4. Análisis combinatorio

Anlisis Combinatorio

Juan Carlos Damin Sandoval

Universidad San Martin de Porres

Abril del 2013

J.C.Damin . S (USMP) Anlisis Combinatorio y Probabilidades Abril del 2013 1 / 20

Factorial de un Nmero

Definicin.Se define al factorial de un nmero natural n como el producto queresulta de multiplicar todos los nmeros naturales desde la unidadhasta el nmero n.Se denota como: n! bn y se lee factorial de n.As:

n! = 1x2x3x4x . . . xn

Ejemplo5! = 5x4x3x2x1 = 120

7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5040


ObservacinPor convencin se asume que: 0! = 1.

Propiedades1. Degradacin:

n! = n(n 1)!n! = n(n 1)(n 2)(n 3) . . . (n k + 1)(n k)!

2. Para dos nmeros naturales a y b (a, b 1).Si a! = b! entonces a = b

3. (n + 1)! + n! = (n + 2).n!4. (n + 1)! n! = n(n!)5. n! + (n + 1)! + (n + 2)! = (n + 2)2n!


Observaciones:1. Si se cumple que n! = 1, entonces:n = 1 n = 0.2. Las operaciones aritmticas dentro de factoriales, no estn

definidas; es decir :(a b)! 6= a! b! (a.b)! 6= a!xb!( ab )! 6= a!b! (an)! 6= (a!)n.


EjemploReducir: M = 15!+16!15! +

11!9!+10!

Solucin: Se observa que:15! + 16! = (1+ 16)15! = 17x15!9! + 10! = (1+ 10)9! = 11x9!Entonces: M = 17x15!15! +

11x10x9!11x9!

M = 17+ 10 = 27


Anlisis Combinatotio

DefinicinEl anlisis combinatorio estudia la manera de ordenar o agrupar loselementos de un conjunto, siguiendo leyes y estableciendo frmulasque nos permiten calcular el nmero de ordenaciones o agrupacionesque puedan formarse.

Principio de AdicinSi un evento A ocurre de m maneras diferentes y otro evento Bocurre de n maneras diferentes, siendo ambos mutuamenteexcluyentes(No pueden ocurrir A y B simultaneamente); entonces laocurrencia de los eventos: A o B sucede (m + n) maneras diferentes.


EjemploUn persona desea viajar de lima a chiclayo y decide viajar en avin oen omnibus, si hay 2 lineas de transporte areo y tres por transporteterrestre. De Cuntas maneras pueden realizar el viaje de Lima aChiclayo?

Solucinel nmero de maneras es: 2+ 3 = 5


Principio de MultiplicacinSi un evento A puede ocurrir de m maneras diferentes y despus dehaber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento B puede ocurrir de nmaneras diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos A y Bsucede de (mxn) maneras diferentes.

EjemploPedro tiene 2 polos distintos y 3 pantalones diferentes. De cuantasmaneras distintas pueden vestirse utilizando dichas prendas?.

solucinUtilizando el diagrama del rbol para mostrar los diferentes casos quese presentan, se tiene:Del diagrama se obtiene que el nmero de maneras distintas de vestires:2x3 = 6


Variaciones

Variaciones o arreglos simplesSe denomina variaciones simples o sin repeticin o simplementevariaciones de k objetos tomados de n objetos distintos, a cadaunos de los arreglos u ordenes que se hagan con los k objetos, demanera que estos arreglos difieran en algn elemento o en el orden desu colocacin.El nmero de variaciones de k objetos que pueden formarse a partirde n objetos de distintos es:

V nk =n!

(n k)! k < n


EjemploCon los dgitos 1, 3, 5, 7, 9, De cuntos nmeros diferentes de trescifras distintas se pueden formar?.

Solucin:Aplicando la Formula se tiene: V 53 = 5!(53)! = 60Se pueden formar 60 nmeros diferentes.

EjemploEn una carrera de 100 metros participan 7 corredores. De cuntasformas diferentes se podran repartir las medallas de oro, plata ybronce?.

Solucin:Aplicando la Formula se tiene: V 73 = 7!(73)! = 210


EjemploCuntos equipos de fulbito se pueden formar con 8 jugadores?.

Solucin:Aplicando la Formula se tiene: V 86 = 8!(86)! = 20160Se pueden formar 20160 equipos.


Variaciones con Repeticin

DefinicinSon todas las agrupaciones de k elementos, que se pueden formara partir de nelementos distintos, donde cada uno de los elementospuede formar parte de la agrupacin, tantas veces como sea posible.El nmero de variaciones con repeticin de k elementos, quepueden formarse a partir de n elementos distintos es:

VRnk = n.n.n.n. . . . n = nkEjemploHallar el nmero de variaciones con repeticin de dos elementostomados de 4 elementos distintos.


SolucinAplicando la formula se tiene: VR42 = 42 = 16


Permutaciones

Permutaciones SimplesSon permutaciones simples de n elementos distintos, todas lasagrupaciones de esos n elementos, dispuestos linealmente, sin queninguno falte o se repita. Estas agrupaciones se diferencian entre s,slo por el orden de sus elementos.Permutaciones son aquellos variaciones de tipo: V nk en donde n = k .

Pn = V nn = n!

EjemploDe cuntas maneras pueden sentarse 4 personas en 4 asientos uno acontinuacin de otro?.Solucin:P4 = 4! = 24


Permutaciones CircularEs el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto,distribuidos alrededor de una curva cerrada de forma circular.El nmero de permutaciones circulares de n elementos, est dadopo:

Pcn = (n 1)!

EjemploAl rededor de una torta circular de cumpleaos, se ubican 6 velasdiferentes. De cuntas maneras pueden ser ubicadas?.

Solucin:El nmero de maneras est dado por:

Pc6 = (6 1)! = 5! = 120


Permutacin con Repeticin

DefinicinEl nmero de permutaciones de n objetos en el que se repiten algunode ellos en el que se repiten alguno de ellos esta dado por:

Pn(k1,k2,k3,...km) =n!

k1!k2!k3! . . . km!

Donde k1, k2, k3, . . . km: Nmeros de veces que se repiten cadaelemento.k1 + k2 + k3 + . . . km = n: Nmero total de elementos.

EjemploDe cuntas maneras se pueden permutar 2 bolas rojas, 5 amarillas, 3azules?.


Solucin:P102,5,3 =

10!2!5!3! = 2520

EjemploDe cuantas maneras diferentes se pueden ordenar las letras de lapalabra Socorro?

Solucin:La letra O, se repite 3 veces.La letra r , se repite 2 veces.La letra s, se repite 1 vez.La letra c , se repite 1 vez.

P73,2,1,1 =7!

3!2!1!1! = 420


Combinaciones

DefinicinSon arreglos u ordenaciones que pueden formarse con n elementostomados de k en k, de modo que dos arreglos cualesquieradifieren por lo menos en un elemento.El nmero de combinaciones est dado por:

Cnk =n!

(n k)!k! , 0 k n

Ejemploun alumno del centro Pre de la USMP tiene que resolver solamente 8preguntas de 10 en un examen de admisin. Cuntas maneras deescoger las preguntas tiene el estudiante?.


Ejemplo

Solucin:El estudiante puede empezar a resolver por cualquiera de las 10preguntas, Entonces el nmero de maneras de escoger las 8 preguntases:

C 108 =10!

(10 8)!8! =(10)(9)(8!)

2!8! = 45


Bibliografa"LAZARO CARRION, MOISES; Lgica y teora de conjuntos.Editorial Moshera Lima 2009"FIGUEROA ROBERTO, Matemtica Bsica. Editorial San Marcos.Lima 2004.ESPINOZA RAMOS,E.(2002). Matemtica Bsica. Editorial ServiciosGrficos JJ. Per."VERA G. CARLOS, Matemtica Bsica. Editorial Moshera Lima2009.


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