Análisis Combinatorio

MSc. Carlos Pea

CICLO 2014-2 Mdulo:II Unidad: 1 Semana: 2

ESTRUCTURAS DISCRETAS

TTULO DEL TEMA

ANLISIS COMBINATORIO

ORIENTACIONES

Lea detenidamente este documento y utilicelo en el

proceso de estudio de la semana 2

Objetivo

Conocer los aspectos generales ANLISIS COMBINATORIO.

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Combinatoria

Tcnicas bsicas de conteo

Induccin completa

Principio de Inclusin-exclusin

Principio del palomar

Relaciones de recurrencia

Funciones generatrices

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Combinatoria


(Grimaldi Cap 1)

Reglas de la suma y el producto (1.1)

Arreglos con y sin repeticin (1.2)

Permutaciones con y sin repeticin (1.2)

Combinaciones sin repeticin (1.3)

Teorema del binomio (1.3)

Combinaciones con repeticin (1.4)

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Combinatoria

Qu es la combinatoria?

Qu problemas trata de resolver?

Para qu sirve?

Cundo surgi?

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Combinatoria

Qu es la combinatoria?

Del lat. combinre = com binare

Com = unir

Binare= dos cosas.

Unir dos o ms cosas para formar un nuevo

objeto.

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Combinatoria

Combinacin de objetos:

Se puede?

Cmo?

Cunto?

Propiedades

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Combinatoria

Combinacin de objetos:

Se puede? Existencia

Cmo? Algoritmos

Cunto? Conteo

Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos)

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Regla del producto:

Si para formar los objetos en el 1er paso tenemos m posibles salidas y en el segundo n posibles salidas independientes del paso anterior el total de objetos formados ser m n

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Regla del producto

Arreglos con repeticin ARmn = mn

Arreglos sin repeticin Amn = m(m-1)(m-n+1) Permutaciones (sin repeticin): Amm = m!

Arreglos con repeticin

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Permutaciones con repeticin Ejemplo:

1. aab, aba, baa , bba, bab,abb

3x2 = 6

32 = 9

3x2x1=6 Son 3 en lugar de 3! = 6.

(m) (m-1) ... (m-n) = (3) (3-1) (3-2) = 6

1. aabc, aacb, abac, acab, abca, acba, bcaa,cbaa

bbac, bbca, babc, bcba, bacb, bcab, acbb, cabb

ccba, ccab, cbca, cacb, cbac, cabc, bacc, abcc

Son 12 en lugar de 4! = 24.

4(4-1)(4-2)(4-3) = 4x3x2x1= 24

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Permutaciones con repeticin

Regla general:

la cantidad de permutaciones de una palabra

aaaa bbbb cccc es igual a

Donde n1, n2, n3 es la cantidad de as, bs, cs, etc

Obviamnete n1 + n2 + n3 + nk = n.

!!...!

!

21 knnn

n


Ejemplo: Tableros de ta-te-ti

9x2= 18 8! = 40,320 4! = 24

92 = 81 7!= 5,040 3! = 6

9! = 362,880 6!= 720 2! = 2

5!= 120

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Ejemplo: Tableros de ta-te-ti

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Cuntos tableros de ta-te-ti hay?

a

a b

c c

c

c c c

a

a b

c c

c

c c

a

a b

c

c

c c b b

a

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9x3 = 27

93 = 729

9! = 362,880

a

a b

c c

c

c c c

a

a b

c c

c

c c

a

a b

c

c

c c b b

a

acccbaccc acccbabcc acacbabcc



acccbaccc acccbabcc acacbabcc

9!/(2!1!6!)=9x8x7/2 =252

9!/(2!2!5!)=9x8x7x6/4= 756

9!/(3!2!4!)=9x8x7x6x5/12=1260

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o El total se obtiene sumando los totales

parciales.

o Hemos aplicado la

Regla de la suma que dice as: si los objetos que quiero contar los puedo dividir en dos ( o ms) tipos distinto,

basta contar cuantos de cada tipo hay y sumar los

resultados.

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Estamos contando de ms?

Son iguales?

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Simetras

Suele dar lugar a problemas difciles

Teora de Redfield y Polya: ver por ejemplo

Grimaldi 16.9 a 16.11 involucra teora de

grupos (Discreta 2) y funciones

generatrices

Casos sencillos: permutaciones circulares,

combinaciones

Permutaciones circulares

Ejemplo: tengo cuatro personas a, b, c y d

Cuntas formas hay de ubicarlas en una mesa circular?

Sea x dicha cantidad

a

b

c

d a

d

c

b

a

b

c

d


Paso 1 : elijo una de las x permutaciones circulares

Paso 2: la giro de 4 formas posibles

Obtengo: todas las 4! Permutaciones

(regla del producto) x4=P=4!

x = 4!/4 = 3! x = 4 x 3 x 2 x 1 / 4 = 3!

a

b

c

d = a

b

c

d

=

a

b

c

d

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En general si tengo n smbolos

Hay n giros posibles x n = n!

De donde x = n!/n = (n-1)!

Qu formula ms sencilla!

Habr otra forma de pensarla directamente que

de ese resultado?


Otra forma de pensarlo

Fijo a arriba y permuto las otras (n-1)

a

b

c

d

a

b

d

c

a

c

b d

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Simetras

La combinatoria involucra:

Objetos: generalmente cantidad finita de tipos

Forma de combinarlos: geometra (lineal, circular,

cuadrada, etc)

Simetra: asociada (a la geometra) o ad hoc.

Combinaciones (sin repeticin)

Otra simetra sencilla: toda permutacin da lugar a objetos equivalentes = no importa el orden

Ejemplo: Arreglos de 4 en 3.

Objetos: a, b, c, d acd = adc = dac = etc Cuntos tenemos? 3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca

Combinaciones

Permutando las combinaciones obtenemos los

arreglos, por lo tanto (regla del producto)

Cnm n! = An

m

Cnm= An

m/ n! = m!

(m-n)! n!

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Combinaciones con repeticin

Ejemplo:

De cuntas formas puedo pedir una media docena de biscochos?

Supongamos cuatro tipos: a, b, c, d

Importa el orden?

Ejemplos: aaabbb, aabbcc, etc

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aaabbb = 3 a y 3 b, 0 c, 0 d

aabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 d

3 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 0

2 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 0

aaabbb = xxx|xxx||

aabbcc = xx|xx|xx|

abbcdd?

x|xx|x|xx

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aaabbb = xxx|xxx||

aabbcc = xx|xx|xx|

abbcdd =x|xx|x|xx

1ero) siempre hay 6 x y 3 |

2do ) cualquier permutacin de 6x y 3 | da

lugar a una eleccin distinta

Cuntas hay?

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Cuntas hay? Permutaciones con repeticin

de 6+3 letras con 6 y 3 repetidas =

(6+3)!/(6!3!) = C93

En general para CRmn son m x y n-1 |

Total: (6 + 4 1)! / 6! (4-1)! =

9! / 6! 3! = 9 x 8 x 7 / 3 x 2

3 x 4 x 7 = 84

m!(n-1)! = Cnm+n-1

(m+n-1)!

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Resumen

Repeticin

Orden

SI

NO

SI

ARmn

Amn

NO

CRmn

Cmn

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Resumen

Repeticin

Orden

SI

NO

SI

ARmn = mn

Amn =

NO

CRmn = Cm+n-1

n

Cmn =

!)!(

!

nnm

m

!)!(

!

nnm

m

Repeticin

Orden

SI

NO

SI

ARmn = mn =

64 = 1296

Amn =

6!/(6-4)!4! =

6 x 5 / 2 = 15

NO

CRmn = Cm+n-1

n

(6 + 4 1)! /

6! (4-1)! =

9! / 6! 3! = 84

Cmn =

= 15

!)!(

!

nnm

m

!)!(

!

nnm

m

Resumen

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Otra forma de ver las cosas

Combinaciones con repeticin de 4 en 6

aaabbb = xxx|xxx|| =

3a+3b+0c+0d

Distribucin de objetos en cajas: objetos y cajas

distinguibles o no.

Pueden haber cajas vacas o no.

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Distribucin de objetos en cajas

Objetos Distiguibles

Cajas Distinguibles

SI

NO

SI

? (fcil)

CRmn

NO

?(no tanto)

?(difcil)

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Otra forma de ver las cosas

Frmula del Binomio:

Por esta razn a los coeficientes Cni tambin se los llama coeficientes binomiales. Se los suele denotar de la siguiente forma

n

i

inin

i

n baCba0

)(

i

n

Frmula del Binomio

Demostracin combinatoria

(a+b)2 = (a+b) (a+b)= (a1+b1) (a2+b2)

= (a1+b1) a2+ (a1+b1) b2 = a1 a2 +b1 a2+ a1b2 +b1b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2

(a+b)3 = (a1+b1) (a2+b2) (a3+b3)

= (a1 a2 +b1 a2+ a1b2 +b1b2) (a3+b3)

= a1 a2a3 +b1 a2a3+ a1b2a3 + + a1b2b3 + b1b2b3 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

Frmula del Binomio

Demostracin combinatoria

a1 a2a3 +b1 a2a3+ a1b2a3 + + a1b2b3 + b1b2b3 Vemos que por cada trmino comienza con una a1 o

una b1 sigue con a2 o b2 y termina con a3 o b3. Entonces podemos pensar que los trminos se construyen en un proceso de tres pasos:

Paso 1 Elijo una de las letras del 1er factor (a1+b1)

Paso 2 Elijo una de las letras del 2do factor (a2+b2)

Paso 3 Elijo una de las letras del 3er factor (a3+b3)

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Frmula del Binomio

Por otro lado los trminos finales se obtiene al borrar los ndices y juntar los trminos iguales. En el ejemplo:

aaa +baa+ aba + + abb + bbb = a3+3a2b+3ab2+b3

De donde sale el 3 de a2b ?

De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos pasos a y en el otro b.

De cuantas formas se pueden elegir 2 a?

Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir dichas a, como no importa el orden en que elija dichos dos factores, tengo C32 formas de hacerlo.

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Frmula del Binomio

En general

(a+b)n = i aibn-i

Donde i ser todas las formas de elegir en i pasos la letra a, es decir elegir i factores de entre n: Cni.

n

i

inin

i

n baCba0

)(

Algunas Consecuencias

Ejemplo 1:

(a+b)3 =

a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0

a3b0 = a1 a2

a3 = a3

a2b1 = a1 a2

b3 + a1 b2

a3 + b1 a2

a3 = 3a2b1

a1b2 = a1

b2 b3 + b1

a2 b3 + b1

b2 a3 = 3a

1b2

a0b3 = b1 b2

b3 = b3

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Algunas Consecuencias

Ejemplo 1:

(1+x)n = Cni 1ixn-i= Cni

xn-i =(x+1)n = Cni xi1n-i= Cni

xi

Por lo tanto: Cni = Cn

n-i

Ejemplo 2:

0= (-1+1)n = Cni (-1)i1n-i= Cni

(-1)i

Ejemplo 3: 2n = (1+1)n = Cni

(1)i1n-i= Cni Este ejemplo adems nos da una cota (grosera) de

los coeficientes binomiales.

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Libros de matemtica

http://bibliotecabochini.netfirms.com/informa

cion.htm

GRACIAS

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