习题（前 4 章）

．满足 ][][ nxnx 的实信号，其傅立叶变换一定是 （ ）

（A）实函数且偶对称 （B）虚部不为 0的复数函数且共轭对称

（C）实函数且奇对称 （D）虚部不为 0的复数函数且共轭反对称

．和式n

n

n

n

n

5

)6/sin(

2

)4/sin(

的值是 （ ）

（A）1/60 （B）1/6

（B）1/10 （C）1/40

．稳定系统的系统函数1

1

34

21)(

z

zzH ，则单位取样响应 ]0[h 为（ ）

（A）1 （B）1/2

（C）1/3 （D）1/4

．下图中的数字系统的单位取样响应是 1,0,)5.0(

)]5.0(sin[][

n

n

nnh

，整个

等效连续时间系统（虚框所示）的频率响应是 )( jH eff ，则正确的是（ ）

抗混迭低

通滤波器，

截 止 频 率

Ω c= π /T

弧度/秒

)(txa

（A） ,1)( jH eff （B）

other

TTe

jH

Tj

eff

，0

,)(

5.0

（C） ,)( 5.0 Tjeff ejH （D）

other

TTjH eff

，0

,1)(

．下图中模拟信号 )4002cos()( ttxa ，采样频率 kHzT

11 ，则处理后

的模拟信号 )(tya 为 （ ）

（A） )4002cos(2

1t （B） )5002cos(

2

1t

（C） )1002cos(2

1t （D） )2002cos(

2

1t

2

．LTI系统输出信号与输入信号间的关系是 ][2

1][

3

0

knxnyk

k

，则

它们的傅立叶变换间的关系是 （ ）

（A）

j

jj

e

eXeY

2

11

)()( （B）

j

j

jj

e

e

eXeY

2

11

16

11

)()(

4

（C）

j

j

jj

e

e

eXeY

2

11

16

11

)()(

4

（D）

j

jj

e

eXeY

2

11

)()(

．信号 ]1[)6.0cos(][ nnnx ，经过截止频率 5.0c 的理想低通滤

波器后的输出信号是 （ ）

（A）)1(

))1(6.0sin(

n

n

（B）

)1(

))1(5.0sin(

n

n

（B）n

n

)5.0sin( （D）

)1(

))1(6.0sin()5.0sin(

n

n

n

n

．21

1

231

3

11

)(

zz

z

zH ，收敛域为一圆的外部，则该系统 （ ）

（A）因果稳定 （B）因果不稳定

（C）稳定非因果 （D）非因果非稳定

．下列信号流图表示的系统函数是 （ ）

2

z-1

y[n] x[n]

z-1 5

-1

z-1

（A） 321 10731)( zzzzH （B） 321 1031)( zzzzH

（C） 321 1031)( zzzzH （D） 321 10731)( zzzzH

．以下系统因果的有 （ ）

（A） ]2[]}[{ nxnxT （B）单位脉冲响应为||

2

1][

n

nh

的 LTI

（C）

1

][]}[{nk

kxnxT （D）单位脉冲响应为 ][][ nunh 的 LTI

．差分方程 ]2[][][ nxnxny 表示的系统是 （ ）

（A）低通滤波器 （B）高通滤波器

（C）带通滤波器 （D）带阻滤波器

．关于线性相位系统正确的说法是 （ ）

（A）第 I类广义线性相位系统在 Z=1处不可能有零点

（B）非因果的线性相位 FIR系统的群延迟不可能是正的

（C）线性相位系统的并联一定等效于一个线性相位系统

（D）线性相位系统的级联一定等效于一个线性相位系统

. 第四类 FIR广义线性相位系统不可能是 ( )

（A）低通滤波器 （B）高通滤波器

（C）带通滤波器 （D）带阻滤波器

． )(zH 是因果稳定最小相位 LTI系统，其单位冲击响应 ][nh 为实序列，

)/1()()( ** zHzHzc 的零极点图如下，且 1|)( 1zzc ，写出 )(zH 的单位冲击

响应 ][nh 。

2/1 2

．下图所示的 4个序列中，傅立叶变换不是线性相位的是 （ ）

x[n]

0 1 2 3

x[n]

0 1 2 3

x[n]

0 1 2 3

x[n]

0 1

(A) (B) (C) (D)

.以下系统是 FIR的是 （ ）

(A) ][5.0][ nunh n (B) ]1[5.0][][ nynxny (C) 1

88

5.01

5.01)(

z

zzH

(D)

． 系 统 的 单 位 冲 击 响 应 为

o t h e r

Lnnnh

,0

||,2/||1][ ， 输 入 信 号 满 足

o d dnf o rnx ,0][ ，则输出信号为 （ ）

(A)

k kn

knkxny

2/)2(

]2/)2(sin[]2[][

(B)

k kn

knkxny

)(

)](sin[][][

(C)

oddn

nx

nx

evennnx

ny,

2

1

2

1

2

1

],2/[

][ (D)

oddnnxnx

evennnx

ny,11

2

1

],[

][

．差分方程 ]1[][][ nxnxny 表示的系统是 （ ）

（A）低通滤波器 （B）高通滤波器

（C）带通滤波器 （D）带阻滤波器

．系统函数 )41)(4

11)(21)(

2

11() 1111 zzzzzH（ 表示的系统不是（ ）

（A）因果稳定系统 （B）FIR系统

（C）最小相位系统 （D）广义线性相位系统

.全通系统中若 a 为零点，则一定有一个 （ ）

（A） 零点在 *a （B）零点在 */1 a

（C）极点在 *a （D）极点在 */1 a

. )13

3cos(][ nnx ，周期是 。

．用 )( jeX 表示累加系统

n

k

kxTny ][][ 的 ][y 。

．已知实序列的傅利叶变换满足 )()()

2(

j

j eXeX ，则 ]2[x 。

. 系统函数是 431 5.05.0)( zzzzH ，频率响应表示成 )()()( jj eAeH ，

2

z-1

y[n] x[n]

z-1 5

-1

z-1

其中 )(A 是实函数，写出相位 )( 。

．在对序列抽取偶序号构成新的序列时，为了防止混迭，前置抗混迭低通滤波器

的截止频率为 弧度。

．频率响应为

||3.0,

3.0||,0)(

10j

j

eeH 的理想高通滤波器，其单位冲击响应

h[n]= 。

．关于序列频谱错误的说法是 （ ）

A．离散时间信号的频谱是以 2 为周期的周期函数

B．周期性的连续时间信号的频谱是离散非周期的

C．周期性的离散时间信号的频谱以 2 为周期且离散

D．序列的 DFT是离散的，则表示序列的频谱是离散的

．序列 ][nx 的频谱如图 1.1所示，经过图 1.2 所示系统（其中的数字系统是增益

为 2，截止频率为 2/ 的理想低通滤波器）处理，关于 )(][ tyny a和 的频谱正确

的是 （ ）

)( jeX

图 1.1 图 1.2

（A） （B）

)( jeY

（C） （D）

)jYa（

T2

T2

)( jYa

T4

T4

)( jeY

2/2/

2][nx

．已知非零区间为 40 n 的序列 h1[n]={1,2,3,2,1}和 h2[n]={2, 1,0, 1,

2}，关于图 1.3 系统错误的说法是 （ ）

图 1.3

A．是广义线性相位系统，群延迟是 4

B．不可能是低通滤波器 C．不可能是高通滤波器

D．不可能是带通滤波器

．IIR滤波器的直接 II型实现结构与直接 I型实现结构比较优势是 （ ）

A．乘法次数较少 B。加法次数较少

C．延迟较少 D。易于调整零点和极点

．因果稳定系统的系统函数是 2/1||

3

11

2

11

)(11

21

z

zz

zzzH ， ，输入信号

][2][ nunx ，则 y[1]= 。

． 已知因果稳定的 LTI系统的系统函数)1)(1(

)41()(

1

321

21

1

zz

zzH ,

令 Hap(z) = Hi(z)H(z), Hap(z)是只有一个零点和极点的全通系统，则

Hi(z) =

。

. 如下图所示，当系统输入是 1[ ]x n ， 2[ ]x n 和3[ ]x n 时，系统响应分别是 1[ ]y n ， 2[ ]y n

和 3[ ]y n 。则该系统是 （ ）

1

h1[n] h2[n]

（A）线性且时不变的 （B）线性且时变的

（C）非线性且时不变的 （D）非线性且时变的

. 与下图系统等效的系统是（其中 h[n]表示 LTI 的单位脉冲响应） （ ）

0j ne

[ ]h n[ ]x n X [ ]y n

0j ne

[ ]h n[ ]x n X [ ]y n

0j ne

0[ ]j n

h n e[ ]x n X [ ]y n

0j ne

0[ ]j n

h n e[ ]x n X [ ]y n

0j ne

(A) (B)

(C) (D)

. 已知 ][nx 的傅利叶变换是 jX e ，则 /5 [ 3]jne x n 的傅利叶变换是 （ ）

（A） 3( /5) ( /5)( )j je X e （B） 3 ( /5)j je X e

（C） 3( /5) ( /5)( )j je X e （D） 3 ( /5)j je X e

. 下图所示系统中，已知 1 2

1( ) cos(2 6 ),

8cx t t T T s ，则 ( )rx t 等于 （ ）

T1 T2

（A） ( ) cos(2 6 )rx t t （B） ( ) cos(2 2 )rx t t

（C） ( ) cos(2 14 )rx t t （D） ( ) cos(2 22 )rx t t

. 设长度为 N 的序列 [ ]x n 的傅立叶变换为 jeX ，定义一个长度为 N 的新序列

[ ][ ]

0

x n ny n

n

为偶数

为奇数，则该序列的傅立叶变换为 （ ）

（A） 2jX e （B） / 2jX e

（C） / 2 ( 2 ) / 21

2

j jX e X e （D） ( )1

2

j jX e X e

. 若一个 LTI 系统的系统函数有下图所示的零极点，并且系统是因果的，则关

于其逆系统，正确的说法是 （ ）

（A）因果稳定 （B）因果不稳定

（C）稳定非因果 （D）非因果，不稳定

. 下列系统函数代表的不是全通系统的是 （ ）

（A）2

1

4( )

11

2

zH z

z

（B）2

2

9( )

1 9

zH z

z

（C） 2( )H z z （D）1

1

1 2( )

11

2

zH z

z

. 对于一个因果 FIR 系统，已知其频率响应具有常数群延迟 3.5，且已知0

1020log ( )jH e ，则可以确定该系统是 （ ）

（A）I类广义线性相位系统 （B）II类广义线性相位系统

（C）III 类广义线性相位系统 （D）IV类广义线性相位系统

. 关于滤波器的实现错误的说法是 （ ）

（A）IIR 的典范型实现结构比直接 I型需要的延迟少

（B）FIR 的线性相位型实现结构比直接型需要的乘法次数少

（C）FIR 和 IIR 可以采用重叠保留法在频域实现

（D）FIR 的直接型实现可以采用递归或非递归的实现结构

. 写出下图中整个系统的单位脉冲响应 h[n]= 。

后向差分

系统

后向差分

系统

[ ] [ ] [ 1]y n w n w n

w[n]=x[n]-x[n-1]

. 已知序列[ ] { 1, 2, 3, 4, 5}x n

（箭头指示原点位置）， jX e 是其傅立叶变换。

（1） |jX e

= ；（2） jX e d

= 。

. 考虑下图所示系统，已知 C/D 过程没有混迭。

（1）若离散时间系统的频率响应是

,0

( ), 0

jj

H ej

则等效的连续时间滤波器的频率响应

。

（2）若采样率 1/T=20kHz，要使 ( )ry t 的最高频率是 4kHz，则离散时间系统可

以是截止频率为 弧度的理想低通滤波器。

. 对采样率为 32kHz 的音频 WAV 文件，以 M=4 进行降采样，前置抗混迭离散时

间低通滤波器的截止频率应为 弧度。

. 下图中系统 1 是 LTI 系统，其频率响应是1( )jH e ，系统 2 的输入输出关系是

v[n]=w[-n]。用 1( )jH e 表示整个系统的频率响应 ( )jH e 。

[ ]w n [ ]g n1( )jH e [ ]x n [ ]y n2[ ]h n

1( )jH e

[ ]v n2[ ]h n

. 滑动平均系统的单位脉冲响应 [ ] [1 1 1 1 1]/ 5 0,1,...4h n n ， ，写出其广义

相位响应函数 ( ) = 。

. 令 [ ]h n 为 II 类 FIR 广义线性相位系统的单位脉冲响应。如果采用

1[ ] ( 1) [ ]nh n h n 得到另一个 FIR 系统的单位脉冲响应 1[ ]h n ，则 1[ ]h n 是第 类

线性相位 FIR 系统。

．一最小相位 FIR 滤波器， )(min nh 长度为 5，两个二阶零点分别为

3/23/2 5.0 5.0 jj ee 和

（1） 写出系统函数 )(min zH

（2） 对 )(min zH 乘一个合适的全通系统函数 )(zH ap ，使之成为线性相位系统

)(zH ，写出 )(zH 和 ][nh

．一个广义线性相位 FIR系统的单位取样响应是实数序列，满足：

]6[][,60,0][ nhnhnnfornh 且和 ，已知其系统函数有一个零点在

4/5.0 jez ，写出系统函数 )(zH 。

. 以下系统中用因果稳定的 )(zH c 补偿 )(zH d 的相位失真，即令整个等效系统

)()()( zHzHzG cd 为线性相位系统，若)5.01(

)91)(1)(2.01()(

1

211

z

zzzzHd ，

求 )(zH c 和 )(zG 。

][ny][nx )(zH c

)(zG

)(zH d

答案（前 4 章）

．满足 ][][ nxnx 的实信号，其傅立叶变换一定是 （ A ）

（A）实函数且偶对称 （B）虚部不为 0的复数函数且共轭对称

（C）实函数且奇对称 （D）虚部不为 0的复数函数且共轭反对称

．和式n

n

n

n

n

5

)6/sin(

2

)4/sin(

的值是 （ A ）

（A）1/60 （B）1/6

（B）1/10 （C）1/40

．稳定系统的系统函数1

1

34

21)(

z

zzH ，则单位取样响应 ]0[h 为（ D ）

（A）1 （B）1/2

（C）1/3 （D）1/4

．下图中的数字系统的单位取样响应是 1,0,)5.0(

)]5.0(sin[][

n

n

nnh

，整个

等效连续时间系统（虚框所示）的频率响应是 )( jH eff ，则正确的是（B ）

抗混迭低

通滤波器，

截 止 频 率

Ω c= π /T

弧度/秒

)(txa

（A） ,1)( jH eff （B）

other

TTe

jH

Tj

eff

，0

,)(

5.0

（C） ,)( 5.0 Tjeff ejH （D）

other

TTjH eff

，0

,1)(

．下图中模拟信号 )4002cos()( ttxa ，采样频率 kHzT

11 ，则处理后

的模拟信号 )(tya 为 （ D ）

（A） )4002cos(2

1t （B） )5002cos(

2

1t

（C） )1002cos(2

1t （D） )2002cos(

2

1t

2

．LTI系统输出信号与输入信号间的关系是 ][2

1][

3

0

knxnyk

k

，则

它们的傅立叶变换间的关系是 （ B ）

（A）

j

jj

e

eXeY

2

11

)()( （B）

j

j

jj

e

e

eXeY

2

11

16

11

)()(

4

（C）

j

j

jj

e

e

eXeY

2

11

16

11

)()(

4

（D）

j

jj

e

eXeY

2

11

)()(

．信号 ]1[)6.0cos(][ nnnx ，经过截止频率 5.0c 的理想低通滤

波器后的输出信号是 （ B ）

（A）)1(

))1(6.0sin(

n

n

（B）

)1(

))1(5.0sin(

n

n

（B）n

n

)5.0sin( （D）

)1(

))1(6.0sin()5.0sin(

n

n

n

n

．21

1

231

3

11

)(

zz

z

zH ，收敛域为一圆的外部，则该系统 （ B ）

（A）因果稳定 （B）因果不稳定

（C）稳定非因果 （D）非因果非稳定

．下列信号流图表示的系统函数是 （ B ）

2

z-1

y[n] x[n]

z-1 5

-1

z-1

（A） 321 10731)( zzzzH （B） 321 1031)( zzzzH

（C） 321 1031)( zzzzH （D） 321 10731)( zzzzH

．以下系统因果的有 （ Ｄ ）

（A） ]2[]}[{ nxnxT （B）单位脉冲响应为||

2

1][

n

nh

的 LTI

（C）

1

][]}[{nk

kxnxT （D）单位脉冲响应为 ][][ nunh 的 LTI

．差分方程 ]2[][][ nxnxny 表示的系统是 （ C ）

（A）低通滤波器 （B）高通滤波器

（C）带通滤波器 （D）带阻滤波器

．关于线性相位系统正确的说法是 （ D ）

（A）第 I类广义线性相位系统在 Z=1处不可能有零点

（B）非因果的线性相位 FIR系统的群延迟不可能是正的

（C）线性相位系统的并联一定等效于一个线性相位系统

（D）线性相位系统的级联一定等效于一个线性相位系统

. 第四类 FIR广义线性相位系统不可能是 ( A )

（A）低通滤波器 （B）高通滤波器

（C）带通滤波器 （D）带阻滤波器

． )(zH 是因果稳定最小相位 LTI系统，其单位冲击响应 ][nh 为实序列，

)/1()()( ** zHzHzc 的零极点图如下，且 1|)( 1zzc ，写出 )(zH 的单位冲击

响应 ][nh 2[n]-[n-1]

2/1 2

．下图所示的 4个序列中，傅立叶变换不是线性相位的是 （ B ）

x[n]

0 1 2 3

x[n]

0 1 2 3

x[n]

0 1 2 3

x[n]

0 1

(A) (B) (C) (D)

.以下系统是 FIR的是 （ C ）

(A) ][5.0][ nunh n (B) ]1[5.0][][ nynxny (C) 1

88

5.01

5.01)(

z

zzH

(D)

． 系 统 的 单 位 冲 击 响 应 为

o t h e r

Lnnnh

,0

||,2/||1][ ， 输 入 信 号 满 足

o d dnf o rnx ,0][ ，则输出信号为 （ D ）

(A)

k kn

knkxny

2/)2(

]2/)2(sin[]2[][

(B)

k kn

knkxny

)(

)](sin[][][

(C)

oddn

nx

nx

evennnx

ny,

2

1

2

1

2

1

],2/[

][ (D)

oddnnxnx

evennnx

ny,11

2

1

],[

][

．差分方程 ]1[][][ nxnxny 表示的系统是 （ B ）

（A）低通滤波器 （B）高通滤波器

（C）带通滤波器 （D）带阻滤波器

．系统函数 )41)(4

11)(21)(

2

11() 1111 zzzzzH（ 表示的系统不是（ C ）

（A）因果稳定系统 （B）FIR系统

（C）最小相位系统 （D）广义线性相位系统

.全通系统中若 a 为零点，则一定有一个 （ D ）

（B） 零点在 *a （B）零点在 */1 a

（C）极点在 *a （D）极点在 */1 a

. )13

3cos(][ nnx ，周期是 26。

．用 )( jeX 表示累加系统

n

k

kxTny ][][ 的 ][y0|)(

jeTX 。

．已知实序列的傅利叶变换满足 )()()

2(

j

j eXeX ，则 ]2[x 0。

.某系统函数是 431 5.05.0)( zzzzH ，频率响应表示成 )()()( jj eAeH ，

2

z-1

y[n] x[n]

z-1 5

-1

z-1

其中 )(A 是实函数，写出相位 )( 2/2 。

．在对序列抽取偶序号构成新的序列时，为了防止混迭，前置抗混迭低通滤波器

的截止频率为 2/ 弧度。

．频率响应为

||3.0,

3.0||,0)(

10j

j

eeH 的理想高通滤波器，其单位冲击响应

h[n]= )10(

))10(3.0sin(]10[

n

nn

。

．关于序列频谱错误的说法是 （D）

A．离散时间信号的频谱是以 2 为周期的周期函数

B．周期性的连续时间信号的频谱是离散非周期的

C．周期性的离散时间信号的频谱以 2 为周期且离散

D．序列的 DFT是离散的，则表示序列的频谱是离散的

．序列 ][nx 的频谱如图 1.1所示，经过图 1.2 所示系统（其中的数字系统是增益

为 2，截止频率为 2/ 的理想低通滤波器）处理，关于 )(][ tyny a和 的频谱正确

的是 （C）

)( jeX

图 1.1 图 1.2

（A） （B）

)( jeY

（C） （D）

)jYa（

T2

T2

)( jYa

T4

T4

)( jeY

2/2/

2][nx

．已知非零区间为 40 n 的序列 h1[n]={1,2,3,2,1}和 h2[n]={2, 1,0, 1,

2}，关于图 1.3 系统错误的说法是 （D）

图 1.3

A．是广义线性相位系统，群延迟是 4

B．不可能是低通滤波器 C．不可能是高通滤波器

D．不可能是带通滤波器

解答： 1 2[ ] [ ]* [ ] { 2, 5, 8, 6,0,6,8,5,2}h n h n h n

．IIR滤波器的直接 II型实现结构与直接 I型实现结构比较优势是 （C ）

A．乘法次数较少 B。加法次数较少

C．延迟较少 D。易于调整零点和极点

．因果稳定系统的系统函数是 2/1||

3

11

2

11

)(11

21

z

zz

zzzH ， ，输入信号

][2][ nunx ，则 y[1]=2

解答：

2]0[]1[

0]0[

]2[6/1]1[6/1]2[]1[][

xy

y

nynynxnxny

． 已知因果稳定的 LTI系统的系统函数)1)(1(

)41()(

1

321

21

1

zz

zzH ,

令 Hap(z) = Hi(z)H(z), Hap(z)是只有一个零点和极点的全通系统，则

Hi(z) =

)4

11(

)1)(1(

)4

11(4

)1)(1(

1

1

321

21

1

1

321

21

z

zz

z

zz或 。

)4

11(4

)1)(1(

)1)(1(

)4

11(4

/1)(

)4

11(

)4/1(4

)1)(1(

)4

11(

)4

11)(1)(1(

)4

11)(41(

)1)(1(

)41()(

1

1

321

21

1

321

21

1

1

1

1

321

21

1

11

321

21

11

1

321

21

1

z

zz

zz

z

zH

z

z

zz

z

zzz

zz

zz

zzH

i

h1[n] h2[n]

. 如下图所示，当系统输入是 1[ ]x n ， 2[ ]x n 和3[ ]x n 时，系统响应分别是 1[ ]y n ， 2[ ]y n

和 3[ ]y n 。则该系统是 （D）

（A）线性且时不变的 （B）线性且时变的

（C）非线性且时不变的 （D）非线性且时变的

1

. 与下图系统等效的系统是（其中 h[n]表示 LTI 的单位脉冲响应） （C）

0j ne

[ ]h n[ ]x n X [ ]y n

0j ne

[ ]h n[ ]x n X [ ]y n

0j ne

0[ ]j n

h n e[ ]x n X [ ]y n

0j ne

0[ ]j n

h n e[ ]x n X [ ]y n

0j ne

(A) (B)

(C) (D)

. 已知 ][nx 的傅利叶变换是 jX e ，则 /5 [ 3]jne x n 的傅利叶变换是 （A）

（A） 3( /5) ( /5)( )j je X e （B） 3 ( /5)j je X e

（C） 3( /5) ( /5)( )j je X e （D） 3 ( /5)j je X e

. 下图所示系统中，已知 1 2

1( ) cos(2 6 ),

8cx t t T T s ，则 ( )rx t 等于 （B）

T1 T2

（A） ( ) cos(2 6 )rx t t （B） ( ) cos(2 2 )rx t t

（C） ( ) cos(2 14 )rx t t （D） ( ) cos(2 22 )rx t t

. 设长度为 N 的序列 [ ]x n 的傅立叶变换为 jeX ，定义一个长度为 N 的新序列

[ ][ ]

0

x n ny n

n

为偶数

为奇数，则该序列的傅立叶变换为 （Ｄ）

（A） 2jX e （B） / 2jX e

（C） / 2 ( 2 ) / 21

2

j jX e X e

（D） ( )1

2

j jX e X e

. 若一个 LTI 系统的系统函数有下图所示的零极点，并且系统是因果的，则关

于其逆系统，正确的说法是 （C）

（A）因果稳定 （B）因果不稳定

（C）稳定非因果 （D）非因果，不稳定

. 下列系统函数代表的不是全通系统的是 （A）

（A）2

1

4( )

11

2

zH z

z

（B）2

2

9( )

1 9

zH z

z

（C） 2( )H z z （D）1

1

1 2( )

11

2

zH z

z

. 对于一个因果 FIR 系统，已知其频率响应具有常数群延迟 3.5，且已知0

1020log ( )jH e ，则可以确定该系统是 （B）

（A）I类广义线性相位系统 （B）II类广义线性相位系统

（C）III 类广义线性相位系统 （D）IV类广义线性相位系统

. 关于滤波器的实现错误的说法是 （C）

（A）IIR 的典范型实现结构比直接 I型需要的延迟少

（B）FIR 的线性相位型实现结构比直接型需要的乘法次数少

（C）FIR 和 IIR 可以采用重叠保留法在频域实现

（D）FIR 的直接型实现可以采用递归或非递归的实现结构

. 写出下图中整个系统的单位脉冲响应 h[n]= [ ] 2 [ 1] [ 2]n n n 。

后向差分

系统

后向差分

系统

[ ] [ ] [ 1]y n w n w n

w[n]=x[n]-x[n-1]

解：

[ ] [ ] [ 1]

[ ] [ ] [ 1] [ ] [ 1] [ 1] [ 2] [ ] 2 [ 1] [ 2]

[ ] [ ] 2 [ 1] [ 2]

w n x n x n

y n w n w n x n x n x n x n x n x n x n

h n n n n

. 已知序列[ ] { 1, 2, 3, 4, 5}x n

（箭头指示原点位置）， jX e 是其傅立叶变换。

（1） |jX e

= -3 ；（2） jX e d

= 4 。

解：利用 FT 和 IFT 的定义

（1） | 1 3nj j n

n n

X e x n e x n

（2） 0 2 0 4j j jX e d X e e d x

. 考虑下图所示系统，已知 C/D 过程没有混迭。

（1）若离散时间系统的频率响应是

,0

( ), 0

jj

H ej

则等效的连续时间滤波器的频率响应

,0 /

( ) , / 0

0,| | /

eff

j T

H j j T

T

。

（2）若采样率 1/T=20kHz，要使 ( )ry t 的最高频率是 4kHz，则离散时间系统可

以是截止频率为 2PI/5 弧度的理想低通滤波器。

. 对采样率为 32kHz 的音频 WAV 文件，以 M=4 进行降采样，前置抗混迭离散时

间低通滤波器的截止频率应为 PI/4 弧度。

. 下图中系统 1 是 LTI 系统，其频率响应是1( )jH e ，系统 2 的输入输出关系是

v[n]=w[-n]。用1( )jH e 表示整个系统的频率响应 ( )jH e

1 1( ) ( )j jH e H e 。

[ ]w n [ ]g n1( )jH e [ ]x n [ ]y n2[ ]h n

1( )jH e

[ ]v n2[ ]h n

解： 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j j j j j j j jY e G e H e V e H e W e H e H e X e

. 滑动平均系统的单位脉冲响应 [ ] [1 1 1 1 1]/ 5 0,1,...4h n n ， ，写出其广义

相位响应函数 ( ) = 2 。

. 令 [ ]h n 为 II 类 FIR 广义线性相位系统的单位脉冲响应。如果采用

1[ ] ( 1) [ ]nh n h n 得到另一个 FIR 系统的单位脉冲响应 1[ ]h n ，则 1[ ]h n 是第 4 类线

性相位 FIR 系统。

．一最小相位 FIR 滤波器， )(min nh 长度为 5，两个二阶零点分别为

3/23/2 5.0 5.0 jj ee 和

（3） 写出系统函数 )(min zH

答： 213/2213/2

min )5.01()5.01()( zezezH jj

（4） 对 )(min zH 乘一个合适的全通系统函数 )(zH ap ，使之成为线性相位系统

)(zH ，写出 )(zH 和 ][nh

答：

)5.225.55.21(25.0

)5.01(

)5.0(

)5.01(

)5.0(])5.01()5.01[(

)()()(

4321

13/2

3/21

13/2

3/21213/2213/2

min

zzzz

ze

ez

ze

ezzeze

zHzHzH

j

j

j

jjj

ap

．一个广义线性相位 FIR系统的单位取样响应是实数序列，满足：

]6[][,60,0][ nhnhnnfornh 且和 ，已知其系统函数有一个零点在

4/5.0 jez ，写出系统函数 )(zH 。

. 以下系统中用因果稳定的 )(zH c 补偿 )(zH d 的相位失真，即令整个等效系统

)()()( zHzHzG cd 为线性相位系统，若)5.01(

)91)(1)(2.01()(

1

211

z

zzzzHd ，

求 )(zH c 和 )(zG 。

][ny][nx )(zH c

)(zG

)(zH d

解：对 )(zH d 作最小相位和线性相位分解

)9

11)(91)(1()()(

)2.01(

)9

11)(5.01(

)(/1)(

)()(

)9

11)(91)(1(

)9

11)(5.01(

)2.01(

)9

11(

)9

11(

)91)(1()5.01(

)2.01()(

221

1

21

min

min

221

21

1

2

2

21

1

1

zzzzHzG

z

zz

zHzH

zHzH

zzz

zz

z

z

z

zzz

zzH

lin

c

lin

d

习题（后 3 章）

． )(sH 是一个模拟低通滤波器的传递函数，另一数字滤波器的系统函

数 1

1|)(

z

zs

sHzG ，则此数字滤波器是 （ ）

（A）低通 （B）高通

（C）带通 （D）带阻

．如下图两个序列的循环卷积 ][4][][ nhnxny ， ]3[y 为 （ ）

1

x[n] h[n]

1/2 1

0 1 2 0 1 2 3

（A）3/2 （B） 5/2

（C）3 （D） 5

．LTI系统单位取样响应长度为 10，输入信号长度为 20，用 DFT法求

输出信号，允许 9点混迭，DFT的点数最少可以取 （ ）

（A）29 （B）20

（C）10 （D）30

．已知： ]4[2]3[]2[3]1[7][4][ nnnnnnx ，其 6

点 DFT 是 ][kX ， )1,0](3[][ kkXkY ，则 ][kY 的 2点 IDFT ][ny 为 （ ）

（A） ]1[9][5 nn （B） ]1[6][7 nn

（C） ]1[8][9 nn （D） ]1[7][6 nn

．1024 点 FFT，顺序输入时域信号 ][nx ，倒位序输出频域谱线 ][ny ，倒

数第二个输出值 ]1022[y 为 （ ）

（A） ]1022[X （B） ]511[X

（C） ]767[X （D） ]256[X

．8点按频率抽选顺位序输入倒位序输出的同址计算 FFT信号流图中，

第二级的系数由上而下有规则排列为 （ ）

（A） 38

28

18

08 WWWW ，，， （B） 2

80

82

80

8 WWWW ，，，

（C） 08

08

08

08 WWWW ，，， （D） 6

84

82

80

8 WWWW ，，，

．一般估计基 2的 N点 FFT运算量实数乘与实数加次数分别为（ ）

（A） NN NN 22 log3,log2 （B） NN NN

22 log,log2

（C） NN NN 22 log4,log2 （D） NN NN 22 log4,log4

．采用窗函数法设计 FIR线性相位滤波器，正确的说法有 （ ）

（A） 采用 6 的凯泽窗比 3 的凯泽窗阻带衰减更小

（B） 采用较长的汉宁窗能达到和采用较短的矩形窗相同的过渡带宽

（C） 采用汉明窗，窗越长则通带阻带波纹越小

（D） 先根据对过渡带宽的要求确定窗形状，再确定窗长

．关于基 2FFT算法哪个说法是错误的 （ ）

（A）时间抽选和频率抽选的运算量相同

（B）时间抽选和频率抽选所需的存储空间相同

（C）输入序列正常位序，输出序列倒位序排列的频率抽选算法可以采用同

址运算

（D）输入和输出均正常位序的时间抽选算法能采用同址运算

．利用短时 DFT（相同窗长和 DFT点数）分析信号频谱，比较采用矩形窗和汉

宁窗，正确的说法是 （ ）

（A） 前者较后者频率分辨率高

（B） 前者较后者时间分辨率低

（C） 前者较后者旁瓣峰值相对幅度小

（D） 前者较后者频域取样更密

．采样频率确定的情况下，短时 DFT的频率分辨率取决于 （ ）

（A）时域采样点数 （B）信号带宽

（C）DFT的点数 （D）量化误差

．一模拟滤波器 )(sH c 的 3dB截止频率为 kHz1 ，用1

1

1

1|)()(

z

zs

c sHzH 将之转换

成数字滤波器，数字滤波器的 3dB截止频率为（可以只写出三角函数式）

．有一个 40 点长的有限长序列 ][nx ， )( jeX 是它的频谱，现希望用一个 N 点的

DFT 求出 4/3/,2/ 和 处的 )( jeX ，则 DFT点数 N可取的最小值为 。

．无限长正弦信号 )55.0cos()45.0cos(][ nnnx 。欲使用加窗的 DFT求其 DFS。

1．画出实现框图。

2. 应如何选择窗口的形状、长度和 DFT点数，说明理由。

．)5.5(

))5.5(3.0sin(

)5.5(

))5.5(sin(][

n

n

n

nnhd

是一个理想高通滤波器的冲激响

应。求其频率响应。对 hd(n)加长度为12的矩形窗，即h(n)=hd(n)，n=0, 1, …,

11，能够得到一个 FIR高通滤波器吗？证明你的结论。

．已知 2550,0][,2550,0][ 21 nnxnnx ， ]}[{)(],[][][ 21 nxFTeXnxnxnx j 。对

x1[n]和 x2[n]做如下处理：

IDFTnxkX

nxnxnx

nrnxnx

nrnxnx

r

r

的是

点循环卷积的和是

][][)4(

128][][][)3(

1280,]128[][)2(

1280,]128[][)1(

21

22

11

（1）写出 X[k]与 )( jeX 的关系，说明理由

（2）写出 x[n]与 x[n]的关系。

．关于数字 IIR滤波器的模拟滤波器法设计正确的说法是 （ ）

（A） 冲击响应不变法不能用来设计带通滤波器

（B） 双线性变换法能将最小相位模拟滤波器映射成最小相位数字滤波器

（C） 必须将 S 平面左半平面全部映射到 Z平面的单位圆内，才能保证因果

稳定性

（D）双线性变换法把模拟滤波器的极点 ks 映射成极点 dkTse

．采用窗函数法设计 FIR线性相位滤波器，正确的说法是 （ ）

（E） 同样窗长的情况下，采用汉宁窗比矩形窗阻带衰减更大

（F） 窗形状不变，窗越长则阻带衰减越小

（G） 先根据对过渡带宽的要求确定窗形状，再确定窗长

（H） 过渡带宽只受窗长影响，不受窗形状影响

．在采用 DFT实现线性时不变系统的重叠保留法时，若 FIR滤波器的单位冲击响

应长度为 N, 即 Nnornfornh 0,0][ 。将信号分成长度为 L 的交叠

段（L>>N），则段间重叠的长度应为（ ）

(A) N (B)N-1 (c)L (D)L-1

.同上题，DFT的点数最小为 （ ）

(A)L+N-1 (B)L (C)N (D)L-N-1

．两个有限长序列 990,0][ nandnfornx , 90,0][ nandnfornh ，已知

二者的线性卷积的前面 9 点 8,...0,5][ nny ，二者的 100 点循环卷积

99,...0,20][' nny ，则可以推断 （ ）

(A)

108,...100,15

99,...9,20

8,...0,5

][

n

n

n

ny （B）

108,...100,5

99,...9,20

8,...0,5

][

n

n

n

ny

(C)

108,...9,20

8,...0,5][

n

nny (D)

108,...100,

99,...9,20

8,...0,5

][

n

n

n

ny

不确定

．序列 ][nx 的长度是 N，其 N 点 DFT 是 ][kX ，另一序列

othern

NNnNnx

Nnnx

ny

,0

12,...],[

1,...0],[

][ ，

用 ][kX 表示 ][ny 的 2N 点 DFT ][kY

。

．下列序列的 6点 DFT为 5,...1,0,][][ ][ kekAkX kj ,其中 是实数序列][kA ,

b

0 1 2 3 4 5 n

a

b c c

d

写出相位 ][k =

。

．一模拟滤波器 )(sH c 的 3dB 截止频率为 2.0 弧度/秒，用冲击响应不变法将之

转换成数字滤波器，取 2dT ,数字滤波器的 3dB截止频率为 弧度。

．最高频率 4000Hz 的模拟信号以 8000Hz采样率转换成数字信号，再计算 500点

DFT，则第 10根谱线（编号从 0开始）对应的频率是 Hz。

．两个长度为 N 的实序列 ][][ 21 nxnx 和 ，它们的 N 点 DFT 分别为 ][][ 21 kXkX 和 。

1．设计一种算法，用一次 N点 FFT根据 ][][ 21 kXkX 和 计算得到 ][][ 21 nxnx 和 。

2．画出信号流图，其中 FFT 部分采用基 2 时域抽选(输入倒序、输出顺序)的

信号流图（设 N=8）。

．下列关于数字滤波器的说法正确的有 （ ）

A．IIR滤波器因为单位取样响应无限长，所以是不能实现的

B．FIR滤波器不能采用含有递归的实现结构

C．FIR滤波器能用 DFT实现 D。IIR滤波器能用 DFT实现

．下列关于卷积的说法错误的是： （ ）

A．线性卷积可以用循环卷积实现

B．循环卷积可以用线性卷积实现

C．线性卷积可以实现相关运算

D．一个有限序列与一个无限长序列的卷积一定是无限长的

．关于数字滤波器设计正确的说法是 （ ）

A．冲击响应不变法不能设计高通滤波器是因为系统函数在 z=-1处有零点

A． 双线性变换法能将最小相位模拟滤波器映射成最小相位数字滤波器

B． 窗函数法中窗形状不变，窗越长则阻带衰减越大

C． 窗函数法中过渡带宽只受窗长影响，不受窗形状影响

．一个 3dB截止频率为 5.0 弧度/秒的高通数字 IIR滤波器 )( jeH ，用在图 1.4

对连续时间信号作滤波，图中 sT 005.0 。现采用模拟滤波器法来设计该数

字滤波器，则原型模拟滤波器的 3dB截止频率可以选择 （ ）

图 1.4

A． )2/5.0tan(2

dT

弧度/秒 B。 dT/5.0 弧度/秒

C． )2/5.0tan(005.0

2 弧度/秒 D。 005.0/5.0 弧度/秒

．设长度为 N 的序列 nx 的傅立叶变换为 jeX ，定义一个长度为 2N 的新序列

为奇数

为偶数

n

nnxnx

0

21 ，则该序列的 2N 点离散傅立叶变换为 （ ）

A． NkjeX / B。 NkjeX /2

C． NkjeX 2/ D。 NkjeX /4

．长度为 8的序列 x[n]的 8点 DFT是 X[k]，则 x[((n+3))8]R8[n]（其中 R8[n]是

长度为 8的矩形序列）的 8点 DFT是 （ ）

A． kWkX 3

8][ B。 kWkX 3

8][

C． 3][ jekX D。 3][ jekX

．实序列 7,0,0][ nnnx ，其 8点 DFT是 ][kX ，另一实序列

3,0,0][ nnny ，其 4点 DFT是 ]4[][][ kXkXkY ，则 y[n]是（ ）

A． ][])4[][( 4 nRnxnx B． ]2[2 nx

C． ]21[][ nNxny D．

奇数

偶数

k

nnx

,0

],2/[2

．关于频域取样正确的说法是 （ ）

A．频域取样不能用点数小于序列长度的 DFT计算得到

B．只要频域取样点数大于等于序列长度就能重构时域信号

C．频域取样点数越大则频率分辨率越高

D．如果两个序列的频域取样相同，则两个序列相同

．用窗函数法设计 FIR 高通滤波器 h[n](n=0,…M)，要求 (1)阻带衰减大于 35dB,

(2) 过渡带宽小于 /8，采用凯则窗，则窗形状参数 = ，

窗长参数 M= .

提示：

10

0.4

820log ,

2.285

0.1102( 8.7) A>50

0.5842( 21) +0.07886( 21) 21 A 50

0 A<

AA M

A

A A

21

．模拟信号 )2000cos()( ttxc 以 8000Hz 采样率转换成数字信号，取 600 点

计算 600点 DFT，幅度不为零的 2根谱线编号是 （编号从 0开始）

．FIR系统单位冲击响应长度为 N，已知其 N点 DFT是 H[k]，用 H[k]表示其系统

函数 H(z)=

．序列 ][nx 的长度是 N，其 N点 DFT是 ][kX ，另两个长度为 2N的序列分别是

othern

NNnNnx

Nnnx

ny

,0

12,...],[

1,...0],[

][1 ，

othern

NNn

Nnnx

ny

,0

12,...0

1,...0],[

][2 ，

其 2N点 DFT分别为 ][1 kY 和 ][2 kY ，则 是 ][kX 的理想内插。

．用一次 N 点 FFT 分析 2N 点实数序列的频谱，设 N =2,是一个正整数，则复

数乘法的次数是 ，复数加法的次数是 。

．连续时间信号采样并加矩形窗做谱分析，要求频谱分辨率 F 50Hz，信号最

高频率为 1kHz，试确定以下各参数：

（1）最小记录时间 Tpmin= ；

（2）最大取样间隔 Tmax= ；

（3）当采用（2）中的最大取样间隔时，最少采样点数 Nmin= 。

（4）如果采用汉宁窗，则最小采样点数更 （大/小）。

．X[k]是序列 x[n]=2n (0 n 7)的 8点 DFT，写出下列值

（1）X[0] ，（2）X[4]，（3）

7

0

[ ]k

X k

，（4）

7(3 / 4)

0

[ ]j k

k

e X k

，（5）

72

0

( [ ])k

X k

。

．图 5.1 所示系统 ][nx 是一个长度为 N 的信号，要求 ][kX 是对 )( jeX 在

]6

,6

[

cc 的 N等分取样（即放大频谱的一个区域作 DFT），

][nx X

nj ce

N 点 DFT ][kX

][1 nx ][2 nx ][3 nx

图 5.1

（1）填写两个空框的内容，并且确定其中的各种参数（截止频率等）。

（2） )( jeX 如图 5.2所示，画出 ][][ 32 nxnx 和 的傅立叶变换图

)( jeX

6,,

6

ccc

图 5.2

．关于 IIR滤波器设计正确的说法是 （ ）

（A）双线性变换法将连续时间滤波器的极点 ks 映射成离散时间滤波器的极点

2

2

d k

d k

T s

T s

。

（B）最小相位连续时间系统经过脉冲响应不变法一定得到最小相位离散时间系

统。

（C）连续时间全通系统经过双线性交换法得到的不是离散时间全通系统。

（D）脉冲响应不变法将连续时间滤波器的零点 ks 映射成离散时间滤波器的零点

k ds Te 。

．下图所示两个序列 1x n 和 2x n ，它们的 5点 DFT分别为 1 2X k X k和 ，则错

误的是 （ ）

][1 nx ][2 nx

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

（A） ][1 kX 是实序列 （B） ][2 kX 是实序列

（C） ][1 kX 是广义线性相位 （D） ][2 kX 是广义线性相位

．利用基 2 DIT-FFT 算法计算 1024点 DFT，需要的级数和每级蝶型数分别为（ ）

（A）11 和 1024 （B）11和 512

（C）10 和 512 （D）1024和 10

．设长度为 8的序列 [ ]x n 的 8点 DFT X k 如下图所示。定义一个长度为 16的新

序列 1

[ / 2][ ]

0

x n nx n

n

为偶数

为奇数，则该序列的 16点 DFT是 （ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

．一连续时间滤波器的系统函数为ss

sH c

2

1)( ，依据 )(][ dcd nThTnh 将其转换

成离散时间滤波器，其中 1dT ，则数字滤波器的系统函数为 H(z)= 。

．考虑采用如下的代数变换公式

1

1

1

1

zs

z

从一个连续时间低通滤波器的系统函数转换得到离散时间滤波器的系统函数，

设连续时间滤波器的通带截止频率和阻带截止频率分别为 p s 和 。

（1）给出连续时间系统与离散时间系统的频率响应之间的对应关系（需要简单

推导）；

（2）离散时间系统是哪种选频滤波器？

（3）用 p s 和 表示离散时间滤波器的通带截止频率 p 和阻带截止频率 s 。

．长度为 N 的序列 x[n]、h[n]和 y[n]的 N 点 DFT 分别为 [ ] [ ] [ ]X k H k Y k、 和 ，已

知1

0

[ ] [ ] [(( )) ], 0,1,... 1N

N

l

Y k X l H k l k N

利用 DFT的性质证明（注意采用其它方法证明不得分）

1 1 1

0 0 0

[ ] [ ] [ ]N N N

k k k

Y k N X k H k

．考虑一个 2N点实序列 x[n]，其 2N点 DFT X[k]已知，要求利用一次 N点 IFFT

运算计算出 x[n]，写出实现步骤，必要之处需要说明理由或证明。

．一个序列的 N点 DFT是实序列，则该序列一定满足 （ ）

（A） [ ] [ ], 1,..., 1x n x N n n N （B） *[ ] [ ], 1,..., 1x n x N n n N

（C） [ ] [ 1 ], 1,..., 1x n x N n n N （D） *[ ] [ 1 ], 1,..., 1x n x N n n N

．定义实数序列 [ ] 0, 0,x n n n N 和 [ ] 0, 0,h n n n N 的 N点循环相关为

1

0

[ ] [(( )) ] [ ] 0,1,... -1N

N

l

r n x l n h l n N

，

写出采用 2次 N点 DFT和 1次 N点 IDFT 实现上述循环相关的方法，简单阐

述理由。

．下图中有两片用于 4点时间抽选 FFT的芯片（芯片内部采用输入倒位序输出正

常顺序的实现结构）。下图的目的是利用这两片芯片计算一个 8点序列 x[n]的 DFT，

将该信号流图补充完整。

-1

-1

-1

-1

x[7]

x[0] X[0]

X[2]

X[4]

X[6]

X[1]

X[3]

X[5]

X[7]

4 点

DIT-FFT

芯片

4 点

DIT-FFT

芯片

答案（后 3 章）

． )(sH 是一个模拟低通滤波器的传递函数，另一数字滤波器的系统函

数 1

1|)(

z

zs

sHzG ，则此数字滤波器是 （ B ）

（A）低通 （B）高通

（C）带通 （D）带阻

．如下图两个序列的循环卷积 ][4][][ nhnxny ， ]3[y 为 （ B ）

1

x[n] h[n]

1/2 1

0 1 2 0 1 2 3

（A）3/2 （B） 5/2

（C）3 （D） 5

．LTI系统单位取样响应长度为 10，输入信号长度为 20，用 DFT法求

输出信号，允许 9点混迭，DFT的点数最少可以取 （ B ）

（A）29 （B）20

（C）10 （D）30

．已知： ]4[2]3[]2[3]1[7][4][ nnnnnnx ，其 6

点 DFT 是 ][kX ， )1,0](3[][ kkXkY ，则 ][kY 的 2点 IDFT ][ny 为 （ C ）

（A） ]1[9][5 nn （B） ]1[6][7 nn

（C） ]1[8][9 nn （D） ]1[7][6 nn

．1024 点 FFT，顺序输入时域信号 ][nx ，倒位序输出频域谱线 ][ny ，倒

数第二个输出值 ]1022[y 为 （ B ）

（A） ]1022[X （B） ]511[X

（C） ]767[X （D） ]256[X

．8点按频率抽选顺位序输入倒位序输出的同址计算 FFT信号流图中，

第二级的系数由上而下有规则排列为 （ B ）

（A） 38

28

18

08 WWWW ，，， （B） 2

80

82

80

8 WWWW ，，，

（C） 08

08

08

08 WWWW ，，， （D） 6

84

82

80

8 WWWW ，，，

．一般估计基 2的 N点 FFT运算量实数乘与实数加次数分别为（A ）

（B） NN NN 22 log3,log2 （B） NN NN

22 log,log2

（D） NN NN 22 log4,log2 （D） NN NN 22 log4,log4

．采用窗函数法设计 FIR线性相位滤波器，正确的说法有 （ B ）

（I） 采用 6 的凯泽窗比 3 的凯泽窗阻带衰减更小

（J） 采用较长的汉宁窗能达到和采用较短的矩形窗相同的过渡带宽

（K） 采用汉明窗，窗越长则通带阻带波纹越小

（L） 先根据对过渡带宽的要求确定窗形状，再确定窗长

．关于基 2FFT算法哪个说法是错误的 （ Ｄ ）

（A）时间抽选和频率抽选的运算量相同

（B）时间抽选和频率抽选所需的存储空间相同

（C）输入序列正常位序，输出序列倒位序排列的频率抽选算法可以采用同

址运算

（D）输入和输出均正常位序的时间抽选算法能采用同址运算

．利用短时 DFT（相同窗长和 DFT点数）分析信号频谱，比较采用矩形窗和汉

宁窗，正确的说法是 （ Ａ ）

（E） 前者较后者频率分辨率高

（F） 前者较后者时间分辨率低

（G） 前者较后者旁瓣峰值相对幅度小

（H） 前者较后者频域取样更密

．采样频率确定的情况下，短时 DFT的频率分辨率取决于 （ Ａ ）

（A）时域采样点数 （B）信号带宽

（C）DFT的点数 （D）量化误差

．一模拟滤波器 )(sH c 的 3dB截止频率为 kHz1 ，用1

1

1

1|)()(

z

zs

c sHzH 将之转换

成数字滤波器，数字滤波器的 3dB截止频率为（可以只写出三角函数式）

)2000(tan2 1

．有一个 40 点长的有限长序列 ][nx ， )( jeX 是它的频谱，现希望用一个 N 点的

DFT 求出 4/3/,2/ 和 处的 )( jeX ，则 DFT点数 N可取的最小值为 24。

．无限长正弦信号 )55.0cos()45.0cos(][ nnnx 。欲使用加窗的 DFT求其 DFS。

1．画出实现框图。

2. 应如何选择窗口的形状、长度和 DFT点数，说明理由。

．)5.5(

))5.5(3.0sin(

)5.5(

))5.5(sin(][

n

n

n

nnhd

是一个理想高通滤波器的冲激响

应。求其频率响应。对 hd(n)加长度为12的矩形窗，即h(n)=hd(n)，n=0, 1, …,

11，能够得到一个 FIR高通滤波器吗？证明你的结论。

解：

（需证明）类，奇数，偶对称，又

的高通滤波器

的频率响应为又

的频率响应为

0)(][

3.0

||3.0,

3.0||,0)()()(

3.0||,

3.0||,0)(

)11(

))11(3.0sin()(

||0,)(

)5.5(

))5.5(sin()(

5.521

5.52

2

5.51

1

j

c

j

jjj

j

j

jj

eHIIMnh

eeHeHeH

eeH

n

nnh

eeH

n

nnh

．已知 2550,0][,2550,0][ 21 nnxnnx ， ]}[{)(],[][][ 21 nxFTeXnxnxnx j 。对

x1[n]和 x2[n]做如下处理：

IDFTnxkX

nxnxnx

nrnxnx

nrnxnx

r

r

的是

点循环卷积的和是

][][)4(

128][][][)3(

1280,]128[][)2(

1280,]128[][)1(

21

22

11

（1）写出 X[k]与 )( jeX 的关系，说明理由

（2）写出 x[n]与 x[n]的关系。

解：

][128][][]128[][

][|)(][][~

]}[{)2(

|)(][~

)()()(

][][][

127,...0,|)()(][~

127,...0,|)(][~

127,...0,|)(][~

]128[][~,]128[][~

][~

][~

][~

][~][~][~)1(

21128

128128/2128

128/2

21

21

128/221

128/222

128/211

2211

21

21

nxnxnRrnxny

kReXkRkYnyDFT

eXkY

eXeXeX

nxnxnx

keXeXkY

keXkX

keXkX

rnxnxrnxnx

kXkXkY

nxnxny

r

kj

kj

jjj

kjj

kj

kj

rr

又

．关于数字 IIR滤波器的模拟滤波器法设计正确的说法是 （ B ）

（D） 冲击响应不变法不能用来设计带通滤波器

（E） 双线性变换法能将最小相位模拟滤波器映射成最小相位数字滤波器

（F） 必须将 S 平面左半平面全部映射到 Z平面的单位圆内，才能保证因果

稳定性

（D）双线性变换法把模拟滤波器的极点 ks 映射成极点 dkTse

．采用窗函数法设计 FIR线性相位滤波器，正确的说法是 （ A ）

（M） 同样窗长的情况下，采用汉宁窗比矩形窗阻带衰减更大

（N） 窗形状不变，窗越长则阻带衰减越小

（O） 先根据对过渡带宽的要求确定窗形状，再确定窗长

（P） 过渡带宽只受窗长影响，不受窗形状影响

．在采用 DFT实现线性时不变系统的重叠保留法时，若 FIR滤波器的单位冲击响

应长度为 N, 即 Nnornfornh 0,0][ 。将信号分成长度为 L 的交叠

段（L>>N），则段间重叠的长度应为（ B ）

(A) N (B)N-1 (c)L (D)L-1

.同上题，DFT的点数最小为 （ B ）

(A)L+N-1 (B)L (C)N (D)L-N-1

．两个有限长序列 990,0][ nandnfornx , 90,0][ nandnfornh ，已知

二者的线性卷积的前面 9 点 8,...0,5][ nny ，二者的 100 点循环卷积

99,...0,20][' nny ，则可以推断 （ A ）

(A)

108,...100,15

99,...9,20

8,...0,5

][

n

n

n

ny （B）

108,...100,5

99,...9,20

8,...0,5

][

n

n

n

ny

(C)

108,...9,20

8,...0,5][

n

nny (D)

108,...100,

99,...9,20

8,...0,5

][

n

n

n

ny

不确定

．序列 ][nx 的长度是 N，其 N 点 DFT 是 ][kX ，另一序列

othern

NNnNnx

Nnnx

ny

,0

12,...],[

1,...0],[

][ ，

用 ][kX 表示 ][ny 的 2N 点 DFT ][kY

奇数

偶数

k

kkX

,0

],2/[2。

．下列序列的 6点 DFT为 5,...1,0,][][ ][ kekAkX kj ,其中 是实数序列][kA ,

b

0 1 2 3 4 5 n

a

b c c

d

写出相位 ][k = 6

21

6

kW k

。

．一模拟滤波器 )(sH c 的 3dB 截止频率为 2.0 弧度/秒，用冲击响应不变法将之

转换成数字滤波器，取 2dT ,数字滤波器的 3dB截止频率为 4.0 弧度。

．最高频率 4000Hz 的模拟信号以 8000Hz采样率转换成数字信号，再计算 500点

DFT，则第 10根谱线（编号从 0开始）对应的频率是 160Hz。

．两个长度为 N 的实序列 ][][ 21 nxnx 和 ，它们的 N 点 DFT 分别为 ][][ 21 kXkX 和 。

1．设计一种算法，用一次 N点 FFT根据 ][][ 21 kXkX 和 计算得到 ][][ 21 nxnx 和 。

2．画出信号流图，其中 FFT 部分采用基 2 时域抽选(输入倒序、输出顺序)的

信号流图（设 N=8）。

]}[Im{][]},[Re{][

][,][][][)3(

1,...0,)][(1

][1

][)2(

1,...0].[][][)1(

21

2121

*1

0

*1

0

21

nyjnjxnynx

kjXkXnxnx

FFTNNnWkYN

WkYN

ny

NkkjXkXkY

N

k

nk

N

N

k

nk

N

共轭反对称共轭对称实，所以和

点，此即

．下列关于数字滤波器的说法正确的有 （C）

A．IIR滤波器因为单位取样响应无限长，所以是不能实现的

B．FIR滤波器不能采用含有递归的实现结构

C．FIR滤波器能用 DFT实现 D。IIR滤波器能用 DFT实现

．下列关于卷积的说法错误的是： （D）

A．线性卷积可以用循环卷积实现

B．循环卷积可以用线性卷积实现

C．线性卷积可以实现相关运算

D．一个有限序列与一个无限长序列的卷积一定是无限长的

．关于数字滤波器设计正确的说法是 （B ）

A．冲击响应不变法不能设计高通滤波器是因为系统函数在 z=-1处有零点

D． 双线性变换法能将最小相位模拟滤波器映射成最小相位数字滤波器

E． 窗函数法中窗形状不变，窗越长则阻带衰减越大

F． 窗函数法中过渡带宽只受窗长影响，不受窗形状影响

．一个 3dB截止频率为 5.0 弧度/秒的高通数字 IIR滤波器 )( jeH ，用在图 1.4

对连续时间信号作滤波，图中 sT 005.0 。现采用模拟滤波器法来设计该数

字滤波器，则原型模拟滤波器的 3dB截止频率可以选择 （A）

图 1.4

A． )2/5.0tan(2

dT

弧度/秒 B。 dT/5.0 弧度/秒

C． )2/5.0tan(005.0

2 弧度/秒 D。 005.0/5.0 弧度/秒

．设长度为 N 的序列 nx 的傅立叶变换为 jeX ，定义一个长度为 2N 的新序列

为奇数

为偶数

n

nnxnx

0

21 ，则该序列的 2N 点离散傅立叶变换为 （B）

A． NkjeX / B。 NkjeX /2

C． NkjeX 2/ D。 NkjeX /4

．长度为 8的序列 x[n]的 8点 DFT是 X[k]，则 x[((n+3))8]R8[n]（其中 R8[n]是

长度为 8的矩形序列）的 8点 DFT是 （B）

A． kWkX 3

8][ B。 kWkX 3

8][

C． 3][ jekX D。 3][ jekX

．实序列 7,0,0][ nnnx ，其 8点 DFT是 ][kX ，另一实序列

3,0,0][ nnny ，其 4点 DFT是 ]4[][][ kXkXkY ，则 y[n]是（B）

A． ][])4[][( 4 nRnxnx B． ]2[2 nx

C． ]21[][ nNxny D．

奇数

偶数

k

nnx

,0

],2/[2

．关于频域取样正确的说法是 （B ）

A．频域取样不能用点数小于序列长度的 DFT计算得到

B．只要频域取样点数大于等于序列长度就能重构时域信号

C．频域取样点数越大则频率分辨率越高

D．如果两个序列的频域取样相同，则两个序列相同

．用窗函数法设计 FIR 高通滤波器 h[n](n=0,…M)，要求 (1)阻带衰减大于 35dB,

(2) 过渡带宽小于 /8，采用凯则窗，则窗形状参数 =2.78 ，

窗长参数 M=32.

提示：

10

0.4

820log ,

2.285

0.1102( 8.7) A>50

0.5842( 21) +0.07886( 21) 21 A 50

0 A<

AA M

A

A A

21

．模拟信号 )2000cos()( ttxc 以 8000Hz 采样率转换成数字信号，取 600 点

计算 600点 DFT，幅度不为零的 2根谱线编号是 75、525 （编号从 0 开始）

．FIR系统单位冲击响应长度为 N，已知其 N点 DFT是 H[k]，用 H[k]表示其系统

函数 H(z)=

1

011

)(1 N

kk

N

N

zW

kH

N

z

．序列 ][nx 的长度是 N，其 N点 DFT是 ][kX ，另两个长度为 2N的序列分别是

othern

NNnNnx

Nnnx

ny

,0

12,...],[

1,...0],[

][1 ，

othern

NNn

Nnnx

ny

,0

12,...0

1,...0],[

][2 ，

其 2N点 DFT分别为 ][1 kY 和 ][2 kY ，则 ][2 kY 是 ][kX 的理想内插。

．用一次 N 点 FFT 分析 2N 点实数序列的频谱，设 N =2,是一个正整数，则复

数乘法的次数是2log

2

NN N

，复数加法的次数是 2log 4N N N。

．连续时间信号采样并加矩形窗做谱分析，要求频谱分辨率 F 50Hz，信号最

高频率为 1kHz，试确定以下各参数：

（1）最小记录时间 Tpmin= 0.04s ；

（2）最大取样间隔 Tmax= 0.5ms ；

（3）当采用（2）中的最大取样间隔时，最少采样点数 Nmin= 80 。

（4）如果采用汉宁窗，则最小采样点数更大（大/小）。

．X[k]是序列 x[n]=2n (0 n 7)的 8点 DFT，写出下列值

（1）X[0] ，（2）X[4]，（3）

7

0

[ ]k

X k

，（4）

7(3 / 4)

0

[ ]j k

k

e X k

，（5）

72

0

( [ ])k

X k

。

答案：

87 7

0 0

1 2[0] [ ] 2 255

1 2

n

n n

X x n

87 7 3 3

4 2 2 1

8

0 0 0 0

1 2 255[4] [ ] 2 ( 1) 2 2

3 3

n n n n

n n n n

X x n W

7

0

[ ] 8 [0] 8k

X k x

7 7(3 / 4) 5

8

0 0

[ ] [ ] 8 [5] 256j k k

k k

e X k X k W x

7

2

0

( [ ]) 8 [ ]k

X k x n

0[ ] |nx n 14344

．图 5.1 所示系统 ][nx 是一个长度为 N 的信号，要求 ][kX 是对 )( jeX 在

]6

,6

[

cc 的 N等分取样（即放大频谱的一个区域作 DFT），

][nx X

nj ce

N 点 DFT ][kX

][1 nx ][2 nx ][3 nx

图 5.1

（1）填写两个空框的内容，并且确定其中的各种参数（截止频率等）。

8

（2） )( jeX 如图 5.2所示，画出 ][][ 32 nxnx 和 的傅立叶变换图

)( jeX

6,,

6

ccc

图 5.2

解：（1）h[n]或 )( jeH 截止频率为 PI/6；

！M，M=6

（2）

)(2

jeX

60

6

)(3

jeX

．关于 IIR滤波器设计正确的说法是 （A）

（A）双线性变换法将连续时间滤波器的极点 ks 映射成离散时间滤波器的极点

2

2

d k

d k

T s

T s

。

（B）最小相位连续时间系统经过脉冲响应不变法一定得到最小相位离散时间系

统。

（C）连续时间全通系统经过双线性交换法得到的不是离散时间全通系统。

（D）脉冲响应不变法将连续时间滤波器的零点 ks 映射成离散时间滤波器的零点

k ds Te 。

．下图所示两个序列 1x n 和 2x n ，它们的 5点 DFT分别为 1 2X k X k和 ，则错

误的是 （A）

][1 nx ][2 nx

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

（A） ][1 kX 是实序列 （B） ][2 kX 是实序列

（C） ][1 kX 是广义线性相位 （D） ][2 kX 是广义线性相位

．利用基 2 DIT-FFT 算法计算 1024点 DFT，需要的级数和每级蝶型数分别为（C）

（A）11 和 1024 （B）11和 512

（C）10 和 512 （D）1024和 10

．设长度为 8的序列 [ ]x n 的 8点 DFT X k 如下图所示。定义一个长度为 16的新

序列 1

[ / 2][ ]

0

x n nx n

n

为偶数

为奇数，则该序列的 16点 DFT是 （C）

（A）

（B）

（C）

（D）

．一连续时间滤波器的系统函数为ss

sH c

2

1)( ，依据 )(][ dcd nThTnh 将其转换

成离散时间滤波器，其中 1dT ，则数字滤波器的系统函数为 H(z)=

1 1 1

1 1( )

1 1H z

z e z

。

．考虑采用如下的代数变换公式

1

1

1

1

zs

z

从一个连续时间低通滤波器的系统函数转换得到离散时间滤波器的系统函数，

设连续时间滤波器的通带截止频率和阻带截止频率分别为 p s 和 。

（1）给出连续时间系统与离散时间系统的频率响应之间的对应关系（需要简单

推导）；

（2）离散时间系统是哪种选频滤波器？

（3）用 p s 和 表示离散时间滤波器的通带截止频率 p 和阻带截止频率 s 。

解：双线性变换+频率转换

（1）1

ctan( / 2)1

1 1ctan( / 2), ( ) ( ) |

1 1

jj

cj

z es j j H e H j

z e

，

（2） ctan( / 2) 0, 2 , ， 阻, 阻， 低通 高通

（3） -1 -1ctan( / 2), ctan( / 2) 2ctan 2ctanp s s p p s s p ， ，

．长度为 N 的序列 x[n]、h[n]和 y[n]的 N 点 DFT 分别为 [ ] [ ] [ ]X k H k Y k、 和 ，已

知1

0

[ ] [ ] [(( )) ], 0,1,... 1N

N

l

Y k X l H k l k N

利用 DFT的性质证明（注意采用其它方法证明不得分）

1 1 1

0 0 0

[ ] [ ] [ ]N N N

k k k

Y k N X k H k

证明：

0 0 0

1 1 10 0 0

0 0 0

[ ] [ ]( ) [ ], [ ] | [ ] | [ ] |

[ ] [ ] [ ]

n n n

N N Nk k k

N N N

k k k

Y k X k N H k y n Nx n h n

Y k W N X k W H k W

．考虑一个 2N点实序列 x[n]，其 2N点 DFT X[k]已知，要求利用一次 N点 IFFT

运算计算出 x[n]，写出实现步骤，必要之处需要说明理由或证明。

解：

1 2

2

*

* *

*

* **

1

[ ] [ ] [ ] [ ](1) [ ] , 0,.... 1; [ ] , 0,.... 1

2 2

1 2

[ ] [ 2 ], [ ] [2 ], 0,1,...2 1

[ 2 ] [2 ], [ 2 ] [2 ]

[ ] [ ]

[ ][ ]

k

N

X k X k N X k X k NX k k N X k k N

W

X X

X k X k N X k X N k k N

X k N X N k X k N N X N k N

X k N X N k

X N k XX N k

下面证明 和 周期性共轭对称：

1

* **

2 2( )

2 2

1 2

[( ) ] [ ] [ ][ ]

2 2

[ ] [( ) ] [ ] [ ][ ] [ ]

2 2

1 2 [2 ] [2 1]

(2) [ ] [ ] [ ], 0,1,... 1

(3) [ ] { [ ]}, 0,1,... 1

(4)

N k k

N N

N k N X k N X kX k

X N k X N k N X k N X kX N k X k

W W

X X x n x n DFT

Y k X k jX k k N

y n IFFT Y k n N

或者说明： 和 分别是 和 的 ，所以一定周期性共轭对称

1 2

1

2

1 2 2

1 2 2

1 2

[ ] Re{ [ ]}, [ ] Im{ [ ]}, 0,1,... 1

[ / 2],(5) [ ] , 0,1,...2 1

[( 1) / 2],

[ ] [ ] [ ], 0,1,.. 1

[ ] [ ] [ ], 0,1,.. 1

[ ] [2 ], [ ] [2

k

N

k

N

x n y n x n y n n N

x n n evenx n n N

x n n odd

X k X k W X k k N

X k N X k W X k k N

x n x n x n x n

下面证明步骤（5）：

1], 0,1,... 1n N

．一个序列的 N点 DFT是实序列，则该序列一定满足 （B）

（A） [ ] [ ], 1,..., 1x n x N n n N （B） *[ ] [ ], 1,..., 1x n x N n n N

（C） [ ] [ 1 ], 1,..., 1x n x N n n N （D） *[ ] [ 1 ], 1,..., 1x n x N n n N

解：时域周期性共轭对称，则频域实。

．定义实数序列 [ ] 0, 0,x n n n N 和 [ ] 0, 0,h n n n N 的 N点循环相关为

1

0

[ ] [(( )) ] [ ] 0,1,... -1N

N

l

r n x l n h l n N

，

写出采用 2次 N点 DFT和 1次 N点 IDFT 实现上述循环相关的方法，简单阐

述理由。

解：将 l k 代入定义式得到：

( 1)

0

( 1)

0

[ ] [(( )) ] [(( )) ]

[(( )) ] [ ] [ ]( ) [ ]

[ ]( ) [ ] 0,1,... -1. , [ ] [ ]

N

N N

k

N

N

k

r n x k n h k

x n k h N k x n N h N n

x n N g n n N where g n h N n

，

12 /

0

*

*2 ( ') / 2 / 2 '/

' 1 ' 1 ' 1

{ [ ]} { [ ]} [ ]

[ '] [ '] [ '] { [ ]}

Nj kn N

n

N N Nj k N n N j kn N j kn N

n n n

DFT g n DFT h N n h N n e

h n e h n e h n e DFT h n

所以步骤：

（1） X[k]=DFT{x[n]},k=0,…N-1

（2） H[k]=DFT{h[n]},k=0,...N-1

(3) *[ ] [ ] [ ]r n IFFT X k H k 或

（1） X[k]=DFT{x[n]},k=0,…N-1

（2） g[n]=h[N-n],G[k]=DFT{g[n]},k=0,...N-1

(3) [ ] [ ] [ ]r n IFFT X k G k

．下图中有两片用于 4点时间抽选 FFT的芯片（芯片内部采用输入倒位序输出正

常顺序的实现结构）。下图的目的是利用这两片芯片计算一个 8点序列 x[n]的 DFT，

将该信号流图补充完整。

-1

-1

-1

-1

x[7]

x[0] X[0]

X[2]

X[4]

X[6]

X[1]

X[3]

X[5]

X[7]

4 点

DIT-FFT

芯片

4 点

DIT-FFT

芯片

解：

-1

-1

-1

-1

WN0

WN2

WN1

WN3

x[7]

x[5]

x[6]

x[4]

x[3]

x[1]

x[2]

x[0]

h[1]

h[3]

h[2]

h[0]

g[3]

g[1]

g[2]

g[0] X[0]

X[2]

X[4]

X[6]

X[1]

X[3]

X[5]

X[7]

4 点

DIT-FFT

芯片

4 点

DIT-FFT

芯片