Embed Size (px)
Citation preview
PRISMA COMBINATORIO
Distribución espacial de números combinatorios y su relación con los coeficientes trinomiales
Enrique R. Acosta R.
1997
PRISMA COMBINATORIO
Definamos las permutaciones con repetición Pᵣ,(i+j+k),i,j,k ,como el número de caminos posibles y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y ⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
En estas permutaciones con repetición, dos caminos o grupos posibles, se consideran distintos, si se diferencian al menos en dos de sus trazos o recorridos de avance unitarios. Lo que si se repite en cada caso, es el Nº de veces que se recorren en cada grupo o camino, los trazos en cada dirección de avance, es decir: el Nº de trazos unitarios recorridos en dirección X⁺, el Nº de trazos unitarios recorrido en dirección Y ⁺ y, el Nº de trazos unitarios recorridos en dirección Z⁺, es el mismo para cada uno de los caminos posibles y diferentes, siempre cada camino constituido por i+j+k=m trazos unitarios.
El resultado de esta distribución de permutaciones con repetición, asociada a la distribución de puntos de coordenadas enteras y positivas en el espacio 3D, se puede considerar como “encerrada” en un espacio prismático de bordes limitados por los semiplanos coordenados positivos y por planos transversales, perpendiculares al plano OX⁺Y⁺, cuyas intersecciones con dicho plano o con cualquier otro paralelo a este, trazado a la altura k sobre el eje Z⁺, corresponden a líneas, donde i+j=n, es constante, denominadas usualmente “filas”. La distribución de estos valores así considerada, quedará contenida en capas triangulares (∆k), determinadas por las trazas de estos planos paralelos por k ,con los semiplanos coordenados y por la fila n considerada.
La distribución asociada al caso k=0,(∆0), se corresponderá con la distribución de números combinatorios o
combinaciones simples(ni ), conocida como “triángulo de Pascal”. Dichas combinaciones simples ,se podrán
definir ahora en términos de permutaciones con repetición ,Pᵣ,(i+j),i,j, correspondientes al caso k=0 del “Prisma Combinatorio”, como aquellas que conforman el Nº de caminos posibles y diferentes, que se pueden recorrer con i+j=n elementos o trazos unitarios, tomados n a n , para desplazarse siempre en sentido de avance (+), desde el origen de coordenadas elegido, hasta el punto considerado (i,j), de coordenadas enteras y positivas, situado en el plano OX⁺Y⁺, donde el total (n) de los trazos unitarios en cada camino, siempre se construye al recorrer i trazos unitarios en dirección X⁺ y, j trazos unitarios en dirección Y⁺. Haciendo las mismas consideraciones que para el caso espacial, pero con k=0. En este caso, las permutaciones con repetición
dispuestas en las distintas filas de ∆0 ,contituyen los valores combinatorios o coeficientes (ni ) del” Binomio de
Newton”, para las diferentes potencias enteras de n.
El valor numérico de las Permutaciones con repetición, asociadas a un punto de coordenadas positivas y enteras (i, j, k), situado en el plano ∆k, del “Prisma combinatorio”, vendrá dado por:
Pᵣ,(i+j+k),i,j,k =(i+ j+kk )( i+ ji )=(i+ j+k) !i ! j !k !
La relación entre la distribución triangular de permutaciones con repetición en ∆k y en ∆0, vendrá dada por:
Pᵣ,(i+j+k),i,j,k= (i+ j+kk )Pᵣ,(i+j),i,j
Relaciones de proximidad: Se puede obtener el valor de estas permutaciones con repetición correspondientes al punto de coordenadas enteras y positivas(i, j, k), a partir de los 3 valores inmediatamente precedentes en el prisma combinatorio, mediante la expresión simbólica:
Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j-1,k) + Pᵣ(i-1,j,k) + Pᵣ(i,j,k-1)*o, en términos combinatorios:
(i+ j+kk )( i+ ji )= (i+ j+k−1k )(i+ j−1
i ) + (i+ j+k−1k )(i+ j−1
i−1 )+( i+ j+k−1k−1 )(i+ ji )*
*El último término en estas expresiones no procede para k=0
Asimismo, se puede obtener este valor a partir de los valores post y precedentes desde el nivel considerado (K) ,hasta el nivel k=0, tomando siempre en cuenta, la permanencia de sus ubicaciones relativas en las filas correspondientes de cada nivel. Simbólicamente:
Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j,0) + ∑∝=1
k
[Pᵣ ( i , j−1 ,∝ )+Pᵣ(i−1 , j ,∝)]
Diagrama de distribución de Permutaciones con repetición en el “Prisma Combinatorio”-Relación entre ∆k y ∆0
Ejemplo:
Sea el punto del prisma combinatorio de coordenadas (2, 3,3), situado en ∆3, entonces, el N° de Permutaciones con repetición o caminos posibles y diferentes para avanzar desde el origen de coordenadas hasta dicho punto, vendrá dado por:
Pᵣ,8,2,3,3=(83)(52)= 8 !2 !3 !3 !
=56.10=560, es decir existen 560 caminos posibles y diferentes, cada uno
conformado por 8 trazos unitarios, 2 en dirección X⁺,3 en dirección Y⁺, y 3 en dirección Z⁺.
Para el punto (2, 3,0), correspondiente en ∆0, el N° de permutaciones con repetición o de caminos posibles y diferentes para avanzar desde el origen hasta dicho punto, vendrá dado por:
Pᵣ,5,2,3,0 = (50)(52)= 5 !2 !3 !0 !
=1.10=10, es decir que existen 10 caminos posibles y diferentes, cada uno
conformado por 5 trazos unitarios ,2 en dirección X⁺ y, 3 en dirección Y⁺, valor que coincide con el valor del
combinatorio simple (52)=10.
Cálculo de P r (2,3,3) , en función de valores previos
1) En base a las permutaciones correspondientes a los puntos inmediatamente precedentes:
Simbólicamente :Pᵣ(2,3,3) = Pᵣ(2,2,3) + Pᵣ(1,3,3) + Pᵣ(2,3,2) , operacionalmente:
(83)(52)=(73)(42)+(73)(4
1)+(72)(52)
560 = 35 . 6 + 35 . 4 + 21 . 10 = 210 + 140 + 210 √
2) En base a las permutaciones post y precedentes, correspondientes en los niveles 0,1,2 y 3 :
Pᵣ(2,3,3) = Pᵣ(2,3,0) + ∑∝=1
3
[Pᵣ (2,2 ,∝ )+Pᵣ(1,3 ,∝)]
(83)(52)=(50)(52)+(51)(4
2)+(51)(41)+(62)(4
2)+(62)(4
1)+(73)(42)+(7
3)(41)56 . 10 = 1 . 10 + 5 . 6 + 5 . 4 + 15 . 6 + 15 . 4 + 35 . 6 + 35 . 4
560 = 10 + 30 + 20 + 90 + 60 + 210 + 140 √
Ejemplo de aplicación : Consideremos la malla reticular 3D de la figura, de elemento generador unitario , correspondiente a un cubo 5x5x5
Se pide : Hallar el número de caminos posibles y diferentes que van desde el vértice A (Considerado como origen de coordenadas), hasta el vértice B ,situado en el extremo opuesto, únicamente con desplazamientos de avance según las direcciones y sentidos indicados en la figura, en el vértice A
Solución: Este problema, cumple con las condiciones para aplicar la distribución de permutaciones con repetición correspondientes al prisma combinatorio. Entonces el número de caminos posibles y diferentes para avanzar de A hasta B , dependerá sólo de las coordenadas del vértice B .Para este caso:
I = j = k = 5, y por ende: Pr , (i+ j+ k ) ,i , j , k=( i+ j+kk )(i+ ji )=(155 )(10
5 )= (3003 ) (252 )=756756
Caminos, será la solución buscada.
Desarrollo general del Trinomio(x1+¿ x2+¿ x3 )m
El triángulo de Pascal, se corresponde con los coeficientes del desarrollo del Binomio (x1+¿ x2 )n ,o números combinatorios “planos” (k=0), del Binomio de Newton, en donde n=i+j, indica la potencia a considerar para el binomio, así como, la fila a considerar para el triángulo, en cada caso. Dicho binomio se desarrolla mediante la
conocida expresión: (x1+¿ x2 )n =∑i=0
n
(ni ) x1i x2
n−i, donde el coeficiente (ni ), dará lugar a los distintos valores
combinatorios ubicados en la fila n de dicho triángulo (i=0,1,2 ,…,n ) .
En el caso del Prisma combinatorio (k≥0, y m=i+j+k), la correspondencia existente, se establece entre los coeficientes del desarrollo del trinomio (x1+¿ x2+¿ x3 )my los valores combinatorios “espaciales”, ubicados en las capas contiguas, desde el nivel k=0, hasta el nivel k= m, considerando consecutivamente, los valores ubicados en la fila m en el nivel k=0, hasta los valores ubicados en la fila 0, en el nivel k=m.
El desarrollo de este trinomio, se puede obtener mediante la expresión en sumas parciales siguiente:
(x1+¿ x2+¿ x3 )m=∑i=0
m
(m0 )(mi )x1i x2
m−i+∑i=0
m−1
(m1 )(m−1i ) x1
i x2m−1−i x3+…+∑
i=0
1
( mm−1)(1i ) x1
i x21−i x3
m−1+x3m
Dicha expresión puede representarse de manera más simple como:
(x1+¿ x2+¿ x3 )m= ∑i+ j+k=m
(i+ j+kk )(i+ ji ) x1i x2
j x3k,(Obviando el ordenamiento explícito contenido en los
arreglos de la expresión anterior). Que es evidentemente un caso particular de la expresión general para un polinomio (multinómio) elevado a la potencia m **.
(x1+x2+…+ xr )m= ∑n1 +n2+…+ nr=m
( m!n1! n2!…nr! ) x1
n1 x2n2…. xr
nr
**Recuérdese que (i+ j+kk )( i+ ji )=(i+ j+k )!i ! j !k !
Así como el caso plano (k=0) conduce al desarrollo del Binomio, el caso espacial (k≥0), conduce al desarrollo del trinomio.
Ejemplo: Hallar el desarrollo de (x1+¿ x2+¿ x3 )5
1 °) Construyamos los triángulos de valores combinatorios (i+ j+kk )( i+ ji )correspondientes a las sucesivas
capas o niveles del prisma combinatorio desde k=0, hasta k=5 y, consideremos en cada caso las 6 primeras filas. Resultarán:*
Nivel k=0 Fila 1 0
1 1 1 1 2 1 2 1 3 3 1 3 1 4 6 4 1 4
1 5 10 10 5 1 5 (Corresponde al triángulo de Pascal)
Nivel k=1 Fila 1 0
2 2 1 3 6 3 2 4 12 12 4 3 5 20 30 20 5 4 6 30 60 60 30 6 5
Nivel k=2 Fila 1 0
3 3 1
6 12 6 2
10 30 30 10 3
15 60 90 60 15 4
21 105 210 210 105 21 5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
Nivel k=3 1
4 4
10 20 10
20 60 60 20
35 140 210 140 35
56 280 560 560 280 56
Nivel k=4 1
5 5
15 30 15
35 105 105 35
70 280 420 280 70
126 630 1260 1260 630 126 280 56 56
0
1
2
3
4
5
Los coeficientes combinatorios, involucrados en cada uno de los casos del desarrollo del trinomio
(x1+¿ x2+¿ x3 )m, para m=1, 2, 3,4 ,5. Serán:
m ∑1 1 1 1 3=3
2 1 2 1 2 2 1 9=32
3 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 27=33
4 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1 81=34
5 1 5 10 10
5 1 5 20 30
20 5 10
30 30 10
10 20 10
5 5 1 243=35
2 °) Entonces, el desarrollo de (x1+¿ x2+¿ x3 )5, vendrá dado por la suma delos términos siguientes:
N (0 ); F ( 5 ) N ( 1 ); F (4 ) N (2 ); F ( 3 ) N (3 ); F ( 2 ) N (4 ); F ( 1 ) N ( 5 ); F ( 0 )x1
5 5 x14 x3 10x1
3 x32 10x1
2 x33 5x1 x3
4 x35
5 x14x2 20x1
3 x2x3 30x12x2 x3
2 20x1 x2 x33 5x2 x3
4
10 x13 x2
2 30x12 x2
2 x3 30x1 x22 x3
2 10x22 x3
3
10 x12 x2
3 20x1x23x3 10x2
3x32
5 x1 x24 5x2
4 x3
Nivel k=5 1
6 6
21 42 21
56 168 168 56
126 504 756 504 126
252 1260 2520 2520 1260 252
x25
N: indica nivel F: indica fila
Fila Nivel
1 0 5
5 5 1 4
10 20 10 2 3
10 30 30 10 3 2
5 20 30 20 5 4 1
1 5 10 10 5 1 5 0
*Los valores involucrados en el caso m=5, se han resaltado en amarillo en los triángulos obtenidos anteriormente, y, cada grupo de ellos según el correspondiente valor de m, están contenidos a su vez en triángulos equiláteros paralelos dentro del prisma combinatorio, sesgados cada uno un ángulo de 54,74° con respecto a ∆0 , correspondiente a ( arctg√2) y, definidos por la fila m en ∆o , por la fila 0 en ∆k=m , y, por sus trazas sobre los semiplanos coordenados positivos. En la figura a continuación se representa dicho triángulo, para el caso m=5.Puede notarse que los valores combinatorios se distribuyen formando un patrón regular simétrico de anillos concéntricos, propiedad útil para su determinación de manera más inmediata, como veremos más adelante.
Adicionalmente, podemos observar que por analogía con el caso del Binomio, donde ∑i=0
n
(ni )=2n, para
los coeficientes del Trinomio se cumple: ∑i+ j+ k=m
(i+ j+kk )(i+ ji )=3m.Como se refleja en la
última columna de la primera de las tablas anteriores. Pero mientras que en el caso del Binomio, el resultado 2n, se obtiene sumando los coeficientes combinatorios de la fila n en ∆0, para el caso del trinomio, debemos sumar todos los coeficientes combinatorios contenidos en el l triángulo equilátero correspondiente a la potencia m. Y si asignamos alternativamente los signos + y -, a los valores ubicados en las filas de dicho triángulo, comenzando con +1 en un vértice, la suma total de los coeficientes siempre será igual a la unidad para cualquier valor de m, ya que cada línea suma cero, al igual que sucede para las líneas o filas de ∆0
Determinación geométrica directa de los coeficientes combinatorios del trinomio(x1+¿ x2+¿ x3 )m.
Como hemos señalado en una nota anterior, el conjunto de coeficientes combinatorios del trinomio
(x1+¿ x2+¿ x3 )m, para cada valor de m, se ubican en triángulos equiláteros paralelos entre sí, al interior del
prisma combinatorio, inclinados c/u un ángulo (arc.tg√ 2), con respecto al plano horizontal (∆0¿ y, definidos por
las líneas correspondientes a la fila (m) en ∆0, por el punto correspondiente a la fila(0), en ∆k=m y, por sus trazas sobre los semiplanos coordenados positivos.
Ya hemos obtenido en el apartado anterior, estos valores en forma indirecta, al desarrollar los coeficientes correspondientes a las filas involucradas en cada ∆k, desde k=m, hasta k=0, para cada valor de m y, agruparlas convenientemente
El conjunto de estos planos triangulares paralelos equidistantes entre sí, pueden considerarse como las distintas secciones o niveles de base de una pirámide regular o tetraedro * cuyas tres caras son los triángulos isósceles-rectángulos con un vértice común en el origen, determinados por la intersección de dichos planos triangulares equiláteros sobre los ejes coordenados.
La distribución de números combinatorios en las caras de esta pirámide es la misma para c/u, y se corresponde con la distribución del triángulo de Pascal para n=m, para cada valor de m, mientras que la distribución en la base corresponde a la distribución de coeficientes trinomiales para ese mismo valor de m.
Para su determinación directa, como se evidencia en las figuras a), b), c) y, d), parecería imprescindible la representación gráfica espacial y, la aplicación iterativa de la relación de proximidad dada por Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j-1,k) + Pᵣ(i-1,j,k) + Pᵣ(i,j,k-1).
*La denominada Pirámide o tetraedro de Pascal, según revisión bibliográfica posterior.
Ptos. oscuros: valores del caso considerado
Ptos. claros: valores de proximidad
Por otra parte, si consideramos las relaciones de paralelismo, de simetría y, de distribución concéntrica, que se conservan proyectivamente, podemos aplicar la relación de proximidad directamente a cada distribución triangular de coeficientes trinomiales, ya conocida para un determinado valor de m, para obtener así gráficamente en el plano , de manera expedita y sencilla, la distribución correspondiente al valor m+1.En los gráficos a continuación se representa la manera de operar, que a los fines de la obtención de los coeficientes, puede hacerse también, a mano alzada y sin escala.
DIAGRAMAS DE COLMENA
CASO DE PARTIDA OPERACIONES (+) → ○← CASO DE LLEGADA
Como consecuencia de las propiedades simétricas de esta distribución, en cada uno de los casos, los coeficientes trinomiales resultantes para un determinado valor de m, se pueden obtener ordenadamente, a partir de cualquier base del triángulo equilátero correspondiente, continuando en las líneas equidistantes y paralelas a dicha base hasta el vértice opuesto, o viceversa, leyéndolos en cualquier sentido sobre dichas líneas.
Determinación analítica de los coeficientes del Trinomio, en función de su interrelación con los valores combinatorios del triángulo de Pascal.
1). Por la relación entre la distribución triangular de permutaciones con repetición en ∆ k y en ∆0 , cualquier
término contenido en ∆ k , puede ser obtenido a partir del correspondiente en ∆0, situado en igual posición y fila,
mediante la expresión :Pᵣ,(i+j+k),i,j,k= (i+ j+kk )Pᵣ,(i+j),i,j, que evidentemente podemos reescribir como:
Pr , m,i , j , k=¿(n+kk )P
r ,n, i , j¿.Si para resaltar esta correspondencia biunívoca entre elementos, filas y posición relativa,
denominamos a Pr , m,i , j , kcomof i ,nk y, a Pr , n ,i , j como f i ,n
0 , podremos escribir:
f i ,nk =(n+kk ) f i ,n0 con iє{0,1,2,3 ,…,n−1 , n }
Donde i, indica la posición del elemento en la fila n (tanto en ∆k como en ∆0 )
n=i+j , indica el N° dela fila, a partir del vértice del triángulo o fila cero
k, indica el nivel de la capa triangular del prisma ( k≥0 )
0, indica el nivel correspondiente a ∆0
Así por ejemplo: El tercer valor combinatorio de la fila 5 en ∆4, puede obtenerse a partir del tercer valor combinatorio de la fila 5 en ∆0 , mediante:
f 2,54 =(94 ) f 2,5
0 =(94)(52)=126∗10=1260
Nótese que i=2 corresponde al tercer elemento de la fila, en este caso de la fila 5 en ambos planos
2). Si denominamos por Fn0, al conjunto de los elementos de la fila n, en ∆0, es decir:
Fn0={(ni )}={(n0) ,(n1) ,(n2) ,… ,( nn−1) ,(nn)}
Y por Fnk , el conjunto de los elementos de la fila n en ∆k , (k≥0), se cumple:
Fnk = (n+kk )Fn0
3). Estas propiedades, se pueden extender a la determinación de los coeficientes trinomiales, a partir de los valores combinatorios simples, contenidos en el triángulo de Pascal.
Así, por ejemplo si queremos obtener los coeficientes trinomiales correspondientes a un trinomio elevado a la quinta potencia (m=5), bastará partir del triángulo de Pascal, correspondiente a las primeras seis filas.
F05=(5
5)F00=1.{1 } ={1 }
F14=(54)F1
0=5.{1,1 }= {5,5 }
F23=(5
3)F20=10. {1,2,1 }={10,20,10 }
F32=(52)F3
0=10. {1,3,3,1 }={10,30,30,10 }
F41=(51)F4
0=5. {1,4,6,4,1 }={5,20,30,20,5 }
F50=(5
0)F50=1. {1,5,10,10,5,1 }={1,5,10,10,5,1 }
Podemos graficarlo de manera más simple, para el caso que nos ocupa (m=5), de la siguiente manera:
Esta última deducción, nos permite obtener dichos coeficientes trinomiales de una manera sencilla e inmediata, para cualquier caso m=n.
Utilizando una nomenclatura “Ad Hoc”, podemos generalizar este último resultado como:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Triángulo de Pascal(∆0¿ Factores
1 1
1 1 5
1 2 1 10
1 3 3 1 10
1 4 6 4 1 5
1 5 10 10 5 1 1
Triángulo de Coeficientes(∆T ) 1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
∆0n . Fn
0=∆m=n
Donde ∆0n indica que el triángulo de Pascal se desarrolla hasta la fila n, o fila límite, base del triángulo de
coeficientes combinatorios primarios considerado.
Fn0, como ya hemos señalado, indica la fila n de ∆0, fila a considerar como fila límite o base del triángulo.
y ,∆m=n, indica la distribución triangular de coeficientes trinomiales ∆T para el caso m=n
Haciendo hincapié, en que el producto se realiza de manera que cada fila de ∆0n, se ve afectada por el factor
correspondiente (de igual posición relativa) de la fila Fn0
Por otra parte, si a las series combinatorias paralelas que aparecen repetidas en ambas direcciones oblicuas del triángulo de Pascal, las denominamos como:
S jn={(i+ ji )}con j=0,1,2,3,... y para cada j, i=0,1,2,…,n
Donde el subíndice j, alude a la serie paralela específica, en función de su ubicación (ascendente numéricamente) desde el extremo o vértice de ∆0, y el supraíndice n, indica que sólo tomamos en cuenta los primeros n+1 elementos de cada serie.
Como ejemplo, en el triángulo de Pascal de la figura se indican las 10 primeras filas, y se señalan las series paralelas correspondientes a n=4, desde S0
4, hastaS64
Podemos entonces establecer, con una nomenclatura similar, una expresión matemática sencilla que nos permita obtener los valores combinatorios para un determinado∆k, a partir de los valores primarios
correspondientes, contenidos en ∆0, siempre limitando ambos planos combinatorios por filas de un mismo orden n .Resultaría :
∆0n . S j
n =∆ kn
Donde∆kn, indica que el triángulo de valores combinatorios en ∆ k, que se obtiene, se desarrolla hasta la fila n
como fila límite.
∆0n, indica que el triángulo de valores combinatorios primarios en ∆0, de partida, se desarrolla hasta la fila n
como fila límite.
y ,S jn, se corresponde con los primeros n+1 términos de la serie combinatoria paralela específica
Haciendo hincapié en que el producto se efectúa ,afectando todos los términos de cada fila de ∆0n, por el factor
correspondiente (en la misma posición relativa) de la serie S jn
Así por ejemplo, para obtener ∆34, será:∆0
4 . S34 =∆3
4
1 1 1
1 1 4 4 4
1 2 1 10 10 20 10
1 3 3 1 20 20 60 60 20
1 4 6 4 1 35 35 140 210 140 35
∆04 S3
4 ∆34
Y, Para obtener ∆64 , será: ∆0
4 . S64 =∆6
4
∆04 S6
4 ∆64
1 1 1
1 1 7 7 7
1 2 1 28 28 56 28
1 3 3 1 84 84 252 252 84
1 4 6 4 1 210 210 840 1260 840 210
Con este sencillo y práctico procedimiento es posible obtener de manera inmediata y directa, cualquiera distribución de valores combinatorios en ∆k .a partir de la correspondiente en ∆0.
Enrique R. Acosta R. 1997
Métodos para obtener los coeficientes trinomiales de (x1+ x2+x3)m
(Sin depender del triángulo de Pascal)
1. Recordemos uno de nuestros resultados obtenidos en el estudio del “Prisma Combinatorio”, para m=n=5,como es la obtención del triángulo de coeficientes trinomiales (∆T ), a partir del triángulo de Pascal ∆0 ,correspondiente:
Triángulo de Pascal Factores
1 1
1 1 5
1 2 1 10
1 3 3 1 10
1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 1
Triángulo de Coeficientes Fila Nivel 1 0 5 5 5 1 4
10 20 10 2 3
10 30 30 10 3 2
5 20 30 20 5 4 1 1 5 10 10 5 1 5 0
Los elementos de la fila n en ∆0, estarán dados por :
Fn0={(ni )}={(n0) ,(n1) ,(n2) ,… ,( nn−1) ,(nn)}
Mientras que los elementos de la fila n correspondiente, pero en el triángulo de coeficientes
trinomiales (∆T ),estarán dados por:Fnk = (n+kk )Fn0
Así para el caso m=n=5, tendremos:
F05=(5
5)F00=1.{1 } ={1 }
F14=(54)F1
0=5.{1,1 }= {5,5 }
F23=(5
3)F20=10. {1,2,1 }={10,20,10 }
F32=(52)F3
0=10. {1,3,3,1 }={10,30,30,10 }
F41=(51)F4
0=5. {1,4,6,4,1 }={5,20,30,20,5 }
F50=(5
0)F50=1. {1,5,10,10,5,1 }={1,5,10,10,5,1 }
En ∆0, cada valor de n como número de fila, coincide con el valor de la potencia a la que se eleva el binomio (x1+ x2 ¿.Así mismo, los elementos de la fila n se corresponden con los coeficientes combinatorios del desarrollo de dicho binomio elevado a la potencia n
En ∆T, el valor de n de la última fila del ∆0, específico y asociado, coincidirá con el valor de m (m=n)*, de la potencia a considerar para el desarrollo del trinomio (x1+ x2+x3)
m, donde todoslos elementos de las filas (de cero a n) del triángulo, situados en los distintos niveles de k (de n a cero), constituyen los coeficientes de su desarrollo.
*Este valor de m, igual al máximo valor de n en el ∆0 considerado, es también el valor máximo de k involucrado en las deducciones.
Si utilizamos la siguiente nomenclatura para identificar a los elementos de una fila n en ∆0:
Fn0={F ¿
0 }= {F0n0 , F1n
0 ,…,Fnn0 }
Con i=0,1,2,…,n y F ¿0=(ni )
Donde el supra índice, nos indica que k=0 es constante (todos los elementos están en el nivel base del Prisma Combinatorio)
El subíndice compuesto in, nos indica que i varía de cero a n, según la posición del elemento dentro de la fila considerada, dada esta, a su vez, por el valor de n. (n=0,1,2,…,n)
Cada fila constará de n+1 términos.
Podremos utilizar una nomenclatura análoga para designar a los elementos de una fila n de ∆T
Fnk={F ¿
k }= {F0nk , F1n
k ,F2nk ,…,Fnn
k }
En este caso, n hace referencia a la fila como orden de menor a mayor, según su posición a partir del vértice superior del triángulo (fila cero), y sólo el valor máximo de n (última fila considerada), hace referencia simultánea al orden (posición de la fila) y a la potencia del trinomio (x1+ x2+x3)
m ,con m=máximo valor de n. Dicho valor de n=m, coincide con el máximo valor de k involucrado.
2. Hemos observado las siguientes relaciones entre los elementos de dos filas consecutivas de ∆T, caso
(x1+ x2+x3)5, evidentemente extensible a todo n entero positivo
F05={1 }
F14= {5,5 }. Obtención de F1
4, a partir de F05 :
5= 1 x 5/1
5=5
F23={10,20,10 } . Obtención de F2
3, a partir
de F14 :
10=5 x 4/2
20=5 x 4/1
10=10
F32={10,30,30,10 } . Obtención de F3
2, a partir de F23 :
10=10 x 3/3
30=20 x 3/2
30=10 x 3/1
10=10
F41= {5,20,30,20,5 } . Obtención de F4
1, a partir de F32 :
5=10 x 2/4
20=30 x 2/3
30=30 x 2/2
20=10 x 2/1
5=5
F50={1,5,10,10,5,1 } . Obtención de F5
0, a partir de F41 :
1=5 x 1/5
Triángulo de Coeficientes Fila Nivel 1 0 5
5 5 1 4
10 20 10 2 3
10 30 30 10 3 2
5 20 30 20 5 4 1 1 5 10 10 5 1 5 0
5=20 x 1/4
10=30 x 1/3
10=20 x 1/2
5=5 x 1/1
1=1
Utilizando la nomenclatura acordada, podemos generalizar estas relaciones, mediante las siguientes dos expresiones :
F ¿k=F i , n−1k+1 ∗(k+1 )
(n−i ) ,y : Fnnk =F0n
k
En base a las relaciones encontradas, resumidas en estas expresiones, podemos entonces CONSTRUIR CUALQUIER TRIÁNGULO DE COEFICIENTES TRINOMIALES, prescindiendo de su generación a partir del triángulo de Pascal correspondiente.
Para cualquier caso, siempre partiremos de la unidad como único valor o elemento de la fila cero.
La fila 1 siempre contendrá solo dos elementos cuyo valor común es m.
Así mismo, el último elemento de una fila cualquiera siempre será igual al primer elemento de esa misma fila. Ello se deduce de las propiedades de simetría en la distribución de valores que existe en el triángulo de coeficientes, para cualquier valor de m.
Por otra parte, podríamos obtener una expresión secuencial, que nos de F¿k , en función de cualquier
otro coeficiente que ocupe el mismo lugar relativo en una fila anterior. En último caso quedaría en función de: F i ,n=i
k=n−i
Así por ejemplo:
F1,50 =
F1,14 ∗14
∗2
3∗3
2∗4
1
o, F1,50 =F1,1
4 =5
A continuación, presentamos un 2⁰ método alternativo para obtener los elementos del triángulo de coeficientes trinomiales (∆T ) del desarrollo de (x1+ x2+x3)
m
Para la obtención de la fórmula correspondiente a una fila genérica n, utilizaremos los mismos procedimientos del método anterior, pero expresando cada uno de los términos en función de m y n.Para nuestros fines, nos limitaremos al mismo caso de ejemplo, con (m=5), evidentemente extensible a cualquier otro valor entero positivo de m.Fila (n) Nivel (m-n) “Matriz”de los denominadores y su expresión
factorialFila 0,Nivel m1 [ 1 ]→0 !0 !
Fila 1, Nivel m-1m
m[11] →→1!0 !
0 !1!
Fila 2,Nivel m-2m (m-1)/2m (m-1)/1m (m-1)/2 [1 2
1 11 2]→→→
2 !0 !1!1 !0!2 !
Fila 3,Nivel m-3m (m-1)/2 (m-2)/3m (m-1)/1 (m-2)/2m (m-1)/2 (m-2)/1m (m-1)/2 (m-2)/3 [1 2 3
1 1 21 2 11 2 3 ]→→→→
3 !0 !2 !1 !1 !2 !0 !3 !
Fila 4, Nivel m-4
m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4m (m-1)/1 (m-2)/2 (m-3)/3m (m-1)/2 (m-2)/1 (m-3)/2m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/1m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 [1 2
1 13 42 3
1 21 21 2
1 23 13 4
]→→→→→
4 ! 0!3 !1 !2 !2 !1 !3 !0 !4 !
Fila 5, Nivel m-5m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/5m (m-1)/1 (m-2)/2 (m-3)/3 (m-4)/4m (m-1)/2 (m-2)/1 (m-3)/2 (m-4)/3m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/1 (m-4)/2m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/1m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/5 [
1 2 3 4 51 1 2 3 41 2 1 2 31 2 3 1 21 2 3 4 11 2 3 4 5
]→→→→→→
5 !0 !4 !1 !3 !2 !2 !3 !1! 4 !0 !5 !
El producto de los numeradores, A=m (m-1)(m-2)…[m-(n-1)], puede expresarse como : A=(mn )∗n !Entonces, la expresión general para la fila n, (n = 0,1,2,…,m ) ,vendrá dada por:
Fnm−n=(mn )n ! {1/(n−i)! i ! } ,Con i=(0,1,2,…,n). Expresión que puede
simplificarse a : Fnm−n=(mn ){(ni )}, Con i=(0,1,2,…,n)
Regresando a nuestro ejemplo característico (m=5), y aplicando este resultado, tendremos:
F05=(5
0)0 !{ 10! 0 !}=1
F14=(51)1 !{ 1
1 !0 !, 10 !1! }=5*1 {1,1 }=5,5
F23=(52)2 !{ 1
2! 0!, 11!1 !
, 10 !2! }=10*2 {1
2, 11, 12 }=10,20,10
F 32 = (53)3 !{ 1
3 !0 !, 12!1 !
, 11 !2!
, 10 !3 ! }=10∗6 {1
6, 12, 12, 16 }=10,30,30,10
F41=(54)4 !{ 1
4 !0 !, 13 !1!
, 12!2 !
, 11!3 !
, 10! 4 ! } =5*24 { 1
24, 1
6, 1
4, 16, 124 }=5,20,30,20,5
F50=(5
5)5 !{ 15 !0 !
, 14 !1!
, 13 !2 !
, 12! 3!
, 11 !4 !
, 10 !5! } = 1*120
{ 1120
, 124, 112, 112, 124, 1
120 }=1,5,10,10,5,1
Método para la obtención de los coeficientes trinomiales , a partir de su ubicación en el “Prisma Combinatorio”
Como hemos establecido en el estudio sobre el “Prisma combinatorio”, cada una de las permutaciones con repetición allí definidas, o “combinatorio espaciales” ubicadas en él, tiene una correspondencia biunívoca con su posición dentro del prisma, expresada en términos de coordenadas enteras y positivas, recorridas desde un origen que coincide siempre con el único elemento de la fila cero de un triángulo de Pascal ∆0
n, de n+1 filas paralelas, situado en el plano OX+¿ Y+¿¿ ¿, del nivel k=0. Así para el punto de coordenadas (i, j, k), del prisma combinatorio, le corresponderá el combinatorio dado por:
(n+kk )(ni )= ( i+ j+k ) !i ! j !k !
Al conjunto de n+1 filas de permutaciones con repetición de dicho prisma, situadas en un plano paralelo trazado por k≥0, lo hemos denominado ∆ k
n. El conjunto de coeficientes contenidos en el prisma combinatorio, que corresponden al desarrollo del trinomio (x1+x2+x3 )m, para m ≤ n, se ubican en triángulos equiláteros, paralelos y equidistantes entre sí ( ∆T ¿, trazados por cada valor de k ( de 0 a n ), inclinados un ángulo (arctg √2 ), con respecto a c/u de los tres planos coordenados del primer cuadrante, y constituyen las distintas secciones o niveles base de una pirámide o tetraedro regular, cuyas tres caras sobre dichos planos coordenados, son triángulos isósceles-rectángulos ,idénticas todas a ∆0
n, con un vértice común en el origen, caras que quedan determinadas por la intersección o trazas de estos planos triangulares-equiláteros ∆T con los semiejes coordenados positivos. Siendo entonces todos y c/u de los coeficientes trinomiales de las n+1 filas de ∆T, elementos de los distintos ∆k
n correspondientes a cada nivel involucrado (k=0,1,…,n) ,tendrán también su expresión numérica, en función de su ubicación dentro del prisma combinatorio.Si como hemos acordado previamente, denominamos a la fila genérica n de ∆T, como Fn
k={F i ,nk } (i=0,1…,n , como contador y no como coordenada x ).La expresión para un elemento F i ,n
k , será :
F i ,nk =(n+kk )(ni )
Como ejemplo de comprobación hemos colocado el triángulo de coeficientes ∆T correspondiente a m=5, tanto en términos de coordenadas, como de resultados al aplicar la expresión anterior.n k Coordenadas en el prisma Coeficientes trinomiales
0 5 (0,0,5) 1
1 4 (1,0,4) (0,1,4) 5 5
2 3 (2,0,3) (1,1,3) (0,2,3) 10 20 10
3 2 (3,0,2) (2,1,2) (1,2,2) (0,3,2) 10 30 30 10
4 1 (4,0,1) (3,1,1) (2,2,1) (1,3,1) (0,4,1) 5 20 30 20 5
5 0 (5,0,0) (4,1,0) (3,2,0) (2,3,0) (1,4,0) (0,5,0) 1 5 10 10 5 1
Enrique R. Acosta R. 2016
