Embed Size (px)
Citation preview
1. Elips a. Defenisi
Elips adalah tempat kedudukan titik titik dalam bidang yang jumlah jaraknya terhadap dua titik yang disebut titik fokus mempunyai nilai tetap atau 𝐴𝐹! + 𝐴𝐹! = 𝑘
Gambar 5 𝒑 adalah jarak atau panjang garis antara titik pusat 𝑃 ℎ, 𝑘 dengan titik fokus 𝐹! atau 𝐹! Elips mempunyai sumbu vertikal 𝐶!𝐶! dan sumbu horisontal 𝐵!𝐵! yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik pusat 𝑃 ℎ, 𝑘 Titik puncak adalah perpotongan elips dengan sumbu vertikal dan horisontal. 𝒅𝒙 adalah jarak dari titik pusat ke titik puncak pada sumbu horisontal 𝒅𝒚 adalah jarak dari titik pusat ke titik puncak pada sumbu vertikal Panjang sumbu vertikal 𝐶!𝐶! adalah 2𝑑! Panjang sumbu horisontal 𝐵!𝐵! adalah 2𝑑! Ada 4 titik puncak yaitu Perpotongan dengan sumbu vertikal 𝐶! ℎ, 𝑘 − 𝑑! dan 𝐶! ℎ, 𝑘 + 𝑑! Perpotongan dengan sumbu horisontalal 𝐵! ℎ − 𝑑! , 𝑘 dan 𝐵! ℎ + 𝑑! , 𝑘
Sumbu major adalah sumbu yang lebih panjang 2𝑀! = 𝑚𝑎𝑥 2𝑑! , 2𝑑! Sumbu minor adalah sumbu yang lebih pendek 2𝑀! = 𝑚𝑖𝑛 2𝑑! , 2𝑑! Titik fokus elips terletak pada sumbu major Sumbu major sejajar sumbu X ⟹ 𝑀! = 𝑑!Sumbu major sejajar sumbu Y ⟹ 𝑀! = 𝑑!
Eksentrisitas 𝑒 elips adalah 0 < 𝑒 < 1 dan besarnya 𝑒 = !
!"# !!,!!
Persamaan garis direktris adalah
Sumbu major sejajar sumbu X ⟹ 𝑥 = ℎ ± !!!
!
Sumbu major sejajar sumbu Y ⟹ 𝑦 = 𝑘 ± !!!
!
Lutus rectum elips adalah panjang ruas garis potong yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu major dan terletak di dalam elips yang panjangnya
adalah 𝐿 = !!!!
!!
Jika titik 𝐴 terletak berhimpit dengan titik 𝐵! maka sesuai dengan defenisi elips
Gambar 6 𝐴𝐹! + 𝐴𝐹! = 𝑘𝑑! − 𝑝 + 𝑑! + 𝑝 = 𝑘2𝑑! = 𝑘
Jika titik 𝐴 terletak berhimpit dengan titik 𝐶! maka sesuai dengan defenisi elips
Gambar 7 Sesuai dengan hukum Pythagoras 𝐴𝐹! + 𝐴𝐹! = 𝑘
𝑝! + 𝑑!! + 𝑝! + 𝑑!
! = 2𝑑!
2 𝑝! + 𝑑!! = 2𝑑!
𝑝! + 𝑑!! = 𝑑!
𝑝! + 𝑑!! = 𝑑!
!
𝑝! = 𝑑!! − 𝑑!
!
Karena 𝑝! ≥ 0 maka
𝑝 = 𝑑!! − 𝑑!
! = 𝑀!! −𝑀!
!
Sesuai dengan defenisi elips jumlah jarak dari titik 𝐴 𝑥,𝑦 ke titik fokus 𝐹! ℎ − 𝑝, 𝑘 dan 𝐹! ℎ + 𝑝, 𝑘 sama dengan 𝑘 = 2𝑑!
𝐴𝐹! + 𝐴𝐹! = 2𝑑!𝐴𝐹! = 2𝑑! − 𝐴𝐹!𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 ! = 2𝑑! − 𝑥 − ℎ − 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
𝑥 − ℎ − 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !!
= 2𝑑! − 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !!
𝑥 − ℎ − 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 ! = 4𝑑!! − 4𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 ! + 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
!
𝑥 − ℎ − 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 ! = 4𝑑!! − 4𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 ! + 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
𝑥 − ℎ − 𝑝 ! = 4𝑑!! − 4𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 ! + 𝑥 − ℎ + 𝑝 !
𝑥 − ℎ ! − 2𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑝! = 4𝑑!! − 4𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 ! + 𝑥 − ℎ ! − 2𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑝!
−2𝑝 𝑥 − ℎ − 2𝑝 𝑥 − ℎ = 4𝑑!! − 4𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
−4𝑝 𝑥 − ℎ = 4𝑑!! − 4𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
−𝑝 𝑥 − ℎ = 𝑑!! − 𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
−𝑝 𝑥 − ℎ − 𝑑!! = −𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑑!! = 𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑑!! !
= 𝑑! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !!
𝑝! 𝑥 − ℎ ! + 2𝑑!!𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑑!
! = 𝑑!! 𝑥 − ℎ + 𝑝 ! + 𝑦 − 𝑘 !
𝑝! 𝑥 − ℎ ! + 2𝑑!!𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑑!
! = 𝑑!! 𝑥 − ℎ ! + 2𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑝! + 𝑦 − 𝑘 !
𝑝! 𝑥 − ℎ ! + 2𝑑!!𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑑!
! = 𝑑!! 𝑥 − ℎ ! + 2𝑑!
!𝑝 𝑥 − ℎ + 𝑑!!𝑝! + 𝑑!
! 𝑦 − 𝑘 !
𝑝! 𝑥 − ℎ ! + 𝑑!! = 𝑑!
! 𝑥 − ℎ ! + 𝑑!!𝑝! + 𝑑!
! 𝑦 − 𝑘 !
𝑑!! = 𝑑!
! 𝑥 − ℎ ! − 𝑝! 𝑥 − ℎ ! + 𝑑!! 𝑑!
! − 𝑑!! + 𝑑!
! 𝑦 − 𝑘 !
𝑑!! = 𝑑!
! − 𝑝! 𝑥 − ℎ ! + 𝑑!! − 𝑑!
!𝑑!! + 𝑑!
! 𝑦 − 𝑘 !
0 = 𝑑!! 𝑥 − ℎ ! − 𝑑!
!𝑑!! + 𝑑!
! 𝑦 − 𝑘 !
0 = !!! !!! !
!!!!!!− !!!!!!
!!!!!!+ !!! !!! !
!!!!!!
0 = !!! !
!!!− 1 + !!! !
!!!
1 = !!! !
!!!+ !!! !
!!!
Persamaan elips yang berpusat di 𝑃 ℎ, 𝑘 dengan 𝑑! adalah jarak dari pusat ke titik puncak sumbu horisontal dan 𝑑! adalah jarak dari pusat ke titik puncak sumbu vertikal
𝑥 − ℎ !
𝑑!! +
𝑦 − 𝑘 !
𝑑!! = 1
