＋ β2

2 ＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m

它具有 q=0 时， ωA ＝ 0 的特征。而光学支（ Optical branch ）格波ωO

2 = （ β1 ＋ β2 ） /m +(β12 ＋ β2

2 ＋2β1β2cosqa)1/2 /m

它具有 q ＝ 0, ω0≠0 的特征。

二、关于声学波和光学波的讨论

（一）格波数 与一维单原子链类似，可得： － π/a ＜ q≤π/a (3-24) q ＝ 2πm/Na m ：整数 (3-25)在第一布里渊区内，可取的 q 点数为

NNa

a

/2

/2

注意 : 这里的 N 为一维晶格的初基原胞数。每个 q

对应两个频率（ ωA 和 ω0），则共有 2N 组ω,q ），所以一维双原子链有 2N 个格波，或说有 2N 个简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N 个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时，晶体的总自由度数也为 2N ，推广的结论：

允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数 以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。

( 二 ) . 长波极限 当 |q∣→0, λ→∞ 时 , 相邻原胞间的振动相位差 qa→0 。 利用 cosqa ≈1 －（ 1/2 ）（ qa ） 2 （ 1 － x ） 1/2 ≈1 － (x/2) （ x 为小量）式（ 3 － 23 ）中 ωA

2= （ β1＋ β2） /m- (β12＋ β2

2＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m可简化为

qamA

21

21

21

2

＝ (3-28)

21

210

2

m

＝(3-29)

由此可知，在长波情况下，声学支格波具有声波的线性色散关系： ωA ＝ υ0 q, 而且它的频率很低，可以用超声波来激发，故得此名。光学支格波在 q ＝ 0的附近 ω0 几乎与 q 无关，在 q ＝ 0 处有极大值。

入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这种特点，所以称 ω0 所对应的格波为光学波。

现在来考察一下两种原子的振幅比。把 式（ 3 － 23 ）代入（ 3 － 22 ）可得

iqd

iqa

iqa

ee

e

A

A

21

21

1

2

(3-30) 自推

正号对应声学支，负号对应光学支。当 q→0 时 A2＝ A1 声学支 A2＝－ A1 光学支在长波极限情况下， 声学格波描写原胞内原子的同相运动， 光学格波描写原胞内原子的反相运动。两支格波最重要的差别： 分别描述了原子不同的运动状态。

45参见 FD 动画

（三） . q 趋近第一布里渊区边界

当 q→π/a 时， 因 β2 >β1 ，由式（ 3 － 23 ）ωO

2 = （ β1＋ β2） /m+(β12＋ β2

2＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m可得对于光学支格波

21

20

2

m

＝ (3-32)

对于声学支格波 , 由 (3-23) 式

ωA2= （ β1＋ β2） /m -

(β12＋ β2

2 ＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m21

12

mA

＝(3-33)

即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙”在第一布里渊区边界上，由式（ 3 － 30 ）

可得 对光学支 A2＝－ A1

当 d ＜＜ a , A2≈ － A1

对声学支 A2＝ A1

当 d ＜＜ a , A2≈A1

由于 q→π/a ，相邻原胞运动的相位差 qa→π 。声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。

iqde

iqde

iqd

iqa

iqa

ee

e

A

A

21

21

1

2

三 、三维晶格振动 设实际三维晶体沿基矢 a1、 a2、 a3 方向的

初基原胞数分别为 N1 、 N2 、 N3 ，即晶体由 N ＝ N1· N2· N3 初基原胞组成，每个初基原胞内含 s 个原子。

1 . 原子振动方向 一维情况下，波矢 q 和原子振动方向相同，

所以只有纵波。 三维情况下，有纵波也有横波。

2 . 格波支数

原则上讲，每支格波都描述了晶格中原子振动的一类运动形式。初基原胞有多少个自由度，晶格原子振动就有多少种可能的运动形式，就需要多少支格波来描述。

一维单原子链：仅存在一支格波，且为声学格波。

一维双原子链：存在两支格波―――声学波和光学波。

定性地说，初基原胞质心的运动主要由声学格波代表，初基原胞内两原子的相对运动主要由光学格波代表

一 维 S 原 子 链 ：存在 S 支 格波―――其中一支声学波， S － 1 支光学波。

三维晶体：原胞的总自由度数为 3S,则晶体中原子振动可能存在的运动形式就有 3S 种，用 3S 支格波来描述。其中在三维空间定性地描述原胞质心运动的格波应有 3 支，也就是说应有 3 支声学格波，其余 3 （ S-1 ）支则为光学格波。例如硅晶体属于金刚石结构，每个初基原胞含两个原子，即 S=2 , 它有 3 支声学格波和 3 支光学格波。

3 . 格波个数

三维晶格： 3S 支格波，一个 q 对应 3S 个 ω 值，即对应 3S 个格波，允许的 q 取值数仍为初基原胞数 N ，则共有 3NS 组（ ωi,q ）数组，晶体中有3NS 个格波。

格波数＝晶格的总自由度数＝ 3NS ―――― 晶格振动理论中的普适结论。 晶体中任何一原子的实际运动是这 3NS 个格波所

确定的谐振动的线性叠加。

4 ．波矢取值一维：－ π/a ＜ q≤π/a

在第一布里渊区内 , q 点的分布均匀 , 每个 q 点的“体

积”为 2π ／ (Νa) ＝ b/N; 在第一布里渊区内 q 可取 N 个值； m 为整数

三维： q 仍在第一布里渊区内取值，共有 N 个值（初基原胞数）

mNa

q2

33

32

2

21

1

1 bN

Lb

N

Lb

N

Lq ＝

(3-42)

其中 L1 、 L2 、 L3 ＝ 0 ， ±1, ±2 ······ ， b1 、 b2 、 b3 是倒格子基矢， N1 ， N2 ， N3 是 a1,a2,a3 方向的初基原胞数。

每一组整数（ L1,L2,L3 ）对应一个波矢量 q 。将这

些波矢在倒空间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个点所占的“体积”等于“边长”为 (b1/

N1) 、

（ b2/N2）、 (b3/N3) 的平行六面体的“体积”，它等

于：

NN

b

N

b

N

b

3

3

2

2

1

1 （ 3 － 43 ）

式中 Ω* 是倒格子初基原胞的“体积”，也就是第一布里渊区的“体积”，而 Ω* ＝（ 2π ） 3/ Ω ，所以每个波矢 q 在倒空间所占的“体积”为：

VNN

33* 22 ＝＝

(3-44)

其中 V=NΩ 为晶体体积。

在倒空间，波矢 q 的密度为

33 22* VNN

＝＝

(3-45)

（四）格波的态密度函数

格波的态密度函数 g() ，又称为模式密度，其定义为 : 对给定体积的样品，在附近单位频率间隔内的格波总数。

对于第 i支格波，在频率到＋ d之间的格波数，就等于在 q 空间频率为到＋ d这两个等频率面之间所包含的 q 点数，即

q

di d

Vdg

32

＝

(3-46)

其中 dq 为倒空间体积元。

其中 dSω 是等频率面上的面元， dqn 是dq

在等频率面法线方向上的分量。因此对于一支格波

n

dsi dqdS

Vdg

32

由梯度的意义， d可表示成 dω=∣▽qω(q)∣dqn

q

dSVg

q

i

32

(3-47)

积分已变换到等频率面上了。

考虑到三维晶体中共有 3S 支格波，则格波态密度函数为

s

i iq

s

ii

q

dSVgg

3

13

3

1 2

＝＝

(3-48)

作业： 1 ， 2 ， 3

思考题：1. 二维单原子阵列有几支声学支

格波？2. 声学格波是否就是声波？