Mağnetik dipol, küçük akım taşıyan devreyi içerir.

Nasıl nokta yük elektrostatik alanın en küçük kaynağıysa , mağnetik dipol de

mağnetostatik alanın en küçük kaynağıdır.

Mağnetik dipol, elektrik dipole benzer.

Elektrik dipol nasıl dielektrik malzemelerin davranışı hakkında bilgi veriyorsa,

mağnetik dipol de mağnetik malzemelerin davranışları hakkında bilgi verir.

Mağnetik Dipol

1

I

N

S

• Mağnetik dipol, elektrik dipolebenzetilerek bir çift mağnetik yük varmış gibi düşünülebilir.

I

I

B

I d l × B

I d l × B

N

S B

Mağnetik alan içerisindeki bir mağnetik dipol üzerine etki eden mağnetik kuvvet:

2

I akımı taşıyan b yarıçaplı küçük bir çemberden

(manyetik dipol) uzak bir noktadaki mağnetik

akı yoğunluğu:

∫′

′=

c R

dIA

1

0

4

l

πµ

φφφ ′′+′−=′ bdaad yx )cossin(l

φφπ

µ π′′

−= ∫ dR

bIaA x

2

0 1

0 sin

4

φφπ

µπ

πφ ′′

−= ∫−

dR

IbaA

2

21

0 sin

2 veya OPP’ üçgenine kosinüs teoremi uygulanırsa;

ψcos22221 bRbRR −+=

Burada Rcosψ, R’nin yarıçap OP’ üzerindeki

izdüşümüdür ve OP’’ ‘nün OP’ üzerine izdüşümü ile

aynıdır.

φθ ′−+= sinsin22221 bRbRR

3

21

2

2

1

)sinsin2

1(11 −

′−+= φθR

b

R

b

RR

21

1

)sinsin2

1(11 −

′−≅ φθR

b

RR )sinsin1(1 φθ ′+≅

R

b

R

φθ ′−+= sinsin22221 bRbRR

φφφθπ

µπ

πφ ′′′+= ∫

−d

R

b

R

IbaA sin)sinsin1(

2

2

2

0

θµφ sin

4 2

20

R

IbaA =

20

20

4

ˆ

4

sinˆ

R

am

R

maA r

πµ

πθµ

φ×==

φθ

θφθφ

θθφθφθθ

θa

A

r

rA

ra

r

rAA

ra

AA

rAB rr

r

∂∂−

∂∂+

∂∂

−∂∂+

∂∂−

∂∂

=×∇= )(

sin

11)(

sin

11)sin(

sin

1

θµcos2

4 3

20

R

IbBr =

θµθ sin

4 3

20

R

IbB =

0=φB

)sincos2(4 3

20 θθµ

θaaR

IbB r +=

4

• I akımı taşıyan, b yarıçaplı küçük dairesel bir tel ele alalım. Yarıçap çok küçük olduğundan kesit alan ihmal edilecek kadar küçük varsayalım

Alternatif çözüm

• R >> b için Vektör mağnetik potansiyel:

[ ] ( )

[ ]

θπ

πµ

θπφφπ

µ

φφφθφφπ

µ

φπ

µ

φ

π

π φ

sin4

ˆ

sincosˆsinˆ

4

cossin1cosˆsinˆ

4

ˆ

4)(

2

20

20

2

0 20

2

0

0

r

bIa

r

baa

Ib

dr

b

raa

Ib

R

bdaIrA

yx

yx

=

+−=

′

′−+′+′−≈

′=

∫

∫

R >> b için mağnetik alan:

( )( )θθππµ

θ sinˆcos2ˆ4

23

0 aabIr

AB r +=×∇=

5

x

y

b

I

2ˆ bIam z π=Dipol momentin yönü sağ el kuralı ile bulunur.

• Vektör mağnetik potansiyel dipol moment

cinsinden:

Dipol momentin büyüklüğü ise akım ile dipolün kesit alanının çarpımına eşittir.

• Mağnetik dipol moment:

θπ

πµφ sin

4

)(2

20

R

bIaA =

(Wb/m) 4 20

R

amA R

πµ ×=

)sincos2(4 3

20 θθµ

θφ aaR

IbaB x +=

( )

∇⋅∇=+=r

maamr

B r

1

4sinˆcos2ˆ

40

30

πµθθ

πµ

θ

• Dipol moment cinsinden mağnetik alan ise;

6

( )θθπε θ sinˆcos2ˆ

4 30

aar

pE r += Qdp =

• Elektrik dipol hatırlanırsa:

• Elektrik dipolden dolayı oluşan elektrik alan ile mağnetik dipolden dolayı oluşan

mağnetik alan (dual , benzeşen niceliklerdir) birbirine benzemektedir. m “akım

çarpı alan” vs p “yük çarpı mesafe”

• Elektrik dipol

moment

Elektrik dipol mağnetik dipol

0εE

qdp =

0

1µ

B

ISam n=

[ ] z a veyaam

sincos 2r4

m

22

3o

ˆI I I Burada

ˆ ˆ

ππ

θθθπ

µ

===

+=

m

rB

S

rθm

S: akımın çevrelediği alandır.

7

Dipole moment

Akım

yönü

Uzak mesafede

alanlar birbirine

benzer

Ancak, yakın mesafede

alanlar birbirine

benzemez

Elektrik dipol

Mağnetik dipol8

I

dBz

dBperp

B

r z

R

dlα

dr

B = µ0

4πId

r

l × ˆ r r2

dB =µ0

4πIdl

r 2

dB z = dB cosα =µ0

4πIdl cosα

r2

r = R 2 + z 2 , cos α = RR 2 + z 2

Simetriden dolayı, sadece z-bileşeni

sıfır değildir.

Dairesel bir akım elemanı için mağnetik alan:

B = dB z∫ =µ 0

4π∫IR

( R2 + z 2 )3

2dl

B =µ 0

4πIR

(R 2 + z 2 )3

2dl∫ =

B = µ 0

4πIR

(R 2 + z 2 )3

22π R = µ 0

2IR 2

( R2 + z 2 )3

2

Çemberin merkezinde:Çemberin ekseni üzerinde z

noktasında, z>>RB =

µ0I

2RB =

µ0IR2

2z3

9

Çember şeklinde akım elemanının mağnetik dipol momenti:

m = IA =IππππR2.

Mağnetik dipol momentin yönü sağ el kuralı ile bulunabilir.

Dört parmak akım yönünde tutulunca, baş parmak m’ nin

yönünü gösterir

Çemberin ekseni üzerinde z

noktasında, z>>RB =

µ0IR2

2z3

Çemberden çok uzak mesafede ve çember ekseni

üzerinde , mağnetik alan m cinsinden yazılırsa;

30

2 z

mB

πµ=

Yukarıdaki dipol moment formulü tek

sarımlı çember için geçerlidir. Eğer

Çember şeklinde sarılmış bobin N

sarımlı ise; m=NIA = IπΝR2

I

B

z

R

m

z.P

Çubuk mıknatıs ile akım taşıyan

çemberin mağnetik alan çizgileri

birbirinin aynısıdır.10

Electric Dipole

τ = p x E

U = - p . E

Eax

= (2πε0

)-1 p/z 3

Ebis

= (4πε0

)-1 p/x3

Magnetic Dipole

τ = m x B

U = - m . B

Bax

= ( µ0/2π) m/z3

Bbis

= (µ0/4π) m/x3

Dipol Denklemleri:

11

• Bu durumun fiziksel anlamı: mağnetik yüklerin (monopol) oluşamayacağı şeklinde

açıklanabilir. Yani; mağnetik kutuplar birbirinden ayrıştırılamaz

0≡⋅∇ B

B’nin Divergence’ı

• B-alanı- solenoidal (selenoid şeklinde), olduğundan divergence’ı sıfır olur.

N

S

NS

NS I

N

S

• Mıknatıs ne kadar küçük parçalara ayrılırsa ayrılsın, N ve S kutupları yine

oluşur.

• Mağnetik alanın ana kaynağı mağnetik dipoldür.

12

• Açık S yüzeyini kesen mağnetik akı:

∫ ⋅=ΨS

sdB

S

B

CWb/m2Wb

• Böylece, herhangi bir kapalı yüzeyi terk eden net mağnetik akı sıfırdır. Bu durum,

mağnetik kutuplarım birbirinden ayrıştırılamayacağının bir başka şekilde ifadesidir.

000 =⋅⇒=⋅∇⇒=⋅∇ ∫∫SV

sdBdvBB

• Divergence teoreminden,

• Kapalı olmayan (açık) bir yüzeyi kesen mağnetik akı, Stokes teoremi kullanarak mağnetik vektör potansiyel cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir:

∫

∫∫

⋅=

⋅×∇=⋅=Ψ

C

SS

ldA

sdAsdB

Örnek: Şekilde görülen demir çubuk içerisindeki bir demir atomunun dipol momenti2.1x10-23 J/T. 5 cm uzunluğunda ve kesit alanı 1.0 cm2 olan çubuk içerisindeki tüm demir atomlarının hepsinin dipol momentleri aynı şekilde sıralanmış olduğu varsayılırsa,

(a) Çubuğun dipol momentini bulunuz.

(b) 1,5 T lık harici bir mağnetik alan içerisinde kalan bu çubuğu dik konumda tutmak için gerekli tork’u bulunuz.( demirin yoğunluğu: 7.9 g/cm3)

(a) Çubuktaki demir atomu sayısı:

( )( )( )( ) ( ) .103.4

10022.6847.55

0.10.59.7 2323

23

×=×

=molmolg

cmcmcmgN

Çubuğun dipol momenti:

( )( ) .9.8103.4101.2 22323 mATJm ⋅=××= −

( )( ) mNTmABb o ⋅=⋅== 1357.19.890sinm)( 2τ

14

(C) Çubuğun ortasından geçen doğru üzerinde ve çubuğun kenarına 1cm uzaklıktaki P noktasında mağnetik alan (B)değerini bulunuz

m= 8.9 A.m23

0

2 z

mB

πµ=

B =4π ×10−7 N

A2 8.9A.m2

π ×0.05m(.01m)2

B = 4 ×10−78.9N / A.m

5×10−6 B = 0.71 T

ise.z=zL

m

z

dz

L

mBT 010),

2)(

2(

2 20

01.

06.3

0 −== ∫ πµ

πµ

dzL

mAdz

AL

mdm

z

dmdBBT

==

== ∫∫ 30

2πµ

5 cm

A = 1 cm2

z. P

15

16