1

3.5 　线性系统的稳定性分析

3.5.13.5.1 　稳定的概念和线性系统稳定的充要条件　稳定的概念和线性系统稳定的充要条件

　　 如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的大范围稳定的系统系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统小范围稳定的系统。　

2

3

对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。

4

线性控制系统稳定性稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动 (t) 的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。 根据定义输入 (t) ，其输出为脉冲过渡函数 g(t) 。如果当 t→∞ 时， g(t) 收敛到原来的平衡点，即有

0)(lim

tgt

那么，线性系统是稳定的。

5

q

i

r

kkdk

tk

tpi tteBeAtg kki )0( )sin()(

011

1

011

1

)(

)()(

asasasa

bsbsbsb

sD

sMs n

nn

n

mm

mm

　　 　 线性系统稳定的充要条件是线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于 s 左半平面（不包括虚轴）。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在 s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。

不失一般性，设 n 阶系统的闭环传递函数为

6

3.5.23.5.2 　线性系统的代数稳定判据　线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为

0)()(1

012

21

10

n

iinn

nnn ssaasasasasasD

式中， a0 >0 , si （ i =1,2 , , n ）是系统的 n 个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：

0

2

11

0

1

1

a

ass

a

as

n

jiji

ji

n

ii

01

)1(a

as nn

n

ii

7

从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：

ai aj > 0 ( i, j =1,2, , n)

即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。 1. 劳斯判据 系统稳定的充要条件是系统稳定的充要条件是：：该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半 s 平面上根的个数。

8

1,11,1

1,21,2

1,1

1

jii

jii

iij cc

cc

cc

表中： 1）最左一列元素按 s 的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。

a0 0 a2 a4 …

a1 1 a3 a5 …

c11 c2 c3 …

┋…

cn (an)

sn

sn−1

sn−2

┋s1

s0

( i 3, j = 1, 2, )

9

2. 　劳斯判据的应用 （ 1 ）判断系统的稳定性 例 3-5 设有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 =

0 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。

解：劳斯表

第一列元素 符号改变了 2 次，∴系统不稳定，且 s 右半平面有 2 个根。

s4

s3

s2

s1

s0

1 3 5

2 4

6

1 5

5

10

例 3-6 系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0

试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为

第一种特殊情况第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：

s3

s2

s1

s0

1 3

0 2

∞

① 用一个很小的正数 ε 来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。② 可用因子（ s+a ）乘以原特征方程，其中 a 可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。

11

32

1b

∵ε→0+ 时， b1< 0 ，劳斯表中第一列元素符号改变了两次

∴ 系统有两个正根，不稳定。

（ s+3 ）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0

s3

s2

s1

s0

1 3

0(ε) 2

2

s4

s3

s2

s1

s0

1 3 6

3 7

2/3 6

20

6

12

例 3-7 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0

试用劳斯判据判断系统稳定性。解 : 　该系统的劳斯表如下

第二种特殊情况第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：

s4

s3

s2

s1

s0

1 3 2

1 1

2 2

0 0

13

由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，可解辅助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=

1 和 s4= 2 。

用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。

s4

s3

s2

s1

s0

1 3 2

1 1

2 2 　

4

2

F(s) = 2s2+ 2

F(s)= 4s

14

（ 2 ）分析参数变化对稳定性的影响

例 3-8 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时 K的取值范围。

解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0

要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。

0< K < 6

s3

s2

s1

s0

1 2

3 K

(6 K)/3

K

s(s+1)(s+2)

R(s)

C(s) K﹣+

15

（ 3 ）确定系统的相对稳定性

例 3-9 检验多项式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0

是否有根在 s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s =

1 的右边？解： 1) 劳斯表中第一列元素均

为正

∴系统在 s 右半平面没有根，系统是稳定的。

2) 令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为

2 s13 + 4 s1

2 s1 1 = 0

s3

s2

s1

s0

2 13

10 4

12.2

4

16

劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在 s1 右半平面有一个根。因此，系统在垂直线 s = 1 的右边有一个根。

s13

s12

s11

s10

2 1

4 1

0.5

1

2 s13 + 4 s1

2 s1 1 = 0

17

3.6 　稳态误差的定义及一般计算公式3.6.13.6.1 　误差的基本概念　误差的基本概念

1. 误差的定义 误差的定义有两种： ① 从系统输入端定义，

它等于系统的输入信号与主反馈信号之差，即

E(s)=R(s) B(s)

② 从系统输出端定义，它定义为系统输出量的实际值与希望值之差。（性能指标中经常使用） 对于单位反馈系统，两种定义是一致的。 2. 　两种定义的关系

G(s)R(s) C(s

)﹣+

H(s)

E(s)

B(s)

18

由图可知， R' (s) 表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的希望值。因而， E' (s) 是从输出端定义的非单位控制系统的误差。

E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s)

)()()(

1)()()( sCsR

sHsCsRsE

由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。

G(s)H(s)R(s) C(s)

1H(s)

E'(s)R'(s)

﹣+

)()(

1)]()()([

)(

1sE

sHsCsHsR

sH

19

3. 　稳态误差 ess

定义： )(lim)(lim0s

ssEteet

ss 终值定理

例 3-10 设单位反馈控制系统的开环传函为 试求当输入信号分别为 r(t) = t2/2 ， r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sinωt 时，控制系统的稳态误差。 解：

TssG

1)(

Ts

s

TssGs

sR

sEe /1/11

1

)(1

1)(

)(

)(

(1) 当 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3

解法一：

终值定理的条件

3

1

/1)(

sTs

ssE

sTs

ssEess

ss

1

/1

1lim)(lim

00

20

解法二：Ts

T

s

T

s

T

sTs

ssE

/1

1

/1)(

22

23

e(t) = T(t－ T) + T2 e － t/T

)(lim)( teee sst

ssss

(2) 　当 r(t) = 1(t) R(s) =1/s

sTs

ssR

sGsE

1

/1)(

)(1

1)(

0)(lim0

ssEes

ss

(3) 　当 r(t) = t R(s) =1/s2

2

1

/1)(

sTs

ssE

TsTs

ssEse

ssss

1

/1lim)(lim

00

21

221)(

ss

ssE

T

222222122 1

1

1

sc

s

s

T

T

sT

T

T

tT

Tt

T

Te

T

Tte T

t

sin1

cos11

)( 22

22

2222

)sin(cos1

)( 22 tTtT

Ttess

0)( sse

)sin(1 22

t

T

TT

tg

11

(4) 　当 r(t) = sinωt R(s) = ω/(s2 + ω2)

终值定理的条件不成立！

22

3.6.2 3.6.2 控制系统的类型控制系统的类型

不失一般性，开环传函可写为：

N = 0 称为 0 型系统；N = 1 称为Ⅰ型系统；N = 2 称为Ⅱ型系统。等等

在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：

)()(1

1)()()( sR

sGsRssE

ke

)()1(

)1(

)(

)()( 0

1

1 sGs

K

sT

s

s

K

sN

sMsG NNn

ii

m

jj

Nk

23

3.6.3 给定信号作用下的稳态误差分析1. 　阶跃输入作用下的稳态误差

)()(lim1

11

)()(1

1lim

00 sHsGssHsG

ses

sss

令 )()(lim0

sHsGKs

p 系统的静态位置误差系数

pss K

e

1

1

容许位置误差容许位置误差希望输出的位置

ss

ssp e

eK

1

0 型系统： Kp = K ess = 1/ (1+ K)

Ⅰ型及Ⅰ型以上系统： Kp = ∞ ess = 0

24

2. 　单位斜坡输入作用下的稳态误差

)()(lim

11

)()(1

1lim

0

20 sHssGssHsGse

ss

ss

令 100lim)()(lim

Nssv s

KsHssGK 静态速度误差系数

vss K

e1

容许的位置误差希望的输出速度

ss

v eK

1

0 型系统： Kv = 0 ess = ∞

Ⅰ型系统： Kv = K ess = 1/ K

Ⅱ型及Ⅱ型以上系统： Kv = ∞ ess = 0

25

3. 　加速度输入作用下的稳态误差

)()(lim

11

)()(1

1lim 2

0

30 sHsGsssHsGse

ss

ss

令20

2

0lim)()(lim

Nssa s

KsHsGsK 静态加速度误差系数

ass K

e1

容许位置误差希望输出的加速度

ss

a eK

1

0 型系统： Ka = 0 ess = ∞

Ⅰ型系统： Ka = 0 ess = ∞

Ⅱ型系统： Ka = K ess = 1/ K

Ⅲ型及Ⅲ型以上系统： Ka = ∞ ess = 0

26

阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差

r(t)=t2/2r(t)=tr(t)=1(t)静态误差系数

系统

型别

ess=1/Ka ess=1/Kv ess=1/(1+ Kp ) Kp Kv KaN

∞∞1/(1+ K ) K 0 00

∞

1/K 00 ∞ ∞ K2

1/K 0 ∞ K 01

27

例 3-11 已知两个系统如图所示，当参考输入r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，试分别求出两个系统的稳态误差。

解：图（ a ），Ⅰ型系统

Kp = ∞， Kv =10/4 ， Ka =

0

avp

ss KKKe

66

1

41

图（ b ），Ⅱ型系统

Kp = ∞， Kv = ∞ ， Ka = 10/4

4.24/10

66

1

42

sse

10s(s+4)

R(s) C(s)

E(s)

（ a ）

﹣+10(s+1) s2(s+4)

R(s) C(s)

E(s)

（ b ）

﹣+

28

3.6.4 3.6.4 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差

所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。

计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。 例 3-12 控制系统如图

G1(s)R(s) C(s

)﹣+

H(s)

E(s)G2(s)

N(s)

++

29

H(s) =1 ， G1(s)=K1 ， G2(s)=K2 / s(Ts+1)

试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。

解：（ 1 ）单位阶跃给定作用下的稳态误差 :

系统是Ⅰ型系统： Kp = ∞ ess = 0

（ 2 ）单位阶跃扰动作用下的稳态误差 :

系统误差为

sKKsTs

KsN

TssKK

TssK

sEn

1)(

)1(2

1

)1()(

212

2

1

2

30

系统结构稳定，且满足终值定理的使用条件。扰动单独作用时稳态误差为

10

/1)(lim KssEe ns

ssn

（ 3 ）根据线性系统的叠加原理，系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为

1/1 Keee ssnssrss

31

结束，谢谢欣赏结束，谢谢欣赏