GEOMETRIJA 2zadaci po kojima se drze vezbe

PODUDARNOST

Ako su B1 i C1 sredista duzi CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i B1C1 paralelne i vazi1.B1C1 =

12BC. (srednja linija trougla)

Ako suA,B,C,D cetiri razlicite tacke iM,N,K,L, P,Q sredista duziAB,BC,CD,DA,AC,DB2.redom, dokazati:

1) MN i KL, MP i QK, NP i QL su medusobno podudarne duzi;

2) duzi LN,MK,PQ imaju zajednicko srediste;

3) svaki od uglova ^PMQ, ^PNQ, ^LMN podudaran je jednom od uglova kojeg odredujuprave AC i BD, BC i AD, AB i CD.

Dokazati da se tezisne duzi trougla seku u tacki koja ih deli u odnosu 2 : 1. (teziste trougla)3.

Neka je D podnozje visine iz temena C pravouglog trougla ABC na hipotenuzu AB, a O1 i O24.centri krugova upisanih u trouglove CAD i CBD. Dokazati da je simetrala pravog ugla trouglaABC normalna na pravoj O1O2.

Dokazati da tacke simetricne ortocentru u odnosu na:5.

a) stranice trougla;

b) sredista stranica trougla;

pripadaju krugu opisanom oko tog trougla.

Srediste opisanog kruga O, ortocentar H i teziste T proizvoljnog trougla su kolinearne tacke i6.vazi HT = 2TO. Dokazati. (Ojlerova prava)

Sredista stranica, podnozja visina i sredista duzi odredjenih temenima i ortocentrom trougla7.pripadaju jednom krugu. Dokazati. (Ojlerov krug)

Podnozja normala iz proizvoljne tacke kruga opisanog oko nekog trougla, na pravama koje8.sadrze stranice tog trougla, pripadaju jednoj pravoj. (Simsonova prava)

Dat je tetivan cetvorougao ABCD cije su dijagonale medusobno normalne i seku se u tacki S.9.

a) Prava koja sadrzi tacku S i normalna je na pravoj AB sadrzi srediste duzi CD. Dokazati.

b) Ako su A′, B′, C ′, D′ projekcije tacke S na pravama AB,BC,CD,DA, redom, tada jecetvorougao A′B′C ′D′ tetivan i tangentan. Dokazati.

Nad ivicama trougla ABC u spoljasnjosti konstruisani su jednakostranicni trouglovi ADB,10.BEC, CFA. Dokazati da su duzi AE,BF,CD medusobno podudarne i da se seku u jednojtacki. (Toricelijeva tacka)

Medijatrisa stranice i bisektrisa naspramnog ugla trougla seku se u tacki koja pripada opisanom11.krugu tog trougla. Dokazati.

Neka su P i Q sredista lukova AB i AC kruga opisanog oko trougla ABC i sa bisektrisa ugla12.^BAC. Dokazati da je PQ⊥sa.

Neka su A′, N i O podnozje visine iz A, presek bisektrise ugla ^BAC sa opisanom krugom13.trougla ABC (AB < AC) i centar opisanog kruga, dokazati ^A′AE = ^ANO = ^NAO =12(^ABC − ^ACB).

(Veliki zadatak) Ako sa A1, B1 i C1 obelezimo sredista ivica BC = a, CA = b, AB = c14.trougla ABC (b > c), sa p poluobim tog trougla, sa l(O, r) opisani krug tog trougla, sa P,Q,Rtacke u kojima upisani krug k(S, ρ) dodiruje prave BC,CA,AB, sa Pi, Qi, Ri (i = a, b, c) tackeu kojima spolja upisani krug ki(Si, ρi) dodiruje redom prave BC,CA,AB, sa M i N tacke ukojima medijatrisa ivice BC sece krug l, pri cemu je M na luku BAC, sa M ′ i N ′ podnozjaupravnih iz tacaka M i N na pravoj AB, dokazati da je:

1) B(A,P ′, Pa), B(A,P, P ′a), B(Pc, A, P

′b), B(Pb, A, P

′c);

2) AQa = ARa = p, QQa = RRa = a, QbQc = RbRc = a;

3) AQ = AR = BRc = BPc = CPb = CQb = p− a;

4) PPa = b− c, PbPc = b+ c;

5) PA1 = PaA1, PcA1 = PbA1;

6) A1M = 12(ρb + ρc), A1N = 1

2(ρa − ρ);

7) MM ′ = 12(ρb − ρc), NN ′ = 1

2(ρ+ ρa);

8) AM ′ = 12(b− c) = BN ′, AN ′ = 1

2(b+ c) = BM ′;

9) ρa + ρb + ρc = 4r + ρ;

10) NS = NSa = NB = NC, MSb =MSc =MB =MC;

11) M ′N ′ = b.

SLICNOST

Ako su E i F tacke u kojima bisektrise unutrasnjeg i spoljasnjeg ugla ^BAC trougla ABC1.(AB < AC) seku pravu BC dokazati BE : CE = BF : CF = AB : AC.

Neka su E i F tacke iz prethodnog zadatka. Dokazati:2.

1) AS : SE = ASa : SaE = (AB + AC) : BC;

2) AE : SE = (AB +BC + CA) : BC, AE : SaE = (AB + AC −BC) : BC;

3) ASb : SbF = ASc : ScF = (AC − AB) : BC.

Dokazati (vaze oznake iz Velikog zadatka):3.

1)SA · SN = 2rρ; 3)SbA · SbM = 2rρb;

2)SaA · SaN = 2rρa; 4)ScA · ScM = 2rρc.

(Ptolomejeva teorema) Ako je ABCD konveksan i tetivan cetvorougao, dokazati da vazi4.AC ·BD = AB · CD +BC · AD.

Ako su a i d ivica i dijagonala pravilnog petougla, izraziti d u funkciji od a. Kako se konstruise5.pravilni petougao ivice a?

(Cevaova teorema) Ako su P,Q,R redom tacke pravih BC,CA,AB gde su A,B,C trinekolinearne tacke, tada prave AP,BQ,CR pripadaju jednom pramenu ako i samo ako vazi−−→BP−→PC

−→CQ−→QA

−→AR−→RB

= 1.

(Menelajeva teorema) Tacke P,Q,R pravih odredenih stranicama BC,CA,AB trougla

ABC su kolinearne ako i samo ako vazi

−−→BP−→PC

−→CQ−→QA

−→AR−→RB

= −1.

Ako su P,Q,R tacke u kojima upisani krug trougla ABC dodiruje stranice BC,CA,AB6.dokazati da su prave AP,BQ,CR konkurentne.

Dokazati da se bisektrisa jednog unutrasnjeg i dva spoljasnja ugla trougla ABC seku u jednoj7.tacki.

Dokazati da, ukoliko postoje tacke u kojima bisektrise spoljasnjih uglova kod temena A, B i C8.seku prave odredene naspramnim stranicama trougla ABC, one su kolinearne.

Dokazati da tacke P,Q,R u kojima tangente opisanog kruga trougla ABC u njegovim temenima9.seku prave odredene naspramnim stranicama, ukoliko postoje, pripadaju jednoj pravoj.

Def. Neka su P,Q,R, S cetiri razne kolinearne tacke. Par tacaka (P,Q) je harmonijski

spregnut sa parom (R, S) ako vazi

−→PR−→RQ

= −−→PS−→SQ

. Tada pisemo H(P,Q;R, S).

Def. Prave a, b, c, d jednog pramena su harmonijski spregnute ako postoji prava p koja ihsece u harmonijski spregnutim tackama. Tada pisemo H(a, b; c, d). Ova osobina ne zavisi odizbora prave p.

Osobine:

• Ako vazi H(P,Q;R, S) tada vazi i H(Q,P ;R,S), H(Q,P ;S,R), H(R, S;P,Q).

• Ako su P,Q,R tri kolinearne tacke i R nije srediste duzi PQ, tada postoji jedinstvenatacka S takva da je H(P,Q;R,S).

• H(P,Q;R, S) ⇒ B(P,R,Q)∨B(P, S,Q).

• Ako su a, b, c, d konkurentne prave i c⊥d vazi: H(a, b; c, d) ⇔ c i d su simetrale uglovaodredenih pravama a i b.

VaziH(P,Q;R, S) ako i samo ako postoje cetiri tacke A,B,C,D takve da vazi AB∩CD = {P},10.BC ∩ AD = {Q}, PQ ∩ AC = {R}, PQ ∩BD = {S}.Ako su A,B,C,D razne kolinearne tacke, a O srediste duzi AB, tada vazi H(A,B;C,D) ⇔11.AO2 = OC ·OD.

Ako su A,B,C,D razne tacke prave p, O tacka van te prave, E i F tacke u kojima prava koja12.sadrzi tacku B i paralelna je OA sece OC i OD, dokazati da vazi H(A,B;C,D) ⇔ B je sredisteEF .

Neka su S, Sa, Sb, Sc projekcije tacaka S, Sa, Sb, Sc na pravu odredjenu visinom AA′ trougla13.ABC, a E projekcija tacke E na pravu AC. Dokazati:

1) H(A,E;S, Sa), H(A,A′;S, Sa), H(A,E;Q,Qa), H(A′, E;P, Pa);

2) H(A,F ;Sb, Sc), H(A′, F ;Pb, Pc), H(A,A′;Sb, Sc).

(Apolonijev krug) Odrediti skup svih tacaka u ravni kojima su rastojanja od dveju datih14.tacaka srazmerna datim nepodudarnim duzima.

Def. Ako neka prava koja sadrzi tacku P sece krug k(O, r) u tackama A i B, tada je

potencija tacke P u odnosu na krug k data sa p(P, k) =−→PA ·

−−→PB = PO2 − r2 i ne zavisi od

izbora prave. Potencija tacke P je veca, manja ili jednaka nuli u zavisnosti da li se tacka nalaziu spoljasnjosti ili unutrasnjosti kruga ili na krugu.

Def. Geometrijsko mesto tacaka ravni koje imaju jednake potencije u odnosu na dva datakruga k1(O1, r1) i k2(O2, r2) je prava koja se zove radikalna ili potencijalna osa.

Radikalna osa je upravna na pravoj O1O2. Radikalne ose triju krugova neke ravni pripadajujednom pramenu.

Neka su A,B,C,D kolinearne tacke takve da vazi B(A,C,B,D) i neka je k krug nad precnikom15.AB i l bilo koji krug koji sadrzi tacke C,D. Dokazati da vazi H(A,B;C,D) ⇔ k ⊥ l.

Ako je l(O, r) opisan krug, k(S, ρ) upisani krug i ka(Sa, ρa) spolja upisani krug koji dodiruje16.stranicu BC datog trougla ABC, dokazati da je OS2 = r2 − 2rρ i OS2

a = r2 + 2rρa.

Prava odredena visinom AD trougla ABC predstavlja radikalnu osu krugova kojima su precnici17.tezisne linije BB′ i CC ′ tog trougla.

KONSTRUKTIVNI ZADACI

Konstruisati trougao ABC ako su zadati sledeci elementi:1.

1) ta, tb, tc; 7) β − γ, la, ρ;

2) β, γ, p; 8)α, b− c, ρa;

3)α, a, b+ c; 9) a, ρb, ρc;

4) β, hc, b± c; 10)α, ρ, ρa;

5) ta, hb, b± c; 11) b− c, ha, ρ.

6) β − γ, b, c;

Date su tacke A1, S, F . Konstruisati trougao ABC ako je A1 srediste BC, S centar upisanog2.kruga, a F presek simetrale spoljasnjeg ugla u temenu A i prave BC.

Konstruisati tetivni cetvorougao takav da su mu ivice podudarne datim duzima.3.

INVERZIJA

Def. Neka je k(O, r) proizvoljni krug ravni E2. Inverzija u odnosu na krug k je preslika-vanje ψk : E2\{O} → E2\{O} kojom se tacka P slika u tacku P ′ takvu da P i P ′ pripadajuistoj polupravoj sa temenom u O i vazi OP ·OP ′ = r2.

Osobine

• ψ2k = Id.

• ψk(P ) = P ⇔ P ∈ k.

• ψk slika unutrasnjost kruga u spoljasnjost i obrnuto.

• Ako ψk slika A u A′ i ako je PQ precnik kruga k takav da su P,Q,A,A′ kolinearne, ondavazi H(P,Q;A,A′).

• Ako prava p sadrzi tacku O, tada se p\{O}slika u p\{O}.

• Ako prava p ne sadrzi tacku O, onda se slika u l\{O} gde je l krug koji sadrzi O.

• Ako krug l sadrzi tacku O, onda se l\{O} slika u pravu koja ne sadrzi O.

• Ako krug l ne sadrzi tacku O slika se u krug l1 koji takodje ne sadrzi O. Pri tom se centarkruga l NE PRESLIKAVA u centar kruga l1.

• ψk(A)ψk(B) = r2

OA·OBAB.

• ψk cuva uglove izmedu krivih.

Ako se krugovi k1 i k2 dodiruju u centru inverzije, tada se inverzijom slikaju u dve paralelne1.prave. Dokazati.

Neka se inverzijom ψk tacka A koja ne pripada krugu k slika u A′ i neka je l proizvoljan krug2.koji sadrzi A i A′. Dokazati da je l ⊥ k.

Neka je O centar opisanog kruga l trougla ABC. Ako su B′ i C ′ tacke polupravih AB i AC3.takve da je AB · A′B′ = AC · A′C ′ dokazati da je OA ⊥ B′C ′.

Neka je ABPQ netetivni cetvorougao. Dokazati da je ugao izmedu krugova opisanih oko4.trouglova ABP i ABQ jednak uglu izmedu krugova opisanih oko trouglova PQA i PQB.

Neka se krugovi k1, k2, k3 medusobno dodiruju u tackama P,Q,R. Dokazati da je krug opisan5.oko trougla PQR ortogonalan na sva tri kruga.

Krugovi k1, k2, k3 su medusobno ortogonalni, pri cemu se k1 i k2 seku u tackama A i B, k2 i k36.u tackama C i D, k3 i k1 u tackama E i F . Dokazati da se krugovi opisani oko trouglova ACEi ADF dodiruju u tacki A.

U ravni su data cetiri kruga od kojih svaki dodiruje tacno dva kruga od preostalih. Dokazati7.da su dodirne tacke kolinearne ili konciklicne.

Konstruisati krug k koji sadrzi dve date tacke A i B i dodiruje datu pravu p.8.

Konstruisati krug k koji sadrzi datu tacku A i dodiruje date krugove k1 i k2.9.

Konstruisati krug koji spolja dodiruje tri data kruga k1, k2, k3.10.

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE RAVNI

Dokazati: Sp ◦ Sq = Sq ◦ Sp ⇔ p = q ∨ p⊥q.1.

Dokazati: Sp ◦ Sq ◦ Sr = Sr ◦ Sq ◦ Sp ako i samo ako su p, q, r prave jednog pramena.2.

Dokazati: SB ◦ Sp ◦ SA = SA ◦ Sp ◦ SB ⇔ AB⊥p.3.

Neka je ABCD romb takav da je ^BAD = 60◦ i neka prava p sece redom stranice AB i BC u4.tackama M i N tako da je zbir duzi BM i BN jednak stranici romba. Dokazati da je trougaoDMN pravilan.

Neka je ABCDE petougao upisan u krug takav da je BC ∥ DE i CD ∥ EA. Dokazati da D5.pripada medijatrisi stranice AB.

Neka je u ravni E2 dat trougao ABC i neka su B′, C ′ tacke pravih AB i AC takve da vazi6.B(A,B,B′) i B(A,C,C ′). Ako je Pa tacka u kojoj spolja upisani krug koji odgovara temenu Adodiruje stranicu BC tog trougla, dokazati da je RC,^C′CB ◦ RA,^BAC ◦ RB,^CBB′ = SPa.

Neka je t tangenta opisanog kruga trougla ABC u temenu A. Dokazati da vazi G−→CA

◦G−−→BC

◦G−→AB

=7.St, gde je G klizajuca simetrija.

Dokazati da je cetvorougao ABCD tetivan ako i samo ako vazi G−−→DA

◦ G−−→CD

◦ G−−→BC

◦ G−→AB

= E .8.

Data su dva kruga koji imaju presecnu tacku A. Konstruisati pravu koja9.

a) sadrzi A;

b) je paralelna datoj pravoj p;

i na kojoj dati krugovi odsecaju podudarne duzi.

Konstruisati trougao ABC takav da su date nekolinearne tacke Oa, Ob i Oc sredista kvadrata1.konstruisanih spolja nad njegovim ivicama BC, CA i AB.

STEREOMETRIJA

a) Dokazati da u prostoru E3 postoji jedinstvena prava koja sadrzi datu tacku O i upravna1.je na svakoj od dveju mimoilaznih pravih p i q.

b) Ako su P i Q podnozja zajednicke normale dveju mimoilaznih pravih p i q, dokazati daje duz PQ kraca od svih ostalih duzi koje spajaju tacke pravih p i q.

Zbir dve stranice triedra veci je od trece. Dokazati.2.

Ravni od kojih je svaka odredena ivicom i simetralom naspramne stranice triedra imaju za-3.jednicku pravu. Dokazati.

Neka su strane triedra jednake redom 60◦, 45◦, 45◦. Dokazati da je diedar naspram najvece4.stranice prav.

Dokazati da se oko svakog tetraedra ABCD u prostoru E3 moze opisati sfera, kao i da se u5.svaki tetraedar moze upisati sfera.

a) Duzi odredene sredistima naspramnih ivica trostrane piramide (tetraedra) seku se u jednoj6.tacki koja ih polovi. Dokazati. (Teziste tetraedra)

b) Dokazati da teziste tetraedra deli duzi odredene temenima i tezistima naspramnih stranau odnosu 3 : 1.

a) Dve naspramne ivice nekog tetraedra su medusobno podudarne ako i samo ako su duzi7.odredene sredistima ostalih dvaju parova naspramnih ivica medusobno normalne.

b) Dve naspramne ivice tetraedra su normalne ako i samo ako su duzi odredene sredistimaostalih dvaju parova naspramnih ivica medusobno podudarne.

Dokazati da je prava odredena sredistima stranica AC i BD tetraedra ABCD ujedno i njihova8.zajednicka normala ako i samo ako je AB = CD i AD = BC.

Def. Tetraedar ABCD je ortogonalan ako vazi AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC.

Visine AA′ i BB′ tetraedra ABCD se seku ako i samo ako je AB ⊥ CD. Dokazati.9.

Dokazati da podnozja visina iz temena tetraedra predstavljaju ortocentre naspramnih pljosni10.ako i samo ako je tetraedar ortogonalan.

IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE PROSTORA

Dokazati: Sπ ◦ SO = SO ◦ Sπ ⇔ O ∈ π.1.

Dokazati da je kompozicija neparnog broja centralnih simetrija prostora ponovo centralna2.simetrija.

Ako su A,B,C tri tacke ravni π, dokazati da vazi Gπ,−→CA

◦ Gπ,−−→BC

◦ Gπ,−→AB

= Sπ.3.

Odrediti tip izometrije T−−→PP ′ ◦ Sπ.4.

Dokazati da je kompozicija tri ravanske refleksije kojima su osnove odredene bocnim pljosnima5.trostrane prizme ABCA′B′C ′ klizajuca refleksija tog prostora.

Odrediti tip i komponente izometrije koja predstavlja kompoziciju dveju osnih refleksija Sp ◦Sq6.euklidskog prostora, u zavisnosti od uzajamnog polozaja pravih p i q.

Neka su OP,OQ,OR tri medusobno normalne duzi prostora. Dokazati da je kompozicija Z−→OR

◦7.Z−−→

OQ◦ Z−−→

OPtranslacija.

Dokazati da je u euklidskom prostoru kompozicija sastavljena od tri ravanske refleksije kojima8.su osnove odredene pljosnima triedra osnorotaciona refleksija.

HIPERBOLICKA GEOMETRIJA

Prave odredene osnovicom i protivosnovicom Sakerijevog cetvorougla su hiperparalelne. Dokazati.1.

Uglovi na protivosnovici Sakerijevog cetvorougla su podudarni i ostri. Dokazati.2.

Dokazati da su dva Lambertova cetvorougla ABCD i A′B′C ′D′ sa ostrim uglovima D i D′3.podudarna ako je:

a)AB = A′B′, BC = B′C ′; d)AD = A′D′, CD = C ′D′;

b)AB = A′B′, AD = A′D′; e)AD = A′D′,^D = ^D′;

c)AD = A′D′, BC = B′C ′; f)AB = A′B′,^D = ^D′.

Dokazati da su dva Sakerijeva cetvorougla ABCD i A′B′C ′D′ sa osnovama AB i A′B′ podu-4.darna ako je:

a)AB = A′B′, BC = B′C ′; d)AB = A′B′,^C = ^C ′;

b)AB = A′B′, CD = C ′D′; e)BC = B′C ′,^C = ^C ′;

c)BC = B′C ′, CD = C ′D′; f)CD = C ′D′,^C = ^C ′.

Ako su tacke P i Q sredista stranica AB i AC trougla ABC, dokazati da su prave BC i PQ5.medu sobom hiperparalelne.

Ako su A,B,C tri razne tacke neke prave l i O tacka izvan te prave, dokazati da sredista6.A′, B′, C ′ duzi OA,OB,OC ne pripadaju jednoj pravoj.

Dokazati da je u Sakerijevom cetvorouglu protivosnovica veca od osnovice.7.

Ako su P i Q sredista stranica AB i AC trougla ABC, dokazati da je PQ < 12BC.8.

Neka je A1 srediste hipotenuze BC pravouglog trougla ABC. Dokazati da je duz AA1 manja9.od polovine hipotenuze.

Ako je visina ekvidistante veca od nule tada ta ekvidistanta nije prava. Dokazati.10.

Prave p i q seku se u tacki S. Odrediti pravu a paralelnu pravoj q u odredenom smeru i11.normalnu na pravoj p.

Prave p i q su paralelne. Odrediti pravu a paralelnu pravoj q u odredenom smeru i normalnu12.na pravoj p.

Prave p i q su hiperparalelne. Odrediti pravu a paralelnu pravoj q u odredenom smeru i13.normalnu na pravoj p.

Neka su a, b i c medusobno paralelne prave, ali ne sve u istom smeru. Neka su b′ i c′ upravne14.iz tacke A prave a na pravama b i c. Odrediti ugao izmedu pravih b′ i c′.

Dva razna parabolicka pramena imaju zajednicku pravu. Dokazati.15.

Neka su A,B,C i D tacke takve da su redom poluprave AB i DC, odnosno BC i AD paralelne.16.Dokazati da su simetrale unutrasnjih uglova kod temena A i C i spoljasnjih uglova kod temenaB i D prave istog pramena.

Dokazati da za tri nekolinearne tacke A,B,C vazi Π(BC2) < 1

2(^ABC + ^ACB + ^BAC).17.

Ako je u ravni Lobacevskog dat trougao ABC kod koga je ^C prav, tj. ^C = R, zatim18.^A = Π(a′), ^B = Π(b′), BC = a i AB = c, dokazati da je:

a) ^A = Π(b)− Π(c+ b′);

b) ^A =

{Π(c− b′)− Π(b) , za b′ < c

2R− Π(b)− Π(b′ − c), za b′ > c;

c) ^A =

{12

[Π(c− b′)− Π(c+ b′)

], za b′ < c

R− 12

[Π(b′ + c) + Π(b′ − c)

], za b′ > c

;

d) Π(b) =

{12

[Π(c+ b′) + Π(c− b′)

], za b′ < c

R− 12

[Π(b′ + c)− Π(b′ − c)

], za b′ > c

;

e) Π(a′ − b) + Π(a+ b′) = R, Π(b′ − a) + Π(b+ a′) = R.

POENKAREOV DISK MODEL

U Poenkareovom disk modelu hiperbolicke ravni date su h-prava a i h-tacka A. Odrediti h-pravu1.n koja sadrzi tacku A i upravna je na pravu a.

U Poenkareovom disk modelu date su tacke A i B. Odrediti h-simetralu duzi AB.2.

U Poenkareovom disk modelu date su tacke X i Y . Konstruisati h-krug l sa centrom u tacki3.X koji sadrzi tacku Y .

U Poenkareovom disk modelu date su dve prave koje se seku. Odrediti h-bisektrisu ugla kojeg4.odreduju.

U Poenkareovom disk modelu konstruisati h-duz mere Π−1(R2).5.