Unidad 3. Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a i1 x+ai2 x2+. . ..+a in xn=bia2i x1+a22 x2+.. . .+a2 n xn=b2an1 x1+an2 x2+. . ..+ann xn=bn

xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).

ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).

Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.

Los escalares a ij y ci son números reales.

El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.

Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con la s letras x, y, z, t, ...

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.

El término independiente de la misma es el 2.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:

1. Sistemas con una solución : Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es

la solución del sistema

2. Sistemas sin solución : Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por

tanto no hay solución

3. Sistemas con infinitas soluciones : Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos

en común, y por tanto todos ellos son solución

¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?

1. Una solución : Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales

Ejemplo:

75132

yxyx

2. Ninguna solución : Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los

términos independientes no lo son

Ejemplo:

764132

yxyx

3. Infinitas soluciones : Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a

los de la otra

Ejemplo:

264132

yxyx

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones

Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres

planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los

casos son:

▲ Un punto único.  Sistema  compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P. 

 

 

 

  

 

                                              

· Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con

un grado de libertad.

 

Los planos se cortan en r.

 

 ▼ Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

◄ Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para

estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.

Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

Eliminación de Gauss

Este método se aplica para resolver sistemas de líneas obteniendo un sistema equivalente:

a11x1+a12 x2+. .. .+a1n xn=b1

+a22 x2+. .. .+a´2n xn=b ´ 2

+a´ nn xn=b´n

De donde la notación a1ij se usa simplemente para denotar que aij cambio. Se despejan las incógnitas comenzando

con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método consiste en la eliminación

hacia delante y la sustitución hacia atrás

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema por eliminación Gaussiana

x1+2 x2+3 x3=1→Ec . 14 x1+5x2+6 x3=−2→Ec . 27 x1+8 x2+10 x3=5→Ec .3

Matriz de Gauss-Jordan

Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana con el objetivo de finalizar con una matriz de la

siguiente forma:

1 0… 0 b11

0 1... 0 b12

0 0… 1 b1n

De donde b11, b12 y b

1n

son las soluciones de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 1

Usar el método de Gauss – Jordan para dar solución al siguiente sistema de ecuaciones

x1−x2−x3=45 x1−4 x2+3 x3=−12.2x1+x2+x3=11

MÉTODO MATRIZ INVERSA

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales;

Sea A la matriz de los coeficientes,

Sean X y B los vectores columnas definidos por

Empleando la multiplicación matricial, el anterior sistema de ecuaciones lineales puede entonces escribirse como

Aquí A es una matriz de 3x3, X es una de 3x1 y el producto es una matriz de 3x1, los mismo que B. En el caso general A

sería de n x n, X de n x 1, y B de n x 1.

Supongamos ahora que A es no singular. Entonces la inversa A−1 existe y podemos multiplicar ambos miembros de A · X

= B por A−1 por la izquierda, para obtener

Pero tenemos

por eso (*) se convierte en

y hemos expresado la solución X del sistema anterior como el producto de A−1 por B.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando matrices:

Solución:

Usando cualquier método para hallar la matriz inversa se encuentra que la matriz inversa de los coeficientes es

Tenemos entonces el sistema matricial siguiente;

y la solución del sistema es:

MÉTODO REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos

condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Llamemos Δ el determinante de la matriz de coeficientes de las incógnitas.

Y sean:

Δ 1, Δ 2, Δ 3 ... , Δ n los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes la columna de los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente. Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Problemas modelos

1. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen.

¿Cuántos años tiene cada una?

Solución1º. Comprender el problema.

Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos x a la edad

de Alejandra e y a la de su hija.

Ordenamos los elementos del problema:

  Hoy dentro de 8 años

La madre x x + 8

La hija y y + 8

2º. Concebir un plan.

Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:

     x = 27 + y        x + 8 = 2(y +8)

Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.  Lo resolveremos por el método de sustitución.

3º Ejecutar el plan.            x = 27 + y       

Entonces:           27 + y +8 = 2(y +8) de donde  35 -16 = y Þ y = 19, x = 46

4º Examinar la solución obtenida .

La solución obtenida es factible por ser entera. El método empleado se puede usar en problemas “similares”.

Nota. En los demás problemas  el alumno indicará las cuatro fases.

2. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños.

Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una

mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

Solución . Sean:

hombres x

mujeres y

niños z

Luego:

x + y + z = 20 

x + y  = 3z                     Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

x  = y + 1               Se resuelve por reducción:

Restamos a la 1º ecuación la 2ª

z =20-3z Þ 4z = 20 Þ z =5 , sustituyendo en la 2ª nos queda:

x +y =15       que junto con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones:

x –y =1

Sumando nos queda 2x = 16 Þ x =8  ,  y =7

Otra forma

Utilizando el método de Gauss .

El sistema que resulta es:

x +   y +   z = 20 

    -2 y + 3z =  1                  

                z =  5

Sustituyendo en la 2º ecuación

2y = 3z-1 = 14 Þ y =7

Sustituyendo los valores hallados en la 1ª ecuación:

x = 20 –y –z = 20-7-5=8

3. Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, propone un problema que puede enunciarse así: el consumo

en una cafetería de un vaso de limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y 2 peniques, mientras

que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale 1 chelín y 5 peniques. Hallar cuál es el precio:

1º) De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho.

2º) De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos.

Resolver el problema recordando que 1 chelín vale 12 peniques.

SoluciónEs un problema con tres incógnitas y sólo dos condiciones, luego los valores de las incógnitas no se podrán determinar.

Llamamos : x al precio de un vaso de limonada, y al  de un sándwich y z  al de un bizcocho.

Entonces:  x + 3y +   7z = 14  (peniques)

             x + 4y + 10z = 17

Lo resolvemos por Gauss:

el sistema escalonado es:      x + 3y + 7z = 14  (peniques)   

                                                  y + 3z =  3,   

que tiene menos ecuaciones que incógnitas.  Es por tanto un sistema compatible indeterminado, con  un grado de

libertad.

Haciendo z =t, nos queda x = 5 + 2t,    y =  3 - 3t ,

Encontremos los precios de las combinaciones que nos piden.

1º) x + y + z = (5 + 2t) + (3 - 3t) + t =8 peniques. (no depende de t)

2º) 2x + 3y + 5z = 10 + 4t + 9 -9t +5t= 19 peniques.     “

http://carmesimatematic.webcindario.com/algebra%202bach.htm