INTEGRAL TENTU

Turunan dan Integral Masalah pencarian garis singgung

turunan

Masalah pencarian luas daerah

integral tentu

nn

PAA

limlingkaran

dimana Pn adalah poligon beraturan dengan n sisi.

Luas Lingkaran

Luas daerah di bawah kurva y = x2 dari x = 0 sampai x = 1 pada kuadran I

1

1

x

y

Langkah-langkah menentukan luas daerah Partisi interval x menjadi n subinterval

Panjang masing-masing subinterval Terdapat n + 1 titik

0 = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = 1

dimana x1 = x

x2 = 2 x

xi = i x =

nx 1

in1

Tentukan jumlah luas n persegi panjang A(Rn) Luas persegi panjang dengan alas berupa

interval [xi,xi+1] dan tinggi f(xi) = (xi)2 adalah

2311212 iixxxxf nnnii

A(Rn) = f(x0)x + f(x1)x + … + f(xn-1)x

2

3

3333

1361

3

1

1

23

2221

21212121

2

6

1211

1

1...21

1...2.1.0.

nn

n

k

n

nnnn

nnn

n

kn

n

n

Hitung luas daerah A(R) dengan membuat persegi panjang sebanyak-banyaknya (n)

Jadi, luas daerah di bawah kurva y = x2 dari x = 0 sampai x = 1 pada kuadran I adalah

3113

61

22limlim nnn

nn

RARA

31

Penjumlahan Riemann Secara umum, panjang subinterval yang

dibuat tidak harus sama, sehingga jumlah luas semua persegi panjang terhadap partisi P adalah

dimana adalah titik sampel untuk subinterval ke-i (tidak harus di titik ujung subinterval)

i

n

iiP xxfR

1

ix

Definisi Integral Tentu

Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval tutup [a,b]. Jika

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b].

Jadi,

disebut integral tentu (integral Riemann) f dari a ke b.

i

n

ii

Pxxf

10

lim

i

n

ii

P

b

a

xxfdxxf

1

0lim

Integral Tentu dan Luas

Secara umum, dapat bernilai negatif.

b

a

dxxf

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva g, sumbu x, x = ½ dan x = 6 ?

bawahatas

b

a

AAdxxf

0a

a

dxxf

badxxfdxxfa

b

b

a

,

Secara umum, pada , nilai a tidak

harus lebih kecil dari b

b

a

dxxf

Teorema KeintegralanJika f terbatas pada [a,b] dan ia kontinu di sana kecuali pada sejumlah berhingga titik, maka f terintegralkan pada [a,b].

Khususnya, jika f kontinu pada seluruh titik di [a,b], maka ia terintegralkan pada [a,b].

Sifat Penambahan Interval

Jika f terintegralkan pada suatu interval yang mengandung titik-titik a, b, dan c, maka

c

b

b

a

c

a

dxxfdxxfdxxf

Teorema Dasar 1 Kalkulus

Jika f kontinu pada interval tutup [a,b] dan x sebuah titik dalam [a,b], maka

xfdttfdx

d x

a

Sifat Pembandingan

Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] dan jika f(x) ≤ g(x) untuk semua x [a,b], maka

b

a

b

a

dxxgdxxf

Sifat Keterbatasan

Jika f terintegralkan pada [a,b] dan jika

m ≤ f(x) ≤ M untuk semua x [a,b], maka

abMdxxfabmb

a

Integral Tentu merupakan Operator LinierMisalkan f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k konstanta.

Maka, kf dan f + g terintegralkan, dan memenuhi:

b b

a a

b b b

a a a

b b b

a a a

k f x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

f x g x dx f x dx g x dx

Teorema Dasar 2 KalkulusJika f kontinu pada [a,b] dan F sembarang anti turunan dari f pada [a,b], maka

aFbFdxxfb

a

Aturan Substitusi untuk Integral Tak TentuMisalkan g fungsi terdiferensiabel dan F adalah anti

turunan dari f.

Maka :

f g x g x dx F g x C

Aturan Substitusi untuk Integral TentuMisalkan g mempunyai turunan yang kontinu pada

[a,b] dan f kontinu pada range g.

Maka:

dimana u = g(x)

g bb

a g a

f g x g x dx f u du

Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral

Jika f kontinu pada interval tutup [a,b], maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian sehingga

b

a

dttfab

cf1

Teorema Simetri Jika f fungsi genap, maka

Jika f fungsi ganjil, maka

0

a

a

dxxf

aa

a

dxxfdxxf0

2

TeoremaJika f periodik dengan periode p, maka

b

a

pb

pa

dxxfdxxf