二、线性变换的简单性质

1© 2009, Henan Polytechnic University 1§8 §8 酉空间酉空间

第九章欧几里得空间第九章欧几里得空间

二、线性变换的简单性质二、酉空间中的重要结论二、酉空间中的重要结论

一、一、酉空间酉空间定义定义



一、一、酉空间酉空间定义定义欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的 .

酉空间实际就是复数域上的欧氏空间 .

定义定义 11 设设 VV 是复数域上的线性空间，在是复数域上的线性空间，在 VV

上定义了一个二元复函数，称为内积，记作上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 (( , , ),),

它具有以下性质：它具有以下性质：

1)1) (( , , ) = () = ( , , ) ) ，这里，这里 (( , , ) ) 是是 (( , , ) ) 的的

共轭复数；共轭复数；


第九章欧几里得空间第九章欧几里得空间2)2) ((kk , , ) = ) = kk(( , , )) ;;

3)3) (( + + ,, ) = () = ( , , ) + () + ( , , ) ;) ;

4)4) (( , , ) ) 是非负实数，且是非负实数，且 (( , , ) =0 ) =0 当且仅当且仅当当

=0 .=0 .

这里这里 , , ,, 是是 VV 中任意的向量，中任意的向量， kk 为任意复数，为任意复数，

这样的线性空间称为这样的线性空间称为酉空间酉空间 ..



例例 11 在线性空间 Cn 中，对向量

= (a1 , a2 , … , an) , = (b1 , b2 , … , bn) ,

定义内积为

( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn . (1)

显然，内积 (1) 满足定义 15 中的条件 .这样 Cn 就

成为一个酉空间 .



例例 2 2 用 C[a,b] 表示区间 [a,b] 上所有连续复值函数组成的线性空间，规定

~

dxxgxfxgxfb

a,

是 C[a,b]C[a,b] 上的一个内积，此时 xgxf ,~

~

C[a,b]C[a,b] 成为一个酉空间 .容易验证，



二、酉空间中的重要结论二、酉空间中的重要结论由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似 ,

有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的

结论，而不详细论证 .

首先由内积的定义可得到

1)1) ( , k) = k ( , ) .

2)2) ( , + ) = ( , ) + ( , ) .



与实内积空间类似，酉空间 V 中由于有了内积的

概念，从而就有长度、角度、正交、距离等度量概念 .

定义 2 非负实数 ),( 叫做向量的长度，

记为 || .

显然 |0|=0 ，≠ 0 时， ||>0. 容易证明：

CkVkk ,,



定理定理 1 1 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对任意的向量 , 有

| ( , ) | | | | | ，

当且仅当 , 线性相关时，等号成立 .

注意：注意：酉空间中的内积 ( , ) 一般是复数，

故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入



定义 3 酉空间 V 中，两个非零 , 的夹角 <, >规定为

,,

arccos,

于是2

,0

（ 2 ）

从（ 7 ）式得出，

0,2

,

定义 4 向量 , ，当 ( , ) = 0 时称为正交或互相垂直 .



与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中，

有三角形不等式和勾股定理 . 我们可以定义两个向量 , 的距离

与实内积空间一样，在酉空间 V 中，有正交向

,d

量组的概念，并且可以证明：正交向量组一定线性无关 . 从而有正交基、标准正交基的概念，利用施密特正交化和单位化，可把 V 的一个基变成与它等价的标准正交基 .



n 维酉空间 V 中，向量组 η1,η2,…,ηn 是 V 的一个标准正交基当且仅当

njiijji ,,2,1,,,

利用标准正交基 η1,η2,…,ηn ，容易计算向量的内积 . 设 , 在 η1,η2,…,ηn 下的坐标分别是 =(x1,x2,…,xn)’, =(y1,y2,…,yn)’, 则

n

jjj

n

iii yx

11

,, ji

n

i

n

jji yx ,

1 1

*1

n

iii yx



利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积表达 . 设在标准正交基 η1,η2,…,ηn 下的坐标是

(x1,x2,…,xn)’, 则

n

iiix

1

两边用 ηj 作内积，得

,,,1

j

n

ijiij xx

因此（ 3 ）

（ 3 ）式称为的傅里叶（ Fourier ）展开，其中每

个系数（， ηj ）称为的傅里叶（ Fourier ）系数 .

.,1

j

n

ii



n 维酉空间 V 中，向量组 η1,η2,…,ηn 是 V 的一个

标准正交基，向量组 1, 2,…, n 满足

1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n P 则 i 在标准正交基 η1,η2,…,ηn 下的坐标是 P 的第

i 列 Xi , 1,2, ,i n ，于是 1, 2,…, n 是 V 的一个标准正交基

( , ) , , 1, 2, ,i j ij i j n

* , , 1, 2, ,j i ijX X i j n



* * *1 1 1 2 1* * *2 1 2 2 2 2

* * *1 2

*1*2

1 2

*

*

1 0 0

0 1 0

0 0 1

( , , , )

.

n

n n n n

n

n

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

X

XX X X I

X

P P I



定义定义 5 5 对对复数方阵 P ，用 P 表示以 P 的元素

的共轭复数作元素的矩阵 . 如 P 满足

则称之为酉矩阵酉矩阵 . 它的行列式的绝对值等于 1 .

* .P P IEPPPP

或


第九章欧几里得空间第九章欧几里得空间两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵 .

类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以

引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵 . 它们也分别

具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把

它列举在下面：

1)1) 酉空间 V 的线性变换 A ，如果满足

(A , A ) = ( , ) ，

就称为 V 的一个酉变换酉变换 . 酉变换在标准正交基下

的矩阵是酉矩阵 .


第九章欧几里得空间第九章欧几里得空间2)2) 如果矩阵 A 满足

AT = A ，则叫埃尔米特埃尔米特 (Hermite)(Hermite) 矩阵矩阵 .在酉空间 Cn 中

令

,2

1

2

1

nn x

x

x

A

x

x

x

A

则 (A , ) = ( , A ) ，

A 也是对称变换 .


第九章欧几里得空间第九章欧几里得空间3)3) V 是酉空间， V1 是子空间， V1

是 V1 的正交补，则 V = V1 V1

.

又设 V1 是对称变换的不变子空间，则 V1 也

是不变子空间 .

4)4) 埃尔米特矩阵的特征值为实数 . 它的属于

不同特征值的特征向量必正交 .

5)5) 若 A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C ，使

C-1AC = CTAC

是对角形矩阵 .



6)6) 设 A 是埃尔米特矩阵，二次齐次函数

XAXxxaxxxfn

i

n

jjiijn

T

1 121 ),,,(

叫做埃尔米特二次型埃尔米特二次型 . 必有酉矩阵 C ，当 X=CY时

.),,,( 22211121 nnnn yydyydyydxxxf

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二、 线性变换的简单性质

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