3_PresjecneSile

GRAoEVINSKIFAKULTETSARAJEVO

PREDNAPREGNUTI BETONPREDNAPREGNUTI BETON

Prora…un presje…nih sila od prednaprezanja

strana 28

K - 97/98

Zlatar

(1a)

(1b)

(1c)

PRORA„UN PRESJE„NIH SILA OD PREDNAPREZANJA

1. DJELOVANJE PREDNAPREZANJA

Kako je to ranije navedeno, u zavisnosti od djelovanja spoja izmepu armature za prednaprezanje i betonarazlikuje se (EC2):

a) Prednaprezanje bez spoja (EC2, dio 1D),b) Prednaprezanje sa naknadnim spojem (EC2, dio 1),c) Prednaprezanje sa trenutnim spojem (EC2, dio 1).

Djelovanje prednaprezanja, prvo se definiše kroz silu prednaprezanja Pm,0 neposredno nakon postupkaprednaprezanja uzimajuƒi u obzir uticaje usljed:

T trenja armature za prednaprezanje,T klizanja ili popuštanja ankernih tijela ili planiranog popuštanja odnosno ponovnog postupka

istezanja,T elasti…nih deformacija betona kod nanošenja sile prednaprezanja (kod trenutnog spoja; kod

naknadnog spoja ovaj dio se može kompenzirati kroz odgovarajuƒi izbor postupka istezanjakod samog toka prednaprezanja).

Ova sila prednaprezanja je dakle ona sila u elementima za prednaprezanje nakon završenog postupkautezanja.

Kroz odrepeno vrijeme t™0 djeluje sila prednaprezanja Pm,t koja sadrži dodatne gubitke usljed puzanja iskupljanja betona kao i od relaksacije …elika za prednaprezanje.

Ta sila prednaprezanja Pm,t je u pravilu sila zatezanja u armaturi i djeluje na beton reaktivnom silom (silapritiska) usljed vezivanja na mjestima ankerovanja (ankerne sile) i - u slu…aju zakrivljenog vopenjaarmature za prednaprezanje - usljed skretnih sila duž elemenata za prednaprezanje (skretne sile). Poredtoga i sile trenja prenose se na beton.

Kod stati…ki odrepenih strukturnih elemenata kroz prednaprezanje nastaje samo vlastito (sopstveno)naponsko stanje sa silama zatezanja u elementima za prednaprezanje i silama pritiska u betonu. Takvonaponsko stanje zapravo u svakom posmatranom presjeku, koji se sastoji od betona i prednapregnutearmature, daje ukupne presje…ne sile jednake nuli, ali u betonskom djelu presjeka prouzrokuje slijedeƒepresje…ne sile (sl.1.):




strana 29

K - 97/98

Zlatar

Slika 1. Presje…ne sile u betonskom dijelu usljed stati…ki odrepenog djelovanja prednaprezanja.

(1d)

(1f)

(1e)

Ove stati…ki odrepene presje…ne veli…ine betonskog dijela usljed prednaprezanja mogu se kod stati…kineodrepenih strukturnih elemenata uzeti kao presje…ne sile stati…ki odrepenog osnovnog sistema, da bise prora…unale od prednaprezanja dodatne stati…ki nepoznate presje…ne sile (Mpd,ind, Npd,ind, Vpd,ind, Tpd,ind).Iste presje…ne sile betonskog dijela, od uticaja prednaprezanja, dobijaju se ako se uticaji od silaankerovanja, skretnih sila i sila trenja tretiraju kao kvazi sile na stati…ki odrepenom ili neodrepenomsistemu. Kod prednapregnutih površinskih elemenata ovaj postupak se skoro isklju…ivo primjenjuje, kakobi se mogli upotrebljavati gotovi kompjuterski programi koji su na raspolaganju.

Kod prednaprezanja sa trenutnim spojem svrsishodno je svoditi sile prednaprezanja u žicama ili kablovima




strana 30

K - 97/98

Zlatar

na idealizirani presjek.

Razlika izmepu stati…ki odrepenog i stati…ki neodrepenog djelovanja prednaprezanja sa stanovišta dokazanosivosti ima punog smisla. Stati…ki neodrepeno djelovanje se zapravo sabira kroz množenje saparcijalnim koeficijentom sigurnosti (p sa presje…nim silama usljed dejstava od optereƒenja i prinude, dokse stati…ki odrepeno djelovanje sile u armaturi za prednaprezanje Ptd = (p" Pm,t ura…unava na straniotpornosti elementa u formi ekivalentnog predistezanja ,p

(0).

Tabela 1. Presje…ne sile razli…itih dijelova popre…nog presjeka stati…ki odrepenog i neodrepenog prednapregnutog nosa…a.

NOSIVASTRUKTURA

PRESJE„NESILE

DIO POPRE„NOG PRESJEKAUKUPNI

POPRE„NIPRESJEKBETON I OBI„NA

ARMATURA„ELIK ZA

PREDNAPREZANJE

stati…kiodrepena

Mpz = /0

Vpz = /0

Np = /0

stati…kineodrepena

Mpz = /

Vpz = /

Np = /0

Prema EC 2 za dokaz nosivosti, u pogledu parcijalnih koeficijenata sigurnosti (p, je potrebno obratiti pažnjuna:

a) Kod odrepivanja stati…ki neodrepenih presje…nih veli…ina uzimaju se vrijednosti za (p=0,9odnosno 1,2; pri …emu se u osnovi kod prora…una po linearnoj teoriji elasti…nosti smije uzeti(p=1,0.

b) Kod dimenzioniranja popre…nog presjeka za deformaciju predistezanja se u opštem slu…ajuuzima (p=0,9 odnosno 1,2. Pri tome se za koeficijent sigurnosti za deformaciju predistezanjauzimaju razli…ite vrijednosti, u zavisnosti da li predistezanje za posmatrani dokaz djelujepovoljno ili nepovoljno. Za prednapregnute elemente u zategnutoj zoni je (p=0,9 a za one upritisnutoj zoni mjerodavno je (p=1,2. Ako minMSd ima isti predznak kao i maxMSd, tada za (pza dokaz napona pritiska u prethodno pritisnutoj zategnutoj zoni betona za minMSd vrijediobrnuto. U slu…ajevima u kojima najviše 25% armature za prednaprezanje leži u pritisnutojzoni a pored toga ako napon u najudaljenijem elementu od neutralne linije prekora…ujera…unsku veli…inu koja odgovara grani…noj deformaciji od 0,1% tj. fp0,1k/(s, smije se deformacijapredistezanja ,p

(0) za dokaz sa maxMSd pojednostavljeno množiti sa (p=1,0.

Za dokaz grani…nog stanja upotrebljivosti presje…ne sile se u osnovi odrepuju na bazi linearne teorijeelasti…nosti. Za pokrivanje rasipanja vrijednosti sile u armaturi za prednaprezanje, što je naro…ito izraženou stanju upotrebljivosti, zbog po karakteru razli…itog zajedni…kog djelovanja prednaprezanja i optereƒenja,uvedeni su (EC 2) dodatni koeficijenti rsup=1,1 odnosno rinf=0,9. U zavisnosti od posmatranog dokaza, dali sila prednaprezanja djeluje povoljno ili ne, bira se i vrijednost ovog multiplikatora.

2. PREDNAPREZANJE SA TRENUTNIM SPOJEM (PRIJE O„VRŠ„AVANJA BETONA)




strana 31

K - 97/98

Zlatar

(2)

(3)

(4)

Slika 2. Presje…ne veli…ine i naponi za prednaprezanje prije o…vrš…avanja betona.

(Linearna teorija elasti…nosti)

Radi boljeg razumjevanja ovdje ƒe se razmatrati stanje napona samo od uticaja prednaprezanja odvojenood vlastite težine, premda ti uticaji u pravilu djeluju zajedno.

Za odrepivanje napona u spregnutom presjeku koriste se karakteristike idealiziranog popre…nog presjeka,pri …emu se površina popre…nog presjeka armature za prednaprezanje Ap i obi…ne armature As koncentrišeu njihova težišta zbog uve…ane krutosti u odnosu na beton za "p= Ep / Ec i "s= Es / Ec. Prema oznakamana sl.2 površina idealiziranog popre…nog presjeka je:

Položaj težišta idealizirane površine u odnosu na težište betonskog presjeka je:

tako da se veza koordinata za razli…ite ose može napisati da je,

Momenat površine drugog stepena (momenat inercije) idealiziranog presjeka je:




strana 32

K - 97/98

Zlatar

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Iz uslova ravnoteže na odsje…enom dijelu nosa…a na sl.2 dobijaju se presje…ne sile spregnutog presjeka:

U slu…aju rasporeda armature za prednaprezanje u više slojeva uzima se svaki red zasebno sa svojimnagibom i rastojanjem u odnosu na osu kroz težište idealiziranog presjeka.

Naponi u betonu su,

Naponi u armaturi za prednaprezanje se dobiju kao suma napona od prednaprezanja i "p=Ep/Ec-strukognapona u vlaknu betona na nivou armature za prednaprezanje,

Dakle po…etni napon u …eliku usljed prednaprezanja reducira se kroz elasti…nu deformaciju skra…enjabetona zbog …ega se taj napon u pojedinim propisima posebno ograni…ava.

U slu…ajevima kada se armatura za prednaprezanje dodatno vodi i u gornjem pojasu (sa negativnim zip),što je …est slu…aj kod prefabriciranih elemenata sa paralelnim pojasevima tada mogu da nastanu ipoveƒani naponi nakon prenošenja sile prednaprezanja na idealizirani presjek.

Naponi u obi…noj armaturi mogu se odrediti na osnovu jednadžbe,

gdje je,Fcp,p :Napon u betonskom vlaknu na nivou armature za prednaprezanje,Fcp,s :Napon u betonskom vlaknu na nivou obi…ne armature.




strana 33

K - 97/98

Zlatar

(11)

(12)

(13)

(14)

Slika 3. Presje…ne sile i karakteristike presjeka kod prednaprezanja bez spoja.

(15)

(16)

3. PREDNAPREZANJE BEZ SPOJA

3.1 Stati…ki odrepeni sistemi

Kod odrepivanja karakteristika popre…nog presjeka u ovom slu…aju je potrebno odbiti dio koji se odnosina zaštitnu cijev mada armatura za prednaprezanje leži unutar nje. Obi…na armatura se može dodatnouzeti u obzir. Prema sl.3. je:

Ako se posmatra samo djelovanje prednaprezanja tada kod stati…ki odrepenih struktura nastaje sopstvenonaponsko stanje tako da su sve oslona…ke reakcije jednake nuli. Pri tome u betonskom dijelu presjeka(uklju…ujuƒi i obi…nu armaturu) nastaju presje…ne sile samo od unešene sile prednaprezanja Pm pa je uposmatranom presjeku (sl.3.):




strana 34

K - 97/98

Zlatar

(17)

(18)

(19)

(20)

Uobi…ajeno je kod konstrukcija od prednapregnutog betona raditi vitke elemente tako da je Rc vrlo mal imože se uzeti da je cosRc.1. Tada, uz zanemarenje trenja, normalna sila u betonskom presjeku po dužininosaƒa je konstantna sila pritiska …ija veli…ina je jednaka unešenoj sili prednaprezanja, pa su momentisavijanja afini rastojanju armature za prednaprezanje u odnosu na težišnu osu presjeka.

Naponi betona se mogu odrediti pomoƒu jednadžbe:

Naponi u armaturi za prednaprezanje su:

a naponi u obi…noj armaturi su:

3.2 Stati…ki neodrepeni sistemi

Kod postupka prednaprezanja sa trenutnim spojem u pravilu se radi o strukturnim elementima koji sustati…ki odrepeni, tako da prora…un presje…nih sila kod stati…ki neodrepenih elemenata dolazi u obzir samokod prednaprezanja bez spoja a naro…ito kod prednaprezanja sa naknadnim spojem. Naponi u betonu,obiƒnoj armaturi i armaturi za prednaprezanje odrepuju se na isti na…in kako je to dato u predhodnompoglavlju.

U principu mogu se primjeniti svi znani postupci za stati…ki neodrepene sisteme. Ovdje ƒe se pokazati najednostavnom primjeru osobenosti kod primjene uobi…ajene metode sila. Sli…no je i kod primjene metodedeformacija a ukoliko se primjenjuje tzv. metoda skretnih sila (slijedeƒe poglavlje) tada i nema posebnostipošto se uticaj prednaprezanja na betonski elemenat uzima kao vanjsko optereƒenje odrepeno iz vlastitog(sopstvenog) stanja napona.

Kod metode sila, na prednapregnuti stati…ki neodrepeni nosaƒ uvode se zglobovi ili puni presjeci kako bise oslobodile prekobrojne stati…ke veli…ine i tako dobio stati…ki odrepeni osnovni sistem. Razumljivo je dakroz uvopenje prekobrojnih presje…nih sila nesmije se osloboditi sila prednaprezanja. Iz tog razloga jesvrsishodno na presje…enim ravnima predstaviti ankerna tijela i na taj na…in razdjeliti armaturu zaprednaprezanje (sl.4.a). Ako se ne uvedu pomenuta ankerna tijela, moguƒe je da se veƒ na osnovnomstati…ki odrepenom sistemu dobiju reakcije oslonaca.

Presje…ne sile od prednaprezanja na osnovnom sistemu, nakon uvopenja ankera, odrepuju se pomoƒujednapbi (15), (16) i (17).




strana 35

K - 97/98

Zlatar

Slika 4. Metoda sila. Sistem i presje…ne sile od prednaprezanja na jednostruko stati…ki neodrepenomokvirnom nosaƒu. a) sistem, b) stanje od optereƒenja (prednaprezanje), c) stanje X=1, d)pripadajuƒe presje…ne sile.

(21)

(22)

(23)

Kod odrepivanja veli…ina pomjeranja (inkompatibilitet) *ik moguƒe je (osim u posebnim slu…ajevima)zanemariti deformacije od popre…ne sile. Deformacije od normalne sile kod prednaprezanja nesmiju seizostavljati; naro…ito kada su momenti savijanja zbog promjene predznaka relativno mali (sl.4.b). Opƒenito,za presje…ne sile Mi i Ni, a na osnovu principa virtualnih pomjeranja, je:

Prema uobi…ajenim pravilima statike, kod stati…ki neodrepenih sistema, iz uslova kompatibilnosti tj. AX=a(jedna…ina elasti…nosti za svaki uslov pomjeranja k=1 do k=n: ) odrepuju se nepoznatesile X=A-1a, tako da je:




strana 36

K - 97/98

Zlatar

(24)

(25)

(26)

(27)

Presje…ne sile u n-tostruko stati…ki neodrepenom sistemu (sl.4.d) su:

gdje su,Ncp,dir, Vcp,dir, Mcp,dir :presje…ne sile usljed prednaprezanja na stati…ki odrepenom nosa…u,Ncp,ind, Vcp,ind, Mcp,ind :dodatne (prinudne) presje…ne sile usljed prednaprezanja na stati…ki

neodrepenom nosivom sistemu.

Ukoliko se dobije da su Xip=0, tada se govori o prednaprezanju bez prinude odnosno konkordantnomprednaprezanju. Ovo je moguƒe dobiti samo ako su svi *ip=0. To je opet slu…aj kada se zanemare uticajiod normalne sile i ako je cosRc=1, tako da je linija momenata Mcp,dir a time i geometrijska linija vopenjaprednapregnute armature afina (konkordantna) sa momentnom linijom na stati…ki neodrepenom sistemu.

Znatnija prinuda (stati…ki neodrepena) može da bude poželjena kako bi se zadržale odrepene presje…nesile ili odrepeni rubni uslovi ili da bi se uticalo na veli…inu oslona…kih sila. Tako npr. na sl.4 odgovarajuƒimizborom položaja armature za prednaprezanje zp1 i zp2 može se dobiti da horizontalna oslona…ka reakcijabude Hp = -HG tj. da horizontalnu silu od vlastite težine poništi horizontalna sila od prednaprezanja.

U stadiju II, odnosno u stanju loma komplicira se odrepivanje veli…ina momenta Mcp,ind zbog toga štostvaranje naprslina uti…e na veli…inu stati…ki prekobrojnih i zbog promjene krutosti dolazi do preraspodjeleunutarnjih sila.

4. METODA SKRETNIH SILA

Metoda skretnih sila naro…ito je došla do izražaja sve ve…om primjenom u statici gotovih kompjuterskihprograma, gdje se optereƒenja zadaju skoro isklju…ivo kao spoljna dejstva. Takope, kod složenih sistemakao što su npr. površinski nosa…i (plo…e, zidni nosaƒi, ljuske itd.) ova metoda najbrže vodi do cilja.

Nasuprot dosadašnjem razmatranju, gdje se uvjek posmatrala ravnoteža na odsje…enom dijelu nosa…a,prora…un skretnih i ankernih sila neovisan je od strukturnog sistema kao i od linije koju opisuje težišna osa.Ova metoda vrijedi za sve vrste prednaprezanja a potrebno je napomenuti da se mora obratiti pažnja namjesto djelovanja skretnih i ankernih sila.

Prema sl.5, na osnovu uslova ravnoteže može se napisati da je,




strana 37

K - 97/98

Zlatar

(28)

Slika 5. Skretne sile i sila u ankeru.

(29)

(30)

Uz predpostavku da se kod sile prednaprezanja na malom rastojanju može zanemariti uticaj trenja tj.Pm+dPm=Pm, i da za mali ugao dR je: cos (dR/2).1, sin(dR/2).dR/2 i dPm@sin(dR/2).0 kao mala veli…inadrugoga reda, iz predhodnih jedna…ina mogu se dobiti komponente skretnih sila (normalna Up i sila trenjaf:) tj.:

Iz jednadžbe (30) o…igledno je, da bi kod kružnog utezanja skretna (radijalna) sila bila proporcionalna siliprednaprezanja Pm. Ukoliko bi sile trenja bile nula, što je slu…aj kod cilindri…nih rezervoara sa postupkomprednaprezanja namotavanjem, tada je dPm=0 odnosno f:=0, pa na beton djeluju rezultujuƒe skretne sileusmjerene okomito na osovinu armature za prednaprezanje konstantne veli…ine (npr. mogu da povoljnodjeluju na optereƒenje od te…nosti unutar kružnog rezervoara).

Kod pravolinijskog vopenja armature za prednaprezanje (r=4) skretne sile is…ezavaju a uz zanemarenjetrenja jedino ostaju da djeluju sile u ankernim elementima.

Na strukturnom elementu uobi…ajeno i svrsishodno je odrediti komponente skretnih sila u pravcu i okmitona sistemsku osovinu elemnta. Sa oznakama na sl.6, na osnovu jednadžbi od (27) do (30) i uz to da jedx/r@dR=cosR, dobija se da je:




strana 38

K - 97/98

Zlatar

(31)

(32)

(33)

(34)

Slika 6. Skretne sile na betonski dio elementa.

Kao kontrola može poslužiti uvjet da skretne sile moraju biti u ravnoteži sa ankernim silama kako kodstati…ki odrepenih tako i kod stati…ki neodrepenih sistema, tj.

gdje je,GPm,0 :sila prednaprezanja u ankernom tijelu,R0 :po…etni nagib armature za prednaprezanje.

Potrebno je napomenuti da komponenta Upx nije samo normalna sila u elementu nego za zcp…0 ona pravii momente m=Upx@zcp. Meputim ovaj uticaj kod uobi…ajenih vitkosti nosaƒa je dovoljno mali da se možezanemariti.

Skretne sile za upotrebljive matematski formulisane krive vopenja armature za prednaprezanje (takope




strana 39

K - 97/98

Zlatar

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

za dPm…0) mogu se naƒi tabelirane u razli…itim priru…nicima. Za kvadratnu parabolu z=4@f@(>->2), gdje je>=x/l0,p, prema sl.6. je:

pa je iz (32) uz zanemarenja trenja:

gdje je,> :relativna koordinata, >=x/l0,p,f :strijela parabole,l0,p :rastojanje izmepu ankernog tijela i prevojne ta…ke parabole.

Moguƒe je, naro…ito kod zaobljavanja linije kablova na mepuosloncima, birati i kubnu pa i parabolu višegareda. U tom slu…aju skretne sile nisu više konstantne veli…ine što otežava prora…un.

Nosivi elemenat koji je optereƒen sa skretnim i ankernim silama kao spoljnim optereƒenjem može se sadaprora…unati uobi…ajenim metodama statike. Kod stati…ki neodrepenih sistema ovom metodom ne dobijajuse odvojeno dodatne prinudne presje…ne sile (Ncp,ind, Vcp,ind i Mcp,ind). Ukoliko su potrebne te veli…ine tadase iz (24), (25) i (26) one mogu odrediti:

5. PRIMJER KONTINUALNOG NOSA„A NA DVA POLJA SA PARABOLI„NIM VOoENJEM KABLOVA

Na ovom jednostavnom primjeru pokazat ƒe se postupak prora…una presje…nih sila od prednaprezanja(bez spoja ili sa naknadnim spojem) i to, kao jedanput stati…ki neodrepen nosa… uvopenjem zgloba nadmepuosloncem, tj. oslobapanjem oslona…kog momenta savijanja kao stati…ki prekobrojne veli…ine iformiranjem osnovnog sistema od dvije proste grede kao i metodom skretnih sila.

5.1 Prora…un presje…nih sila sa oslona…kim momentom kao prekobrojnom stati…ki neodrepenomveli…inom

Zbog jednostavnosti razmatranja predpostavlja se, da se u oslona…kom podru…ju skretne sile, koje zbogkratkog zaobljenog vopenja kablova djeluju prema dole, koncentrišu u jednu silu koja djeluje u osovinioslonca tako da neprave momente i popre…ne sile. Kod uobi…ajene dužine zaobljavanja greška je manjaod 1%. Takope ovdje se predpostavlja da ankerna sila na kraju grede djeluje u težišnoj osi.




strana 40

K - 97/98

Zlatar

Slika 7. Kontinualni nosa… na dva polja, osnovni sistem za prora…unoslona…kog momenta od uticaja prednaprezanja.

Slika 8. Dijagrami momenata, b) na stati…ki odrepenom osnovnom sitemu i c) nastati…ki neodrepenom sistemu.

Zamišlja se, da je parabola po kojoj se vodi armatura za prednaprezanje je produžena do osovinemepuoslonca B (ordinata e, sl.7).

Za odrepivanje momenta savijanja od prednaprezanja nad mepuosloncem B stati…ki neodrepenog nosa…aMB

cp,ind potrebno je prora…unati na osnovnom stati…ki odrepenom sistemu od dvije proste grede kutevezaokreta J0

B,li i J0B,de od uticaja sile prednaprezanaj Pm i usljed jedini…nog momenta MB

cp,ind=1 (sl.7).

Kutevi zaokreta mogu se jednostavno prora…unati na osnovu Mohr-ove analogije. Momenti Mcp,dir odprednaprezanja na osnovnom stati…ki odrepenom sistemu su i pokazani su na sl.8bsa dva dijagrama sa negativnim i pozitivnim predznakom. Veli…ina e je sa negativnim a f sa pozitivnimpredznakom.

Nagib tangente na elasti…nu liniju na mepuosloncu B od momenta savijanja Mcp,dir od prednaprezanja naosnovnom sistemu je:




strana 41

K - 97/98

Zlatar

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

Prinudni momenat MBcp,ind od prednaprezanja nad osloncem B, kao nepoznata veli…ina, ima na stati…ki

odrepenom osnovnom sistemu dijagram trouglastog oblika, pa je nagib tangente,

Iz uslova kompatibilnosti slijedi da zbir svih uglova zaokreta oslona…kog presjeka B lijevo i desno morabiti nula tj.,

iz …ega se dobija nepoznati momenat MBcp,ind nad mepusloncem B od prednaprezanja na stati…ki

neodrepenom nosa…u:

Za slu…aj da je l1=l2 i f1=f2=f dobija se da je,

Ukupni momenat od prednaprezanja je:

pa je i momenat (ukupni) nad osloncem B od stati…ki odrepenog i stati…ki neodrepenog djelovanjaprednaprezanja (sl.9):




strana 42

K - 97/98

Zlatar

(49)

Slika 9. Dijagram momenata od prednaprezanja.

(50)

(51)

(52)

Za l1=l2 i f1=f2=f je,

Momenat savijanja u bilo kojem presjeku kontinualnog nosa…a na dva polja je:

Iz predhodnih jednadžbi može se zaklju…iti da kod kontinualnog nosa…a sa paraboli…nim vopenjem kablovaza prednaprezanje, momenat savijanja od prednaprezanja izvan oslona…kog podru…ja zaobljavanja neovisi od veli…ine ekscentriciteta e nad mepuosloncem (sl.7 i sl.8) nego samo od veli…ine strijele parabolef. U podru…ju zaobljavanja momenti od prednarezanja zavise od strijele f i razlike izmepu ekscentricetae i udaljenosti kabla zcp,B, odnosno od (e-zcp,B). Ovaj dokaz takope op…enito vrijedi za stati…ki nepdrepenenosa…e.

Iz jedna…ine (45) može se dobiti uvjet za koji je MBcp,ind=0, tj. slu…aj konkordantnog prednaprezanja. To je

slu…aj kada je,

ili za l1=l2=l i f1=f2=f, kada je e+f=0 pa je J0B,li=-J0

B,de.

Kada je odrepen (prinudni) momenat (MBcp,ind) od prednaprezanja na stati…ki neodrepenom sistemu, tada

se mogu jednostavno na tom sistemu odrediti i popre…ne sile.

Za kontinualni nosa… sa sl.7 je:




strana 43

K - 97/98

Zlatar

Slika 10. Momenti, popre…ne sile i oslona…ke reakcije simetri…nogkontinualnog nosaƒa usljed prednaprezanja sa paraboli…nimvopenjem kablova.

(54)

(55)

(53)

Opƒenito popre…ne sile na osnovnom sitemu (stati…ki odrepenom), jednapba (16), za malo Rc je,

Za parabolu prema sl.7 je,

pa se jednapba (53) može napisati,

Ukupne popre…ne sile na stati…ki neodrepenom nosa…u su,




strana 44

K - 97/98

Zlatar

(57)

(58)

(59)

(60)

U mepuoslona…kom podru…ju zaobljavanja kablova za prednaprezanje je Vcp,dir = -Pm@tan Rc,s, gdje je Rc,sugao nagiba u zaobljavajuƒem dijelu vopenja kablova. Neposredno iznad mepusolonca je Rc,s=0, pa jeVB

cp=0+VBcp,ind.

U slu…aju kada je l1=l2=l, izvan oslona…kog podru…ja zaobljavanja dobija se (sl.10):

Dakle odgovaraju…e popre…ne sile (kao i momenti savijanja) su izvan podru…ja zaobljavanja kablovaneovisne od veli…ine e. Pripadaju…e oslona…ke reakcije, zbog toga što su na stati…ki odrepenom osnovnomsitemu VA

cp,dir=VBcp,dir=VC

cp,dir=0, su jednake onim koje se dobiju od stati…ki neodrepenog prinudnogdjelovanja prednaprezanja (VA

cp,ind,...) pa prema tome ovise od e.

5.2 Prora…un presje…nih sila metodom skretnih sila

Vertikalna komponenta skretnih sila kod paraboli…nog vopenja kablova prema jednapbi (36) i oznakamana sl.7 i sl.8 (gdje se strijela parabole f odnosi na razvijenu parabolu na rasponu l a ne, kako je to ranijeozna…eno, na dužinu l0,p) je,

U mepuoslona…kom podru…ju zaobljavanja kablova prema sl.11 je,

Ako se uzme da se vertikalne komponente skretnih sila u polju, koje djeluju prema gore, prostiru po cijelomrasponu nosaƒa (sl.11), tada su sile u mepuoslona…kom podru…ju zaobljenja, koje djeluju prema dole:




strana 45

K - 97/98

Zlatar

Slika 11. Vertikalne komponente skretnih sila.(Leonhardt)

(61)

(62)

U s l u … a j usimetri…nog nosaƒal1=l2=l i f1=f2=fmomenti savijanjaod prednaprezanjasu:

Za ls,p<<l, gornja jednapba je,

što je potpuno identi…no sa jednapbom (49).

Da bi se ovim postupkom odredio i prinudni momenat MBcp,ind od stati…ki neodrepenog djelovanja

prednaprezanja, potrebno je od ukupnog momenta MBcp oduzeti dio momenta MB

cp,dir od stati…ki odrepenogdjelovanja prednaprezanja, tj,




strana 46

K - 97/98

Zlatar

(63)

Slika 12. Obostrano uklještena greda sa paraboli…nim vopenjem kablova.

(64)

što je opet identi…no sa jednapbom (46).

6. PRIMJER OBOSTRANO I JEDNOSTRANO UKLJEŠTENE GREDE SA PARABOLI„NIMVOoENJEM KABLOVA

6.1 Obostrano uklještena greda

Ovdje se podrazumjeva obostrano uklještena greda kod koje je jedan kraj neobrtljiv i nepomjerljiv dok jedrugi kraj takope neobrtljiv ali horizontalno pomjerljiv u smjeru podužne ose. Armatura za prednaprezanjevodi se po zakonu parabole.

Kod obostrano uklještene grede sa paraboli…nim vopenjem kablova i sa njihovim razli…itim ekscentricitetomna krajevima grede (sl.12), uz predpostavku da je Pmx . Pm, momenti od stati…ki neodrepenog djelovanjaprednaprezanja su:




strana 47

K - 97/98

Zlatar

(66)

(67)

(65)

(68)

(69)

Kako je MAcp,dir = -PmAzcp,A, odnosno MB

cp,dir = -PmAzcp,B to je i odgovarajuƒi momenat uklještenja odprednaprezanja:

Na isti na…in dobija se da je momenat u polovini raspona:

Na osnovu jednadžbi (65) i (66) može se zaklju…iti da momenti savijanja od prednaprezanja, kod obostranouklještene grede, ne zavise od veli…ine ekscentriciteta kablova na krajevima grede nego zavise samo odveli…ine strijele parabole f, dakle od veli…ine skretnih sila.

Iz jednadžbe (64) može se odrediti i slu…aja kada se dobija tzv. konkordantno prednaprezanje, tj. slu…ajkada su momenti od stati…ki neodrepenog djelovanja prednaprezanja jednaki nuli (Mcp,ind=0). To je za:

6.2 Jednostrano uklještena greda

Za jednostrano uklještenu gredu sa paraboli…nim vopenjem kablova i razli…itim ekscentricitetom kablovana krajevima grede (sl.13) je:

pa je momenat savijanja od prednaprezanja:




strana 48

K - 97/98

Zlatar

Slika 13. Jednostrano uklještena greda saparaboli…nim vopenjem kablova.

(70)

Za slu…aj da je zcp,B=0 jedna…ine (69) imaju slijedeƒi oblik:

Na osnovu prethodnih jednadžbi može se konstatovati da u slu…aju jednostrano uklještene grede saparaboli…nim vopenjem kablova momenti savijanja od prednaprezanja zavise od ekscentriciteta kablovana slobodno obrtljivom osloncu i od veli…ine strijele parabole f. Momenat u polju grede jednak je polovinivrijednosti momenta uklještenja sa obrnutim predznakom.

Napomena: Za razli…ite slu…ajeve oslona…kih uslova kao i za razli…ite zakone vopenja kablovapotrebni podaci mogu se naƒi u vidu tabela u odgovarajuƒim priru…nicima za statiku iprednapregnuti beton.

Documents

3_PresjecneSile