Upload
ludijalaludin
View
215
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Turunan dan Integral Masalah pencarian garis singgung
turunan
Masalah pencarian luas daerah
integral tentu
Langkah-langkah menentukan luas daerah Partisi interval x menjadi n subinterval
Panjang masing-masing subinterval Terdapat n + 1 titik
0 = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = 1
dimana x1 = x
x2 = 2 x
xi = i x =
nx 1
in1
Tentukan jumlah luas n persegi panjang A(Rn) Luas persegi panjang dengan alas berupa
interval [xi,xi+1] dan tinggi f(xi) = (xi)2 adalah
2311212 iixxxxf nnnii
A(Rn) = f(x0)x + f(x1)x + … + f(xn-1)x
2
3
3333
1361
3
1
1
23
2221
21212121
2
6
1211
1
1...21
1...2.1.0.
nn
n
k
n
nnnn
nnn
n
kn
n
n
Hitung luas daerah A(R) dengan membuat persegi panjang sebanyak-banyaknya (n)
Jadi, luas daerah di bawah kurva y = x2 dari x = 0 sampai x = 1 pada kuadran I adalah
3113
61
22limlim nnn
nn
RARA
31
Penjumlahan Riemann Secara umum, panjang subinterval yang
dibuat tidak harus sama, sehingga jumlah luas semua persegi panjang terhadap partisi P adalah
dimana adalah titik sampel untuk subinterval ke-i (tidak harus di titik ujung subinterval)
i
n
iiP xxfR
1
ix
Definisi Integral Tentu
Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval tutup [a,b]. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b].
Jadi,
disebut integral tentu (integral Riemann) f dari a ke b.
i
n
ii
Pxxf
10
lim
i
n
ii
P
b
a
xxfdxxf
1
0lim
Integral Tentu dan Luas
Secara umum, dapat bernilai negatif.
b
a
dxxf
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva g, sumbu x, x = ½ dan x = 6 ?
bawahatas
b
a
AAdxxf
Teorema KeintegralanJika f terbatas pada [a,b] dan ia kontinu di sana kecuali pada sejumlah berhingga titik, maka f terintegralkan pada [a,b].
Khususnya, jika f kontinu pada seluruh titik di [a,b], maka ia terintegralkan pada [a,b].
Sifat Penambahan Interval
Jika f terintegralkan pada suatu interval yang mengandung titik-titik a, b, dan c, maka
c
b
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf
Teorema Dasar 1 Kalkulus
Jika f kontinu pada interval tutup [a,b] dan x sebuah titik dalam [a,b], maka
xfdttfdx
d x
a
Sifat Pembandingan
Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] dan jika f(x) ≤ g(x) untuk semua x [a,b], maka
b
a
b
a
dxxgdxxf
Sifat Keterbatasan
Jika f terintegralkan pada [a,b] dan jika
m ≤ f(x) ≤ M untuk semua x [a,b], maka
abMdxxfabmb
a
Integral Tentu merupakan Operator LinierMisalkan f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k konstanta.
Maka, kf dan f + g terintegralkan, dan memenuhi:
b b
a a
b b b
a a a
b b b
a a a
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
Teorema Dasar 2 KalkulusJika f kontinu pada [a,b] dan F sembarang anti turunan dari f pada [a,b], maka
aFbFdxxfb
a
Aturan Substitusi untuk Integral Tak TentuMisalkan g fungsi terdiferensiabel dan F adalah anti
turunan dari f.
Maka :
f g x g x dx F g x C
Aturan Substitusi untuk Integral TentuMisalkan g mempunyai turunan yang kontinu pada
[a,b] dan f kontinu pada range g.
Maka:
dimana u = g(x)
g bb
a g a
f g x g x dx f u du
Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral
Jika f kontinu pada interval tutup [a,b], maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian sehingga
b
a
dttfab
cf1