3_equazioni Cardinali Della Statica

7/25/2019 3_equazioni Cardinali Della Statica

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 3Titolo: Equazioni Cardinali della Statica

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 3 Equazioni Cardinali della Statica

Nucleotematico

Lez. Contenuto

2 3 Equazioni Cardinali della Statica per sistemi piani.

Nella meccanica delle strutture si studiano le configurazioni diequilibrio delle strutture soggette ad azioni esterne; in questo corso cisi riferisce particolarmente ai sistemi di travi. Non entrando nel meritodella distinzione tra quiete ed equilibrio, si ricordano nel seguito glistrumenti analitici per giudicare sullequilibrio di un sistema meccanico(e quindi anche di un sistema di travi), che sono le Equazioni

Cardinali della Staticaed il Principio dei Lavori Virtuali. Questi duestrumenti saranno utilizzati per i casi oggetto di studio a seconda dellaconvenienza in relazione ai singoli casi.

EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA

Condizione necessaria e sufficiente affinch un sistema rigido

soggetto alle forze esterne n21 F,...,F,F sia in equilibrio che le forze

esterne ad esso applicate soddisfino le Equazioni Cardinali dellaStatica:

==0M0R

)e(

Q

)e(

(3.1)

in cui)e(

R la risultante delle forze esterne applicate ed)e(

QM il

momento risultante delle forze esterne applicate rispetto ad un puntoQ arbitrario, detto polo.

Osservazione 1

Le Equazioni Cardinali della Statica coinvolgonoesclusivamente le forze esterneapplicate al sistema in esame, cio

le forze che il sistema subisce per effetto di enti non facenti parte delsistema stesso e non coinvolgono le forze interne applicate alsistema, cio le forze che una parte del sistema subisce per effettodella presenza di unaltra parte del sistema.

Osservazione 2

Le forze esterne applicate al sistema possono essereclassificate come forze attive, cio forze note assegnate a priori ereazioni vincolari(o forze reattive), cio forze che il sistema subisceper effetto dei vincoli cui soggetto. Nellapplicazione delle (3.1)

devono essere considerate tutte le forze esterne, sia le forze attiveche le reazioni vincolari. Volendo esplicitare la presenza delle forzeattive e delle reazioni vincolari le (3.1) si possono riscrivere come:
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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=+=+0MM0RR )v,e()a,e(

QQ

)v,e()a,e(

(3.2)

in cui)a,e(

R la risultante delle forze esterne attive applicate al

sistema,)v,e(

R la risultante delle reazioni vincolari esterne applicate

al sistema,)a,e(

QM il momento risultante delle forze esterne attive

applicate al sistema rispetto al polo Q ed)v,e(

QM il momento risultante

delle reazioni vincolari esterne rispetto al polo Q.

Osservazione 3Le Equazioni Cardinali della Statica coinvolgono dunque la

risultante ed il momento risultante di tutte le forze esterneapplicate alsistema; nella valutazione di queste quantit devono quindi essereincluse sia le forze esterne attive applicate che le reazioni vincolariesterneapplicate; non devono essere incluse invece le forze interneattive n le reazioni vincolari di vincoli interni.

Osservazione 4

Le Equazioni Cardinali della Statica sono valide, come

condizione necessaria e sufficiente, per sistemi rigidi soggetti aqualunque tipo di vincolo. Per sistemi non rigidi (deformabili), essecostituiscono una condizione necessaria ma, in generale, nonsufficiente.

Osservazione 5

Le (3.1) e (3.2) sono equazioni vettoriali, cio i simbolisottosegnati in esse contenuti indicano vettori che rappresentanoforze e momenti. Scelto un riferimento cartesiano ortogonale (Oxyz) le(3.1) possono essere espresse come equazioni scalari in cui sono

coinvolte le componenti dei vettori)e(

R ed

)e(

QM rispetto al riferimentoscelto.Nel caso particolare di un sistema di travi piano giacente nel piano

(xy) soggetto alle n forze n21 F...,,F,F (figura 3.1) anchesse giacenti

sul piano (xy), scelto un polo sullo Q stesso piano si hanno le treequazioni scalari

=+++

=+++=+++

0M...MM

0F...FF

0F...FF

n21

yn2y1y

xn2x1x

brevemente:

=

=

=

=

=

=

0M

0F

0F

n

1ii

n

1iyi

n

1ixi

(3.3)


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Figura 3.1.

in cui Fx1, Fx2, , Fxn sono le componenti delle forze n21 F...,,F,F secondo lasse x, Fy1, Fy2, , Fyn sono le componenti delle forze

n21 F...,,F,F secondo lasse y, e M1, M2, , Mnsono le componenti

(secondo z) dei momenti delle forze n21 F...,,F,F rispetto al polo Q. Le

tre equazioni (3.3) si chiamano equazioni di equilibrio nel piano. Inparticolare le prime due si dicono equazioni di equilibrio allatraslazione in direzione x ed y rispettivamente; la terza si diceequazione di equilibrio alla rotazionerispetto al polo Q.La figura 3.1 mostra inoltre linterpretazione geometrica delle (3.3) conriferimento ad un sistema di travi (in rosso) soggetto alle n = 4 forze

4321 F,F,F,F : per soddisfare le prime due equazioni necessario che ilpoligono delle forze applicate al sistema (cio il poligono che si ottienedisponendo in successione i vettori che rappresentano le forzeapplicate) sia chiuso; per soddisfare la terza equazione necessarioche il sistema sia equivalente ad una coppia con momento nullo, ossiaequivalente a due forze della stessa intensit, giacenti sulla stessaretta di azione (braccio nullo) e aventi verso opposto. Infatti se ilsistema equivalente ad una coppia di momento nullo le prime dueequazioni sono soddisfatte in quanto le forze costituenti la coppiahanno risultante nulla e la terza equazione certamente soddisfattascegliendo un polo sulla retta di azione delle due forze. Ricordandopoi che il momento risultante di un sistema di forze a risultante nulla indipendente dalla scelta del polo si conclude che il momentorisultante nullo rispetto ad un qualunque polo Q scelto nel piano.

Si propongono nel seguito alcuni esempi di applicazione delleEquazioni Cardinali della Statica per giudicare sulle condizioni diequilibrio di sistemi piani di travi. In questi esempi le forze applicatevengono individuate graficamente con la simbologia vettoriale che neindividua modulo direzione e verso. Accanto ai vettori ne sono indicatii moduli, che indicano lintensit delle forze. Questi moduli sono, perdefinizione, positivi; assunto un riferimento (xOy) nel piano, i segni

delle componenti delle forze rispetto al riferimento si valutano invececonfrontando i versi dei vettori componenti con quelli degli assi delriferimento.

Q

Fi

Fxi

Fyi

x

y

O

z

i

Fxi= FicosiFyi= Fisini

b1

b2

b3

b4

Mi = Fibi

F1F2

F3

F4

F1

F2

F3

F4

F4

F3

F3+ F4

F1+ F2F1

F2

F3+ F4

F1+ F2

F1F2

F3

F4

Q


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Esempio 3.1

Si consideri il sistema di figura 3.2 soggetto alla forza F nota

applicata nel punto A con inclinazione nota frispetto allasse x.

Figura 3.2.

Si determinino il modulo P, linclinazione pe lordinata ypdel punto diapplicazione della forza P nel tratto BC in modo che il sistema sia in

equilibrio.

Le incognite del problema sono quindi i tre scalari P, ped yp.Con riferimento alla figura 3.3 si scompongono inizialmente le forzesecondo le loro componenti rispetto al riferimento assunto:

( )ffyx sinF,cosFF,FF ==

ppyx sinP,cosPP,PP == (e.1.1)

Le Equazioni Cardinali della Statica per il sistema di figura 3.2 sonoallora:

=+

=+

=+

0LsinPycosP

0sinPsinF

0cosPcosF

ppp

pf

pf

(e.1.2)

avendo assunto il punto A come polo per la valutazione dei momentidelle forze applicate.

Figura 3.3.

f

pA

B

C

F

P

x

y

yp

L

A

B

C

Fcosf x

y

Pcosp

Ps

inp

yp

L

Fsinff

F

Fcosf

p

P

Pcosp

Ps

inp

Fsinf


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Le prime due equazioni del sistema (e.1.2) forniscono

+==

fp

PF (e.1.3)

La terza equazione del sistema (e.1.2)

0cosysinL ppp = (e.1.4)

cio

p

p

p

p tanLcos

sinLy =

= (e.1.5)

che tenendo conto della (e.1.3) diventa

fp tanLy = (e.1.6)

Si riconosce che questultima impone che le forze F e P abbiano la

stessa retta di azione. La configurazione di equilibrio del sistema pertanto quella rappresentata in figura 3.4.

Figura 3.4.

Al risultato espresso dalle (e.1.3) ed (e.1.6) si poteva giungere

immediatamente pensando che le forze F e P per costituire un

sistema equilibrato alla traslazione (cio soddisfacente le prime due

equazioni (3.3)) non possono che essere uguali in modulo ed oppostein verso (figura 3.5); un siffatto sistema costituisce una coppia di

momento pari al prodotto del modulo di F (o di P ) per la distanza tra

le rette di azione delle due forze (braccio b in figura 3.5).

Figura 3.5.

f

A

B

C

F

P = F

x

y

L

b

f

A

B

C

F

P = F

x

y

yp

L

p= + f


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Affinch questo momento sia nullo necessario che la distanza tradette rette di azione, cio il braccio della coppia, sia nulla e quindi chele forze abbiano la stessa retta di azione.


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LEZIONE 3 Sessione di studio 1

Esempi di appl icazione delle Equazioni Cardinali della Statica persistemi piani

Sono proposti nel seguito due ulteriori esempi di applicazione delleEquazioni Cardinali della Statica per giudicare sullequilibrio di unsistema di travi rigido.

Esempio 3.2

Si consideri il sistema di figura 3.6 soggetto nel punto B alla

forza F nota e nei punti A e C alle forze incognite P e Q ; sia P

verticale (cio abbia retta di azione parallela allasse y). Si determininole forze P e Q nelle condizioni di equilibrio. Sia F = 15 kN, = /3, L =10 m.

Figura 3.6.

Si scompongono dapprima le forze nelle loro componentisecondo gi assi x e y, come mostrato in figura 3.7:

( )

==

2

3F,

2

FF,FF yx yx Q,QQ = ( )P,0P= (e.2.1)

Figura 3.7.

Le incognite del problema sono i tre scalari Qx, Qye P. Le equazioni diequilibrio (3.3) per i sistema in esame sono:

BL/2 L/2

L/5

L/5FP

Q

A

C

Q

Qx

Qy

F

Fx

Fy

x

y

O

z

B

L/2 L/2

L/5

L/5P

A

CQx

Qy

Fx

Fy

Q

QxQy

F

Fx

Fy

x

y

O

z


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=++

=+=

0L5

2F

2

LFLP

0QFP

0QF

xy

yy

xx

(e.2.2)

in cui nella terza equazione stato scelto di valutare i momenti delleforze rispetto al polo C. Dalle prime due equazioni (e.2.2) si ricava

yy

xx

QFP

kN5.72

FFQ

=

=== (e.2.3)

Sostituendo queste nella terza delle (e.2.2) e dividendo ambo imembri per L si ha

( ) 0F5

2

2

FQF x

y

yy =++ (e.2.4)

dalla quale si ricava:

kN50.3F23.05

1

4

3FF

5

2

2

FQ x

y

y ==

== (e.2.5)

Considerando questultima, la seconda delle (e.2.3) fornisce

kN50.9F63.05

F

4

3F

5

1

4

3F

2

3FP ==+=

= (e.2.6)

Possono infine determinarsi linclinazione (figura 3.6) ed il modulodella forza Q :

kN28.8QQQ

02.255.7

5.3tana

Q

Qtana

2

y

2

x

y

y

=+=

=

=

=

(e.2.7)

Il problema avrebbe potuto agevolmente risolversi per via

grafica. La forza F nota, sia s la sua retta di azione; della forza P

nota la retta di azione, che la retta r parallela ad y e passante per A,

ma non il modulo ed il verso (figura 3.8). La forza Q incognita deve

essere in equilibrio (costituire una coppia di braccio nullo) con la

somma di F e P . Si traccino le rette di azione di F e P . Queste si

intersecano punto S (figura 3.8).


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Figura 3.8.

La risultante tra F ed P non nota, non essendo nota P , tuttavia noto che la sua retta di azione passa per il punto S, intersezione di r

ed s. Pertanto la forza Q che deve equilibrare la risultante tra F e P

deve anchessa avere retta di azione passante per S; la retta di azione

di Q deve inoltre passare per il punto C in cui Q applicata al

sistema. Si conclude che la retta dazione di Q la retta t che passa

per i punti S e C. Si tracci tale retta, la cui inclinazione la correttainclinazione della forza Q .

Figura 3.9.

Il modulo di Q si determina infine costruendo il poligono delle forze

applicate al sistema (figura 3.10): partendo dalla forza F

rappresentata con la corretta inclinazione ed in una scala opportuna,

si tracciano per gli estremi del segmento che rappresenta F le rette

parallele ad r e t (rette di azione delle forze che devono equilibrare F ).

I lati del triangolo che si ottiene rappresentano le forze incognite P e

Q . I moduli di queste forze si possono determinare in base alla scala

del disegno o mediante considerazioni geometriche sulle figure 3.9 e

3.10; i versi si determinano in modo che la risultante di F P e Q sia

nulla.

B

FP

Q

A

C

S

rs

x

y

O

z

B

FP

Q

A

C

S

x

y

O

z

r s

t


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Figura 3.10.

Esempio 3.3

Si consideri il sistema di figura 3.11 soggetto alla forza F notaapplicata nel punto A, alla forza P incognita applicata nel punto B ed

alla coppia di momento M incognito. Si determinino la forza P ed il

momento M nelle condizioni di equilibrio.

Sia F = 10 kN, = /4, L = 5 m.

Figura 3.11.

La simbologia di figura 3.11 relativamente al momento M

indica che al sistema di travi applicata una coppia, cio un sistemadi forze a risultante nulla ed equivalente a due forze aventi rette diazione parallele, stesso modulo e verso opposto. Il modulo T delle

due forze e la distanza b tra le loro rette di azione sono tali che ilmodulo del momento della coppia costituita da queste due forze pari

ad M = Td. Le due forze possono essere pensate come connessecon bracci rigidi alla struttura in esame, come rappresentato in figura3.12. Questa simbologia sar ampiamente utilizzata nel seguito.

Figura 3.12.

L L/2

A

F

Fx

FyF

M

P

Px

Py P

M

B

Fx

Fy

Px

Py

Lx

y

O

z

B

FP

Q

A

C

S

F F P

Q

10 kN

x

y

O

z

r s

t//t

//r

M

T

T

d

dT = M


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Scomponendo le forze nelle loro componenti secondo gi assi xe y, come mostrato in figura 3.11 si ha:

( )

==

2

2F,

2

2FF,FF yx yx P,PP= (e.3.1)

Le tre incognite de problema sono gli scalari Px, Pye M, modulo del

momento della coppia M .

Le equazioni di equilibrio (3.3) per i sistema in esame sono:

=++

=+

=+

0ML2

3PLP

0PF

0PF

yx

yy

xx

(e.3.2)

in cui i momenti sono valutati rispetto al polo A. Da queste si ricava

==

===

===

kNm78.16L4

2FLM

kN07.72

2FFP

kN07.72

2FFP

yy

xx

(e.3.3)

Si osserva che la forza P che soddisfa le equazioni di equilibrio

alla traslazione ha modulo pari ad F, retta di azione parallela alla retta

di azione di F e che le rette di azione delle due forze distano di

42Lb = (figura 3.13).

Figura 3.13.

Le due forze F e P costituiscono quindi una coppia di verso orario

avente momento di modulo

L4

2FbFC == (e.3.4)

L L/2

A

F

M

B

L

P = F

C

bx

y

O

z


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Per soddisfare lequazione di equilibrio alla rotazione la coppia M

applicata deve avere lo stesso modulo e senso antiorario, come risultadalla terza delle (e.3.3), tenendo conto del verso assunto in figura3.11.

Osservazione 6

Le tre equazioni di equilibrio per sistemi piani (3.3)costituiscono un sistema lineare rispetto alle componenti delle forzeapplicate e consentono la soluzione dei problemi proposti negliesempi precedenti in quanto questi sono caratterizzati dalla presenzadi tre incognite. Problemi caratterizzati dalla presenza di meno

incognite non hanno, in generale soluzione. Ad esempio il problemaschematizzato in figura 3.14a in cui nota la forza F non nulla e si

cerca la forza yx P,PP = nelle condizioni di equilibrio non ha

soluzione in quanto le due componenti Px e Py di P non possono

soddisfare contemporaneamente le tre equazioni (3.3).

Figura 3.14.

Infatti, anche soddisfacendo le prime due equazioni (equilibrio alla

traslazione), F e P costituirebbero una coppia di braccio b non nullo

(figura 3.14b) e quindi non potrebbe essere soddisfatta la terzaequazione (equilibrio alla rotazione). Tutto ci a meno che, come caso

particolare, il punto B non appartenga alla retta di azione della forza F

nota.

Invece il problema schematizzato in figura 3.15 in cui nota la

forza F e si cercano le forze yx P,PP= e yx Q,QQ= nelle

condizioni di equilibrio ha infinite soluzioni in quanto alle quattroincognite Px, Py, Qx, Qy richiesto di soddisfare le tre equazioni (3.3).

Figura 3.15.

A

FF

Fx

Fy

A

FF

Fx

Fy

B

P

P

Px

Py B

P = F

Px

Py

bx

y

O

z (a) (b)

PP

Px

Py

FQ

Px

QyQ

x

y

O

z


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Infatti sempre possibile fissare arbitrariamente una delle quatto

incognite e determinare le altre tre con le (3.3). Le due soluzionirappresentate in figura 3.16, in cui le rette di azione di P e Q si

intersecano in un punto della retta dazione di F ed il poligono delle

forze chiuso rappresentano due delle infinite possibili soluzioni delproblema. Si anticipa che problemi di questo tipo, detti staticamenteindeterminati, possono essere risolti univocamente solo introducendoaltre equazioni che coinvolgono le deformazioni delle travi sotto leforze assegnate.

Figura 3.15.

PF

QP

F

Q

P

F

Q

FQ

P

x

y

O

z


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Per una pi completa comprensione delle questioni fin qui esposte, inquesta sessione di studio si suggerisce al lettore di rivedere alcuniconcetti esposti nel corso di Meccanica Razionale. In particolare:

- Quiete ed equilibrio (lezione 28 del corso del prof. Turzi).

- Definizione di corpo rigido (lezione 13 del corso del prof. Turzi).

- Classificazione delle forze in forze attive e reazioni vincolari(lezione 26 del corso del prof. Turzi).

- Definizione di momento risultante di un sistema di forze (lezione 30

del corso del prof. Turzi).

- Sistemi di forze equivalenti, riduzione dei sistemi di forze (lezione33 del corso del prof. Turzi).


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Equazioni Cardinali della Statica esercizi

Sono proposti nel seguito alcuni esercizi la cui soluzione lasciata allettore. Si consiglia di controllare i risultati ottenuti per via analiticamediante un procedimento grafico, eventualmente con lausilio di unprogramma di CAD.

Esercizio 3.1

Si stabilisca se il sistema rigido di figura 3.16 in equilibrio.

Figura 3.16.

Esercizio 3.2

Si stabilisca se possibile mantenere in equilibrio il sistema difigura 3.17 applicando ad esso esclusivamente una coppia. In casoaffermativo se ne determini il momento.

Figura 3.17.

L

F = 10 kN

= /4L = 2 m

F

F

F2

F2

2L L

L

L L

L

F1

F2

F3

F4

1

2

F1= 155.3 kNF2= 219.6 kNF3= 219.6 kNF4= 80.4 kN

1= /4

2= /6L = 3 m


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Esercizio 3.3

Si stabilisca se possibile mantenere in equilibrio il sistema difigura 3.18 applicando esclusivamente una forza in un punto dellastaAB. In caso affermativo si determini detta forza ed il suo punto diapplicazione.

Figura 3.18.

Esercizio 3.4

Si risolva il problema dellesercizio 3.3 ponendo F3= 400 kN.

L L

L/2

F1

F2

F3

F1= 100 kNF2= 200 kNF3= 200 kN

= /4

L = 5 m

L/2

A

B

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